この問題は大学編入の過去問であり回答がないため確認していただきたいです．
(1)は条件へそのまま代入し，
f(e1)=1,f(e2)=-1,f(e3)=0;
であっているでしょうか．
(2)は表現行列を示すとのことなので
(1,-1,0)
で良いでしょうか．
(3)がよくわかりません．
(4)は<(1,1,0),(0,0,1)>が基底になると思いますが，どうでしょうか．
わかりづらい文章で申し訳ないですが，回答よろしくお願いします．
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No.60786 - 2019/08/20(Tue) 17:50:26
| ☆ Re: 線形代数，写像，ベクトル空間 / X | | | (1)(2)(4)
全て間違っています。
問題文が全く理解できていません。
f:R^3→R^3 (A)
により
(1)については
f(↑x)は3次元の縦ベクトルに
なっていなければならないところを
解答が全て単なる実数になっている時点で
誤りです。
(2)についても(A)によりAは３次の正方行列
でなくてはならず、これも誤りです。
従って(2)の結果を使う(4)は少なくとも
計算過程が誤りです。
まず線形代数学の教科書などで
線形変換の表現行列の項目を
調べてみて下さい。
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No.60791 - 2019/08/20(Tue) 19:57:39 |
| ☆ Re: 線形代数，写像，ベクトル空間 / meow | | | Xさん回答ありがとうございます．
「f(x)は平面L上にあり，x-f(x)は平面Lに垂直なベクトル．．．」
の意味がよくわかっていません．
x-f(x)から平面の方程式を作るとこから始めるのでしょうか？
教科書参考書等もう一度確認してきます．
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No.60798 - 2019/08/20(Tue) 22:07:40 |
| ☆ Re: 線形代数，写像，ベクトル空間 / ast | | | 横から失礼します.
そもそも f がどのような変換なのかを最初に調べなければならないことに留意すべきです. 以下, 便宜的に縦ベクトルは単に三つ組として横に書きますが, R^3 の任意のベクトル (x,y,z) に f を施した行先を (x',y',z') と書くとき, つまり f(x,y,z) = (x',y',z') と置いたとき
# あるいは Xさんの記号で ↑x=(x,y,z), ↑x'=(x',y',z') と書けば, f(↑x) = ↑x' と置くとき
> 「f(x)は平面L上にあり，x-f(x)は平面Lに垂直なベクトル．．．」
という条件によって x',y',z' は x,y,z を用いて書き表せます.
# 具体的には,
# f(↑x) が L 上にあるとは, x'-y'=0 ということ,
# また ↑x-f(↑x) が L と垂直とは, ベクトル (x-x',y-y',z-z') は L を張る二つのベクトル (例えば (1,1,0) と (0,0,1)) との内積が 0 になるということです.
# これで3本の一次方程式が作れますから x',y',z' について解けばよいわけです.
そうして f の行き先が分かって初めて (1) に話を進めることができる, というわけですね.
# とはいえ, f が L への射影であるという時点で (3) はもうわかるわけですが.
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No.60801 - 2019/08/21(Wed) 00:18:17 |
| ☆ Re: 線形代数，写像，ベクトル空間 / 黄桃 | | | >「f(x)は平面L上にあり，x-f(x)は平面Lに垂直なベクトル．．．」
>の意味がよくわかっていません．
ということは、「射影」がなんだか全然わかってないのでしょう。
ベクトル x について、「f(x)はxの平面Lへの射影」とは、「f(x)はxから平面Lに下した垂線の足」という意味です。
それを式で表しやすく表現したのが
「f(x)は平面L上にあり，x-f(x)は平面Lに垂直なベクトル．．．」
です。
そして第1問は、じゃあ、x=e1 ならそのLへの射影f(e1)はどうなるの、つまり、
点(1,0,0)から平面Lに下した垂線の足(=f(e1))はどこ？
などと聞いているわけです。
これで他の方々が言っている意味もわかるのではないでしょうか。
＃出題者の気持ちとしては、「射影が1次変換であるのは自明である」が根底にあるのではないでしょうか。
＃3次元空間の点を平面z=0 に射影する（空間の点(x,y,z)をxy平面に射影すると(x,y,0)になる）のは1次変換だから、
＃xy平面z=0が x-y=0 になっても座標系が変わっただけだから1次変換なのはあたりまえ、という常識があるのでしょう。
＃射影が通じないとは夢にも思ってないでしょう。
＃1次変換だとすれば、あとは標準基底の行く先がわかれば行列は決まるので、
＃標準基底 e1,e2,e3の行く先を求めるのが最初の問になっているのでしょう。
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No.60802 - 2019/08/21(Wed) 01:16:17 |
| ☆ Re: 線形代数，写像，ベクトル空間 / meow | | | f(e1),f(e2)に関してはe1,e2のままで，
f(e3)に関しては↑0
ということになるのでしょうか．
無知で申し訳ないです．
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No.60833 - 2019/08/21(Wed) 22:14:26 |
| ☆ Re: 線形代数，写像，ベクトル空間 / 黄桃 | | | > f(e1),f(e2)に関してはe1,e2のままで，
> f(e3)に関しては↑0
> ということになるのでしょうか．
なりません。それは平面z=0への射影です。
残念ながら、問題の意味がまったく理解できてないようです。意味がわからない問題が解けるようにはなりません。
私が言えるのは、高校数学の空間座標や空間ベクトルのあたりを復習してみてください、くらいです。
まずは、点(1,0,0)から平面Lに下した垂線の足を求めよ、という問題が解けるようになりましょう。
健闘を祈ります。
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No.60841 - 2019/08/21(Wed) 23:38:44 |
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