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★ (No Subject) / モンゴル
この問題において、「点P(p,p^2),点Q(q,q^2)とし、p>qとすると、点Rが直線PQの下側に来ない」という解説があったのですが、なぜ下側に来ないのですか？

次も画像貼ります。よく理解できません。
No.59731 - 2019/07/08(Mon) 21:13:05
☆ Re: / モンゴル
よくわからない解説の部分です。
解答はhttps://www.densu.jp/tokyo/04tokyolpass.pdfの第1問の解答を参照してください。

よろしくお願いします。
No.59732 - 2019/07/08(Mon) 21:16:22
☆ Re: / X
では添付写真二枚目において、
点Rが直線PQの下側にある場合に
図10-3のようになることは
理解できますか？
No.59736 - 2019/07/08(Mon) 22:04:00
☆ Re: / X
ちなみに、提示された模範解答である
https://www.densu.jp/tokyo/04tokyolpass.pdf
の方針ならば、直線PQに関する点Rの位置関係は
問題にしなくてもよいことを補足しておきます。
No.59737 - 2019/07/08(Mon) 22:06:43
☆ Re: / モンゴル
>図10-3のようになることは
理解できますか？

すみません。理解できないのです。
なぜ図の角度が45度より小さいのか、図の別の角度が90度より大きいのかが理解できません
No.59760 - 2019/07/09(Tue) 15:03:15
☆ Re: / モンゴル
画像の続きです。「傾き√2の直線の方向角は45度より大きいので」という説明がわかりません。45度より大きいというより45度じゃないのですか？
No.59761 - 2019/07/09(Tue) 15:38:01
☆ Re: / モンゴル
解答はこちらです。
No.59762 - 2019/07/09(Tue) 15:38:48
☆ Re: / X
＞＞画像の続きです。〜
直線の傾きは
直線とx軸との正の向きとのなす角の「tan」
です。
従ってなす角が45°のときの直線の傾きは
tan45°=1
です。

よってこれより大きい傾きである傾き√2の
直線のx軸の正の向きとのなす角は45°より
大きくなります。

そのことを踏まえてもう一度考えてみて下さい。
No.59768 - 2019/07/09(Tue) 18:02:11
☆ Re: / モンゴル
45度より大きい理由がわかり、そして、その後の内容もわかりました！本当にありがとうございます。
No.59792 - 2019/07/10(Wed) 22:19:24
★ (No Subject) / 合成関数の微分について
合成関数の微分について質問させて頂きます。
物理の弾性力の仕事率を微分すると、
kx•x'=d(1/2kx^2)/dt
と習ったのですが、どうしてそうなるのか分かりません...。

どなたかご教授お願いします。
No.59726 - 2019/07/08(Mon) 19:52:36
☆ Re: / X
>>弾性力の仕事率
ではなくて、弾性力の「位置エネルギー」ですね。

単なる合成関数の微分です。
(d/dt){(1/2)kx^2}=(dx/dt)(d/dx){(1/2)kx^2}
=x'・kx
No.59728 - 2019/07/08(Mon) 20:34:56
☆ Re: / GandB
　Xさんの説明で十分わかるとは思うが。

　　E = (1/2)kx^2.
　　x = x(t).
　　DE/dt = (DE/dx)(dx/dt) = kx･x'.
No.59729 - 2019/07/08(Mon) 20:58:08
☆ Re: / ayu782
なるほど、理解できました。
回答してくださったお二方、ありがとうございました！
No.59730 - 2019/07/08(Mon) 21:05:23
★ 曲率に関して。 / マーク42
曲率は負も正もとるようなのですが、
このサイト
http://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/3-7.html
の曲率を求めるtan の式は正の曲率の場合しか使えないのでしょうか？
仮に画像のように負の曲率を求める場合は-θを使ったtan の式が必要なのでしょうか？
もし、同じtan の式のままで良いとしたら、なぜ同じtan の式で良いのでしょうか？理由が知りたいです。
No.59721 - 2019/07/08(Mon) 19:11:22
☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃
> 曲率は負も正もとるようなのですが、
ここでいう曲率の定義は何ですか。

>このサイト...の曲率
には冒頭に（平面曲線の）曲率の定義（らしきもの）が書いてあり、その定義では曲率は負や0になりません。

なので、使えるかどうかは、ご自身が最初に述べている（負もとるという）曲率の定義次第です。

＃自然数の掛け算の説明をしている時に、なぜ負x負が正になるのか、と聞かれるようなものです。
No.59751 - 2019/07/09(Tue) 07:01:52
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
黄桃さん、ありがとうございます。
では、このサイトで導いたtanの式は正の曲率がでるような状況のグラフでないと使えないということでしょうか？
No.59753 - 2019/07/09(Tue) 10:28:09
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
ちなみに、今回のサイトでは曲率は正の値ですが、
曲率が負である場合を考えると、それ相応のtanの式に変えれば曲率が負の場合でも対応できるのでしょうか？

