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★ 算数 / ぽん太
大問4についてです。

解説も写真に載っていますが分かりません。

解説よろしくお願いします。
No.85841 - 2023/07/15(Sat) 20:03:40
☆ Re: 算数 / X
解説の最後(添付写真の解説の次のページ)から
逆に見ていきましょう。
まず、
辺IHの長さが辺BFの長さの何倍か
が分かれば、
△CHIの面積が△CHIの面積の何倍かが分かりますので
△BCFの面積が平行四辺形ABCDの面積に対する倍率と
組み合わせれば、△CHIの面積が平行四辺形ABCDの面積
の何倍かが分かります。

そのことを踏まえて、添付写真の解説の
頭と最後から3行目との間の計算は
辺IHの長さが辺BFの長さの何倍か
を求めるための計算であることは分かりますか？
No.85842 - 2023/07/15(Sat) 20:33:40
☆ Re: 算数 / ぽん太
これが解説の一番最後になります。

よろしくお願いします
No.85843 - 2023/07/15(Sat) 22:25:15
★ 命題 / 時透
以下の問題の解き方を教えてください。

次の命題の論証の妥当性をチェックしなさい。解答において、すべてのステップを示し、各ステップで適用される論理法則を（必要な箇所に）書きなさい。

A → B, A v C, C → ¬ B, D → B, ¬ C ∧ D ⇨ B ∧ ¬ C

答えとして、この論証は妥当であるでいいですか？
No.85840 - 2023/07/15(Sat) 11:22:04
★ 絶対値 / りお
すみませんがよろしくお願いします
No.85838 - 2023/07/15(Sat) 10:40:17
★ 絶対値 / りお

uーs以降がわかりません。ご教授頂きたいです
s≦t≦uの時g(x)＝lx -sl＋lxーtl＋lxーｕlを数直線上の点の距離の和と考えた式のようです
No.85836 - 2023/07/15(Sat) 09:18:11
☆ Re: 絶対値 / りお
問題です
No.85837 - 2023/07/15(Sat) 09:35:00
☆ Re: 絶対値 / IT
写しは（略解）で、自分で補完して答案を完成せよということですよね？

(i),(ii), のときの最小値を計算してみてください
(iii) のときのg(x) の計算結果が書いてないので分かりにくいかも知れません。書いてみてください。
それぞれの大きさを比較してみて下さい。

実は(i) のときでg(x)が最小になるときのxの値、(ii)のときでg(x)で最小になるときのxの値は、
いずれも(iii) のときに含まれますね。
No.85839 - 2023/07/15(Sat) 11:12:01
★ 代数的数、最小多項式 / ヨシS
(1)の証明について、和の形のままでは難しいと思い、式を2乗してp+q+2√pqとしてpqが無理数になるからp+q+2√pqは無理数だと証明できると考えたんですが、その場合は元の√p+√qを2乗してしまっているのでp+q+2√pqは無理数だと証明した後で何か処理をする必要ってありますか？
また、(2)は全体的によくわからないので両方解き方を教えてほしいです。よろしくお願いします。
No.85833 - 2023/07/15(Sat) 07:19:55
☆ Re: 代数的数、最小多項式 / ヨシS
すみません、1行目のところ「pqが無理数になるから」ではなく「√pqが無理数になるから」です
失礼しました。
No.85834 - 2023/07/15(Sat) 07:21:39
☆ Re: 代数的数、最小多項式 / IT
(1) もちろん、論述（元の√p+√qが無理数であることを示すこと）は必要です。
「有理数の２乗は、有理数」であることを使えばいいですね。

