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★ 集合と論証 / 蘭
東京工業大学の過去問だと思うのですが…

nを自然数、P(x)をn次の多項式とする。P(0)、P(1)……、P(n)が全て整数ならば、全ての整数kに対し、P(k)は整数であることを証明せよ。


と言う問題がわかりません、よろしくお願いします。
No.60560 - 2019/08/09(Fri) 10:28:58
☆ Re: 集合と論証 / らすかる
問題文をそのまま検索すると
↓こういうページが見つかります。
http://kubojie.net/PDF/titech1993A-4Ans.pdf
No.60561 - 2019/08/09(Fri) 12:24:47
☆ Re: 集合と論証 / 蘭
ありがとうございました！
No.60619 - 2019/08/13(Tue) 00:25:02
★ 二直線 / kitano
識者の方に質問です。

私の解法のどこに間違いがあるのか教えて下さい。

問題

10x^2+kxy+2y^2-9x-4y+2=0 が二直線を表すときのkの値を求めよ
ただしkは整数とする

私の考え方

https://imgur.com/a/5ZHxRMk

※ 完全平方数を考える策は知っています。

何卒宜しく御願い致します。
No.60558 - 2019/08/09(Fri) 07:56:09
☆ Re: 二直線 / らすかる
4行目までしか読んでいませんが
ac'=-9は違いますね。
xの項の係数はac'+ca'です。
同様にbc'=-4も誤りで、
正しくはbc'+cb'=-4ですね。
No.60559 - 2019/08/09(Fri) 09:32:11
★ (No Subject) / クレープ
お願いします。

積分しようにも、交点の座標がでず、どうにもできません。
No.60550 - 2019/08/08(Thu) 21:37:12
☆ Re: / ＩＴ
y=ax+3 は、定点A(0,3)を通ります｡
y=e^-x とy=ax+3との2つの交点を P(s,as+3),Q(t,at+3) (s<t)とすると、直観的にはPA=AQ のときに 面積は最小になりそうですね.
（ aが変化してy=ax+3が回転すると
　増える部分の面積＜減る部分の面積　のとき　面積減少
　増える部分の面積＞減る部分の面積　のとき　面積増加
　　となります。）

PA=AQ のとき s=-t なので　e^t=a(-t)+3,e^(-t)=at+3
∴e^t+e^(-t)=6 ∴　e^t=3+√8 ,t=log(3+√8)
a=-(e^t-3)/t=-√8/log(3+√8)
No.60552 - 2019/08/08(Thu) 22:23:52
☆ Re: / 関数電卓
交点の座標が出なくても計算できるのですよ！！！

交点座標をα, β(α＜0＜β) とすると、α,βは方程式 e^(-x)＝ax＋3 の解で、a の関数 ……(1) です。
また、囲まれた面積 S は
　S＝∫[α,β](ax＋3−e^(-x))dx ……(2)
です。さらに、S は a の関数で、S を最小にする a に対し、dS/da＝0 (必要条件) です。

(1)に注意し(2)の dS/da を作ると、ア！ と驚くことが起きます。

もったいぶるわけではありませんが、この後ご自分でやってみてください。IT さんのコメントが納得できるはずです。
No.60554 - 2019/08/08(Thu) 23:04:21
☆ Re: / らすかる
> a=-(e^t-3)/t=-√8/log(3+√8)

3+√8=(1+√2)^2, 1/(1+√2)=√2-1なので
-√8/log(3+√8)=-2√2/{2log(1+√2)}=-√2/log(1+√2)=√2/log(√2-1)
と少し綺麗な形にできますね。
No.60556 - 2019/08/09(Fri) 00:18:44
★ (No Subject) / なす
x^2/(2^x+1)の区間-1から1までの定積分ってどうするんですか？
No.60546 - 2019/08/08(Thu) 19:53:57
☆ Re: / X
I=∫[-1→1]{(x^2)/(2^x+1)}dx
とします。
ここで
x=-t
と置くと
I=-∫[1→-1]{(t^2)/(1/2^t+1)}dt
=∫[-1→1]{(2^t)(t^2)/(2^t+1)}dt
=∫[-1→1]{t^2-(t^2)/(2^t+1)}dt
=∫[-1→1](t^2)dt-I
∴I=(1/2)∫[-1→1](t^2)dt=1/3
となります。
No.60551 - 2019/08/08(Thu) 22:14:13
☆ Re: / X
別解)
∫[-1→1]{(x^2)/(2^x+1)}dx
=∫[-1→0]{(x^2)/(2^x+1)}dx+∫[0→1]{(x^2)/(2^x+1)}dx (A)
(A)の第一項においてx=-tと置くと
(A)=-∫[1→0]{(t^2)/(1/2^t+1)}dt+∫[0→1]{(x^2)/(2^x+1)}dx
=∫[0→1]{(2^t)(t^2)/(2^t+1)}dt+∫[0→1]{(x^2)/(2^x+1)}dx
=∫[0→1]{(2^x)(x^2)/(2^x+1)}dx+∫[0→1]{(x^2)/(2^x+1)}dx
=∫[0→1]{(2^x)(x^2)/(2^x+1)+(x^2)/(2^x+1)}dx
=∫[0→1](x^2)dx
=1/3
No.60562 - 2019/08/09(Fri) 14:31:00
★ (No Subject) / モンゴル
この問題の解説の、「ORの傾きが-1/√2」という記述がよくわかりません。なぜですか？解説は次のレスで載せます。
No.60543 - 2019/08/08(Thu) 19:19:54
☆ Re: / モンゴル
解答はこちらです。
No.60544 - 2019/08/08(Thu) 19:20:17
☆ Re: / らすかる
PQ⊥ORだからです。
傾きがaの直線に直交する直線の傾きは-1/aです。
No.60545 - 2019/08/08(Thu) 19:47:13
☆ Re: / モンゴル
理解できました。ありがとうございます。
No.60557 - 2019/08/09(Fri) 06:11:14
★ 数学lについての質問です。 / qqqqq777jt
「３乗根の２+１１i」は「２+i」である。
その計算方法を教えてください。よろしくお願いします。

