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★ 立方体の切断 / 名無し

この問題が解けず解説を見たのですが、立方体の上に頂点Qをとり、三角すいP-QEDを作って考えるとありました。 しかしQとBCA間にそれぞれHGFの点が置かれており、まずその意味が分かりませんでした。またその際、QFとFAが6になる理由も分かりません。 No.59797 - 2019/07/11(Thu) 00:25:32 ☆ Re: 立方体の切断 / 名無し 画像が貼れませんでした。申し訳ないです。 No.59798 - 2019/07/11(Thu) 00:36:43 ☆ Re: 立方体の切断 / 名無し こちらが解答です No.59799 - 2019/07/11(Thu) 00:38:49 ☆ Re: 立方体の切断 / らすかる H,G,FがなくてQA=12と書いてあればわかるということならば、 H,G,Fは無視してOKです。 No.59805 - 2019/07/11(Thu) 08:15:34

★ 数学A 1年 確率 / ぽんちゃん

赤玉5個、白玉4個、青玉3個が入っている袋の中きら1個の玉を取り出し色を確認してから袋の中は戻すという試行を考える。この試行を3回行ったとき2個の玉だけが同じ色となる確率を求めよ。 という問題の解き方を教えて欲しいです。 No.59788 - 2019/07/10(Wed) 18:27:55 ☆ Re: 数学A 1年 確率 / GandB 　こんな問題は 　　赤玉5個　白玉4個、青玉3個　確率 で、検索すると似たような問題がいっぱい出てくるから、それを参考に解いた方が手っ取り早い。わからないとき、再びここで質問すればよい。 No.59789 - 2019/07/10(Wed) 18:42:57 ☆ Re: 数学A 1年 確率 / ＩＴ GandB さんのおっしゃるとおりですが　一応方針を２つ 全ての場合の数は分かりますか？（１２個の玉は、すべて異なるものとして考えます。） ・2個の玉だけが同じ色になる場合の数を直接数える方法 ・余事象を数える方法 No.59790 - 2019/07/10(Wed) 19:56:31

★ 2点が動く四角形の面積 / 美雪

放物線y=9-xの2乗上に4点A(-3,0)、P(p,9-pの2乗)、Q(q,9-qの2乗)、B(3,0)をとる。このとき、これら4点を頂点とする四角形の面積の最大値を求めよ。ただし、-3<p<q<3とする。 Qを固定すると、?僊BPの面積が最大となるのはPが(0,9)のときで、このとき?傳PQの面積が最大となるのはBPとQにおける接線が平行になるときで…と考えて解いてのですが、解答と合いません。正しくはどう解けばいいのでしょうか？ No.59785 - 2019/07/10(Wed) 16:58:54 ☆ Re: 2点が動く四角形の面積 / らすかる Qを固定したら△ABQが固定されますので 残りの△APQが最大となるように、 AQとPにおける接線が平行になるようにPをとって 最大の面積をqで表し、そしてその最大値を求める という方法でうまくいくのではないでしょうか。 No.59786 - 2019/07/10(Wed) 17:11:14 ☆ Re: 2点が動く四角形の面積 / 美雪 解答と合いません。どこを間違えているのかご指摘ください。 Qを固定すると、?僊BQ=27-3qの2乗 AQの傾きは3-qなので、y’=-2pから、p=(q-3)/2 P((q-3)/2,(-qの2乗+6q+27)/4) AP→=((q+3)/2,(-qの2乗+6q+27)/4)、AQ→=(12,9-qの2乗) ?僊PQ=│-qの3乗+3qの2乗-27q-135│/4 絶対値の中身は負なので、?僊PQ=(qの3乗-3qの2乗+27q+135)/4 四角形ABQP=(qの3乗-15qの2乗+27q+243)/4 微分して、3(q-1)(q-9)/4 q=1のとき、最大値64 解答は32です。どこを間違えていますか？ No.59827 - 2019/07/11(Thu) 21:34:51 ☆ Re: 2点が動く四角形の面積 / らすかる AQ→のx成分が間違っています。 おそらく「q+3」が「9+3」になってしまったのでしょう。 読みは同じで見た目も似てますけどね。 No.59828 - 2019/07/11(Thu) 22:19:34 ☆ Re: 2点が動く四角形の面積 / 美雪 ありがとうございました！解決しました！ No.59846 - 2019/07/12(Fri) 22:37:19

