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★ (No Subject) / さいとう
続けて質問してすみません。
画像の問題も解き方が分かりません。
お願いします。
No.60290 - 2019/07/29(Mon) 22:54:22
☆ Re: / ＩＴ
z[1]z[2]を計算して　その結果の共役複素数を求めます。

a,b,c,d は実数のとき
(a+bi)(c+di) の計算
a+biの共役複素数がどうなるかは、分かりますか？

わからなければ教科書で確認して下さい｡
No.60299 - 2019/07/30(Tue) 00:31:22
☆ Re: / さいとう
(-2-5i)(3+i)にして計算すれば求められますか？
No.60306 - 2019/07/30(Tue) 06:32:13
☆ Re: / らすかる
それでも求められますが、
問題が
(z1の共役複素数)×(z2の共役複素数)
ではなく
(z1×z2)の共役複素数
ですから、
掛けてから虚数部の符号を反転した方が良いと思います。
もし(-2-5i)(3+i)で計算するならば、最初に
「(z1z2)~=(z1)~・(z2)~なので」などの注釈を書いておかないと
減点されるかも知れません。
No.60309 - 2019/07/30(Tue) 06:45:28
☆ Re: / さいとう
たしかにそうですね。教えて頂きありがとうございました！
No.60312 - 2019/07/30(Tue) 07:41:40
★ (No Subject) / さいとう
画像の問題ですが、答えがいまいち分かりません。
1以外の答えの求め方を教えてください。お願いします。
No.60289 - 2019/07/29(Mon) 22:44:23
☆ Re: / ＩＴ
x^4=1 すなわち　x^4-1=0 を複素数の範囲で解けば良いのでは？
No.60292 - 2019/07/29(Mon) 22:55:27
☆ Re: / さいとう
(X^2+1)(x^2-1)=0
X=1,-1
ということですか？
No.60307 - 2019/07/30(Tue) 06:33:47
☆ Re: / らすかる
複素数範囲では、(x^2+1)(x^2-1)は
(x+i)(x-i)(x+1)(x-1)と因数分解できます。
No.60308 - 2019/07/30(Tue) 06:39:15
☆ Re: / さいとう
なるほど！ありがとうございました！
No.60311 - 2019/07/30(Tue) 07:40:55
★ ドモアブルについての展開の仕方 / テレタビー
z=r(cosθ+isinθ) (r＞0)とおくとド・モアブルの定理より
z^8=r^8(cos8θ+isin8θ)とできるそうなのですが、z=r(cosθ+isinθ) (r＞0)からz^8=r^8(cos8θ+isin8θ)と幾何学的に導けないでしょうか？

No.60286 - 2019/07/29(Mon) 21:23:08
★ クラメール / たぬき
この連立方程式の解X2をクラメールの公式を使って解いて下さい。
No.60274 - 2019/07/29(Mon) 19:41:16
☆ Re: クラメール / GandB
　成分に間違いがあったので訂正
No.60298 - 2019/07/30(Tue) 00:30:58
☆ Re: クラメール / たぬき
ありがとうございます。
とても助かりました！
No.60315 - 2019/07/30(Tue) 09:15:35
★ 無限級数 / Po
極限値lim(n→∞)1/nΣ(k=1→n)cos(sin1/k)
を求めよ。

