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★ (No Subject) / Jordan
(1)
x,yの関数 f(x,y)において、f(x,y)= ー f(x,y) を満たすとき、
f(x,y)は(x-y)で割り切れることを示せ。

(2)
x,y,zの関数 f(x,y,z)において、f(x,y,z)= ー f(x,y,z) を満たすとき、
f(x,y,z)は(x-y)(y-z)(z-x)で割り切れることを示せ。
No.60648 - 2019/08/14(Wed) 18:45:46
☆ Re: / Jordan
関数と打ってしまいましたが、整式 (多項式)の間違いです。

どなたかお願いします
No.60649 - 2019/08/14(Wed) 18:47:04
☆ Re: / らすかる
問題が正しくないと思いますが、もし正しいのであれば
(1)
f(x,y)=-f(x,y)ならば
両辺にf(x,y)を足して2f(x,y)=0
よってf(x,y)=0なので何でも割り切れる。
(2)
f(x,y,z)=-f(x,y,z)ならば
両辺にf(x,y,z)を足して2f(x,y,z)=0
よってf(x,y,z)=0なので何でも割り切れる。

# この問題なら関数が整式という条件がなくても成り立ちます。
No.60656 - 2019/08/14(Wed) 20:24:04
☆ Re: / Jordan
ラスカルさん、ありがとうございます。
問題を、打ち間違えていました。
正しくは、
f(x,y)= ー f(x,y) → f(x,y)= ー f(y,x)

f(x,y,z)= ー f(x,y,z) → f(x,z,y)= ー f(x,y,z) , ー f(z,y,x)
などのxyzのうち2つを任意に入れ替えたもの
でした。

申し訳ありません
No.60660 - 2019/08/14(Wed) 21:42:41
☆ Re: / ＩＴ
(1) 下記に同じ問題の質疑応答があります。参考にどうぞ。
https://math.stackexchange.com/questions/3300430/how-do-i-prove-an-antisymetrical-polynomial-fx-y-is-divisible-by-x-y
No.60689 - 2019/08/15(Thu) 21:02:55
★ ベクトル面積分 / かい
以前質問したとき(8月4日)
誤植があると仰っていましたが、なぜ誤植とわかるのでしょうか？
No.60647 - 2019/08/14(Wed) 17:05:33
☆ Re: ベクトル面積分 / X
ヒントの内容との不整合が理由です。
問題文の面積分の等式では両辺共に
↑nに対する外積が使われていますが
ヒントの式は↑nに対する内積に
なっており、問題文が正しいとすると
ヒントの意味がありません。
No.60664 - 2019/08/14(Wed) 23:13:26
☆ Re: ベクトル面積分 / かい
ではヒントがなかったとしたらどうやって解くのでしょうか？
No.60669 - 2019/08/14(Wed) 23:52:30
☆ Re: ベクトル面積分 / X
面積分は計算結果がスカラーで定義されるものであり、
問題の等式は、計算結果がベクトルになっている点で
誤植と見ます。
(少なくとも私は計算結果がベクトルとなる
面積分は聞いたことがありません。)
No.60675 - 2019/08/15(Thu) 10:52:21
☆ Re: ベクトル面積分 / GandB
　空間ベクトル場における面積分は内積の積分が一番ポピュラーだが、以下のような定義もあるにはある。
（サイエンス社　演習ベクトル解析より）
　定義にしたがってひたすら計算すればよい（笑）。
No.60677 - 2019/08/15(Thu) 12:58:49
☆ Re: ベクトル面積分 / かい
参考書には面積分の答えがベクトルになるものもありました…
誤植ではないということですか？？
No.60699 - 2019/08/15(Thu) 23:51:38
☆ Re: ベクトル面積分 / GandB
　いや、誤植だろう。Xさんの指摘通りヒントの意味がないのだから。
　参考書にも説明があるのであれば、両方計算してみればいい。
No.60702 - 2019/08/16(Fri) 00:51:50
☆ Re: ベクトル面積分 / かい
大学院入試の問題で答えがないのですが、答えを出してもらうことは可能でしょうか？
No.60705 - 2019/08/16(Fri) 01:49:27
☆ Re: ベクトル面積分 / X
外積と解釈した場合は以下の通りです。
(↑i,↑j,↑kの代わりに成分表示で
計算しています。)