(2) 最小多項式の定義はもちろんですが、関連の概念や定理を習得しておられないと歯が立たないのではないかと思います。
逆に、それらを習得しておられれば、そんなに難しくないと思います。
（問題の前提事項が記載されてないので、確実ではないですが）
No.85835 - 2023/07/15(Sat) 09:06:10
☆ Re: 代数的数、最小多項式 / ヨシS
ありがとうございます！
参考にしてこのように解いてみたんですがどうでしょうか？
もし間違っているところがあれば教えてほしいです。
No.85844 - 2023/07/16(Sun) 07:16:04
☆ Re: 代数的数、最小多項式 / ヨシS
画像はこんな感じです
No.85845 - 2023/07/16(Sun) 07:17:42
☆ Re: 代数的数、最小多項式 / IT
(1) 証明になってない気がします。特に後半は何が言いたいのか分かりません。

(2) そもそも問題の前提条件（どんな世界で考えているのかなど）が記載されてないので、その授業を受けてない者には正確な議論ができないと思います。

また、求めた（最小多項式？）p(x)が「最小多項式」のすべての条件を満たしていることを示めす必要があると思います。
No.85856 - 2023/07/16(Sun) 09:54:31
★ 絶対値 / りお
uーs以降がわかりません。ご教授頂きたいです
s≦t≦uの時g(x)＝lx -sl＋lxーtl＋lxーｕlを数直線上の点の距離の和と考えた式のようです
No.85832 - 2023/07/15(Sat) 06:50:54
★ 整数問題 / 大西
1≦|m^n-n^m|≦10を満たす自然数(m,n)(m≦n)の組をすべて求めよ。

mが3以上だと解が存在しないと思うのですが、それを示すのがなかなかうまく行かなくて困っています。
教えてください。
No.85828 - 2023/07/14(Fri) 21:19:52
☆ Re: 整数問題 / らすかる
ちょっと雑ですが
m=3でn=m+1のときm^n-n^m=17
m≧4でn=m+1のときm^n-n^m=m^m・{m-(1+1/m)^m}＞4^4・(4-e)＞4^4
nが1増えるとm^nはm倍、n^mは(n+1)^m/n^m=(1+1/n)^m＜eから3倍未満なので
m^nの方がn^mより速く増加し、従って3≦m＜nのときm^n-n^m≧17が成り立つ。
No.85830 - 2023/07/14(Fri) 21:55:46
☆ Re: 整数問題 / 大西
らすかるさんご回答ありがとうございます。

私もm^nとn^mをグラフで比較して、m≧3、n≧4の領域で交点を持たないことを示そうと考えていましたが、あまりきれいに示せなかったので諦めていました。
ありがとうございました。
No.85831 - 2023/07/14(Fri) 22:07:24
★ 命題 / 林
次の命題を簡略化したものがあっているかどうか確認したいです。
( P v ¬ Q ) →(P Λ Q)

答えは (P v Q) ∧ (¬P v Q)でしょうか？
解答手順は、

1.(P v ¬Q) → (P ∧ Q)
2.¬(P v ¬Q) ∨ (P ∧ Q)
3.(¬P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q) (ドモルガン)
4.(¬P v P) ∧ (¬P v Q) ∧ (P v Q) (分配法則)
5.(¬P v Q) ∧ (P v Q) (べき等則)
6.(P v Q) ∧ (¬P v Q) (交換法則)

どうぞよろしくお願いします
No.85826 - 2023/07/14(Fri) 14:30:49
☆ Re: 命題 / ast
# v(ヴイ), Λ(ラムダ) と ∧(and), ∨(or) が「混ざってる」理由が分からんなあ…….
# 環境要因で入力しづらい記号を代用表記使って全編通したみたいなのとかならまだわかるが, 混ざるのは……?
## あとまあ, 代用したならしたで断り書きするべき (でないと伝わらん事のほうがおおい).

