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★ 複素数と方程式 / 耐水性
(2)についてです。
解説に「方程式が条件を満たすのは、D>0で…」と書いてあるのですが、ともに負の解という条件なので「D<0」じゃないとダメなのではないでしょうか？
No.58604 - 2019/05/28(Tue) 21:02:27
☆ Re: 複素数と方程式 / X
ダメではありません。

解の判別式は解が実数か否かを判別するものであって
解の符号を判別するものではありません。
No.58607 - 2019/05/28(Tue) 21:53:17
☆ Re: 複素数と方程式 / 耐水性
そうだったんですか…根本的なところから間違っていたんですね。ありがとうございます！
No.58608 - 2019/05/28(Tue) 21:57:52
★ 数?B / ran
この問題を見てください！

2行目までの変換はわかるのですが、
π^3/θ^3 × (sinθ/cosθ - cosθ×sinθ)が、π^3(sinθ/θ)^3 × 1/cosθ
となるのがわかりません！

もう少し詳しい式変形をお願いします！
No.58598 - 2019/05/28(Tue) 18:46:58
☆ Re: 数?B / らすかる
sinθ/cosθ-cosθ・sinθ
={sinθ-(cosθ)^2・sinθ}/cosθ
={1-(cosθ)^2}sinθ/cosθ
=(sinθ)^2・sinθ/cosθ
=(sinθ)^3/cosθ
となりますね。
No.58600 - 2019/05/28(Tue) 19:07:00
☆ Re: 数?B / ran
完璧に理解できました。

ありがとうございます。
No.58602 - 2019/05/28(Tue) 20:09:14
★ 数?B / ran
これを見てください！

この答えがあっているのは確実なんですが、最後の、
log(1+sinX)/sinXが1に収束する理由がわかりません！

教えてください！よろしくお願いします。
No.58597 - 2019/05/28(Tue) 18:39:54
☆ Re: 数?B / らすかる
lim[x→0]log(1+sinx)/sinx
=lim[x→0]log(1+x)/x
=lim[x→0]{log(1+x)-log(1)}/x
=log'(1)　（logxのx=1における微分係数）
=1
No.58599 - 2019/05/28(Tue) 19:04:52
☆ Re: 数?B / ran
ありがとうございます！
式の意味は理解できました。

ここで単純に疑問なんですが、1行目から2行目までで、sinXをXに変えていますよね？たしかにX→0のときsinX→0ですから、意味は変わらない気もします。

でもそれって変えてもいいんですか？？

何度もすみません！よろしくです。
No.58601 - 2019/05/28(Tue) 20:05:13
☆ Re: 数?B / らすかる
変えていいです。
sinxがtanxとかx^3でも同様です。
もちろん、sinxとx^3など、異なるものがある場合はNGです。
No.58603 - 2019/05/28(Tue) 20:12:12
☆ Re: 数?B / ran
ありがとうございます！

助かりました！
No.58605 - 2019/05/28(Tue) 21:20:43
★ 素因数の数 / みどり
nを自然数とする。n!に含まれる素因数pの最高冪指数は、pのk乗≦n<pのk+1乗とすると、

[n/p]+[n/pの2乗]+…+[n/pのk乗]

であることを示せ。ただし、実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す。

解法が理解できません。詳しく教えて頂けないでしょうか？
No.58594 - 2019/05/28(Tue) 17:54:03
☆ Re: 素因数の数 / ＩＴ
1,2,3,.....,n のうち　pで割りきれるものの個数が分かりますか？

1,2,3,.....,n のうち　p^2 で割りきれるものの個数が分かりますか？

1,2,3,.....,n のうち　p^k で割りきれるものの個数が分かりますか？

もし分からなければ　n,p を具体的な値として考えてみてください。
（式を見ているだけでは、理解しにくいです。理解するためには、手と頭を動かすことが大切だと思います。）
No.58596 - 2019/05/28(Tue) 18:09:00
☆ Re: 素因数の数 / ＩＴ
下記に類題とらすかるさんの回答（解説・解答）がありますので参考にご覧ください。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=42379
No.58606 - 2019/05/28(Tue) 21:29:35
☆ Re: 素因数の数 / ＩＴ
言葉で書くと下記のようになります。（数の世界ー整数論への道　和田秀男著　岩波書店　参考）

１からｎまでの整数の中でｐの倍数の個数は
　ｎをｐで割ったときの商をｑ余りをｒ　すなわち　ｎ＝ｐｑ+ｒ（０≦ｒ＜ｐ）としたとき
　１ｐ,２ｐ,３ｐ,…,ｑｐ　のｑ個である。