ただしサインコサインタンジェントを使わずにです。
ではよろしくお願いします
No.60537 - 2019/08/08(Thu) 15:07:17
☆ Re: 数学lについての質問です。 / qqqqq777jt
> 「３乗根の２+１１i」は「２+i」である。
> その計算方法を教えてください。よろしくお願いします。
>
> ただしサインコサインタンジェントを使わずにです。
> ではよろしくお願いします

大至急よろしくお願いします。
No.60538 - 2019/08/08(Thu) 15:08:26
☆ Re: 数学lについての質問です。 / らすかる
(x+iy)^3=2+11i（x,yは実数）とおくと明らかにxy≠0
この式を展開して整理すると
(x^3-3xy^2-2)+(3x^2y-y^3-11)i=0なので
x^3-3xy^2-2=0 … (1)
3x^2y-y^3-11=0 … (2)
(1)から y^2=(x^3-2)/(3x) … (3)
(2)から
y^2(3x^2-y^2)^2=121
(3)を代入して整理すると
(x-2)(x^2+2x+4)(4x^2+8x+1)(16x^4-32x^3+60x^2-8x+1)=0 … (4)
x-2=0の実数解はx=2
x^2+2x+4=(x+1)^2+3=0は実数解を持たない
4x^2+8x+1=0の実数解はx=(-2±√3)/2
16x^4-32x^3+60x^2-8x+1=16x^2(x-1)^2+28x^2+(4x-1)^2=0は実数解を持たない
従って(4)の実数解はx=2,(-2±√3)/2
(1)から
x=2のときy=±1
x=(-2+√3)/2のときy=±(1+2√3)/2
x=(-2-√3)/2のときy=±(1-2√3)/2
(x,y)=(2,1),(2,-1),((-2+√3)/2,(1+2√3)/2),((-2+√3)/2,-(1+2√3)/2),
((-2-√3)/2,(1-2√3)/2),((-2-√3)/2,-(1-2√3)/2)
のうち、(x+iy)^3=2+11iを満たすのは
(x,y)=(2,1),((-2+√3)/2,-(1+2√3)/2),((-2-√3)/2,-(1-2√3)/2)の3組
まとめると
(x,y)=(2,1),((-2±√3)/2,-(1±2√3)/2)　（複号同順）
従って「3乗根の2+11i」は
2+i, {(-2±√3)-(1±2√3)i}/2　（複号同順）
の3つ。

# 問題が「３乗根の２+１１iは？」ならば
# 「2+i」では不正解です。
# 解は3個ありますので3個とも答えなければいけません。
No.60539 - 2019/08/08(Thu) 16:35:15
☆ Re: 数学lについての質問です。 / らすかる
別解
x=2+11iとすると
x-2=11i
(x-2)^2=-121
x^2-4x+125=0
となるので2+11iはx^2-4x+125=0の解
従って2+11iの3乗根はx^6-4x^3+125=0の解
もしx^6-4x^3+125が(x^2+ax+5)(x^2+bx+5)(x^2+cx+5)
という形に因数分解できたとすると
(x^2+ax+5)(x^2+bx+5)(x^2+cx+5)
=x^6+(a+b+c)x^5+(ab+bc+ca+15)x^4+(10(a+b+c)+abc)x^3
　+(75+5(ab+bc+ca))x^2+25(a+b+c)x+125
なので
a+b+c=0, ab+bc+ca+15=0, 10(a+b+c)+abc=-4
よってa+b+c=0,ab+bc+ca=-15,abc=-4なので
a,b,cはt^3-15t+4=0の3解
t^3-15t+4=(t+4)(t^2-4t+1)=0から
t=-4,2±√3なので
x^6-4x^3+125=0は実数範囲で
(x^2-4x+5)(x^2+(2-√3)x+5)(x^2+(2+√3)x+5)=0
のように因数分解できることがわかる。
x^2-4x+5の解はx=2±i
x^2+(2-√3)x+5=0の解はx=(-2+√3)±i√(13+4√3)=(-2+√3)±(1+2√3)i
x^2+(2+√3)x+5=0の解はx=(-2-√3)±i√(13-4√3)=(-2-√3)±(1-2√3)i
この6解をそれぞれ3乗すると、3乗して2+11iになるのは
2+i, {(-2+√3)-(1+2√3)i}/2, {(-2-√3)-(1-2√3)i}/2
の3つ。
従って2+11iの3乗根は
2+i, {(-2±√3)-(1±2√3)i}/2　（複号同順）
の3個。
No.60548 - 2019/08/08(Thu) 20:11:27
★ 整数問題 / 蘭

