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★ 背理法 / 美雪
半径がR、rの2円O、O'が互いに外部にあるとき、これら2円に引いた折線の長さが等しい点Pの軌跡を求めよ。ただしR>rとする。

PからOO’に引いた垂線の足をHとします。

HO2乗-HO’2乗=R2乗-r2乗…(1)

Hが円O内で、HO<Rとすれば、HO+HO’>R+rより、(1)に矛盾する

という記述があるのですが、HO<Rだとどうして(1)に矛盾するのかわかりません。ここを解説していただけないでしょうか？よろしくお願いします。
No.59717 - 2019/07/08(Mon) 18:02:11
☆ Re: 背理法 / らすかる
HO＜RでHO+HO'＞R+rならばHO'＞rとなりますが、
そうなると(1)を変形したHO^2-R^2=HO'^2-r^2の
左辺が負、右辺が正となり矛盾しますね。
No.59725 - 2019/07/08(Mon) 19:50:24
☆ Re: 背理法 / 美雪
ありがとうございました！
No.59784 - 2019/07/10(Wed) 16:47:01
★ (No Subject) / ゆい橋
この写真の下のほうの練習20(2)なのですが、なぜこの重要例題の(1)と同じように解くことはできないのですか？
No.59715 - 2019/07/08(Mon) 16:13:21
☆ Re: / らすかる
立方体の場合は、最初に固定する色をどの面に塗っても全く同じなので
最初に固定する色を塗った面を「上面」、反対側を「下面」、
残りを「側面」と考えることができますが、
正三角柱の場合は塗る前から「底面」と「側面」の2種類の面がありますので、
最初に固定する色を底面に塗るか側面に塗るかでその後の計算が変わり、
同じ計算ではできませんね。
No.59724 - 2019/07/08(Mon) 19:31:51
★ テンソルとは / エクセター
文系素人的にですが・・・ある関数で、長さや角度を変えるベクトルがあるときに、その変化（関数）を、座標系に依存せずに（＝どんな座標系においても）成立させるための数学的表現が2階のテンソルであるという理解で、でOKでしょうか?　
No.59714 - 2019/07/08(Mon) 15:54:23
★ 加減法 / A
金額で前回との差額を出したいときは大きい方から小さい方を引くのか今回のから前回の数を引くのですか？
No.59709 - 2019/07/08(Mon) 10:53:58
☆ Re: 加減法 / らすかる
場合によりますので、それだけでは何とも言えません。
No.59710 - 2019/07/08(Mon) 10:55:59
☆ Re: 加減法 / A
例えば前回の合計が＋20で今回の合計が150で求めるのが前回との差額です
No.59711 - 2019/07/08(Mon) 11:49:41
☆ Re: 加減法 / A
ごめんなさい−150です
No.59712 - 2019/07/08(Mon) 12:01:28
☆ Re: 加減法 / らすかる
場合によりますので、「前回との差額」だけでは何とも言えません。
数学の問題なら、問題文をそのまま書いて下さい。
そうでないなら、もっと詳しい状況が必要です。
No.59713 - 2019/07/08(Mon) 12:55:02
☆ Re: 加減法 / A
レジ点検で前回との差額を出すときの計算で前回の数が＋20で今回が−150です。式はどうなりますか？ 分かりずらくてごめんなさい
No.59722 - 2019/07/08(Mon) 19:13:25
☆ Re: 加減法 / らすかる
レジ点検ならば前回と比べていくら増えたか、またはいくら減ったかが知りたいので、
(今回)-(前回)でよいと思います。
No.59723 - 2019/07/08(Mon) 19:26:14
★ (No Subject) / Huz
z＝3の時はz＝y＝z＝3で解いていたのに、なぜz=2の時はz＝y＝z＝2としてはいけないのですか？
No.59707 - 2019/07/08(Mon) 01:49:04
☆ Re: / らすかる
そこに書かれているように
z=3のとき(1)の
2=1/x+2/y+3/z≦1/z+2/z+3/z=6/z=2なので
「≦」のうち「＜」ではなく「＝」です。
「＝」になるのはx=z,y=zの場合だけですから
x=y=z=3となります。

z=2の場合は「≦」のうち「＜」ですから、
x=y=zということはあり得ず、
x＞y＞z
x＞y=z
x=y＞z
のいずれかになります。
よってx=y=z=2とすることはできません。
No.59708 - 2019/07/08(Mon) 03:01:29
★ 微分 / ナース
f(x)=x^2/n^2+(e^2x)-1の増減を調べ、グラフの概形を描け。ただし、nを自然数とする。