条件から
x=4cosθ
y=4sinθ
(0≦θ≦π/2)
と置くことができ
↑f=(z+(4sinθ)^2,2(4cosθ-2)・4sinθ,(4cosθ)^2)
=16(z/16+(sinθ)^2,(2cosθ-1)sinθ,(cosθ)^2)
↑n=(cosθ,sinθ,0)
∴↑f×↑n=16(-sinθ(cosθ)^2,(cosθ)^3,{z/16+(sinθ)^2}sinθ-(2cosθ-1)sinθcosθ)
一方
dS=4dθdz
以上から
∬[F](↑f×↑n)dS=64∫[θ:0→π/2]∫[z:0→3](-sinθ(cosθ)^2,(cosθ)^3,{z/16+(sinθ)^2}sinθ-(2cosθ-1)sinθcosθ)dzdθ
=192∫[θ:0→π/2](-sinθ(cosθ)^2,(cosθ)^3,{3/32+(sinθ)^2}sinθ-(2cosθ-1)sinθcosθ)dθ
=192∫[θ:0→π/2](-sinθ(1+cos2θ)/2,(cosθ)(1+cos2θ)/2,{3/32+(1-cos2θ)/2}sinθ-(1/2)(2cosθ-1)sin2θ)dθ
=96∫[θ:0→π/2](-(sinθ+sinθcos2θ),cosθ+cosθcos2θ,(3/16)sinθ+sinθ-sinθcos2θ-2sin2θcosθ+sin2θ)dθ
=96∫[θ:0→π/2](-(sinθ+(1/2)(sin3θ-sinθ)),cosθ+(1/2)(cos3θ+cosθ),(19/16)sinθ+(1/2)(sin3θ-sinθ)-sin3θ-sinθ+sin2θ)dθ
=96∫[θ:0→π/2](-(1/2)(sin3θ+sinθ),(1/2)(cos3θ+3cosθ),-(5/16)sinθ-(1/2)sin3θ+sin2θ)dθ
=48[((1/3)cos3θ+cosθ,(1/3)sin3θ+3sinθ,(5/8)cosθ+(1/3)cos3θ-cos2θ)][θ:0→π/2]
=48(-4/3,8/3,-5/8-1/3+1)
=16(-4,8,-15/8-1+3)
=16(-4,8,1/8)
=(-64,128,2)
(ざっと計算しただけなので、どこかに間違いがあるかもしれません。)
No.60719 - 2019/08/16(Fri) 21:57:19
★ (No Subject) / 夏
40‼を1の位から順にみて最初に現れる0以外の数字は(？）である

答は2らしんですけど模範解答がなくて困っています。解説よろしくお願いします
No.60644 - 2019/08/14(Wed) 12:51:47
☆ Re: / らすかる
40!!を1の位から順にみて最初に現れる0以外の数字は、
2ではなく4です。
問題が40!!ならば答えは4
問題が40!ならば答えは2
ですが、正しい問題はどちらですか？
No.60646 - 2019/08/14(Wed) 12:59:42
☆ Re: / 夏
40！(ビックリマークが一つ）です。どうやって求めるんですか？
No.60665 - 2019/08/14(Wed) 23:38:33
☆ Re: / らすかる
40!に含まれる素因数2の個数は
40÷2=20
20÷2=10
10÷2=5
5÷2=2…1
2÷2=1
20+10+5+2+1=38個
のように求められるのは既知とします。
同様に求めると
3は18個、5は9個、7は5個、11と13は3個、17と19は2個、23,29,31,37が各々1個
となりますので、
40!=2^38×3^18×5^9×7^5×11^3×13^3×17^2×19^2×23×29×31×37
とわかります。
5の指数が9ですから、末尾に0が9個付き、それを取り除くと
40!/10^9=2^29×3^18×7^5×11^3×13^3×17^2×19^2×23×29×31×37
となります。
これの一の位を求めればいいですね。
一の位ですから、十の位は関係ありませんので
2^29×3^18×7^5×1^3×3^3×7^2×9^2×3×9×1×7
=2^29×3^28×7^8
の一の位を求めれば良いことになります。
3^4=81、7^4=2401なので
2^29×3^28×7^8
=2^29×(3^4)^7×(7^4)^2
=2^29×81^7×2401^2
となり、結局2^29の一の位と同じです。
2^1,2^2,2^3,2^4,…の一の位は
2,4,8,6,2,4,8,6,…となることから
2^29の一の位は2とわかり、
結局問題の答えが2となります。
No.60670 - 2019/08/15(Thu) 01:11:15
☆ Re: / らすかる
別解
素因数分解せずにいろいろ工夫して計算することもできますね。
基本的に
・まず10^nで割って10で割り切れない値にする
・1の位を取り出して掛ける
という処理で良いのですが、
一の位が1,3,7,9の数は素因数2,5と関係ありませんので、
10^nで割る処理より前に以下の処理ができます。
・一の位が1である数はすべて削除できる
・3×7の一の位が1なので、一の位が3である数と7である数をペアで削除できる
・9×9の一の位が1なので、一の位が9である数を偶数個削除できる
また、10の倍数は最初から10で割ってOKです。
まずこれらの処理を行うと
40!=1×2×3×…×40
↓
2×4×5×6×8×12×14×15×16×18×2×22×24×25×26×28×3×32×34×35×36×38×4
5×15×25×35が5^5で割り切れるので
5で割れるものは割るとともに二つある2を削除、22→11、4を1個削除して
6×8×12×14×3×16×18×11×24×26×28×3×32×34×7×36×38×4
一の位だけにして
6×8×2×4×3×6×8×4×6×8×3×2×4×7×6×8×4
6×6=36から6は1個残して他をすべて削除できるが
6が1個あれば掛けて一の位が6になる2×3、4×4、8×8×8×8も削除できるので
6×7=42
が残って答えは2
No.60672 - 2019/08/15(Thu) 02:35:00
★ 極限 / 佐方
極限の計算で、分母と分子を別々のタイミングで無限大に飛ばすことは許されるのでしょうか？また、ダメだとしたらなぜだめなのでしょうか？
お教えください<(_ _)>
No.60643 - 2019/08/14(Wed) 11:12:38
☆ Re: 極限 / らすかる
例えば lim[n→∞]{2・2^n/2^n} で
分母を先に無限大に飛ばすと
lim[n→∞]{2・2^n/2^n}={lim[n→∞]{2・2^n}}/∞=0
分子を先に無限大に飛ばすと
lim[n→∞]{2・2^n/2^n}=∞/{lim[n→∞]2^n}=∞
同時に飛ばすと
lim[n→∞]{2・2^n/2^n}=2
のように値が異なったり収束しなくなったりしますので、ダメです。