以前に曲率は正の場合も負の場合もあると言われ、疑問に思いました。
No.59754 - 2019/07/09(Tue) 10:33:01
☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃
同じことの繰り返しです。
上記サイトでは曲率と言ったら正（無限大を含む、近似円の半径の逆数）なのですから、
「正の曲率がでるような状況のグラフでないと使えない」のではなくて
「正の曲率がでるような状況のグラフしかありえない」のです。

>以前に曲率は正の場合も負の場合もあると言われ
ということは、「以前に負の場合もあると言われ」た曲率の定義と
（正の値しか取らない）上記サイトの曲率の定義は異なるということです。
だから、最初に私が「そのように言われた曲率」の定義を聞いたのです（上記サイトの定義はわかりましたので）。

>曲率が負である場合を考えると
まずは、曲率が負の場合もあるという、曲率の定義とは何かをはっきりさせましょう。話はそれからです。
定義がわからないのに、性質が証明できるはずはありません。
No.59778 - 2019/07/09(Tue) 23:19:57
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
どうもありがとうございます！
あの申し訳ないのですが、私の載せたサイトのどのところに曲率が正の値しかとらないと書いてあるのか教えて頂けないでしょうか？

ちなみに、こちらのサイトの曲率は定義はわかりませんが正にも負にもなるようです。
http://www.epii.jp/articles/note/math/curvature#article_section_1.8
曲率を求める過程で計算が少し違うため、式は似ていますが指数の数字が違います。
このサイトで曲率の定義がどのようなものかわかると思ったのですがいまいちわかりませんでした。
No.59780 - 2019/07/10(Wed) 07:06:19
☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃
>私の載せたサイトのどのところに曲率が正の値しかとらないと書いてあるのか

冒頭部分です。
> 近似された円の半径を曲率半径といい、曲率半径の逆数をその運動の曲がり具合として、曲率という。
円の半径は正の値です。

＃この文章から半径-1の円があるとは普通考えられません。

epii.jp のサイトには、ちゃんと丁寧に「符号付き」曲率とあります。
そして符号の意味も1.8に書いてあります。

＃さらに、1.8の最後に
＃単に曲率とか曲率半径とか言った場合には普通、符号付きの曲率や曲率半径の絶対値のことを指します。
＃とまで書いてあります。

1.8節の説明によれば、符号は、曲線の「進行方向」を決めて初めて意味をもつものであり、
進行方向に向かって左側に曲がる場合に符号が+, 右に曲がる場合に符号が- とあります。

ということは、同じ曲線でも進行方向が変われば符号は変わりますし、そもそも進行方向が不明なら符号は決まりません。

符号の違いは、曲線の進行方向の違いだけなので、一方の場合だけで図を描いて証明すれば十分です。
なぜなら他方は進行方向（か曲がる方向）を逆にしたものですから、図を鏡にでも映せばまったく同じことで、
最後に符号だけ逆にすればいいからです。

＃式の上では曲線の方程式をy=f(x)とした時の進行方向は、xが大きくなる方向としています。
＃2階微分が正の場合（つまり上に凸の場合）に符号付き曲率も正、
＃2階微分が負の場合（下に凸の場合）に符号付き曲率が負、ということです。
＃最初のサイトの図はxが大きくなる方向が進行方向で上に凸の場合の図をかいています。

＃＃ちなみに、最初のサイトは物理屋さんのサイト(epiiもそうですが）ですからこのあたりは
＃＃厳密ではなく、出てきた値が負なら絶対値をとればいいじゃないの、くらいのノリでしょう。

以下蛇足です。

>こちらのサイトの曲率は定義はわかりませんが
Rの定義は1.5に、κの定義は1.6に書いてあります。どちらも「符号付き」とついてます。
そして1.8に符号が付かない通常のはその絶対値と書いてあります。

>このサイトで曲率の定義がどのようなものかわかると思ったのですがいまいちわかりませんでした。
定義がわからないのに、負の場合がどうなるか考えることができるというのが私には不思議です。

>式は似ていますが指数の数字が違います。
確かにthick.jpの方には誤植があります（最後の式で(dy/dx)^2 の2乗が抜けてる）が、
直前まで式をたどっていればすぐ誤りとわかる誤植です。

＃こういう疑問を持つということは、検索結果を比べてるだけで自分では何も考えてない(100%受け身)、
＃と判断される可能性が高いです。
＃そういう人だと判断されると回答が得にくいと私は思います。
＃少なくとも、私のモチベーションは下がりました。
No.59793 - 2019/07/10(Wed) 22:51:25
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
返信ありがとうございます！
丁寧に説明してくださりありがとうございます。
私自身も実際に式を展開していき誤植など確認はしました。ですが自分が間違っているのではないかと心配になり質問ばかりで受け身でした。モチベーションを下げてしまいすいません。今後は解答を得られるようもっと頑張ります。

