ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / モンゴル

この問題と解説の(ii)において、

1)「x=cos2θで連続なので」とはどういうことですか？
2)なぜ(ii)の場合の最小値を考えないんですか。単調増加のグラフf(x)(cos2θ≦x≦1)の最小値はf(cos2θ)ではありませんか？

解説の全文は以下のURLの一番下です。
https://www.densu.jp/tokyo/06tokyolpass.pdf

No.59196 - 2019/06/14(Fri) 19:01:38

☆ Re: / モンゴル

画像忘れました。

この問題と解説の(ii)において、

1)「x=cos2θで連続なので」とはどういうことですか？
2)なぜ(ii)の場合の最小値を考えないんですか。単調増加のグラフf(x)(cos2θ≦x≦1)の最小値はf(cos2θ)ではありませんか？

解説の全文は以下のURLの一番下です。
https://www.densu.jp/tokyo/06tokyolpass.pdf

No.59197 - 2019/06/14(Fri) 19:03:00

☆ Re: / らすかる

> 1)「x=cos2θで連続なので」とはどういうことですか？

例えばg(x)が
x=-1のとき1
-1＜x＜αで減少
x=αのとき0
α＜x＜cos2θで増加
x→cos2θ-0のとき1
x=cos2θのとき-5
cos2θ＜x＜1で増加
x=1のとき-4
だとしたら、x=cos2θのときの-5が最小値ですね。
しかしこの問題ではそのようにx=cos2θのところで
グラフが飛んでいるようなことがなく、
(減少)－(極小値f(α))－(増加)－(f(cos2θ))－(増加)
のようになっていますので、f(α)が最小値になるということです。
つまり(i)の範囲で減少→増加した後、(連続なので)その最後のところから
(ii)ではさらに増加している、という意味です。
もし上のg(x)のようにcos2θで値が飛んでいると、
この極小値が最小値とは言えず、極小値とg(cos2θ)のうちの
小さい方が最小値になります。

> 2)なぜ(ii)の場合の最小値を考えないんですか。
> 単調増加のグラフf(x)(cos2θ≦x≦1)の最小値はf(cos2θ)ではありませんか？

(i)(ii)から、上に書いたように、全体が
(減少)－(極小値f(α))－(増加)－(f(cos2θ))－(増加)
となっていることがわかりますので、
(i)の中のf(α)が最小値であり、f(cos2θ)は明らかに最小値ではないからです。
（つまり(ii)の中の最小値ではあるけれども(i)の最小値の方が明らかに小さいということ）

No.59201 - 2019/06/14(Fri) 20:23:43

☆ Re: / モンゴル

とても勉強になりました。
本当にありがとうございます。
しっかり復習します。

No.59206 - 2019/06/14(Fri) 22:54:56

★ 極限 / 仁

r<-1のとき
lim(n→∞）1/(1+r^n)は分母が振動するので、分子も振動、よって極限値は存在せず発散、で合っていますか？間違っていたらなぜダメなのか教えてください。よろしくお願いします。

No.59184 - 2019/06/13(Thu) 23:34:32

☆ Re: 極限 / らすかる

式は
lim[n→∞]1/{(1+r)^n}ではなく
lim[n→∞]1/{1+(r^n)}でいいですか？
それでよければ、合っていません。
分母は振動しながら絶対値がいくらでも大きくなりますので、
全体は0に近づいていき、0に収束します。

例えば少し簡略化しますが
分母が10,-100,1000,-10000,100000,-1000000,…
のように振動すると、1/(分母)は
0.1,-0.01,0.001,-0.0001,0.00001,-0.000001,…
のようになりますよね。
ですから0に収束することになります。

No.59185 - 2019/06/14(Fri) 00:15:48

☆ Re: 極限 / 仁

回答ありがとうございます。わかりやすい説明でほぼ理解できました。
疑問点があります。（本問は誘導のない（nについて自然数かも何も情報が与えられていない）単発の計算問題ですが、）lim(n→∞）のnは何も書かれていなくても暗黙の了解で自然数なのでしょうか？