というよりも、そもそも
lim[n→∞]f(n)/g(n) の意味は
f(1)/g(1),f(2)/g(2),f(3)/g(3),…と続けた時の極限（ただし1からとは限らない）
という意味ですから、分子分母のnは同時に進めなければいけません。
No.60645 - 2019/08/14(Wed) 12:56:44
★ 数3 平均値の定理について / 受験生
問　f(x)=1/(1＋e^(-x))
(1)f'(x)の最大値を求めよ
(2)方程式f(x)=xはただ1つの実数解を持つことを示せ。
(3)漸化式a[n＋1]=f(a[n])(n=1,2,3...)で与えられる数列
{a[n]}は、初項a1によらず収束し、その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ。

(2)までは解けたのですが、(3)をどのように示したらいいのかが分かりません。よろしくお願いします。
ちなみに(1)の答えは1/4です。
No.60638 - 2019/08/13(Tue) 23:39:50
☆ Re: 数3 平均値の定理について / X
(2)の結果により
方程式f(x)=xの解としてx=αを考えると
α=f(α) (A)
∴a[n+1]=f(a[n])
から(A)を引くと
a[n+1]-α=f(a[n])-f(α) (B)
さて、平均値の定理により
f(a[n])-f(α)=f'(c)(a[n]-α) (C)
(但しcは
a[n]＜αのときa[n]＜c＜α
a[n]＞αのときa[n]＞c＞α)
なるcが存在し、(B)(C)より
a[n+1]-α=f'(c)(a[n]-α)
∴|a[n+1]-α|=f'(c)|a[n]-α|
((∵)(1)の過程からf'(x)＞0)
∴(1)の結果から
|a[n+1]-α|≦(1/4)|a[n]-α|
となるので
0＜|a[n]-α|≦{(1/4)^(n-1)}|a[1]-α|
∴はさみうちの原理により
lim[n→∞]|a[n]-α|=0
となるので問題の命題は成立します。
No.60639 - 2019/08/14(Wed) 00:11:08
☆ Re: 数3 平均値の定理について / 受験生
返信ありがとうございます。　
a[n]=αとなるときは平均値の定理を使えないと思うのですが、この時lim[n→∞]a[n]=αはどのようにしたら示せるでしょうか。夜分遅くですがよろしくお願いします。
No.60640 - 2019/08/14(Wed) 00:56:30
☆ Re: 数3 平均値の定理について / らすかる
f(α)=αなので
a[n]=αならばa[n+1]=f(a[n])=αですから
k≧nであるすべてのkに対してa[k]=αとなります。
ただし、a[n]＞αならばa[n+1]＞α、
a[n]＜αならばa[n+1]＜αなので、
a[1]≠αのときにあるnでa[n]=αとなることはありません。
No.60641 - 2019/08/14(Wed) 05:31:50
★ 最小値 / 美雪
xy平面上、x座標、y座標がともに整数となる点(m,n)を格子点と呼ぶ。各格子点を中心として半径rの円が描かれており、傾き2/5の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという。このような性質をもつ実数rの最小値を求めよ。

傾き2/5の直線をL：2x-5y-k=0とします。問題文から、kは任意の実数です。

Lが(m,n)を中心とする半径rの円と共有点をもつという条件から、

│2m-5n-k│/√29≦r

が成り立ちます。2m-5nはN=2・3N-5Nが成り立つことから、整数全体を表します。そこで、2m-5n=N(Nは全ての整数)とおきます。

任意の実数kに対して、│N-k│/√29≦rが成り立つようなrの最小値を求めるのですから、任意の実数kに対して、│N-k│の最大値を求めるということなのだと思いますが、ここから先が全然わからないです。kが任意なら絶対値はいくらでも大きくなるので、最大値は存在しないように思います。途中がおかしいのかもしれません。

わかりやすく教えてください。
No.60632 - 2019/08/13(Tue) 11:30:11
☆ Re: 最小値 / らすかる
Nは任意の整数がとれるわけですから
|N-k|/√29≦rの左辺のNはkに最も近い整数をとって
この不等式を満たせばよいということです。
Nをkに最も近い整数とすれば|N-k|≦1/2なので、
(√29)r=1/2すなわちr=1/(2√29)であれば条件を満たしますね。
No.60636 - 2019/08/13(Tue) 13:04:42
☆ Re: 最小値 / らすかる
ちなみに、各格子点に半径1/(2√29)の円を描いて
円に接する傾き2/5の直線を描くと、この図のようになります。
これを見ると、r＜1/(2√29)のときに共有点を持たない直線が引ける
ことが実感できますね。
No.60637 - 2019/08/13(Tue) 19:49:18
☆ Re: 最小値 / 黄桃
答に関してはらすかるさんの書かれている通りですので、「ここから先」の説明をします。