閑話休題.
> あっているかどうか確認したいです。
おそらくは, もっと単純な形になるだろう, という意味できっと完全に0点貰う答案だと思います (たとえ書かれていること自体に誤りが無くてもです).
参考: P∨¬Q ⇒ P∧Q (WolframAlpha)
　　: (P∨Q)∧(¬P∨Q) (WolframAlpha)

# というか, 最初の式と質問者の解答とした式とを比べて, もとよりむしろ面倒臭い式にすら見えるので
# 仮にそれが問題の要求する「簡略な形」であるはずと主張したいならば,
# そもそもどういう意味で簡略化されたと主張するのか根拠がないと誰も納得しないと思います.
# (ここでいう「根拠」とは, 何らかの形式をみたす「標準形」とか「簡約形」とかがあるのなら提示して
# 実際にそれら定められた形にきちんと帰着できた, というかたちで述べることです.)
No.85827 - 2023/07/14(Fri) 17:39:17
☆ Re: 命題 / ast
なお,
> 4.(¬P v P) ∧ (¬P v Q) ∧ (P v Q) (分配法則)
> 5.(¬P v Q) ∧ (P v Q) (べき等則)

について, ¬P∨P が除去できるのは ¬P∨P が恒真だからなので, 少なくとも 5 の行は (根拠が) 誤りです.
# 冪等は (語義は「何乗しても等しい」なので) 同じ命題同士の論理和や論理積はもとの命題に等しいという意味です.

まあ, 3の行から分配法則の逆で Q を括り出す操作で答えにたどり着けば 4,5 の行は要らないので, そういう意味では意味のない指摘ではありますが.
No.85829 - 2023/07/14(Fri) 21:52:27
☆ Re: 命題 / 林
1.(P ∨ ¬Q) → (P ∧ Q)
2.¬(P ∨ ¬Q) ∨ (P ∧ Q)
3. (¬P ∧ Q) ∨ (P ∧ Q)
4. (¬P ∧ Q) ∨ Q


でいいですかね？
No.85859 - 2023/07/16(Sun) 12:37:21
☆ Re: 命題 / ast
> でいいですかね？
再度, "もっと単純な形になるだろう, という意味できっと完全に0点貰う答案だと思います (たとえ書かれていること自体に誤りが無くてもです)" と返しておきます.
# 先の No.85827 で提示したリンク先にあるべき答えも書かれてるはずなんだけど, これは見てすらいなそう…….
No.85863 - 2023/07/16(Sun) 17:47:52
☆ Re: 命題 / 林
リンク先を見たら、最小形式Qと書いてあったので、最終的な答えはQでいいですかね？

失礼しました
No.85864 - 2023/07/16(Sun) 18:17:52
☆ Re: 命題 / ast
> 最終的な答えはQでいいですかね？
Yes/Noの当てっこゲームじゃないんだから根拠がちゃんとしないとだめですが, (No.85829 の最後に書いた通りですが,) 3 の (¬P∧Q)∨(P∧Q) が (¬P∨P)∧Q と同値ってのが分かっているならいいですよ.
No.85866 - 2023/07/16(Sun) 19:48:43
★ 大学、固有値問題 / あお
0.83 0.4
0.68 0.32

このような少数の行列の固有値を求める場合
λ^2-1.15-0.01＝0
のような二次式を解かなくてはならないと思うのですが、
このような二次式はどのようにして解けばいいですか？
小数第３位で四捨五入してもよいという条件です。
No.85822 - 2023/07/13(Thu) 21:24:13
☆ Re: 大学、固有値問題 / あお
・訂正
1.15λです
No.85823 - 2023/07/13(Thu) 21:24:49
☆ Re: 大学、固有値問題 / ヨッシー
２次方程式の解の公式で解けば良いでしょう。
電卓不可の場合は開平の筆算も。
No.85825 - 2023/07/14(Fri) 01:19:57
★ 数学 / まき
非常に基本的な内容の質問で申し訳ないのですが
No.85818 - 2023/07/12(Wed) 20:38:46
★ (No Subject) / みひ
サイズ1xnのコラージュデザインの数をa(n)とする。大きさ1x1の枠が4つ、大きさ1x2の枠が5つあるとき、大きさ1x4のコラージュデザインはいくつできるか。