どのような方針で解いていいのかわかりません。
教えてください<(_ _)>
No.59706 - 2019/07/08(Mon) 00:48:25
☆ Re: 微分 / 関数電卓
> f(x)=x^2/n^2+(e^2x)-1 …(1)

指数関数の部分は、e^(2x) ですね？ そうだとして回答します。

　f '(x)＝2x/n^2＋2e^2x …(2)
　f ''(x)＝2/n^2＋4e^2x＞0 …(3)

(1)より、x→∞、x→−∞ ともに f(x)→∞
(3)より、f(x) は下に凸。
(2)より f '(x)＝0 とする (極小値を与える) x は、解析的には求められません。

以上より、f(x) のグラフは以下のようになります。
また、グラフが (−2,0), (−3,0), (−4,0) を通っているように見えますが、そうではありません。極めて近い点を通る。
No.59738 - 2019/07/08(Mon) 22:33:15
☆ Re: 微分 / らすかる
f(0)=0, f '(0)＝2, f ''(0)＞0なので
nがいくつの場合でも原点でy=2xに接します。
よってy=2xも（点線で）描いておくとより良いと思います。
No.59743 - 2019/07/08(Mon) 23:23:32
★ テイラー展開 / 初学者


複素関数論（実関数でも）において、
❘z-a❘＜Rでaを中心としてｆ（ｚ）がテイラー展開されるとき、❘z-a❘＜Rなるｚでは整級数は絶対収束するのでしょうか？
証明を探しているのですが、出てきません
No.59705 - 2019/07/08(Mon) 00:43:17
☆ Re: テイラー展開 / 関数電卓
> ❘z-a❘＜Rなるｚでは整級数は絶対収束するのでしょうか？

例えば ここ の後半部分ににあるように、↑は成立しないのでは？
No.59733 - 2019/07/08(Mon) 21:20:34
★ 対頂角の定理 / 美雪
対頂角の定理の逆は成り立ちますか？つまり、線分AB上の点Pに対して、∠APQ=∠BPRが成り立つとき、Q、P、Rほ一直線上にあるといえますか？

三角形ABCの外接円の周上の点K(kは弧ACのBを含まない側)から?僊BCの3辺またはその延長に引いた垂線の足P、Q、Rは1直線上にあることを示す問題で、∠AQR=∠CQPまで導けたんですが、これをもってP、Q、Rは一直線上にあるといえますか？
No.59700 - 2019/07/07(Sun) 19:41:48
☆ Re: 対頂角の定理 / 美雪
PはKからBCに、QはKからCAに、RはKからABに引いた垂線の足です。
No.59701 - 2019/07/07(Sun) 19:44:43
☆ Re: 対頂角の定理 / らすかる
他にどういう条件があるかわかりませんが、少なくとも
「線分AB上の点Pに対して、∠APQ=∠BPRが成り立つ」という条件だけでは
「Q、P、Rは一直線上にある」とはいえません。
例えばA(-1,0),B(1,0),P(0,0),Q(-1,1),R(1,1)のとき
∠APQ=∠BPRですが、Q,P,Rは明らかに一直線上にありません。
No.59702 - 2019/07/07(Sun) 21:56:13
☆ Re: 対頂角の定理 / 美雪
早速の解説ありがとうございます。

対頂角の定理の逆は成り立たないのですね。

それでは上の問題はどうやって解けばよいでしょうか？
No.59703 - 2019/07/07(Sun) 22:52:42
☆ Re: 対頂角の定理 / らすかる
> ∠AQR=∠CQPまで導けたんですが
これを導く過程で、「PとRは直線ACに関して反対側にある」ことも
わかっているのではありませんか？
もしその条件があれば一直線上にあると言えます。
つまり
「Qは線分AC上の点」かつ「∠AQR=∠CQP」かつ
「PとRは直線ACに関して反対側にある」ならば
「P,Q,Rは一直線上にある」が成り立ちます。
No.59704 - 2019/07/08(Mon) 00:02:39
☆ Re: 対頂角の定理 / 美雪
ありがとうございました！
No.59716 - 2019/07/08(Mon) 17:48:41
★ 図と式が合いません。 / マーク42
画像のように図を書いて cosθの微分を導いたのですが、途中の式と図が合いません。
何が間違っているのでしょうか？
絶対値を使い| dθ|→0とすることでしか解けないのでしょうか？
No.59696 - 2019/07/07(Sun) 15:38:46
☆ Re: 図と式が合いません。 / まうゆ
図のcos(θ-dθ)は一般角なので回転も考えて
逆方向に進みます
No.59759 - 2019/07/09(Tue) 13:39:29
★ 整数問題 / あやか
全然分からないので教えてください…
No.59694 - 2019/07/07(Sun) 12:44:00
☆ Re: 整数問題 / ＩＴ
(1) は　tanの加法定理を使えば容易です。
tanθ[m],tanθ[n]をm,n で表すとどうなりますか？
tan(θ[m]+θ[n])をm,n で表すとどうなりますか？(tanの加法定理を使います）

