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★ 三角形の面積 / 美雪
放物線y=9-xの2乗上に4点A(-3,0)、P(p,9-pの2乗)、Q(q,9-qの2乗)、B(3,0)をとる。このとき、これらを頂点とする四角形の面積の最大値を求めよ。ただし-3<p<q<3とする。

Qを固定しPを動かして、Pにおける接線がAQに平行になるようにPを決めて?僊PQ+?僊BQの面積の最大値を求めるという方法で解決できたんですが、?僊PQの面積を求める際、AP→とAQ→の成分を利用して求めたんですが、計算が煩雑ですし、数?Uの問題なので、ベクトルを使わないもっと簡単に求める方法があるような気がするのですが、思いつきません。

?僊PQの面積を求める最も簡単な方法を教えてください。
No.60405 - 2019/08/01(Thu) 19:06:16
☆ Re: 三角形の面積 / らすかる
1/6公式を使えば{(q+3)^3-(q-p)^3-(p+3)^3}/6です。
No.60409 - 2019/08/01(Thu) 22:55:00
☆ Re: 三角形の面積 / 美雪
よくわからないのですが、1/6公式とは定積分の1/6公式のことでしょうか？もしそうだとしたら放物線が関わらない三角形の面積の問題でなぜ1/6公式が利用できるのですか？それと1/6公式の使い方もよくわからないです。詳しく教えてください。
No.60452 - 2019/08/03(Sat) 00:58:55
☆ Re: 三角形の面積 / らすかる
1/6公式とは放物線と直線で囲まれた部分の面積を求める公式です。
x^2の係数がaのとき|a|(β-α)^3/6ですから、
x^2の係数が1ならば(β-α)^3/6となります。
αとβは放物線と直線の2交点のx座標(α＜β)です。
従って
(1)AQと放物線に囲まれた部分の面積は (q-(-3))^3/6=(q+3)^3/6
(2)PQと放物線に囲まれた部分の面積は (q-p)^3/6
(3)APと放物線に囲まれた部分の面積は (p-(-3))^3/6=(p+3)^3/6
となります。
△APQに(2)と(3)をくっつけたものが(1)ですから、
(1)から(2)と(3)を引けば△APQの面積になります。
No.60453 - 2019/08/03(Sat) 03:03:09
☆ Re: 三角形の面積 / 美雪
ありがとうございました！
No.60507 - 2019/08/06(Tue) 17:37:35
★ (No Subject) / パンチ
連投すみません。
添付図の問題の解説をお願いします。
解答はT=10^(3/2)πです。
No.60404 - 2019/08/01(Thu) 18:38:53
☆ Re: / 関数電卓
深さが h のときの水量 V は、V＝π(h/2)^2･h/3＝πh^3/12
題意より
　dV/dt＝(π/4)h^2･dh/dt＝√h　∴ (π/4)h^(3/2)･dh/dt＝1
両辺を積分する。
　T＝∫[0,T]dt＝(π/4)∫[0,10]h^(3/2)dh＝(π/4)[(2/5)h^(5/2)][0,10]＝(π/10)10^(5/2)＝10^(3/2)π
No.60407 - 2019/08/01(Thu) 22:03:21
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます！
因みにこういった添付図はどのように作成されているのでしょうか？
No.60410 - 2019/08/01(Thu) 22:55:07
☆ Re: / 関数電卓
> 図はどのように作成
上の図は、windows 添付の paint.exe で作りました。
慣れるまでは、結構手間がかかりますよ。
No.60413 - 2019/08/01(Thu) 23:07:35
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます
No.60415 - 2019/08/01(Thu) 23:17:30
★ (No Subject) / パンチ
次の定積分の値を求めよ。
答えはπ/8です。解説をお願いします。
No.60403 - 2019/08/01(Thu) 18:37:51
☆ Re: / 関数電卓
被積分関数を
　(Ax＋B)/(x^2−2)＋(Cx＋D)/(x^2−2x＋2)
と部分分数分解します。通分して係数比較し、A,B,C,D
を定めて下さい。
これが、まず第一歩です。
No.60406 - 2019/08/01(Thu) 21:14:19
☆ Re: / パンチ
a=b=d=1,c=-1となりましたが
あっていますか、、
No.60408 - 2019/08/01(Thu) 22:45:48
☆ Re: / 関数電卓
> a=b=d=1,c=-1
あっていません。通分して元に戻るか確認して下さい。
No.60411 - 2019/08/01(Thu) 23:00:45
☆ Re: / パンチ
検算すると間違った答えにしかなりません。どのようになるのでしょうか？
No.60414 - 2019/08/01(Thu) 23:16:56
☆ Re: / 関数電卓
A＝1/2, B＝0，C,D はご自分で。
積分値が山頂だとすれば、ここはまだ二合目です。
No.60417 - 2019/08/01(Thu) 23:24:23
☆ Re: / パンチ
ここまで考えてみましたが計算につまりました、、
アドバイスをお願いしたいです
No.60421 - 2019/08/02(Fri) 11:07:50
☆ Re: / らすかる
(x-2)/(x^2-2x+2)=(x-1)/(x^2-2x+2)-1/(x^2-2x+2)
のように分けると、前者は
(x-1)/(x^2-2x+2)=(1/2)(2x-2)/(x^2-2x+2)=(1/2)(x^2-2x+2)'/(x^2-2x+2)
なので不定積分が(1/2)log(x^2-2x+2)となり、
後者はx-1=tanθとおけば解けます。

