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★ (No Subject) / あー
表裏とも赤いコインが4枚、表が赤で裏が白いコインが3枚ある。
コインを2枚だして投げたとき、2枚とも赤がでる確率の求め方を教えて下さい。
No.59501 - 2019/06/27(Thu) 13:55:48
☆ Re: / らすかる
1枚目が赤いコインである確率が4/7
そのとき
2枚目も赤いコインである確率は3/6=1/2
2枚目が赤白コインで赤が出る確率は(1/2)(1/2)=1/4
1枚目が赤白コインで赤が出る確率は(3/7)(1/2)=3/14
そのとき
2枚目が赤いコインである確率は4/6=2/3
2枚目も赤白コインで赤が出る確率は(2/6)(1/2)=1/6
よって求める確率は
(4/7)(1/2+1/4)+(3/14)(2/3+1/6)=17/28
No.59503 - 2019/06/27(Thu) 15:43:17
★ (No Subject) / Qちゃん
1辺の長さ1の正方形ABCDの対角線の交点をOとする。

点Oを中心としてこの正方形をθだけ回転してできる正方形をEFGHとし、2つの正方形の共通部分の面積をSとする。

Sをθで表せ。

ABとHEの交点をP、ABとEFの交点をQとします。

・解答ではPQ=1/(1+sinθ+cosθ)となっているんですが、なぜこうなるのかわからないです。

・△OPQ=1/2・PQ・1/2となっているんですが、この立式がわかりません。

・S=8△OPQとなっているんですが、これもわかりません。

わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。
No.59499 - 2019/06/27(Thu) 10:10:15
☆ Re: / X
>>PQ=1/(1+sinθ+cosθ)となっているんですが〜
辺BCと辺EFの交点をR
辺DAと辺HEの交点をT
とすると対称性により
△EPQ≡△APT≡△BQR
又、
∠ATP=∠EQP=∠BQR=θ
となることはよろしいですか？
このことから辺ABの長さについて
PQ+PQcosθ+PQsinθ=1
これをPQについて解くと
PQ=1/(1+sinθ+cosθ)
となります。

>>△OPQ=1/2・PQ・1/2と〜
辺PQを底辺と見ると高さはDAの長さの半分である
1/2となりますね。

>>S=8△OPQと〜
問題の図形を正方形ABCD,EFGHの各辺の交点と
点Oとを結ぶ線分で分割してできる三角形を
考えると、それら8つの三角形は互いに合同に
なっています。
No.59504 - 2019/06/27(Thu) 18:11:04
★ 分野不明 / 美雪
白石180個と黒石181個の合計361個の碁石が横に一列に並んでいる。碁石がどのように並んでも、次の条件を満たす黒石が少なくとも1個あることを示せ。

条件
その黒石とそれより右にある石をすべて除くと、残りは白石と黒石が同数となる。ただし、石が1つも残らない場合も同数とみなす。

N=(取り除かれた白石の個数)-(取り除かれた黒石の個数)とおき、考察せよ。

よろしくお願いします。
No.59497 - 2019/06/27(Thu) 08:19:50
☆ Re: 分野不明 / らすかる
「N=(取り除かれた白石の個数)-(取り除かれた黒石の個数)」の
使い方がよくわかりませんのでとりあえず無視します。

左端が黒石の場合、その石から右すなわち全ての石を除くと、
残りは白黒ともに0個となり条件を満たします。
右端が黒石の場合、その石から右すなわちその石だけを除くと、
残りは白黒ともに180個となり条件を満たします。
左端も右端も白石の場合
f(n)=(左からn番目の石から右にある白石の個数)-(左からn番目の石から右にある黒石の個数)
とします。f(1)=-1, f(2)=-2, f(361)=1です。
このとき、n番目の石が白石ならばf(n+1)=f(n)-1
n番目の石が黒石ならばf(n+1)=f(n)+1となります。
f(n)はnが1ずつ増加するのに対して1増えるか1減るかですから、
値が飛ぶことはありません。
そしてf(1)＜0、f(361)＞0なので、必ずどこかに
f(k)=-1,f(k+1)=0となる箇所があります。
このときk番目の石は黒であり、この黒石から右では
黒石の方が白石より1個多いので、k番目から右を除けば
残りは白黒同数になります。
従って条件を満たす黒石が必ず存在します。
No.59505 - 2019/06/27(Thu) 18:45:48
☆ Re: 分野不明 / ＩＴ
左端も右端も白石の場合

