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★ (No Subject) / ab
質問です。
1/1+1/2+1/3+・・・+1/nが整数でないことを示せ。
この問題です。よろしくお願いします。
No.59898 - 2019/07/16(Tue) 00:37:46
☆ Re: / らすかる
n=1のとき整数なのでn≧2の場合ですよね？

1/1+1/2+1/3+・・・+1/n=k（kは整数）とおいて
1〜nの最小公倍数をM=(2^p)(2q-1)（p,qは自然数）とし、両辺にMを掛けると
左辺でM/2^pのみ奇数なので左辺は奇数、右辺は偶数となり矛盾。
No.59906 - 2019/07/16(Tue) 05:28:51
☆ Re: / ab
m =（2^p）（2q-1）と置いたのは何故ですか？
質問が続いてしまってすいません。
No.59913 - 2019/07/16(Tue) 14:00:51
☆ Re: / ab
すいません。自己解決しました。
No.59914 - 2019/07/16(Tue) 14:04:15
★ (No Subject) / ゆい橋
写真の問題に対して、(3)の解答のところにハテナしてあるところですが、なぜこうなるのかわかりません。
No.59890 - 2019/07/15(Mon) 20:55:44
☆ Re: / X
ではもう少し具体的に近似値を使ってみます。

√2≒1.41
により
-√2-1≒-2.41
√2-1≒0.41
これらを
-√2-1≦f(x)≦√2-1
に代入すると
-2.41≦f(x)≦0.41

以上を踏まえてもう一度解説を読んでみて下さい。
No.59894 - 2019/07/15(Mon) 22:08:49
☆ Re: / ＩＴ
Xさん
> -√2-1≒-3.41
-√2-1≒-2.41 では？
No.59897 - 2019/07/15(Mon) 23:49:55
☆ Re: / ゆい橋
解説の四角で囲った部分は必要なのでしょうか？
No.59905 - 2019/07/16(Tue) 05:26:32
☆ Re: / らすかる
丸で囲った手書きのものを正確に書くと
四角で囲った部分になりますので、
これは必要です。
No.59907 - 2019/07/16(Tue) 05:31:21
☆ Re: / X
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>ゆい橋さんへ
ごめんなさい。ITさんの仰る通りです。
No.59894を直接修正しておきました。
No.59908 - 2019/07/16(Tue) 05:46:06
★ 展開の過程。 / マーク42
以前に図形に関して質問したもので、式は導けたのですが、左辺を右辺の式にどう展開して答えに行けば良いかわかりません。
どうか過程の式に関するヒントを教えていただけないでしょうか。
出来ればらすかるさんにお答えして頂けると嬉しいです。
No.59887 - 2019/07/15(Mon) 20:41:28
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
左辺の式と右辺の式は違う式なので、
左辺の式を右辺の式に変形することはできません。
同じ式かどうかは、具体的に適当な値を代入して
電卓で計算してみればわかります。
（例えばdθ=1、θ=π/4を代入するなど）
No.59895 - 2019/07/15(Mon) 23:12:56
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
おっしゃる通りです。
代入して確認すればよかったです。
かつ、計算ミスが発覚したのでやり直します。
ありがとうございました。
No.59899 - 2019/07/16(Tue) 01:03:37
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
新しく作り直しました。
ですが、値が一致しません。
dθ<0なのでdθ=-1°,θ=45°にして計算して、1.0355...=0になり図が間違っているとわかりました。ただどこが間違っているのかわからなかったため比での簡単な計算にしてみました。
すると、多分合っているであろう値が出てきました。
正しいか確認していただけないでしょうか？
また、2枚目に送る間違った図に関しても修正しましたので正しいか確認お願いします。

ちなみに、1枚目の値は1.0355と1.0406と出ました。
2枚目は1.0355と1.034588とほぼ等しい数値が出ました。
No.59901 - 2019/07/16(Tue) 02:12:01
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
2枚目がこちらになります。少し汚くてすいません。
最初に書いた2枚目が間違っていたのは途中で- dθが計算から抜けていたためとわかりました。そのため右辺が0になったのだと思います。
No.59903 - 2019/07/16(Tue) 02:18:56
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
両方とも正しくありません。
適当な値を入れて値が明らかに違う場合は「式は異なる」となりますが、
値が一致または近い場合は「式は同じである可能性がある」というだけで、
それだけで同じとは言えません。
値が近くなった場合は全然違う値で何通りか計算してみる必要があります。
試しにθを45°でなく10°にして計算してみて下さい。

# tan(θ+dθ)でdθを負に変えてtan(θ-dθ)にするのでしたら
# 以前のtan(θ+dθ)の図と全く同じですから、
# tan(θ+dθ)の答えを追えば、どこが間違っているかわかると思います。

# というより、そもそもdθ＜0でtan(θ-dθ)の式を求めるのは
# dθ＞0のtan(θ+dθ)の式でdθのかわりに-dθを使っているだけで、
# 既にtan(θ+dθ)を求めていたら何の意味もないですが、
# 一体何をしたいのですか？

それから、一部分に三平方の定理を使って
√{1+1/(tanθ)^2}のようにするのは計算間違いの元です。
sin,cos,tanを使えばどの辺の比も表せますので
三平方の定理を使うのはやめましょう。
No.59904 - 2019/07/16(Tue) 04:34:05
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
計算したところ間違っていたことがわかりました。

＞＞# 一体何をしたいのですか？
今回は「前回の図形」とは異なり座標と角度に負も存在する座標上で、角度はa<45°　90°＜θ＜135°の場合でのtan(θ—dθ)を作ろうとしました。

図形No.59901は間違っていないということは私の過程の計算にミスがあるということでしょうか？
No.59919 - 2019/07/16(Tue) 16:53:13
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
前もって今回の図形に関してのことを詳しく話していなかったため少しややこしくなってしまいました。
角度aはa<45°　θの範囲は90°＜θ＜135°の場合でのtan(θ—dθ)なのでNo.59901の式にθ=100°dθ=‐1の時で確認してみます。
左辺は−5.1455　右辺は−0.048となり全く一致しませんでした。ということはa<45°　θの範囲は90°＜θ＜135°の図は正しいが導いた式に間違いがあるということでしょうか。
No.59920 - 2019/07/16(Tue) 17:29:27
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
図を画像のようにしました。
そして、tan(θ-dθ)としてtan100°、dθ=tan-1°として新しい式(紙の右上)に代入したところ-5.671=-0.158となりました。
ここまでくると図の作り方が悪いのか、計算ミスかわからなくなってきます。
どうか知恵を貸して頂けないでしょうか。
よろしくお願い致します。
No.59922 - 2019/07/16(Tue) 18:17:02
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 今回は「前回の図形」とは異なり座標と角度に負も存在する座標上で、
> 角度はa<45°　90°＜θ＜135°の場合でのtan(θ-dθ)を作ろうとしました。

dθ＜0にするだけなら、鈍角のθに対してtan(θ+dθ)の式を導出したときの
dθをすべて-dθに変えれば、それですべて終わります。
ですから、その時の図と計算を見れば正解がわかるはずです。
dθを-dθに置き換えるだけですから、それをすることに意味があるとは思えません。
dθ＜0でtan(θ-dθ)の式を作るのとdθ＞0でtan(θ+dθ)を作るのは、
「dθ」を「-dθ」に書き換えただけであり、全く同じことです。
No.59926 - 2019/07/16(Tue) 19:27:04
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
アドバイスありがとうございます。
ですが、鈍角のθに対してtan(θ+dθ)の式を導出したときの式は90°<θ<180°であり、a<45°ではないのですがaの角度に関わらず図からtan(θ-dθ)が導けるわけですか？
出来れば、載せた図から解きたいのですので、どこが間違っているか探してみます。
No.59927 - 2019/07/16(Tue) 19:40:02
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> ですが、鈍角のθに対してtan(θ+dθ)の式を導出したときの式は90°<θ<180°であり、
> a<45°ではないのですがaの角度に関わらず図からtan(θ-dθ)が導けるわけですか？

