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★ 最小値 / 美雪
xy平面上、x座標、y座標がともに整数となる点(m,n)を格子点と呼ぶ。各格子点を中心として半径rの円が描かれており、傾き2/5の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという。このような性質をもつ実数rの最小値を求めよ。

傾き2/5の直線をL：2x-5y-k=0とします。問題文から、kは任意の実数です。

Lが(m,n)を中心とする半径rの円と共有点をもつという条件から、

│2m-5n-k│/√29≦r

が成り立ちます。2m-5nはN=2・3N-5Nが成り立つことから、整数全体を表します。そこで、2m-5n=N(Nは全ての整数)とおきます。

任意の実数kに対して、│N-k│/√29≦rが成り立つようなrの最小値を求めるのですから、任意の実数kに対して、│N-k│の最大値を求めるということなのだと思いますが、ここから先が全然わからないです。kが任意なら絶対値はいくらでも大きくなるので、最大値は存在しないように思います。途中がおかしいのかもしれません。

わかりやすく教えてください。
No.60632 - 2019/08/13(Tue) 11:30:11
☆ Re: 最小値 / らすかる
Nは任意の整数がとれるわけですから
|N-k|/√29≦rの左辺のNはkに最も近い整数をとって
この不等式を満たせばよいということです。
Nをkに最も近い整数とすれば|N-k|≦1/2なので、
(√29)r=1/2すなわちr=1/(2√29)であれば条件を満たしますね。
No.60636 - 2019/08/13(Tue) 13:04:42
☆ Re: 最小値 / らすかる
ちなみに、各格子点に半径1/(2√29)の円を描いて
円に接する傾き2/5の直線を描くと、この図のようになります。
これを見ると、r＜1/(2√29)のときに共有点を持たない直線が引ける
ことが実感できますね。
No.60637 - 2019/08/13(Tue) 19:49:18
☆ Re: 最小値 / 黄桃
答に関してはらすかるさんの書かれている通りですので、「ここから先」の説明をします。

>任意の実数kに対して、│N-k│/√29≦rが成り立つようなrの最小値を求める
が不正確です。らすかるさんがかいているように、
kに応じて（kは直線に対応するから、直線を決めるごとに)Nを変えてよい(その直線に一番近い点は変えてよい）、
ということが書かれていません。

正確には次のようになります：
0以上の実数rに関する条件「すべての実数kに対して、kに応じて整数Nを選べば　│N-k│/√29≦rが成り立つ」
をみたす最小のrを求める。

この条件を分析します。「すべてのk」が難しくしている元なので、まず、kを定数として考えてみます（直線を1本決めてみる、ということ）。
すると、「整数Nを選べば　│N-k│/√29≦rが成り立つ」ような0以上の実数rに関する条件を考えることになります。
これは要するに、直線2x-5y-k=0と、それに一番近い格子点までの距離をR(k)とすれば、r≧R(k)ということです。

例えば、k=0の時は、N=0とすれば、│N-k│/√29=0 とできる(2x-5y=0は格子点を通る）ので、rは0以上ならなんでもよい、ことになりますから、R(0)=0です。
r=1/3 であれば、1/3に一番近い整数は0なので、│N-k│/√29は一番小さくて 1/(3√29)。
よって、rがこれ以上ならOK、つまり、R(1/3)=1/(3√29)です。

すると、k=0,k=1/3 の時どちらの場合でも交わる条件は、r≧R(0) と r≧R(1/3)　の共通部分(この場合は、r≧1/(3√29)) です。

以上をふまえれば、
「すべての実数kに対して、kに応じて整数Nを選べば　│N-k│/√29≦rが成り立つ」ようなrの条件は、
「すべての実数kに対して、r≧R(k)」となるようなrの条件であり、
これは結局 r≧[R(k)の最大値]、です。
これを満たす最小のrはもちろん、[R(k)の最大値]であり、これは (N,kを動かしたときの)│N-k│/√29 の最大値ではありません。

＃R(k)の|N-k| の部分を最小にするNは、Nが kに一番近い整数の時なので、
＃kの小数部分だけが問題で、整数と一番遠くなるのは、小数部分が 0.5の時です。
＃つまり、R(k)の最大値はR(1/2)(=R(1.5)=R(2.5)=...)と等しい、ということです。
No.60642 - 2019/08/14(Wed) 09:08:45
☆ Re: 最小値 / 美雪
らすかる様　黄桃様