ｎ/ｐ＝（ｐｑ+ｒ）/ｐ＝ｑ+（ｒ/ｐ）,　０≦ｒ/ｐ＜１であるから
ｑ＝[ｎ/ｐ]と表せる。

ｐ^2 の倍数は、同様に考えれば[ｎ/ｐ^2]個ある。
ｐ^3,ｐ^4,....,ｐ^k, の倍数は、それぞれ[ｎ/ｐ^3]個,[ｎ/ｐ^4]個,...,[ｎ/ｐ^k]個ある。

(注 ｐ^(k+1)などの倍数は０個です。）

これらの中で,例えばｐ^3の倍数で,ｐ^4で割り切れない整数は,ｎ！におけるｐの指数に３だけ影響を与える（３だけ増やす）ので,
ｐの倍数,ｐ^2 の倍数,ｐ^3 の倍数として３重に数えればちょうど良い．

# このことを分かりやすく図示されたのが　上に紹介した　らすかるさんの説明です。

よって　元の式が示された。
No.58609 - 2019/05/28(Tue) 22:04:33
★ (No Subject) / 喫
太字の5番が分かりません。
No.58592 - 2019/05/28(Tue) 17:02:23
☆ Re: / X
方針を。
(これは方べきの定理を使うまでの前準備が必要です。
まずは辺CA,BDの長さを求めることを考えます。)

条件から円O,O'は半径が等しいですので円周角により
∠BCD=∠BDC
よって
△BCDはCD=BCの二等辺三角形 (A)
次に接弦定理により
∠ABC=∠BDC
これと∠BCDが共通であることから
△BCD∽△ABC
よって(A)より
△ABCはAB=CAの二等辺三角形
となるので
CA=AB=4[cm]
更に△BCD,△ABCの対応する辺について
BD:AB=CD:BC
これより
BD:AB=(CA+AD):BD
BD:4=(4+5):BD
BD^2=36
BD=6[cm]

後は点A,B,C,Dに関して円O'に注目した
方べきの定理を使います。


注)
図から円O,O'に注目した方べきの定理で
二つ等式を導きだして解けないか？
と考えてしまいますが、それだけでは
円O,O'の半径が同じ
という条件が使えていません。
No.58595 - 2019/05/28(Tue) 18:04:26
☆ Re: / 喫
詳しい解説ありがとうございます！
No.58613 - 2019/05/28(Tue) 22:52:32
★ 不等式 / 鮪
aは定数で、黄色の線の不等式を解く問題です
四角で囲んであるところ、何故そう言えるのか教えてください。
No.58588 - 2019/05/27(Mon) 22:30:23
☆ Re: 不等式 / らすかる
0に何を掛けても0ですから
xがいくつでも左辺は0となり、
0＞-2は成り立ちますので
任意のxに対して
0x＞-2は成り立ちます。
「任意のxに対して不等式が成り立つ」と
「不等式の解はすべての実数」は同じ意味です。
No.58589 - 2019/05/28(Tue) 00:24:11
☆ Re: 不等式 / 鮪
おーそういうことなのですね。
ありがとうございました！
No.58591 - 2019/05/28(Tue) 07:01:28
★ 平面 / たけし
⑵からわからないです。
お願いします！
No.58587 - 2019/05/27(Mon) 20:48:39
☆ Re: 平面 / らすかる
(2)
直線OAの傾きは-1/a、直線OBの傾きは2/bなので
∠AOB=π/2⇔(-1/a)(2/b)=-1すなわちab=2
このとき相加相乗平均から
S=a+b/2≧2√(ab/2)=2（等号はa=b/2のとき）
なのでSの最小値は2(a=1,b=2のとき)

(3)
OA^2=a^2+1, OB^2=b^2+4なので
OA^2+OB^2=9⇔a^2+b^2=4
S=a+b/2からb=2(S-a)なので
a^2+b^2=a^2+4(S-a)^2=5a^2-8aS+4S^2=4
aに関する二次方程式5a^2-8aS+4S^2-4=0が解を持つためには
判別式D/4=(4S)^2-5(4S^2-4)=20-4S^2≧0
∴S≦√5
S=√5のとき5a^2-(8√5)a+16=0を解いてa=(4/5)√5
b=2(S-a)=2(√5-(4/5)√5)=(2/5)√5
従ってSの最大値は√5(a=(4/5)√5,b=(2/5)√5のとき)
No.58590 - 2019/05/28(Tue) 05:58:19
★ (No Subject) / 1
k(k+1)(k+2)(k+3)= {k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) -(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3}
という変形はどのようにして導くのですか？