★ (No Subject) / しょう
102の(4),(5)について質問があります。 まず(4)なのですが、電圧が2/11Vと出ていて、それにC2の電気容量をかけて答えを出しているのですが、電圧の比は電気容量の逆比に等しいので、2/3C×1/3×2/11Vではないのでしょうか？ (5)はなぜかのような式になるのかわかりません。 No.59782 - 2019/07/10(Wed) 11:30:33 ☆ Re: / X ＞＞まず(4)なのですが、〜 模範解答をよく読みましょう。 かけられている静電容量は C[2] ではなくて、C[1],C[2]の 合成容量である C[12] ですね。 ＞＞(5)はなぜかのような式になるのかわかりません。 (5)の解説の赤線が引いてある部分の意味は 理解できていますか？ No.59787 - 2019/07/10(Wed) 18:03:46

★ 残りの角度の表し方について。 / マーク42

角度θの時、点 Aは画像のようになりますが、 なぜ残りの角度180°-θとすると座標は cosθ, sinθではなく、- cosθ, sinθとなるのでしょうか？ cos(180°- θ)を計算すると -cosθとでます。 それとも余った角度の表し方が間違っているのでしょうか？ どうかよろしくおねがいします。 No.59781 - 2019/07/10(Wed) 11:09:44 ☆ Re: 残りの角度の表し方について。 / ヨッシー 180°−θ の sin と cos の値を、Ａと対比して、 上の図に書き加えるなら、 180°−θ（図で40°ほどに見える角度）を、 ｘ軸から取らないといけません。 そうすると(cos(180°−θ), sin(180°−θ)) は、Ａのｙ軸対称な 位置となり、(−cosθ, sinθ) となることも、納得できるでしょう。 No.59783 - 2019/07/10(Wed) 15:13:35 ☆ Re: 残りの角度の表し方について。 / マーク42 どうもありがとうございます！ まさかヨッシーさん直々に回答して頂けるとは思いませんでした。 なるほど、確かに図の180°−θと表す部分に誤りがありました。 解決しましたどうもありがとうございました。 No.59803 - 2019/07/11(Thu) 06:21:31

★ (No Subject) / ab
Ｑ＝y＾2+ay+3 P＝3x＾2+5x-11 y＝x+1 このときaの値を求めなさい この問題解き方教えて下さい。お願いします。 No.59771 - 2019/07/09(Tue) 18:32:16 ☆ Re: / らすかる ただ式が3つあるだけではaの値は求まりません。 何か条件があるのでは？ No.59772 - 2019/07/09(Tue) 18:46:20 ☆ Re: / ab やっぱりそうですよね。人からもらった問題でこれしか伝えられてないので今はわかりませんが、明日にでも他に条件がないか聞いてまた質問させてもらいます。ありがとうございました。 No.59774 - 2019/07/09(Tue) 19:09:05

★ (No Subject) / 竜胆
記事番号59573の質問者なのですが、 疑問点が生じたので、また質問させていただきます。 http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=59583 よろしくお願いします。 No.59766 - 2019/07/09(Tue) 17:33:32

★ (No Subject) / 奈良
画像の最期の2行目から 最終行の変形がなぜ可能になるのか(そうなるのか)わかりません。 どなたかおしえていただけませんか？ No.59763 - 2019/07/09(Tue) 15:54:15 ☆ Re: / X 一般に複素数z,wに対して |z|=|w|かつargz=argw⇔z=w このことを踏まえてもう一度考えてみて下さい。 No.59769 - 2019/07/09(Tue) 18:04:35

★ (No Subject) / 太田

⑴のαの値が違うみたいなのですが何故か分かりません。 No.59757 - 2019/07/09(Tue) 11:32:49 ☆ Re: / 太田 解答です。 No.59758 - 2019/07/09(Tue) 11:34:09 ☆ Re: / X α^3=1 だからと言って α=1 とは限りません。 α^3=1 より (α-1)(α^2+α+1)=0 ∴α=1,(-1±i√3)/2 この内、α=1は?@を満たさないので不適です。 No.59776 - 2019/07/09(Tue) 21:56:23 ☆ Re: / 太田 指数関数とは違うのですか？ x^3=8の解が.x=2と参考書に書かれています。 No.59806 - 2019/07/11(Thu) 09:38:27 ☆ Re: / X それはxが実数である場合の話です。 No.59822 - 2019/07/11(Thu) 18:23:40

