ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 整数の証明問題 / 美雪

nを2以上の整数とする。自然数のn乗になる数をn乗数と呼ぶことにする。連続するn個の自然数の積はn乗数ではないことを示せ。

背理法で示します。

連続するn個の自然数の積をNとして、N=m(m+1)(m+2)…(m+n-1)とします。mは自然数です。

Nはn乗数であると仮定します。明らかにmのn乗<N<(m+n-1)のn乗です。

そこで、N=(m+k)のn乗となるkが1≦k≦n-2にとれることになります。

m+kとm+k+1はともに2以上の自然数ですので、m+k+1の任意の素因数pとしますと、Nはpで割り切れることになりますが、この事実は次の理由でm+kとm+k+1が互いに素であることに矛盾します。

(m+k+1)-(m+k)=1ですので、m+kとm+k+1は互いに素です。

以上から、Nはn乗数ではありえません。

どこをどのように修正すれば正答になりますでしょうか。わかりやすく教えてください。

No.60982 - 2019/08/27(Tue) 10:26:06

☆ Re: 整数の証明問題 / らすかる

> 連続するn個の自然数の積をNとして、N=m(m+1)(m+2)…(m+n-1)とします。mは自然数です。
> Nはn乗数であると仮定します。明らかにmのn乗<N<(m+n-1)のn乗です。
> そこで、N=(m+k)のn乗となるkが1≦k≦n-2にとれることになります。

ここまではよいとして、この後は以下のようにするとよいと思います。

しかし、m+kとm+k+1は互いに素なのでN=(m+k)^nはm+k+1で割り切れず、
N=m(m+1)(m+2)…(m+n-1)と矛盾します。
従ってNはn乗数ではありません。

No.60983 - 2019/08/27(Tue) 14:54:23

☆ Re: 整数の証明問題 / 黄桃

個人的には元のままでもいいと思いますが、いずれにせよ、

n=2の場合にはこのようなkは取れない、つまり、矛盾となるから、以下 n>2 の場合を考える

という類のことは（重箱の隅ですが）述べておくべきでしょう。

No.60994 - 2019/08/27(Tue) 21:53:17

☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ

(私の改善案) できるだけ元の流れを残すとして

>明らかにmのn乗<N<(m+n-1)のn乗です。
あっても間違いではないですが「明らかに」は不要だと思います。時間と答案紙面のロスです。

>そこで、N=(m+k)のn乗となるkが1≦k≦n-2にとれることになります。

黄桃さんの指摘のとおりn=2のときのことを記述しないといけませんね。

>m+kとm+k+1はともに2以上の自然数ですので、m+k+1の任意の素因数pとしますと、Nはpで割り切れることになりますが、

→｢・・・・m+k+1の任意の素因数pとしますと、Nはpで割り切れ、
N=(m+k)^n なのでm+kがpで割り切れることになりますが｣

>この事実は次の理由でm+kとm+k+1が互いに素であることに矛盾します。
→「これは、m+kとm+k+1が互いに素であることに矛盾します。」

「この事実」は、事実ではないし、表現も重い感じがします。
「次の理由で」は、どこに掛かるか分かり難い。

>(m+k+1)-(m+k)=1ですので、m+kとm+k+1は互いに素です。
これは不要だと思います。

> どこをどのように修正すれば正答になりますでしょうか。
だれかに採点してもらい、「不正解」とされたのでしょうか？

＃国語の勉強ではないので数学的、論理的に正しければ良いですが、できるだけ紛れのないようスッキリ書かれるほうがいいと思います。

No.60997 - 2019/08/27(Tue) 22:41:17

☆ Re: 整数の証明問題 / 美雪

やはり最後の部分の記述が×の原因だったのですね。細かい部分の見落としもあったようですね。

三人の方々、ありがとうございました！

No.61016 - 2019/08/28(Wed) 20:25:59

☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ

明らかな間違いは、黄桃さん　ご指摘の部分かなと思いますが、
それでまったくの×（０点）ですか？　だとすると乱暴な採点ですね。

2012年の東大入試問題のようですね。

模試や通信添削などで採点者が答案を読み取る能力が低く、
模範解答と異なる解法や記述の場合、×にしてしまうこともあり得るでしょうね。
https://math.nakaken88.com/problem/tokyo-u-r-2012-4/2/