>任意の実数kに対して、│N-k│/√29≦rが成り立つようなrの最小値を求める
が不正確です。らすかるさんがかいているように、
kに応じて（kは直線に対応するから、直線を決めるごとに)Nを変えてよい(その直線に一番近い点は変えてよい）、
ということが書かれていません。

正確には次のようになります：
0以上の実数rに関する条件「すべての実数kに対して、kに応じて整数Nを選べば　│N-k│/√29≦rが成り立つ」
をみたす最小のrを求める。

この条件を分析します。「すべてのk」が難しくしている元なので、まず、kを定数として考えてみます（直線を1本決めてみる、ということ）。
すると、「整数Nを選べば　│N-k│/√29≦rが成り立つ」ような0以上の実数rに関する条件を考えることになります。
これは要するに、直線2x-5y-k=0と、それに一番近い格子点までの距離をR(k)とすれば、r≧R(k)ということです。

例えば、k=0の時は、N=0とすれば、│N-k│/√29=0 とできる(2x-5y=0は格子点を通る）ので、rは0以上ならなんでもよい、ことになりますから、R(0)=0です。
r=1/3 であれば、1/3に一番近い整数は0なので、│N-k│/√29は一番小さくて 1/(3√29)。
よって、rがこれ以上ならOK、つまり、R(1/3)=1/(3√29)です。

すると、k=0,k=1/3 の時どちらの場合でも交わる条件は、r≧R(0) と r≧R(1/3)　の共通部分(この場合は、r≧1/(3√29)) です。

以上をふまえれば、
「すべての実数kに対して、kに応じて整数Nを選べば　│N-k│/√29≦rが成り立つ」ようなrの条件は、
「すべての実数kに対して、r≧R(k)」となるようなrの条件であり、
これは結局 r≧[R(k)の最大値]、です。
これを満たす最小のrはもちろん、[R(k)の最大値]であり、これは (N,kを動かしたときの)│N-k│/√29 の最大値ではありません。

＃R(k)の|N-k| の部分を最小にするNは、Nが kに一番近い整数の時なので、
＃kの小数部分だけが問題で、整数と一番遠くなるのは、小数部分が 0.5の時です。
＃つまり、R(k)の最大値はR(1/2)(=R(1.5)=R(2.5)=...)と等しい、ということです。
No.60642 - 2019/08/14(Wed) 09:08:45
☆ Re: 最小値 / 美雪
らすかる様　黄桃様

失礼します。

kに応じてNを適当に取ったとき、│N-k│が取りうる最大値。

k=0.2ならN=0をとれば、│N-k│は0.2

k=1.4ならN=1をとれば、│N-k│は0.4

k=2.6ならN=3をとれば、│N-k│は0.4

k=3.8ならN=4をとれば、│N-k│は0.2

・
・
・

このようにkに応じて近い整数をとったのが│N-k│であり、すると、

k=M+0.5(Mは整数)のとき、│N-k│はN=M、M+1のとき0.5で、kがこれ以外のときはkに近い方の整数が存在し、│N-k│は0.5より小さくなるので、│N-k│は最大値が0.5になる、ということでしょうか？
No.60650 - 2019/08/14(Wed) 18:50:06
☆ Re: 最小値 / らすかる
その通りです。
No.60654 - 2019/08/14(Wed) 20:08:40
☆ Re: 最小値 / 美雪
ありがとうございました！今回もとてもわかりやすかったです！
No.60666 - 2019/08/14(Wed) 23:44:00
★ 解答がわからん！ / 蘭
この問題を見てください。

例題2です。

この、私が赤で下線を引いてるt^(n-1)が(3x)^n/nになる理由がわかりません。どーやって解いたのかわからないです。

教えてください。
毎回ごめんなさい。
No.60627 - 2019/08/13(Tue) 10:13:40
☆ Re: 解答がわからん！ / 蘭
間違えました。例題3でした。
No.60628 - 2019/08/13(Tue) 10:15:31
☆ Re: 解答がわからん！ / 蘭
解答です。
No.60629 - 2019/08/13(Tue) 10:16:08
☆ Re: 解答がわからん！ / 蘭
一応答えです。
No.60630 - 2019/08/13(Tue) 10:16:43
☆ Re: 解答がわからん！ / 蘭
t^nにt=3xを代入したとすれば、?@の最高次の項については、

