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★ y切片 / あ
この問題にy切片の値が使われない理由が分かりません。
No.58685 - 2019/05/30(Thu) 12:34:18
☆ Re: y切片 / らすかる
y切片の値は答えと無関係だからです。
例えばy=2xとy=(1/3)xの角度でも全く同じですね。
No.58686 - 2019/05/30(Thu) 13:23:35
★ (No Subject) / めめ
とある数列が、、lim[h→a+0]の時と、lim[h→a-0]の時とで違う結果となる時、この数列は極限をもたず、かつ、極限値も持たないと言う事ですか？
No.58680 - 2019/05/30(Thu) 05:48:28
☆ Re: / めめ
なんか少しこんがらがってきたので、ちょっと明確にしますね、、例えば
lim[h→0] {f(x+h)-f(x)}/h という、導関数f’(x)で考える時、、

そもそものf(x)がx=aで微分可能である時、f’(a)が、有限値として存在している、と思うのですが、


f(x)がx=aで微分不可となる、
lim[h→+0] {f(a+h)-f(a)}/h と lim[h→-0] {f(a+h)-f(a)}/h
の２つの値が異なる場合、、、

lim[h→0] {f(a+h)-f(a)}/h は、有限値として存在しているのかしていないのか、、、

そしてこの時の中身の、 {f(a+h)-f(a)}/h は、極限を持たず、かつ極限値も持たないと言うことになるのか、、

という事です…
No.58681 - 2019/05/30(Thu) 06:22:06
☆ Re: / らすかる
lim[h→a+0]とlim[h→a-0]が異なれば、
lim[h→a]の時の極限値は(一つに決まりませんので)存在しません。
「極限を持つ」には2通りの意味があるようですが、
どちらの意味でも極限を持ちません。

f(x)がx=aの近傍で定義されていて、
lim[h→+0]{f(a+h)-f(a)}/h がある(有限)値をとり、
lim[h→-0]{f(a+h)-f(a)}/h も同じ(有限)値をとる場合のみ、
・lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/hが極限値(上記の値)を持つ
・f(x)はx=aで微分可能
であり、上記を満たさないとき
・lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/hが極限値を持たない
・f(x)はx=aで微分不可能
となります。
No.58682 - 2019/05/30(Thu) 07:14:58
☆ Re: / ＩＴ
> とある数列が、、lim[h→a+0]の時と、lim[h→a-0]の時とで違う結果となる時、この数列は極限をもたず、かつ、極限値も持たないと言う事ですか？

普通、おっしゃておられるような場合の対象を「数列」とはいわないと思います。
No.58683 - 2019/05/30(Thu) 07:25:53
☆ Re: / めめ
理解できました…ありがとうございます…！
No.58684 - 2019/05/30(Thu) 07:34:46
★ (No Subject) / めめ
lim x→0 (sinx)/x =1 の証明にて、画像のような文言があったのですが、薄く囲った部分について、なぜかのように言えるのでしょうか… x→+0を考えるから 0<x<(π/2) とする、の設定の意味がわかりません。xが0に近づく「直前の範囲」として、後々の三角形を使う証明に、「都合の良いように」0より上90未満としたのでしょうか？
No.58676 - 2019/05/30(Thu) 03:30:18
☆ Re: / らすかる
その通りです。
x→+0を考える場合は、0＜x＜0.00001など、0に近い部分の
好きなだけ狭い範囲に絞って問題ありません。
No.58677 - 2019/05/30(Thu) 03:33:52
☆ Re: / めめ
なるほど、ありがとうございます！！
No.58678 - 2019/05/30(Thu) 03:35:10
★ 大学入試数学（東大理系2014・第5問） / おぎちん
この問題の背景、というか、どんな理論・話題をもとに作成したと考えられるか、知りたいです。
問題の背景を知ると、愛着がわきます。

