ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ アイゼンシュタインの定理について / mana

アイゼンシュタインの規約判定定理において
3つの条件を満たす場合、k次以上の因数が出てくることはわかったのですが、この3つの条件の導出法がわからないです。
教えていただけませんか？よろしくお願いします。
　参考　https://mathtrain.jp/eisenstein

No.60021 - 2019/07/20(Sat) 20:03:48

☆ Re: アイゼンシュタインの定理について / ＩＴ

> この3つの条件の導出法
とはどういう意味ですか？
逆は成り立たないので「３つの条件を導出する」ということにはならないと思います。

なぜ、このような条件を思いつくかという意味ですか？

No.60022 - 2019/07/20(Sat) 21:29:24

☆ Re: アイゼンシュタインの定理について / mana

はい、思いつき方がわからなくて・・・

No.60028 - 2019/07/21(Sun) 09:53:11

☆ Re: アイゼンシュタインの定理について / ＩＴ

いくつかの代数学の書籍やネットを調べましたが、いずれも３条件がいきなり出てきますね。

No.60035 - 2019/07/21(Sun) 21:48:13

☆ Re: アイゼンシュタインの定理について / mana

そうですよね、ありがとうございました。

No.60040 - 2019/07/22(Mon) 16:40:25

★ (No Subject) / けいおん

f(x, y) = x^3 - y^3 について

（１）最大値、最小値は存在するか確認せよ
（２）x^2 + y^2 = 1 の制限では、最大値、最小値は存在するか？また、あるならそれを求めよ

という問題です。

──────────────────────────────
（２）は、ラグランジュの未定乗数法を用いると思うのですが、（１）がよくわかりません。
よろしくおねがいします。

No.60019 - 2019/07/20(Sat) 18:38:16

☆ Re: / X

(1)
よく似た関数にx^3というものがありますが
これには最大値、最小値が存在しません。
それの証明から類推します。

lim[(x,y)→(∞,0)]f(x,y)=∞
lim[(x,y)→(0,∞)]f(x,y)=-∞
∴f(x,y)に最大値、最小値は存在しません。

(2)
これは適当な置き換えにより
高校数学の範囲でも解けます。

x^2+y^2=1
より
(x,y)=(cosθ,sinθ)
(0≦θ＜2π (A))
と置くことができます。
後はdf/dθを求めて(A)の範囲で
θに関するfの増減表を書きます。

No.60020 - 2019/07/20(Sat) 18:58:50

☆ Re: / けいおん

Xさん
ありがとうございます！
納得しました。。。

No.60024 - 2019/07/20(Sat) 21:48:26

★ (No Subject) / sprite

x^2+y^2+z^2=S^2の時、(ただしx,y,zは全て0以上の数)
x+y+zの最大値と最小値の値は？

<自分の考え>
x^2+y^2+z^2=S^2と、平面x+y+z=kが共有点を持つ(ただし、x,y,z>=0で)ような、kの最大値、最小値を求める。

<答え>
k[max]=√3* S k[min]=S

<質問>
この方針でこの問題を解きたいのですが、
途中で詰まってしまいました。
どなたか解き方を教えていただけませんか？

No.60012 - 2019/07/20(Sat) 16:18:32

☆ Re: / らすかる

最大値は(√3)|S|、最小値は|S|では？

No.60013 - 2019/07/20(Sat) 16:48:50

☆ Re: / sprite

ラスカルさんすいません、S>0という条件もありました。

No.60014 - 2019/07/20(Sat) 16:54:37

☆ Re: / らすかる

(x+y+z)^2=3S^2-{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}≦3S^2　(等号はx=y=zのとき)なので
x+y+zの最大値はx=y=zのときで(x+y+z)^2=3S^2からx+y+z=(√3)S
(x+y+z)^2=S^2+2(xy+yz+zx)≧S^2　(等号はxy+yz+zx=0のとき)なので
x+y+zの最小値はx,y,zのうち二つが0のときで(x+y+z)^2=S^2からx+y+z=S

No.60016 - 2019/07/20(Sat) 17:14:59

★ (No Subject) / 大学生

積分の極限値を求める問題なのですが, 解法の筋道が分からず困っています. 答えでなくても, 道筋を教えていただけるだけでも嬉しいです.