( a+b√x )^n がAn+Bn√x と表せるとしたら、
( a+b√x )^nがAn−Bn√x になる

と言う証明を数学的帰納法でやる答えを教えてください！
No.60535 - 2019/08/08(Thu) 14:14:14
☆ Re: 整数問題 / らすかる
> ( a+b√x )^n がAn+Bn√x と表せるとしたら、
> ( a+b√x )^nがAn−Bn√x になる
ではなく
> ( a+b√x )^n がAn+Bn√x と表せるとしたら、
> ( a−b√x )^nがAn−Bn√x になる
ですよね？

(略解)
n=1のとき(a+b√x)^1=a+b√x, (a-b√x)^1=a-b√xなので成り立つ。
n=kのとき成り立つとすると
(a+b√x)^k=A[k]+B[k]√x
(a-b√x)^k=A[k]-B[k]√x
このとき
(a+b√x)^(k+1)=(a+b√x)^k・(a+b√x)
=(A[k]+B[k]√x)(a+b√x)=(aA[k]+bxB[k])+(aB[k]+bA[k])√x
(a-b√x)^(k+1)=(a-b√x)^k・(a-b√x)
=(A[k]-B[k]√x)(a-b√x)=(aA[k]+bxB[k])-(aB[k]+bA[k])√x
となりk+1のときも成り立つ。
No.60536 - 2019/08/08(Thu) 15:06:10
☆ Re: 整数問題 / 蘭
そうです！
問題の意図汲み取ってもらってすみません！
助かりました(*☻-☻*)ありがとうございました！
No.60540 - 2019/08/08(Thu) 16:36:55
★ 数列の極限値 / 美雪
区間[a,b]において

f’’(x)>0かつf(a)<0かつf(b)

ならば、

x_1=b

x_(n+1)=x_n-f(x_n)/f’(x_n) (n=1,2,3,…)

で定められる数列{x_n}は単調減少数列で、f(x)=0の解αに収束することを示せ。必要なら、『有界な単調列は収束する』という事実を用いよ。

よろしくお願いします。
No.60528 - 2019/08/07(Wed) 22:44:29
☆ Re: 数列の極限値 / らすかる
> f’’(x)>0かつf(a)<0かつf(b)
この行がおかしいです。
もしf(b)の直後に半角の「＜」を使われているようでしたら
全角に直せば正しく表示されると思います。
No.60529 - 2019/08/07(Wed) 22:50:00
☆ Re: 数列の極限値 / 美雪
らすかる様

大変失礼しました。

正しくは

f’’(x)>0かつf(a)<0かつf(b)>0

です。

これでよろしくお願いします。
No.60547 - 2019/08/08(Thu) 20:01:55
☆ Re: 数列の極限値 / らすかる
x[n]-f(x[n])/f'(x[n])とは
「y=f(x)上の点(x[n],f(x[n]))におけるf(x)の接線とx軸の交点のx座標」
という意味になりますが、
条件から区間(α,b)でf'(x)＞0、f''(x)＞0であるため、
α＜x[n]-f(x[n])/f'(x[n])＜x[n]となります。
よってこの数列は任意のkに対してx[k]＞αすなわち下に有界である
単調減少数列なので収束します。
収束値は、x[n+1]=x[n]-f(x[n])/f'(x[n])でx[n]=x[n+1]とすれば
f(x[n])=0となることから、f(x)=0の解αに収束することが言えます。
No.60549 - 2019/08/08(Thu) 20:25:18
☆ Re: 数列の極限値 / 美雪
ありがとうございました！
No.60581 - 2019/08/10(Sat) 17:32:52
☆ Re: 数列の極限値 / 美雪
らすかる様

失礼します。改めて読み返したらよくわからないところがありました。

4行目の(a,b)でf’(x)>0はなぜいえるのでしょうか？

5行目のα<x_n-f(x_n)/f’(x_n)の部分もよくわからないです。4行目とのつながりがわからないです。

詳しく教えていただけないでしょうか？
No.60587 - 2019/08/11(Sun) 04:08:37
☆ Re: 数列の極限値 / らすかる
> 4行目の(a,b)でf’(x)>0はなぜいえるのでしょうか？
「(a,b)でf’(x)＞0」は言えません。
私が書いたのは
「(α,b)でf’(x)＞0」です。
つまり「エーからビーの区間」ではなく「アルファからビーの区間」です。
これならば次の質問も含めて理解できるのではありませんか？
No.60588 - 2019/08/11(Sun) 07:34:43
☆ Re: 数列の極限値 / 美雪
らすかる様

失礼します。

f’(α)≦0とすると、f’(x)は単調増加なので、a≦x<αのとき、f’(x)<0となりますが、すると区間[a、α]で、f(x)は減少しますが、f(a)<0=f(α)であり、矛盾します。したがって、f’(α)>0なので、α<x<bではf’(x)>0になる、ということでしょうか？

α<x_n-f(x_n)/f’(x_n)の部分がいくら考えてもわからないです。4行目とどうつながるのですか？
No.60597 - 2019/08/11(Sun) 18:27:40
☆ Re: 数列の極限値 / らすかる
> したがって、f’(α)>0なので、α<x<bではf’(x)>0になる、ということでしょうか？
その通りです。