★ 間違った図から正しい式が導けた理由が知りたいです。 / マーク42
先程-θを使ってcosθの微分をしたところ-θを使った間違った図から、正しい答え-sinθが求まったのですが、なぜでしょうか？ なぜ間違った図から正しい答えが導けたのかわかりません。 No.59755 - 2019/07/09(Tue) 10:35:19 ☆ Re: 間違った図から正しい式が導けた理由が知りたいです。 / マーク42 画像を貼り忘れました。 No.59756 - 2019/07/09(Tue) 10:35:50

★ 球と平面の交わり / 香澄

Oを原点とする座標空間内に、(0,0,1)を中心とする半径1の球がある。A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,2)とする。線分AB上に点Qをとる。線分CQと球の交点をPとする。QがAからBまで移動するとき、Pはある曲線を描く。その曲線の長さを求めよ。 平面ABCと球の交わりは円になるので、求める曲線の長さは円の一部だとは思いますが、どうやってもとめればいいのかわかりません。どなた様か解説をお願いします。 No.59746 - 2019/07/09(Tue) 02:35:21 ☆ Re: 球と平面の交わり / らすかる 球はx^2+y^2+(z-1)^2=1 ABの中点Mは(1,1,0)で直線MCはx=y=t,z=2-2t t^2+t^2+(2-2t-1)^2=1,t≠0からt=2/3なので Q=MのときのPは(2/3,2/3,2/3) 対称性からこのときのCPが描かれる弧の直径なので、 弧の半径は√{(2/3)^2+(2/3)^2+(2-2/3)^2}/2=√6/3 Q=AのときPは(1,0,1)、Q=BのときPは(0,1,1)なのでCから弧の端までの距離は√2 半径√6/3の円に内接する正三角形の一辺の長さは√2だから描かれる弧は円周の1/3なので 求める長さは2π(√6/3)・(1/3)=(2√6)π/9 No.59747 - 2019/07/09(Tue) 03:52:12 ☆ Re: 球と平面の交わり / 香澄 ありがとうございました。よくわかりました。 No.59847 - 2019/07/13(Sat) 17:16:48

★ (No Subject) / 清

右側の最短距離とその下の証明がどうしても分かりません。どなたか解説お願いします！ No.59744 - 2019/07/09(Tue) 02:11:17 ☆ Re: / 清 もし良ければ左側も答えが合っているか教えてぐされば光栄です…！ No.59745 - 2019/07/09(Tue) 02:12:21 ☆ Re: / X 針金の長さをL、長方形の二辺の長さをx,y 対角線の長さと面積をl,Sとすると L=2(x+y) (A) l=√(x^2+y^2) (B) S=xy (C) (A)(C)より(B)は l=√{(1/4)L^2-2S } (B)' ここで条件からx＞0,y＞0ゆえ 相加平均と相乗平均の関係から L/2≧2√(xy)=2√S (不等号の下の等号はx=yのとき成立) ∴ S≦(1/16)L^2 (D) (不等号の下の等号はx=yのとき成立) (B)'(D)より l≧√{(1/4)L^2-(1/8)L^2 }={(√2)/4}L (不等号の下の等号はx=yのとき成立) ∴lはx=yのときに最小となるので 命題は成立します。 No.59749 - 2019/07/09(Tue) 06:22:35 ☆ Re: / X 右側の最短距離の問題と、左側の問題は いずれも同じ方針です。 問題の曲線の長さが最小になるとき 円錐の展開図でその曲線は、展開図 でのその曲線の端点を結ぶ直線になります。 よって右側の最短距離は 12[cm],6[cm]の辺で挟まれた角がπ/3 である三角形の残りの辺の長さ に等しくなるので余弦定理により… No.59750 - 2019/07/09(Tue) 06:27:31 ☆ Re: / X >>もし良ければ左側も答えが合っているか教えてぐされば光栄です…！ 12[cm]で問題ありません。 No.59767 - 2019/07/09(Tue) 17:52:40