No.60006 - 2019/07/20(Sat) 13:37:18

☆ Re: / s

(1) のみ

積分範囲 1≦xでは
exp(-nx^2) ≦ exp(-nx)
が成り立つので、積分は次のように、上から抑えられます。
∫_1^∞exp(-nx^2)dx ≦ ∫_1^∞exp(-nx)dx = exp(-n)/n

n→∞でexp(-n)/n→0なので・・・

No.60008 - 2019/07/20(Sat) 13:53:34

☆ Re: / X

では(2)(3)を。
(2)
(与式)=lim[ε→0]∫[x:0→∞]{(sinεx)/(εx)}{x/(1+x^4)}dx
=∫[x:0→∞]{x/(1+x^4)}dx
=… (二項積分を使います)

(3)
log{1+1/{n(1+x^2)}}={1/(1+x^2)}log{[1+1/{n(1+x^2)}]^{n(1+x^2)}}
→1/(1+x^2)(n→∞)
∴(与式)=∫[x:-∞→∞]dx/(1+x^2)=π

但し、上記の方針は
lim[t→α]∫[x:0→∞]f(x,t)dx=∫[x:0→∞]{lim[t→α]f(x,t)}dx
が成立することを前提としていますので、間違っていたらごめんなさい。

No.60018 - 2019/07/20(Sat) 17:23:48

★ (No Subject) / aibo

この級数の収束、発散を求める問題なのですが、どのようにして解けば良いのですか？教えていただきたいです。

No.60000 - 2019/07/20(Sat) 11:27:18

☆ Re: / ＩＴ

(ポイントだけ）
十分小さい正数δについて　ｋがmπのδ近傍にあるとき　k+1 は任意の整数m'についてm'πのδ近傍外なので（ここを証明する）
（k,mは正整数)

元の級数は発散だと思います。

No.60004 - 2019/07/20(Sat) 12:56:26

☆ Re: / らすかる

6＜2π＜7かつπ/6-(-π/6)＞1なので、連続する7自然数すなわち
n+k（k=0,1,2,3,4,5,6）の中に
必ず2mπ-π/6＜n+k＜2mπ+π/6を満たすkが存在する。
このときcos(n+k)＞√3/2なので発散。

No.60007 - 2019/07/20(Sat) 13:39:07

★ 角度と座標の値について。 / マーク42

画像の?@と?@を-90°移動した後の?Aの図に関して質問があります。
質問1.なぜ?@のθの90°<θ<180°なのに、-90°移動した後の図ではθは90°<θ<180°の範囲を表していないにも関わらず?Aの図のようにθが置けるのでしょうか？
?Aでのθの範囲は-90°<θ<30°に見えます。

質問2.?Aでの座標- cosθの値を求めるのに、なぜ?@の時のθでの座標 cosθが?Aの時のθの時とθの位置は異なるのに- cosθに?@の時の cosθが代入できるのでしょうか？

とりあえず、正しい値は導けたので矛盾はなかったのですが、気になりました。

No.59989 - 2019/07/19(Fri) 19:20:10

☆ Re: 角度と座標の値について。 / X

?Aの点の座標は
(cos(θ-90°),sin(θ-90°))
ですが、加法定理により
cos(θ-90°)=sinθ
sin(θ-90°)=-cosθ
となります。

No.59990 - 2019/07/19(Fri) 20:32:23

☆ Re: 角度と座標の値について。 / らすかる

> ?Aでのθの範囲は-90°<θ<30°に見えます。
これは「x軸の正方向を0°、そこから反時計回りが正の角度」と
考えた時にy軸の負の方向が-90°、(sinθ,-cosθ)の方向が30°だから
「-90°＜θ＜30°」と考えているんですよね？
であれば、左の図に同じ考え方をあてはめると
「x軸の正の方向が0°、(cosθ,sinθ)の方向が120°だから
「0°＜θ＜120°」となりますよね？
『?@のθの90°<θ<180°』は矛盾していると思いませんか？