> α<x_n-f(x_n)/f’(x_n)
f(x)は下に凸ですから、(x[n],f(x[n]))における接線を引くと
接線は(x[n],f(x[n]))以外ではf(x)より下にありますよね。
ということは、その接線とx軸の交点のx座標である
x[n]-f(x[n])/f’(x[n])においても、接線よりf(x)の方が上にあり、
αはその交点よりも左側にあります。
4行目とのつながりは、
f’(x)＞0かつf’’(x)＞0 という条件によって
「αが接線とx軸との交点よりも左側にある」と言えるためです。
もしf’(x)＜0かつf’’(x)＞0だとしたら、αは接線とx軸との交点よりも
右側にあることになり、α＞x[n]-f(x[n])/f’(x[n])となりますので、
「α＜x[n]-f(x[n])/f’(x[n])」と言うためには「f’(x)＞0」という条件が必要です。
No.60598 - 2019/08/11(Sun) 18:53:27
☆ Re: 数列の極限値 / 美雪
ありがとうございました！今度こそ本当にわかりました！
No.60612 - 2019/08/12(Mon) 20:26:14
★ (No Subject) / 互いに素
a,b( これらは互いに素)
の時、aと a+2bも互いに素である。

合っていますか？
合っているなら証明を教えていただけませんか？
No.60524 - 2019/08/07(Wed) 19:44:26
☆ Re: / ＩＴ
たとえば　a=2,b=1（奇数） が反例では？

反例は　a=6（偶数）,b=5（aと互いに素） などもあります。
No.60525 - 2019/08/07(Wed) 20:17:42
★ 高3 対象高3 卒業生 / りょ
よろしくお願いします。
No.60521 - 2019/08/07(Wed) 17:12:28
☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / らすかる
3つ投稿された問題に何か違いがあるのですか？
No.60522 - 2019/08/07(Wed) 17:17:01
☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / りょ
> 3つ投稿された問題に何か違いがあるのですか？

すみませんミスです。
No.60523 - 2019/08/07(Wed) 17:32:19
☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / らすかる
(1)
a=bのとき2式はx^2+ax+a=0, y^2+ay+a=0となるが
「x^2+ax+a=0が整数解をもつ」と「y^2+ay+a=0が整数解をもつ」は同値なので
x^2+ax+a=0が整数解をもつ条件を考えればよい。
x={-a±√(a^2-4a)}/2なのでa^2-4aが平方数でなければならない。
a^2-4a＜a^2-4a+4=(a-2)^2なので
(a-3)^2＜a^2-4aのとき平方数にならない。
これを解くとa＞9/2なので、平方数になるためには少なくともa≦4
またa^2-4a≧0でなければならず、これを解くとa≦0またはa≧4なので
a＞0という条件と合わせるとa^2-4aが平方数になる可能性があるのはa=4のみ。
a=4のときx^2+ax+a=x^2+4x+4=(x+2)^2なので
x=-2という整数解を持つ。
従って条件を満たすaはa=4。

(2)
x^2+ax+b=0の2解をα,β（α≦β）とすると、解と係数の関係から
α+β=-a＜0, αβ=b＞0なのでα≦β＜0
もしβ＜-2とすると
β＜-2の両辺にαを掛けてαβ＞-2α … (a)
またα≦βから-α≧-βで両辺からαを引くと-2α≧-(α+β) … (b)
(a)(b)からb=αβ＞-2α≧-(α+β)=aとなりa＞bという条件に反する。
従ってβ=-1,-2

β=-1のとき
a=-α+1,b=-α
y^2+bx+a=0はy^2-αx+(-α+1)となり
解はy=(α±√(α^2+4α-4))/2なので
少なくともα^2+4α-4が平方数にならなければいけない。
α^2+4α-4≧0の解はα≦-2-2√2,-2+2√2≦α
α≦β=-1なのでα≦-5 … (c)
α^2+4α-4＜α^2+4α+4=(α+2)^2なので
(α+3)^2＜α^2+4α-4のとき平方数にならない。
これを解くとα＜-13/2なので、平方数になるためには少なくともα≧-6 … (d)
(c)(d)からα=-5,-6
α=-5のときy^2+bx+a=y^2+5x+6=(y+2)(y+3)なので条件を満たす。
α=-5,β=-1のときa=6,b=5でこれは条件を満たす解の一つ。… (e)
α=-6のときy^2+bx+a=y^2+6x+7で整数解を持たないので不適。

β=-2のとき
a=-α+2,b=-2α
y^2+bx+a=0はy^2-2αx+(-α+2)となり
解はy=α±√(α^2+α-2)なので
少なくともα^2+α-2が平方数にならなければいけない。
α^2+α-2≧0の解はα≦-2,1≦α
α≦β=-2なのでα≦-2 … (f)
α^2+α-2＜α^2+α+1/4=(α+1/2)^2なので
(α+1)^2＜α^2+α-2のとき平方数にならない。
これを解くとα＜-3なので、平方数になるためには少なくともα≧-3 … (g)
(f)(g)からα=-2,-3
しかしα=-2のときa=4,b=4、α=-3のときa=5,b=6なので
いずれもa＞bという条件を満たさない。