失礼します。

kに応じてNを適当に取ったとき、│N-k│が取りうる最大値。

k=0.2ならN=0をとれば、│N-k│は0.2

k=1.4ならN=1をとれば、│N-k│は0.4

k=2.6ならN=3をとれば、│N-k│は0.4

k=3.8ならN=4をとれば、│N-k│は0.2

・
・
・

このようにkに応じて近い整数をとったのが│N-k│であり、すると、

k=M+0.5(Mは整数)のとき、│N-k│はN=M、M+1のとき0.5で、kがこれ以外のときはkに近い方の整数が存在し、│N-k│は0.5より小さくなるので、│N-k│は最大値が0.5になる、ということでしょうか？
No.60650 - 2019/08/14(Wed) 18:50:06
☆ Re: 最小値 / らすかる
その通りです。
No.60654 - 2019/08/14(Wed) 20:08:40
☆ Re: 最小値 / 美雪
ありがとうございました！今回もとてもわかりやすかったです！
No.60666 - 2019/08/14(Wed) 23:44:00
★ 解答がわからん！ / 蘭
この問題を見てください。

例題2です。

この、私が赤で下線を引いてるt^(n-1)が(3x)^n/nになる理由がわかりません。どーやって解いたのかわからないです。

教えてください。
毎回ごめんなさい。
No.60627 - 2019/08/13(Tue) 10:13:40
☆ Re: 解答がわからん！ / 蘭
間違えました。例題3でした。
No.60628 - 2019/08/13(Tue) 10:15:31
☆ Re: 解答がわからん！ / 蘭
解答です。
No.60629 - 2019/08/13(Tue) 10:16:08
☆ Re: 解答がわからん！ / 蘭
一応答えです。
No.60630 - 2019/08/13(Tue) 10:16:43
☆ Re: 解答がわからん！ / 蘭
t^nにt=3xを代入したとすれば、?@の最高次の項については、

n(n-1) a[n] 3^n=54a[n]x^n ？いや、積分してるから左辺の次数をあげなきゃ？？ん？だ感じで行き詰ってます。
よろしくお願いします。
No.60631 - 2019/08/13(Tue) 10:21:33
☆ Re: 解答がわからん！ / らすかる
(t-1)f''(t)=n(n-1)a[n]t^(n-1)+…なので
∫(t-1)f''(t)dt=n(n-1)a[n]t^n/n+…+C
∫[0〜3x](t-1)f''(t)dt=n(n-1)a[n](3x)^n/n+…
となりますね。
No.60635 - 2019/08/13(Tue) 12:57:06
★ (No Subject) / さとう
あと一つ質問があります。宜しくお願います。解答はaらしいのですが、どうやって求めるのか？理由？が分かりません。お時間あればまた教えて頂けると有り難いです。
No.60626 - 2019/08/13(Tue) 10:13:35
☆ Re: / らすかる
(a-b)+(b-c)+(c-d)+(d-a)=0なので
a-b＞b-c＞c-d＞d-a≧0 または
0≧a-b＞b-c＞c-d＞d-a とすると矛盾。
従ってa-b＞0,d-a＜0すなわちa＞b,a＞d
もしb-c≧0ならばa＞b≧c,a＞dとなるのでaが最大
もしb-c＜0ならばb-c＞c-dからc-d＜0なので
a＞b,a＞d＞cとなりaが最大
よっていずれにしてもaが最大。
No.60633 - 2019/08/13(Tue) 12:42:28
☆ Re: / ＩＴ
(a-b)+(b-c)+(c-d)+(d-a)=0 なので a-b,b-c,c-d,d-aの平均値は0.
これとa-b>b-c>c-d>d-a から　a-b>0>d-a が分かる。
∴　a>bかつa>d…(1)

またb-c>c-d より　b+d>2c
∴　(b+d)/2 > c
ここで(1)より　a>(b+d)/2 なので　a>c.　
No.60634 - 2019/08/13(Tue) 12:43:06
★ (No Subject) / さとう
どうしても解答にたどりつけません。カッコの外し方が間違えているのか？お時間あるときに教えてください。宜しくお願いま。
No.60623 - 2019/08/13(Tue) 08:35:47
☆ Re: / 元中3
解答が明らかに違います。
負×負÷負の計算結果が正の9/8になるはずがありません。
おそらく答えは-3(a^2)(b^2)でしょう。
No.60624 - 2019/08/13(Tue) 09:39:23
☆ Re: / さとう
やはり、そうでしたか。ありがとうございます
No.60625 - 2019/08/13(Tue) 10:10:01
★ (No Subject) / な
マークしてある必要十分条件のところなのですが、なぜ1以上なのでしょうか？0以上でもいいと思ったのですが。
No.60620 - 2019/08/13(Tue) 01:42:05
☆ Re: / らすかる
例えばx=y=1のとき不等式は2(k^2-1)≧2となりますので、
k^2-1＜1では成り立ちません。
No.60621 - 2019/08/13(Tue) 02:49:07
★ 確率と一般項の算出 / ひよっこ
■考えている内容や答え
(1)
p2=1/12+1/8=5/24
p3=5/72+1/24+1/24+1/8=5/18