n(n-1) a[n] 3^n=54a[n]x^n ？いや、積分してるから左辺の次数をあげなきゃ？？ん？だ感じで行き詰ってます。
よろしくお願いします。
No.60631 - 2019/08/13(Tue) 10:21:33
☆ Re: 解答がわからん！ / らすかる
(t-1)f''(t)=n(n-1)a[n]t^(n-1)+…なので
∫(t-1)f''(t)dt=n(n-1)a[n]t^n/n+…+C
∫[0〜3x](t-1)f''(t)dt=n(n-1)a[n](3x)^n/n+…
となりますね。
No.60635 - 2019/08/13(Tue) 12:57:06
★ (No Subject) / さとう
あと一つ質問があります。宜しくお願います。解答はaらしいのですが、どうやって求めるのか？理由？が分かりません。お時間あればまた教えて頂けると有り難いです。
No.60626 - 2019/08/13(Tue) 10:13:35
☆ Re: / らすかる
(a-b)+(b-c)+(c-d)+(d-a)=0なので
a-b＞b-c＞c-d＞d-a≧0 または
0≧a-b＞b-c＞c-d＞d-a とすると矛盾。
従ってa-b＞0,d-a＜0すなわちa＞b,a＞d
もしb-c≧0ならばa＞b≧c,a＞dとなるのでaが最大
もしb-c＜0ならばb-c＞c-dからc-d＜0なので
a＞b,a＞d＞cとなりaが最大
よっていずれにしてもaが最大。
No.60633 - 2019/08/13(Tue) 12:42:28
☆ Re: / ＩＴ
(a-b)+(b-c)+(c-d)+(d-a)=0 なので a-b,b-c,c-d,d-aの平均値は0.
これとa-b>b-c>c-d>d-a から　a-b>0>d-a が分かる。
∴　a>bかつa>d…(1)

またb-c>c-d より　b+d>2c
∴　(b+d)/2 > c
ここで(1)より　a>(b+d)/2 なので　a>c.　
No.60634 - 2019/08/13(Tue) 12:43:06
★ (No Subject) / さとう
どうしても解答にたどりつけません。カッコの外し方が間違えているのか？お時間あるときに教えてください。宜しくお願いま。
No.60623 - 2019/08/13(Tue) 08:35:47
☆ Re: / 元中3
解答が明らかに違います。
負×負÷負の計算結果が正の9/8になるはずがありません。
おそらく答えは-3(a^2)(b^2)でしょう。
No.60624 - 2019/08/13(Tue) 09:39:23
☆ Re: / さとう
やはり、そうでしたか。ありがとうございます
No.60625 - 2019/08/13(Tue) 10:10:01
★ (No Subject) / な
マークしてある必要十分条件のところなのですが、なぜ1以上なのでしょうか？0以上でもいいと思ったのですが。
No.60620 - 2019/08/13(Tue) 01:42:05
☆ Re: / らすかる
例えばx=y=1のとき不等式は2(k^2-1)≧2となりますので、
k^2-1＜1では成り立ちません。
No.60621 - 2019/08/13(Tue) 02:49:07
★ 確率と一般項の算出 / ひよっこ
■考えている内容や答え
(1)
p2=1/12+1/8=5/24
p3=5/72+1/24+1/24+1/8=5/18

(2)
Pn=P(n-1)x32/15-1/6

(3)
わからない

■特に不安な点や、確認したいこと
(1),(2)の答えは合っているか、(3)の答えは何か教えてください。

よろしくお願いします。
学年　AO入試問題
No.60616 - 2019/08/12(Mon) 23:26:08
☆ Re: 確率と一般項の算出 / ＩＴ
(1)(2) ともにまちがっていると思います。
遷移図を描いて　再計算してみてください。

途中式は
　(1/2)(1/6)+(1/2)(1/4)? = 1/12 + 1/8 などと書いた方が間違いが見つかり易いですし、部分点の可能性も出てきます。
No.60617 - 2019/08/12(Mon) 23:56:09
★ (No Subject) / 谷子
この解説だけでは理解できないので教えてもらえませんか？
No.60613 - 2019/08/12(Mon) 20:57:17
☆ Re: / ＩＴ
３つのうち何番目の＝が理解できませんか？
No.60615 - 2019/08/12(Mon) 21:32:33
★ (No Subject) / ゆいきょう
この問題で、はてなが書いてあるところがわからないのですが、どういうことですか？
No.60608 - 2019/08/12(Mon) 15:17:57
☆ Re: / らすかる
n=3kならば
1,4,7,10,…,n-2 の個数がb個
2,5,8,11,…,n-1 の個数がc個
3,6,9,12,…,n の個数がa個
で
b=n/3
c=n/3
a=n/3
となるので
a=b=c=k
です。
No.60610 - 2019/08/12(Mon) 15:23:32
★ (No Subject) / しょう
215の群数列の問題です。エオで456項目の数字が30区画内にあるのは分かっているのですがなぜa456＝30となるのでしょうか？
No.60607 - 2019/08/12(Mon) 14:10:19
☆ Re: / らすかる
第1区画の数字は1
第2区画の数字は2つとも2
第3区画の数字は全部3
第4区画の数字は全部4
・・・
第30区画の数字は全部30
だからです。
No.60609 - 2019/08/12(Mon) 15:19:56
☆ Re: / しょう
そういうことですか！ありがとうございます！
No.60611 - 2019/08/12(Mon) 15:37:52
★ 積分 / 蘭
この発展例題1の問題を見てください。