ここまでは自力でできないと先に進むのは難しいと思います。
No.59695 - 2019/07/07(Sun) 13:47:49
★ 連立漸化式 / めめ
この連立漸化式の方の解説が全く理解できません…雑な質問で申し訳ないのですが、これはどういう意味でしょうか？
No.59692 - 2019/07/07(Sun) 08:16:14
☆ Re: 連立漸化式 / らすかる
a[n+1]=pa[n]+qb[n] … (ア)
b[n+1]=qa[n]+pb[n] … (イ)
のとき(ア)+(イ)から
a[n+1]+b[n+1]=(p+q)(a[n]+b[n])
c[n]=a[n]+b[n]とするとc[n+1]=(p+q)c[n]で、
これは単なる等比数列なので、
c[n]の一般項は容易に求まります。
また(ア)-(イ)から
a[n+1]-b[n+1]=(p-q)(a[n]-b[n])
d[n]=a[n]-b[n]とするとd[n+1]=(p-q)d[n]で、
これも単なる等比数列なので、
d[n]の一般項も容易に求まります。
そしてa[n]=(c[n]+d[n])/2、b[n]=(c[n]-d[n])/2から
a[n],b[n]の一般項が求まります。
No.59693 - 2019/07/07(Sun) 09:53:10
☆ Re: 連立漸化式 / めめ
すいません、理解しました！
No.59697 - 2019/07/07(Sun) 16:03:11
★ (No Subject) / Qちゃん
さいころを1回または2回または3回投げ、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。1回投げて出た目を見た上で2回目を投げるか否かを決め、2回目に投げて出た目を見た上で3回目を投げるか否かを決める。2回目、3回目を投げるか否かの決定はどのようにするのが有利か。

わかりやすく教えてください。
No.59686 - 2019/07/06(Sat) 19:40:18
☆ Re: / らすかる
1回投げたときの期待値は7/2=3.5ですから、
2回目まで投げたときに3以下なら3回目を投げることになります。
すると、2回目以降の期待値は
(1/6)×6+(1/6)×5+(1/6)×4+(1/2)×(7/2)=17/4=4.25となりますので
1回目が4以下なら2回目を投げた方が良いことになります。
従ってまとめると
1回目が5以上なら終わり
1回目が4以下なら2回目を投げる
2回目が4以上なら終わり
2回目が3以下なら3回目を投げる
ということになります。
No.59688 - 2019/07/06(Sat) 21:24:18
☆ Re: / Qちゃん
すみません、ちょっとよくわからないのですが、
1回投げたときの期待値が3.5なら、2回目は1回目が3以下の場合に投げることになりませんか？

あと2回目以降の期待値の計算式の(1/2)・(7/2)の項の意味がわかりません。1/2と7/2は何を表しているんですか？
No.59698 - 2019/07/07(Sun) 17:22:24
☆ Re: / らすかる
> 1回投げたときの期待値が3.5なら、2回目は1回目が3以下の場合に投げることになりませんか？
なりません。
2回目で終わりではありませんので、「2回目以降の期待値」は3.5ではありません。
もし「3回で終わり」が「100回で終わり」だとしたら、
1回目が4や5でも終わりにしませんよね。

> あと2回目以降の期待値の計算式の(1/2)・(7/2)の項の意味がわかりません。1/2と7/2は何を表しているんですか？
1/2は「2回目に3以下が出る確率」
7/2は「3回目の期待値」
です。
2回目が3以下のときに3回目を投げますので、
(2回目以降の期待値)
=(6が出る確率)×(6が出た時の得点)
　+(5が出る確率)×(5が出た時の得点)
　+(4が出る確率)×(4が出た時の得点)
　+(3が出る確率)×(3が出た時の得点)
　+(2が出る確率)×(2が出た時の得点)
　+(1が出る確率)×(1が出た時の得点)
=(6が出る確率)×6
　+(5が出る確率)×5
　+(4が出る確率)×4
　+(3が出る確率)×(3回目の期待値)
　+(2が出る確率)×(3回目の期待値)
　+(1が出る確率)×(3回目の期待値)
=(6が出る確率)×6
　+(5が出る確率)×5
　+(4が出る確率)×4
　+(1〜3が出る確率)×(3回目の期待値)
=(1/6)×6
　+(1/6)×5
　+(1/6)×4
　+(1/2)×(7/2)
となります。
No.59699 - 2019/07/07(Sun) 18:25:29
☆ Re: / Qちゃん
大変すみません、まだよくわからないのですが、なぜ2回目に3以下がでる確率に3回目の期待値をかけるのですか。2回目と3回目になっている理由がわかりません。2回目の期待値は2回目に出る目の数とその目がでる確率の積の和ではないのですか。ここがどうしてもわからないです。