(2)
Pn=P(n-1)x32/15-1/6

(3)
わからない

■特に不安な点や、確認したいこと
(1),(2)の答えは合っているか、(3)の答えは何か教えてください。

よろしくお願いします。
学年　AO入試問題
No.60616 - 2019/08/12(Mon) 23:26:08
☆ Re: 確率と一般項の算出 / ＩＴ
(1)(2) ともにまちがっていると思います。
遷移図を描いて　再計算してみてください。

途中式は
　(1/2)(1/6)+(1/2)(1/4)? = 1/12 + 1/8 などと書いた方が間違いが見つかり易いですし、部分点の可能性も出てきます。
No.60617 - 2019/08/12(Mon) 23:56:09
★ (No Subject) / 谷子
この解説だけでは理解できないので教えてもらえませんか？
No.60613 - 2019/08/12(Mon) 20:57:17
☆ Re: / ＩＴ
３つのうち何番目の＝が理解できませんか？
No.60615 - 2019/08/12(Mon) 21:32:33
★ (No Subject) / ゆいきょう
この問題で、はてなが書いてあるところがわからないのですが、どういうことですか？
No.60608 - 2019/08/12(Mon) 15:17:57
☆ Re: / らすかる
n=3kならば
1,4,7,10,…,n-2 の個数がb個
2,5,8,11,…,n-1 の個数がc個
3,6,9,12,…,n の個数がa個
で
b=n/3
c=n/3
a=n/3
となるので
a=b=c=k
です。
No.60610 - 2019/08/12(Mon) 15:23:32
★ (No Subject) / しょう
215の群数列の問題です。エオで456項目の数字が30区画内にあるのは分かっているのですがなぜa456＝30となるのでしょうか？
No.60607 - 2019/08/12(Mon) 14:10:19
☆ Re: / らすかる
第1区画の数字は1
第2区画の数字は2つとも2
第3区画の数字は全部3
第4区画の数字は全部4
・・・
第30区画の数字は全部30
だからです。
No.60609 - 2019/08/12(Mon) 15:19:56
☆ Re: / しょう
そういうことですか！ありがとうございます！
No.60611 - 2019/08/12(Mon) 15:37:52
★ 積分 / 蘭
この発展例題1の問題を見てください。

この解き方として、位相ズレを用いてやるらしいのですが、
私が下線をひいたところについて、

??0→π { xsinx/(1+cos^2x)}dxと??0→π {(π-x)sinx/(1+cos^2x)} dxが同じ値(解いている時にIと置いています。）になるのかわかりません。

sinxの前の係数が、問題ではx 自分で作り出したのではπ-xですよね？？

ここを同じ値とみなしていい理由を教えてください、
よろしくお願いします。

(定積分の区間の表し方がわかんなかったです。0→πは区間のことです。)
No.60602 - 2019/08/12(Mon) 12:37:22
☆ Re: 積分 / 蘭
解答です。
No.60603 - 2019/08/12(Mon) 12:38:00
☆ Re: 積分 / 蘭
解答のつづきです
No.60604 - 2019/08/12(Mon) 12:38:33
☆ Re: 積分 / らすかる
解答で正しく置換できているのに、何がわからないのですか？
もしかして
∫[0→π]{(π-t)sint/(1+(cost)^2)}dtを
∫[0→π]{(π-x)sinx/(1+(cosx)^2)}dxにしてよいのはなぜか
という質問ですか？
もしそういう質問でしたら、
定積分の中にある変数で定積分の計算の結果消えてしまうものは
結局どういう文字であっても全く同じ結果になりますので、
どんな文字に変えても構いません。
（積分の外で別の意味で使っている変数でも構いません）
∫[0→π]{(π-x)sinx/(1+(cosx)^2)}dx
∫[0→π]{(π-a)sina/(1+(cosa)^2)}da
∫[0→π]{(π-N)sinN/(1+(cosN)^2)}dN
∫[0→π]{(π-α)sinα/(1+(cosα)^2)}dα
∫[0→π]{(π-Σ)sinΣ/(1+(cosΣ)^2)}dΣ
∫[0→π]{(π-甲)sin甲/(1+(cos甲)^2)}d甲
は全て同じです。