また、これは一般化できますか？
No.58582 - 2019/05/27(Mon) 19:00:53
☆ Re: / 1
k(k+1)(k+2)(k+3)= 1/5{k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) -(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)}
です。すいません
No.58583 - 2019/05/27(Mon) 19:01:42
☆ Re: / ヨッシー
左辺から右辺は大変ですが、右辺から左辺は共通項
　k(k+1)(k+2)(k+3)
でくくれば、すぐ出来ますね？

一般化するなら、
　k(k+1)(k+2)・・・(k＋n−1)
　＝{k(k+1)(k+2)・・・(k+n)−(k-1)ｋ(k+1)(k+2)・・・(k+n-1)}/(n+1)
です。
ただし、本筋はたぶん、この式をどう使うかですね。
　
No.58584 - 2019/05/27(Mon) 19:16:38
☆ Re: / 1
ありがとうございます、

数列の問題でこの式を利用する問題があったので質問させていただきました。
No.58585 - 2019/05/27(Mon) 19:59:42
★ (No Subject) / アスカ
太字の3番がどうしても分かりません。解説をお願いします。
No.58577 - 2019/05/27(Mon) 17:30:34
☆ Re: / らすかる
(1)
AB=ACから∠ABC=∠ACB、円周角から∠ACB=∠ADBなので∠ABC=∠ADB
よって△ABEと△ADBは二つの角が等しいので相似。
(2)
AD：AB=AB：AEからAB^2=AD・AE=45なのでAB=√45=3√5
No.58579 - 2019/05/27(Mon) 17:39:53
★ 循環小数 / 9の倍数
太刀打ちできません。
自分はこれを分数の形にしたところで、打つ手がなくなってしまいました。
58823…647/(10^16-1)=1/17

どなたか教えていただけませんか？
No.58576 - 2019/05/27(Mon) 16:40:07
☆ Re: 循環小数 / らすかる
588235294117647/(10^16-1)=1/17
(10^16-1)/17=588235294117647
(10^8+1)(10^8-1)/17=588235294117647
1/17が周期16桁の循環小数になりますので、
10^8-1は17で割り切れません。
（もし割り切れたら周期が8桁以下になります。）
従って10^8+1が17で割り切れることになります。
(10^8+1)/17=(整数)
10^8/17+1/17=(整数)
これは1/17を10^8倍したものに1/17を足すと
整数になるということですから、
　　　0.05882352941176470588235294117647… と
5882352.94117647058823529411764705882352… の
和の小数点以下が99999999…になるということです。
従って05882352+94117647=99999999となります。
No.58578 - 2019/05/27(Mon) 17:32:21
☆ Re: 循環小数 / 9の倍数
ありがとうございます😊
No.58687 - 2019/05/30(Thu) 14:07:51
★ 移動する点の座標 / yukimi
動点Pが座標平面上を、原点Oからx軸に沿ってA1まで進み、次に左に120°曲がってA2まで進み、さらに左に120°曲がってA3まで進み、…と動いていく。ただしOA1=1、A(n-1)An=2のn-1乗(n=2、3、4、…)とする。Anのx座標をXnとおくとき、X(3k+2)を求めよ。

わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。
No.58574 - 2019/05/27(Mon) 16:21:56
☆ Re: 移動する点の座標 / らすかる
便宜上A[0]=OとすればA[n-1]A[n]=2^(n-1)はn=1でも成り立ちます。
X[0]=0
X[1]=X[0]+2^0
X[2]=X[1]-2^1/2
X[3]=X[2]-2^2/2
X[4]=X[3]+2^3
X[5]=X[4]-2^4/2
X[6]=X[5]-2^5/2
X[7]=X[6]+2^6
・・・
のようになりますので、
X[3k]=Σ[i=1〜k]2^(3i-3)-2^(3i-2)/2-2^(3i-1)/2
=Σ[i=1〜k]-2^(3i-2)
=-2(8^k-1)/7
∴X[3k+2]=X[3k]+2^(3k)-2^(3k+1)/2=X[3k]=-2(8^k-1)/7
となります。
No.58580 - 2019/05/27(Mon) 17:57:09
☆ Re: 移動する点の座標 / yukimi
ありがとうございました！
No.58626 - 2019/05/29(Wed) 08:17:28
★ (No Subject) / モンゴル
こういう問題で、例えば画像の丸のところのように