No.61017 - 2019/08/28(Wed) 20:43:57

☆ Re: 整数の証明問題 / 美雪

IT様が仰るよう、20点の配点で、0点でした(泣)

ちなみに上でもう1問質問させていただいてる問題も0点でした(大泣)

どこがどうまずいのかよくわからないです。

問題は学校の実力テストの問題です。

No.61049 - 2019/08/30(Fri) 02:17:13

☆ Re: 整数の証明問題 / ＩＴ

私なら20点中10点は付けると思いますが、
書き込んでおられるのとは異なる致命的なミスがあるのでは？（答案そのものを見ると分かるかもしれません）

どこが致命的なミスかは、採点した先生に確認するのが一番だと思います。

No.61052 - 2019/08/30(Fri) 07:13:09

★ 確率 / オリバー

この問題の(3)ですが、なにかスッキリとした解答はないものでしょうか？

No.60975 - 2019/08/26(Mon) 21:21:23

☆ Re: 確率 / オリバー

写真はどうやれば真っ直ぐに？

No.60976 - 2019/08/26(Mon) 21:23:52

☆ Re: 確率 / らすかる

制限がある動きだとなかなかスッキリ簡単には求まらないと思います。

4回振った後(2,2)にいるような目の組合せは
1回目が4の場合は残り3回が1,2,2でなければならない→1通り
1回目が5の場合は残り3回が2,2,2でなければならない→1通り
1回目が6の場合は残り3回が3,2,2でなければならない→1通り
1回目が1の場合に残り3回で(2,2)にいる組合せを考えると
(1,1,3,3)(1,2,3,2)(1,3,1,3)(1,3,2,1)(1,3,2,2)(1,3,2,3)
(1,3,3,1)(1,4,2,2)(1,5,3,2)の9通り
1回目が2の場合に残り3回で(2,2)にいる組合せを考えると
(2,1,1,3)(2,1,2,3)(2,1,3,1)(2,1,3,2)(2,1,3,3)(2,1,4,2)
(2,1,5,3)(2,2,1,1)(2,2,1,2)(2,2,1,3)(2,2,2,1)(2,2,2,2)
(2,2,2,3)(2,2,3,1)(2,2,3,2)(2,2,3,3)(2,2,4,1)(2,2,5,2)
(2,2,6,3)(2,3,1,1)(2,3,1,2)(2,3,1,3)(2,3,2,1)(2,3,3,1)
(2,3,5,1)(2,3,6,2)(2,4,1,2)(2,5,2,2)(2,6,3,2)の29通り
1回目が3の場合は1回目が1のときと同じなので9通り
よって全部で1+1+1+9+29+9=50通り
対称性から(-2,-2)も50通り
4回振った後(2,-2)にいるような目の組合せは4C2=6通り
対称性から(-2,2)も6通り
従って全部112通りなので、求める確率は112/6^4=7/81