よろしくお願い致します。

No.59198 - 2019/06/14(Fri) 20:02:46

☆ Re: 極限 / らすかる

nは自然数であることが多いですが、暗黙の了解と考えてよいかどうかは
場合によると思います（常に自然数と考えるのは危険です）。
しかしこの問題では負数のn乗であり、おそらく高校以下では
複素数の極限値はやらなかったと思いますので、
実数範囲限定と考えればnは自動的に自然数に限定されます。

No.59199 - 2019/06/14(Fri) 20:09:56

★ (No Subject) / あい

A∈M(n,C)をn次正方行列とする。
(1)二つのベクトルp,q∈C^nが三つの条件
p+q=0 Ap=2p Aq=3qを満たすとき p=q=0であることを示せ
(2)三つのベクトルp,q,r∈C^nが４つの条件
p+q+r=0 Ap=2p Aq=3
q Ar=4rを満たすとき
p=q=r=0であることを示せ

この問題の解答を教えてください

No.59182 - 2019/06/13(Thu) 22:01:13

☆ Re: / nakaiti

(1) p+q=0 の両辺に左から A をかけると 2p+3q=0 となるのでこれらを連立することで p=q=0 を得ます。
(2) p+q+r=0 の両辺に左から A,A^2 をかけることで、それぞれ
2p+3q+4r=0, 4p+9q+16r=0 が得られて、これらを連立して解くと p=q=r=0 であることがわかります。

No.59191 - 2019/06/14(Fri) 11:27:50

★ 数?B / パンチ

添付画像の蛍光ペンの部分がなぜ、いえるのか分かりません。詳しく理由を教えてください。

No.59178 - 2019/06/13(Thu) 19:56:08

☆ Re: 数?B / X

α+β+1=0
ですのでα+β+1の共役複素数も0です。

No.59179 - 2019/06/13(Thu) 20:08:39

☆ Re: 数?B / ＩＴ

複素数α,βについて
　(α+β)~=α~+β~
　(αβ)~=(α~)(β~)
　α=β ならば　α~=β~

実数　aについて　a~=a . 例えば　0~=0、１~＝１

は分かりますか？

（α~ はαの共役複素数）

No.59180 - 2019/06/13(Thu) 20:13:04

★ (No Subject) / モンゴル

この問題の次のレスに添付する解説の赤いところがわかりません。
なぜtan(θ-60)になるのですか？

僕はRQの傾きを、tan(θ+120)で考えました。
こちらが解説しているサイトです。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-196.html

No.59170 - 2019/06/13(Thu) 16:27:54

☆ Re: / モンゴル

なぜ、θから60引くのでしょうか。図を交えていただけると助かります。

No.59172 - 2019/06/13(Thu) 16:29:41

☆ Re: / らすかる

直線RQは点Qを中心に直線PQを時計回りに60°回転したものですから、
60°引くことになります。
反時計回りに120°回転と考えれば120°足すことになりますが、
tan(θ+120°)=tan(θ-60°)ですからどちらで考えても同じです。
（tan(θ+120°)を使って解答を作っても正解になります。）

No.59173 - 2019/06/13(Thu) 16:33:49

☆ Re: / モンゴル

とても勉強になりました。ありがとうございます。
引き続き頑張ります。

No.59174 - 2019/06/13(Thu) 16:53:19

★ (No Subject) / モンゴル

この問題のこちらのサイトの解説には、点Rが直線PQより上にあるのが明らか、と書いてありますが、なぜ明らかなのですか？

http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-196.html

No.59167 - 2019/06/13(Thu) 15:36:31

☆ Re: / らすかる

そのサイトにあるように底辺が1、垂直辺が√2、斜辺PQが√3である
直角三角形を描いたとき、もう一点Rを△PQRが正三角形になるように
とるにはRを線分PQの左上方に書くか右下方に書くかのどちらかですね。
しかしRが右下方にあるとすると、P,Q,Rの三点を通る放物線は
上に凸の放物線であり、y=x^2上にP,Q,Rがあるようにはできません。
従ってRはPQの左上方すなわち直線PQより上にあることになります。