10^3≡...≡6≡-1(mod7)を
10^3≡...≡6(mod7)、つまり6に対して0を商にして余りを6とすると考えて計算しても解けるのですか？

6を7で割るとき、商を1にして、わざわざ余りが-1にするというのが不思議です。
なるべく数や絶対値が小さいようにする工夫ですか？
No.58571 - 2019/05/27(Mon) 15:54:54
☆ Re: / ヨッシー
合同式は、法に対する余りとして理解されることが多いですが、
必ずしも０から(法−１)までで表す必要はありません。
　１５≡１≡８≡−６　(mod 7)
です。

この問題ですが、
>なるべく数や絶対値が小さいようにする工夫
ですが、なぜ小さいと都合がいいのかを理解しておかないといけません。
例えば、mod 11 のときに、
-1, 1, -1, 1, -1, 1,・・・
が
10, 1, 10, 1, 10, 1,・・・
だったとして、解答にあるような結果が導けるか？
と考えるとわかるのではないでしょうか？

もちろん、
模範解答：各位の数を、各位１つおきに２つのグループに分けて、それぞれの和の差を取る
の代わりに
各位の数を、各位１つおきに２つのグループに分けて、それぞれの和を計算し、
どちらか一方を１０倍して和を取る
でも判定できますが、計算結果がどうしても大きくなるため、再度判定しないといけないなど、短所が目立ちます。
No.58573 - 2019/05/27(Mon) 16:12:59
☆ Re: / モンゴル
勉強になりました。ありがとうございます。
なるべく簡単な数になるように工夫しようと思います。
No.58575 - 2019/05/27(Mon) 16:27:41
★ (No Subject) / 中原涼介
表1は，ある調査における5個のデータを表したものである。

表1のデータをXとYを用いて「データi（Xi，Yi）」と表す。例えば，X1はi=1のときのXのデータを表し，Y2はi=2のときのYのデータを表す。

Xを独立変数とし，Yを従属変数とする。

表1のデータを全て用いて最小二乗法にて求められた回帰式をY=a+bXとする。

aとbはいずれも回帰係数である。bの値を30分の1とし，aの小数第1位の値をkとする。

a>kとなるとき，aの分散をuとし，bの分散をzとする。

uの小数第1位の値を答えなさい。


表1
データ1（6，7）
データ2（2，5）
データ3（9，4）
データ4（8，7）
データ5（5p，5p）
No.58570 - 2019/05/27(Mon) 13:56:19
★ (No Subject) / アスカ
4［接弦定理と相似］が分かりません。どなたか解説お願いします
No.58568 - 2019/05/26(Sun) 23:04:28
☆ Re: / らすかる
弧AD=弧DEから∠ABD=∠DBE、
接弦定理から∠FAD=∠ABDなので∠ABF=∠DAF=∠DBG
∠BFA=∠DFAなので△ABF∽△DAF
∠ADF=∠BDGなので△DAF∽△DBG
∴△ABF∽△DAF∽△DBGなので△ABF∽△DBG
No.58569 - 2019/05/27(Mon) 00:40:33
★ 証明問題 / もも
⑵からお願いします！
No.58566 - 2019/05/26(Sun) 21:22:21
☆ Re: 証明問題 / ＩＴ
(2) は(1)を模倣すればできるのでは？

3^(2L)-1=(3^L-1)(3^L-1+2)
=(2^m)*奇数*((2^m)*奇数+2)
=(2^m)*奇数*2((2^(m-1))*奇数+1)
=(2^(m+1))*奇数*奇数　（∵ｍは２以上の自然数）

(3)は(2)を使ってｎについての数学的帰納法でできると思いますのでやってみてください。
No.58567 - 2019/05/26(Sun) 21:43:14
★ (No Subject) / モンゴル
この問題で、解説に疑問があります。