この解き方として、位相ズレを用いてやるらしいのですが、
私が下線をひいたところについて、

??0→π { xsinx/(1+cos^2x)}dxと??0→π {(π-x)sinx/(1+cos^2x)} dxが同じ値(解いている時にIと置いています。）になるのかわかりません。

sinxの前の係数が、問題ではx 自分で作り出したのではπ-xですよね？？

ここを同じ値とみなしていい理由を教えてください、
よろしくお願いします。

(定積分の区間の表し方がわかんなかったです。0→πは区間のことです。)
No.60602 - 2019/08/12(Mon) 12:37:22
☆ Re: 積分 / 蘭
解答です。
No.60603 - 2019/08/12(Mon) 12:38:00
☆ Re: 積分 / 蘭
解答のつづきです
No.60604 - 2019/08/12(Mon) 12:38:33
☆ Re: 積分 / らすかる
解答で正しく置換できているのに、何がわからないのですか？
もしかして
∫[0→π]{(π-t)sint/(1+(cost)^2)}dtを
∫[0→π]{(π-x)sinx/(1+(cosx)^2)}dxにしてよいのはなぜか
という質問ですか？
もしそういう質問でしたら、
定積分の中にある変数で定積分の計算の結果消えてしまうものは
結局どういう文字であっても全く同じ結果になりますので、
どんな文字に変えても構いません。
（積分の外で別の意味で使っている変数でも構いません）
∫[0→π]{(π-x)sinx/(1+(cosx)^2)}dx
∫[0→π]{(π-a)sina/(1+(cosa)^2)}da
∫[0→π]{(π-N)sinN/(1+(cosN)^2)}dN
∫[0→π]{(π-α)sinα/(1+(cosα)^2)}dα
∫[0→π]{(π-Σ)sinΣ/(1+(cosΣ)^2)}dΣ
∫[0→π]{(π-甲)sin甲/(1+(cos甲)^2)}d甲
は全て同じです。

納得しにくければ、例えば
∫[0〜1]{f(x)+g(x)}dx
=∫[0〜1]f(x)dx + ∫[0〜1]g(x)dx
=∫[0〜1]f(x)dx + ∫[0〜1]g(t)dt
のような計算を逆向きにやっているものと考えれば、
少しは納得できるのではないかと思います。

Σの変数も同じですね。
例えば
Σ[k=1〜10]k
=1+2+3+…+10
=10+9+8+…+1
=Σ[k=1〜10](11-k)
は最初のkと後のkは意味が違っていますが、問題ないですよね。
No.60606 - 2019/08/12(Mon) 13:02:36
☆ Re: 積分 / GandB
　らすかるさんの丁寧な説明で理解できたのならいいのだけど、本人がわざわざ赤字で
　　「定積分だから積分変数は何でもよい」
と書いているので、ホントに疑問が解けたのかちょっと気になる（笑）。
No.60614 - 2019/08/12(Mon) 21:29:07
☆ Re: 積分 / 蘭
すみません！ちょっと色々勘違いしてました！

積分変数について悩んでいたのではなくて、Iがなんなのかよくわかってなかったです。自分最近ほんと能力に合わないもんだいをやりすぎて基礎までできなくなってて………。

大変ありがとうございました！
No.60618 - 2019/08/13(Tue) 00:24:40
★ (No Subject) / し
(3)の一番下の行でシグマを使っているのですが
7^n-1 −1/6 ＋ 3^n-1 -1/2ではないのですか？
No.60599 - 2019/08/11(Sun) 18:54:50
☆ Re: / X
教科書の等比数列の和の公式の項目を調べ、
等比数列の和の公式
と
等比数列の一般項
との対応関係を復習しましょう。
No.60600 - 2019/08/11(Sun) 20:10:35
★ 線形代数　べき零行列 / papurika
（１）の A+Bの証明のところで m=r+s-1となぜおけるのかわかりません。
右に書いてある不等式の意味も分かりません。
解説もしくは参考になるサイトなどありましたらよろしくお願いします。
No.60592 - 2019/08/11(Sun) 11:25:40
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
mはr以上、ｓ以上でしょう（ｒ、ｓともに1以上なので）
よってA^mの項は0になります。

積の可換の証明よりr<=sと一時的に仮定します。

k番目の項を　A^(m-k)*B^k トスルと（A^mから数えてｋ番目）
0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

s<= k < mの時は
B^k=B^(s+正数）
　 =B^s * （何か）
　 =0 * (何か)
=0
よって、ｋの存在範囲0からｍで
A^(m-k)*B^k　の項は必ず0になることが示された
よってＡ＋Ｂはべきゼロ
No.60593 - 2019/08/11(Sun) 12:02:03
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
最初の部分は必要ありませんでした。後表示がおかしいので連投します

k番目の項を　A^(m-k)*B^k トスルと（A^mから数えてｋ番目）
0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。