納得しにくければ、例えば
∫[0〜1]{f(x)+g(x)}dx
=∫[0〜1]f(x)dx + ∫[0〜1]g(x)dx
=∫[0〜1]f(x)dx + ∫[0〜1]g(t)dt
のような計算を逆向きにやっているものと考えれば、
少しは納得できるのではないかと思います。

Σの変数も同じですね。
例えば
Σ[k=1〜10]k
=1+2+3+…+10
=10+9+8+…+1
=Σ[k=1〜10](11-k)
は最初のkと後のkは意味が違っていますが、問題ないですよね。
No.60606 - 2019/08/12(Mon) 13:02:36
☆ Re: 積分 / GandB
　らすかるさんの丁寧な説明で理解できたのならいいのだけど、本人がわざわざ赤字で
　　「定積分だから積分変数は何でもよい」
と書いているので、ホントに疑問が解けたのかちょっと気になる（笑）。
No.60614 - 2019/08/12(Mon) 21:29:07
☆ Re: 積分 / 蘭
すみません！ちょっと色々勘違いしてました！

積分変数について悩んでいたのではなくて、Iがなんなのかよくわかってなかったです。自分最近ほんと能力に合わないもんだいをやりすぎて基礎までできなくなってて………。

大変ありがとうございました！
No.60618 - 2019/08/13(Tue) 00:24:40
★ (No Subject) / し
(3)の一番下の行でシグマを使っているのですが
7^n-1 −1/6 ＋ 3^n-1 -1/2ではないのですか？
No.60599 - 2019/08/11(Sun) 18:54:50
☆ Re: / X
教科書の等比数列の和の公式の項目を調べ、
等比数列の和の公式
と
等比数列の一般項
との対応関係を復習しましょう。
No.60600 - 2019/08/11(Sun) 20:10:35
★ 線形代数　べき零行列 / papurika
（１）の A+Bの証明のところで m=r+s-1となぜおけるのかわかりません。
右に書いてある不等式の意味も分かりません。
解説もしくは参考になるサイトなどありましたらよろしくお願いします。
No.60592 - 2019/08/11(Sun) 11:25:40
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
mはr以上、ｓ以上でしょう（ｒ、ｓともに1以上なので）
よってA^mの項は0になります。

積の可換の証明よりr<=sと一時的に仮定します。

k番目の項を　A^(m-k)*B^k トスルと（A^mから数えてｋ番目）
0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

s<= k < mの時は
B^k=B^(s+正数）
　 =B^s * （何か）
　 =0 * (何か)
=0
よって、ｋの存在範囲0からｍで
A^(m-k)*B^k　の項は必ず0になることが示された
よってＡ＋Ｂはべきゼロ
No.60593 - 2019/08/11(Sun) 12:02:03
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
最初の部分は必要ありませんでした。後表示がおかしいので連投します

k番目の項を　A^(m-k)*B^k トスルと（A^mから数えてｋ番目）
0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

s<= k < mの時は
B^k=B^(s+正数）
　 =B^s * （何か）
　 =0 * (何か)
=0
よって、ｋの存在範囲0からｍで
A^(m-k)*B^k　の項は必ず0になることが示された
よってＡ＋Ｂはべきゼロ
No.60594 - 2019/08/11(Sun) 12:03:29
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
最初の部分は必要ありませんでした。後表示がおかしいので連投します。いろいろおかしいので訂正しました

k番目の項を　A^(m-k)*B^k トスルと（A^mから数えてｋ番目）

0＜=ｋ＜ｓの時
m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 より
r+s+1 >= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=でないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