最後に「符号は、曲線の「進行方向」を決めて初めて意味をもつものであり、
進行方向に向かって左側に曲がる場合に符号が+, 右に曲がる場合に符号が- とあります。」
とのことで少し気になったことがあります。
最初に載せましたサイトのphyのdθやdrの式は図の正の角度と座標から作られました。
正の角度と座標から作られた理由は曲線に進行方向を決めてから曲率を求める際に符号が付いた曲率を求めるためにわざとdθやdr正の角度と座標から作られということでしょうか？
っと思ったのですが、phyの式での二階微分は直線の二階微分であるため式自体は必ず正の値になるとわかりました。（θが鈍角だとして）負の曲率を求めるとしたら曲率にただマイナスの符号を付ければよいですね。

epiiの方は角度α、βからできた直線ではなくグラフ自体を二階微分してRの式に代入しているため曲率の正も負も表せるとわかりました。

私の考えは合っていますでしょうか？
No.59802 - 2019/07/11(Thu) 06:19:12
☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃
>最初に載せましたサイトのphyのdθやdrの式は図の正の角度と座標から作られました。
根本的に間違っています。最初のサイトでは符号を考えていません。向きは適当に決めていると考えてください。「負の曲率」は求めるものではなくて、「このように座標系を決めるとこれこれの定義で定まる符号付き曲率は負になる」だけのことです。

ずいぶん「負の角度」にこだわっていますが、なんだか「マイナス1個のリンゴ」を探しているように見えます。

「負の角度」を考える前に、「負の距離」を考えたらどうですか。数直線上で -1 と 0 の距離は 1 ですが、0から-1への符号付き距離は-1とみることもできます。-1の距離があるわけではなくて原点から「正の向き」と反対に1だけ進むことですね。

一方、図形の問題でいろいろな図をかいても「ここはマイナスの距離」なんて意識することはありません。
例えば、△ABCの頂点AからBCに下した垂線の足をHとする、というときに、Hが線分BC上にあろうとも、線分BCの外にあろうとも、AHの長さといったら0か正の値です。ですが、仮にBを原点、Cを(1,0)とする座標系を導入すれば、Aのx座標が負ならHのx座標も負になります。このこととAHの長さがマイナスになることとは関係ありません（座標をどう入れようが長さは負になりません）。
このあたりのことをじっくり考えてから「負の角度」について考えてみてください。
No.59804 - 2019/07/11(Thu) 08:00:35
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
間違った考えをしていまいすいません。
＞＞「負の曲率」は求めるものではなくて、「このように座標系を決めるとこれこれの定義で定まる符号付き曲率は負になる」だけのことです。
とのことですが、
では、二つのサイトでの二階微分の部分に関してですが、
dy/dx=1/2だった場合、d^2y/dx^2は1/4を表すのでしょうか？そして、方向を定めることで曲率の符号が決まるということでしょうか？

ただ、いろいろ調べると曲率の正負はdθとdrによって決まるため二階微分は関係ないと書いてあったりと少し混乱しています。
No.59814 - 2019/07/11(Thu) 13:29:57
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
phyの方のサイトでは画像の?@は+dθであるため、正の曲率しか導けないが、もう一つのサイトではβ-α=dθ(正)なのでβ>α、β<αの場合に
よって正負の曲率の符号が表せるという事でしょうか？
No.59816 - 2019/07/11(Thu) 14:18:51
☆ Re: 曲率に関して。 / マーク42
あの後少し理解できてきました。
一つお聞きしたいのですが、曲率や曲率半径は負の存在しない図形的に、すなわち幾何学的に求めることはできないのでしょうか？
No.59834 - 2019/07/12(Fri) 04:30:35
☆ Re: 曲率に関して。 / 黄桃
すみません、私の能力ではどう説明したらわかってもらえるかわかりません。
なので、これでおしまいにします。

　できる部分だけ答えるように努力はします。

>dy/dx=1/2だった場合、d^2y/dx^2は1/4
dy/dxが定数関数1/2 であれば、d^2y/dx^2=0 です。微分して定数ならもとの関数は直線で、曲率は0です。
y=(1/8)x^2 であれば2階微分は常に1/4です。(dy/dx)_x=a =1/2 というだけでは (dy^2/dx^2)/_x=a が何かはわかりません。

>いろいろ調べると
自分の頭で考えましょう。調べるなら、各サイトが何をいっているのか理解しないとダメです。
内容を把握し、自分で計算を追い（正しいことを自分の手で確かめる）、そして意味を考えるのです。
大学レベルになると小説のように読み流すだけでは決して理解できないことも多々あります。
このサイトを見てわからないから他のサイトを見る、といっても良心的なサイトならおそらく同じようなことが書いてあり、やっぱりわからないでしょう。

>曲率の正負はdθとdrによって決まるため二階微分は関係ない
y=f(x)という形の曲線のdθ/drを求めるために、苦労して2階微分まで使って求めたのではないですか？
最初から曲線の式がθとrで与えられていれば、d^2θ/dr^2 は必要ないでしょう。

>phyの方のサイトでは画像の?@は+dθであるため、正の曲率しか導けない
曲率が正になるようにθ、rの方向を決めたと考えてください（rが大きくなればθも大きくなるように決めてます）。