一番左の黒石では　N≦-2
一番右の黒石では　N≧0

このとき一番左の黒石から一番右の黒石に移動する途中でＮ＝-１のラインを下から上に通る。(表現がうまくないですがどういう意味か分かりますよね）

左から右に次の黒石に移るときＮは１増加するか、不変か減少する。

よって、どこかの黒石でＮ＝-１となる。
No.59507 - 2019/06/27(Thu) 21:33:04
☆ Re: 分野不明 / 美雪
ありがとうございました。よくわかりました。
No.59523 - 2019/06/29(Sat) 04:28:37
★ 数列の計算方法 / ベイジン
画像のE(max(X1,X2))の計算方法を教えてください。
No.59493 - 2019/06/27(Thu) 01:44:55
☆ Re: 数列の計算方法 / X
Σ[k=2〜N]k・2(k-1)/{N(N-1)}={2/{N(N-1)}}Σ[k=2〜N]k(k-1)
={2/{N(N-1)}}Σ[k=1〜N-1](k+1)k (∵)k-1を改めてkと置いた
={2/{N(N-1)}}Σ[k=1〜N-1](k^2+k)
={2/{N(N-1)}}{(1/6)(N-1)N{2(N-1)+1}+(1/2)N(N-1)}
=(1/3)(2N-1)+1
=(2/3)(N+1)
No.59495 - 2019/06/27(Thu) 05:50:02
★ 式変形 / ran
こんな式変形できます？？
No.59485 - 2019/06/26(Wed) 22:26:47
☆ Re: 式変形 / ＩＴ
できます。　cos(x-π) =-cosx です。
No.59486 - 2019/06/26(Wed) 22:50:37
☆ Re: 式変形 / ran
πの係数にに整数でない√m/kがついててもですか？
No.59490 - 2019/06/27(Thu) 00:20:02
☆ Re: 式変形 / らすかる
√(k/m){t-π√(m/k)}
={√(k/m)}t-{√(k/m)}{π√(m/k)}
={√(k/m)}t-π
です。
√(k/m)×√(m/k)=1ですね。
No.59491 - 2019/06/27(Thu) 00:41:49
☆ Re: 式変形 / ran
もーやだ！
情けないしなんかもうやる気でーへんわ！
みんな神かと思うくらい頭いいし、こんなんじゃ京大いかれへん！！！


.
いつも答えをありがとうございます！
助かってます！
No.59492 - 2019/06/27(Thu) 00:52:46
★ 値域の問題 / 摩耶
文系の範囲内で鮮やかに解けますかね
No.59483 - 2019/06/26(Wed) 21:33:50
☆ Re: 値域の問題 / ＩＴ
文系とは　高校数学で数３を使わずにということでしょうか？　そういう出題範囲ですか？

分母分子をx^3 で割って　t=y/x とおくと
0<t<1 で　z(t)=(1+t)^3/(-4-9t-3t^2+t^3)

分数関数の微分を使わずzの値域を求められればいいですが難しいかも。（らすかるさんが　やっておられますね）

微分を使えば
0<t<1 で
　ｚ'(t)=-3((t+1)^2)(2t^2+4t+1)/(t^3-3t^2-9t-4)^2 ＜0　なので狭義単調減少
　z(t)は連続関数なので　値域は　(z(1),z(0))=(-8/15,-1/4)
No.59484 - 2019/06/26(Wed) 22:11:54
☆ Re: 値域の問題 / らすかる
0＜t＜1 で z=(1+t)^3/(-4-9t-3t^2+t^3)
の続き

t=u-1とすると
1＜u＜2 で z=u^3/(u^3-6u^2+1)
1/z=(u^3-6u^2+1)/u^3=1-6/u+1/u^3
1/u=vとおくと
1-6/u+1/u^3=v^3-6v+1
1＜u＜2から1/2＜v＜1
f(v)=v^3-6v+1とおくと
1/2＜a＜b＜1のとき
f(b)-f(a)=(b^3-6b+1)-(a^3-6a+1)
=(b^3-a^3)-6(b-a)
=(b-a)(b^2+ab+a^2-6)
＜0　（∵b^2＜1,ab＜1,a^2＜1からb^2+ab+a^2＜3）
なのでf(v)は1/2＜v＜1で単調減少し、
f(1/2)=-15/8,f(1)=-4なので1/2＜v＜1に対する
f(v)の値域は-4＜f(v)＜-15/8となる。
従って1/zの値域は-4＜1/z＜-15/8なので
zの値域は-8/15＜z＜-1/4。
No.59494 - 2019/06/27(Thu) 02:00:06
★ 数1 三角比の相互関係 / 高1
すいません、さっき貼れてなかったのでこれもお願いします。
丸がついてるのがわからないところです。
No.59481 - 2019/06/26(Wed) 20:12:54
☆ Re: 数1 三角比の相互関係 / X
方針を。