#その前までの計算が合っているかどうかは確認していません
No.60427 - 2019/08/02(Fri) 12:18:08
☆ Re: / パンチ
解けました。ありがとうございます。
質問なのですが、後者はx-1=tanθと置く発想はどのように考えたら良いですか？当たり前の事でしょうか？
また、これ以上シンプル？に解く事は難しいでしょうか？
No.60430 - 2019/08/02(Fri) 12:47:09
☆ Re: / らすかる
1/(x^2+1)形の積分ではx=tanθとおくのは定石です（これは覚えましょう）。
これを使って
1/(x^2-2x+2)=1/{(x-1)^2+1}から
x-1をtanθに置き換えればよいことがわかります。
参考までに
1/(x^2+3)のような場合は
x=(√3)tとおけば
1/(3t^2+3)=(1/3)(1/(t^2+1))
となりますのでt=tanθとおくことで解けます。
つまり、最初からx=(√3)tanθとおけば解けるということです。

(x-2)/(x^2-2x+2)の積分は
これ以上シンプルにするのは難しいと思いますが、
第1項の
x/(x^2-2)の積分は、
x/(x^2-2)=(1/2){2x/(x^2-2)}=(1/2)(x^2-2)'/(x^2-2)とすれば
不定積分が(1/2)log|x^2-2|とわかり、少し簡単になります。
No.60431 - 2019/08/02(Fri) 12:59:13
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます。これ以上シンプルに解くというのは
私はNo.60430のような流れで解きましたが、この問題自体を最初から解くとき、この流れがスタンダードなのでしょうか？
No.60432 - 2019/08/02(Fri) 13:05:59
☆ Re: / らすかる
スタンダードだと思います。
私もそのように解きます。
No.60434 - 2019/08/02(Fri) 13:19:09
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます
No.60435 - 2019/08/02(Fri) 13:23:22
☆ Re: / 関数電卓
置換積分の仕方とか、計算の途中経過が欲しいのでしょうが、 こちら の下に不定積分があります。
結果を知ってから置換法を学ぶのも、有効な学習ですよ。
No.60437 - 2019/08/02(Fri) 18:36:23
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます！
No.60449 - 2019/08/02(Fri) 23:42:19
★ (No Subject) / パンチ

