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★ 【大学数学】集合 要素の個数 / グルカゴンA
以下の問題2問の回答をお願いします。

====================================================
Q.A=｛n | n ∈ N , n <= 12 ｝とする。
以下の集合族の要素の個数を求めよ。

1)2のA乗
2)F = ｛X | X ⊂ A , |X| = 4｝
====================================================

よろしくお願い致します。m(_ _)m
No.59565 - 2019/06/30(Sun) 19:26:13
★ わかりません！ / はるはる
数B ベクトルの問題です。
空間座標かなとは思うのですが、取り組み方が分からず解けません。答えも分からないのですが、できたら回答お願いします。
No.59562 - 2019/06/30(Sun) 18:51:30
☆ Re: わかりません！ / X
(1)
条件から点Gは線分ACの中点ゆえ
↑OG=(↑a+↑c)/2 (A)

(2)
点Rは平面α上の点ですので条件から
↑OR=x↑OP+y↑OQ+z↑OR (B)
x+y+z=1 (C)
↑OP=(1/2)↑a (D)
↑OQ=(1/3)↑b (E)
(A)(B)(D)(E)より
↑OR=(1/2)x↑a+(1/3)y↑b+z(↑a+↑c)/2
=(1/2)(x+z)↑a+(1/3)y↑b+(1/2)z↑c (B)'
一方、点Rは辺BC上の点でもあるので
↑OR=u↑b+(1-u)↑c (F)
0≦u≦1 (G)
ここで
↑a,↑b,↑cは同一平面上になく
かつ
↑a,↑b,↑cは互いに平行でなく
かつ
↑a≠↑0かつ↑b≠↑0かつ↑c≠↑0
ですので(A)'(F)の係数を比較することができ
(1/2)(x+z)=0 (P)
(1/3)y=u (Q)
(1/2)z=1-u (R)
(C)(G)(P)(Q)(R)を連立して解き
(x,y,z,u)=(-4/3,1,4/3,1/3)
∴↑OR=(↑b+2↑c)/3

(3)
これは方針だけ。
前半)
点Hは平面α上の点ゆえ(C)(B)'と同様にして
↑OH=(1/2)(1-p)↑a+(1/3)p↑b+(1/2)q↑c (H)
(p,qは実数)
と置くことができます。
ここでOH⊥αにより
↑OH・↑PQ=0 (I)
↑OH・↑QR=0 (J)
(A)(D)(E)(H)を(I)(J)に用いることでp,qについての
連立方程式を立てます。
但しその際、前準備として
↑a・↑b,↑b・↑c,↑c・↑a
の値を求める必要があります。

後半)
前半の結果を使い
|↑OH|^2
の値を求めます。
No.59576 - 2019/07/01(Mon) 01:00:33
☆ Re: わかりません！ / はるはる
解けました！！ありがとうございました〜！！
No.59577 - 2019/07/01(Mon) 01:11:36
★ (No Subject) / マーク42
θの範囲は90°＜θ＜180°なのですが、
?@もθと同じ大きさと仮定して範囲は90°＜θ＜180°ですが、範囲90°＜θ＜180°でのθを大きさのみで使うとしたところ
A'に関して、
cos(180°-θ)=cosθ
sin(180°-θ)=-sinθと導け、
矛盾がなく点A'の座標が(cosθ,-sinθ)と導けたため、範囲は90°<θ<180°ですが、「(向きを持たない)大きさ」としてθを利用できることがわかったためθの大きさを利用したという事でしょうか？

今更ではありますが、θの範囲は90°<θ<180°なのに、なぜθが範囲外でも使えるのか使えるのか疑問です。
正しい座標が導ける計算が得られるためθの大きさだけならば範囲外でもθは使えるということでしょうか？
No.59555 - 2019/06/30(Sun) 12:08:18
☆ 範囲外でのθの使い方について。 / マーク42
すいません件名を入れ忘れました。
No.59556 - 2019/06/30(Sun) 12:09:00
☆ Re: / 関数電卓
> cos(180°-θ)=cosθ
> sin(180°-θ)=-sinθと導け、
> 矛盾がなく点A'の座標が(cosθ,-sinθ)と導けたため、…