よろしくお願いします。
No.60273 - 2019/07/29(Mon) 19:36:19
☆ Re: 無限級数 / らすかる
x＞0のときx＞sinxなので
1/k＞sin(1/k)
cosxは0＜x＜πで単調減少なので
cos(1/k)＜cos(sin(1/k))
cos(2x)=1-2(sinx)^2なので
cos(1/k)=1-2(sin(1/(2k)))^2
1/(2k)＞sin(1/(2k))＞0なので
1-2(1/(2k))^2＜1-2(sin(1/(2k)))^2
また
1-2(1/(2k))^2=1-1/(2k^2)
1/(2k^2)＜1/(2k^2-1/2)=1/{2(k-1/2)(k+1/2)}=1/(2k-1)-1/(2k+1)
なので
1-1/(2k-1)+1/(2k+1)＜1-1/(2k^2)
よって
1-1/(2k-1)+1/(2k+1)＜1-1/(2k^2)＜1-2(sin(1/(2k)))^2=cos(1/k)＜cos(sin(1/k))
なので
1-1/(2k-1)+1/(2k+1)＜cos(sin(1/k))
ところで
Σ[k=1〜n]1-1/(2k-1)+1/(2k+1) = n-1+1/(2n+1)
またcos(sin(1/k))＜1なので
n-1+1/(2n+1)＜Σ[k=1〜n]cos(sin(1/k))＜n
従って
lim[n→∞]{n-1+1/(2n+1)}/n≦lim[n→∞](1/n)Σ[k=1〜n]cos(sin(1/k))≦lim[n→∞](1/n)n
で(左辺)=(右辺)=1なので
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1〜n]cos(sin(1/k))=1
No.60280 - 2019/07/29(Mon) 20:18:25
★ 平方数 / 初学者
ある問題を解いていて、A,Bが自然数で、
２A^2-B^2=-1を満たし、さらにBの候補がB=１，３，５、、、２３という奇数だと判明したとします。
（絞り込みの部分は不等式で評価したのですが、割愛します）
このとき、A^2＝（B^2-1)/2より、さらに絞り込もうとしましたが、良い方法が思いつかず、結局、B^2-1=(B+1)(B-1)とみてB^2-1の素因数２の個数をが奇数かどうかで判断し、答えを出しました。
何か自然な良い方法はあるのでしょうか？
No.60272 - 2019/07/29(Mon) 19:06:28
☆ Re: 平方数 / らすかる
B=2b-1,1≦b≦12として代入して整理するとA^2=2b(b-1)
bとb-1は互いに素なのでb=2m^2,b-1=n^2またはb=m^2,b-1=2n^2
b=2m^2を満たすのはb=2,8でこのときb-1=1,7なのでb=2のみ条件を満たす。
b-1=2n^2を満たすのはb-1=2,8なのでb=9のみ条件を満たす。
従って条件を満たすbは1,2,9なので、B=1,3,17が適解
それぞれに対してAを求めると(A,B)=(0,1),(2,3),(12,17)

# 元の問題を書かれれば、「Bの候補がB=1,3,5,…,23」となるよりも
# 効率のよい方法があるかも知れません。
No.60278 - 2019/07/29(Mon) 19:51:43
☆ Re: 平方数 / ＩＴ
らすかるさんの方法がきれいですね。

有限の問題になっていますから　間違いにくく計算が楽な方法ということで
単純に計算して、下記のような表を作って確認する方法もありかと思います。

Aは偶数で16以下なので　
A 　　＝２,４,６,８,１０,１２,１４,１６
A^2 　＝４,16,36,64,100,144,196,256
2A^2+1＝９,33,73,129,201,289,393,513

289が平方数であることに気が付く必要があるのが難点です。
No.60283 - 2019/07/29(Mon) 20:44:52
★ 空間図形 / Qちゃん
1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。この立方体の中心をOとする、半径rの球面をSとする。

(1)Sが平面BDEに接するときのrを求めよ。

(2)S上の点で、Aが見えるようなすべての点から、3頂点B、D、Eのうち少なくとも1点が見えるようなrの条件を求めよ。

ただしS上の点Pから頂点Aが見えるとは、AがSの外部にあり、線分PAとSの共有点Pのみであることである。

(1)、(2)とも教えてください。よろしくお願いします。
No.60270 - 2019/07/29(Mon) 17:55:20
☆ Re: 空間図形 / らすかる
ちょっと問題文が不自然な気がしますが、
途中飛ばしてないですか？
No.60271 - 2019/07/29(Mon) 18:27:08
☆ Re: 空間図形 / Qちゃん
いつも回答ありがとうございます。

問題はそのまま写しました。省略はありません。
No.60328 - 2019/07/30(Tue) 16:25:57
☆ Re: 空間図形 / らすかる
省略とは思っていないのですが、
「この立方体の中心をOとする、半径rの球面をSとする。」の部分が
かなり日本語的に不自然で意味がよくわからない文になっています。
「この立方体の中心をOとする半径rの球面」と考えると意味不明で、
「この立方体の中心をOとする。」「半径rの球面をSとする。」
の2文に分けると半径rの球面がどこにあるのかわからず…
「この立方体の中心Oを中心とする、半径rの球面」ぐらいなら
意味がわかるんですけどね。
なので、この文の途中が何か抜けているのではないかと思いました。
再度確認して貰えませんか？