二次曲線y=x^2とy=x^(4)-2x^(2)とで囲まれる図形をy軸の周りに一回転させてできる立体の体積Vは？
解答はV=9/2πです。
解説をお願いします。
No.60402 - 2019/08/01(Thu) 18:36:55
☆ Re: / らすかる
立体を円筒形に薄くスライスしたと考えて
側面積を内側から外側に積分すれば
∫[0〜√3]2πx{x^2-(x^4-2x^2)}dx=9π/2
No.60416 - 2019/08/01(Thu) 23:22:18
☆ Re: / パンチ
図まで書いてみたんですが、どのように考えたら良いのでしょうか？もう少し詳しく教えていただきたいです。
回転させるイメージとかも少し難しいです、、
No.60422 - 2019/08/02(Fri) 11:23:34
☆ Re: / らすかる
回転体を、「横の平面でスライスして縦方向に積分」ではなく
「円筒形にスライスして中心から外方向に積分」します。
例えば、この立体とy軸中心半径1の円筒との交点は
-1≦y≦1の高さ2の円筒（円柱の側面）
のようになりますね。
半径が0に近い時、円筒の高さは0に近く、
半径を増加させるにつれて高さは増えて
半径が1のとき上記に書いたように高さ2、
そしてその後高さが減っていき
（例えばy軸中心半径3/2のときは
　(3/2)^2=9/4, (3/2)^4-2(3/2)^2=9/16なので
　高さは(9/4)-(9/16)=27/16）
半径が√3になった時に高さが0となります。
この「高さ」は半径がxのとき(x^2-(x^4-2x^2))ですから
円筒の表面積は2π×(半径)×(高さ)=2πx(x^2-(x^4-2x^2))
これをx=0〜√3の範囲で積分すれば体積になります。
No.60429 - 2019/08/02(Fri) 12:28:47
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます。
図などで表すことは可能でしょうか？
どこの部分を示しているのか？イメージが
しずらくて、、
また計算結果が-9π/2になります、、
No.60433 - 2019/08/02(Fri) 13:16:59
☆ Re: / 関数電卓
『バームクーヘン積分』 で検索すると、たくさんのサイトがヒットします。図が示されているものも多いので、いくつかご覧ください。
No.60438 - 2019/08/02(Fri) 18:55:29
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます！解決しました！
No.60458 - 2019/08/03(Sat) 13:12:37
★ 質問お願いします。 / しょう
アイウエオに関しては、x + （−1）（5−x）＝1から4以下の目が出た回数を調べているのですがカキクケの場合はどうやって調べているのでしょうか？
同じやり方をするとxが分数になってしまうのでよく分かりません。
No.60400 - 2019/08/01(Thu) 17:58:30
☆ Re: 質問お願いします。 / らすかる
> カキクケの場合はどうやって調べているのでしょうか？
何を調べるのですか？
No.60412 - 2019/08/01(Thu) 23:01:47
☆ Re: 質問お願いします。 / しょう
4以下の目が出る回数と5以上の目が出る回数です。アイウエオは上の式より求めれるのですがカキクケの場合は同じように考えると整数にならないのでどのように最初に考えるのか教えてほしいです。
No.60419 - 2019/08/02(Fri) 10:54:25
☆ Re: 質問お願いします。 / らすかる
> 4以下の目が出る回数と5以上の目が出る回数です。
4以下の目が出る回数や5以上の目が出る回数を調べても
カキクケには役に立ちませんが、どうしたいのですか？