↑は成り立ちません。θ＝120°のとき、
cos(180°−θ)、cosθ の値はいくらですか？
sin(180°−θ)、sinθ の値はいくらですか？
No.59558 - 2019/06/30(Sun) 13:07:45
☆ Re: / マーク42
解答ありがとうございます。
すいません。間違えました。
cos(180°-θ)=—cosθ
sin(180°-θ)=sinθです。
No.59561 - 2019/06/30(Sun) 18:15:02
☆ Re: / 関数電卓
> すいません。間違えました。
> cos(180°-θ)=—cosθ
> sin(180°-θ)=sinθです。
本当にわかっているのですか？ 日頃正しい計算ができる人は、こんな凡ミスはしませんよ。ま、それはさておき

> θの範囲は90°<θ<180°なのに、なぜθが範囲外でも使えるのか使えるのか疑問です。
意味不明の日本語です。
　cos(180°−θ)＝−cosθ や sin(180°−θ)＝sinθ が 90°＜θ＜180°の外でも成り立つのはなぜか？
という意味ですか？
No.59563 - 2019/06/30(Sun) 19:05:35
☆ Re: / マーク42
わかりにくくてすいません。
いいえ、そうではなく、
cos(180°−θ)＝−cosθ や sin(180°−θ)＝sinθ と導けるため、正しい計算が導けるため、θの範囲は90°＜θ＜180°ですが、画像のように左側に持ってきて180°から始まるようなθも作れるということでしょうか？
No.59564 - 2019/06/30(Sun) 19:12:07
☆ Re: / 関数電卓
> 画像のように左側に持ってきて180°から始まるようなθも作れるということでしょうか？
そのようなθを 『作った』 として、いったいどうしよう、何に使おうとしているのですか？ はっきりいって、無駄な努力です。
No.59566 - 2019/06/30(Sun) 19:31:46
☆ Re: / マーク42
何に使うというわけではないですが、範囲外θがそのまま使える理由が知りたかっただけです。
No.59568 - 2019/06/30(Sun) 20:57:54
☆ Re: / 関数電卓
> 範囲外θがそのまま使える理由
回答： 通常 x 軸は右向きを正にとりますが、左向きを正にとっても一向に構わない からです。
貴方が納得されるかどうかですが…！？！
No.59569 - 2019/06/30(Sun) 21:24:43
☆ Re: / マーク42
解答ありがとうございます！！

もちろん時計回りを正にとっても一向に構わないことは知っています。
ですが、今回の図は反時計回りを正にしています。
反時計回りに正のθの範囲 90°＜θ＜180°として、
範囲 90°＜θ＜180°以外の角度の範囲でθを使い180°−θとしました。θの範囲は90°＜θ＜180°なのにθの範囲外でθを使ったのにcos(180°-θ)=—cosθ
sin(180°-θ)=sinθと正しい式が導けた理由がわかりません。
No.59573 - 2019/06/30(Sun) 23:07:48
☆ Re: / 関数電卓
私は、
> 時計回りを正にとっても一向に構わない
などと言っていません。
>> x 軸は 左向きを正にとっても一向に構わない
と言ったのです。

回答：「x 軸を右向きを正にとったとき」 の 「反時計回り」と、「x 軸を左向きを正にとったとき」 の 「時計回り」 とは、完全に一致します。だから、『正しい式が導けた』 のは当然 なのです。

で、納得してくれますか？
No.59574 - 2019/06/30(Sun) 23:42:03
★ (No Subject) / aaaaaaaa
線対称かつ点対称な図形の対称軸は対称の中心を通りますか?

正しければ証明を、違うならば反例を下さい。
No.59552 - 2019/06/30(Sun) 11:23:18
☆ Re: / らすかる
偽ですね。
xy平面上の図形
(1,4m+2),(-1,-4n)　（m,nは整数）
（x=1上とx=-1上に無限個の点がジグザクに並ぶ図形）
はy=2kに関して線対称、(0,2i+1)に関して点対称ですが
線対称の対称軸と点対称の中心がずれていて、
点対称の中心を通る対称軸はありません。
No.59570 - 2019/06/30(Sun) 22:07:54
☆ Re: / aaaaaaaa
ありがとうございます。
No.59571 - 2019/06/30(Sun) 22:20:24
★ 近大医学部 / 数学苦手すぎて…
大門3がわかりません
解答を教えてください
No.59551 - 2019/06/30(Sun) 10:26:21
☆ Re: 近大医学部 / X
(1)
条件から
S[0]=(辺の長さ1の正三角形の面積)・6
=6・(√3)/4
=(3/2)√3