s<= k < mの時は
B^k=B^(s+正数）
　 =B^s * （何か）
　 =0 * (何か)
=0
よって、ｋの存在範囲0からｍで
A^(m-k)*B^k　の項は必ず0になることが示された
よってＡ＋Ｂはべきゼロ
No.60595 - 2019/08/11(Sun) 12:09:22
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
ｍが　r+s-1となぜおけるかというと
べきゼロであると言うことはある回数以上かければそこでゼロになるという状態なので。以上であるので別に
(A+B)^m=0となるのはm=r+s-1だとうまく証明できるだけで
50回掛ければ０になりそうだと思えばｍ=50でやってみるでしょう。
そう思った流れは、少なくともｒ回以上且つｓ階以上掛けないとABは0にならないのでr+sにしたんじゃないかな,,,
私にはこういった発想力はないので良く引っかかってしまいますが
No.60596 - 2019/08/11(Sun) 12:17:43
★ (No Subject) / パンチ
すみません。以前にも同じ問題を投稿させていただいたのですが、まだ自分の中で上手く解決できていません。詳しく解説をしていただけないでしょうか？また、参考文献？となるようなhqがあればURLなどを教え欲しいです。

添付図の解説をお願いします。
答えはエ=1,オ=-,カ=1です。
解説をお願いします。
No.60585 - 2019/08/10(Sat) 23:54:38
☆ Re: / 黄桃
数列で、a[n]=p*a[n-1]+q　で表されるようなものの一般項や極限を求める問題がありますが、それと同じにできます。

det(E-A)≠0 なので、
(E-A)x=e ...(*)
となるベクトルxが存在します。すなわち、
x=Ax+e となっています。
u[n]=Au[n-1]+e から、x=Ax+e を引くと
u[n]-x=A(u[n-1]-x)
となりますから、
u[n]-x=A^n(u[0]-x)
となります。
Aの固有値を計算すると２つとも絶対値が１より小さいので、
(Aの対角化をD=PAP^(-1)とすれば、A^n=P^(-1)D^nP^n で、D^n→0になるから）
A^n→0
になります。
したがって、
u[n]-x→0 (n→∞)
となり、lim u[n]=x です。xは(*)をとけばOKです。

なお、A=(1/√2)R(-π/4) (R(-π/4) は -π/4 の回転行列）
と見えれば、2次の行列の演算は複素数の掛け算に帰着できて、
もとの漸化式は複素数で書けば
v[n]=((1-i)/2) *v[n-1]+1
ですから、数列の場合と同様に計算できます。

あるいは、素朴にやるなら、
u[n]=Au[n-1]+e
=A(A u[n-2]+e)+e
=A^2 u[n-2]+Ae+e
=...
=A^n u[0]+(A^(n-1)+A^(n-2)+...+A+E)e
として、A^n→0 より u[n]→(Σ_[n=0,∞]A^n)e となります(和が収束すれば、ですが）。
Aを対角化してA^nを求め、それから和が計算できるでしょう
（最初の解法はこれを求めるのに、両辺に E-A を掛けた、とみることもできます）。

＃いずれの解法でもA^n→0 になるところが重要です。
No.60590 - 2019/08/11(Sun) 08:13:31
☆ Re: / パンチ
ここまで考えてみました！
ここからどう考えたら良いでしょうか？
No.60679 - 2019/08/15(Thu) 13:58:09
☆ Re: / 黄桃
なぜ、わざわざ一番面倒くさい方法を選ぶのかよくわかりませんが、そこまでわかっているなら、(A')^(4n+1)=(A')^(4n)*A' などと計算できるので、n=4k,4k+1,4k+2,4k+3 の場合に分けて部分和を求めることができるのではないでしょうか。

この先、専門分野で線型代数を使わないのならこの解法でもいいですが、そうでないなら、将来は nxn　行列を扱うことになるので、こうした考え方（成分表示で展開する）しかできないと困ると思います。
No.60729 - 2019/08/17(Sat) 08:38:19
☆ Re: / パンチ
n=4k,4k+1,4k+2,4k+3 の場合に分けて部分和を求めることができるとありますが、どのように考えますか？

あと、出来れば高校数学の範囲で解きたいです。
No.60789 - 2019/08/20(Tue) 18:53:50
☆ Re: / 黄桃
すみません、返事があると思ってませんでした。失礼しました。

A^(4k)=(-1/4)^k*E なら、
A^(4k+1)=(-1/4)^k*A
A^(4k+2)=(-1/4)^k*A^2
A^(4k+3)=(-1/4)^k*A^3

より、
Σ_[n=1,4k-1] A^n
=Σ_[n=0,k-1] (A^(4k)+A^(4k+1)+A^(4k+2)+A^(4k+3))
=Σ_[n=0,k-1] ((-1/4)^k*E+(-1/4)^k*A+(-1/4)^k*A^2+(-1/4)^k*A^3)
=(Σ_[n=0,k-1] (-1/4)^k)(E+A+A^2+A^3)
=(1-(-1/4)^k)/(1+1/4)(E+A+A^2+A^3)
=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)