# 多分整数にならないと言っているのは
# 「最終的に-2に止まる場合に、4以下の目が出る回数」
# のことだと思いますが、奇数回投げれば奇数に止まりますので
# 5回投げて最終的に-2に止まることはありません。
No.60420 - 2019/08/02(Fri) 11:00:16
★ (No Subject) / マーク42
tan(α+β)の表す矢印は?@、?Aではなく、
なぜ?B?Cなのでしょうか？
No.60398 - 2019/08/01(Thu) 17:50:59
★ (No Subject) / さいとう
くだらない質問かもしれませんが、y´=(e^2x+y)を解くと、画像のような答えになると思うのですが、模範解答には積分定数に-がついていません。なぜですか？
No.60394 - 2019/08/01(Thu) 12:28:29
☆ Re: / らすかる
積分定数は任意の値であり、
-(任意の値)は(任意の値)と全く同じ意味です。
よって-Cだけでなく2CとかC+1なども
すべて「C」に置き換えられます。
No.60395 - 2019/08/01(Thu) 13:32:47
☆ Re: / さいとう
なるほど。ありがとうございました。
No.60397 - 2019/08/01(Thu) 15:26:51
★ (No Subject) / パンチ
a_n=2n^(3)-7n^(2)-9nとなる。この数列の和a_1+a_2+・・・+a_nが最小となるのはn=？
答えはn=4ですが解説をお願いします。
No.60386 - 2019/08/01(Thu) 10:27:53
☆ Re: / らすかる
f(x)=2x^3-7x^2-9xとおくと
f(x)=x(x+1)(2x-9)なので
f(x)は(-1,0),(0,0),(9/2,0)を通る、三次の項の係数が正の三次曲線
よって1≦x≦4でf(x)＜0、5≦xでf(x)＞0だから、和が最小となるnは4
No.60389 - 2019/08/01(Thu) 10:48:05
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます
No.60391 - 2019/08/01(Thu) 11:08:08
★ (No Subject) / さいとう
続けて質問してすみません。
2.の(b)の解き方もいまいち分かりません。
よろしくお願いします。
No.60382 - 2019/08/01(Thu) 02:12:39
☆ Re: / 関数電卓
こちら がわかり易いと思いますが、『定数変化法』 で検索するといろいろヒットします。
No.60443 - 2019/08/02(Fri) 19:24:07
★ (No Subject) / さいとう
3.の(b)の解き方がいまいち分かりません。答えは-27になります。よろしくお願いします。
No.60381 - 2019/08/01(Thu) 02:08:24
☆ Re: / ヨッシー
3(b)
そのままゴリゴリ展開しても出来ますが、
　2e^{(π/3)i}＝2{cos(π/3)＋ｉsin(π/3)}
　e^{(2π/3)i}＝{cos(2π/3)＋ｉsin(2π/3)}
を用いると、カッコの中は
　2cos(π/3)−cos(2π/3)＋{2sin(π/3)−sin(2π/3)}ｉ
　＝3/2＋(√3/2)ｉ
　＝√3(cos(π/6)＋ｉsin(π/6)}
　＝√3ｅ^{(π/6)i}
と書けます。
No.60385 - 2019/08/01(Thu) 09:22:50
☆ Re: / さいとう
回答ありがとうございます。
一応確認ですが、答えは-27になりますか？
No.60387 - 2019/08/01(Thu) 10:30:13
☆ Re: / ヨッシー
実際に６乗してみると
　√3^6・ｅ^(πｉ)
ですね？
　√3^6＝27
ｅ^(πｉ)は？
No.60418 - 2019/08/02(Fri) 10:39:53
★ (No Subject) / パンチ
連投すみません。
添付図の解説をお願いします。
答えはエ=1,オ=-,カ=1です。
解説をお願いします。
No.60370 - 2019/07/31(Wed) 20:40:22
☆ Re: / X
lim[n→∞]↑u[n]が収束する、という前提であるのなら
lim[n→∞]↑u[n]=lim[n→∞]↑u[n-1]=↑u
と置くことができるので、問題の漸化式から
↑u=A↑u+↑e
これを↑uの方程式として解きます。
No.60372 - 2019/07/31(Wed) 21:07:11
☆ Re: / パンチ
収束するのはなぜわかるのでしょうか？
また、指針の後の計算方法も分かりますでしょうか？
No.60374 - 2019/07/31(Wed) 21:28:52
☆ Re: / X
この問題に限って言えば、解答欄があるということで
単に答えを出すだけであれば
lim[n→∞]↑u[n]が収束する
ことを前提して解くこともできる、ということです。
もちろん、これが記述式の問題であるならば
収束することの証明が必要になります。
No.60375 - 2019/07/31(Wed) 22:25:32
☆ Re: / パンチ
なるほどです。

↑u=A↑u+↑e
これを↑uの方程式として解きます。
この後はどのように考えるのでしょうか？
No.60376 - 2019/07/31(Wed) 23:31:16
☆ Re: / X
↑u=A↑u+↑e
より
(E-A)↑u=↑e
(注:Eは2次の単位行列)
∴↑u={(E-A)^(-1)}↑e
後は右辺の成分を計算します。

或いは
↑u=τ(x,y)
(τは転置を示しています)
と置いてx,yの連立方程式を導きます。
No.60383 - 2019/08/01(Thu) 07:07:41
☆ Re: / パンチ
転置とはどういうことでしょうか？
また、紙などに書いて解説していただくことは可能でしょうか？
No.60424 - 2019/08/02(Fri) 11:48:02
☆ Re: / パンチ
すみません！まだ上手く解けません。
参考文献？となるようなhpとか
知ってる方いらっしゃいますか？？
No.60460 - 2019/08/03(Sat) 14:46:15
★ (No Subject) / パンチ
準線が直線x=4,軸が直線y=2で、直線2x+y=7に接する放物線の方程式は？
答えは(y-2)^2=-8(x-2)です。
解説をお願いします。
No.60369 - 2019/07/31(Wed) 20:33:11
☆ Re: / らすかる
どういう知識を使って良いかによって解答が変わるため、
この解答で良いかどうかはわかりません。