当然導けます。
90°＜θ＜180°に対するtan(θ+dθ)の式を導いたのですから、このdθを-dθに変えたら
90°＜θ＜180°に対するtan(θ-dθ)の式になります。
90°＜θ＜180°で有効な式ですから、当然90°＜θ＜135°でも有効です。

> 出来れば、載せた図から解きたいのですので、どこが間違っているか探してみます。

「載せた図」を「tan(θ+dθ)を導いた時の図」と比較すれば良いことです。
前の図があるのに、この図だけ見て考えるのは時間の無駄です。
No.59928 - 2019/07/16(Tue) 19:47:30
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます。
過去の図と見比べて間違いがわかりました。
多分ですが前の図は座標は（−cosθ、sinθ）ですが新しい方は（cosθ、sinθ）となっています。
ですが、今回は図形のような解き方ではないため座標が（cosθ、sinθ）でもおかしくはないと思うのですが、少しだけヒントを頂けないでしょうか？


ちなみに、前は変数自体が正の値の時の図形の時に成り立つtan(θ+dθ)ですが、なぜ正負の存在する座標上での場合の図形のから導いた式tan(θ+dθ)の時も変数自体が正の値の時に成り立つ図形の時と同じtan(θ+dθ)の式が導けたのでしょうか？
No.59929 - 2019/07/16(Tue) 19:58:46
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> ですが、今回は図形のような解き方ではないため
意味不明です。
図形を描いて各線分の長さを考えて解いているのに
「図形のような解き方ではない」とはどういうことですか？

> 座標が（cosθ、sinθ）でもおかしくはないと思うのですが、
> 少しだけヒントを頂けないでしょうか？
座標と線分の長さは別問題です。

> ちなみに、前は変数自体が正の値の時の図形の時に成り立つtan(θ+dθ)ですが、
> なぜ正負の存在する座標上での場合の図形のから導いた式tan(θ+dθ)の時も
> 変数自体が正の値の時に成り立つ図形の時と同じtan(θ+dθ)の式が
> 導けたのでしょうか？
「座標」が関係ないからです。
「座標」が正でも負でも、「線分の長さ」や「角度」には全く関係ありません。
No.59930 - 2019/07/16(Tue) 20:52:35
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
わかりにくくてすいません。
今回は正の値だけではなく、負の値(座標のcosθ)などが入るため、以前のように角度も変数のcosθや sinθも正の値の時とは違い正しいtan の式が導けないと思いました。というのも負の値の長さは存在しないためです。
No.59932 - 2019/07/16(Tue) 21:12:50
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 今回は正の値だけではなく、負の値(座標のcosθ)などが入るため、
「座標のcosθ」がどこに入るのですか？
図形的に線分の長さの比で考えるのに「座標」は関係ないと思いますが。

もしかして、その考え方でDFは負でsinθ：cosθ=1：DFなどと考えているのですか？
もしそう考えているならば大間違いです。
No.59934 - 2019/07/16(Tue) 21:20:43
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
はい、cosθも、それにより導かれたDF(1/tan θ)も負と考えています。
するとtan(θ- dθ)の加法定理は正の値の時のみでしか成り立たないのですか？
もしそうならばとんでもない間違いをしていました。
No.59935 - 2019/07/16(Tue) 21:25:53
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> はい、cosθも、それにより導かれたDF(1/tan θ)も負と考えています。
それは大間違いです。
Dの「x座標」は負、Fの「x座標」は0ですが
DFはDとFとの距離ですから負ということはあり得ません。
もしDFが負だとしたとき、例えば直線OFに関してDと対称な点をD'としたときに
DD'はどうなるのですか？おかしいと思いませんか？

> するとtan(θ- dθ)の加法定理は正の値の時のみでしか成り立たないのですか？
これも意味不明です。
加法定理は正負どちらでも成り立ちます。
これとDFの正負とは関係ありません。
No.59937 - 2019/07/16(Tue) 21:32:43
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
返信遅くなりました。
tanθの加法定理tan(θ- dθ)についてわかってきました。
確かに正負どちらでも成り立ちます。
値が負の場合は正になるようにマイナスの符号を付けて、というかマイナスが付くように図を工夫して作り、その図からtan(θ- dθ)の式を作れば良いことがわかりました。
また、dθ＜０により−dθは正の値であり、角度の大きさとして使えるためNo.59901の図をひっくり返した図を作れば良いことがわかりました。なのでもう一度　比の計算を用いて解いてみます。
No.59944 - 2019/07/17(Wed) 01:43:58
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
図だけ完成したのですが、合っているでしょうか？
どうか確認よろしくお願いします。
No.59950 - 2019/07/17(Wed) 12:29:46
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
αを除いて合っているとは思いますが、
その図でtan(θ-dθ)の式を作っても意味がありません。
なぜなら、以前のtan(θ+dθ)の式は
「θ+dθの値を『正の方向から』θに近づけた時の式」
であり、今回のtan(θ-dθ)は単にdθを-dθに置き換えただけなので
「θ-dθの値を『正の方向から』θに近づけた時の式」
というのは変わっておらず、本質的にtan(θ-dθ)の式を求めていることにはなりません。
本当の意味でtan(θ-dθ)の式を求めたいのでしたら、
dθ＞0でtan(θ-dθ)にしないと意味がありません。

# dθ＜0でtan(θ-dθ)の式を求めるのは、
# dθ＞0でtan(θ+dθ)の式を求めるのと『全く同じ意味』ですから
# 単にdθを-dθに書き換えているだけであり、
# 新たに図を描いたり式を書いたりする作業は
# すべてdθを-dθに置き換える作業でしかありませんので、
# ただの時間の浪費です。
# さんざん「dθを-dθに置き換えているだけだから意味がない」と
# 書いているのですが、意味がないということがわかりませんか？

# それから、90°＜θ＜135°に制限するのも意味不明です。
# 90°＜θ＜180°で何の問題もありません。

# あと、図をわざわざ反転したのも意味不明です。
# 図の向きはどちらであっても、式の作成に何の影響もありません。
No.59951 - 2019/07/17(Wed) 13:25:13
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
形ばかりに囚われて本質の意味を全く理解できていませんでした。
らすかるさんのアドバイスを参考に新しい図を作りました。
多分正しいと思うのですが、斜線の三角形と比に出来る図形が見つかりません。他に展開の仕方はありますでしょうか？
No.59952 - 2019/07/17(Wed) 13:39:47
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
0°＜θ＜90°に対するtan(θ+dθ)の式を求めた図で
θの位置だけ変えれば良いはずです。
No.59955 - 2019/07/17(Wed) 13:59:53
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
＞＞以前、tan(α-β)の図を載せていましたよね？
それと同じでいいはずです。
あ、なるほどこちらの画像のようにすればいいのですね。
どうもありがとうございます。