答えは521なのですが、なぜそうなるかわかりません。
No.85814 - 2023/07/12(Wed) 11:59:36
☆ Re: / ヨッシー
そもそも、コラージュデザインの定義が不明ですが、
普通に、タイルはめと思えば良いでしょうか？

枠とは何ですか？　タイルの素材ですか？

ちなみに a(2), a(3) はいくつですか？
No.85815 - 2023/07/12(Wed) 15:46:13
☆ Re: / みひ
はい、タイルはめです。


a(1)=4でa(2)=5,a(3)は分かりません。
No.85820 - 2023/07/13(Thu) 09:35:42
☆ Re: / ヨッシー
a(2)=5 となる途中経過を書いてもらえますか？

私の理解では、
1x2 １個で埋める場合だけで５通りあるので、
a(2)＝5 ということはないと思います。

とにかく、条件が(暗黙の了解的なものも含め)圧倒的に欠落しています。
たとえば、左右ひっくり返して同じになるものは区別するのか
1x2 の枠は、１色だけで塗られているのか別の色なのか
そもそも塗るだけでなく何か絵が描かれていて、結局は、
ひっくり返したら別物としてカウントするのか
等。
No.85824 - 2023/07/14(Fri) 01:17:32
☆ Re: / 黄桃
問題がわかりにくいのは確かですが、答が書いてあるので、そこまで突っ込むのはちょっとかわいそうな気もします（もともと並べ方の問題では、人は区別するのに物は区別しないとか、わけのわからない仮定が多すぎるため、質問する方もどう区別するのかよくわかってないのでしょう）。

答から推測すれば、
横幅が１のタイルが4種類、横幅が２のタイルが5種類ある。タイルの置く向きは決まっている（回転したりしない）。
これらのタイルを横1列に並べる。横幅の合計がnの並べ方の総数を a(n)とする。a(4)を求めよ。
ということでしょう。

＃a(2)は1x1を2個置く場合を忘れたか、
＃問題の解釈を誤ったかで間違ったのでしょう。

一般のa(n)を、最後のタイルが幅１の場合と2の場合に分けて漸化式を立てれば　a(n)=4*a(n-1)+5*a(n-2)　となり、これから、a(n)=(5^(n+1)+(-1)^n)/6　となるので、これにn=4を代入して 521です。
ただし、n=4の場合だけだと以下のように地道に幅2のタイルの数で場合分けした方が答の521に早くたどり着きそうです。
2個使う時: 幅2のタイルを2つ並べる方法だから5x5=25 通り
1個使う時：　幅2のタイルの置き場所が3通り、それぞれの置き場所について（幅1のタイル2か所,幅２のタイル1か所）、4x4x5通りの置き方があるから、全部で 3x4x4x5=240通り
使わない時：　幅1のタイルを4つ並べる方法だから、4^4=256通り
全部足すと 521通り
No.85861 - 2023/07/16(Sun) 15:53:09
★ 次数 / とらみ

F(n-1) = (k^2)F(n -3) + 2kF(n-2) + F(n-5)　（kは定数）
なぜこの漸化式の次数は４になるのでしょうか？
No.85813 - 2023/07/12(Wed) 10:50:46
☆ Re: 次数 / ヨッシー
漸化式の特性方程式の次数ってことでしょうか？
No.85816 - 2023/07/12(Wed) 15:48:01
☆ Re: 次数 / とらみ
はい、そうです
No.85819 - 2023/07/13(Thu) 09:31:22
☆ Re: 次数 / ast
# あきらかに高校数学の範囲ではないので大学初年度級の知識は断らず使うことにするが…….