準線がx=a,軸がy=bである放物線は
(y-b)^2=k(x-a)-k^2/4 （k≠0）なので
準線がx=4,軸がy=2ならば
(y-2)^2=k(x-4)-k^2/4
2x+y=7から得られるx=(7-y)/2を放物線の式に代入してxを消し、
yの二次方程式とみて判別式を求めるとD/4=-3k(k+8)
k≠0なのでk=-8、これを放物線の式に代入して整理すると
(y-2)^2=-8(x-2)
No.60380 - 2019/08/01(Thu) 02:00:34
☆ Re: / パンチ
他にも解法が考えられそうなんですか？
No.60388 - 2019/08/01(Thu) 10:41:42
☆ Re: / らすかる
解法が考えられるのではなく、
何を知っているか（何を使って良いか）によって解法が変わるということです。

上記の回答に書いた
「準線がx=a,軸がy=bである放物線は(y-b)^2=k(x-a)-k^2/4 （k≠0）」
を知識として知っていれば上記のような最短の解答になりますが、
これを知らない（使えない）場合は何を知っているか（使えるか）によって
解き方が変わります。
例えば「準線」について定義しか知らなければ、
準線の位置に対応する放物線の式を作るところから始めることになります。
No.60390 - 2019/08/01(Thu) 10:51:50
☆ Re: / パンチ
なるほどです。

2x+y=7から得られるx=(7-y)/2を放物線の式に代入してxを消し、
yの二次方程式とみて判別式を求めるとD/4=-3k(k+8)とありますが、この間の計算過程をもう少し詳しく教えていただきたいです！
No.60392 - 2019/08/01(Thu) 11:13:21
☆ Re: / らすかる
単純に代入してyについて整理して
判別式/4を計算しているだけですが、
どこかわからないところはありますか？
（自分で計算してみましたか？）
No.60393 - 2019/08/01(Thu) 11:41:16
☆ Re: / パンチ
計算ミスしてました！ありがとうございます
No.60401 - 2019/08/01(Thu) 18:29:09
★ (No Subject) / パンチ
複素数zが|z|=2を満たすとき、複素数平面上の3点O,(√(3)+i)z,2izを頂点とする三角形の面積Sは？ただし、iは虚数単位とする。
S=4√3です。解説をお願いします。
No.60368 - 2019/07/31(Wed) 20:32:37
☆ Re: / X
条件から
z=2
としても一般性を失いません。
このとき、問題の三点は
O,2(√3+i),4i
で
2(√3+i)=4{cos(π/3)+isin(π/3)}
4i=4{cos(π/2)+isin(π/2)}
により問題の三角形は
頂角がπ/2-π/3=π/6
二辺の長さが4
の二等辺三角形ですので
S=(1/2)・4・4sin(π/6)=4√3
No.60371 - 2019/07/31(Wed) 21:01:49
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます。
めっちゃ簡単でしたね、、
No.60373 - 2019/07/31(Wed) 21:21:48
★ (No Subject) / しょう
順列の問題です。2番なのですがオカキはJJを１つの文字とみなして6!/2！となっているのですがサシスではJJとKKをそれぞれ１つの文字とみなして考えているのに答えは5！となってます。なぜオカキのように割らないので
すか？
No.60361 - 2019/07/31(Wed) 16:18:38
☆ Re: / らすかる
オカキはJJを1つの文字とみなしてもKが2個あるので2!で割る必要があります。
サシスはJJもKKも1つの文字とみなしますので同じ文字が2つあるものがありません。
No.60364 - 2019/07/31(Wed) 19:20:10
☆ Re: / しょう
なるほど！よく分かりました！ありがとうございます！
No.60366 - 2019/07/31(Wed) 19:43:16
★ (No Subject) / kochi
a(n)={(n+3)/n(n+1)}(2/3)^n
に対して
Σ(n=1,∞)a(n)
を求めよ。
全く分かりません。解法の糸口をご教授下されば
助かります。
No.60348 - 2019/07/31(Wed) 02:11:53
☆ Re: / kochi
解けました！
a(n)=b(n)-b(n+1)
の形に変形するのがポイントですね
No.60349 - 2019/07/31(Wed) 03:04:30
★ 全くわかりません。 / 教えてください。
1から教えていただけるとありがたいです。
No.60347 - 2019/07/31(Wed) 00:24:52
☆ Re: 全くわかりません。 / ＩＴ
何年生の問題ですか？　分野は？