(2)
条件から△A[n+1]B[n]B[n+1]において余弦定理により
A[n+1]B[n+1]^2=A[n+1]B[n]^2+B[n]B[n+1]^2-2A[n+1]B[n]・B[n]B[n+1]cos∠A[n+1]B[n]B[n+1]
={(1-t)A[n]B[n]}^2+{tA[n]B[n]}^2-2(1-t)A[n]B[n]・tA[n]B[n]cos(2π/3)
={(1-t)^2+t^2+(1-t)t}(A[n]B[n])^2
=(t^2-t+1)(A[n]B[n])^2
∴A[n+1]B[n+1]=A[n]B[n]√(t^2-t+1)
となるので
A[n]B[n]=A[0]B[0](t^2-t+1)^{(n-1)/2}
=(t^2-t+1)^(n/2)
よって正六角形A[0]B[0]C[0]D[0]E[0]F[0]
と正六角形A[n]B[n]C[n]D[n]E[n]F[n]との相似比により
S[n]=S[0]{(t^2-t+1)^(n/2)}^2
={(3/2)√3}(t^2-t+1)^n

(3)
(2)の結果によりS[2]について
{(3/2)√3}(t^2-t+1)^2=(24/25)√3
これを解いて0＜t＜1を満たすtを求めます。

(4)
(2)の結果により
S[n]＜1/210
から
{(3/2)√3}(t^2-t+1)^n＜1/210
これにt=1/3を代入すると
{(3/2)√3}(7/9)^n＜1/210
両辺の常用対数を取って整理をし、与えられた近似値を
代入してnの値の範囲を求めます。
No.59560 - 2019/06/30(Sun) 16:48:37
★ 近大 / 数学苦手すぎて…
大門2がわかりません
解答を教えてください
No.59550 - 2019/06/30(Sun) 10:25:43
☆ Re: 近大 / X
(1)
条件からC[1]、C[2]の交点のx座標について
x^2=-(x-1)^2+k
∴2x^2-2x+1-k=0 (A)
(A)が異なる2つの実数解を持てばよいので
解の判別式をDとすると
D/4=1-2(1-k)＞0
∴-1/2＜k

(2)
条件から(A)の解がα,βゆえ、解と係数の関係から
α+β=1 (B)
αβ=(1-k)/2 (C)
∴(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ
=1-2(1-k)
=2k-1 (D)

(3)
求める長さをlとすると
l^2=(β-α)^2+(β^2-α^2)^2
={(β-α)^2}{1+(α+β)^2}
これに(B)(D)を代入すると
l^2=2(2k-1)^2
(1)の結果より
2k-1＞0
ゆえ
l=(2k-1)√2

(4)
(2)の結果から線分ABの傾きは
(β^2-α^2)/(β-α)=α+β=1
一方、C[2]の方程式から
y'=-2(x-1)
∴lの接点のx座標において傾きについて
-2(x-1)=1
となるので
x=1/2
よってlの方程式は
l=(x-1/2)+{-(1/2-1)^2+k}
整理をして
y=x-3/4+k
よってlとC[1]との交点のx座標について
x^2=x-3/4+k
これより
x^2-x-k+3/4=0　(E)
(E)の解をu,vと置くと解と係数の関係から
u+v=1
uv=-k+3/4
よって
CD^2=(u-v)^2+(u^2-v^2)^2
={(u-v)^2}{1+(u+v)^2}
={(u+v)^2-4uv}{1+(u+v)^2}
=2{1-4(-k+3/4)}
=2(4k-2)
=4(2k-1)
となるので
CD=2√(2k-1)
∴(3)の結果により
AB/CD=√{(2k-1)/2}
No.59559 - 2019/06/30(Sun) 16:30:34
☆ Re: 近大 / 数学苦手すぎて…
わかりやすい解答ありがとうございます
(5)に、C1とC2で囲まれる部分の面積が9となるとき、kの値を求めよ。 とあるのですがこれも教えていただきたいです
No.59580 - 2019/07/01(Mon) 11:13:41
★ 近大 / 数学苦手すぎて…
大門一がわかりません
解答を教えてください
No.59549 - 2019/06/30(Sun) 10:25:01
☆ Re: 近大 / ＩＴ
(1) つくられる整数が３の倍数となるのは、３枚のカードの数字がどんな条件を満たすときかわかりますか？
No.59554 - 2019/06/30(Sun) 11:59:56
★ (No Subject) / PUNK
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=xy-%E2%88%9A(1-x%5E2-y%5E2)

xy-√(1-x^2-y^2)の最大値がどうやって、±（1/√2,1/√2）のときと求められるかがわかりません。
偏導関数に±（1/√2,1/√2）を代入すると分母が0になると思うのですが、なにか方法があるのでしょうか？
No.59545 - 2019/06/30(Sun) 03:37:28
☆ Re: / ＩＴ
x=rcosθ、y=rsinθ（0≦r≦1）と極座標に変換すると分かりやすいと思います。