# もしかして
# 「この立方体の中心をOとし、Oを中心とする半径rの球面をSとする。」
# ぐらいではありませんか？
No.60337 - 2019/07/30(Tue) 19:51:09
☆ Re: 空間図形 / Qちゃん
すみません、先生に確認しましたら、らすかる様の仰るように、『立方体の中心をOとする。Oを中心とする半径rの球面をSとする。』だそうです。これなら問題として成立しているとのことです。これで解説して頂けないでしょうか。
No.60444 - 2019/08/02(Fri) 20:16:03
★ (No Subject) / たけまる
この問題の（I）4！/2！ではないんですか？
No.60260 - 2019/07/29(Mon) 09:11:01
☆ Re: / らすかる
エオなら4!/2!で合ってます。
No.60261 - 2019/07/29(Mon) 11:13:21
★ お願いします。どうやってやるんですか / なぐも
自然数列{a_n} (n=1,2,3,…,13)は隣接する連続5項をどう選んでも和が100以上になり,a_i=a_j⇔i=jが成立するという.
Σ[k=1→13](a_k)の最小値を求めよ.
No.60249 - 2019/07/28(Sun) 22:36:09
☆ Re: お願いします。どうやってやるんですか / らすかる
a[1]〜a[13]を
a[1]+a[2]+a[3]
a[4]+a[5]
a[6]+a[7]+a[8]
a[9]+a[10]
a[11]+a[12]+a[13]
の5ブロックに分けて考えます。
(a[1]+a[2]+a[3])+(a[4]+a[5])≧100
(a[6]+a[7]+a[8])+(a[9]+a[10])≧100
なので、a[11]+a[12]+a[13]をなるべく小さくする必要があります。
(a[1]+a[2]+a[3])+(a[4]+a[5])≧100
(a[9]+a[10])+(a[11]+a[12]+a[13])≧100
なので、a[6]+a[7]+a[8]もなるべく小さくする必要があります。
(a[4]+a[5])+(a[6]+a[7]+a[8])≧100
(a[9]+a[10])+(a[11]+a[12]+a[13])≧100
なので、a[1]+a[2]+a[3]もなるべく小さくする必要があります。
つまり
(総和)≧(a[1]+a[2]+a[3],a[6]+a[7]+a[8],a[11]+a[12]+a[13]の最大値)+200
となります。
従ってa[1]+a[2]+a[3],a[6]+a[7]+a[8],a[11]+a[12]+a[13]の最大値を
最も小さくし、その値+200が総和になるようにできれば、それが最小です。
a[1]+a[2]+a[3],a[6]+a[7]+a[8],a[11]+a[12]+a[13]の最大値を最も
小さくした場合、その値は15です。
(1〜9の和が45ですから、15未満にはできません)
実際、1〜9の数字で(1+6+8)=(2+4+9)=(3+5+7)のように3数の和が
15になる組合せが3つ作れます。
a[4]+a[5]=a[9]+a[10]=100-15=85として
しかも連続5項の和が100を下回らないように適当に配置すると
例えば
1, 6, 8, 40, 45, 2, 9, 4, 41, 44, 7, 5, 3
のようにできて、このとき総和は15+85+15+85+15=215となりますので
これが総和の最小値です。
No.60253 - 2019/07/28(Sun) 23:46:35
★ (No Subject) / パンチ
ある高校の2年生男子150人の身長は、平均170.4cm,標準偏差6?pの正規分布に従うものとする。このとき、身長180?p以上の生徒は、おとそ何人か？また、身長の低い方から5%の中に入るのはxcm以下の
生徒である。(xについては、最も大きい整数値で答えよ)
下の正規分布表の値を利用してよい。

解答は生徒の人数はおよそ8人。
x=160

解説をお願いします
No.60235 - 2019/07/28(Sun) 19:19:06
☆ Re: / ヨッシー
180cm は平均から9.6cm 離れていて、これは、標準偏差の 1.6倍なので、
170.4cm未満の割合は 50%、170.4cm以上180cm未満の割合は、表より 44.52% なので、
180cm以上は、残りの5.48% となり、人数でいうと、
　150×0.0548＝8.22 で8人となります。