与えられた漸化式が線型で, 行列の記法を用いれば
　(F[n-1]; F[n-2]; F[n-3]; F[n-4])
　= ((2k, k^2, 0, 1); (1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0)) . (F[n-2]; F[n-3]; F[n-4]; F[n-5])
と書ける (ここでは "," は要素を横に ";" は要素を縦にならめる意味で用いている, すなわちたとえば左辺は縦ベクトル, 行列は行ベクトルを縦に並べる行ごとの表示にしている. また右辺の "." は行列の積) から, したがって
　(F[n-1]; F[n-2]; F[n-3]; F[n-4])
　= ((2k, k^2, 0, 1); (1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0))^(n-5) . (F[4]; F[3]; F[2]; F[1])
　(or
　　= ((2k, k^2, 0, 1); (1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0))^(n-4) . (F[3]; F[2]; F[1]; F[0]))

で, 4×4行列 ((2k, k^2, 0, 1); (1, 0, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 0)) の冪の計算 (そのために固有値・固有ベクトルから対角化 or 三角化) をする問題と理解できるから.

# 漸化式の特性方程式とは, 対応する行列の (線型代数的な意味での) 特性方程式そのものを意味している.
## でもこれ, 固有値も固有ベクトルもまともなものになる??? (WolframAlpha はなんかものすごいの返してくるけど……)
No.85821 - 2023/07/13(Thu) 19:26:24
★ (No Subject) / 雄馬
こういう風に置換して解く方法が自分には思いつく気がしないのですが、どうしてこういう発想が出てくるのでしょうか？
No.85810 - 2023/07/12(Wed) 06:56:41
☆ Re: / X
添付写真の解答では置き換えで簡単に解けている
ように見えますが、その解答は不完全です。

この解答を使うのであれば
lim[t→∞](logt)/t=0
の証明が必要です。
No.85817 - 2023/07/12(Wed) 17:36:08
★ 03　一橋大学 / こみち
1が書かれたカードが２枚、２が書かれたカードが２枚、・・・,ｎが書かれたカードが２枚の合計2n枚のカードをよく混ぜ合わせた後、１枚ずつ左から順に並べる。
この時、カードに書かれている数の列をa1,a2,a3,・・・,anとする。ak≧a(k+1)となる最小の数のkをXとする。X=1となる確率を求めよ。
という問題で、
私は、最初の2枚を取り出す場合の組み合わせは、全体で2n*(2n-1)通りで、a1がa2以上になる場合の数は、a1と同じ数がa2に出た時と、a1より小さい数が出た時で、a1=nのとき1+2(n-1)、a1=n-1のとき1+2(n-2)のとき・・・a1=1のとき1+2*0となるので、
1+3+5+・・・+(2n-1)通り、すなわち、2(1/2)n(n+1)-n=n^2通りになり、
n^2/2n*(2n-1)=n/(4n-2)
になると考えましたが、答えはn/(2n-1)でした。何が間違っているのでしょうか
No.85807 - 2023/07/11(Tue) 21:35:35
☆ Re: 03　一橋大学 / ヨッシー
例えば、
　a1=nのとき1+2(n-1)
が、ｎが２枚あるので、場合の数としては、２倍になるためです。

別解として、
2n*(2n-1) 通りのうち、
(1,1) (2,2) ・・・(n,n) の 2n 通りは条件を満たします。
残りの 2n*(2n-2) 通りのうち、半分の 2n(n-1) 通りは条件を満たします。
以上より、条件を満たすのは 2n^2 通りとなります。
No.85812 - 2023/07/12(Wed) 10:26:01
★ 4次方程式です / ゆい
x^4+ax^2-a+8=0が四つの異なる実数解を持つような定数aの範囲を求めよ。
なぜ判別式だけではいけないのでしょうか？
No.85800 - 2023/07/11(Tue) 14:36:18
☆ Re: 4次方程式です / ヨッシー
解説文
　Ｘ（＞０）が２つ存在すること
の、（＞０）の意味を考えましょう。
もし、Ｘ＝０　や　Ｘ＜０　だったら
それでも実数ｘは４つ存在しますか？
No.85801 - 2023/07/11(Tue) 15:06:05
☆ Re: 4次方程式です / ゆい
しないですね。
なぜここでは軸が0以上とf(0)を考えているのでしょうか？
No.85802 - 2023/07/11(Tue) 15:14:55
☆ Re: 4次方程式です / ヨッシー