No.59998 - 2019/07/20(Sat) 08:03:19

☆ Re: 角度と座標の値について。 / マーク42

たしかに矛盾しています。
どうもありがとうございます。

No.60175 - 2019/07/27(Sat) 17:53:07

☆ Re: 角度と座標の値について。 / マーク42

最初の方でθは90°<θ<180°と定義したので、矛盾しています。

No.60179 - 2019/07/27(Sat) 19:14:57

★ 図形と方程式 / ぽんぽん

この2問が難しくて困っています！解答と出来たら解説もお願いします！

No.59986 - 2019/07/19(Fri) 17:09:02

☆ Re: 図形と方程式 / らすかる

(1)
円(x-1)^2+(y-2)^2=4の右端は(3,2)だから
明らかに直線x=3は(3,2)で接し条件を満たす接線。
円の中心(1,2)と点(3,6)を通る直線の傾きは2だから
2接点を通る直線の傾きは-1/2。
よって2接点を通る直線はy=(-1/2)(x-3)+2なので
これと円の式からyを消去してもう一つのxを求めるとx=-1/5となり
もう一つの接点は(-1/5,18/5)。
よってもう一つの接線は(3,6)と(-1/5,18/5)を通る直線なので
y=(3/4)(x+5)
従って
接線はx=3とy=(3/4)(x+5)
「xの値」が「接点のx座標の値」の意味ならば
接線がx=3のときx=3、接線がy=(3/4)(x+5)のときx=-1/5

(2)
2円の交点を通る円の式は
k{(x-2)^2+(y-2)^2-5}+(1-k){x^2+(y+1)^2-2}=0
と表せる。
整理してx^2-4kx+y^2-2(3k-1)y+4k-1=0
これに(x,y)=(1,2)を代入してkを求めるとk=2/3となるので
代入して整理すると(x-4/3)^2+(y-1)^2=(√10/3)^2
従って条件を満たす円の中心は(4/3,1)、半径は√10/3

No.59987 - 2019/07/19(Fri) 18:02:01

☆ Re: 図形と方程式 / ぽんぽん

非常にわかりやすい解説ありがとうございます。
再度解き直しして頑張りたいと思います。

No.59988 - 2019/07/19(Fri) 18:06:56

★ (No Subject) / まな

1+e^(-jkdcosΦ)+e^(-j2kdcosΦ)+・・・+e^(-j(m-1)kdcosΦ)=sin(mπ/λ*cosΦ)/sin(π/λ*cosΦ)
の計算過程を教えてください

k=2π/λです。等比数列の和を求める式を使うんだとおもうんですが、うまくいきません、、、、

No.59975 - 2019/07/19(Fri) 01:26:43

☆ Re: / X

jは虚数単位と仮定して回答します。

左辺は初項1,公比e^(-jkdcosΦ)の等比数列の
初項から第m項までの和になっていますので
(左辺)={1-e(-jmkdcosΦ)}/{1-e(-jkdcosΦ)}
={1/(2j)}{e((1/2)jmkdcosΦ)-e(-(1/2)jmkdcosΦ)}{e((1/2)jkdcosΦ)}/[{1/(2j)}{e((1/2)jkdcosΦ)-e(-(1/2)jkdcosΦ)}e((1/2)jmkdcosΦ)]
=[{sin((1/2)mkdcosΦ)}/{sin((1/2)kdcosΦ)}]・{e((1/2)(1-m)jkdcosΦ)}
=[{sin((mdπ/λ)cosΦ)}/{sin((dπ/λ)cosΦ)}]・{e((1-m)j(dπ/λ)cosΦ)}

他に条件は何かありませんか？
そうでないと問題の等式は成立しません。

No.59977 - 2019/07/19(Fri) 05:29:32

★ -90°移動した後の図に関して。 / マーク42

図は間違っていますか？
θを-90°移動させるために、右のような図になったのですが、座標などはあっているでしょうか？

No.59974 - 2019/07/19(Fri) 01:26:37

☆ Re: -90°移動した後の図に関して。 / らすかる

「座標など」と書かれていますが
図の中に「座標」は一つも書かれていません。
「座標」と「長さ」の区別はついていますか？

No.59976 - 2019/07/19(Fri) 04:56:17

☆ Re: -90°移動した後の図に関して。 / マーク42

描き方が悪かったです。

No.59980 - 2019/07/19(Fri) 12:28:13

☆ Re: -90°移動した後の図に関して。 / X

間違えてますね。
回転移動後の点の座標は
(sinθ,-cosθ)
です。

No.59981 - 2019/07/19(Fri) 13:19:35

☆ Re: -90°移動した後の図に関して。 / マーク42

解答ありがとうございますXさん。
cosθが90°回転して、sinθになり、回転することで横が高さになるのでcosθがsinθになると思っていたのですが、
なぜ違うのでしょうか。
どのように計算して回転後の座標を導いたか教えて頂けますか。