0<= k m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 と0<= k r+s-1>= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=出ないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

s<= k < mの時は
B^k=B^(s+正数）
　 =B^s * （何か）
　 =0 * (何か)
=0
よって、ｋの存在範囲0からｍで
A^(m-k)*B^k　の項は必ず0になることが示された
よってＡ＋Ｂはべきゼロ
No.60594 - 2019/08/11(Sun) 12:03:29
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
最初の部分は必要ありませんでした。後表示がおかしいので連投します。いろいろおかしいので訂正しました

k番目の項を　A^(m-k)*B^k トスルと（A^mから数えてｋ番目）

0＜=ｋ＜ｓの時
m-k=r+s-k-1 の範囲は
r+s-1>= r+s-k-1 >r-1 より
r+s+1 >= m-k >r-1 といえる
よってm-kはr以上といえる。>=でないのでr-1ではない
よってA^(m-k)=A^(r+正数）といえるので0になる。

s<= k < mの時は
B^k=B^(s+正数）
　 =B^s * （何か）
　 =0 * (何か)
=0
よって、ｋの存在範囲0からｍで
A^(m-k)*B^k　の項は必ず0になることが示された
よってＡ＋Ｂはべきゼロ
No.60595 - 2019/08/11(Sun) 12:09:22
☆ Re: 線形代数　べき零行列 / 石
ｍが　r+s-1となぜおけるかというと
べきゼロであると言うことはある回数以上かければそこでゼロになるという状態なので。以上であるので別に
(A+B)^m=0となるのはm=r+s-1だとうまく証明できるだけで
50回掛ければ０になりそうだと思えばｍ=50でやってみるでしょう。
そう思った流れは、少なくともｒ回以上且つｓ階以上掛けないとABは0にならないのでr+sにしたんじゃないかな,,,
私にはこういった発想力はないので良く引っかかってしまいますが
No.60596 - 2019/08/11(Sun) 12:17:43
★ (No Subject) / パンチ
すみません。以前にも同じ問題を投稿させていただいたのですが、まだ自分の中で上手く解決できていません。詳しく解説をしていただけないでしょうか？また、参考文献？となるようなhqがあればURLなどを教え欲しいです。

添付図の解説をお願いします。
答えはエ=1,オ=-,カ=1です。
解説をお願いします。
No.60585 - 2019/08/10(Sat) 23:54:38
☆ Re: / 黄桃
数列で、a[n]=p*a[n-1]+q　で表されるようなものの一般項や極限を求める問題がありますが、それと同じにできます。

det(E-A)≠0 なので、
(E-A)x=e ...(*)
となるベクトルxが存在します。すなわち、
x=Ax+e となっています。
u[n]=Au[n-1]+e から、x=Ax+e を引くと
u[n]-x=A(u[n-1]-x)
となりますから、
u[n]-x=A^n(u[0]-x)
となります。
Aの固有値を計算すると２つとも絶対値が１より小さいので、
(Aの対角化をD=PAP^(-1)とすれば、A^n=P^(-1)D^nP^n で、D^n→0になるから）
A^n→0
になります。
したがって、
u[n]-x→0 (n→∞)
となり、lim u[n]=x です。xは(*)をとけばOKです。

なお、A=(1/√2)R(-π/4) (R(-π/4) は -π/4 の回転行列）
と見えれば、2次の行列の演算は複素数の掛け算に帰着できて、
もとの漸化式は複素数で書けば
v[n]=((1-i)/2) *v[n-1]+1
ですから、数列の場合と同様に計算できます。

あるいは、素朴にやるなら、
u[n]=Au[n-1]+e
=A(A u[n-2]+e)+e
=A^2 u[n-2]+Ae+e
=...
=A^n u[0]+(A^(n-1)+A^(n-2)+...+A+E)e
として、A^n→0 より u[n]→(Σ_[n=0,∞]A^n)e となります(和が収束すれば、ですが）。
Aを対角化してA^nを求め、それから和が計算できるでしょう
（最初の解法はこれを求めるのに、両辺に E-A を掛けた、とみることもできます）。

＃いずれの解法でもA^n→0 になるところが重要です。
No.60590 - 2019/08/11(Sun) 08:13:31
☆ Re: / パンチ
ここまで考えてみました！
ここからどう考えたら良いでしょうか？
No.60679 - 2019/08/15(Thu) 13:58:09
☆ Re: / 黄桃
なぜ、わざわざ一番面倒くさい方法を選ぶのかよくわかりませんが、そこまでわかっているなら、(A')^(4n+1)=(A')^(4n)*A' などと計算できるので、n=4k,4k+1,4k+2,4k+3 の場合に分けて部分和を求めることができるのではないでしょうか。

この先、専門分野で線型代数を使わないのならこの解法でもいいですが、そうでないなら、将来は nxn　行列を扱うことになるので、こうした考え方（成分表示で展開する）しかできないと困ると思います。
No.60729 - 2019/08/17(Sat) 08:38:19
☆ Re: / パンチ
n=4k,4k+1,4k+2,4k+3 の場合に分けて部分和を求めることができるとありますが、どのように考えますか？

あと、出来れば高校数学の範囲で解きたいです。
No.60789 - 2019/08/20(Tue) 18:53:50
☆ Re: / 黄桃
すみません、返事があると思ってませんでした。失礼しました。

A^(4k)=(-1/4)^k*E なら、
A^(4k+1)=(-1/4)^k*A
A^(4k+2)=(-1/4)^k*A^2
A^(4k+3)=(-1/4)^k*A^3