与式=(1/2)(r^2)sin2θ-√(1-r^2)≦(1/2)(r^2)-√(1-r^2)、等号はsin2θ＝1のとき。＃
右辺は狭義単調増加なので最大になるのはr=1のときで最大値は1/2。

よって与式が最大になるのはsin2θ＝1、r=1のときで最大値は1/2。

＃等号はr=0 のときも成り立ちますね。最大値には関係しませんが。
No.59546 - 2019/06/30(Sun) 03:47:03
☆ Re: / らすかる
別解

√(1-x^2-y^2)＞0のとき、xyの値を変えずに
xとyの絶対値の比を大きくすれば、√(1-x^2-y^2)=0とできて
xy-√(1-x^2-y^2)の値は√(1-x^2-y^2)＞0のときより
大きくなるので、最大値をとるとき1-x^2-y^2=0。
よって1-x^2-y^2=0のもとでxyの最大値を考えればよい。
(xy)^2=x^2(1-x^2)=1/4-(x^2-1/2)^2から
(xy)^2はx=±1/√2,y=±1/√2のとき最大値1/4をとるので、
xyはx=y=±1/√2で最大値1/2をとる。
よってxy-√(1-x^2-y^2)もx=y=±1/√2で最大値1/2をとる。
No.59547 - 2019/06/30(Sun) 04:43:12
☆ Re: / PUNK
お二方ともわかりやすい解説ありがとうございます
No.59557 - 2019/06/30(Sun) 13:07:03
★ なぜEFがdθと置けるのか。 / マーク42
http://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/3-7.html
のサイトに関して線EFがなぜdθと近似的であれ長さdθと置けるのか知りたいです。
理由を踏まえて教えて頂けないでしょうか？
No.59544 - 2019/06/30(Sun) 00:02:26
☆ Re: なぜEFがdθと置けるのか。 / GandB
　まず、質問者が新たに書き込んだdθと、そのサイトの説明にあるdθとは何の関係もない。

https://chiebukuro.yahoo.co.jp/my/myspace_quedetail.php?writer=daito_0216_1995

での愉快な質問の一覧を見る限り、ここでの回答は期待できないと思う。

　そこでだ。

　数学ナビの掲示板においてフェルマーの定理で大活躍している人がいる。数学的思考という点では質問者と大いに通じるところがあるはずだ。この人に相談してみたらどうかね。
　ただ、質問のやりとりは長くなりそうなので、掲示板での質疑応答は行わず、直接メール等でやってもらいたい。
No.59548 - 2019/06/30(Sun) 07:28:38
☆ Re: なぜEFがdθと置けるのか。 / 関数電卓
そもそも 「曲率」、「曲率半径」 が何なのかをきちんと理解しないで自己流の解釈をしようとするから、的外れで訳がわからない質問になり、回答のしようがなくなる。今までの一連の質問も全てそうです。

お尋ねの
http://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/3-7.html
は、あなたにとって難しすぎる。
やや少し易しい
http://www.eng.niigata-u.ac.jp/~nomoto/3.html
あたりがキチンと理解できたら、次に進む方がよいでしょう。

「曲率円」 とは、その点で曲線と 『２次の接触』 をする円で、その半径を 「曲率半径」，曲率半径の逆数を 「曲率」 といいます。式の中に２階微分 f '' が出てくるのは、そのためです。
No.59553 - 2019/06/30(Sun) 11:23:31
☆ Re: なぜEFがdθと置けるのか。 / マーク42
お二方、どうもありがとうございます！
相談できるならば相談してみます！
No.59572 - 2019/06/30(Sun) 22:59:36
☆ Re: なぜEFがdθと置けるのか。 / 関数電卓
『小同大異』 という言葉があるのかどうか知りませんが…
はたして 「相談」 してもらえるかどうか。何れにしても、メールでやって下さい。
No.59575 - 2019/07/01(Mon) 00:48:08
★ 教えてください / ちち
(1+i/n)^nの実部をa_n,虚部をb_nとする。このとき、lim[n→∞]a_n,lim[n→∞]b_nを求めよ。