★ (No Subject) / 白

模試 (理系) の過去問です。 1. √2^√2は整数ではないことを示せ。 2. x=q/p (pとqは互いに素な整数)とする。 p,qを素因数分解したとき,出てきた素数の指数の最大値をmとした時, m＜nを満たすnをとれば (q/p)^(1/n)は無理数であることを示せ。 3. x^y (x,yは正の無理数) は無理数,有理数の両方を取ることを示せ。 1,2は出来ましたが、3ができません。 どうやるのでしょうか No.59735 - 2019/07/08(Mon) 21:49:54 ☆ Re: / ＩＴ √2^√2は正の有理数か正の無理数です。 a,b,c>0 について　(a^b)^c=a^(bc) です｡ x^y が有理数になることがあるのは 　 (√2^√2)^√2=(√2)^(√2*√2)= 2 から示せます。 　１.の証明途中で出てきませんでしたか？ x^y が無理数になることがあるのは 　√2^√2が無理数ならＯＫ 　√2^√2が有理数なら　√2^√2 =q/p とおいて　２.を使えば良いと思います。 答えを見ると簡単ですが、試験中に思いつくのは難しいかも知れませんね。 　 No.59739 - 2019/07/08(Mon) 22:36:56 ☆ Re: / らすかる 3について、誘導がありますのでＩＴさんが書かれた解答が 模範解答と思いますが、誘導がない場合や誘導の使い方が 思い付かない場合など、以下のような別解もあります。 log[2]3が有理数と仮定してlog[2]3=q/p（p,qは自然数）とおくと 2^(q/p)=3 2^q=3^p 左辺は偶数、右辺は奇数で矛盾するのでlog[2]3は無理数 よって (無理数)^(無理数)=(無理数) の例は (√2)^(log[2]3)=√3 (無理数)^(無理数)=(有理数) の例は (√2)^(2log[2]3)=3 No.59748 - 2019/07/09(Tue) 05:52:30 ☆ Re: / 白 らすかるさん、ITさん ありがとうございました。 ちなみに√2^√2が無理数か有理数かはわからないのでしょうか？ No.59794 - 2019/07/10(Wed) 23:05:02 ☆ Re: / ＩＴ 無理数（しかも超越数）のようです。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%88%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%83%80%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 No.59795 - 2019/07/10(Wed) 23:23:26 ☆ Re: / ＩＴ 下記（日本大学数学科　平田教授　著）に　証明なしで載っていますから、正しいようです。 https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/Data/Hokoku/hirata.pdf No.59796 - 2019/07/10(Wed) 23:37:18

★ (No Subject) / モンゴル

この問題において、「点P(p,p^2),点Q(q,q^2)とし、p>qとすると、点Rが直線PQの下側に来ない」という解説があったのですが、なぜ下側に来ないのですか？ 次も画像貼ります。よく理解できません。 No.59731 - 2019/07/08(Mon) 21:13:05 ☆ Re: / モンゴル よくわからない解説の部分です。 解答はhttps://www.densu.jp/tokyo/04tokyolpass.pdfの第1問の解答を参照してください。 よろしくお願いします。 No.59732 - 2019/07/08(Mon) 21:16:22 ☆ Re: / X では添付写真二枚目において、 点Rが直線PQの下側にある場合に 図10-3のようになることは 理解できますか？ No.59736 - 2019/07/08(Mon) 22:04:00 ☆ Re: / X ちなみに、提示された模範解答である https://www.densu.jp/tokyo/04tokyolpass.pdf の方針ならば、直線PQに関する点Rの位置関係は 問題にしなくてもよいことを補足しておきます。 No.59737 - 2019/07/08(Mon) 22:06:43 ☆ Re: / モンゴル >図10-3のようになることは 理解できますか？ すみません。理解できないのです。 なぜ図の角度が45度より小さいのか、図の別の角度が90度より大きいのかが理解できません No.59760 - 2019/07/09(Tue) 15:03:15 ☆ Re: / モンゴル 画像の続きです。「傾き√2の直線の方向角は45度より大きいので」という説明がわかりません。45度より大きいというより45度じゃないのですか？ No.59761 - 2019/07/09(Tue) 15:38:01 ☆ Re: / モンゴル 解答はこちらです。 No.59762 - 2019/07/09(Tue) 15:38:48 ☆ Re: / X ＞＞画像の続きです。〜 直線の傾きは 直線とx軸との正の向きとのなす角の「tan」 です。 従ってなす角が45°のときの直線の傾きは tan45°=1 です。 よってこれより大きい傾きである傾き√2の 直線のx軸の正の向きとのなす角は45°より 大きくなります。 そのことを踏まえてもう一度考えてみて下さい。 No.59768 - 2019/07/09(Tue) 18:02:11 ☆ Re: / モンゴル 45度より大きい理由がわかり、そして、その後の内容もわかりました！本当にありがとうございます。 No.59792 - 2019/07/10(Wed) 22:19:24