判別式も含め、３つの条件のうち、一つでも欠けると、
グラフがどうなるかを示しました。
No.85809 - 2023/07/12(Wed) 01:13:35
★ 関数 / ゆい
実数a,bに対し、xについての2次方程式
x^2- 2ax+b=0が次のそれぞれのような解を持つための
a,bの条件を求め，点（a,b）の存在範囲を図示せよ。
0≦x≤1の範囲に少なくとも1つ。
上の図が回答です。0<a<1が反映されていないと思います。なぜこれで良いのでしょうか？
No.85798 - 2023/07/11(Tue) 13:26:28
☆ Re: 関数 / ヨッシー
f(x)＝ｘ^2−2ax＋b とおきます。
(1) f(0)≦0 かつ f(1)≧0 の場合
　b≦0 かつ 1−2a＋b≧0
(2) f(0)≧0 かつ f(1)≦0 の場合
　b≧0 かつ 1−2a＋b≦0
(3) Ｄ≧0 かつ 軸：0≦a≦1 かつ f(0)≧0 かつ f(1)≧0 の場合
　ａ^2−b≧0 かつ 0≦a≦1 かつ　b≧0 かつ 1−2a＋b≧0
となったと思いますが、
まず (1)と(2) から、ａ軸と、ｂ＝2a−1 とで区切られた部分の
右上と左下は全部ＯＫです。
それに (3) の領域が加わるわけですが、もし、0≦a≦1 を考慮しないと、
第２象限（グラフの左上の部分）や、右上の細い部分にも、領域が描かれるはずですが、
そうなっていないので、0≦a≦1 が考慮されていると言えます。
No.85799 - 2023/07/11(Tue) 13:48:09
★ 複素数平面 / さ
(2)を教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️
No.85792 - 2023/07/10(Mon) 22:21:29
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー
ｘ^2−√3ｘ＋1＝0 を解くと、
　ｘ＝(√3±ｉ)/2
よって、
　α＝cos(π/3)＋ｉsin(π/3)　　・・・(1) の答え
一方、
　β＝cos(π/4)＋ｉsin(π/4)
であるので、
　αβ＝cos(π/3＋π/4)＋ｉsin(π/3＋π/4)
　　　＝cos(7π/12)＋ｉsin(7π/12)
　(αβ)^n＝cos(7ｎπ/12)＋ｉsin(7ｎπ/12)
より、ｎ＝３ のとき
　(αβ)^3＝cos(7π/4)＋ｉsin(7π/4)
となり条件を満たします。
No.85795 - 2023/07/11(Tue) 11:36:08
☆ Re: 複素数平面 / X
横から失礼します。
＞＞ヨッシーさんへ
＞＞α＝cos(π/3)＋ｉsin(π/3)
ですが
α=cos(π/6)+isin(π/6)
の誤りではありませんか？
No.85804 - 2023/07/11(Tue) 17:51:17
☆ Re: 複素数平面 / さ
α=cos(π/6)+isin(π/6)
の場合、αβの偏角が5/12πとなりますが、どのようにして解いたら良いですか？
No.85808 - 2023/07/11(Tue) 22:52:22
☆ Re: 複素数平面 / ヨッシー
X さん
α=cos(π/6)+isin(π/6)
でした。失礼しました。

このとき、
　αβ＝cos(5π/12)＋ｉsin(5π/12)
となります。
5π/12 を自然数倍したときに、
　7π/4, 15π/4, 23π/4, ・・・
となる場合を探すと、9倍したときに
　5π/12×9＝15π/4
となるので、答えはｎ＝９です。
No.85811 - 2023/07/12(Wed) 09:01:13
★ 微分方程式 / あ
変数分離形の微分方程式x'=(x^2-1)/tの解を求める問題なのですが、dx/(x^2-1)=(1/t)dtからどのようにして求めていけば良いのかが分かりません。どなたがご回答お願いします。答えがx=1+ct^2(x+1) , x=-1であることは分かっています。
No.85782 - 2023/07/10(Mon) 16:13:34
☆ Re: 微分方程式 / GandB
> x=1+ct^2(x+1) , x=-1であることは分かっています。
　へ？

　　x = -(Ct^2+1)/(Ct^2-1)