もう１つのサイトは、phyのような直観的な説明から y=f(x)の場合の曲率を計算し、その値を「符号付き曲率」と定義しています。
別に-dθは決めてませんが、rが大きくなるとθが小さくなる、と解釈して同様の計算をすれば負の値になるでしょう。
数学的には　θ=-t と置換して、tについて考えているだけですから。

>曲率や曲率半径は負の存在しない図形的に、すなわち幾何学的に求めることはできない
図形的に、の意味がわかりませんが、直観的でよければ、例えばx=a の近くに3点とって（もっと多くてもいいですが）、
その3点から等距離にある点（4点以上とったら4点からの距離の2乗和が最小になる点）が円の中心、くらいでいいのでは？

＃直観的には極限操作が必要なので、一般の曲線で作図で求めるのは無理な気がします。
No.59835 - 2019/07/12(Fri) 10:13:24
★ (No Subject) / 竜胆
高校数学の質問です。

自分の極限操作が正しいか不安なので、
合っていれば、合っている、間違っていたら反例と、改善策を教えていただけませんか。
1. lim f(g(x))= f (lim g(x))
これは
lim[x→∞]log(g(x))=log (lim[x→∞]g(x))という変形の際に生じた疑問です。この変形をしても、答えは合っていました。

2. lim (An-Bn)=0 かつ limAn=xならば、limBn=xである。
この考えはあっているか、

よろしくお願いします
No.59719 - 2019/07/08(Mon) 18:09:22
☆ Re: / らすかる
1
f(x)が連続関数ならば成り立ちます。
log(x)は連続関数なのでlimの外に出せます。
また、f(x)が連続関数でなくても
xが十分大きいところで連続であれば
（つまり「x＞Aで連続」を満たすAが存在すれば）
成り立ちます。
lim[x→α]の場合は、f(x)がx=αで連続であれば成り立ちます。

2
limc[n]=C, limd[n]=Dならばlim(c[n]+d[n])=C+D
が成り立つことはご存知だと思いますが、
この式でc[n]=B[n]-A[n], d[n]=A[n]とおけば
同じことなので成り立ちます。
No.59720 - 2019/07/08(Mon) 18:58:38
☆ Re: / 竜胆
ラスカルさん、ありがとうございます。

1の証明は大学範囲なのでしょうか？
このことは、大学入試の範囲で適用して良いのでしょうか？
(もっとも、解説は何の断りも無く使用していましたが…)

2について、もう一つ質問なのですが、
limAn=0又は∞となる時この考え方は使えますか？)
反例として、An=(-1)^n Bn=(-1)^n があると思うですが、
何か、limAn=0又は∞となる時は適用条件があるのでしょうか？
No.59734 - 2019/07/08(Mon) 21:23:36
☆ Re: / らすかる
> 1の証明は大学範囲なのでしょうか？
> このことは、大学入試の範囲で適用して良いのでしょうか？
証明は大学範囲だと思いますが、
そもそもlimも厳密にはε-δ論法など必要なのを
高校では厳密な証明なく使っていますので、
それと同じ（厳密な証明抜きで使うことを許容されている）だと思います。

> 2について、もう一つ質問なのですが、
> limAn=0又は∞となる時この考え方は使えますか？)
A[n]とB[n]の加減算ですから、limA[n]=0は特に問題なく使えます。
limA[n]=∞はダメです。

> 反例として、An=(-1)^n Bn=(-1)^n があると思うですが、
これは何の反例なのですか？
No.59741 - 2019/07/08(Mon) 22:55:52
★ 背理法 / 美雪
半径がR、rの2円O、O'が互いに外部にあるとき、これら2円に引いた折線の長さが等しい点Pの軌跡を求めよ。ただしR>rとする。

PからOO’に引いた垂線の足をHとします。

HO2乗-HO’2乗=R2乗-r2乗…(1)