平均から低い方に45%の値は、表から1.64と1.65の間の 1.645 くらいで、
長さにすると、
　6×1.645＝9.87
平均から9.87低い
　170.4−9.87＝160.53
で、160cm 以下となります。
No.60268 - 2019/07/29(Mon) 17:17:10
★ (No Subject) / Fox
この積分を教えてください
(1)〜(3)までです！
No.60234 - 2019/07/28(Sun) 18:46:58
☆ Re: / X
(1)
√(x^4+1)=t
と置くと
x^4+1=t^2
(x^3)dx=(1/2)tdt
∴∫{{√(x^4+1)}/x}dx=∫{{√(x^4+1)}/x^4}(x^3)dx
=(1/2)∫{t/(t^2-1)}tdt
=(1/2)∫{1+1/(t^2-1)}dt
=…
(部分分数分解します)

(2)
√(√x+1)=t
と置くと
√x=t^2-1
x=(t^2-1)^2
dx=2(t^2-1)dt
∴∫{√{x/(√x+1)}dx=∫{(t^2-1)/t}・2(t^2-1)dt
=2∫{{(t^2-1)^2}/t}dt
=…
(()内を展開します)

(3)
√(1-x^3)=t
と置くと
x^3=1-t^2
(x^2)dx=-(2/3)tdt
∴∫dx/{x(1-x^3)^(3/2)}=∫(x^2)dx/{(x^3)(1-x^3)^(3/2)}
=-(2/3)∫{t/{(1-t^2)t^3}dt
=(2/3)∫dt/{(t^2-1)t^2}
=(2/3)∫{1/(t^2-1)-1/t^2}dt
=…
(部分分数分解します)
No.60239 - 2019/07/28(Sun) 21:26:56
★ 線形代数 / トマト
四角3の解答例を教えてください。
No.60231 - 2019/07/28(Sun) 18:15:48
★ (No Subject) / パンチ
xy平面上の点(1,√3)を原点を中心に反時計回りにπ/4だけ回転させた点の座標は？

解説をお願いします。
No.60228 - 2019/07/28(Sun) 17:33:52
☆ Re: / らすかる
点(a,b)を原点を中心に反時計回りにπ/4回転させた点の座標は
((a-b)/√2,(a+b)/√2)です。

一般には、点(a,b)を原点を中心に反時計回りにθ回転させた点の座標は
(acosθ-bsinθ,asinθ+bcosθ)です。
No.60229 - 2019/07/28(Sun) 17:58:54
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます
No.60233 - 2019/07/28(Sun) 18:40:21
★ 球の表面積 / 美雪
次の(1)、(2)を示すことにより球の表面積の公式を導け。

(1)x軸の上方に原点Oを中心とするx軸上のA、Bを直径の両端とする半円がある。この半円上の2点C、Dを結ぶ線分をx軸のまわりに1回転してできる図形の面積は2π・OM・EFに等しい。ただしMはCDの中点で、E、FはそれぞれC、Dからx軸に引いた垂線の足である。

(2)球の表面積はその球に外接する直円柱の側面積に等しい。

(1)はできました。(2)が全然わからなくて困ってます。わかりやすく教えてください。
No.60227 - 2019/07/28(Sun) 16:49:59
☆ Re: 球の表面積 / X
(1)の結果を使います。