以上により、条件を満たす整数の組(a,b)は(e)だけなので
(a,b)=(6,5)のみ。

# 内容は御確認下さい。
No.60526 - 2019/08/07(Wed) 22:07:57
☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / ＩＴ
(2)
x^2+ax+b=0…(i),y^2+by+a=0…(ii) を満たす整数x,y があったとき
a>b>0 から　x<0,y<0
x=y=-1 のとき　1-a+b=0,1-b+a=0 となり不適。よって　xy>1

a=y(y-x^2)/(xy-1)…(ア),b=x(x-y^2)/(xy-1)…(イ)

a>b より　(y(y-x^2)-x(x-y^2))/(xy-1)≧1
　∴y(y-x^2)-x(x-y^2)≧xy-1
∴-(x+1)(xy+x-y^2-1)≧0
x＝-1のとき (i)より　1-a+b=0 ∴　b=a-1
x＜-1のとき　xy+x-y^2-1≧0　すなわち　xy-1≧y^2-x > 0　（イより）
　　（イ）においてxとxy-1は互いに素なのでy^2-xはxy-1で割り切れる。
　　　　したがって　xy-1＝y^2-x　∴　b=-x
　　　　(i) より　b^2-ab+b=0 ∴　b-a+1=0 ∴b=a-1

いずれの場合も　b=a-1
これを(ii)に代入 y^2+(a-1)y+a=0
yは整数なので (a-1)^2-4a=a^2-6a+1 が平方数
　　a^2-6a+1＝n^2 をaについて解くと　n^2+8 が平方数、
このとき　n≧1なので n^2+8＝(n+1)^2 or (n+2)^2
∴ n=1 ∴　a=6,b=5　たしかにこれは条件を満たす。

# けっこうごちゃごちゃしてるので、計算間違いや論理の飛躍があるかもしれません。確認してください。
No.60531 - 2019/08/08(Thu) 00:30:15
☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / ＩＴ
(1) x^2+ax+a=0 の２つの整数解をα、βとおくと
解と係数の関係から　-a=α+β、a=αβ.
a＞0なので　α＜0、β＜0
また　αβ+α+β＝0　∴　（α+1)(β+1）＝1
∴（α+1)＝(β+1）＝-１
∴α＝β＝-２　
∴a=4　たしかにこれは条件を満たす。
No.60532 - 2019/08/08(Thu) 00:49:57
☆ Re: 高3 対象高3 卒業生 / らすかる
> りょさん
ＩＴさんの解答の方が簡単で良いと思いますので、
私の回答は参考程度にお考え下さい。
No.60534 - 2019/08/08(Thu) 06:40:58
★ 駿台数学 / リョ
高3生です。式などもろもろよろしくお願いいたします
No.60520 - 2019/08/07(Wed) 17:11:08
★ 駿台数学 / リョ
式などもろもろよろしくお願いいたします。
No.60519 - 2019/08/07(Wed) 17:09:51
★ (No Subject) / ヌル
センターを改題してみたんですけど解けますか？
No.60516 - 2019/08/07(Wed) 12:16:04
☆ Re: / らすかる
各□に入るものが1桁の負でない整数かつ
エ≠1（1x^2とは普通書かないから）
オ≠1（1xとは普通書かないから）
カ≠0（普通、定数項が0のとき書かないから）
キ≠0（0のとき分数にしないから）
ク≠1（普通、分母が1のとき分数にしないから）
と考えると
エ＞0からx=0で最大値をとることはないからコ=1
f(-1),f(0)は整数なので最小値をとるxは-1でも0でもなく、
軸はx＜0の範囲にあるので軸は-1＜x＜0の範囲にあって
頂点が最小値となる。
f(x)=エ(x+オ/(2エ))^2-オ^2/(4エ)+カなので
軸はx=-オ/(2エ)、最小値は-オ^2/(4エ)+カ
最小値をとるx=-オ/(2エ)が分数、最小値の-オ^2/(4エ)+カが整数であることから
オ^2は4エで割り切れる偶数で、オは2エで割り切れない。
これを満たすエとオの組は
(エ,オ)=(4,4),(9,6),(8,8),(16,8)
の4組だが、エ+オ＜f(1)≦10であることから
(エ,オ)=(4,4)しかあり得ない。
このとき最大値が1桁の自然数になるような自然数カは1なので
f(x)=4x^2+4x+1と決まり、このとき
x=-1/2で最小値0をとり、x=1のとき最大値9をとるから
サは9。
No.60518 - 2019/08/07(Wed) 14:33:14
★ これ教えてください / むなはま
お願いします
できれば法線ベクトルを使って示していただきたい
No.60515 - 2019/08/07(Wed) 12:15:23
☆ Re: これ教えてください / X
方針を。

点(t,logt)を点Qとします。
y=logx
より
y'=1/x
∴点Qにおける接線の方向ベクトルを↑uとすると
↑u=(1,1/t) (A)
又
↑u⊥↑P[t]Q
により
↑u・↑P[t]Q=0 (B)
更に
↑P[t]Q=(t-f(t),logt-g(t)) (C)
(A)(B)(C)から
{t-f(t)}+(1/t){logt-g(t)}=0 (D)
さて、問題の円は点P[t]を中心とし、線分P[t]Qを
半径としてy軸に接するので、円の半径について
f(t)=√{{t-f(t)}^2+{logt-g(t)}^2} (E)
(D)(E)をf(t),g(t)についての連立方程式として解きます。
(条件からt-f(t)＞0に注意して、まずは(D)を使って
(E)からg(t)を消去することを考えます。)
No.60530 - 2019/08/07(Wed) 23:54:21
☆ Re: これ教えてください / X
敢えて法線ベクトルを使うのであれば以下の通り
の方針になります。