ちなみに、dθ＜０として−dθと置いた場合、式の形はtan(θ-dθ)となりますが、本質はtan(θ+dθ)となるため式の形はtan(θ-dθ)ですが、tan(θ+dθ)を計算した時と同じ結果が導けるのでしょうか？
No.59956 - 2019/07/17(Wed) 14:49:54
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> ちなみに、dθ＜０として−dθと置いた場合、式の形はtan(θ-dθ)となりますが、
> 本質はtan(θ+dθ)となるため式の形はtan(θ-dθ)ですが、tan(θ+dθ)を計算した時と
> 同じ結果が導けるのでしょうか？
この「同じ結果」が何を意味しているのかよくわかりませんが、
dθの符号にかかわらず
tan(θ+dθ)=(tanθ+dθ)/(1-tanθdθ)
tan(θ-dθ)=(tanθ-dθ)/(1+tanθdθ)
です。
No.59957 - 2019/07/17(Wed) 14:53:54
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
どうもありがとうございます。
式への理解が深まりました。
本当にどうもありがとうございました。
No.59960 - 2019/07/17(Wed) 17:52:06
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
らすかるさんが過去に図を反転しなくても解けるといった意味がわかってきました。
No.59961 - 2019/07/17(Wed) 19:14:53
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
なるほど、図形では角度θは正の値のままとは、
正の値の座標や角度のみで図を作った後に、正の値のみで出来た図であるため図形のように扱えて自由に回転したり、ひっくり返せるためま「図形では角度θはどこでも正の値」言えたわけですね！
正しいですか？
No.59962 - 2019/07/17(Wed) 20:11:21
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> なるほど、図形では角度θは正の値のままとは、
> 正の値の座標や角度のみで図を作った後に、正の値のみで出来た図であるため
> 図形のように扱えて自由に回転したり、ひっくり返せるためま「図形では
> 角度θはどこでも正の値」言えたわけですね！
> 正しいですか？

イマイチ正しくありません。
まるで「正の値の座標や角度のみで図を作った」から
「正の値のみで出来た図」になるような書き方をされていますが、
座標が負の第3象限で作っても長さや角度は常に正ですし、
図は常に「正の値のみで出来た図」です。
何度も書いているように、「図の長さや角度は座標（平面上の
どこにどういう向きであるか）とは関係ありません」。
No.59965 - 2019/07/18(Thu) 03:53:32
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
どうもありがとうございます。
ちなみに、90°<θ<180°でのcosθ,sinθの時のtanの加法定理の式が求められたという事でしょうか？
No.59991 - 2019/07/20(Sat) 02:44:56
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
先ほど計算したところ、90°<θ<180°でのcosθ,sinθの時のtanの加法定理の式から負の傾きが導けたのですが、正しいのでしょうか。
No.59992 - 2019/07/20(Sat) 03:13:28
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
すいません。計算ミスをしていました。傾きは正です。

ちなみに、座標として求める場合は左は負の値が入っているため、正の値にした右の図から式を作りますが、この場合、導かれたtanの加法定理の式は正になりますが、右の図の傾きがわかったということでしょうか？
左の図の90°＜θ＜180°での座標での傾きは負なのに、右の図の傾きが正なので、左の図の90°＜θ＜180°での傾きを求めたわけではないのかなと疑問があります。
No.59993 - 2019/07/20(Sat) 03:46:40
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
何のために、何を求めるために負の座標を含む（cosθ、sinθ）をわざわざ右の図のように正の座標にして傾きを求めたのかわからなくなってきました。
というのも左の図の傾きを求めるならば、そのまま図を作るなり式を作るなりすれば良いと考えたためです。
それとも単純に左の座標を正にした場合の傾きを求めるために右の図のようにしただけなのでしょうか。
0°＜θ＜90°の時は単純に傾きを求めるだけだったのに。
No.59994 - 2019/07/20(Sat) 04:47:52
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
「座標として求める」は意味不明ですし、その他の質問も意味不明です。
元々tan(θ±dθ)の式を『図形で』求めているのですから、
『座標』は関係ありません。
座標のどこに作図しようと、「長さ」と「角度」は変わりませんので、
座標は全く関係ありません。
『座標は関係ない』と今までさんざん書いていますが、
何回書けばわかるのですか？

例えば一辺2の正三角形ABCを
A(0,0)、B(2,0)、C(1,√3)となるように座標平面に置くと
∠CAB=60°ですが、
A(0,0)、B(1,-√3)、C(2,0)となるように座標平面に置いた時は
∠CAB=-60°になる、とでも思っているのですか？
No.59996 - 2019/07/20(Sat) 06:19:42
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 傾き
無条件に「tanθは傾きを表す」と考えているのであれば、それは間違いです。
まずその間違った考え方を捨てて下さい。
tanθを傾きと関連付けて考えるならば、
「xy平面上で直線y=0を、直線上のある点を中心として
　反時計回りにθ回転させた直線の傾きがtanθ」
と正確に覚えましょう。
この条件を考えれば、tanθの傾きを表しているのは
左の図の原点と(cosθ,sinθ)を通る半直線だけとわかります。

それから、角度には向きがありませんし
直線が回転運動しているわけでもないのに
図中のθに矢印を付けるのは間違いです。
図形で、θは「どこを起点として終点までの角度がθ」ではなく
「端点を共有する2つの半直線に挟まれた角度がθ」であり
角度に向きはありません。
「角度はいつも反時計回り」のような変な思い込みを一つずつ捨てていかないと、
いつまで経っても正しく理解できませんよ。
（角度に向きがあるのは、上に書いた「tanθと傾きの関係」のような
　特別な場合だけであり、一般の図形の角度に向きはありません。）
No.59997 - 2019/07/20(Sat) 07:16:39
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
すいません。長さとして見た場合で改めて質問します。
長さとした場合、左の図での傾きではなく、右の図においての傾きを求めるためにtanθの加法定理を導いたということでしょうか？
No.60001 - 2019/07/20(Sat) 12:05:37
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます。
私の考えは間違っていました。
正しく理解するためにお時間を頂きます。
それまでしばしお待ちください。
No.60002 - 2019/07/20(Sat) 12:20:02
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
確認として、この図の時の傾きは-tanθ(正)、なので加法定理では-tan(θ+dθ)や-tan(θ-dθ)となるので良いですよね？
No.60003 - 2019/07/20(Sat) 12:48:49
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> この図の時の傾きは-tanθ(正)、なので加法定理では
> -tan(θ+dθ)や-tan(θ-dθ)となるので良いですよね？
そうなりますね。
No.60005 - 2019/07/20(Sat) 13:30:54
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます！らすかるさん。
60003での図の時の傾きは-tanθなので-tanθ=-sinθ/cosθとなるのでしょうか？
でも、だとすると両辺に-1を掛けるとanθ=sinθ/cosθとなるのでなんだか違うように思えるのですが、60003での図の時の傾きを正しくtanθ、sinθ、cosθを用いて表すとどうなりますか？
No.60026 - 2019/07/21(Sun) 01:40:25
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
-tanθ=-sinθ/cosθで合っています。
両辺に-1を掛ければtanθ=sinθ/cosθでこれも正しいです。
No.60027 - 2019/07/21(Sun) 02:06:16
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます。
ちなみに、NO60003の図に少し間違いがあると思うのですが、座標はC（-cosθ、sinθ）というよりC（sinθ、-cosθ）と思いました。まあ図形で長さで解くので座標は存在しないのであんまり深く考えるだけ無駄ではあります。
No.60031 - 2019/07/21(Sun) 17:24:54
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 座標はC（-cosθ、sinθ）というよりC（sinθ、-cosθ）と思いました。
違います。
C(-cosθ,sinθ)で正しいです。
No.60034 - 2019/07/21(Sun) 18:58:33
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます。
ちなみに、なぜC(-cosθ,sinθ)なのでしょうか？
No.60037 - 2019/07/22(Mon) 12:53:46
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
原点から右に-cosθ、上にsinθ行ったところだからです。
逆に、なぜC(sinθ,-cosθ)と思ったのか知りたいです。
No.60039 - 2019/07/22(Mon) 13:46:21
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
＞＞逆に、なぜC(sinθ,-cosθ)と思ったのか知りたいです
これに関しては私の完全な勘違いでした。
どうもありがとうございました。
No.60045 - 2019/07/22(Mon) 19:34:52
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ちなみに、らすかるさんの図形で解くやり方は90°<θ<180°というθの範囲で、座標を長さとして見るために- cosθと横の長さを置いたのですね。
もし違うならば- cosθと置いた理由をより深く教えてください。
No.60057 - 2019/07/23(Tue) 10:47:39
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 座標を長さとして見るために- cosθと横の長さを置いたのですね。
最初から「座標」とは考えていません。
∠Bが鈍角である△ABCでAから直線BCに垂線AHを下ろすと
BH=-cos∠Bとなることから、-cosθです。
この考え方に「座標」は出てきませんね。
最初から「鈍角の三角比」で考えています。
それから、「-cosθと横の長さを『置いた』」のではありません。
そのような図にすると必然的に-cosθに『なる』ということです。
No.60074 - 2019/07/24(Wed) 00:13:18
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
なるほど、ありがとうございます。
ちなみに、-cosθのマイナスの符号は単純に負の値であるcosθを正の値にするため持ってきたものではないと以前に言っていましたが、マイナスの符号がどのようにしてcosθのところへやってきたか詳しい経緯はあるのでしょうか。
No.60080 - 2019/07/24(Wed) 01:52:27
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> -cosθのマイナスの符号は単純に負の値であるcosθを
> 正の値にするため持ってきたものではないと以前に言っていましたが
そう言った記憶はありませんので、もし言っていたとしたら
どういうニュアンスだったのかも記憶にありません。