Hが円O内で、HO<Rとすれば、HO+HO’>R+rより、(1)に矛盾する

という記述があるのですが、HO<Rだとどうして(1)に矛盾するのかわかりません。ここを解説していただけないでしょうか？よろしくお願いします。
No.59717 - 2019/07/08(Mon) 18:02:11
☆ Re: 背理法 / らすかる
HO＜RでHO+HO'＞R+rならばHO'＞rとなりますが、
そうなると(1)を変形したHO^2-R^2=HO'^2-r^2の
左辺が負、右辺が正となり矛盾しますね。
No.59725 - 2019/07/08(Mon) 19:50:24
☆ Re: 背理法 / 美雪
ありがとうございました！
No.59784 - 2019/07/10(Wed) 16:47:01
★ (No Subject) / ゆい橋
この写真の下のほうの練習20(2)なのですが、なぜこの重要例題の(1)と同じように解くことはできないのですか？
No.59715 - 2019/07/08(Mon) 16:13:21
☆ Re: / らすかる
立方体の場合は、最初に固定する色をどの面に塗っても全く同じなので
最初に固定する色を塗った面を「上面」、反対側を「下面」、
残りを「側面」と考えることができますが、
正三角柱の場合は塗る前から「底面」と「側面」の2種類の面がありますので、
最初に固定する色を底面に塗るか側面に塗るかでその後の計算が変わり、
同じ計算ではできませんね。
No.59724 - 2019/07/08(Mon) 19:31:51
★ テンソルとは / エクセター
文系素人的にですが・・・ある関数で、長さや角度を変えるベクトルがあるときに、その変化（関数）を、座標系に依存せずに（＝どんな座標系においても）成立させるための数学的表現が2階のテンソルであるという理解で、でOKでしょうか?　
No.59714 - 2019/07/08(Mon) 15:54:23
★ 加減法 / A
金額で前回との差額を出したいときは大きい方から小さい方を引くのか今回のから前回の数を引くのですか？
No.59709 - 2019/07/08(Mon) 10:53:58
☆ Re: 加減法 / らすかる
場合によりますので、それだけでは何とも言えません。
No.59710 - 2019/07/08(Mon) 10:55:59
☆ Re: 加減法 / A
例えば前回の合計が＋20で今回の合計が150で求めるのが前回との差額です
No.59711 - 2019/07/08(Mon) 11:49:41
☆ Re: 加減法 / A
ごめんなさい−150です
No.59712 - 2019/07/08(Mon) 12:01:28
☆ Re: 加減法 / らすかる
場合によりますので、「前回との差額」だけでは何とも言えません。
数学の問題なら、問題文をそのまま書いて下さい。
そうでないなら、もっと詳しい状況が必要です。
No.59713 - 2019/07/08(Mon) 12:55:02
☆ Re: 加減法 / A
レジ点検で前回との差額を出すときの計算で前回の数が＋20で今回が−150です。式はどうなりますか？ 分かりずらくてごめんなさい
No.59722 - 2019/07/08(Mon) 19:13:25
☆ Re: 加減法 / らすかる
レジ点検ならば前回と比べていくら増えたか、またはいくら減ったかが知りたいので、
(今回)-(前回)でよいと思います。
No.59723 - 2019/07/08(Mon) 19:26:14
★ (No Subject) / Huz
z＝3の時はz＝y＝z＝3で解いていたのに、なぜz=2の時はz＝y＝z＝2としてはいけないのですか？
No.59707 - 2019/07/08(Mon) 01:49:04
☆ Re: / らすかる
そこに書かれているように
z=3のとき(1)の
2=1/x+2/y+3/z≦1/z+2/z+3/z=6/z=2なので
「≦」のうち「＜」ではなく「＝」です。
「＝」になるのはx=z,y=zの場合だけですから
x=y=z=3となります。

z=2の場合は「≦」のうち「＜」ですから、
x=y=zということはあり得ず、
x＞y＞z
x＞y=z
x=y＞z
のいずれかになります。
よってx=y=z=2とすることはできません。
No.59708 - 2019/07/08(Mon) 03:01:29
★ 微分 / ナース
f(x)=x^2/n^2+(e^2x)-1の増減を調べ、グラフの概形を描け。ただし、nを自然数とする。

どのような方針で解いていいのかわかりません。
教えてください<(_ _)>
No.59706 - 2019/07/08(Mon) 00:48:25
☆ Re: 微分 / 関数電卓
> f(x)=x^2/n^2+(e^2x)-1 …(1)

指数関数の部分は、e^(2x) ですね？ そうだとして回答します。

　f '(x)＝2x/n^2＋2e^2x …(2)
　f ''(x)＝2/n^2＋4e^2x＞0 …(3)

(1)より、x→∞、x→−∞ ともに f(x)→∞
(3)より、f(x) は下に凸。
(2)より f '(x)＝0 とする (極小値を与える) x は、解析的には求められません。

以上より、f(x) のグラフは以下のようになります。
また、グラフが (−2,0), (−3,0), (−4,0) を通っているように見えますが、そうではありません。極めて近い点を通る。
No.59738 - 2019/07/08(Mon) 22:33:15
☆ Re: 微分 / らすかる
f(0)=0, f '(0)＝2, f ''(0)＞0なので
nがいくつの場合でも原点でy=2xに接します。
よってy=2xも（点線で）描いておくとより良いと思います。
No.59743 - 2019/07/08(Mon) 23:23:32
★ テイラー展開 / 初学者


複素関数論（実関数でも）において、
❘z-a❘＜Rでaを中心としてｆ（ｚ）がテイラー展開されるとき、❘z-a❘＜Rなるｚでは整級数は絶対収束するのでしょうか？
証明を探しているのですが、出てきません
No.59705 - 2019/07/08(Mon) 00:43:17
☆ Re: テイラー展開 / 関数電卓
> ❘z-a❘＜Rなるｚでは整級数は絶対収束するのでしょうか？

例えば ここ の後半部分ににあるように、↑は成立しないのでは？
No.59733 - 2019/07/08(Mon) 21:20:34
★ 対頂角の定理 / 美雪
対頂角の定理の逆は成り立ちますか？つまり、線分AB上の点Pに対して、∠APQ=∠BPRが成り立つとき、Q、P、Rほ一直線上にあるといえますか？