ピンと来た方は、返事お願いします。
No.58675 - 2019/05/30(Thu) 00:36:23
☆ Re: 大学入試数学（東大理系2014・第5問） / らすかる
こういう「愛着のわかない」回答は期待していないかも知れませんが、
私はこの問題の「背景」は特にないように感じます。
もしあるとしたら、「過去の類似問題」を元に考えている、ぐらいではないでしょうか。
No.58679 - 2019/05/30(Thu) 03:36:51
★ (No Subject) / aaaaaaaa
下記urlの問題【２】風船問題について

http://mathexamtest.web.fc2.com/2001/200113442/2001134421000.xml

最後の体積の問題で立体を

x2+y2+(z-1/2)2≧5/4 x2+y2+(z-3)2≦10 0≦z≦3-√2

すなわちt=1/2のときとt=3のときの球の間を高さ0〜3-√2で挟んだ空間と考えて計算しましたが合いません。

正解は(35-20√2)π/3となります。

ご教授願います。
No.58671 - 2019/05/29(Wed) 20:52:12
☆ Re: / 関数電卓
リンク先の問題文では数式がわからないし、
「風船の中心 C と穴の中心 O との距離は 『12』」
とあるのが、原題では 1/2 だし、
これではどうにもなりません。
No.58688 - 2019/05/30(Thu) 14:12:27
☆ Re: / aaaaaaaa
わざわざ掲載ありがとうございます。そちらの問題でお願いします。
No.58691 - 2019/05/30(Thu) 14:52:06
☆ Re: / aaaaaaaa
自己解決しました。

どうもありがとうございました。
No.58695 - 2019/05/30(Thu) 16:03:43
☆ Re: / 関数電卓
自己解決された由ですが、

現実には 「捨て問」 に近い出題ですが、これ１題で 60/200 点と高配点だし、他の４題もドキッとするほどの難しさで、安易に捨てることもできない。「数学で稼ぐ」 腕に自信のある受験生が惨憺たる結果で (←推測です)、この年の数学科は大混乱だったでしょうね。
No.58707 - 2019/05/30(Thu) 19:00:59
★ 中1数学正五角形 / しゅう👦🏻
https://m.youtube.com/watch?v=viOuRbUWGXcを参考に正五角形を書いてみましたが、どこかがおかしいです。どこを間違っていますか？教えてください。よろしくお願いします。
No.58668 - 2019/05/29(Wed) 19:05:56
☆ Re: 中1数学正五角形 / らすかる
その動画と補助線が全然違って対応が全くわかりません。
もしかして、違う動画では？
No.58669 - 2019/05/29(Wed) 19:16:47
☆ Re: 中1数学正五角形 / しゅう👦🏻
ごめんなさい、https://m.youtube.com/watch?v=hYUGZxUINfIでした。
No.58670 - 2019/05/29(Wed) 19:47:12
☆ Re: 中1数学正五角形 / らすかる
1:00〜1:07にコンパスで描いている弧を、
最初に描いた辺の両端を中心として描いていないのが
原因だと思います。
No.58672 - 2019/05/29(Wed) 22:49:28
☆ Re: 中1数学正五角形 / しゅう👦🏻
あ、ほんとだ！！！！！！！！！！明日中間試験なので助かりました。らすかる先生ありがとうございます！
No.58674 - 2019/05/29(Wed) 23:06:11
★ (No Subject) / 清
8番を教えてくれませんか？
No.58666 - 2019/05/29(Wed) 18:06:32
☆ Re: / らすかる
接弦定理から∠ABP=∠APQ
円周角の定理から∠APQ=∠ACQ
∴∠ABP=∠ACQ
円に内接する四角形の対角の和は180°なので
∠CQA=180°-∠APC=∠BPA
よって2つの角が等しいので、相似。
No.58667 - 2019/05/29(Wed) 18:17:24
★ (No Subject) / 田んぼ
画像の(b)(c)の積分の解き方が分かりません。ご教授願います。
No.58653 - 2019/05/29(Wed) 16:41:52
☆ Re: / まうゆ
b分母を有理化する
c部分分数分解する
No.58654 - 2019/05/29(Wed) 16:46:44
☆ Re: / 田んぼ
Cは解けたのですが、Bがいまいち分かりません。有理化まではできましたが、このあとは部分積分で解けばよいのでしょうか？
No.58664 - 2019/05/29(Wed) 17:38:12
☆ Re: / らすかる
x√xはx^(3/2)なので簡単ですね。
x√(x+3)はx+3=tとおけばできます。
No.58665 - 2019/05/29(Wed) 18:01:39
★ (No Subject) / モンゴル
画像は、問題「3^n = k^2 - 40 を満たす正の整数(k,n)をすべて求めよ。」の解説の最後のページです。