No.59983 - 2019/07/19(Fri) 13:28:19

☆ Re: -90°移動した後の図に関して。 / らすかる

計算は不要です。
左の図をそのまま90°右回転すれば、
左の図の縦点線の長さであるsinθが
そのまま右の図で横点線の長さとなり、
左の図の横点線の長さ-cosθが
右の図で縦点線の長さになりますので、
右図の座標は(sinθ,-cosθ)です。

θを135°近辺で描いているからわかりにくいのであって、
θを100°ぐらいにすればわかりやすいと思います。
θを100°にしてそれぞれの具体的な値を計算してみて下さい。

No.59984 - 2019/07/19(Fri) 14:10:28

☆ Re: -90°移動した後の図に関して。 / マーク42

理解できました。
らすかるさん、Xさんどうもありがとうございます。

No.59995 - 2019/07/20(Sat) 05:45:28

★ 確率すうA / 高1

丸がついてるところを教えてください。
(9)が36通りで(10)が15通りであってますか？(8)はわかりません。

No.59971 - 2019/07/18(Thu) 20:37:46

☆ Re: 確率すうA / 元中3

(9)と(10)はあっています。
余裕があれば大問3の追加で、｢PもQも通らない経路の数｣も考えてみるといいと思います。

No.59973 - 2019/07/18(Thu) 21:55:13

☆ Re: 確率すうA / 高1

ありがとうございます！
やってみます。

No.59978 - 2019/07/19(Fri) 11:59:15

★ (No Subject) / 高1

丸がついてるとこが分からないので教えてください。
(4)が120通り(5)が252通りだと思うんですが、どうですか？
(10)はわかりません。

No.59970 - 2019/07/18(Thu) 20:33:52

☆ Re: / X

(4)
Uの10個の要素から7個を選べばよいので
10C7=120[通り]

(5)
Uの要素のうち、1を除く9個の要素から
5個を選べばよいので
9C5=126[通り]

(10)
正12角形から二つの頂点を選ぶ方法の数は
12C2=66[通り]
一方、正12角形から二つの隣り合う頂点を
選ぶ方法の数は
12[通り]
∴求める対角線の数は
66-12=54[本]

No.59972 - 2019/07/18(Thu) 21:39:57

☆ Re: / 高1

いつもありがとうございます！

No.59979 - 2019/07/19(Fri) 12:00:06

★ (No Subject) / aibo

写真の級数は収束するらしいのですが、なぜ収束するのか教えてほしいです、お願いします。

No.59964 - 2019/07/17(Wed) 22:05:31

☆ Re: / らすかる

Σ[n=1～∞]1/(n√n)
=1+Σ[n=2～∞]1/(n√n)
＜1+∫[1～∞]1/(x√x) dx
=1+[-2/√x][1～∞]
=3
なので収束。

No.59966 - 2019/07/18(Thu) 04:05:19

☆ Re: / aibo

ありがとうございます！

No.59968 - 2019/07/18(Thu) 10:25:31

★ 三角関数 / ハマスタ

この問題を解く時にθの範囲を-π/2≦θ≦π/2とすることによる利点は何でしょうか？tanθがθがπ/2に近づく時に発散することが関係あるらしいのですがいまいちよくわかりません。