（ａ）
定義に従って計算すると
1/2=0.111111.... なので　M(1/2)=1
よってf(1/2)= 2^(-M)=2^(-1)=1/2

1/4=0.020202.... なので　M(1/4)=∞
よって　f(1/4)= 2*2^(-3)+2*2^(-5)+2*2^(-7)+... =1/3

(b) 3x は、xを１ｹﾀ上にシフトした無限小数なので、 f の定義により、f(3x) ＝　2f(x)　が云えると思います。

(c) x の近傍をどう表現するかが難しいですね。
No.60367 - 2019/07/31(Wed) 20:28:25
★ (No Subject) / さいとう
2の(C)ですが、どう解いたら√2-√2iになりますか？あと、2の(a)と(b)は自力で解いたのですが何か簡単に解く方法はありますか？
No.60343 - 2019/07/30(Tue) 21:35:35
☆ Re: / さいとう
すみません、分かったので大丈夫です。
No.60344 - 2019/07/30(Tue) 21:38:12
★ (No Subject) / しょう
61の1番の4の上位20パーセントの人の記録というのはどこから分かるのでしょうか？
No.60333 - 2019/07/30(Tue) 17:52:38
☆ Re: / ヨッシー
100 が 4 の倍数なので、ちょっと幅を持った言い方になりますが、
記録の低い人から　１，２，３・・・１００　とすると、
　１の人の記録は２４ｍ　（たぶんｍでしょう）
　100の人の記録は４６ｍ
　50の人と51の人の間あたりに３５ｍがある。
　25の人と26の人の間あたりに２８ｍがある。
　75の人と76の人の間あたりに４２ｍがある。
ということがわかり、上位20% は81から100までの人なので、
４２ｍ以上となります。(76の人がすでに42ｍ以上なので)

No.60335 - 2019/07/30(Tue) 19:09:02
☆ Re: / しょう
なるほど。よく分かりました。ありがとうございます！ちなみになのですが今回は100人なので上位20パーセントと言われて下から80番目とピンときたのですが100人でない場合は単に人数に0.8を掛ければいいのでしょうか？
No.60360 - 2019/07/31(Wed) 16:16:41
☆ Re: / ヨッシー
>単に人数に0.8を掛ければいいのでしょうか？
その通りですが、今回の問題も別に「ピンときた」わけではなく
　100×0.8＝80　→ 1〜80 より上の人
とか
　100×0.2＝20　→　81〜100 の20人
というふうにやりますよ。
No.60384 - 2019/08/01(Thu) 09:11:20
★ OED / 朱
y´=a^2-y^2の常微分方程式が解けません。
解き方自体は分かりますが、積分がいまいち解けません。よろしくお願いします。
答えは、y=(1＋Ce^-2ax)a/(1-Ce^-2ax)です。
No.60329 - 2019/07/30(Tue) 16:30:09
☆ Re: OED / 関数電卓
変数分離形で、
　y'/(a^2−y^2)＝1
左辺を変形
　(1/2a){1/(a＋y)＋1/(a−y)}y'＝1
両辺に 2a を掛けて積分
　log(a＋y)−log(a−y)＝log{(a＋y)/(a−y)}＝2a(x＋C)　C：定数
log を消して、
　(a＋y)/(a−y)＝exp{2a(x＋C)}　∴ a＋y＝(a−y)exp{2a(x＋C)}
　∴ [exp{2a(x＋C)})＋1]y＝a[exp{2a(x＋C)}−1]
　∴ y＝a[exp{2a(x＋C)}−1]/[exp{2a(x＋C)}＋1] …(1)

上の(1)が一般解ですが、分母子を exp{a(x＋C)} で割って、

　y＝a[exp{a(x＋C)}−exp{−a(x＋C)}]/[exp{a(x＋C)}＋exp{−a(x＋C)}]＝a･tanh{a(x＋C)} …(2)