画像は、nが偶数のときを考えた後、
「nが奇数のとき、k^2-40=30^2l-1をみたす整数k、lがない」ことを証明する流れの解説です。

画像の、黄色い線のところ、すなわち「べき乗なので一の位が周期性を持ちます」というところがよくわかりません。

べき乗は必ず周期性を持つのですか？

また画像のように、k^2-40を10で割ったあまりが、9、4、1、01、4、9、6、5、6の周期性が確認できるのですが、これはたまたまですか？
No.58646 - 2019/05/29(Wed) 16:01:48
☆ Re: / らすかる
> べき乗は必ず周期性を持つのですか？
はい。
a^bの一の位がpのとき、a^(b+1)の一の位はp×aの一の位です。
同様にa^cの一の位がpならばa^(c+1)の一の位も同じ、のように
あるべき乗の余りの値が決まれば、次は必ず一通りに決まります。
余りは10通りしかありませんので、10個以内に必ず同じ値が
出現し、同じ値の後は必ず以前と同じ値が続きますので、
必ず周期性を持ちます。

> k^2-40を10で割ったあまりが、9、4、1、01、4、9、6、5、6の
> 周期性が確認できるのですが、これはたまたまですか？
たまたまではありません。
「k^2-40を10で割った余り」と「(k+10)^2-40を10で割った余り」は
等しいですから、こちらも周期性を持ちます。
No.58648 - 2019/05/29(Wed) 16:14:00
☆ Re: / モンゴル
ありがとうございます。

もう一つだけ答えて欲しいです。

「nが奇数のとき、k^2-40=30^2l-1をみたす整数k、lが少なくとも一つある」場合は、左辺と右辺の余りの周期が完全に一致しなくても等しくなる余りが出てくるって考えでよろしいですか？
No.58652 - 2019/05/29(Wed) 16:41:35
☆ Re: / らすかる
そうですね。
周期が違っても、少なくとも2つの周期の最小公倍数は
全体の周期になりますので、周期の最小公倍数分先は
同じ余りになります。
（もちろんそれ以前に同じ余りがあるかも知れません）
No.58655 - 2019/05/29(Wed) 17:01:20
☆ Re: / モンゴル
とても勉強になりました。
いつもありがとうございます。
No.58698 - 2019/05/30(Thu) 16:26:07
★ (No Subject) / やー
a.b両方とも分からないです。お願いします。
No.58641 - 2019/05/29(Wed) 14:56:54
☆ Re: / まうゆ
そのまま読めばいいです
aは10cm低いので1個分
bは25cm高いので2.5個分
特殊かはわかりません
偏差値が40,75なのでbは特殊かも
No.58647 - 2019/05/29(Wed) 16:05:08
★ (No Subject) / モンゴル
画像の(2)の解説では、

整数解を持つとして矛盾をつく背理法で解いてるのですが、対偶を用いて、「方程式f(x)=0は整数解を持つとき、a0がpで割り切れる」ことを示して解いても問題ないですか？
No.58639 - 2019/05/29(Wed) 13:15:55
☆ Re: / まうゆ
もちろん命題として同値関係にあるので問題ないです
No.58643 - 2019/05/29(Wed) 15:29:57
☆ Re: / モンゴル
ありがとうございます！
No.58645 - 2019/05/29(Wed) 15:54:09
★ 積分 / 凪沙
たびたびすみません。
画像の問題の解き方を教えてください。
No.58633 - 2019/05/29(Wed) 10:47:24
☆ Re: 積分 / まうゆ
解き方はいろいろあります
cos^2θ=(cos(2θ)+1)/2で^3まで落とせば前問が使えます
No.58634 - 2019/05/29(Wed) 11:08:49
☆ Re: 積分 / まうゆ
不定積分すると
(9*sin(4*x)-4*sin(2*x)^3+48*sin(2*x)+60*x)/192+C
になります
No.58635 - 2019/05/29(Wed) 11:12:23
☆ Re: 積分 / まうゆ
xとθを間違えました
入れ替えてみてください
No.58637 - 2019/05/29(Wed) 11:14:58
☆ Re: 積分 / 凪沙
解けました❗ありがとうございました❗
No.58638 - 2019/05/29(Wed) 11:32:55
★ 積分 / 凪沙
画像の積分の解き方がいまいち分かりません。教科書にほぼ似たような問題があって、t=sinxとおく、と書かれていたのですが、なぜそのように置換するのでしょうか？お願いします。
No.58630 - 2019/05/29(Wed) 09:35:29
☆ Re: 積分 / まうゆ
cos^3x=cosx(1-sin^2x)
t=sinxとおく
∫cosxdx-∫t^2dt
後ろは0〜1
おく理由はcosx*sin^2xを計算するため
No.58631 - 2019/05/29(Wed) 10:00:50
☆ Re: 積分 / 凪沙
なるほど！ありがとうございました！
No.58632 - 2019/05/29(Wed) 10:41:32
★ 数列 / yukimi
1辺が10の正方形の各辺の10等分点をとり、碁盤状の図形をつくる。この図形の中にある長方形すべての面積の総和を求めよ。ただし正方形も長方形の一種とする。

わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。
No.58629 - 2019/05/29(Wed) 09:29:25
☆ Re: 数列 / ヨッシー
1≦m≦10、1≦n≦10 として、
m×n の長方形は(11-m)(11-n) 個あります。
求める総和の面積Ｓは
　Ｓ＝Σ[n=1〜10]Σ[m=1〜10](11-m)(11-n)mn
　＝Σ[n=1〜10]Σ[m=1〜10]{m^2n^2−11m^2n−11mn^2＋121mn}
　＝Σ[n=1〜10]Σ[m=1〜10]{(n^2−11n)m^2＋(121n−11n^2)m}
Σ[m=1〜10]m^2＝10・11・21/6＝385
Σ[m=1〜10]m＝10・11/2＝55
より
　Ｓ＝Σ[n=1〜10]{385(n^2−11n)＋55(121n−11n^2)}
　＝Σ[n=1〜10](2420n−220n^2)
　＝2420・55−220・385＝48400
No.58636 - 2019/05/29(Wed) 11:13:14
☆ Re: 数列 / yukimi
m×nの長方形は(11-m)(11-n)個あります。

ここがよくわかりません。(11-m)(11-n)はどこから出てきたのでしょうか？
No.58730 - 2019/05/31(Fri) 09:08:17
★ ガンマ関数 / 田んぼ
画像の問題はどのように解いたらよいでしょうか？お願いします。
No.58627 - 2019/05/29(Wed) 08:41:36
☆ Re: ガンマ関数 / 田んぼ
ちなみに答えはそれぞれ9/8、3/8となります。
No.58628 - 2019/05/29(Wed) 08:43:43
☆ Re: ガンマ関数 / らすかる
普通のガンマ関数でしたら、そのような値にはならないと思います。
Γ(2/5)≒2.218、Γ(1/2)=√π≒1.772なので
{3Γ(2/5)}/{2Γ(1/2)}≒(3×2.218)/(2×1.772)≒1.878≠9/8
Γ(4/5)≒1.164、Γ(1/4)≒3.626なので
{3Γ(4/5)}/{2Γ(1/4)}≒(3×1.164)/(2×3.626)≒0.482≠3/8
No.58642 - 2019/05/29(Wed) 15:22:04
☆ Re: ガンマ関数 / 田んぼ
一応解説もついているのですが、
Γ(x) = (x − 1)Γ(x − 1) を利用して既知のガンマ関数の値に帰着させる。
という感じに書かれているのですが、これでも答えは9/8、3/8にはならないのでしょうか？
No.58651 - 2019/05/29(Wed) 16:36:04
☆ Re: ガンマ関数 / らすかる
計算方法によって答えが違うことはあり得ませんので
値は上に書いた約1.878と約0.482となり、9/8や3/8には
絶対になりません。
そもそも、Γ(2/5)にその式をいくら適用しても
既知のガンマ関数の値に帰着することはありません。