No.60977 - 2019/08/26(Mon) 22:17:31

☆ Re: 確率 / オリバー

ありがとうございます。
とても参考になりました。

でも、こんなに整然と数えるのは難しそうです。

No.60979 - 2019/08/27(Tue) 00:35:08

☆ Re: 確率 / らすかる

ではスッキリしているわけではありませんが、こういうのはどうでしょうか。

4回振った後(2,2)にいるような目の組合せは
1回目が4の場合は残り3回が1,2,2でなければならない→1通り
1回目が5の場合は残り3回が2,2,2でなければならない→1通り
1回目が6の場合は残り3回が3,2,2でなければならない→1通り
(ここまでは上と同じ)
それ以外のとき
1回振った後(1,0),(0,1),(1,1)が1通りずつ
2回振った後は
(0,0)：(0,1),(1,1),(1,0)からくる1通りずつなので3通り
(1,0)：(1,1)から1通りと、(1,0)から動かないのが2通りで計3通り
(2,0)：(1,0)からくる1通り
(0,1)：対称性から(1,0)と同じく3通り
(1,1)：(1,0),(0,1)からくる2通り
(2,1)：(1,1)からくる1通り
(0,2)：対称性から(2,0)と同じく1通り
(1,2)：対称性から(2,1)と同じく1通り
(2,2)：(1,1)からくる1通り
他に(1,-1)と(-1,1)に行く2通りがありますが、
この2箇所は残り2回で(2,2)に到達できませんので除外します。
この除外分も合わせて3+3+1+3+2+1+1+1+1+2=18=3×6なので数え落としはありません。
そしてこの続きを考えると多くて面倒なので、
今度は終点から逆方向に考えます。
A(2,2)の一つ前は
(1,1),(2,1),(1,2)が1通りずつ、(2,2)が3通り
(3回目に(2,2)にいて1か2か3が出た場合の3通りという意味です)
よって二つ前は
(0,0)：(1,1)の前の1通り
(1,0)：(1,1)の前の1通り
(2,0)：(2,1)の前の1通り
(0,1)：対称性から(1,0)と同じく1通り
(1,1)：(2,1),(1,2)の前の2通りと(2,2)の前の1×3=3通りで計5通り
(2,1)：(1,1)の前の1通りと(2,1)から動かない3通りと(2,2)の前1×3=4通りで計8通り
(0,2)：対称性から(2,0)と同じく1通り
(1,2)：対称性から(2,1)と同じく8通り
(2,2)：(1,1),(2,1),(1,2)の前の1通りずつと(2,2)から動かない3×3通りで計10通り
検算：1+1+1+1+5+8+1+8+10=36=6×6なので数え落としなし
これで
前2回 (0,0)=3,(1,0)=3,(2,0)=1,(0,1)=3,(1,1)=2,(2,1)=1,(0,2)=1,(1,2)=1,(2,2)=1
後2回 (0,0)=1,(1,0)=1,(2,0)=1,(0,1)=1,(1,1)=5,(2,1)=8,(0,2)=1,(1,2)=8,(2,2)=10
となったので、それぞれを掛けて足せば
3×1+3×1+1×1+3×1+2×5+1×8+1×1+1×8+1×10=47通り
最初の3個を加えて50通り
対称性から(-2,-2)も50通り
4回振った後(2,-2)にいるような目の組合せは4C2=6通り
対称性から(-2,2)も6通り
従って全部112通りなので、求める確率は112/6^4=7/81

No.60981 - 2019/08/27(Tue) 03:11:22

☆ Re: 確率 / オリバー

ありがとうございました😊
とても安心して読むことができました。

No.60998 - 2019/08/27(Tue) 22:45:58

★ 解析学 / 解析学

二重積分について質問です。

解答は写真のようになるらしいのですが、領域Aについて疑問です。

青文字のようなｘ、ｙの範囲で答えを求めてはだめなのでしょうか？また、青文字の範囲がダメなのなら解答のような範囲で示す理由はなぜなのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

No.60970 - 2019/08/26(Mon) 14:10:50

☆ Re: 解析学 / nyaa

初心者でわかりづらいかもしれないですが、回答させていただきます。

まず領域Aですが、原点中心で半径1の円内部を示しているのは大丈夫でしょうか？
質問者さんの示した領域では、四角形でもOKになってしまいませんか？
つまりxの値が変化したとき、yの値も変化するわけなのですが、円なのでx=0の時はyは
-1<=y<=1
の範囲で動くことができますよね。
ですが、x=1のとき（x=-1も同様ですが)
y=0になるはずです。

では、x=0.5のときはどの範囲で動けるでしょうか？
それが青線で囲まれているときの範囲で表せるということです。

No.60971 - 2019/08/26(Mon) 15:07:44

★ 線形写像 / meow

以前のリベンジをお願いしたいです。

(1)
縦ベクトルを横で示します。
f(e1) = (1/2,1/2,0)
f(e2) = (1/2,1/2,0)
f(e3) = (0,0,1)
xy平面で図示した際に、y=xへ写すような変換を考える。という認識でよろしいでしょうか。

(2)
{{1/2,1/2,0},{1/2,1/2,0},{0,0,1}}

(3)
<(1,1,0),(0,0,1)>

(4)
(-1,1,0)

No.60968 - 2019/08/26(Mon) 12:27:29

☆ Re: 線形写像 / 黄桃

とりあえずいえることは、答は合っています、です。

ただ、
> xy平面で図示した際に、y=xへ写すような変換を考える。という認識
がどういう認識だか私にはさっぱりわかりませんので、よろしいかどうかはわかりません。