No.59169 - 2019/06/13(Thu) 16:05:08

☆ Re: / モンゴル

よく分かりました。ありがとうございますm(_ _)m

No.59171 - 2019/06/13(Thu) 16:28:17

★ (No Subject) / あ

これの続きお願い致します。

No.59157 - 2019/06/13(Thu) 09:37:03

☆ Re: / らすかる

その続きは自分がどういう解答にしたいかで決まるものですから、
人が作っても意味がないと思います。
何でもよければ、(少し変えますが)

f(x)=∫[0～1]|t^2-x^2|dt (0≦x≦2)
t^2-x^2≧0のとき
(t+x)(t-x)≧0
t≧x (∵t≧0,x≧0)
そして
∫|t^2-x^2|dt=∫t^2-x^2dt=(1/3)t^3-tx^2+C
t^2-x^2＜0のとき
(t+x)(t-x)＜0
t＜x (∵t≧0,x≧0)
そして
∫|t^2-x^2|dt=∫-t^2+x^2dt=-(1/3)t^3+tx^2+C
よって
(i)0≦x≦1のとき
f(x)=∫[0～x]|t^2-x^2|dt+∫[x～1]|t^2-x^2|dt
=[-(1/3)t^3+tx^2][0～x]+[(1/3)t^3-tx^2][x～1]
=-2((1/3)x^3-x^3)+(1/3-x^2)=(4/3)x^3-x^2+1/3
(ii)1≦x≦2のとき
f(x)=∫[0～t]|t^2-x^2|dt=[-(1/3)t^3+tx^2][0～1]=x^2-1/3
以上(i)(ii)より、
(以下解説と同じ)

# 結局最初にt≧xとt＜xで場合分けした不定積分を書いただけで
# 基本は解説と変わりません。

No.59161 - 2019/06/13(Thu) 11:21:29

☆ Re: / あ

> t^2-x^2＜0のとき
(t+x)(t-x)＜0
t＜x (∵t≧0,x≧0)
これはt=1,x=2の時、-x<tも満たしませんかね？

No.59162 - 2019/06/13(Thu) 12:00:55

☆ Re: / らすかる

t≧0かつx≧0なのでt=x=0でない限り常に-x＜tは満たしますが、
それがこの問題の解答と関係あるのですか？

No.59163 - 2019/06/13(Thu) 14:30:09

☆ Re: / あ

条件が違うと答えも変わるのではと考えています。正直に申しますと解答を見ないでどう解けば良いかまだ分かっていません。すみません。

No.59175 - 2019/06/13(Thu) 17:53:40

☆ Re: / らすかる

条件が違えば答えが変わるのは当然ですが、
どういう条件を考えているのでしょうか。

この問題の考え方は以下のようになります。
・絶対値を含む積分だから場合分けが必要
・tもxも非負だから、t^2-x^2の正負はt-xの正負と同じ
・従ってt≧xとt＜xで場合分けすればよい
・しかし0≦t≦1,0≦x≦2だからx≧1の場合はt＞xと
　なることがなく、場合分けできない
・よってt≧xとt＜xで場合分けする以前に、x≧1とx＜1で
　場合分けしなければいけない
・x≧1の場合はt-x≦0だからtとxの大小関係による場合分けは
　不要で、|t^2-x^2|=-(t^2-x^2)として単純に積分すればよい
・x＜1の場合はt≧xとt＜xで場合分けして積分、つまり
　積分区間0～1を0～xとx～1に分けてそれぞれ絶対値を外す
このように考えますので、自動的に解答＆解説に
書かれているような解答になります。

No.59176 - 2019/06/13(Thu) 19:21:46

☆ Re: / あ

分かりました。ありがとうございます。

No.59190 - 2019/06/14(Fri) 11:07:06

★ 平方完成 / 高一男子

?@2x²-3x+1

?A-2(x-3)(x+6)