同様に、
Σ_[n=1,4k] A^n=Σ_[n=1,4k-1] A^n+A^(4k)=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)+(-1/4)^k*E
Σ_[n=1,4k+1]A^n=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)+(-1/4)^k*E+(-1/4)^k*A
Σ_[n=1,4k+2]A^n=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)+(-1/4)^k*E+(-1/4)^k*A+(-1/4)^k*A^2
となるので、nが 4k,4k+1,4k+2, 4k+3(=4(k+1)-1) のいずれであっても、n→∞とすれば、残るのは、
(4/5)(E+A+A^2+A^3)
の部分です。


>あと、出来れば高校数学の範囲で解きたいです。
今の高校では行列はやらないのでは？
その代わりに複素数平面をやっているので、高校数学の範囲にするのなら、
このような2x2行列を掛けることと複素数平面で複素数(1/2)-(1/2)i をかけることは同じ、
ベクトル(1,0)を足すことは複素数平面では1を足すことに対応する、
ことから、
a[n]=(1-i)/2*a[n-1]+1
という漸化式で定まる複素数平面上の点a[n]とベクトルv[n]が対応します（a[n]=x+iy に対して、v[n]=(x,y))。
なので、これで計算するのが高校数学らしいのではないでしょうか。
No.60899 - 2019/08/24(Sat) 12:01:37
★ (No Subject) / たけまる
この問題で、y'≧0と置いた後に解説では判別式を使って解いているのですが、よくわからないので他の解き方があればそれか、判別式を使った解き方について詳しく教えて欲しいです。
No.60583 - 2019/08/10(Sat) 22:41:33
☆ Re: / らすかる
ここに「判別式を使った解き方について詳しく」書いたとしても、
解説と同じ説明になってしまってわからない可能性がありますので、
解説の内容をここに書いて、そのどの部分がわからないかを
具体的に質問した方がよいと思います。

というわけで「判別式を使った解き方」の説明は無駄になる可能性がありますので
他の解き方を書きます。
x^3+(p+1)x^2+p^2x+1でt=x+(p+1)/3とおいて
x=t-(p+1)/3を代入して整理すると
t^3+{(2p^2-2p-1)/3}t-(7p^3+3p^2-6p-29)/27
つまり
x^3+(p+1)x^2+p^2x+1
を((p+1)/3,(7p^3+3p^2-6p-29)/27)平行移動すると
y=x^3+{(2p^2-2p-1)/3}x
という、点対称の中心が原点である三次関数のグラフになります。
このときx＞0で下に凸、x＜0で上に凸ですから、
x=0における微分係数が0以上であれば単調増加になります。
y'=3x^2+(2p^2-2p-1)/3にx=0を代入すると(2p^2-2p-1)/3なので、
(2p^2-2p-1)/3≧0が問題の条件を満たすpの式となり、
これを解いて p≦(1-√3)/2, (1+√3)/2≦p が答えとなります。
No.60584 - 2019/08/10(Sat) 23:18:48
★ Parrotの問題の可解条件の証明 / 石
この掲示板を使うのが初めてで失礼があったら申し訳ありません。
線形行列不等式（LMI）の勉強をしているのですが、引っかかってしまったので質問させていただきます。

与えられた行列A,B,Cとスカラーrに対し次の条件は等価である。
(1）exist K s.t. ||A+BKC||<r
(2) ||APc||<r,||PbA||<r
(ただし、Pc=I-(C+)C , Pb=I-B(B+)とする。）

次の過程は必要ないみたいですが、この過程は必要な気がします。
B+は行フルランクとみたムーアペンローズ逆行列
B+=(BtB)(-1)Bt
C+は列フルランクとみたムーアペンローズ逆行列
C+=Ct(CCt)(-1)

この仮定の下で添付した画像の下から2つ目までの式は理解できたのですが、

||A+BKoC||<1
と(かけ算が見にくいので＊を挟みました)
(I-Pb*A*At*Pb)+(B*B+*A*Pc*(I-PC*At*A*Pc)(-1)*Pc*At*B*B+>0
が同値である事がどう変形させてもできませんでした。
かなりめんどくさい問題ですが、どなたか教えていただけると幸いです。