＃例えば、平面の方程式が x-y+z=0 でも同じ答になるのなら、
＃その認識は誤りです。

なお、普通の記述式テストであれば、答だけでは点数はもらえません。

No.60995 - 2019/08/27(Tue) 21:57:41

☆ Re: 線形写像 / meow

毎度回答ありがとうございます。

平面Lをxyz空間のz軸正の方向から見たとき、(xy平面としてみたとき)y=xに写すような変換を考えれば良いという認識なのですが...
誤っているでしょうか。

No.60999 - 2019/08/27(Tue) 22:47:00

☆ Re: 線形写像 / ast

例えば f(e_3) が (0,0,0) ではなく (0,0,1) = e_3 であることの理由をその図を使って説明できますか?

No.61004 - 2019/08/28(Wed) 05:01:31

☆ Re: 線形写像 / 黄桃

>普通の記述式テストであれば、答だけでは点数はもらえません。

言い方を変えます。
数学の答案を書くということは、きちんと理由を述べることです。
私はこう思う、誤っていますか？と書かれても、なぜそれが正しいと思うのか（なぜその認識が問題に書かれている射影になるのか）説明してない以上、本人がいいならいいんではないですか、としかいいようがありません。

＃根拠が書かれていれば、それが誤りかどうかは議論できます。

No.61005 - 2019/08/28(Wed) 08:55:50

☆ Re: 線形写像 / GandB

　とりあえずは(1)を導いた過程を知りたい。解法は前回のスレで ast さんが明記している。

　あと平面Lは工夫次第で簡単に描けると思うが。

No.61014 - 2019/08/28(Wed) 18:54:46

★ 解析学 / 解析学

解答が収まりが悪く、方針はあっているとは思いますが、正答なのかわかりません。

よろしくお願いいたします。

No.60965 - 2019/08/26(Mon) 07:22:54

☆ Re: 解析学 / らすかる

2行目→3行目の(3x+2)/√2の微分が間違っています。
分数の微分公式を使った場合は分子の第2項は0ですので
3√2/2となりますが、
そもそも(3x+2)/√2はxの一次式で
(3x+2)/√2=(3/√2)x+√2ですから、
微分すると3/√2=3√2/2であることはただちにわかります。

また、もし3行目の右項が合っていたとしても
3行目→4行目の変形も違います。
3行目の右項の分子の最後の部分の 1/2・2^(-1/2)=1/(2√2)を
消すために分子分母に2√2を掛けているようですが、
3√2にも掛けないといけません。
つまり
{3√2-(3x+2)・(1/2)・2^(-1/2)}/2
={12-(3x+2)}/(4√2)
となります。
（しかし3行目が既に違いますのでこの計算は不要です）

答え合わせは↓こちらのサイトで出来ます。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%29%28acos%28%283x%2B2%29%2Fsqrt%282%29%29%29

No.60966 - 2019/08/26(Mon) 07:59:52

☆ Re: 解析学 / 解析学

ラスカル様
何度も計算してやっと正答までたどり着くことができました！

ご指摘と答え合わせのサイトを教えていただきありがとうございます。

No.60969 - 2019/08/26(Mon) 14:02:16

★ 数a 約数の個数と総和 / health-p

練習8 の正の約数の和と1400の正の約数のうちの偶数の個数が解答を見てもあまり分かりません。教えてください。お願いします。答えはそれぞれ 3720 と 18 です。

No.60951 - 2019/08/25(Sun) 22:20:24

☆ Re: 数a 約数の個数と総和 / ＩＴ

「解答」とは、計算過程も書いてあるのですよね？
その「解答」を見ないとそれより分かり易く説明できるかどうか分かりません。

その「解答」のどこまでは分かって　どこが分からないかを明確にされると有効な回答が付きやすいと思います。

No.60952 - 2019/08/25(Sun) 22:24:25

☆ Re: 数a 約数の個数と総和 / らすかる

このような基本的な事項は、掲示板で1人2人に回答を貰うよりも検索した方がいいです。
「約数の和」とか「約数の個数」で検索すれば詳しく解説しているページが
いくらでも見つかりますので、自分が理解しやすい説明を探せます。