以前θ+α=180°となるようにαを描いていましたよね。
それを使って書けば
(長さ)=cosα=cos(180°-θ)=-cosθ
ですから、結果的にマイナスが付きます。
これは「負の値だからマイナスを付けた」という意味ではないですね。
No.60081 - 2019/07/24(Wed) 07:59:31
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
理解できました。どうもありがとうございます。
そこで思い出したのですが、過去に載せたα＜45°、90°＜θ＜135°の時の図は間違っていることがわかりました。
（まあ、今回の問題で必要ないですが、何が間違っていたのかだけははっきりさせたいです。）

α＜45°、90°＜θ＜135°の時
(長さ)=sinα=sin(90°-θ)=cosθ（赤い線）
(長さ)=cosα=cos(90°-θ)=sinθ（青い線）
となると思います。そこからtanの式を展開するとしたらα＜45°、90°＜θ＜135°の時の場合のtanの式が得られるだけ。
ってことは、らすかるさんと共に解いてきたtanの加法定理は90°＜θ＜180°の時にしか成り立たないということではないかと思いました。
No.60088 - 2019/07/24(Wed) 14:12:41
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> α＜45°、90°＜θ＜135°の時
> (長さ)=sinα=sin(90°-θ)=cosθ（赤い線）
> (長さ)=cosα=cos(90°-θ)=sinθ（青い線）
> となると思います。
なりません。
θに具体的な値を入れて確認して下さい。
No.60089 - 2019/07/24(Wed) 14:20:21
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
代入してみます。θ=120°として
cosθは正の値で、sinθは負の値となり図と矛盾しています。何が間違っていたのでしょうか。角度の計算は正しかったと思うのですが。
ちなみに、
(長さ)=sinα=sin(90°-θ)=cosθ（赤い線）
(長さ)=cosα=cos(90°-θ)=sinθ（青い線）の計算は間違っていましたか？サイトを参考にしたのですが間違っていたらすいません。
No.60090 - 2019/07/24(Wed) 15:21:44
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
α=90°-θと考えているところが間違いです。
θとαの関係式をきちんと考えてみて下さい。

# 正しくない時は、すぐに「どこが間違いか」を質問せずに
# 自分で地道に一つ一つの変形などが正しいかどうかを
# 確認すべきです。
# 自分の間違いが自分でわからないようでは、
# いつまで経っても数学ができるようになりません。
# また、式変形の確認時は「具体値を代入」すれば
# ほとんど自分で発見可能です。
# cosα=sin(90°-θ)も、αに60°、θに120°を代入すれば
# ここがおかしいことはすぐにわかります。
No.60091 - 2019/07/24(Wed) 15:53:52
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
的確な指摘ありがとうございます。
大変お恥ずかしい間違いをしていました。
符号のミスをするなんて。
α=90°-θではなくα=θ-90°でした。
なので元の画像の座標で合っています。
すなわち、α＜45°、90°＜θ＜135°の範囲で導かれたtanの式は90°＜θ＜180°の図から導かれた式と（θの対応できる範囲が違うだけでtanの式は同じとわかりました。）
ですが、なぜ同じ式なのでしょうか？
まあ、角度の範囲が違うだけで被っているθの範囲でのtan(θ+dθ)が変わるとは考えられないためしっくりきますが、数学的になぜ同じなのかということを突き止めたかったです。90°＜θ＜180°の範囲で式が変わらないのだから、θが網羅している90°＜θ＜135°（α＜45°）でも成り立つに決まっていると言われればそうとしかいえません。
No.60092 - 2019/07/24(Wed) 16:10:32
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
60088のような図では「α＜45°」という制限はありませんね。
ですから45°≦α＜90°でも成り立って当然で、
「なぜ同じ式」という質問がなぜ出てくるのかわかりません。
No.60093 - 2019/07/24(Wed) 16:14:07
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます。
あれ、60088って角度αの位置が違うためα＜45°、90°＜θ＜135°となると思うのですが。
なんにしてもαによってθがどんな範囲にしてもtanの加法定理の式は成り立つとわかりました。
いつもいつも本当にありがとうございます。
No.60094 - 2019/07/24(Wed) 16:21:53
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 角度αの位置が違うためα＜45°、90°＜θ＜135°となると思うのですが。

そんな理由で「α＜45°」という制限がつくことはありません。
「αの位置でα＜45°となる」というのは完全な間違いです。
実際、60088の図でもう少しαを大きくしてα=60°ぐらいの図にはできますよね？

# 以前ある図で「α＜45°」という制限があったのは、
# その図で本質と関係ない変なところにαがあったからです。
# その図でも余計なαを削除すれば「α＜45°」という制限はなくなります。
No.60095 - 2019/07/24(Wed) 17:04:04
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
あ、なるほど、思い出しました。
ってことはθの制限は90°＜θ＜135°ではなく90°＜θ＜180°となると思うのですが、正しいでしょうか？