No.58656 - 2019/05/29(Wed) 17:03:57
☆ Re: ガンマ関数 / らすかる
もし、答えが絶対に9/8と3/8になるのでしたら、
Γ関数のカッコの中にある「分数に見えるもの」が
分数ではなく他の意味がある、ということぐらいしか思いつきません。
もしかして「Γ(2/5)」というのは「Γ(0.4)」とは違う意味ですか？
No.58657 - 2019/05/29(Wed) 17:09:57
☆ Re: ガンマ関数 / らすかる
ああなるほど、わかりました。問題の誤植ですね。
(a)は
誤 {3Γ(2/5)}/{2Γ(1/2)}
正 {3Γ(5/2)}/{2Γ(1/2)}
(b)は
誤 {3Γ(4/5)}/{2Γ(1/4)}
正 {3Γ(5/4)}/{2Γ(1/4)}
これならば、
Γ(5/2)=(3/2)Γ(3/2)=(3/2)(1/2)Γ(1/2)
Γ(5/4)=(1/4)Γ(1/4)
なので簡単に求まりますね。
（しかも9/8、3/8になります。）
No.58660 - 2019/05/29(Wed) 17:28:27
☆ Re: ガンマ関数 / 田んぼ
私も最近授業で教えてもらったばかりなのであやふやなのですが、一応ばんしょしたページを送ります。Γ(1/2)が√πになるらしいので、分数という見方は多分間違っていないと思いますが…。
No.58661 - 2019/05/29(Wed) 17:29:36
☆ Re: ガンマ関数 / 田んぼ
授業でやった練習問題です。
No.58662 - 2019/05/29(Wed) 17:32:20
☆ Re: ガンマ関数 / 田んぼ
あ、問題の誤植でしたか笑
念のため明日先生に聞いてみますね。ありがとうございました。
No.58663 - 2019/05/29(Wed) 17:34:12
★ (No Subject) / ゆい橋
この問題なのですが、なぜこのような場合わけになるのですか？詳しく教えていただきたいです！
No.58623 - 2019/05/29(Wed) 06:32:56
☆ Re: / らすかる
g(x)=(|x-4|-1)^2 としたとき、
g(t),g(t+1),g(4)のうちどれが最大値になるかによって
場合分けしています。
g(t)≧g(t+1)かつg(t)≧g(4)となる区間では最大値はg(t)
g(t+1)≧g(t)かつg(t+1)≧g(4)となる区間では最大値はg(t+1)
g(4)≧g(t)かつg(4)≧g(t+1)となる区間では最大値はg(4)
となりますね。
No.58624 - 2019/05/29(Wed) 06:59:15
★ 微分可不可について / めめ
とあるf(x)にてx=aにて微分可能であるとする場合、、
[h→0] {f(a+h)-f(a)}/h、すなわちf’(a)、が「存在する」必要があるので、、

[h→0] f’(a)×h=0
が成り立つ必要がある、、、
と記されており、、、

この式が=0となる、という時、、

f’(a)が、振動する場合((「振動する物」と、「0に向かう物」の積→0なので))