三角形ABCの外接円の周上の点K(kは弧ACのBを含まない側)から?僊BCの3辺またはその延長に引いた垂線の足P、Q、Rは1直線上にあることを示す問題で、∠AQR=∠CQPまで導けたんですが、これをもってP、Q、Rは一直線上にあるといえますか？
No.59700 - 2019/07/07(Sun) 19:41:48
☆ Re: 対頂角の定理 / 美雪
PはKからBCに、QはKからCAに、RはKからABに引いた垂線の足です。
No.59701 - 2019/07/07(Sun) 19:44:43
☆ Re: 対頂角の定理 / らすかる
他にどういう条件があるかわかりませんが、少なくとも
「線分AB上の点Pに対して、∠APQ=∠BPRが成り立つ」という条件だけでは
「Q、P、Rは一直線上にある」とはいえません。
例えばA(-1,0),B(1,0),P(0,0),Q(-1,1),R(1,1)のとき
∠APQ=∠BPRですが、Q,P,Rは明らかに一直線上にありません。
No.59702 - 2019/07/07(Sun) 21:56:13
☆ Re: 対頂角の定理 / 美雪
早速の解説ありがとうございます。

対頂角の定理の逆は成り立たないのですね。

それでは上の問題はどうやって解けばよいでしょうか？
No.59703 - 2019/07/07(Sun) 22:52:42
☆ Re: 対頂角の定理 / らすかる
> ∠AQR=∠CQPまで導けたんですが
これを導く過程で、「PとRは直線ACに関して反対側にある」ことも
わかっているのではありませんか？
もしその条件があれば一直線上にあると言えます。
つまり
「Qは線分AC上の点」かつ「∠AQR=∠CQP」かつ
「PとRは直線ACに関して反対側にある」ならば
「P,Q,Rは一直線上にある」が成り立ちます。
No.59704 - 2019/07/08(Mon) 00:02:39
☆ Re: 対頂角の定理 / 美雪
ありがとうございました！
No.59716 - 2019/07/08(Mon) 17:48:41
★ 図と式が合いません。 / マーク42
画像のように図を書いて cosθの微分を導いたのですが、途中の式と図が合いません。
何が間違っているのでしょうか？
絶対値を使い| dθ|→0とすることでしか解けないのでしょうか？
No.59696 - 2019/07/07(Sun) 15:38:46
☆ Re: 図と式が合いません。 / まうゆ
図のcos(θ-dθ)は一般角なので回転も考えて
逆方向に進みます
No.59759 - 2019/07/09(Tue) 13:39:29
★ 整数問題 / あやか
全然分からないので教えてください…
No.59694 - 2019/07/07(Sun) 12:44:00
☆ Re: 整数問題 / ＩＴ
(1) は　tanの加法定理を使えば容易です。
tanθ[m],tanθ[n]をm,n で表すとどうなりますか？
tan(θ[m]+θ[n])をm,n で表すとどうなりますか？(tanの加法定理を使います）

ここまでは自力でできないと先に進むのは難しいと思います。
No.59695 - 2019/07/07(Sun) 13:47:49
★ 連立漸化式 / めめ
この連立漸化式の方の解説が全く理解できません…雑な質問で申し訳ないのですが、これはどういう意味でしょうか？
No.59692 - 2019/07/07(Sun) 08:16:14
☆ Re: 連立漸化式 / らすかる
a[n+1]=pa[n]+qb[n] … (ア)
b[n+1]=qa[n]+pb[n] … (イ)
のとき(ア)+(イ)から
a[n+1]+b[n+1]=(p+q)(a[n]+b[n])
c[n]=a[n]+b[n]とするとc[n+1]=(p+q)c[n]で、
これは単なる等比数列なので、
c[n]の一般項は容易に求まります。
また(ア)-(イ)から
a[n+1]-b[n+1]=(p-q)(a[n]-b[n])
d[n]=a[n]-b[n]とするとd[n+1]=(p-q)d[n]で、
これも単なる等比数列なので、
d[n]の一般項も容易に求まります。
そしてa[n]=(c[n]+d[n])/2、b[n]=(c[n]-d[n])/2から
a[n],b[n]の一般項が求まります。
No.59693 - 2019/07/07(Sun) 09:53:10
☆ Re: 連立漸化式 / めめ
すいません、理解しました！
No.59697 - 2019/07/07(Sun) 16:03:11
★ (No Subject) / Qちゃん
さいころを1回または2回または3回投げ、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。1回投げて出た目を見た上で2回目を投げるか否かを決め、2回目に投げて出た目を見た上で3回目を投げるか否かを決める。2回目、3回目を投げるか否かの決定はどのようにするのが有利か。