No.60953 - 2019/08/25(Sun) 22:43:30

☆ Re: 数a 約数の個数と総和 / health-p

すいません。
それでは1400の正の約数のうちの偶数の数を答える問題の模範解答で写真で線を引いている所が分からず、それから先も分かりません。

No.60955 - 2019/08/25(Sun) 22:48:59

☆ Re: 数a 約数の個数と総和 / health-p

らすかるさんその通りです。自分で見つけます。ありがとうございます！

No.60956 - 2019/08/25(Sun) 22:52:09

☆ Re: 数a 約数の個数と総和 / らすかる

「1400の正の約数で偶数であるもの」
＝「700の正の約数」×2
ですから、求める個数は700の約数の個数と同じです。

No.60957 - 2019/08/25(Sun) 22:52:40

☆ Re: 数a 約数の個数と総和 / ＩＴ

＞1400の正の約数のうちの偶数の数を答える問題の模範解答で写真で線を引いている所が分からず、

1400＝(2^3)(5^2)(7^1) の正の約数は
(2^a)(5^b)(7^c)(a=0,1,2,3;b=0,1,2;c=0,1)と表すことができる。

も分かりませんか？

No.60964 - 2019/08/26(Mon) 07:17:05

☆ Re: 数a 約数の個数と総和 / health-p

それは分かります。

No.60967 - 2019/08/26(Mon) 08:44:28

☆ Re: 数a 約数の個数と総和 / ＩＴ

> それは分かります。
だとすると、もう少し考えれば､[模範解答で写真で線を引いている所]も分かると思います。

念のため　2^0、2^1はいくらか分かりますか?

(2^a)(5^b)(7^c)(a=0,1,2,3;b=0,1,2;c=0,1)
が　具体的なa,b,c の値でどうなるか（特に偶数になるのはどういうときで、奇数になるのはどういうときか）　いくつか調べてみると良いかも知れません。　

No.60972 - 2019/08/26(Mon) 18:36:03

☆ Re: 数a 約数の個数と総和 / health-p

ありがとうございます。やっとどういうことか分かりました。

No.60973 - 2019/08/26(Mon) 19:07:34

★ 確率 / Qちゃん

座標平面上でx座標とy座標がいずれも整数である点を格子点という。格子点上を次の規則に従って動く点Pを考える。

(1)最初に、点Pは原点Oにある。

(2)ある時刻で点Pが格子点(m,n)にあるとき、その1秒後の点Pの位置は、隣接する格子点(m+1,n)、(m,n+1)、(m-1,n)、(m,n-1)のいずれかであり、また、これらの点に移動する確率は、それぞれ1/4である。

点Pが、最初から2k秒後に直線y=x上にある確率を求めよ。ただし、kは3以上の整数とする。

(k,k)にいる確率、(k-1,k-1)にいる確率、(k-2,k-2)にいる確率、…などを求めて和を取るのだとは思いますが、規則性が見えず、よくわからないのです。よろしくお願いします。

No.60950 - 2019/08/25(Sun) 21:35:07

☆ Re: 確率 / らすかる

(k,k)にいる確率、(k-1,k-1)にいる確率、…のように考えると
場合が多くて大変ですので、単純化します。
直線y=x+tのうちPがある直線のtを考えます。
Pが原点にあるとき、t=0です。
y=x+t上にいて(m,n)から(m+1,n)または(m,n-1)に動いた時、
y=x+(t-1)上に移動します。
またy=x+t上にいて(m,n)から(m,n+1)または(m-1,n)に動いた時、
y=x+(t+1)上に移動します。
つまり1秒ごとにtが増える確率が1/2、減る確率が1/2です。
2k秒後にy=x上にいるためにはtが増えた回数と減った回数が同じ
すなわちk回ずつであればよいので、
求める確率は(2k)C(k)・(1/2)^k・(1/2)^k=(2k)C(k)/2^(2k)
となります。