また、60088の図でもtanの式が導けましたが、要は60088の図からでも式が導けるわけですね！
No.60131 - 2019/07/25(Thu) 17:51:15
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
あくまでθ（90°＜θ＜180°）とdθ（dθ＞０）という条件でのtanの式を求めたかっただけなのでαがθに影響したりしないならばαが60088や過去の59438での図のようであっても構わないと思っています。
No.60132 - 2019/07/25(Thu) 17:57:40
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
先程、α<45°で90°<θ<135°の図からtanの式を導いたところとりあえず導けましたが、範囲は90°<θ<135°での近似の式であり、90°<θ<180°の時の式とわからないので普通に90°<θ<180°の時の式を使います。
No.60133 - 2019/07/25(Thu) 18:34:59
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
画像を載せ忘れました。
No.60134 - 2019/07/25(Thu) 18:36:08
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> θの制限は90°＜θ＜135°ではなく90°＜θ＜180°となると思うのですが、正しいでしょうか？
正しいです。

> 60134
この図です。この図ではα≧45°のときに図の形が変わってしまうので
図からα＜45°という制限が生じてしまいます。
No.60135 - 2019/07/25(Thu) 20:22:33
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
間違っていなくてよかったです。
ありがとうございます。
なるほど、くどくて申し訳ないのですが、過去に送ったNo.60132やNo.60133の認識は正しいですか？
No.60136 - 2019/07/25(Thu) 20:29:00
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
両方とも意味がよくわかりませんでした。
No.60142 - 2019/07/25(Thu) 21:50:20
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
ありがとうございます。
ちなみに、らすかるさんのやり方に関して、座標が(cosθ,sinθ)としても長さは-cosθとsinθです。しかし、その座標をy軸に対照的に取った場合の座標は(-cosθ,sinθ)で長さは-cosθとsinθです。
って事は-tanの加法定理はどちらからも求められるのですか？
No.60151 - 2019/07/26(Fri) 00:46:32
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
私は以前から
「座標は関係ない。図は左右反転しても証明には何の影響も与えない」
「従って同じ図をわざわざ左右反転しても何の意味もない」
と「何度も」書いていますよね。
ですから座標が(cosθ,sinθ)だろうが(-cosθ,sinθ)だろうが、
あるいは90°回転して(sinθ,cosθ)になっていようと、どの場合でも
長さは-cosθとsinθで同じですから、証明は一字一句全く同じになります。
図の向きや表裏で証明が変わることはありません。
（わざわざ「座標は○○」などと必要ないことが書いてあれば別ですが）
No.60152 - 2019/07/26(Fri) 04:27:58
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
どうもありがとうございます。
なるほど、長さ-cosθ,sinθから-tanの加法定理の式を導いて、
tanの加法定理とする事で90°<θ<180°(座標cosθ,sinθの)でのtanの加法定理が導けるのですね！
正しいでしょうか。
No.60155 - 2019/07/26(Fri) 14:19:54
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
「(座標cosθ,sinθの)」が余計ですが、
それがなければ正しいです。
何度も言っているように、座標は関係ありません。
No.60156 - 2019/07/26(Fri) 14:33:20
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
なるほど、確かに座標が無くても長さ-cosθ,sinθから-tanの加法定理の式が正に値なので、図より90°<θ<180°でのtanの加法定理（負の値）となるほは必然ですからね。
らすかるさんの解き方がより深く理解できました。
座標は図にもいらないし、計算にもいらないですからね。
考えは正しいでしょうか？
No.60157 - 2019/07/26(Fri) 15:00:50
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
座標がなくても式と図から-tan の加法定理は正とわかるので、tan の加法定理は負とわかる。そして、- tanの加法定理は左側の上向の斜辺を表すため、tan (θ± dθ)は右側の下向きの斜辺を表すとわかるため座標がなくても求めたいものがわかるわけですね！
No.60158 - 2019/07/26(Fri) 15:48:56
☆ Re: 展開の過程。 / らすかる
> 考えは正しいでしょうか？
おっしゃる意味がよくわかりませんので、
正しいかどうかも判断できません。

> - tanの加法定理は左側の上向の斜辺を表すため、
どういう意味かよくわかりませんが、
一般的にはtanは縦辺と横辺の比であって、斜辺は表しません。

# これ、ずっと続けるんですか？
# いいかげん終わりにしたいんですが。
No.60160 - 2019/07/26(Fri) 19:52:16
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
わかりにくくてすいません。
ここで終わりにします。
ありがとうございました。
No.60165 - 2019/07/26(Fri) 23:47:11
☆ Re: 展開の過程。 / マーク42
度々すいません、最後に一つだけお聞きしたいのですが、
今回の求め方以外で90°＜θ＜180°の時のtanの加法定理の式の求め方はないのでしょうか？
ないならば今回の式を使わせて頂きます。
No.60176 - 2019/07/27(Sat) 18:20:24
★ (No Subject) / たけまる
⑴の意味がわかりません。詳しく教えてください
No.59884 - 2019/07/15(Mon) 19:26:57
☆ Re: / GandB
　部分集合と重複順列の関わり方がわからなければ
「重複順列 部分集合」
で検索。
No.59885 - 2019/07/15(Mon) 19:33:00
☆ Re: / たけまる
集合A Bがあってはじめて、部分集合じゃないんですか？
No.59888 - 2019/07/15(Mon) 20:45:15
☆ Re: / ＩＴ
「部分集合」を教科書で確認してください。
No.59889 - 2019/07/15(Mon) 20:55:20
☆ Re: / たけまる
この問題、教えてください
No.59892 - 2019/07/15(Mon) 21:37:11
☆ Re: / ＩＴ
(1)の問題の意味が分からないということは「部分集合」の意味が分からないということだと思ったので、「「部分集合」を教科書で確認して下さい」と言ったのですが、

集合Ａ＝{a,b,c,d} の部分集合　の例を１つ書いてみて下さい。

Ａの部分集合のうち　要素数が最小のものと　最大のものを書いてみてください。

Ａの部分集合のうち　要素数が１のものをすべて書いてみて下さい。
No.59893 - 2019/07/15(Mon) 21:41:17
★ (No Subject) / 数楽
解答2の一文目なのですが、Ay[~ならばEx]

のようにyが〜ならばxが存在するとなる理由がわかりません。

どうしてxが存在条件として表されているのかということと、
AyならばExという順番になる理由もわからないので教えてください。
No.59879 - 2019/07/15(Mon) 14:24:12
☆ Re: / X
質問が意味をなしていません。

解答2の一文目は、問題文の
＞＞xが任意の〜すべての値を取り得る
を論理記号で表したものに過ぎません。
つまり、解法2は
一文目の命題が成り立つような
kの値の範囲を求める
ために一文目を同値変形しているだけで
一文目の命題は「成立していることを仮定」
しています。
No.59881 - 2019/07/15(Mon) 14:57:45
☆ Re: / 黄桃
とりあえず、kを定数として、
「xの関数f(x)=x^2-2kx が、値１をとる」
とはkの条件としてどのように書けるのか理解しましょう。

ちなみに、答は
「∃x (x^2-2kx=1)」（または、∃x (f(x)=1)）
です。
この1をyにして、-1より大きいyすべてについて述べたものが質問されている論理記号でかいた条件です。