大問1)
(5)
△ABCにおいて∠Aに注目した余弦定理を使います。
(6)
△ABCにおいて∠Bに注目した余弦定理を使い、
cについての方程式を立てます。

大問2)
(7)
sinA:sinB:sinC=3:5:7
より
(sinA)/3=(sinB)/5=(sinC)/7=k
と置くことができ
sinA=3k (A)
sinB=5k (B)
sinC=7k (C)
よって△ABCの外接円の半径をRとすると
正弦定理と(A)(B)(C)により
a=3kR
b=5kR
c=7kR
後は∠Cに注目した余弦定理を使います。

(8)
問題の等式を(A)とします。
(A)において∠A=90°とすると
cosB=0
∴∠B=90°となり矛盾。
∠B=90°としても同様の矛盾が生じるので
cosAcosB≠0
よって(A)の両辺をcosAcosBで割ることができ
…

別解)
正弦定理と余弦定理を使って(A)をa,b,c,Rで表した上で
整理をします。
No.59487 - 2019/06/26(Wed) 23:10:22
☆ Re: 数1 三角比の相互関係 / 高1
ありがとうございます！
No.59488 - 2019/06/27(Thu) 00:13:41
★ (No Subject) / 棚田
質問は画像の通りです。

どなたかお願いします🙇♂
No.59479 - 2019/06/26(Wed) 19:39:50
☆ Re: / ＩＴ
複素数α、βについて
|αβ|＝|α||β|が正しいことは分かりますか？
No.59480 - 2019/06/26(Wed) 19:44:58
★ 関数 / もも
最後わかんないです
お願いします！
No.59473 - 2019/06/26(Wed) 16:04:55
☆ Re: 関数 / X
問題のkに対する条件は、横軸にa,縦軸にyを取った
y=S(a)
のグラフとa軸平行の直線
y=k
との交点が2個となることと同じです。
そこで(i)の結果を使ってS'(a)を求めて
S(a)の増減表を書くことをまず考えましょう。
No.59475 - 2019/06/26(Wed) 17:25:14
★ 数1 正弦定理、余弦定理 / 高2
こっちも丸がついてるところがわからないので教えてください。
No.59472 - 2019/06/26(Wed) 15:03:26
☆ Re: 数1 正弦定理、余弦定理 / X
大問2
(4)は解けているという前提で解説を。
三角比が絡む不等式は方程式と同じく
まず、(角度ではなくて)三角比の値の範囲を求めます。
ということで
(5)はcosθについての二次不等式として
解くことをまず考えます。
(6)はtanθについての二次不等式として
解くことをまず考えます。

大問3)
(8)
(与式)=cos50°cos(180°-50°)+sin(180°-50°)cos(180°-40°)
=-(cos50°)^2-sin50°cos40°
=-(cos50°)^2-sin50°cos(90°-50°)
=-(cos50°)^2-(sin50°)^2
=-1

(9)
sinx=t
と置いて問題の関数をtの二次関数として考えます。
但し
0°≦x≦180°
により
0≦t≦1
となることに注意しましょう。
No.59474 - 2019/06/26(Wed) 17:20:28
☆ Re: 数1 正弦定理、余弦定理 / 高2
ありがとうございます！
No.59476 - 2019/06/26(Wed) 17:40:55
★ 数1 正弦定理、余弦定理 / 高2
この丸がついてる部分がわからないので教えてください。
多くてすいません。
No.59471 - 2019/06/26(Wed) 14:54:47
★ 放物線と直線の交点 / ピカりん
受験数学でなくてすみません　

放物線と放物線の焦点を通る直線との交点
(p1(〜, x1), p2(〜, x2))　で
x1とx2の間に 特別の(単純、美しいとか)関係がありますか?