★ (No Subject) / 合成関数の微分について

合成関数の微分について質問させて頂きます。 物理の弾性力の仕事率を微分すると、 kx•x'=d(1/2kx^2)/dt と習ったのですが、どうしてそうなるのか分かりません...。 どなたかご教授お願いします。 No.59726 - 2019/07/08(Mon) 19:52:36 ☆ Re: / X >>弾性力の仕事率 ではなくて、弾性力の「位置エネルギー」ですね。 単なる合成関数の微分です。 (d/dt){(1/2)kx^2}=(dx/dt)(d/dx){(1/2)kx^2} =x'・kx No.59728 - 2019/07/08(Mon) 20:34:56 ☆ Re: / GandB 　Xさんの説明で十分わかるとは思うが。 　　E = (1/2)kx^2. 　　x = x(t). 　　DE/dt = (DE/dx)(dx/dt) = kx･x'. No.59729 - 2019/07/08(Mon) 20:58:08 ☆ Re: / ayu782 なるほど、理解できました。 回答してくださったお二方、ありがとうございました！ No.59730 - 2019/07/08(Mon) 21:05:23

★ 曲率に関して。 / マーク42

曲率は負も正もとるようなのですが、 このサイト http://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/3-7.html の曲率を求めるtan の式は正の曲率の場合しか使えないのでしょうか？ 仮に画像のように負の曲率を求める場合は-θを使ったtan の式が必要なのでしょうか？ もし、同じtan の式のままで良いとしたら、なぜ同じtan の式で良いのでしょうか？理由が知りたいです。 No.59721 - 2019/07/08(Mon) 19:11:22 ☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃 > 曲率は負も正もとるようなのですが、 ここでいう曲率の定義は何ですか。 >このサイト...の曲率 には冒頭に（平面曲線の）曲率の定義（らしきもの）が書いてあり、その定義では曲率は負や0になりません。 なので、使えるかどうかは、ご自身が最初に述べている（負もとるという）曲率の定義次第です。 ＃自然数の掛け算の説明をしている時に、なぜ負x負が正になるのか、と聞かれるようなものです。 No.59751 - 2019/07/09(Tue) 07:01:52 ☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42 黄桃さん、ありがとうございます。 では、このサイトで導いたtanの式は正の曲率がでるような状況のグラフでないと使えないということでしょうか？ No.59753 - 2019/07/09(Tue) 10:28:09 ☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42 ちなみに、今回のサイトでは曲率は正の値ですが、 曲率が負である場合を考えると、それ相応のtanの式に変えれば曲率が負の場合でも対応できるのでしょうか？ 以前に曲率は正の場合も負の場合もあると言われ、疑問に思いました。 No.59754 - 2019/07/09(Tue) 10:33:01 ☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃 同じことの繰り返しです。 上記サイトでは曲率と言ったら正（無限大を含む、近似円の半径の逆数）なのですから、 「正の曲率がでるような状況のグラフでないと使えない」のではなくて 「正の曲率がでるような状況のグラフしかありえない」のです。 >以前に曲率は正の場合も負の場合もあると言われ ということは、「以前に負の場合もあると言われ」た曲率の定義と （正の値しか取らない）上記サイトの曲率の定義は異なるということです。 だから、最初に私が「そのように言われた曲率」の定義を聞いたのです（上記サイトの定義はわかりましたので）。 >曲率が負である場合を考えると まずは、曲率が負の場合もあるという、曲率の定義とは何かをはっきりさせましょう。話はそれからです。 定義がわからないのに、性質が証明できるはずはありません。 No.59778 - 2019/07/09(Tue) 23:19:57 ☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42 どうもありがとうございます！ あの申し訳ないのですが、私の載せたサイトのどのところに曲率が正の値しかとらないと書いてあるのか教えて頂けないでしょうか？ ちなみに、こちらのサイトの曲率は定義はわかりませんが正にも負にもなるようです。 http://www.epii.jp/articles/note/math/curvature#article_section_1.8 曲率を求める過程で計算が少し違うため、式は似ていますが指数の数字が違います。 このサイトで曲率の定義がどのようなものかわかると思ったのですがいまいちわかりませんでした。 