高校の数?V〜基礎的な大学数学の範囲内で「体積」を求める難問を教えてください！
大学入試レベルを超えていても構いません。
よろしくお願いします。
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No.60056 - 2019/07/23(Tue) 09:38:11
| ☆ Re: 体積の良難問 / らすかる | | | 1辺が1の正四面体の各頂点を中心として他の三頂点を通る球を描く。
全部で4つできるが、全ての球(の内部)が重なる部分の体積を求めよ。
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No.60071 - 2019/07/23(Tue) 23:33:50 |
| ☆ Re: 体積の良難問 / 積分マニア | | | ありがとうございます！早速取り組んでみます(^^)
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No.60073 - 2019/07/23(Tue) 23:40:51 |
| ☆ Re: 体積の良難問 / 積分マニア | | | 完全降伏です。手がかりすらもつかめませんでした…
解答例をお示しいただくことは可能でしょうか？
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No.60085 - 2019/07/24(Wed) 12:12:43 |
| ☆ Re: 体積の良難問 / らすかる | | | 昔解いた時の解答のコピペです。
内容を再度思い出したくないので、この解答に対して質問しないで下さい。
※3点a,b,cを通る平面を「平面abc」と呼ぶことにします。
正四面体O-ABCの重心をGとして、求める立体はG-ABC,G-OAB,G-OBC,G-OCAの
合同な4つの立体に分けられますね。このうちG-ABCを平面OGA,平面OGB,
平面OGCで切って6つに分けると、合同な6個の立体に分割されます。
立体G-ABCで曲辺ABの中点をM、曲面ABCの中心をHとし、立体G-MBHの体積を
求めて24倍することにします。
イメージしにくいので、座標空間にあてはめて考えます。
O=(0,0,0), A=(-1/2,-1/√2,1/2), B=(1/2,-1/√2,1/2), C=(0,0,1)
とすると（xy平面の奥側をz軸の正方向とイメージしています）、
G=(0,-√2/4,1/2), H=(0,-√3/3,√6/3), M=(0,-√3/2,1/2),
平面GHMはx=0, 平面GMBはz=1/2, 平面GBHはx+(√2)y+z=0,
曲面MBHは球面x^2+y^2+z^2=1 となります。
z=tのとき、断面は直線x=0と直線x+(√2)y+t=0と円x^2+y^2+t^2=1
に囲まれた領域となり、これをz=1/2〜√6/3で積分すれば立体G-MBHの
体積が出ます。
直線x=0と直線x+(√2)y+t=0の交点は(0,-t/√2),
直線x+(√2)y+t=0と円x^2+y^2+t^2=1の交点は
({-t+√(6-8t^2)}/3,{-(√2)t-√(3-4t^2)}/3)
なので、断面積は
f(t)=(1-t^2)arctan({-t+√(6-8t^2)}/{(√2)t+√(3-4t^2)})/2
-(t/√2){-t+√(6-8t^2)}/6
f(t)の不定積分はhttp://integrals.wolfram.com/index.jspを使って
F(t)=t^3/(18√2)
-(1/6)t(t^2-3)arctan({-t+√(6-8t^2)}/{(√2)t+√(3-4t^2)})
+√(3-4t^2){1/(2√2)-(√2)t^2/3}/(6√2)
-(1/6)arctan((4t-3)√(3-4t^2)/(4t^2-3))
+(1/6)arctan((4t+3)√(3-4t^2)/(4t^2-3))
-(1/24)√(3-4t^2)+C
なので、立体G-MBHの体積は
∫[1/2〜√6/3]f(t)dt=F(√6/3)-F(1/2)
={3√2+32π-162arctan(√2/2)}/288
よって求める立体の体積は
{3√2+32π-162arctan(√2/2)}/12
={3√2-49π+162arctan(√2)}/12 （∵arctan(√2/2)+arctan(√2)=π/2）
↓答えはこちらにもあります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%BC%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93
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No.60086 - 2019/07/24(Wed) 13:26:21 |
| ☆ Re: 体積の良難問 / Umwelt | | | 横から失礼します。
この問題を理系の高校生（数?V既習）に紹介するにあたり、高校範囲で解けるように誘導をつけるとしたらどのような形になるでしょうか？
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No.60224 - 2019/07/28(Sun) 15:12:40 |
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