この二問の平方完成の仕方がわかりません…解説してくれると嬉しいです

No.59149 - 2019/06/13(Thu) 00:30:19

☆ Re: 平方完成 / らすかる

平方完成は
まずx^2の係数で全体をくくる
2x^2-3x+1 → 2{x^2-(3/2)x+(1/2)}
xの係数の半分の2乗を足して引く
xの係数は-(3/2)なので半分は-(3/4)、その2乗は(9/16)なので
2{x^2-(3/2)x+(1/2)} → 2{x^2-(3/2)x+(9/16)-(9/16)+(1/2)}
これでx^2-(3/2)x+(9/16)の部分が
(x-(3/4))^2と表せます。
-(3/4)は、もちろん上のxの係数の半分です。
従って
2{x^2-(3/2)x+(9/16)-(9/16)+(1/2)}
=2{(x-(3/4))^2-(9/16)+(1/2)}
あとは係数をまとめてカッコの外に出せば
2{(x-(3/4))^2-(9/16)+(1/2)}
=2{(x-(3/4))^2-(1/16)}
=2{x-(3/4)}^2-(1/8)
となります。これが平方完成した答えです。

2問目も一旦展開すれば同じ方法でできますので、やってみて下さい。

No.59151 - 2019/06/13(Thu) 01:31:18

★ ガウス記号 / yukimi

正の整数nの約数の個数をf(n)とする。

正の整数nに対して、Σ[k=1からn]f(k)=Σ[k=1からn][n/k]であることを示せ。ただし[x]は実数xに対してxを超えない最大の整数を表す。

わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

No.59142 - 2019/06/12(Wed) 22:17:50

☆ Re: ガウス記号 / ＩＴ

k=1からn の整数kに対する正の約数∈{1からnの整数}です。

整数i (１≦i≦n）は、1からn の整数のうち[n/i]個の整数の約数です｡　

言い換えると
１からｎまでの整数のうちi の倍数は、i,2i,....,[n/i]i の [n/i]個です。

例えば　n=6 のとき
1　は[6/1]＝6個の整数1,2,3,4,5,6の約数です
2　は[6/2]＝3個の整数2,4,6の約数です
3　は[6/3]＝2個の整数3,6の約数です
4　は[6/4]＝1個の整数4の約数です
5　は[6/5]＝1個の整数5の約数です
6　は[6/6]＝1個の整数6の約数です

No.59143 - 2019/06/12(Wed) 22:36:42

☆ Re: ガウス記号 / ＩＴ

Σ[k=1からn]f(k)=Σ[k=1からn][n/k]
の左辺のkと右辺のkは、もちろん独立して動きますし異なる意味となっていますから

Σ[k=1からn]f(k)=Σ[i=1からn][n/i]＝Σ[k=1からn][n/k]と考えた方が分かり易いかも知れません。

No.59144 - 2019/06/12(Wed) 22:56:15

☆ Re: ガウス記号 / ＩＴ

n=6 のとき　表にすると

　一二三四五六
１○○○○○○
２－○－○－○
３－－○－－○
４－－－○－－
５－－－－○－
６－－－－－○

No.59146 - 2019/06/12(Wed) 23:15:18

★ 順列の総和と積分 / 星屑

画像の等式が成り立つことを示せたのですが，これは有名なものでしょうか？

No.59130 - 2019/06/12(Wed) 20:01:26

☆ Re: 順列の総和と積分 / 関数電卓

左辺は部分積分を繰り返して n/e になりますが、右辺もそうなるのですか？

No.59131 - 2019/06/12(Wed) 20:50:30

☆ Re: 順列の総和と積分 / X

>>関数電卓さんへ
左辺の定積分の下限を0と間違えて計算していませんか？

No.59134 - 2019/06/12(Wed) 21:02:24

☆ Re: 順列の総和と積分 / ＩＴ

関数電卓さんへ＞
> 左辺は部分積分を繰り返して n/e になります

間違いでは？

星屑さんへ＞
∫[0..∞](x^n)e^(-x)dx = n! は有名式ですね。
差分の∫[0..1](x^n)e^(-x)dx が有名かですが、手持ちの数冊のテキストでは出てきません。

No.59138 - 2019/06/12(Wed) 21:15:31

☆ Re: 順列の総和と積分 / 関数電卓

失礼しました。積分の下端は 1 でやりましたが、途中計算を間違いました。
左辺を f(n) とすると、f(n)＝nf(n－1)＋1/e　になるようです。
この f(n)、一般項が出せそうですが、これからやってみます。
左辺の積分を Wolfram 入れてみたら、不完全ガンマ関数 Γ(n,1) だと出てきました。ベータ関数とは何らかの関係がありそう。

No.59139 - 2019/06/12(Wed) 21:25:56

☆ Re: 順列の総和と積分 / ast

不完全ガンマで、Γ(n+1,1) の値ということですかね. 有名値なのかはよく知りませんが, 星屑さんご自身が書かれているように, ガンマとよく似た漸化式があるので, ひとつわかれば芋蔓式に出てくることになるのかと.