お願いします
No.59541 - 2019/06/29(Sat) 21:45:35
☆ Re: 教えてください / 関数電卓
(1＋i/n)^n→e^i＝cos1＋isin1 (n→∞) です。cos,sin の中身は “1ラジアン” です。
No.59543 - 2019/06/29(Sat) 22:22:26
★ (No Subject) / パンチ
球の体積と表面積について
V(r)=4/3πr^3
S(r)=4πr^2 を微分すると

V'(r)=4πr^2
S'(r)=8πr となりますが
なぜ、体積を微分すると表面積になるのでしょうか？
また、表面積を微分した後の8πrとは何を
あらわしているのでしょうか？
図形的な意味などを教えていただけると嬉しいです。
No.59536 - 2019/06/29(Sat) 14:26:18
☆ Re: / らすかる
半径0の球〜半径rの球の表面を合わせると半径rの球になります。
つまり球の体積を求めるのに中心から外側方向に表面積を積分すれば
体積になりますので、体積を半径で微分すると表面積になります。
これは球に限らず、全ての面が内接球に外接する多面体（内接球に
外接する極小面の集合と考えられる曲面を含んでもよい）で成り立ちます。
例えば
半径rの内接球に外接する立方体の体積は8r^3、表面積は24r^2
半径rの内接球に外接する円柱の体積は2πr^3、表面積は6πr^2
半径rの内接球に外接する正三角柱の体積は(6√3)r^3、表面積は(18√3)r^2
半径rの内接球に外接する正四面体の体積は(8√3)r^3、表面積は(24√3)r^2
等々。
体積の微分は上記のように意味のある値になりますが、
表面積を半径で微分しても意味のある値にならない気がします。

# 二次元図形でも、同様にすべての辺が内接円に外接する多角形の
# 面積を微分すれば周の長さになります。
# 例えば半径rの円に外接する正方形の面積は4r^2、周の長さは8r
# 円も同様で、面積πr^2の微分が周の長さ2πrです。
No.59537 - 2019/06/29(Sat) 15:32:12
★ 1対1 / しょう
(イ)の解説で注の部分の式変形とどのように答えを出したのかがわかりません
No.59520 - 2019/06/29(Sat) 02:12:05
☆ Re: 1対1 / m
1 < √2 より
4-√2 < 4-1 = 3

√2 < 2 より
2 = 4-2 < 4-√2
No.59522 - 2019/06/29(Sat) 03:09:32
★ (No Subject) / べんきょ
イとウの違いについて質問します
同値性がくずれることをさけるために
A>=BならばA^2＞＝B^2かつA>=０、B>=０としますよね
イはその関係で５-X>=0かつX+1>=０さらに√5-X<X+1をかんがえて５-X>=0かつX+1>０となるのはわかります
しかしウでは３-３X＞＝0かつ２X-1＞＝０　以外にも
３-３X＞＝0かつ２X-1＜０の場合も考えていますよね？
イではそれを考えないのにウでは考える判断基準は何でしょか？
たしかにイで５-X>=0かつX+1＜０を考えるとX<-1となり
例えばこれを満たすX=-２を式に代入すると左辺＝√７、右辺＝-１となって
√５-X＜X+1とならないからこの場合は考えなくてよいという風にイで考えないで良い理由はわかります。こういった面倒な代入をイでもウでも毎回考えているのでしょうか？それともウの場合には「あっ、この場合は２X−１＜０も考えないとだめだな」と式を見ただけで判断できる材料が式にあるのでしょうか？最初√＞ルートでない数のときにウのようにするのかとも考えたのですが類似問題で√＜ルートでない数のような場合にもウのようにしていました。

もし判断基準があるのならば教えていただければ幸いです。
長くなって申し訳ありません
No.59514 - 2019/06/28(Fri) 19:08:51
☆ Re: / べんきょ
つづきです
No.59515 - 2019/06/28(Fri) 19:09:23
☆ Re: / べんきょ
申し訳ありません　こちらが画像の続きです
No.59516 - 2019/06/28(Fri) 19:10:09
☆ Re: / 黄桃
>同値性がくずれることをさけるために
>A>=BならばA^2＞＝B^2かつA>=０、B>=０としますよね