か、

収束する場合か、の2パターンがあると考えたところ、、、微分係数が振動するというのは、すなわち微分不可能だと言われたのですが、、、これは要するに上記の理論は正しくないという事でしょうか？
No.58618 - 2019/05/29(Wed) 03:14:04
☆ Re: 微分可不可について / らすかる
f'(a)が存在する場合、f'(a)は定数ですから「振動」はしません。
f'(a)は定数であるか、もしくは存在しないかのどちらかです。
No.58619 - 2019/05/29(Wed) 04:13:10
☆ Re: 微分可不可について / めめ
そもそも導関数
[h→0] {f(x+h)-f(x)}/h はxに何を代入しても振動したり∞に発散したり不定になったりする事はないのでしょうか…？
No.58620 - 2019/05/29(Wed) 04:22:35
☆ Re: 微分可不可について / めめ
すみません、なにか勘違いしていたようなんですが。。
[h→∞]でない限り、{f(a+h)-f(a)}/h が「収束」や「発散・振動」などはそもそもしないという事ですかね…
だから、f’(a)に関しては、存在するかしないかの2択のみで、存在する場合のみ、[h→0] f’(a)×h=0 が成り立つ、という事でしょうか
No.58621 - 2019/05/29(Wed) 05:15:03
☆ Re: 微分可不可について / らすかる
いや、h→0でも{f(a+h)-f(a)}/hは振動しますよ。
例えばf(x)=(x^2)sin(1/x)の場合とか。
しかし、振動するのはhを0に近づける途中の「{f(a+h)-f(a)}/h」であって、
f'(a)=lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/hはその極限値ですから
「定数」か「存在しない」かのどちらかです。
f'(a)が「振動する」ことはあり得ません。
No.58622 - 2019/05/29(Wed) 06:09:48
☆ Re: 微分可不可について / めめ
要するに、極限をとって、永遠に振動し続ける、という事はせずに、途中までは振動し得るけど、最終的には収束するか、存在自体がなくなるか、の2択という事でしょうか？
だとしたら、永遠に振動し続ける者と途中までしか振動しない者との違いはなんなのでしょう……
No.58640 - 2019/05/29(Wed) 14:39:42
☆ Re: 微分可不可について / らすかる
「極限をとって、永遠に振動し続けるもの」はありません。
それはhを動かしている途中の話であって、極限をとっていません。
lim[h→○](式)というのは、
「hを○に近づける時に(式)の値がどのように動くか」ではなく、
「hを○に目一杯近づけた時に(式)の値がどの値に近づくか」という、
近づいていく先の値という意味です。
従ってhをどれだけ○に近づけても一定の幅以上に振動し続ける場合は、
極限値はどの値にも近づきませんので「極限値なし」となります。
これは「振動し続ける」ではなく「極限値なし」です。
No.58644 - 2019/05/29(Wed) 15:36:18
☆ Re: 微分可不可について / めめ
返信ありがとうございます。すなわち、そもそもlimという記号がある限り、振動し続ける事はそもそもない、という事でしょうか……
No.58650 - 2019/05/29(Wed) 16:14:47
☆ Re: 微分可不可について / らすかる
そうです。
「lim(○)」は「一つの値」を示すものであって
「振動」などという意味はありません。
値が振動するのはlimの中身の式だけです。
No.58658 - 2019/05/29(Wed) 17:12:52
☆ Re: 微分可不可について / めめ
ありがとうございます！解決しました！
No.58659 - 2019/05/29(Wed) 17:14:56
★ 剰余の定理 / ヒカル
整式P(x)を(x-2)(x-3)で割った4x+5余った、このときの次の余りを求めよ。

x^2P(x)を(x-2)(x-3)で割ったときの余りは？
No.58615 - 2019/05/28(Tue) 22:55:06
☆ Re: 剰余の定理 / らすかる
(4x+5)x^2=4x^3+5x^2=(x-2)(x-3)(4x+25)+101x-150なので、答えは101x-150
No.58617 - 2019/05/29(Wed) 01:59:49
☆ Re: 剰余の定理 / ヒカル
ありがとうございます！
No.58649 - 2019/05/29(Wed) 16:14:15
★ (No Subject) / ヒカル
整式P(x)を(x-2)(x-3)で割った4x+5余った、このときの次の余りを求めよ。

x^2P(x)を(x-2)(x-3)で割ったときの余り
No.58611 - 2019/05/28(Tue) 22:27:31
★ 数列 / うんこちゃん
1,2,6,15,.....の一般項を出す問題で
一般項an＝1+1/6(n-1)n(2n-1)まできたのですが答えを見ると1/6(n+1)(2n^2-5n+6)となっています。 ここまで変形できるのでしょうか。
No.58610 - 2019/05/28(Tue) 22:19:13
☆ Re: 数列 / ＩＴ
1+(1/6)(n-1)n(2n-1)=(1/6)(n+1)(2n^2-5n+6) なので
1+(1/6)(n-1)n(2n-1)のままで正解です。　
変形は不要と思います。

#この手の問題を見ると「１５の後に何が来るか分からないので、一般項を１つに特定するのは不可能だ」といつも思います。
No.58612 - 2019/05/28(Tue) 22:50:04
☆ Re: 数列 / うんこちゃん
ありがとうございます。
1,2,6,15,31,56,.....と続いてます。
No.58614 - 2019/05/28(Tue) 22:54:08
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