それと2回目以降の期待値の計算式で1、2、3の目が出た場合だけ、3回目の期待値をかけるのかもわからないです。4、5、6の目が出たときはどうして3回目の期待値をかけないのですか。

本当にすみません、もう一度教えて頂けないでしょうか。
No.59740 - 2019/07/08(Mon) 22:39:15
☆ Re: / らすかる
59688の最初に
　1回投げたときの期待値は7/2=3.5ですから、
　2回目まで投げたときに3以下なら3回目を投げることになります。
と書いたように、
「3回目の期待値」は3.5なので、
2回目の目が1〜3の場合は3回目を投げた方が得です。
逆に2回目の目が4〜6の場合は3回目を投げると損なので、
3回目は投げません。
ですから、
2回目で4〜6が出た場合は3回目を投げないのでその4〜6が得点
1〜3が出た場合は3回目を投げるので、3回目の期待値が得点(の期待値)
ということになります。
No.59742 - 2019/07/08(Mon) 23:19:10
☆ Re: / Qちゃん
ありがとうございました。納得できました。
No.59777 - 2019/07/09(Tue) 22:13:30
★ 漸化式について / めめ
この黄線部の2行目で、なぜ(r+1)の(k-1)乗とせずに、(r+1)^kとしているのでしょうか？
No.59683 - 2019/07/06(Sat) 17:14:57
☆ Re: 漸化式について / ＩＴ
具体的なｋの値（0、１など）で確認すると　間違い難いです。
No.59684 - 2019/07/06(Sat) 18:00:56
☆ Re: 漸化式について / めめ
解答ありがとうございます。
数列(ak-x/r)の初項が、(a1-x/r)=(1+r)(a0-x/r)だからですか？
No.59685 - 2019/07/06(Sat) 18:27:47
☆ Re: 漸化式について / らすかる
「初項が、(a1-x/r)=(1+r)(a0-x/r)」は意味がよくわかりませんが、
a[1]-x/rを初項と考えているのでしたら違います。
それはともかくとして、
「初項は○」とか「式の形が○」などの情報から
機械的に考えようとするのは間違いの元です。
（問題によってあてはまらなくなる可能性があります。）
ＩＴさんが書かれているように、
kに具体的な値を代入して確認するのが確実です。
例えば、もしk-1乗で
a[k]-x/r=(1+r)^(k-1)(a[0]-x/r)
だとすると、このkに0を代入すると
a[0]-x/r=(1+r)^(-1)(a[0]-k/r)すなわち
a[0]-x/r=(a[0]-k/r)/(1+r)
となり、正しくありません。kに1を代入しても
a[1]-x/r=a[0]-x/r → a[1]=a[0]
となり、やはり正しくないことがわかります。
a[k]-x/r=(1+r)^k(a[0]-x/r)
ならば、kに0を代入して
a[0]-x/r=a[0]-x/r
で正しく、1を代入すると
a[1]-x/r=(1+r)(a[0]-x/r)
で正しいです。
従って(1+r)^(k-1)ではなく(1+r)^kが正しいとわかります。
（普段からこうやって確認するくせをつけましょう）
No.59687 - 2019/07/06(Sat) 21:09:40
☆ Re: 漸化式について / めめ
解答ありがとうございます。

(a[k]-x/r) という数列の初項が、(a[1]-x/r)、公比が(1+r)だと思い、、

一般項 (a[k]-x/r) = {(1+r)^(k-1)}・(a[1]-x/r)

黄線部1行目より、

(a[1]-x/r)=(1+r)(a[0]-x/r)

よって、

一般項 (a[k]-x/r) = {(1+r)^k}・(a[0]-x/r)