これもわからないのであれば、
xの関数g(x)=x^2-2x が値１をとる
という命題が正しいかどうかどうやって判定するか考えましょう。

いずれもわからないのであれば、しばらくは解答2の方法は考えない方がいいでしょう。
No.59902 - 2019/07/16(Tue) 02:18:11
★ ガウス記号の扱い / ダビデ
x≧1ならば[x]≧1　と言えますか？またその逆も成り立つでしょうか。成り立つ気がするんですが論証できません。よろしくお願いします。
No.59875 - 2019/07/15(Mon) 13:48:55
☆ Re: ガウス記号の扱い / ＩＴ
言えます。
逆も成り立ちます。
No.59876 - 2019/07/15(Mon) 14:01:02
☆ Re: ガウス記号の扱い / ＩＴ
x≧1ならば[x]≧1である｡
（証明）
x≧1 のとき　1はxを超えない整数である
　定義により[x]はxを超えない最大の整数である。
　よって[x]≧1。


[x]≧1ならばx≧1である｡
（証明）
定義により[x]はxを超えない最大の整数である。
よって[x]≦x
したがって　[x]≧1　のとき　x≧[x]≧1 ∴x≧1
No.59878 - 2019/07/15(Mon) 14:11:11
☆ Re: ガウス記号の扱い / らすかる
もし定義と同値である不等式
x-1＜[x]≦x
を使ってよいのであれば、
1≦xのとき0≦x-1＜[x]で[x]は整数なので1≦[x]
1≦[x]のとき1≦[x]≦xから1≦x
と簡潔に示せますね。
No.59882 - 2019/07/15(Mon) 14:59:18
☆ Re: ガウス記号の扱い / ＩＴ
f(x)=[x] が増加関数であることを認めれば
x≧1ならば[x]≧[1]＝1
No.59883 - 2019/07/15(Mon) 15:20:22
☆ Re: ガウス記号の扱い / ダビデ
ITさん、らすかるさん、ありがとうございます。大変勉強になりました。
No.59891 - 2019/07/15(Mon) 21:20:45
★ 確率・統計の問題(2次元分布) / なんきち
2点質問がございます。
確率変数Yの定義域がXに依存しているところが引っかかってる原因だと思います。
?@以下の問題に対する私の答案はあっていますか？
?A私はYの周辺分布の密度関数のyの定義域を0〜1/2とました。(全確率1にするため)これはあっていますか？あっているとしたらすごいしっくりこないんで解説をお願いしたいです…。またこの定義域を求める一般形まで教えてくれると助かります。
No.59874 - 2019/07/15(Mon) 12:46:00
☆ Re: 確率・統計の問題(2次元分布) / 黄桃
とりあえず、f(x,y)=1 となるような点(x,y)をxy平面上に図示しましょう。その領域の面積が1でなければそもそもおかしいですよね。
その上で、(2)を(1)と同じように計算しましょう（というわけで、(2)は誤りです；おっしゃるように、確率の合計が2なのはおかしいです）。
同じよう、というのは、yを固定した時 f(x,y)>1となるようなxの範囲で積分する、ということです。

領域が、よくわからなければ、xの符号で場合分けして考えましょう。
No.59900 - 2019/07/16(Tue) 02:08:02
★ 解説お願いします / やっほうほう
解説お願いします。
No.59873 - 2019/07/15(Mon) 10:54:22
★ (No Subject) / かぬ
行列の問題です。解き方を教えてください、お願いします。
No.59870 - 2019/07/15(Mon) 01:48:37
☆ Re: / X
↑PQ,↑PRを求めることができれば、後は
高校数学の範囲です(計算は煩雑ですが)。
よって、それ以降の∠QPR、△PQRの面積の
ベクトルを使う求め方については
高校数学の参考書などで該当の項目を
復習してもらうということで、
ここでは↑PQ,↑PRの求め方について。

ケーリー・ハミルトンの定理により
A^2-A=O
∴A^2=A (A)
となるので
A^3=A・A^2=A・A=A^2=A (B)
(E-A)^2=E-2A+A^2=E-A (C)
(B)より
↑OQ=A↑OP (D)
(C)より
↑OR=(E-A)↑OP
=↑OP-A↑OP
=↑OP-↑OQ (E)
(D)より
↑PQ=↑OQ-↑OP
=A↑OP-↑OP
=…
(E)より
↑PR=↑OR-↑OP
=-↑OQ
=-A↑OP
=…
No.59872 - 2019/07/15(Mon) 09:53:38
☆ Re: / かぬ
ありがとうございます！
No.59910 - 2019/07/16(Tue) 12:47:20
★ (No Subject) / PUNK
Gを行列
3 0
1 5
で表される線形写像とする。Aを半径10の内部とするとき、G(A)の面積は何になるか？

上記の問題が解けません。解説お願いします。
No.59865 - 2019/07/14(Sun) 22:04:05
☆ Re: / PUNK
すいません、自己解決しました
No.59866 - 2019/07/14(Sun) 22:10:38
★ 数列 / ななし
どのような流れでいくのか教えて欲しいです。
よろしくお願いします
No.59864 - 2019/07/14(Sun) 21:16:21
☆ Re: 数列 / ＩＴ
(1) を解くと、すべての配置パターンが分かるので
配置パターン間の遷移を調べれば、見えてくるのでは？

出来るだけ同一視して,少ないパターンに分類します。
ＰからＱへの道のりは、常に偶数です。（ＰからＱへの最短の道のりは0か2です。）
No.59867 - 2019/07/14(Sun) 22:10:44
☆ Re: 数列 / ななし
（3）はどのようにしたらいいのか教えて貰えますか？
No.59869 - 2019/07/14(Sun) 23:15:39
☆ Re: 数列 / ＩＴ
(1)(2) の解を書き込んでみてください。
No.59871 - 2019/07/15(Mon) 05:38:43
★ tan の式について。 / マーク42
らすかるさん、もう一度チャンスを頂けないでしょうか。
画像の図からtan(θ- dθ)について解いたところ独特な形の式になりました。
これは90°<θ<135°、a<45°という範囲でのtan の式であるため、教科書に書いてあるようなtan(θ- dθ)の式ではなく、90°<θ<135°、a<45°の範囲のみで使える式が出来ただけなのでしょうか？
No.59863 - 2019/07/14(Sun) 19:44:40
☆ Re: tan の式について。 / らすかる
「独特な形の式」が書かれていないのでわかりません。
No.59868 - 2019/07/14(Sun) 22:44:32
☆ Re: tan の式について。 / マーク42
ありがとうございます。
もう一度考え直します。
No.59886 - 2019/07/15(Mon) 20:38:43
☆ Re: tan の式について。 / マーク42
図を少し変化させて90°<θ<135°、a<45°の図から、正しいtan(θ- dθ)が導けました。
すなわち、90°<θ<135°、a<45°と135°≦θ<180°、a<1°の時はどちらの角度の範囲の場合でもtan(θ- dθ)の式は同じとわかりました。
どうもありがとうございます。
No.59896 - 2019/07/15(Mon) 23:34:31
★ (No Subject) / めめ
物理の電位の説明で、ここで言ってることが全く理解できないのですがどういうことでしょうか？
No.59856 - 2019/07/14(Sun) 12:33:49
☆ Re: / めめ
この説明から、E=V/d(として良い)までは分かります。が、1枚目の、|接線の傾き|=電場の強さ、や、d→0としたときのV/dは〜、などが全くもって理解不能です。
No.59857 - 2019/07/14(Sun) 12:38:01
☆ Re: / めめ
ごく単純に、通常なら、|V/d|=電場の強さ[d→0]、そして接近した2点間なら、|V/d|=電場の強さ、という事なのでしょうか
No.59858 - 2019/07/14(Sun) 12:41:55
☆ Re: / X
違います。