No.59780 - 2019/07/10(Wed) 07:06:19 ☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃 >私の載せたサイトのどのところに曲率が正の値しかとらないと書いてあるのか 冒頭部分です。 > 近似された円の半径を曲率半径といい、曲率半径の逆数をその運動の曲がり具合として、曲率という。 円の半径は正の値です。 ＃この文章から半径-1の円があるとは普通考えられません。 epii.jp のサイトには、ちゃんと丁寧に「符号付き」曲率とあります。 そして符号の意味も1.8に書いてあります。 ＃さらに、1.8の最後に ＃単に曲率とか曲率半径とか言った場合には普通、符号付きの曲率や曲率半径の絶対値のことを指します。 ＃とまで書いてあります。 1.8節の説明によれば、符号は、曲線の「進行方向」を決めて初めて意味をもつものであり、 進行方向に向かって左側に曲がる場合に符号が+, 右に曲がる場合に符号が- とあります。 ということは、同じ曲線でも進行方向が変われば符号は変わりますし、そもそも進行方向が不明なら符号は決まりません。 符号の違いは、曲線の進行方向の違いだけなので、一方の場合だけで図を描いて証明すれば十分です。 なぜなら他方は進行方向（か曲がる方向）を逆にしたものですから、図を鏡にでも映せばまったく同じことで、 最後に符号だけ逆にすればいいからです。 ＃式の上では曲線の方程式をy=f(x)とした時の進行方向は、xが大きくなる方向としています。 ＃2階微分が正の場合（つまり上に凸の場合）に符号付き曲率も正、 ＃2階微分が負の場合（下に凸の場合）に符号付き曲率が負、ということです。 ＃最初のサイトの図はxが大きくなる方向が進行方向で上に凸の場合の図をかいています。 ＃＃ちなみに、最初のサイトは物理屋さんのサイト(epiiもそうですが）ですからこのあたりは ＃＃厳密ではなく、出てきた値が負なら絶対値をとればいいじゃないの、くらいのノリでしょう。 以下蛇足です。 >こちらのサイトの曲率は定義はわかりませんが Rの定義は1.5に、κの定義は1.6に書いてあります。どちらも「符号付き」とついてます。 そして1.8に符号が付かない通常のはその絶対値と書いてあります。 >このサイトで曲率の定義がどのようなものかわかると思ったのですがいまいちわかりませんでした。 定義がわからないのに、負の場合がどうなるか考えることができるというのが私には不思議です。 >式は似ていますが指数の数字が違います。 確かにthick.jpの方には誤植があります（最後の式で(dy/dx)^2 の2乗が抜けてる）が、 直前まで式をたどっていればすぐ誤りとわかる誤植です。 ＃こういう疑問を持つということは、検索結果を比べてるだけで自分では何も考えてない(100%受け身)、 ＃と判断される可能性が高いです。 ＃そういう人だと判断されると回答が得にくいと私は思います。 ＃少なくとも、私のモチベーションは下がりました。 No.59793 - 2019/07/10(Wed) 22:51:25 ☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42 返信ありがとうございます！ 丁寧に説明してくださりありがとうございます。 私自身も実際に式を展開していき誤植など確認はしました。ですが自分が間違っているのではないかと心配になり質問ばかりで受け身でした。モチベーションを下げてしまいすいません。今後は解答を得られるようもっと頑張ります。 最後に「符号は、曲線の「進行方向」を決めて初めて意味をもつものであり、 進行方向に向かって左側に曲がる場合に符号が+, 右に曲がる場合に符号が- とあります。」 とのことで少し気になったことがあります。 最初に載せましたサイトのphyのdθやdrの式は図の正の角度と座標から作られました。 正の角度と座標から作られた理由は曲線に進行方向を決めてから曲率を求める際に符号が付いた曲率を求めるためにわざとdθやdr正の角度と座標から作られということでしょうか？ っと思ったのですが、phyの式での二階微分は直線の二階微分であるため式自体は必ず正の値になるとわかりました。（θが鈍角だとして）負の曲率を求めるとしたら曲率にただマイナスの符号を付ければよいですね。 epiiの方は角度α、βからできた直線ではなくグラフ自体を二階微分してRの式に代入しているため曲率の正も負も表せるとわかりました。 私の考えは合っていますでしょうか？ No.59802 - 2019/07/11(Thu) 06:19:12 ☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃 >最初に載せましたサイトのphyのdθやdrの式は図の正の角度と座標から作られました。 根本的に間違っています。最初のサイトでは符号を考えていません。向きは適当に決めていると考えてください。「負の曲率」は求めるものではなくて、「このように座標系を決めるとこれこれの定義で定まる符号付き曲率は負になる」だけのことです。 ずいぶん「負の角度」にこだわっていますが、なんだか「マイナス1個のリンゴ」を探しているように見えます。 「負の角度」を考える前に、「負の距離」を考えたらどうですか。