わかりやすく教えてください。
No.59686 - 2019/07/06(Sat) 19:40:18
☆ Re: / らすかる
1回投げたときの期待値は7/2=3.5ですから、
2回目まで投げたときに3以下なら3回目を投げることになります。
すると、2回目以降の期待値は
(1/6)×6+(1/6)×5+(1/6)×4+(1/2)×(7/2)=17/4=4.25となりますので
1回目が4以下なら2回目を投げた方が良いことになります。
従ってまとめると
1回目が5以上なら終わり
1回目が4以下なら2回目を投げる
2回目が4以上なら終わり
2回目が3以下なら3回目を投げる
ということになります。
No.59688 - 2019/07/06(Sat) 21:24:18
☆ Re: / Qちゃん
すみません、ちょっとよくわからないのですが、
1回投げたときの期待値が3.5なら、2回目は1回目が3以下の場合に投げることになりませんか？

あと2回目以降の期待値の計算式の(1/2)・(7/2)の項の意味がわかりません。1/2と7/2は何を表しているんですか？
No.59698 - 2019/07/07(Sun) 17:22:24
☆ Re: / らすかる
> 1回投げたときの期待値が3.5なら、2回目は1回目が3以下の場合に投げることになりませんか？
なりません。
2回目で終わりではありませんので、「2回目以降の期待値」は3.5ではありません。
もし「3回で終わり」が「100回で終わり」だとしたら、
1回目が4や5でも終わりにしませんよね。

> あと2回目以降の期待値の計算式の(1/2)・(7/2)の項の意味がわかりません。1/2と7/2は何を表しているんですか？
1/2は「2回目に3以下が出る確率」
7/2は「3回目の期待値」
です。
2回目が3以下のときに3回目を投げますので、
(2回目以降の期待値)
=(6が出る確率)×(6が出た時の得点)
　+(5が出る確率)×(5が出た時の得点)
　+(4が出る確率)×(4が出た時の得点)
　+(3が出る確率)×(3が出た時の得点)
　+(2が出る確率)×(2が出た時の得点)
　+(1が出る確率)×(1が出た時の得点)
=(6が出る確率)×6
　+(5が出る確率)×5
　+(4が出る確率)×4
　+(3が出る確率)×(3回目の期待値)
　+(2が出る確率)×(3回目の期待値)
　+(1が出る確率)×(3回目の期待値)
=(6が出る確率)×6
　+(5が出る確率)×5
　+(4が出る確率)×4
　+(1〜3が出る確率)×(3回目の期待値)
=(1/6)×6
　+(1/6)×5
　+(1/6)×4
　+(1/2)×(7/2)
となります。
No.59699 - 2019/07/07(Sun) 18:25:29
☆ Re: / Qちゃん
大変すみません、まだよくわからないのですが、なぜ2回目に3以下がでる確率に3回目の期待値をかけるのですか。2回目と3回目になっている理由がわかりません。2回目の期待値は2回目に出る目の数とその目がでる確率の積の和ではないのですか。ここがどうしてもわからないです。

それと2回目以降の期待値の計算式で1、2、3の目が出た場合だけ、3回目の期待値をかけるのかもわからないです。4、5、6の目が出たときはどうして3回目の期待値をかけないのですか。

本当にすみません、もう一度教えて頂けないでしょうか。
No.59740 - 2019/07/08(Mon) 22:39:15
☆ Re: / らすかる
59688の最初に
　1回投げたときの期待値は7/2=3.5ですから、
　2回目まで投げたときに3以下なら3回目を投げることになります。
と書いたように、
「3回目の期待値」は3.5なので、
2回目の目が1〜3の場合は3回目を投げた方が得です。
逆に2回目の目が4〜6の場合は3回目を投げると損なので、
3回目は投げません。
ですから、
2回目で4〜6が出た場合は3回目を投げないのでその4〜6が得点
1〜3が出た場合は3回目を投げるので、3回目の期待値が得点(の期待値)
ということになります。
No.59742 - 2019/07/08(Mon) 23:19:10
☆ Re: / Qちゃん
ありがとうございました。納得できました。
No.59777 - 2019/07/09(Tue) 22:13:30
★ 漸化式について / めめ
この黄線部の2行目で、なぜ(r+1)の(k-1)乗とせずに、(r+1)^kとしているのでしょうか？
No.59683 - 2019/07/06(Sat) 17:14:57
☆ Re: 漸化式について / ＩＴ
具体的なｋの値（0、１など）で確認すると　間違い難いです。
No.59684 - 2019/07/06(Sat) 18:00:56
☆ Re: 漸化式について / めめ
解答ありがとうございます。
数列(ak-x/r)の初項が、(a1-x/r)=(1+r)(a0-x/r)だからですか？
No.59685 - 2019/07/06(Sat) 18:27:47
☆ Re: 漸化式について / らすかる
「初項が、(a1-x/r)=(1+r)(a0-x/r)」は意味がよくわかりませんが、
a[1]-x/rを初項と考えているのでしたら違います。
それはともかくとして、
「初項は○」とか「式の形が○」などの情報から
機械的に考えようとするのは間違いの元です。
（問題によってあてはまらなくなる可能性があります。）
ＩＴさんが書かれているように、
kに具体的な値を代入して確認するのが確実です。
例えば、もしk-1乗で
a[k]-x/r=(1+r)^(k-1)(a[0]-x/r)
だとすると、このkに0を代入すると
a[0]-x/r=(1+r)^(-1)(a[0]-k/r)すなわち
a[0]-x/r=(a[0]-k/r)/(1+r)
となり、正しくありません。kに1を代入しても
a[1]-x/r=a[0]-x/r → a[1]=a[0]
となり、やはり正しくないことがわかります。
a[k]-x/r=(1+r)^k(a[0]-x/r)
ならば、kに0を代入して
a[0]-x/r=a[0]-x/r
で正しく、1を代入すると
a[1]-x/r=(1+r)(a[0]-x/r)
で正しいです。
従って(1+r)^(k-1)ではなく(1+r)^kが正しいとわかります。
（普段からこうやって確認するくせをつけましょう）
No.59687 - 2019/07/06(Sat) 21:09:40
☆ Re: 漸化式について / めめ
解答ありがとうございます。