添付写真二枚目の右下のグラフのように
電位の、位置を示すxに関するグラフが
直線になる場合は、その直線の傾き、
つまり
V/d=電場の強さ
となります。

それに対し、添付写真一枚目のように
電位の、位置を示すxに関するグラフが
曲線になる場合は、近接した二点間を
直線に近似して考えることで、近似した
直線の傾き、つまり
V/d≒電場の強さ
となります。
ここでd→0とすると、近似した直線は
電場の強さを考える点における電位を
示すグラフに関する接線となり、
電場の強さはその接線の傾きとなる、
ということです。
No.59860 - 2019/07/14(Sun) 14:39:00
☆ Re: / めめ
回答ありがとうございます。

>ここでd→0とすると、近似した直線は
電場の強さを考える点における電位を
示すグラフに関する接線となり、
電場の強さはその接線の傾きとなる、
ということです。

曲線グラフであれば、V/d[d→0]にすれば、それが電場の強さ、[d→0]がなければただの近似的な電場の強さ、という事ですか？
No.59861 - 2019/07/14(Sun) 15:43:40
☆ Re: / GandB
　電位のグラフの左半分は
　　V(x) = -kQ/x
で表される双曲線なのだから、電位の図の説明にある
　　d→0 としたときの V/d
とは、微小な距離 dx では V(x) を直線近似できるという微分の精神で考え
　　E(x) = dV/dx = lim[Δx→0]ΔV/Δx
のことだと解釈する。
　つまり、非一様な電場においても、「微小な距離dxに限り」dx を d、dV を V に置き換えれば
　　E(d) = V/d
という一様電場の式が使える。E(d)は一定なので改めて定数Eで置き換えると
　　V(d) = Ed.
No.59862 - 2019/07/14(Sun) 15:47:44
★ 支配方程式について / LD
以下の問題を解くことができません。解き方がわかる方、教えてくださると幸いです。
(相図については大まかなイメージを教えてくださるだけでもありがたいです。)

個体群に発生する自象中毒の動態について考える。個体数をy(t)とすると、支配方程式は次のように与えられる。

dy/dt=(a-?甜0~t]y(t)dt)y

ここで、累積個体数をx(t)とおくと、

x(t)= ?甜0~t]y(t)dt

すなわち、

y(t)=dx/dt

したがって、もとの方程式は、

(d/dt)*(dx/dt)=(a-x)*dx/dt=a*(dx/dt)-x(dx/dt)

となるが、

(d/dt)*{(x^2)/2}=x(dx/dt)

に注意すれば方程式ではtで積分できる。

dx/dt=ax-(x^2)/2+C ※Cは積分定数

初期個数値をy0とおけばx(0)=0なので、上式のC=y0と知れる。よって、

dx/dt=y0+ax-(x^2)/2

すなわち、

y=y0+ax-(x^2)/2


下記の4問が問題です。

(1) dy/dx=0を与えると、そのときのyの値を求めよ。

(2) y=0となるときのxの値を求めよ。ただし、x>0のものを選べ。

(3) 以上の情報を頼りに、横軸にx、縦軸にyをとって相図を描け。

(4)相図を解釈せよ。
No.59852 - 2019/07/14(Sun) 06:38:40
☆ Re: 支配方程式について / ＩＴ
相図は知りませんが。

(1)は微分すればよいのでは？　(2) は２次方程式を解けばよいのでは？
No.59855 - 2019/07/14(Sun) 12:04:06
★ 下の問題の解き方を教えてください / PUNK
Rを(1,2),(1,5),(3,2),(3,5)を頂点とする長方形とする.
Gを行列
2 1
-1 3
で表される線形写像とする.G(R)の面積を求めよ.


解説はついてないですが、答えは42になっています.
No.59851 - 2019/07/14(Sun) 04:39:01
☆ Re: 下の問題の解き方を教えてください / GandB
　　(1,2),(1,5),(3,2),(3,5)
をGで線形変換すると
　　A(4,5), B(7,14), C(8,3), D(11,12).

　　AB↑= OB↑- OA↑= (3,9).
　　AC↑= OC↑- OA↑= (4,-2).
　　AD↑= OD↑- OA↑= (7,7).

　　(1/2)ABS( det(AB↑,AC↑) ) = (1/2)ABS(-6-36) = 21.
　　(1/2)ABS( det(AC↑,AD↑) ) = (1/2)ABS(28+14) = 21.
　　∴求める面積は42.
No.59854 - 2019/07/14(Sun) 10:34:56
☆ Re: 下の問題の解き方を教えてください / PUNK
ありがとうございます
理解できました
No.59859 - 2019/07/14(Sun) 13:50:06
★ プログラミング？数学？ / 文系人
1番わかりません...
お願いします。
No.59848 - 2019/07/13(Sat) 20:34:25
☆ Re: プログラミング？数学？ / ＩＴ
授業名（講義名）は何ですか？

プログラミングで求めるべきかどうかは、授業で説明があったのでは？　
何のヒントもなしにこのような課題が出ることはないと思います。講義テキスト・ノートを確認してください。

「微分可能な（整式以外の関数）」は、適当に選んで評価するのだと思います。

下記など参考にされるといいかと思います。

https://na-inet.jp/nasoft/chap15.pdf
No.59853 - 2019/07/14(Sun) 07:10:57
★ 正三角形が正方形に内接する条件 / Qちゃん
Oを原点とするxy平面上に1辺の長さ1の正三角形ABCがある。頂点Aは第1象限にあり、頂点B、Cはそれぞれy軸、x軸の正の部分にあるものとする。∠OCB=θとする。Oを頂点の一つとし、正三角形ABCに外接する正方形の1辺の長さが最小になるときのθの値を求めよ。

A(sin(θ+30°),sin(θ+60°))、B(0,sinθ)、C(cosθ,0)と求めました。このあとどうすればいいのかわからないです。B、Cはy軸、x軸上にあるので、あとはAが正方形上にある条件を考えればいいとは思うのですが、どうやればいいのかわからないです。

よろしくお願いします。
No.59844 - 2019/07/12(Fri) 20:05:23
☆ Re: 正三角形が正方形に内接する条件 / らすかる
正方形の一辺の長さは
sin(θ+30°),sin(θ+60°),sinθ,cosθ
のうち最大のものになりますね。
cosθ=sin(θ+90°)とすれば
sinθ,sin(θ+30°),sin(θ+60°),sin(θ+90°)
のうち最大のものです。
30°の等間隔であり、最大がsin90°から最も遠いときに
最大の値が最小になりますので、上記4つのうち連続する二つが
sin(90°-15°)とsin(90°+15°)になっている時に
正方形の一辺の長さが最小になります。
よってθ=15°、45°、75°のとき最小となりますね。

# 上の説明でわかりにくければ、
# y=sinθ、y=sin(θ+30°)、y=sin(θ+60°)、y=sin(θ+90°)
# の4つのグラフを重ねて描いて考えてみて下さい。
No.59845 - 2019/07/12(Fri) 20:35:29
☆ Re: 正三角形が正方形に内接する条件 / Qちゃん
すみません、何点か質問させてください。

正方形の1辺の長さはsinθ、cosθ、sin(θ+60°)、sin(θ+30°)のうち最大のものと一致するとのことですが、これはA、B、Cのx座標、y座標のうち最大のものが正方形の1辺の長さになるということなのだと思いますが、例えば、Bが正方形上にあるとき(sinθが最大のとき)、Aも正方形上にあることは保証されているのでしょうか？BやCは正方形上にあったとしても、必ずしもAも正方形上にあるとはいえないように思うのですが…