(焦点のx座標を 0 として)
No.59466 - 2019/06/25(Tue) 15:26:15
☆ Re: 放物線と直線の交点 / らすかる
放物線y=ax^2+bx+cの焦点を通る傾きmの直線と
その放物線の2交点は
({m-b±√(m^2+1)}/(2a),{2m(m±√(m^2+1))-(b^2-4ac-1)}/(4a))　（複号同順）
となります。
焦点のx座標が0のときb=0ですが、b=0としても特に特別の関係があるようには
（私には）思えません。
No.59468 - 2019/06/25(Tue) 17:09:28
★ 微分法の応用 / Qちゃん
0＜t＜1であるようなtのおのおのの値に対して、xの関数、f(x)=(x+t)/{x(1-tx)}を考える。

区間0＜t＜1においてf(x)の最小値を与えるxの値をαとする。

tが0＜t＜1を動くとき、点(α,f(α))はどのような曲線を描くか。

わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。
No.59464 - 2019/06/25(Tue) 10:17:43
☆ Re: 微分法の応用 / らすかる
xの範囲が実数全体とするとf(x)の最小値は存在しませんので、
「区間0＜t＜1において」が
「区間0＜x＜1において」の間違いと判断します。

f(x)=(x+t)/{x(1-tx)} のとき
f'(x)=t(x^2+2tx-1)/{x(1-tx)}^2 なので
x→+0 のとき f(x)→+∞
0＜x＜√(t^2+1)-t のとき f'(x)＜0なので減少
x=√(t^2+1)-t のとき最小
√(t^2+1)-t＜x＜1 のとき f'(x)＞0なので増加
x→1-0のときf(x)=1+2t/(1-t)
よって0＜x＜1でf(x)が最小値をとるxはx=√(t^2+1)-t

x=√(t^2+1)-tのとき
t=(1-x^2)/(2x)
これをf(x)の式に代入して整理すると
(x+t)/{x(1-tx)}
=(x+(1-x^2)/(2x))/{x(1-(1-x^2)/2)}
=1/x^2
またg(t)=√(t^2+1)-tとおくと
g'(t)={t-√(t^2+1)}/√(t^2+1)＜0なので
g(t)は減少関数で、
t=0のとき√(t^2+1)-t=1、t=1のとき√(t^2+1)-t=√2-1
従って点(α,f(α))が描く曲線は
y=1/x^2（√2-1＜x＜1）
No.59465 - 2019/06/25(Tue) 11:18:35
☆ Re: 微分法の応用 / Qちゃん
ありがとうございました。助かりました。
No.59498 - 2019/06/27(Thu) 09:54:02
★ (No Subject) / ブナシメジ
上三角行列Aの階数gsAの非零対角成分の個数以上であることを示してください
No.59458 - 2019/06/24(Mon) 18:37:44
☆ Re: / ブナシメジ
上三角行列Aの階数がAの非零対角成分の個数以上であることを示してください　ということです
No.59459 - 2019/06/24(Mon) 18:38:33
★ (No Subject) / あ＠無課金
大学一年の線形代数の問題です
m×n行列A, k×l行列B, m×l行列Cに対して
rank[A C]= rankAかつrank[B/C]= rankBが
AXB=C となるn×k行列Xが存在することと同値であることを示してください
B/Cとは(k+m)×l行列のことです
No.59457 - 2019/06/24(Mon) 18:32:15
★ (No Subject) / 棚田
単位円上を2点P,Qが動いている。
定点A(-7/2,0)を定めたとき、△APQの面積の最小値を求めよ。

どなたかお願いします。

自分が考えてうまくいかなかった(計算が煩雑すぎて最後までたどり着けなかった。√がうまく消えなかった)やり方は

P(cosa1,sina1) とおいて、
一文字固定(Pを固定して、Qを定めてから、Pをもう一回動かす。

P(cosa1,sina1) Q(cosa2,sina2)と置いて、加法定理を上手く用いて、絶対値を外そうとする。

PQがy軸に平行な時に面積が最大になりそう(自分の勝手な推測です)だから、そのことを証明してから、一時変数としてとく。

この3つのやり方を試しました。

最後に、
一番自分が惜しいとこまで行ったの思ったやり方があり、それはpqの長さを固定して、やったやり方です。

どなたかpqの長さを固定するやり方、もしくは他のやり方でこの問題の解き方を教えていただけませんでしょうか？
No.59454 - 2019/06/24(Mon) 17:39:11
☆ Re: / 棚田
自分は理系なので、数3までわかります。
No.59455 - 2019/06/24(Mon) 17:42:27
☆ Re: / らすかる
「△APQの面積の最小値を求めよ。」は
「△APQの面積の最大値を求めよ。」の間違いと判断して回答します。

PQがy軸に平行になるように配置し、PQを△APQの「底辺」とみて
Aを原点中心に回転させることを考えると、明らかにAがPQから遠い方の
x軸上にある時に高さが最大になるので、Aがx軸上であれば
PQがy軸に平行でP,Qのx座標が負でないときに最大となる。
P(t,√(1-t^2)),Q(t,-√(1-t^2)　（0≦t＜1）とおくと
面積はf(t)=(t+7/2)√(1-t^2)
このときf'(t)=(1-4t)(2+t)/{2√(1-t^2)}となるので、t=1/4のとき最大。
従って面積の最大値はf(1/4)=15√15/16
No.59456 - 2019/06/24(Mon) 18:04:37
☆ Re: / 棚田
らすかるさん
ありがとうございます、