になったけど。
　　dx/dt = (x^2-1)/t
　　1/(x^2-1) dx = 1/t dt
　　∫1/(x^2-1) dx = ∫1/t dt

　左辺の積分は部分分数分解で

　　1/(x^2-1) = (1/2)(1/(x-1)-1/(x+1)

とすれば簡単に積分できる。
No.85783 - 2023/07/10(Mon) 17:51:04
☆ Re: 微分方程式 / あ
これ教科書に出てくる問題でして、そこの答えのところにはこの答えが載っていたのですが......。そこには答えしか載っておらず、解き方がイマイチ思い浮かばなかったので質問させて頂いたのですが、解き方によって答えが変わるなんてことあるんでしょうか。
No.85784 - 2023/07/10(Mon) 18:43:05
☆ Re: 微分方程式 / GandB
　私が示した解は

　　dx/dt = (x^2-1)/t

の一般解である。特殊解なら初期条件によって積分定数 C が定まる。しかし、特殊解としても

　　x=1+ct^2(x+1)

は明らかにおかしい。積分定数が含まれているし、右辺には x が含まれている。なので

> これ教科書に出てくる問題でして、そこの答えのところにはこの答えが載っていた

とは信じ難い。誤植としてもひどい（笑）。問題と解答をスキャンしてアップしてくれたらありがたい。
No.85785 - 2023/07/10(Mon) 19:01:49
☆ Re: 微分方程式 / あ
これが問題で
No.85786 - 2023/07/10(Mon) 19:34:34
☆ Re: 微分方程式 / あ
これが解答です
No.85787 - 2023/07/10(Mon) 19:35:20
☆ Re: 微分方程式 / あ
すみません。添付出来ていませんでした
No.85788 - 2023/07/10(Mon) 19:36:16
☆ Re: 微分方程式 / GandB
　へーーーーー！
　あの、問題も 第2章の問題2.1 なんですよね（笑）。

　どういうことだろう？

　私の手に余るので他の方の回答を待ちましょう(^O^)。
No.85789 - 2023/07/10(Mon) 20:01:40
☆ Re: 微分方程式 / あ
第2章の問題2.1で間違いないです笑
No.85790 - 2023/07/10(Mon) 20:16:19
☆ Re: 微分方程式 / ast
どこから続けてもいいけど, たとえば
　log((x-1)/(x+1))= 2log(t) + C
のところから (右辺)=log(c t^2) (c は C=:e^c となる c) として
　(x-1)/(x+1) = c t^2
の分母を払って 1 を右辺に移項したら解答の式になる. あるいは最後の
x = -(Ct^2+1)/(Ct^2-1)
からなら, これを C について解いた式が (x-1)/(t^2(x+1)) だから以下同じ.

結局, 最初の方程式が
　d[log((x-1)/(t^2(x+1)))]/dt=0
という完全形の微分方程式だということが確認できるということにはなるかな.
# これ実際に微分してみたら, 積分因子として 1/(t(x^2-1)) を掛けた
# dx/(x^2-1)-dt/t=0 を考えるので, 本質的には変数分離形として解いたのと同じとわかる.
## まあそもそも変数分離して解いた結果から逆に探してるので当然ではあるかもしれないが.