No.60954 - 2019/08/25(Sun) 22:48:27

☆ Re: 確率 / Qちゃん

解説をしてくださって、ありがとうございました。とてもよくわかりました。またしても鮮やかな解法ですね。

No.60984 - 2019/08/27(Tue) 16:25:36

★ 数a 確率 / health-p

練習40 の問題を解きました。記述が合っているか見てください。お願いします。模範解答を次に送りますが模範解答の方で解いた方がいいですか？

No.60939 - 2019/08/25(Sun) 16:28:13

☆ Re: 数a 確率 / X

計算方針に問題はありません。
敢えて付け加えるとすれば
和が8,積が12
である2数の計算を二次方程式で
詰めておくという点です。

又、模範解答の通りではなくても
問題はありません。

No.60942 - 2019/08/25(Sun) 16:38:33

☆ Re: 数a 確率 / ＩＴ

横から失礼します。
赤玉（の個数）と白玉（の個数）の積が１２になる必要がある。のはなぜかは、もう少し記述した方が良いと思います。

No.60943 - 2019/08/25(Sun) 19:23:46

☆ Re: 数a 確率 / health-p

ありがとうございます！ちなみにどう記述をしたらいいですか？

No.60948 - 2019/08/25(Sun) 20:40:20

☆ Re: 数a 確率 / ＩＴ

すべての場合は、・・・２８通り。
このうち赤玉と白玉が１個ずつなのは、（赤玉の個数×白玉の個数）　通り。

・・・・

などと書けば良いと思います。

「赤玉の個数」、「白玉の個数」が何回も出てくるなら
模範解答と同様に「赤玉の個数」＝ｎ、「白玉の個数」＝ｍなどとおいた方が良いかも知れません。

No.60949 - 2019/08/25(Sun) 21:01:42

★ (No Subject) / い

(2)についてなんですがC1とC2は並列とみなせると思ったのですが
解答は直列で解いていました。
並列とはみなせないですか？

No.60918 - 2019/08/25(Sun) 04:21:47

☆ Re: / い

問題です

No.60919 - 2019/08/25(Sun) 04:22:24

☆ Re: / ＩＴ

並列とはみなせないです。

問題文をよく読んで,図から不要な部分（電池E1など）を除いて考えるといいと思います。

それでも分からないなら、
コンデンサーの基本を再確認されることをお勧めします。

No.60922 - 2019/08/25(Sun) 08:19:17

☆ Re: / い

> 並列とはみなせないです。
>
> 問題文をよく読んで,図から不要な部分（電池E1など）を除いて考えるといいと思います。
>
> それでも分からないなら、
> コンデンサーの基本を再確認されることをお勧めします。

S1を閉じてから開いていてC1に電荷があるので直列とはみなせないと思うのですが？

No.60958 - 2019/08/26(Mon) 01:30:18

☆ Re: / ＩＴ

根本的な誤解があるようです。私は、掲示板の質疑応答でその誤解を解くことはできそうにありません。

直列と並列についてテキストなどで確認されることをお勧めします。

No.60974 - 2019/08/26(Mon) 20:22:20

★ (No Subject) / い

なぜC4に加わる電圧が最大とわかるのでしょうか？

No.60914 - 2019/08/24(Sat) 22:49:14

☆ Re: / い

画像を忘れてました

No.60915 - 2019/08/24(Sat) 22:49:44

☆ Re: / X

問題文をアップして下さい。
解説だけでは問題文の内容が分かりません。

No.60928 - 2019/08/25(Sun) 09:26:57

☆ Re: / い

> 問題文をアップして下さい。
> 解説だけでは問題文の内容が分かりません。

No.60959 - 2019/08/26(Mon) 01:32:10

☆ Re: / い

> > 問題文をアップして下さい。
> > 解説だけでは問題文の内容が分かりません。

お願いします！

No.60960 - 2019/08/26(Mon) 01:33:07

☆ Re: / X

とりあえずコンデンサーの耐電圧の話を脇に置いて、
C[1],C[2],C[3],C[4]にかかる電圧の大小関係を
考えると、(2)の結果から電源電圧Eの大きさによらず
C[4]にかかる電圧が最も大きくなる、ということは
よろしいですか？

納得いかないのであれば、(2)における
V[1],V[2],V[3],V[4]
の値の計算を電源電圧が
E=6[V]
のときではなくて、単にE
という条件で計算してみましょう。

No.60963 - 2019/08/26(Mon) 04:55:16