が形としては美しく、私は好みです。朱さんが書いた形も正解ですし他の形もあり、微分方程式は初期条件を与えなければ解の表記は定まりません。
No.60377 - 2019/08/01(Thu) 00:05:19
☆ Re: OED / 朱
意外と難しいんですね。ありがとうございました。
No.60379 - 2019/08/01(Thu) 01:47:24
★ 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
三角関数の加法定理に関してなのですが、
cosや sinの加法定理は座標ではなく長さ(常に正)や変化量(正や負の値)を知るための公式でしょうか？
だとしたら、cosや sinの加法定理の公式に代入する情報は座標ではなく長さや変化量のみになるのでしょうか？
長さを求めるにしても、変化量の場合は答えが負になることはありますが。

そしてtan の加法定理は傾きを求めると思うので座標ではなく、 cosθや sinθの長さの変化量を求めるための式なのでしょうか？

三角関数を再び勉強しているのですが、座標を求めるのか、長さや変化量を求める式なのか混乱しました。
No.60326 - 2019/07/30(Tue) 15:25:18
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / らすかる
> cosや sinの加法定理は座標ではなく長さ(常に正)や
> 変化量(正や負の値)を知るための公式でしょうか？
違います。

> cosや sinの加法定理の公式に代入する情報は
> 座標ではなく長さや変化量のみになるのでしょうか？
違います。

> そしてtan の加法定理は傾きを求めると思うので
違います。

> 座標ではなく、cosθや sinθの長さの変化量を求めるための式なのでしょうか？
違います。

> 三角関数を再び勉強しているのですが、座標を求めるのか、長さや変化量を求める式なのか混乱しました。
数学の公式は具体的に何かを求めることを目的としていません。
汎用で使いたい時にいろいろな目的で使うものです。
ですから、具体的に「長さや変化量を知るため」や
「座標を求める」のような目的があるわけではありません。
加法定理の公式は、「角度が和の形式になっている時に和を分解する」ことや
その逆方向などに使える便利な公式です。

例えば、「二次方程式の解の公式」は何を求めるものですか？
「長さを求める」とか「角度を求める」などの目的は決まっていませんよね？
それと同じことです。
No.60330 - 2019/07/30(Tue) 16:57:38
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
ありがとうございます。
確かに決まった使い方はないかもしれません。
ただどうしても負に落ちないのはなぜ負の値が使えるのかです。
長さの変数から導いたのに負の値が使えることへの疑問が残ります。
No.60331 - 2019/07/30(Tue) 17:25:45
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / らすかる
マーク42さんは「長さの変数から導いた」かも知れませんが、
一般にはそんな条件に制限のある導き方はしません。
「加法定理の証明」で検索していろいろなページを見て研究して下さい。
No.60332 - 2019/07/30(Tue) 17:41:38
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
なるほど、先程、 dθは正で、負の座標のまま計算したら、長さで求めた場合と同じ式になりました。
すなわち、この負の座標から長さの場合と同じ式であるため、負の値を長さから導いた式に代入しても正しい値が導けるとわかりました。
No.60334 - 2019/07/30(Tue) 18:04:56
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
らすかるさん、60334は間違っていました。
負の値が入る理由として正しいか確認してほしいのですが、今回は加法定理を長さから求めたとはいえ、長さ-cosθのcosは負の座標を表すcosθであるため、θやdθの値がわからなかったとしても、加法定理の式は負の値が入っても正しい答えが導けるわけでしょうか？
ただ少し違和感があるのは、長さ-cosθからできた式に座標cosθを代入していいのか疑問に思いました。
まあ、数学的には長さ-cosθのcosθは座標のcosθと同じ値なのでいいのかもしれませんが。
No.60351 - 2019/07/31(Wed) 13:53:58
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
また、今回は長さで解きましたが、座標で解く場合はどのように解くのでしょうか？
座標から長さを求めるのでしょうか。
No.60352 - 2019/07/31(Wed) 14:00:41
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / らすかる
> 長さ-cosθのcosは負の座標を表すcosθであるため、
> θやdθの値がわからなかったとしても、
> 加法定理の式は負の値が入っても正しい答えが導けるわけでしょうか？
「長さ-cosθのcosは負の座標を表すcosθ」と関係なく、
「θやdθの値がわか」るかどうかとも関係なく、
「加法定理の式は負の値が入っても正しい答えが導け」ます。