ここが誤解のもとです。特に、「A>=BならばA^2＞＝B^2」は間違いです。

A>=０、B>=０の時
A>=B　⇔　A^2＞＝B^2
なら正しいです。例えば、A>0, B<0 であれば、2乗して大小関係を比べてはいけない(A>0>Bなら考えるまでもなくA>B)のです。

√がつく方程式の場合は、√がつく側は必ず0以上という約束がありますが、√が付かない方は0以上とは限りません。
イの場合は、0≦√(5-x)<x+1 ということなので、x+1>0　が導かれますから、A,Bがともに0以上の場合です。
ウの√(3-2x)≧2x-1 の場合は、√(3-2x)≧0 はいえますが、これだけでは、2x-1と0との関係はわかりません。
だから負の場合は別扱い（というか負なら文句なく不等式が成立）しないといけない、ということです。

判断基準としては、「負の場合になりえるかどうか」です。
No.59529 - 2019/06/29(Sat) 09:41:54
☆ Re: / べんきょ
理解できました　ありがとうございました
No.59534 - 2019/06/29(Sat) 11:35:11
★ (No Subject) / ツナ缶
いろいろと考えていたら写真の式が出てきたのですが、自分では正しいのかどうかの判定ができないのでお力添え願いたいです。真の場合は証明を、偽の場合は反例をあげてくださると助かります。
No.59513 - 2019/06/28(Fri) 18:31:51
☆ Re: / らすかる
証明は今のところわかりませんが、
↓ここによると確かに成り立つようです。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28product+sin%28x-k%2Api%2Fn%29,k%3D0+to+n-1%29+%2A+%28-2%29%5E%28n-1%29
No.59518 - 2019/06/28(Fri) 22:57:23
☆ Re: / m
どうでしょう。
No.59521 - 2019/06/29(Sat) 03:02:52
☆ Re: / ツナ缶
多分正しそうです(今証明を追っている最中ですが笑)。返信ありがとうございます！
No.59525 - 2019/06/29(Sat) 06:52:52
☆ Re: / ＩＴ
ｍさんへ
簡明なすばらしい証明ですね！！

ツナ缶さん＞
>いろいろと考えていたら写真の式が出てきたのですが
思いつかれたのが　すごいですね。
着想の過程について簡単に教えていただけませんか。
No.59526 - 2019/06/29(Sat) 07:36:54
☆ Re: / ツナ缶
ITさんへ
少し計算をするとわかるのですが、(右辺の定数倍を除いた部分)=0の解xの集合はkを整数としてx=kπまたはx=π/n+kπまたはx=2π/n+kπまたは…またはx=(n-1)π/n+kπと表されるので、これをまとめるとtを整数としてx=tπ/nとなり(左辺)=0の解と一致します。なので(右辺の定数倍を除いた部分)の式は(左辺)の式と定数倍の差しかないのではないかと考えました。定数倍の部分の(-2)^(n-1)は実験で予想しただけです笑
No.59528 - 2019/06/29(Sat) 08:09:34
☆ Re: / ＩＴ
ツナ缶 さん

さっそくの回答ありがとうございました。
No.59533 - 2019/06/29(Sat) 11:05:37
☆ Re: / らすかる
右側のsinのカッコの中身「θ-(k/n)π」を「θ+(k/n)π」に変えると、
(-2)^(n-1)のマイナスが取れて2^(n-1)になりますね。
2sin(nθ) = Π[k=0〜n-1]2sin(θ+(k/n)π)
が綺麗でいいかも。
No.59535 - 2019/06/29(Sat) 11:39:23
☆ Re: / ツナ缶
確かにそうですね
No.59538 - 2019/06/29(Sat) 17:03:11
★ (No Subject) / 埼玉
A(-2,1) B(4,4) C(1,-2)とする

(1)三角形ABCの面積は いくつか
(2) P(x,y)が三角形ABCの内部および周を動く時
y/(x+4) の最大値と最小値を求めよ。
(3) 三角形ABCの外接円の方程式と、内接円の中心の座礁を求めよ。