参考: ウィキペディア日本語版
　　: Wolfram Alpha でいくつか計算してみた
　　: ウィキペディア英語版には質問と同じ内容の式が書いてあるっぽい

No.59140 - 2019/06/12(Wed) 21:32:10

☆ Re: 順列の総和と積分 / ＩＴ

∫[0..1](x^n)e^(-x)dx は下記に出てますね。
e が無理数であることの証明［1997 大阪大・理（後）］

https://izu-mix.com/math/?p=205

No.59141 - 2019/06/12(Wed) 21:55:50

★ (No Subject) / しめさば

数列の質問
k=1からnまでのΣ(n+1-k)ak=(n+1)^3-1
を満たすときanの一般項を求めよ

No.59126 - 2019/06/12(Wed) 11:09:42

☆ Re: / まうゆ

与式をsnとおく
s1=(1+1-1)a1=a1=2^3-1=7
n≧2の時
sn-s(n-1)=(n+1-n)an=an=(n+1)^3-1-((n-1+1)^3-1)=3n^2+3n+1
これはa1=7も満たす
∴an=3n^2+3n+1

No.59128 - 2019/06/12(Wed) 14:15:42

☆ Re: / X

横から失礼します。
>>まうゆさんへ
s[n]=Σ[k=1～n](n+1-k)a[k]
と置いたのであれば
s[n-1]=Σ[k=1～n-1](n-k)a[k]
なので
s[n]-s[n-1]=(n+1-n)a[n]
とはならないのでは？

Σ[k=1～n](n+1-k)a[k]=(n+1)^3-1 (A)
とします。
Σ[k=1～n]a[k]=S[n]
Σ[k=1～n]ka[k]=T[n]
と置くと(A)は
(n+1)S[n]-T[n]=(n+1)^3-1 (A)'
よってn≧2のとき
S[n]-S[n-1]=a[n] (B)
T[n]-T[n-1]=na[n] (C)
により(A)'から
na[n]+S[n]-na[n]=3n^2+3n+1
∴S[n]=3n^2+3n+1 (D)
(A)より
a[1]=7 (E)
ゆえ(D)はn=1のときも成立。
よってn≧2のとき(B)(D)より
a[n]=6n (F)
となるので(E)(F)をまとめて
a[1]=7,a[n]=6n(n≧2のとき)

No.59129 - 2019/06/12(Wed) 18:36:18

☆ Re: / まうゆ

確かにそうでした
失礼しました

No.59159 - 2019/06/13(Thu) 10:32:19

★ (No Subject) / PUNK

上方をz=xで、下方をz=x^2+y^2で区切られる領域の体積を教えていただきたいです。
極座標で0<=r<=1, -π/2<=θ<=π/2, の範囲でrcosθ-r^2を積分するのだと思いましたが、答えがあいません。
答えはπ/32になっていますが、解説はついておりません。

No.59118 - 2019/06/12(Wed) 01:35:49

☆ Re: / X

積分範囲、被積分関数ともに間違えています。

まず、被積分関数にヤコビヤンが付いていません。
(r^2)cosθ-r^3
を積分します。

次に積分範囲ですが、rの積分範囲が間違っています。
問題の積分範囲の境界は
z=x^2+y^2
と
z=x
からzを消去した
x=x^2+y^2
つまり
x≧x^2+y^2
が積分範囲となります。
これを極座標変換してもう一度考えてみましょう。

No.59122 - 2019/06/12(Wed) 07:04:12

☆ Re: / PUNK

ありがとうございます
解けました！

No.59127 - 2019/06/12(Wed) 13:07:46