参考にしている本は
LMIと制御　岩崎徹也　（絶版しています）　です。
No.60577 - 2019/08/10(Sat) 10:46:20
☆ Re: Parrotの問題の可解条件の証明 / 石
訂正します
次の仮定は必要ないみたいですが、この仮定は必要な気がします。
B+は列フルランクとみたムーアペンローズ逆行列
B+=(BtB)(-1)Bt
C+は行フルランクとみたムーアペンローズ逆行列
C+=Ct(CCt)(-1)

列と行を間違えました
No.60578 - 2019/08/10(Sat) 10:59:37
★ (No Subject) / なす
∫[0→π/4]xdx/（sin2x+cos^2x） これ計算してほしい
No.60573 - 2019/08/10(Sat) 00:08:50
☆ Re: / なす
すみませんcos^2xではなく、2cos^xでした。cos^2xの係数に2がつきます
No.60574 - 2019/08/10(Sat) 00:25:44
☆ Re: / らすかる
∫[0〜π/4]x/(sin2x+2(cosx)^2) dx
=∫[0〜π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
=(1/2)∫[0〜π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
　+(1/2)∫[0〜π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
=(1/2)∫[0〜π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
　+(1/2)∫[π/4〜0](π/4-t)/(sin(π/2-2t)+cos(π/2-2t)+1) (-dt)
　（t=π/4-xとおいた）
=(1/2)∫[0〜π/4]x/(sin2x+cos2x+1) dx
　+(1/2)∫[0〜π/4](π/4-x)/(sin2x+cos2x+1) dx
=(π/8)∫[0〜π/4]1/(sin2x+cos2x+1) dx … (※)
=(π/8)[log(tanx+1)/2][0〜π/4]
=πlog2/16

(※)の不定積分は
∫1/(sin2x+cos2x+1) dx
=∫1/(2sinxcosx+2(cosx)^2) dx
=(1/2)∫1/{(cosx)(sinx+cosx)} dx
=(1/2)∫{1/(cosx)^2}/{(sinx+cosx)/(cosx)} dx
=(1/2)∫{1/(cosx)^2}/(tanx+1) dx
=(1/2)∫{tanx+1}'/(tanx+1) dx
=log|tanx+1|/2+C
No.60576 - 2019/08/10(Sat) 02:35:19
★ 定積分の不等式の証明問題 / YUKI
定積分の不等式の証明問題について教えてほしいです。

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ
∫[1,n]log(x) dx＜log1＋log2＋…＋logn＜logn＋∫[1,n]log(x) dx を証明せよ。（大阪大学 改）

という問題なのですが、この問題って中辺はn-1個の長方形の面積の和で

ｙ＝log(x)とｙ＝log(x+1)のグラフを書けば図より明らかになってしまいます。

しかし、グラフはイメージなので分かりやすい反面、限りがある範囲しか図示できず、正確性に欠けると思います。


もっと良い証明方法が分かる方おられましたら、何卒ご教授いただけないでしょうか？よろしくお願いします。
No.60569 - 2019/08/09(Fri) 22:40:38
☆ Re: 定積分の不等式の証明問題 / ＩＴ
logx は　x＞0で狭義単調増加なので
自然数i、実数xについて、i＜x＜i+1 ならば　logi ＜ logx ＜ log(i+1)
よって,　log(i)=∫[i,i+1]log(i) dx＜∫[i,i+1]log(x) dx＜∫[i,i+1]log(i+1) dx=log(i+1)
・・・
・・・

のように記述すれば良いのでは。
No.60570 - 2019/08/09(Fri) 23:04:45
☆ Re: 定積分の不等式の証明問題 / X
横から失礼します。

間に平均値の定理を挟む方針でもできます。
自然数kに対して平均値の定理により
logc=∫[k→k+1]logxdx (A)
k＜c＜k+1 (B)
なるcが存在します。
ここでxの関数logxは単調増加ですので
(B)より
logk＜logc＜log(k+1)
これに(A)を代入して
logk＜∫[k→k+1]logxdx＜log(k+1)
つまり
logk＜∫[k→k+1]logxdx (C)
∫[k→k+1]logxdx＜log(k+1) (D)

(C)より
Σ[k=1〜n-1]logk＜Σ[k=1〜n-1]∫[k→k+1]logxdx
∴
Σ[k=1〜n-1]logk＜∫[1→n]logxdx
となるので
Σ[k=1〜n]logk＜logn+∫[1→n]logxdx (C)'