お願いします。
(2)で詰まってしまいました
(2)の方針と(3)の方針をどなたかおしえていただけませんか？

答えは(2) 最小値 1/2 最大値 -2/5
(3)x^2+y^2-3x-3y-8=0
x座標は (√10-2)/2
です。
No.59509 - 2019/06/28(Fri) 15:33:43
☆ Re: / X
(2)
y/(x+4)=k
と置くと
y=k(x+4) (A)
かつ
x≠-4 (B)
これは点(-4,0)を通る傾きkの直線のうち
点(4,0)を除いたもの
を表します。
そこで座標平面上に△ABCと上記の直線を
図示した上で点(-4,0)を中心として
この直線を、△ABCの周及び内部と共有点を
もつように回転させ、傾きが最大、最小と
なる配置を求めます。

(3)
前半)
求める方程式を
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
と置き、これが点A,B,Cを通ることから
a,b,rについての連立方程式を立てます。
No.59511 - 2019/06/28(Fri) 16:08:14
☆ Re: / X
(3)
後半)
条件から二点間の距離の公式により
AB=BC=3√5
∴△ABCは∠Bを頂角とする二等辺三角形
となりますので、問題の内接円の中心は
辺CAの中点と点Bを通る直線(これをlとします)
の上にあることが分かります。

ここで辺CAの中点(Dとします)の座標は
D(-1/2,-1/2)
∴lの方程式は
y=1・(x-4)+4
つまり
y=x
従って、問題の内接円の中心をQとすると
Q(t,t)(但し-1/2＜t＜4)
と置くことができます。
一方、内接円の半径をrとすると
QD=r (P)
後は(1)の結果を使ってrの値を求めた上で
(P)を使ってtについての方程式を立てます。
No.59512 - 2019/06/28(Fri) 16:17:40
★ 数1 三角比の相互関係 / 高1
この写真の丸がついてるところを解いてみたんですがこれであってますか？
No.59508 - 2019/06/28(Fri) 14:33:47
☆ Re: 数1 三角比の相互関係 / X
(5)
間違っています。
問題の不等式から
2-2(cosθ)^2+3cosθ＜0
2(cosθ)^2-3cosθ-2＞0
(2cosθ+1)(cosθ-2)＞0
これと
-1≦cosθ≦1
により
-1≦cosθ＜-1/2
∴120°＜θ≦180°

(6)
正解です。

(9)
間違っています。
sinx=t
と置くと
0≦t≦1 (A)
で問題の関数は
y=2-2t^2+t=-2(t-1/4)^2+17/8 (B)
よって、横軸にt,縦軸にyを取った
(B)のグラフを(A)の範囲で考えることにより
最大値は17/8
(このときx=α,180°-α
但しαは
sinα=1/4,0°＜α＜90°
なる角)
最小値は1(このときx=90°)
No.59510 - 2019/06/28(Fri) 15:55:54
☆ Re: 数1 三角比の相互関係 / 高1
ありがとうございます！
No.59517 - 2019/06/28(Fri) 20:08:16
★ (No Subject) / あー
表裏とも赤いコインが4枚、表が赤で裏が白いコインが3枚ある。
コインを2枚だして投げたとき、2枚とも赤がでる確率の求め方を教えて下さい。
No.59501 - 2019/06/27(Thu) 13:55:48
☆ Re: / らすかる
1枚目が赤いコインである確率が4/7
そのとき
2枚目も赤いコインである確率は3/6=1/2
2枚目が赤白コインで赤が出る確率は(1/2)(1/2)=1/4
1枚目が赤白コインで赤が出る確率は(3/7)(1/2)=3/14
そのとき
2枚目が赤いコインである確率は4/6=2/3
2枚目も赤白コインで赤が出る確率は(2/6)(1/2)=1/6
よって求める確率は
(4/7)(1/2+1/4)+(3/14)(2/3+1/6)=17/28
No.59503 - 2019/06/27(Thu) 15:43:17
★ (No Subject) / Qちゃん
1辺の長さ1の正方形ABCDの対角線の交点をOとする。