数直線上で -1 と 0 の距離は 1 ですが、0から-1への符号付き距離は-1とみることもできます。-1の距離があるわけではなくて原点から「正の向き」と反対に1だけ進むことですね。 一方、図形の問題でいろいろな図をかいても「ここはマイナスの距離」なんて意識することはありません。 例えば、△ABCの頂点AからBCに下した垂線の足をHとする、というときに、Hが線分BC上にあろうとも、線分BCの外にあろうとも、AHの長さといったら0か正の値です。ですが、仮にBを原点、Cを(1,0)とする座標系を導入すれば、Aのx座標が負ならHのx座標も負になります。このこととAHの長さがマイナスになることとは関係ありません（座標をどう入れようが長さは負になりません）。 このあたりのことをじっくり考えてから「負の角度」について考えてみてください。 No.59804 - 2019/07/11(Thu) 08:00:35 ☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42 間違った考えをしていまいすいません。 ＞＞「負の曲率」は求めるものではなくて、「このように座標系を決めるとこれこれの定義で定まる符号付き曲率は負になる」だけのことです。 とのことですが、 では、二つのサイトでの二階微分の部分に関してですが、 dy/dx=1/2だった場合、d^2y/dx^2は1/4を表すのでしょうか？そして、方向を定めることで曲率の符号が決まるということでしょうか？ ただ、いろいろ調べると曲率の正負はdθとdrによって決まるため二階微分は関係ないと書いてあったりと少し混乱しています。 No.59814 - 2019/07/11(Thu) 13:29:57 ☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42 phyの方のサイトでは画像の?@は+dθであるため、正の曲率しか導けないが、もう一つのサイトではβ-α=dθ(正)なのでβ>α、β<αの場合に よって正負の曲率の符号が表せるという事でしょうか？ No.59816 - 2019/07/11(Thu) 14:18:51 ☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42 あの後少し理解できてきました。 一つお聞きしたいのですが、曲率や曲率半径は負の存在しない図形的に、すなわち幾何学的に求めることはできないのでしょうか？ No.59834 - 2019/07/12(Fri) 04:30:35 ☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃 すみません、私の能力ではどう説明したらわかってもらえるかわかりません。 なので、これでおしまいにします。 　できる部分だけ答えるように努力はします。 >dy/dx=1/2だった場合、d^2y/dx^2は1/4 dy/dxが定数関数1/2 であれば、d^2y/dx^2=0 です。微分して定数ならもとの関数は直線で、曲率は0です。 y=(1/8)x^2 であれば2階微分は常に1/4です。(dy/dx)_x=a =1/2 というだけでは (dy^2/dx^2)/_x=a が何かはわかりません。 >いろいろ調べると 自分の頭で考えましょう。調べるなら、各サイトが何をいっているのか理解しないとダメです。 内容を把握し、自分で計算を追い（正しいことを自分の手で確かめる）、そして意味を考えるのです。 大学レベルになると小説のように読み流すだけでは決して理解できないことも多々あります。 このサイトを見てわからないから他のサイトを見る、といっても良心的なサイトならおそらく同じようなことが書いてあり、やっぱりわからないでしょう。 >曲率の正負はdθとdrによって決まるため二階微分は関係ない y=f(x)という形の曲線のdθ/drを求めるために、苦労して2階微分まで使って求めたのではないですか？ 最初から曲線の式がθとrで与えられていれば、d^2θ/dr^2 は必要ないでしょう。 >phyの方のサイトでは画像の?@は+dθであるため、正の曲率しか導けない 曲率が正になるようにθ、rの方向を決めたと考えてください（rが大きくなればθも大きくなるように決めてます）。 もう１つのサイトは、phyのような直観的な説明から y=f(x)の場合の曲率を計算し、その値を「符号付き曲率」と定義しています。 別に-dθは決めてませんが、rが大きくなるとθが小さくなる、と解釈して同様の計算をすれば負の値になるでしょう。 数学的には　θ=-t と置換して、tについて考えているだけですから。 >曲率や曲率半径は負の存在しない図形的に、すなわち幾何学的に求めることはできない 図形的に、の意味がわかりませんが、直観的でよければ、例えばx=a の近くに3点とって（もっと多くてもいいですが）、 その3点から等距離にある点（4点以上とったら4点からの距離の2乗和が最小になる点）が円の中心、くらいでいいのでは？ ＃直観的には極限操作が必要なので、一般の曲線で作図で求めるのは無理な気がします。 No.59835 - 2019/07/12(Fri) 10:13:24