> ただ少し違和感があるのは、長さ-cosθからできた式に
> 座標cosθを代入していいのか疑問に思いました。
どの式の何に「座標cosθを代入」する話ですか？
加法定理で代入するのはθであって「cosθ」を代入することは
基本的にないと思いますが。

> 今回は長さで解きましたが、座標で解く場合はどのように解くのでしょうか？
何を解く話ですか？
tan(θ+dθ)なら終わっているはずですが。

> 座標から長さを求めるのでしょうか。
tan(θ+dθ)で私が書いた回答から考えて下さい。
その後のコメントでも考え方を書いたはずです。

# 数学の基本がきちんとできていれば、
# このような的外れな質問はほとんど出てこないはずです。
# 加法定理とか微分とか考える前に、それ以前の基礎をきちんと
# 勉強し直した方がいいです。
# 基礎が出来ていない上に自力で考えようとしないために
# 質疑応答をいくら繰り返してもほとんど身に付かず、
# 似たような問題で同じところをずっとループしている印象です。
# このスレも私が答えている限り延々と続くのでしょうね。
# 自分の知識をはるかに超えたものを独学で勉強するのは
# 構いませんが、そういうものは人に聞かずに
# 自分で調べて勉強するものです。
# 特に数学は暗記科目ではありませんので
# 「かたっぱしから質問」しても決して身に付かず、
# 自分であれこれ考えることによって実力がついていく学問です。
# 他掲示板にも「かたっぱしから何でもかんでも質問」する人が
# いますが、案の定その人の数学の実力は向上していません。
No.60353 - 2019/07/31(Wed) 14:49:50
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
ありがとうございます！
今回はtanの加法定理は90°＜θ＜180°の時、（負の座標から）長さを求めてからtan(θ+dθ)を求めました。
そこで次は座標から求めてみようと考えたわけです。
というのも過去のスレを読み直すとらすかるさんの画像のコメントがあったためです。
なので今回はtanの加法定理を図形的に長さで求めたので、次はtanの加法定理を座標的に求めようと考えました。
No.60354 - 2019/07/31(Wed) 15:06:33
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / らすかる
> 今回はtanの加法定理は90°＜θ＜180°の時、（負の座標から）
> 長さを求めてからtan(θ+dθ)を求めました。
> そこで次は座標から求めてみようと考えたわけです。

また「既に終わってること」を繰り返すのですか？
「90°＜θ＜180°」の時の「tan(θ+dθ)」を「座標から求め」る解答は、
既に私が60264に（ほとんど完全解答の形で）書きましたが、
見なかったのですか？
No.60355 - 2019/07/31(Wed) 15:14:41
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
本当にすいません、読み直します。
No.60356 - 2019/07/31(Wed) 15:17:41
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
度々すいません、dθが負の値ではいけないとのことですが、dθは正で、—dθとしてはいいのでしょうか？
No.60357 - 2019/07/31(Wed) 15:38:11
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / らすかる
意味がよくわかりませんが、もしdθ＞0で
図形上に描いた角度を「-dθ」にしようとしているのなら、
それは「負の角度」を作っていますので大間違いです。
No.60358 - 2019/07/31(Wed) 15:47:38
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
ごめんなさい。幅を正にして、もう一度やってみます。
—dθ＞0として、正で幅として計算します。
ありがとうございます！
No.60359 - 2019/07/31(Wed) 16:00:35
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
図形の方で幅としてdθが負の場合と正の場合で4つの式を作ったところすべて正しい式になりました。
どうもありがとうございます。
No.60362 - 2019/07/31(Wed) 16:54:22
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
なるほど、長さを経由しながら座標を求めていき、最終的に(1/tanθ-dθ,1+dθ/tanθ)と座標を求めてtan(θ+dθ)=として求めたことがわかりました。
座標から作れたため負の値が入っても、正しい答えが導けるのですね。やっと理解できました。
No.60363 - 2019/07/31(Wed) 17:44:33
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / 関数電卓
> やっと理解できました。
大変失礼ながら、本当に理解されたのなら、もう蒸し返すことがないように、切に希望します。
No.60378 - 2019/08/01(Thu) 00:15:55
☆ Re: 三角関数の加法定理は長さや変化量を求める式だと思います！ / マーク42
はい。すいませんでした。
No.60396 - 2019/08/01(Thu) 14:26:50
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