点Oを中心としてこの正方形をθだけ回転してできる正方形をEFGHとし、2つの正方形の共通部分の面積をSとする。

Sをθで表せ。

ABとHEの交点をP、ABとEFの交点をQとします。

・解答ではPQ=1/(1+sinθ+cosθ)となっているんですが、なぜこうなるのかわからないです。

・△OPQ=1/2・PQ・1/2となっているんですが、この立式がわかりません。

・S=8△OPQとなっているんですが、これもわかりません。

わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。
No.59499 - 2019/06/27(Thu) 10:10:15
☆ Re: / X
>>PQ=1/(1+sinθ+cosθ)となっているんですが〜
辺BCと辺EFの交点をR
辺DAと辺HEの交点をT
とすると対称性により
△EPQ≡△APT≡△BQR
又、
∠ATP=∠EQP=∠BQR=θ
となることはよろしいですか？
このことから辺ABの長さについて
PQ+PQcosθ+PQsinθ=1
これをPQについて解くと
PQ=1/(1+sinθ+cosθ)
となります。

>>△OPQ=1/2・PQ・1/2と〜
辺PQを底辺と見ると高さはDAの長さの半分である
1/2となりますね。

>>S=8△OPQと〜
問題の図形を正方形ABCD,EFGHの各辺の交点と
点Oとを結ぶ線分で分割してできる三角形を
考えると、それら8つの三角形は互いに合同に
なっています。
No.59504 - 2019/06/27(Thu) 18:11:04
★ 分野不明 / 美雪
白石180個と黒石181個の合計361個の碁石が横に一列に並んでいる。碁石がどのように並んでも、次の条件を満たす黒石が少なくとも1個あることを示せ。

条件
その黒石とそれより右にある石をすべて除くと、残りは白石と黒石が同数となる。ただし、石が1つも残らない場合も同数とみなす。

N=(取り除かれた白石の個数)-(取り除かれた黒石の個数)とおき、考察せよ。

よろしくお願いします。
No.59497 - 2019/06/27(Thu) 08:19:50
☆ Re: 分野不明 / らすかる
「N=(取り除かれた白石の個数)-(取り除かれた黒石の個数)」の
使い方がよくわかりませんのでとりあえず無視します。

左端が黒石の場合、その石から右すなわち全ての石を除くと、
残りは白黒ともに0個となり条件を満たします。
右端が黒石の場合、その石から右すなわちその石だけを除くと、
残りは白黒ともに180個となり条件を満たします。
左端も右端も白石の場合
f(n)=(左からn番目の石から右にある白石の個数)-(左からn番目の石から右にある黒石の個数)
とします。f(1)=-1, f(2)=-2, f(361)=1です。
このとき、n番目の石が白石ならばf(n+1)=f(n)-1
n番目の石が黒石ならばf(n+1)=f(n)+1となります。
f(n)はnが1ずつ増加するのに対して1増えるか1減るかですから、
値が飛ぶことはありません。
そしてf(1)＜0、f(361)＞0なので、必ずどこかに
f(k)=-1,f(k+1)=0となる箇所があります。
このときk番目の石は黒であり、この黒石から右では
黒石の方が白石より1個多いので、k番目から右を除けば
残りは白黒同数になります。
従って条件を満たす黒石が必ず存在します。
No.59505 - 2019/06/27(Thu) 18:45:48
☆ Re: 分野不明 / ＩＴ
左端も右端も白石の場合

一番左の黒石では　N≦-2
一番右の黒石では　N≧0

このとき一番左の黒石から一番右の黒石に移動する途中でＮ＝-１のラインを下から上に通る。(表現がうまくないですがどういう意味か分かりますよね）

左から右に次の黒石に移るときＮは１増加するか、不変か減少する。

よって、どこかの黒石でＮ＝-１となる。
No.59507 - 2019/06/27(Thu) 21:33:04
☆ Re: 分野不明 / 美雪
ありがとうございました。よくわかりました。
No.59523 - 2019/06/29(Sat) 04:28:37
★ 数列の計算方法 / ベイジン
画像のE(max(X1,X2))の計算方法を教えてください。
No.59493 - 2019/06/27(Thu) 01:44:55
☆ Re: 数列の計算方法 / X
Σ[k=2〜N]k・2(k-1)/{N(N-1)}={2/{N(N-1)}}Σ[k=2〜N]k(k-1)
={2/{N(N-1)}}Σ[k=1〜N-1](k+1)k (∵)k-1を改めてkと置いた
={2/{N(N-1)}}Σ[k=1〜N-1](k^2+k)
={2/{N(N-1)}}{(1/6)(N-1)N{2(N-1)+1}+(1/2)N(N-1)}
=(1/3)(2N-1)+1
=(2/3)(N+1)
No.59495 - 2019/06/27(Thu) 05:50:02
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