No.59963 - 2019/07/17(Wed) 21:51:59

☆ Re: 三角関数 / らすかる

私は解答を作っていませんので確実ではありませんが、
おそらく0≦θ＜πとして解答を作ってみれば、
その利点がわかるものと思います。

No.59967 - 2019/07/18(Thu) 04:08:37

★ 問題 / みぃ

☆＋2L1D=14
☆＋1R1U5L=29
☆＋3D1R=1
この問題がわかる人いますか？

No.59948 - 2019/07/17(Wed) 11:22:58

☆ Re: 問題 / マーク42

これって☆の部分を求めるのですか？
それても式自体が何を表しているかを求めるということでしょうか？

No.59949 - 2019/07/17(Wed) 12:28:19

☆ Re: 問題 / らすかる

例えば2018年11月9日
他には2017年11月9日、2020年4月9日など
一般には
4月か6月か9月か11月で、9日が木曜日か金曜日になる日
あるいは、考えようによっては
曜日関係なく4月9日または6月9日または9月9日または11月9日

No.59953 - 2019/07/17(Wed) 13:45:27

☆ Re: 問題 / なるほど

カレンダーの☆からはじめて
2L (2回 leftへ)
1D (1回 downへ)
などの操作でどの日付にたどりつくか、ですね

No.59959 - 2019/07/17(Wed) 16:21:53

☆ Re: 問題 / みぃ

> これって☆の部分を求めるのですか？
> それても式自体が何を表しているかを求めるということでしょうか？

☆の部分です

No.59969 - 2019/07/18(Thu) 17:01:36

★ 期待値計算 / たけし

初期値aがあります。確率pでn倍される試行をx回行ったときの値の期待値を求めよ。
という問題に、平易な解はありますでしょうか？
もし「n倍」ではなく「+n」ならばa+npxが解になりますよね？このような平易な解があるかという疑問です。

初期値１、確率50%、n=3、試行回数3回の場合は
1/8で1のまま
3/8で3
3/8で9
1/8で27。
よって、期待値は(1+9+27+27)/8=８。

これを、nが10程度で、確率pやnの値をいろいろ変えた場合の期待値をexcelで出したいと考えています。

No.59941 - 2019/07/17(Wed) 01:34:33

☆ Re: 期待値計算 / たけし

訂正：最後の行

→試行回数x=10程度で、pやnの値をいろいろ…

No.59942 - 2019/07/17(Wed) 01:36:08

☆ Re: 期待値計算 / らすかる

その例からわかるように
初期値a、確率pでn倍、試行回数x回の場合
xC0・p^0・(1-p)^xでaのまま
xC1・p^1・(1-p)^(x-1)でan
xC2・p^2・(1-p)^(x-2)でan^2
・・・
xCx・p^x・(1-p)^0でan^x
ですから、期待値は
Σ[k=0～x]xCk・p^k・(1-p)^(x-k)・an^k
=aΣ[k=0～x]xCk・(np)^k・(1-p)^(x-k)
=a{np+(1-p)}^x
=a(np-p+1)^x
となります。

No.59947 - 2019/07/17(Wed) 02:05:44

☆ Re: 期待値計算 / たけし

シグマが外れて平易な式で表せることに感動しました。
かつては数学大好きだったので、結果の利用だけでなく意味も理解しようと読んでみたら、まさか
(a+b)^xを展開する式(二項定理)そのものに帰着していて、感動というか嬉しく懐かしく思いました(笑)

10年以上前には「数学の部屋」でお世話になったこともあります。らすかる様、本当にありがとうございました。

No.59958 - 2019/07/17(Wed) 15:51:30

★ (No Subject) / dm

(2)の、逆変換を複素数の変換として求める問題と、(3)がわからないので、教えて欲しいです。ちなみに(1)の表現行列は
a b
b -a となりました。
よろしくお願いします。

No.59938 - 2019/07/16(Tue) 23:13:23

☆ Re: / ast

以下では, z の共軛複素数を z~ と書くことにしますが,

(2) は w=αz~ を z について解く (求める逆変換は w を z に写す変換なので, z が w と定数を使って書けることを言えば十分) とか, (1) で求めた表現行列の逆行列を求めてその逆行列を表現行列とする変換を求めるとか, そのあたりが想定される解答だと思う.

(3) に書かれている変換が, 順に (正の) 実数倍, 絶対値 1 の複素数を掛ける, 複素共軛をとる, に対応していることを確認すればほぼ終わり.

No.59999 - 2019/07/20(Sat) 09:44:15