点(t,logt)を点Qとします。
y=logx
より
y'=1/x
∴点Qにおける法線の方向ベクトルを↑nとすると
↑n=(1,-t) (A)
又
↑n//↑P[t]Q
により
↑P[t]Q=k↑n (B)
(kは実数)
更に
↑P[t]Q=(t-f(t),logt-g(t)) (C)
(A)(B)(C)から
t-f(t)=k (D)
logt-g(t)=-kt (D)'
さて、問題の円は点P[t]を中心とし、線分P[t]Qを
半径としてy軸に接するので、円の半径について
f(t)=√{{t-f(t)}^2+{logt-g(t)}^2} (E)

(D)(D)'(E)をf(t),g(t),kについての連立方程式
として解きます。
(条件からt-f(t)＞0に注意して、まずは(D)(D)'
を使って
(E)からf(t)をkで表すことを考えます。)
No.60533 - 2019/08/08(Thu) 04:43:18
★ 空間図形 / Qちゃん
1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。立方体の中心をOとする。Oを中心とする半径rの球面をSとする。

(1)Sが平面BDEに接するときのrを求めよ。

(2)S上の点で、Aが見えるようなすべての点から、3頂点B、D、Eのうち少なくとも1点が見えるようなrの条件を求めよ。

ただしS上の点Pから頂点Aが見えるとは、AがSの外部にあり、線分PAとSの共有点Pのみであることである。

以前の質問が流れてしまったので再質問です。(1)、(2)とも教えてください。よろしくお願いします。
No.60513 - 2019/08/07(Wed) 04:29:54
☆ Re: 空間図形 / らすかる
(1)
横から見た図をxy平面上に
A(-1/√2,1/2),B=D=(0,1/2),C=(1/√2,1/2),
E(-1/√2,-1/2),F=H=(0,-1/2),G=(1/√2,-1/2),
O(0,0)
となるように描くと、平面BDEは直線BE(y=(√2)x+1/2)となり
原点からこの直線までの距離は点と直線の距離の公式により√3/6
∴r=√3/6

(2)
対称性から、A,O,Bを含む平面とA,O,Dを含む平面で区切られた4領域のうちで
Cを含む領域だけ考えれば十分。
線分BOとSの交点付近は必ずBから見え、線分DOとSの交点付近は
必ずDから見えるので、BとDから最も遠い、BDの垂直二等分面
（A,O,Cを含む平面）とSの交線上の点について考えればよい。
r=√3/6のとき、△BDEがSに接し、接点は線分AO上にあるので
r＞√3/6のときこの点はAから見えるがB,D,Eから見えず、
r≦√3/6のときB,D,Eから見える。
BDの垂直二等分面上でB,Dから見える範囲でAから最も遠い点は
BDを通りSに接する平面のうちAから遠い方の平面とSとの接点だが、
この点はAから見えないので、r≦√3/6のときにAから見えて
B,Dから見えない点はない。
従ってr≦√3/6が必要十分条件となる。
No.60517 - 2019/08/07(Wed) 14:07:27
☆ Re: 空間図形 / Qちゃん
今回も助けていただき、ありがとうございました。
No.60586 - 2019/08/11(Sun) 03:42:46
★ 不等式の文章題 / 美雪
参加者全員を60人乗りのバスに乗せると最後の1台は空席が24席になる。当日の参加者は70人少なかった。51人ずつ乗せるとバスの台数が足りなくなり、52人ずつ乗せると最後のバスの乗客数は48人未満になる。参加者数とバスの台数を求めよ。

参加者数x人、バスの台数y台とおきます。

第一文より、x=60(y-1)+(60-24)です。

第二文前半より、x-70>51yです。

ここから先がわかりません。詳しく教えてください。
No.60510 - 2019/08/06(Tue) 22:36:15
☆ Re: 不等式の文章題 / らすかる
x=60(y-1)+(60-24)からx=60y-24…(1)
x-70＞51yに代入して
60y-24-70＞51y
9y＞94
∴y＞10…(2)
第二文後半からx-70-48＜52(y-1)
整理してx＜52y+66
(1)を代入して
60y-24＜52y+66
8y＜90
∴y＜12…(3)
(2)(3)から y=11
(1)に代入してx=636
No.60511 - 2019/08/06(Tue) 22:54:23
☆ Re: 不等式の文章題 / 美雪
ありがとうございました！
No.60527 - 2019/08/07(Wed) 22:27:07
★ ベクトル / ア行
3番の問題全部バツなんですけど答えだけで解説が載ってないので
教えてください
No.60509 - 2019/08/06(Tue) 21:18:31
☆ Re: ベクトル / GandB
　ネタかではないかと思ったが（笑）
　ベクトル方程式の理解不足なのかな。

　平行四辺形 OACB なのだから
　　OA↑= BC↑, AC↑= OB↑.