個人的には微分方程式を解けと言っておいて x,t の陰伏的な関係式を答えにするのは完全に気に入らないが.
# とりあえず見える範囲の問題をいくつか適当に検算した (WolframAlphaにしてもらった) ら
# 解答は基本的に合ってるみたい.
No.85791 - 2023/07/10(Mon) 22:06:47
☆ Re: 微分方程式 / あ
これってこの解答例みたいなややこしい式じゃなくて、GandBさんが示してくれたような解答でも問題は無いんですよね？
No.85794 - 2023/07/11(Tue) 00:28:47
☆ Re: 微分方程式 / ast
そうですね. ふつうは陽に表すのが容易な場合はその本の解答みたいなのはアウトという認識でいいと個人的には思います.
# まあ例えば y=±√(a^2-x^2) と x^2+y^2=a^2 のどっちがいいかみたいなところだと
# 微妙に迷うが…… (何らかの「標準形」があるものの場合はふつうそっちを使うし).

あと任意定数の扱いですが, GandB氏の答案でも e^C を改めて C と書いたりと言った「記号の濫用」はあるので取りうる値が任意の実数ではない可能性をちゃんとしないと厳密には正しくなりません (というか氏の答案は "=" で結んじゃいけないところを "=" で結んで e^C=C という意味の式にしてしまっているのでこの点についてはダメだと思います).
ちゃんと考えると置き換えもとは "±e^C (C は任意の実数)" で, 置き換え後は "C は C≠0 なる任意の実数" だと思いますが, しかし C=0,∞ に対応する定数函数 x=±1 も実際にはもとの方程式の解なので, そういったことも取りまとめるには (全体を通じて) 述べ方に工夫が要ると思います (まあ結局本の解答のように x=1 は任意定数に C=0 として組み込んで, x=-1 を別に書くというのが無難なのかな).
# ま, 枝葉末節に拘っても仕方がないとは思うけれども.
No.85803 - 2023/07/11(Tue) 17:44:12
☆ Re: 微分方程式 / あ
ありがとうございました
No.85806 - 2023/07/11(Tue) 18:51:16
★ (No Subject) / r
なぜこのように変形できるのですか
No.85779 - 2023/07/10(Mon) 11:41:28
☆ Re: / だぺろりん
分子(x^2)を分母(x-1)で割り算しています。その結果、分子が
x^2=(x-1)(x+1)+1
となるので、この右辺第1項(x-1)(x+1)が分母の(x-1)で約分されて、
y={(x-1)(x+1)+1}/(x-1)=(x+1)+1/(x-1)
となります。
No.85780 - 2023/07/10(Mon) 12:08:40
☆ Re: / r
分子を分母で割る、とはどういうことでしょうか
No.85793 - 2023/07/10(Mon) 22:46:50
☆ Re: / ヨッシー
例えば、7/3 という分数があるとき、分子を分母で割ると、
　7÷3＝2 あまり 1
なので、
　7/3＝2＋1/3
と書けます。これと同じことを、文字式でやっています。

さすがに文字式では、「あまり」とは書けないので、
　7＝3×2＋1
の形に書きます。
No.85796 - 2023/07/11(Tue) 11:40:25
☆ Re: / r
理解できました。ありがとうございました。
No.85797 - 2023/07/11(Tue) 12:09:36
★ 定積分 / だぺろりん
∫[0,pi](r-a*cosx)/(a^2+r^2-2*a*r*cosx)^(0.5)dx
の定積分、手計算で求まるでしょうか？ Z=a^2+r^2-2*a*r*cosxの置換をやってみましたが、うまくいきませんでした。
No.85776 - 2023/07/09(Sun) 21:41:12
☆ Re: 定積分 / 関数電卓
> 　I(r)＝∫[0,π][(r−a*cosx)/√(a^2＋r^2−2*a*r*cosx)]dx　…(1)
> 手計算で求まるでしょうか？
求まらないと思います。
　J(r)＝∫[0,π][√(a^2＋r^2−2*a*r*cosx)]dx　…(2)
が求まれば，
　I(r)＝∂J/∂r
ですが，(2)が求まらないでしょう！（楕円積分）
No.85781 - 2023/07/10(Mon) 14:27:39
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