より、
Σ_[n=1,4k-1] A^n
=Σ_[n=0,k-1] (A^(4k)+A^(4k+1)+A^(4k+2)+A^(4k+3))
=Σ_[n=0,k-1] ((-1/4)^k*E+(-1/4)^k*A+(-1/4)^k*A^2+(-1/4)^k*A^3)
=(Σ_[n=0,k-1] (-1/4)^k)(E+A+A^2+A^3)
=(1-(-1/4)^k)/(1+1/4)(E+A+A^2+A^3)
=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)

同様に、
Σ_[n=1,4k] A^n=Σ_[n=1,4k-1] A^n+A^(4k)=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)+(-1/4)^k*E
Σ_[n=1,4k+1]A^n=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)+(-1/4)^k*E+(-1/4)^k*A
Σ_[n=1,4k+2]A^n=(1-(-1/4)^k)*(4/5)(E+A+A^2+A^3)+(-1/4)^k*E+(-1/4)^k*A+(-1/4)^k*A^2
となるので、nが 4k,4k+1,4k+2, 4k+3(=4(k+1)-1) のいずれであっても、n→∞とすれば、残るのは、
(4/5)(E+A+A^2+A^3)
の部分です。


>あと、出来れば高校数学の範囲で解きたいです。
今の高校では行列はやらないのでは？
その代わりに複素数平面をやっているので、高校数学の範囲にするのなら、
このような2x2行列を掛けることと複素数平面で複素数(1/2)-(1/2)i をかけることは同じ、
ベクトル(1,0)を足すことは複素数平面では1を足すことに対応する、
ことから、
a[n]=(1-i)/2*a[n-1]+1
という漸化式で定まる複素数平面上の点a[n]とベクトルv[n]が対応します（a[n]=x+iy に対して、v[n]=(x,y))。
なので、これで計算するのが高校数学らしいのではないでしょうか。
No.60899 - 2019/08/24(Sat) 12:01:37
★ (No Subject) / たけまる
この問題で、y'≧0と置いた後に解説では判別式を使って解いているのですが、よくわからないので他の解き方があればそれか、判別式を使った解き方について詳しく教えて欲しいです。
No.60583 - 2019/08/10(Sat) 22:41:33
☆ Re: / らすかる
ここに「判別式を使った解き方について詳しく」書いたとしても、
解説と同じ説明になってしまってわからない可能性がありますので、
解説の内容をここに書いて、そのどの部分がわからないかを
具体的に質問した方がよいと思います。

というわけで「判別式を使った解き方」の説明は無駄になる可能性がありますので
他の解き方を書きます。
x^3+(p+1)x^2+p^2x+1でt=x+(p+1)/3とおいて
x=t-(p+1)/3を代入して整理すると
t^3+{(2p^2-2p-1)/3}t-(7p^3+3p^2-6p-29)/27
つまり
x^3+(p+1)x^2+p^2x+1
を((p+1)/3,(7p^3+3p^2-6p-29)/27)平行移動すると
y=x^3+{(2p^2-2p-1)/3}x
という、点対称の中心が原点である三次関数のグラフになります。
このときx＞0で下に凸、x＜0で上に凸ですから、
x=0における微分係数が0以上であれば単調増加になります。
y'=3x^2+(2p^2-2p-1)/3にx=0を代入すると(2p^2-2p-1)/3なので、
(2p^2-2p-1)/3≧0が問題の条件を満たすpの式となり、
これを解いて p≦(1-√3)/2, (1+√3)/2≦p が答えとなります。
No.60584 - 2019/08/10(Sat) 23:18:48
★ Parrotの問題の可解条件の証明 / 石
この掲示板を使うのが初めてで失礼があったら申し訳ありません。
線形行列不等式（LMI）の勉強をしているのですが、引っかかってしまったので質問させていただきます。

与えられた行列A,B,Cとスカラーrに対し次の条件は等価である。
(1）exist K s.t. ||A+BKC||<r
(2) ||APc||<r,||PbA||<r
(ただし、Pc=I-(C+)C , Pb=I-B(B+)とする。）

次の過程は必要ないみたいですが、この過程は必要な気がします。
B+は行フルランクとみたムーアペンローズ逆行列
B+=(BtB)(-1)Bt
C+は列フルランクとみたムーアペンローズ逆行列
C+=Ct(CCt)(-1)

この仮定の下で添付した画像の下から2つ目までの式は理解できたのですが、

||A+BKoC||<1
と(かけ算が見にくいので＊を挟みました)
(I-Pb*A*At*Pb)+(B*B+*A*Pc*(I-PC*At*A*Pc)(-1)*Pc*At*B*B+>0
が同値である事がどう変形させてもできませんでした。
かなりめんどくさい問題ですが、どなたか教えていただけると幸いです。

参考にしている本は
LMIと制御　岩崎徹也　（絶版しています）　です。
No.60577 - 2019/08/10(Sat) 10:46:20
☆ Re: Parrotの問題の可解条件の証明 / 石
訂正します
次の仮定は必要ないみたいですが、この仮定は必要な気がします。
B+は列フルランクとみたムーアペンローズ逆行列
B+=(BtB)(-1)Bt
C+は行フルランクとみたムーアペンローズ逆行列
C+=Ct(CCt)(-1)

列と行を間違えました
No.60578 - 2019/08/10(Sat) 10:59:37
全22700件 [ ページ : << 1 ... 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 ... 1135 >> ]