PQがy軸に平行でないときはAを原点中心に回転させることで、
その場合も含めているというかでしょうか？
No.59460 - 2019/06/24(Mon) 18:55:31
☆ Re: / らすかる
「PQを固定してAを原点中心に回転させたときに高さが最大になるのは、
　AがPQの垂直二等分線上にある時である」というのは、
「Aを固定してPQを原点中心に回転させたときに高さが最大になるのは、
　AがPQの垂直二等分線上にある時である」と同じことですね。

上の解答で最初に「PQがy軸に平行になるように配置」としたのは、
「面積が最大になるときの弦PQと点Aの位置関係は、
点AがPQの垂直二等分線上でPQから近くない方の時」
ということを簡潔に（y軸と平行にしておけば、「x軸上」という
文言だけで済みます）説明したかったからです。
Aを固定してPQを回すと面積の変化が多少わかりにくいですが、
Aの方を回すと明らかですね。
No.59462 - 2019/06/24(Mon) 21:17:38
☆ Re: / 棚田
らすかるさんありがとうございました
No.59478 - 2019/06/26(Wed) 19:38:52
★ 算数 / 算数マン
緑文字の部分
なぜ（１）は弁償代のみで割って
　　（２）は弁償代＋運賃で割るのかわかりません

解説よろしくお願いいたします。
No.59451 - 2019/06/24(Mon) 12:33:25
☆ Re: 算数 / らすかる
(1)は
なぜ(6×600)が(6×(600+120))ではないのか、という意味ですか？
それならば、左側の項が(74×120)になっていて
既に運送料を減らしているからです。
左の項を6引かずに(80×120)にすれば、式は
(80×120)-(6×(600+120))になります。
No.59452 - 2019/06/24(Mon) 13:25:07
★ 初等幾何の証明 / ayu782
初等幾何についてご質問させていただきます。
写真の問題(見辛くて申し訳ありまでせん)の解答は、以下でよろしいでしょうか？


△ABCはAB=ACの二等辺三角形より、
点Aから辺BCに下ろした垂
直二等分線は点Gを通る。
ゆえに、2<GAB=2<ABG
⇄<GAB=<ABG ◼
No.59447 - 2019/06/24(Mon) 01:16:47
★ 不等式の解き方がわかりません。 / 野獣先輩
次の不等式の解き方を教えてください。
?@3x−4<5x
?A(x−2)(x＋3)≦x＋3
No.59445 - 2019/06/23(Sun) 21:06:13
★ 解き方をご教授ください / へるぷ
添付ファイルの問題です。よろしくお願いします。。。
No.59444 - 2019/06/23(Sun) 21:03:24
☆ Re: 解き方をご教授ください / ＩＴ
他にも方法があると思いますが

AからBCにおろした垂線の足をH,
a=AB,β＝∠ABCとおく.

AE^2=AH^2+EH^2=AH^2+(BH-BE)^2

DE,AH,BH,BE をa,cosβ,sinβで表して
DE^2+AE^2を計算します。

例えば
　BC=2acosβ
∴DB=2a(cosβ)^2
∴DE=2a((cosβ)^2)sinβ　です。

途中(sinβ)^2=1-(cosβ)^2 を使って簡単にします。
簡単のためAB＝１としても良いと思います。
記述を簡単にするためc=cosβ,s=sinβ 　などとしても良いです。

三角比を習ってなければ　相似比と三平方の定理を使って示すのだと思います。

c=BH/AB,s=AH/ABとおいて考えれば明にcosβ,sinβ を使わなくても出来ますね。　
No.59446 - 2019/06/23(Sun) 21:49:17
☆ Re: 解き方をご教授ください / らすかる
AからBCに垂線AHを下ろすと
AH^2+BH^2=AB^2 … (1)
AH^2+EH^2=AE^2 … (2)
BH-EH=BE … (3)
BH+EH=CH+EH=CE … (4)　（∵AB=ACからBH=CH）
またBE：DE=DE：CEからBE・CE=DE^2 … (5)
(1)-(2)から
AB^2-AE^2=BH^2-EH^2
=(BH-EH)(BH+EH)
=BE・CE　（∵(3)(4)より）
=DE^2　（∵(5)より）
∴AB^2=DE^2+AE^2
No.59448 - 2019/06/24(Mon) 09:35:09
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