　以下 t は適当な実数とする。

(1)直線 AB
　線分 AB 上の任意の点を P とし、AP:PB = t:(1-t) とすると
　　OP↑ = (1-t)OA↑+ tOB↑= (1-t)a↑+ tb↑.

(2)直線 MB
　線分 MB 上の任意の点を P とし、MP:PB = t:(1-t) とすると
　　OP↑ = (1-t)OA↑/2+ tOB↑= (1/2)(1-t)a↑+ tb↑.

(3)点 C を通り直線 AB に平行な直線。
　点 C を通り直線 AB に平行な直線と、辺 OB を延長した直線との交点を E とする。このとき
　　AB↑= CE↑.
　線分 CE 上の任意の点を P とし、CP:PE = t:(1-t) とすると
　　OP↑= (1-t)OC↑+ tOE↑
　　　　= (1-t)(OA↑+ AC↑)+ t*2OB↑
　　　　= (1-t)(OA↑+ OB↑) + 2tb↑
　　　　= (1-t)(a↑+ b↑) + 2tb↑
　　　　= a↑+ b↑- ta↑- tb↑+ 2tb↑
　　　　= a↑- ta↑+ b↑+ tb↑
　　　　= (1-t)a↑+ (1+t)b↑.
No.60514 - 2019/08/07(Wed) 11:09:38
☆ Re: ベクトル / ア行
ありがとうございます！
No.60553 - 2019/08/08(Thu) 22:27:35
★ 因数分解したとき(ｘ−１)が現れる条件 / てんぽら
高次方程式を因数分解したとき、
必ず因数の中に(ｘ−１)が現れる事になる
高次方程式の式の形の条件があるとどこかで聞いたのですが
その条件が思い出せません教えて下さい
No.60504 - 2019/08/06(Tue) 10:00:00
☆ Re: 因数分解したとき(ｘ−１)が現れる条件 / らすかる
係数の合計が0。
No.60505 - 2019/08/06(Tue) 15:03:11
☆ Re: 因数分解したとき(ｘ−１)が現れる条件 / てんぽら
らすかるさん すっきりしました ありがとう御座います
No.60506 - 2019/08/06(Tue) 16:55:30
★ わかりません。解き方お願いします / 神城夜空
xの連立不等式
x＋b＞3xー5、x＋3＜ax＋2（ただしa＞1とする）の解が1＜3となるのはa＝□、b＝□の時である
□に当てはまる数値をそれぞれ求めよ
No.60498 - 2019/08/05(Mon) 22:24:19
☆ Re: わかりません。解き方お願いします / らすかる
「1＜3」は「1＜x＜3」の誤りと判断します。

x+b＞3x-5 を解いて x＜(b+5)/2
x+3＜ax+2 を解いて x＞1/(a-1)
よって(b+5)/2=3,1/(a-1)=1となればよいので、
これらを解いてa=2,b=1
No.60499 - 2019/08/05(Mon) 23:53:57
☆ Re: わかりません。解き方お願いします / 神城夜空
ありがとうございます！ミスに気付きませんでした
とてもわかりやすかったです。
No.60508 - 2019/08/06(Tue) 19:16:36
★ 連立方程式で / 50才
10x+3=15y+5=21z+8

x、y、zの求め方を教えて下さい
No.60490 - 2019/08/05(Mon) 18:04:40
☆ Re: 連立方程式で / 50才
すいません
問題が誤っていました

10x+3=15y+21z+5

です。
よろしくお願いします。
No.60491 - 2019/08/05(Mon) 18:15:39
☆ Re: 連立方程式で / 50才

スマートフォンからで何度も誤ってすみません。

10x+3=15y+8=21z+5

です。
No.60492 - 2019/08/05(Mon) 18:17:53
☆ Re: 連立方程式で / 元中3
x,y,zは整数ですか？実数や有理数なら解は無数にあって、定まりません。
x,y,zが整数という仮定のもとで回答します。
まず10x+3=15y+8についてですが、両辺に7を加えれば左辺が10,右辺が15でそれぞれ割り切れますので両辺は30で割りまれ切れます
10x+3=15y+8=30k-7(kは整数)...(＊)と表されます。
よって10x+3=21z+5から
30k-7=21z+5
整理して10k-7z=4...?@
(k,z)=(-1,-2)は?@の特殊解だからすべての整数解は(k,z)=(7t-1,10t-1)(tは整数)と表される
k=7t-1から30k-7=210t-37となり、与えられた等式と(＊)より
10x+3=15y+8=21z+5=210t-37
よって与えられた等式を満足する整数x,y,zは(x,y,z)=(21t-4,14t-3,10t-2)(tは整数)

このような等式は連立方程式というよりは、一次不定方程式と呼ぶのではないかと思います。或いは等差数列の共通解とか。
私の知識が浅いだけかも知れませんが...
No.60493 - 2019/08/05(Mon) 19:31:19
☆ Re: 連立方程式で / らすかる
10x+3=15y+8=21z+5=kとおくと
x=(k-3)/10, y=(k-8)/15, z=(k-5)/21 なので
一般解は(x,y,z)=((k-3)/10,(k-8)/15,(k-5)/21)
整数の場合は
10x+3=15y+8=21z+5
辺々7足して 10(x+1)=15(y+1)=21z+12
辺々30足して 10(x+4)=15(y+3)=21(z+2)
この式の値は210tとおけるので
10(x+4)=15(y+3)=21(z+2)=210t
x+4=21t, y+3=14t, z+2=10t
∴(x,y,z)=(21t-4,14t-3,10t-2)
（これを一般解としてもよい）
No.60497 - 2019/08/05(Mon) 21:47:27
☆ Re: 連立方程式で / 50才
質問主の５０才です。
お二方ご説明ありがあとうございます。
ここまで難しい問題だとは思いませんでした。
社会人の一般教養問題集の中にあった問題で
実は問題文には前提がもう少し詳しく書いてあります。
（後出しですみません）