(D)より
Σ[k=1〜n-1]∫[k→k+1]logxdx＜Σ[k=1〜n-1]log(k+1)
∴∫[1→n]logxdx＜Σ[k=2〜n]logk=Σ[k=1〜n]logk (D)'
(∵)log1=0

(C)'(D)'より
∫[1→n]logxdx＜Σ[k=1〜n]logk＜logn+∫[1→n]logxdx
No.60571 - 2019/08/09(Fri) 23:47:40
☆ Re: 定積分の不等式の証明問題 / YUKI
お礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。　
No.60622 - 2019/08/13(Tue) 04:20:59
★ (No Subject) / モンゴル
(s-t)^2=1-2vとしないのですか？(s+t=u, st=vとします。)
問題は次レスではります。
No.60566 - 2019/08/09(Fri) 19:33:07
☆ Re: / モンゴル
こちらの問題です。
No.60567 - 2019/08/09(Fri) 19:33:28
☆ Re: / ＩＴ
数学の問題を解くには、いろいろな道筋があります。

(s-t)^2=1-2v として、やれるところまで御自分でやってみられたらどうですか？
No.60568 - 2019/08/09(Fri) 20:38:02
☆ Re: / モンゴル
実は1-2vとしてやってもうまくいきませんでした。どっかで間違えたなかもしれません。

こう考えること自体が間違いではないですか？
No.60579 - 2019/08/10(Sat) 12:55:05
☆ Re: / らすかる
u^2-4vでも1-2vでも同じ値なのですから、
1-2vとしたことで遠回りすることはあっても
「1-2vとすると間違い」ということはないと思います。
（結局どこかで1-2vをu^2-4vにすれば、解説と同じように解けるはずです）
No.60582 - 2019/08/10(Sat) 17:57:14
☆ Re: / モンゴル
ありがとうございます。
個人的には文字を2つ使って表すより、1-2vの方が楽だと感じたので、1-2vで表しました。

しかし、同じ値のはずなのに、答えが最後まで導けないのです。

回答のやり方は、最終的にはすべての条件をuの式にして、xの条件を求めます。

この方針では、1-2vとしたとしても、vをuの式で表せば正答は導けますよね。計算が合わないのはどこか違うところにミスがあると思いたいのですがわかりません。
No.60589 - 2019/08/11(Sun) 07:55:42
☆ Re: / らすかる
> どこか違うところにミスがあると思いたいのですがわかりません。
途中計算を書いて頂かないと、どこが悪いのかは誰にもわかりません。
No.60591 - 2019/08/11(Sun) 08:59:29
★ 質問お願いします。 / しょう
72番のエオについてです。解答ではa215は第21区画の項であるからa215＝21とあるのですが、21区画の項であるというのはどこから分かるのでしょうか？
No.60564 - 2019/08/09(Fri) 18:25:11
☆ Re: 質問お願いします。 / X
a[215]が第n区画の項であるとすると、条件から
Σ[k=1〜n-1]k=(1/2)n(n-1)＜215≦(1/2)n(n+1)=Σ[k=1〜n]k
∴
(1/2)n(n-1)＜215 (A)
215≦(1/2)n(n+1) (B)
(A)(B)をnについての連立不等式として解きます。
No.60572 - 2019/08/09(Fri) 23:50:50
☆ Re: 質問お願いします。 / ast
直前で20区画までのアイウ項を数えてるのに, その数項後であるa[215]が21区画目にあると見当つかないのはまずいのでは……??
No.60575 - 2019/08/10(Sat) 01:19:44
☆ Re: 質問お願いします。 / X
>>astさんへ
確かにその通りですね。

>>しょうさんへ
ごめんなさい。この問題に関してはastさんの
仰る通りです。
直前のアイウが210と分かっており、次の21区画の
末項の項数が
210+21=221
つまり
210＜215＜221
ですのでa[215]は第21区画だと分かります。

ちなみにNo.60572での私の方針は、この問題
のような誘導がない場合の方針です。
No.60580 - 2019/08/10(Sat) 15:49:30
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
あ、そうですね！簡単な事でしたね！すみません！ありがとうございます！
No.60601 - 2019/08/12(Mon) 11:53:11
★ 高3駿台 / りょ
よろしくお願いします
No.60563 - 2019/08/09(Fri) 17:46:06
☆ Re: 高3駿台 / ＩＴ
tan∠POQ　をk,p で表し、それの最大値を求め
sin∠POQ　の最大値を求めれば良いのでは？
No.60565 - 2019/08/09(Fri) 18:49:27
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