★ (No Subject) / 竜胆

高校数学の質問です。 自分の極限操作が正しいか不安なので、 合っていれば、合っている、間違っていたら反例と、改善策を教えていただけませんか。 1. lim f(g(x))= f (lim g(x)) これは lim[x→∞]log(g(x))=log (lim[x→∞]g(x))という変形の際に生じた疑問です。この変形をしても、答えは合っていました。 2. lim (An-Bn)=0 かつ limAn=xならば、limBn=xである。 この考えはあっているか、 よろしくお願いします No.59719 - 2019/07/08(Mon) 18:09:22 ☆ Re: / らすかる 1 f(x)が連続関数ならば成り立ちます。 log(x)は連続関数なのでlimの外に出せます。 また、f(x)が連続関数でなくても xが十分大きいところで連続であれば （つまり「x＞Aで連続」を満たすAが存在すれば） 成り立ちます。 lim[x→α]の場合は、f(x)がx=αで連続であれば成り立ちます。 2 limc[n]=C, limd[n]=Dならばlim(c[n]+d[n])=C+D が成り立つことはご存知だと思いますが、 この式でc[n]=B[n]-A[n], d[n]=A[n]とおけば 同じことなので成り立ちます。 No.59720 - 2019/07/08(Mon) 18:58:38 ☆ Re: / 竜胆 ラスカルさん、ありがとうございます。 1の証明は大学範囲なのでしょうか？ このことは、大学入試の範囲で適用して良いのでしょうか？ (もっとも、解説は何の断りも無く使用していましたが…) 2について、もう一つ質問なのですが、 limAn=0又は∞となる時この考え方は使えますか？) 反例として、An=(-1)^n Bn=(-1)^n があると思うですが、 何か、limAn=0又は∞となる時は適用条件があるのでしょうか？ No.59734 - 2019/07/08(Mon) 21:23:36 ☆ Re: / らすかる > 1の証明は大学範囲なのでしょうか？ > このことは、大学入試の範囲で適用して良いのでしょうか？ 証明は大学範囲だと思いますが、 そもそもlimも厳密にはε-δ論法など必要なのを 高校では厳密な証明なく使っていますので、 それと同じ（厳密な証明抜きで使うことを許容されている）だと思います。 > 2について、もう一つ質問なのですが、 > limAn=0又は∞となる時この考え方は使えますか？) A[n]とB[n]の加減算ですから、limA[n]=0は特に問題なく使えます。 limA[n]=∞はダメです。 > 反例として、An=(-1)^n Bn=(-1)^n があると思うですが、 これは何の反例なのですか？ No.59741 - 2019/07/08(Mon) 22:55:52

★ 背理法 / 美雪

半径がR、rの2円O、O'が互いに外部にあるとき、これら2円に引いた折線の長さが等しい点Pの軌跡を求めよ。ただしR>rとする。 PからOO’に引いた垂線の足をHとします。 HO2乗-HO’2乗=R2乗-r2乗…(1) Hが円O内で、HO<Rとすれば、HO+HO’>R+rより、(1)に矛盾する という記述があるのですが、HO<Rだとどうして(1)に矛盾するのかわかりません。ここを解説していただけないでしょうか？よろしくお願いします。 No.59717 - 2019/07/08(Mon) 18:02:11 ☆ Re: 背理法 / らすかる HO＜RでHO+HO'＞R+rならばHO'＞rとなりますが、 そうなると(1)を変形したHO^2-R^2=HO'^2-r^2の 左辺が負、右辺が正となり矛盾しますね。 No.59725 - 2019/07/08(Mon) 19:50:24 ☆ Re: 背理法 / 美雪 ありがとうございました！ No.59784 - 2019/07/10(Wed) 16:47:01

★ (No Subject) / ゆい橋
この写真の下のほうの練習20(2)なのですが、なぜこの重要例題の(1)と同じように解くことはできないのですか？ No.59715 - 2019/07/08(Mon) 16:13:21 ☆ Re: / らすかる 立方体の場合は、最初に固定する色をどの面に塗っても全く同じなので 最初に固定する色を塗った面を「上面」、反対側を「下面」、 残りを「側面」と考えることができますが、 正三角柱の場合は塗る前から「底面」と「側面」の2種類の面がありますので、 最初に固定する色を底面に塗るか側面に塗るかでその後の計算が変わり、 同じ計算ではできませんね。 No.59724 - 2019/07/08(Mon) 19:31:51

★ テンソルとは / エクセター
文系素人的にですが・・・ある関数で、長さや角度を変えるベクトルがあるときに、その変化（関数）を、座標系に依存せずに（＝どんな座標系においても）成立させるための数学的表現が2階のテンソルであるという理解で、でOKでしょうか?　 No.59714 - 2019/07/08(Mon) 15:54:23

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