(a[k]-x/r) という数列の初項が、(a[1]-x/r)、公比が(1+r)だと思い、、

一般項 (a[k]-x/r) = {(1+r)^(k-1)}・(a[1]-x/r)

黄線部1行目より、

(a[1]-x/r)=(1+r)(a[0]-x/r)

よって、

一般項 (a[k]-x/r) = {(1+r)^k}・(a[0]-x/r)

と、機械的に考えてしまったのですが、この考え方ではやはり間違いでしょうか？
No.59689 - 2019/07/06(Sat) 22:16:51
☆ Re: 漸化式について / らすかる
初項は(a[0]-x/r)なのでそこは間違いですが、
その他の計算は正しいです。
（「初項より前の項」はあり得ません）
k-1乗になるのは初項の添え字が1の場合であって、
初項の添え字が0の場合はk乗になります。
No.59690 - 2019/07/06(Sat) 23:00:44
☆ Re: 漸化式について / めめ
ありがとうございました！
No.59691 - 2019/07/06(Sat) 23:07:01
★ 行列に関する記述 / ぽろり
何が違うのか分かりません。
どなたか教えてください。
お願いします。
No.59679 - 2019/07/06(Sat) 13:19:02
☆ Re: 行列に関する記述 / ＩＴ
4番目は間違いでは？
第４講を学習して　再チャレンジすればよいのでは？
No.59680 - 2019/07/06(Sat) 13:26:43
★ (No Subject) / ゆい橋
-1≦t≦1のとき、なぜ1≦t^+1≦2になるのですか？
No.59677 - 2019/07/06(Sat) 12:52:24
☆ Re: / ＩＴ
t^2+1　ですよね？

y=t^2+1 のグラフで考えるか

-1≦t≦1　を　-1≦t＜0と　0≦t≦1　に分けて考えるといいと思います。

あるいは、t^2 の範囲について考えて　１加えてもいいです。
No.59678 - 2019/07/06(Sat) 13:04:44
☆ Re: / ゆい橋
t^2の範囲について考える方法を詳しく教えていただきたいです
No.59681 - 2019/07/06(Sat) 13:58:29
☆ Re: / ＩＴ
何年生（相当）ですか？
No.59682 - 2019/07/06(Sat) 16:34:59
★ (No Subject) / 新竹
1. 小数(有理数)は何乗しても整数にならない。
真ならば、それを示し、偽ならば、判例を示せ

2. πは何乗しても整数にならない。
正しいならばこれを示せ。

お願いします
1は分数で表して、その後どのような考えを使うのでしょうか？
No.59675 - 2019/07/05(Fri) 22:00:38
☆ Re: / ＩＴ
1 は記述があいまいですね。出典は何ですか？　創作問題ですか？
小数（有理数）：整数でない有理数
何乗：自然数ｎについて　ｎ乗

という意味ですか？

そうだとすると

有理数を　s/r　（sとrは互いに素の整数でrは正)とする

(s/r)^n=k(整数) ならば
　　s^n=kr^n
　このとき　s^nはrで割りきれる
　一方sとrは互いに素なのでs^nとrは 互いに素である。#(これは、nについての数学的帰納法により証明）
　よってr=1 である。

#「素因数分解の一意性定理」を使う方法もありますが、「素因数分解の一意性定理」の証明はそれなりにステップを要します。
No.59676 - 2019/07/05(Fri) 23:24:27
☆ Re: / 新竹
ありがとうございました。
この問題は自作です。
疑問に思ったので質問させていただきました。

2は分数の形にできないのですが、

これはどうするのでしょうか。
No.59718 - 2019/07/08(Mon) 18:03:43
☆ Re: / ＩＴ
何年生ですか？

２は１に比べて格段にレベルが高いと思います。まったく同じ命題ではないですが、

「Π　超越数」で検索すると、Πが代数的数でないことの証明が載っています。
No.59727 - 2019/07/08(Mon) 20:15:09
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