規則性を見つけた後すぐに「nが偶数になるとき」といきなり書いてますが、数学的帰納法を用いて、全ての偶数の自然数nのとき2+(-1)^nが3の倍数であることを示さなくていいのですか？
No.58561 - 2019/05/26(Sun) 17:56:06
☆ Re: / モンゴル
画像はこちらです。
No.58562 - 2019/05/26(Sun) 17:56:29
☆ Re: / ＩＴ
「自然数nについて、nが偶数　⇔ 2+(-1)^nが3の倍数である。ことを示せ」　という　設問で無い限り、
証明なしで使って良いと思います。
No.58564 - 2019/05/26(Sun) 18:26:32
☆ Re: / モンゴル
ありがとうございます！
No.58572 - 2019/05/27(Mon) 15:55:39
★ 高2数ニ / ティン
2の3番と4番のやり方を解説お願いします。
No.58558 - 2019/05/26(Sun) 16:37:09
☆ Re: 高2数ニ / ＩＴ
(1)の初項と公差はどうなりましたか？
初項ａ、交差ｄの等差数列の第ｎ項の値はどうなりますか？
この問の数列の第ｎ項の値はどうなりますか？
No.58560 - 2019/05/26(Sun) 17:50:08
☆ Re: 高2数ニ / X
方針を。

2
(3)
ITさんも仰ってますが、これは(2)の結果を使います。
負の数を足せば、和の値は減少していくわけですので
問題の等差数列の一般項をa[n]とすると
a[n]≧0
となる最大のnを求めればよいことになります。

4
問題の等比数列の初項をa,公比をrとすると
ar^2=12 (A)
ar^5=96 (B)
(A)÷(B)より
r^3=8
rは実数なので
r=2
これを(A)に代入して
a=3
よって和を求める数列の第n項をa[n]とすると
a[n]={ar^(n-1)}^2
=…
となるので求める和は…
No.58563 - 2019/05/26(Sun) 17:58:56
★ (No Subject) / モンゴル
(2)の解説の。丸で囲ったところは、なぜ2ではなく、2*2なんですか？誤植？
No.58554 - 2019/05/26(Sun) 15:31:32
☆ Re: / モンゴル
画像忘れました。
No.58555 - 2019/05/26(Sun) 15:32:04
☆ Re: / らすかる
誤植です。
No.58557 - 2019/05/26(Sun) 15:59:38
☆ Re: / モンゴル
ありがとうございます。
No.58559 - 2019/05/26(Sun) 17:17:59
★ 無限級数の収束 / たゆたゆ
画像の2問ですが、どちらも収束するらしいのですが、どのように考えたら収束するのか分かりません。ご教授願います。
No.58553 - 2019/05/26(Sun) 14:29:59
☆ Re: 無限級数の収束 / らすかる
一つ目
Σ[n=1〜∞]n^4・e^(-n^2)=Σ[n=1〜∞]n^4/e^(n^2)
a[n]=n^4/e^(n^2)とおくと
n≧2のとき
(n+1)^4/n^4=1+4/n+6/n^2+4/n^3+1/n^4＜1+1+2+1+1=6
e^((n+1)^2)/e^(n^2)=e^(2n+1)＞2^5=32
なので
a[n+1]/a[n]={(n+1)^4/e^((n+1)^2)}/{n^4/e^(n^2)}＜3/16
従ってn≧3のときa[n]＜a[2]・(3/16)^(n-2)なので
0＜Σ[n=1〜∞]n^4/e^(n^2)
＜a[1]+a[2]+a[2]Σ[n=3〜∞](3/16)^(n-2)
=a[1]+(16/13)a[2]
となり収束。

二つ目
f(x)=x^(-3/2)は減少関数なので
0＜Σ[n=1〜∞]√n/(n^2+1)
＜Σ[n=1〜∞]√n/n^2
=Σ[n=1〜∞]n^(-3/2)
=1/2+Σ[n=2〜∞]n^(-3/2)
＜1/2+lim[n→∞]∫[1〜n]x^(-3/2)dx
=1/2+lim[n→∞]{2(1-1/√n)}
=5/2
となり収束。
No.58556 - 2019/05/26(Sun) 15:57:05
★ 積分 / ササミ
画像の積分の問題のを解いてみたのですが、答えと一致しません。計算過程が間違っているのかもしれませんが、どこで間違えているか分かりません。お願いします。
No.58545 - 2019/05/26(Sun) 12:32:59
☆ Re: 積分 / ササミ
答えは1.(a)のようになるそうです。
No.58546 - 2019/05/26(Sun) 12:34:19
☆ Re: 積分 / らすかる
三乗根がいつのまにか平方根になってしまっているのはまずいですね。
No.58549 - 2019/05/26(Sun) 12:59:40
☆ Re: 積分 / ササミ
3x^3に見えてました笑
ありがとうございました。
No.58552 - 2019/05/26(Sun) 14:21:44
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