と、機械的に考えてしまったのですが、この考え方ではやはり間違いでしょうか？
No.59689 - 2019/07/06(Sat) 22:16:51
☆ Re: 漸化式について / らすかる
初項は(a[0]-x/r)なのでそこは間違いですが、
その他の計算は正しいです。
（「初項より前の項」はあり得ません）
k-1乗になるのは初項の添え字が1の場合であって、
初項の添え字が0の場合はk乗になります。
No.59690 - 2019/07/06(Sat) 23:00:44
☆ Re: 漸化式について / めめ
ありがとうございました！
No.59691 - 2019/07/06(Sat) 23:07:01
★ 行列に関する記述 / ぽろり
何が違うのか分かりません。
どなたか教えてください。
お願いします。
No.59679 - 2019/07/06(Sat) 13:19:02
☆ Re: 行列に関する記述 / ＩＴ
4番目は間違いでは？
第４講を学習して　再チャレンジすればよいのでは？
No.59680 - 2019/07/06(Sat) 13:26:43
★ (No Subject) / ゆい橋
-1≦t≦1のとき、なぜ1≦t^+1≦2になるのですか？
No.59677 - 2019/07/06(Sat) 12:52:24
☆ Re: / ＩＴ
t^2+1　ですよね？

y=t^2+1 のグラフで考えるか

-1≦t≦1　を　-1≦t＜0と　0≦t≦1　に分けて考えるといいと思います。

あるいは、t^2 の範囲について考えて　１加えてもいいです。
No.59678 - 2019/07/06(Sat) 13:04:44
☆ Re: / ゆい橋
t^2の範囲について考える方法を詳しく教えていただきたいです
No.59681 - 2019/07/06(Sat) 13:58:29
☆ Re: / ＩＴ
何年生（相当）ですか？
No.59682 - 2019/07/06(Sat) 16:34:59
★ (No Subject) / 新竹
1. 小数(有理数)は何乗しても整数にならない。
真ならば、それを示し、偽ならば、判例を示せ

2. πは何乗しても整数にならない。
正しいならばこれを示せ。

お願いします
1は分数で表して、その後どのような考えを使うのでしょうか？
No.59675 - 2019/07/05(Fri) 22:00:38
☆ Re: / ＩＴ
1 は記述があいまいですね。出典は何ですか？　創作問題ですか？
小数（有理数）：整数でない有理数
何乗：自然数ｎについて　ｎ乗

という意味ですか？

そうだとすると

有理数を　s/r　（sとrは互いに素の整数でrは正)とする

(s/r)^n=k(整数) ならば
　　s^n=kr^n
　このとき　s^nはrで割りきれる
　一方sとrは互いに素なのでs^nとrは 互いに素である。#(これは、nについての数学的帰納法により証明）
　よってr=1 である。

#「素因数分解の一意性定理」を使う方法もありますが、「素因数分解の一意性定理」の証明はそれなりにステップを要します。
No.59676 - 2019/07/05(Fri) 23:24:27
☆ Re: / 新竹
ありがとうございました。
この問題は自作です。
疑問に思ったので質問させていただきました。

2は分数の形にできないのですが、

これはどうするのでしょうか。
No.59718 - 2019/07/08(Mon) 18:03:43
☆ Re: / ＩＴ
何年生ですか？

２は１に比べて格段にレベルが高いと思います。まったく同じ命題ではないですが、

「Π　超越数」で検索すると、Πが代数的数でないことの証明が載っています。
No.59727 - 2019/07/08(Mon) 20:15:09
★ (No Subject) / ゆい橋
この写真ではてなしてあるところの意味がわかりません。
No.59671 - 2019/07/05(Fri) 09:04:14
☆ Re: / X
４つの色を例えばa,b,c,dとしましょうか。
このとき、例えば3色として
{a,b,c} (A)
を選んだ場合、残った色は
d
となりますが、選んだ色の組である(A)と
残った色であるdは
「一対一に対応」
していますよね？。
そのことを使っています。
No.59673 - 2019/07/05(Fri) 17:45:34
★ (No Subject) / 清
半径9ｃｍの円外の点Pから長さ、20cmの接線を引きたい。円の中心をOとするとき、OPの長さを何cmにすれば良いか？
この問題はPA=PB=√dの二乗-ｒの二乗の公式を使ってとくとd=√481となってしまいました。
あっているか分からないのでどなたか教えてください
No.59670 - 2019/07/04(Thu) 23:56:23
☆ Re: / まうゆ
あっっています
No.59672 - 2019/07/05(Fri) 11:27:27
★ 不静定次数 / やなちゃん
答えを教えていただきたいです。お願いします。
No.59669 - 2019/07/04(Thu) 22:39:31
★ 確率 / や
カッコ2が分かりません。
No.59661 - 2019/07/04(Thu) 19:41:40
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