(1)において
E(x,0),F(x+h,0)
とし、半円の半径をrとします。
今、半円をx軸の周りに一回転させてできる
球面と、これに外接する直円柱のうち、
回転体と見たときの回転軸をx軸に取ったもの
を考えます。
更に、点Eを通り、x軸に垂直な平面でこの
球面と直円柱を分割したとき、
分割した左側の球面の表面積をS[1](x)、
分割した左側の直円柱の側面積をS[2](x)
とすると、(1)の結果から
h＞0のとき
2πOM・h≦S[1](x+h)-S[1](x)≦S[2](x+h)-S[2](x)=2πrh
h＜0のとき
2πOM・(-h)≦S[1](x)-S[1](x+h)≦2πr・(-h)
∴h≠0のとき
2πOM≦{S[1](x+h)-S[1](x)}/h≦2πr
ここでh→0のときOM→rゆえ、
はさみうちの原理と導関数の定義により
dS[1]/dx=2πr (A)
一方、
S[2](x)=2πr(x+r)
となるので
dS[2]/dx=2πr (B)
(A)(B)より
dS[1]/dx=dS[2]/dx
両辺xで積分して
S[1](x)=S[2](x)+P (C)
(Pは積分定数)
ここで
S[1](-r)=S[2](-r)=0
∴(C)よりP=0
∴S[1](x)=S[2](x)
よって
S[1](r)=S[2](r)
となるので問題の命題は成立します。
No.60252 - 2019/07/28(Sun) 23:39:21
★ (No Subject) / ゆいきょう
この丸してあるところの解き方がわかりません。詳しく教えてください。
No.60222 - 2019/07/28(Sun) 14:00:56
☆ Re: / X
エ、オ、カ、キにより
a＜0
d＞0
∴a[N]＜0,a[N+1]＞0
となるようなNが存在すれば
n=NのときS[n]は最小となります。
No.60255 - 2019/07/28(Sun) 23:58:06
★ (No Subject) / パンチ
方程式11x+19y=1の整数解x,yのうち|x+y|が最小値は？
また、その時のx,yの値を求めよ。

解答解説をお願いします。
No.60221 - 2019/07/28(Sun) 13:52:54
☆ Re: / パンチ
すみません、自己解決しました
No.60223 - 2019/07/28(Sun) 14:31:32
★ (No Subject) / パンチ
8本のくじの中に2本の当たりくじがある。当たりくじを4回引くまで繰り返しくじを引くとき5回目までに終わる確率は？
答えは1/64です。
解説をお願いします。
No.60217 - 2019/07/28(Sun) 12:13:41
☆ Re: / パンチ
自己解決しました。ありがとうございます
No.60220 - 2019/07/28(Sun) 13:35:46
★ (No Subject) / ゆい橋
この写真の通りなのですが、成り立つとして、なぜ成り立つのですか？
No.60214 - 2019/07/28(Sun) 11:27:24
☆ Re: / らすかる
積の絶対値は絶対値の積（例：|abc|=|a||b||c|）ですね。
(-1/4)^(k-1)
=(-1/4)(-1/4)(-1/4)…(k-1個)…(-1/4)
なので
|(-1/4)^(k-1)|
=|(-1/4)(-1/4)(-1/4)…(k-1個)…(-1/4)|
=|-1/4||-1/4||-1/4|…(k-1個)…|-1/4|
=(1/4)(1/4)(1/4)…(k-1個)…(1/4)
=(1/4)^(k-1)
となります。
No.60230 - 2019/07/28(Sun) 18:14:24
★ 計算 / うらら
すみません。お世話になります。解説お願いします。
No.60207 - 2019/07/28(Sun) 09:22:37
☆ Re: 計算 / らすかる
11でわって1/3になっていますので
1/3に11を掛けなければいけません。
従って1/3×11=11/3となり
11/3-2/3=9/3=3となります。
No.60210 - 2019/07/28(Sun) 10:45:22
☆ Re: 計算 / うらら
> 11でわって1/3になっていますので
> 1/3に11を掛けなければいけません。
> 従って1/3×11=11/3となり
> 11/3-2/3=9/3=3となります。

ありがとうございます。
No.60225 - 2019/07/28(Sun) 16:31:01
★ (No Subject) / パンチ
x≧0のとき、xの値を小数第1位で四捨五入した値をyとする。
下の図は、xとyの関係をグラフに表したものである。
このとき、yをxの式で表せ。
答えはy=[x+0.5]となるのですが、どのように読み取ったら良いのでしょうか？解説をお願いします。
No.60195 - 2019/07/27(Sat) 21:27:40
☆ Re: / X
問題のグラフは
y=[x] (但し0.5≦x)
([]はガウス記号)
のグラフをx軸方向に-0.5だけ平行移動して
得られるグラフですので、求める方程式は
y=[x-(-0.5)]
つまり
y=[x+0.5]
となります。
No.60197 - 2019/07/27(Sat) 22:31:12
☆ Re: / パンチ
ありがとうございます！
No.60218 - 2019/07/28(Sun) 12:14:10
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