問題文は下記の通りです（要点だけ掻い摘んで）
?@会場におよそ６００人くらいの人がいる（正確な人数は分からない）
?A１０人グループを作ると３人余る
?B１５人グループを作ると８人余る
?C２１人グループを作ると５人余る
では、６人グループを作ると何人余るか？

自分は、?A?B?Cの条件のみから会場の正確な人数を求めることが出来ると思い
いろいろと計算しましたが収集が付かなくなり諦めました。
結果的には、６００前後で１０で割って３余る数を
適当に何個かピックアップして
条件?Aも?Bも満たす数を見つけ、最終的な解答を導きました。

ここで改めて質問なのですが
（教養問題そのものの解に対する質問ではなく
自分が疑問に思ったことに対する質問です）
仮にこの問題で?@の条件が示されなかった場合
会場にいる人数を条件?A?B?Cのみから求めることは可能なのでしょうか？
問題から解は正の整数のみとなります。
解が複数存在し得る場合、そのうちのひとつだけでも求められれば結構です。

もう一度質問をまとめます。

会場に人が沢山いる
１０人グループを作ると３人余る
１５人グループを作ると８人余る
２１人グループを作ると５人余る
会場には何人いるか？
（解が複数あればどれか一つで結構）

これは簡単に解くことができるのでしょうか？
No.60500 - 2019/08/06(Tue) 00:13:10
☆ Re: 連立方程式で / らすかる
解き方は上に書いてある通りでほとんど変わりません。

10x+3=15y+8=21z+5
辺々7足して 10(x+1)=15(y+1)=21z+12
辺々30足して 10(x+4)=15(y+3)=21(z+2)
この式の値は210tとおけるので 10(x+4)=15(y+3)=21(z+2)=210t
足した37を元に戻すと 10x+3=15y+8=21z+5=210t-37
よって会場の人数は
210×1-37=173, 210×2-37=383, 210×3-37=593, 210×4-37=803, …
のいずれかとなり、
「600前後」ならば593人となります。

上の計算式を文章で書くと、もっと簡単に感じられると思います。
10人グループなら3人余り、15人グループなら8人余り、21人グループなら5人余る
ということは、7人追加すれば
10人グループでピッタリ、15人グループでもピッタリ、21人グループなら12人余る
この後は「10人グループでピッタリ、15人グループでもピッタリ」を
崩さないように30人ずつ追加することにすると
たまたま最初に30人足しただけで21人グループの余り12+30=42=21×2なので
「21人グループでもピッタリ」になります。
つまり最初の状態
「10人グループなら3人余り、15人グループなら8人余り、21人グループなら5人余る」
に37人追加すれば10でも15でも21でも割り切れる人数になるということです。
実際、
10人グループで3人余っているところに37人追加すると余りが40人
→4グループ増えてちょうど
15人グループで8人余っているところに37人追加すると余りが45人
→3グループ増えてちょうど
21人グループで5人余っているところに37人追加すると余りが42人
→2グループ増えてちょうど
となります。
従って10と15と21の最小公倍数は210なので、
「37人追加すると210人の倍数」となり、
結局「人数は210人の倍数から37人引いた数」となります。
No.60501 - 2019/08/06(Tue) 02:01:54
☆ Re: 連立方程式で / らすかる
しかし

> 問題文は下記の通りです（要点だけ掻い摘んで）
> ?@会場におよそ６００人くらいの人がいる（正確な人数は分からない）
> ?A１０人グループを作ると３人余る
> ?B１５人グループを作ると８人余る
> ?C２１人グループを作ると５人余る
> では、６人グループを作ると何人余るか？

この問題文ならば、上のような計算は一切不要で、かなり簡単に解けます。
「10人グループを作ると3人余る」ということは、人数は奇数です。
「15人グループを作ると8人余る」ということは、
3人グループにするとグループ数が5倍+2グループとなって2人余りますので、
「3人グループを作ると2人余る」ということがわかります。
（「21人グループを作ると5人余る」からも同じ結果が導けます。）
「3人グループを作ると2人余る」ならば、
6人グループを作った場合は2人余るか5人余るかのどちらかですが、
人数が奇数ですから「5人余る」が答えとなります。
No.60502 - 2019/08/06(Tue) 02:07:58
☆ Re: 連立方程式で / 50才
ご説明ありがとうございました。
会場の人数の求め方、私には到底考えが及ばない解法でした。
また、会場の人数が未知のままでも余りが求まるということには驚きました。
自分の数学教養がどの程度なのか改めて知ることができました。
そして数学が美しいと言われる理由が私のレベルなりに感じれました。
ありがとうございます。
No.60503 - 2019/08/06(Tue) 07:52:00
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