最大がsin90°から最も遠いとき最大は最小になるとは、0°＜θ＜90°ではsinθは単調増加なので、角度最小のとき、sinは最小になり、1辺が最小になるということなのでしょうか？

連続する二つが、sin(90°-15°)とsin(90°+15°)になっているとき正方形の1辺は最小になるとのことですが、ここが一番わからないです。15°はどこから出てきたのですか？どうしてこれらのとき正方形の1辺は最小になるのですか？θ=15°、45°、75°はどこから出てきたのですか？
No.59849 - 2019/07/14(Sun) 00:22:57
☆ Re: 正三角形が正方形に内接する条件 / らすかる
> 例えば、Bが正方形上にあるとき(sinθが最大のとき)、Aも正方形上にあることは
> 保証されているのでしょうか？BやCは正方形上にあったとしても、必ずしもAも
> 正方形上にあるとはいえないように思うのですが…

そのような保証は全くありません。
問題文の「外接」の意味をどう捉えるかですが、この問題文の「外接」は
「正三角形の全頂点が正方形に接している」という意味ではなく、
「正三角形の頂点のうち少なくともBとCが正方形に接している」
（を満たす最小の正方形）という意味だと思います。
そう考えないと、例えばθ=1°のときに「外接する正方形」が存在せず、
「外接する」⇔「正方形の一辺が最小」となってしまうため、
「外接する正方形の1辺の長さが最小になる」という文が
意味をなさなくなってしまうためです。

# もし「外接」の「本当の」意味が「全頂点が接している」ならば、
# 問題不備と考えることもできます。

> 最大がsin90°から最も遠いとき最大は最小になるとは、0°＜θ＜90°では
> sinθは単調増加なので、角度最小のとき、sinは最小になり、1辺が最小になる
> ということなのでしょうか？

少し違います。
sinxは0°＜x＜90°で増加、90°＜x＜180°で減少なので
x=90°のときが最大で、xが90°から遠いほど小さくなる、という意味です。


> 連続する二つが、sin(90°-15°)とsin(90°+15°)になっているとき
> 正方形の1辺は最小になるとのことですが、ここが一番わからないです。
> 15°はどこから出てきたのですか？どうしてこれらのとき正方形の1辺は
> 最小になるのですか？θ=15°、45°、75°はどこから出てきたのですか？

具体的に考えるとわかりやすいと思います。
sinθ,sin(θ+30°),sin(θ+60°),sin(θ+90°)は
θ=1°のときsin1°、sin31°、sin61°、sin91°で最大はsin91°
θ=2°のときsin2°、sin32°、sin62°、sin92°で最大はsin92°
θ=3°のときsin3°、sin33°、sin63°、sin93°で最大はsin93°
・・・
θ=13°のときsin13°、sin43°、sin73°、sin103°で最大はsin103°
θ=14°のときsin14°、sin44°、sin74°、sin104°で最大はsin104°
θ=15°のときsin15°、sin45°、sin75°、sin105°で最大はsin75°＝sin105°
θ=16°のときsin16°、sin46°、sin76°、sin106°で最大はsin76°
θ=17°のときsin17°、sin47°、sin77°、sin107°で最大はsin77°
・・・
θ=43°のときsin43°、sin73°、sin103°、sin133°で最大はsin103°
θ=44°のときsin44°、sin74°、sin104°、sin134°で最大はsin104°
θ=45°のときsin45°、sin75°、sin105°、sin135°で最大はsin75°＝sin105°
θ=46°のときsin46°、sin76°、sin106°、sin136°で最大はsin76°
θ=47°のときsin47°、sin77°、sin107°、sin137°で最大はsin77°
・・・
θ=73°のときsin73°、sin103°、sin133°、sin163°で最大はsin103°
θ=74°のときsin74°、sin104°、sin134°、sin164°で最大はsin104°
θ=75°のときsin75°、sin105°、sin135°、sin165°で最大はsin75°＝sin105°
θ=76°のときsin76°、sin106°、sin136°、sin166°で最大はsin76°
θ=77°のときsin77°、sin107°、sin137°、sin167°で最大はsin77°
・・・
θ=88°のときsin88°、sin118°、sin148°、sin178°で最大はsin88°
θ=89°のときsin89°、sin119°、sin149°、sin179°で最大はsin89°
これをまとめると
sinθ、sin(θ+30°)、sin(θ+60°)、sin(θ+90°)のうち
0°＜θ＜15°のときsin(θ+90°)が最大で、最大値＞sin75°
θ=15°のときsin(θ+60°)とsin(θ+90°)が最大で、最大値＝sin75°
15°＜θ＜45°のときsin(θ+60°)が最大で、最大値＞sin75°
θ=45°のときsin(θ+30°)とsin(θ+60°)が最大で、最大値＝sin75°
45°＜θ＜75°のときsin(θ+30°)が最大で、最大値＞sin75°
θ=75°のときsinθとsin(θ+30°)が最大で、最大値＝sin75°
75°＜θ＜90°のときsinθが最大で、最大値＞sin75°
となります。
つまりy=sinxのグラフを考えてx=θ、θ+30°、θ+60°、θ+90°に対する
yの値を考えたとき、その4つの中の最大値が最も小さくなるのは
θ、θ+30°、θ+60°、θ+90°のどれも90°からなるべく遠いとき、すなわち
θ、θ+30°、θ+60°、θ+90°が30°間隔なので
この4つのうち2つが75°と105°（=90-15°と90+15°）のときです。
よって最大値が最小となるのは
θ+60°=75°、θ+90°=105°のときθ=15°
θ+30°=75°、θ+60°=105°のときθ=45°
θ=75°、θ+30°=105°のときθ=75°
となります。
No.59850 - 2019/07/14(Sun) 03:10:46
☆ Re: 正三角形が正方形に内接する条件 / Qちゃん
ありがとうございました。
No.60182 - 2019/07/27(Sat) 20:00:19
★ (No Subject) / K
一定の長さの針金で長方形を作る時、大学生の長さが最小になるのは正方形であることを示せ。
相加平均とかはまだ習っていません。
出来れば至急お願いします！
No.59839 - 2019/07/12(Fri) 17:52:52
☆ Re: / K
大学生ではなく対角線です
No.59840 - 2019/07/12(Fri) 17:53:58
☆ Re: / らすかる
針金の長さを4lとして長方形の中心を原点、辺を軸と平行となるように
xy平面に長方形を置くと、各象限の針金の長さはlですから
長方形の頂点は|x|+|y|=l上にあることになります。
（第1象限だけ考え、x+y=l上にあると考えてもよい）
対角線の長さは|x|+|y|=l上の点から原点までの距離の2倍なので、
最短となるのは長方形の頂点が
原点から|x|+|y|=lに下ろした垂線の足のときで、
このとき頂点は(±l/2,±l/2)になりますので
正方形となります。
No.59841 - 2019/07/12(Fri) 18:08:14
☆ Re: / 関数電卓
長さ 2a (一定) の針金で長方形を作るとします。
長方形の一辺を x とするともう一辺は a−x で、対角線の長さ L は L＝√{x^2＋(a−x)^2} です。
L が最小となるとき L^2 も最小ですから、
　L^2＝2x^2−2ax＋a^2＝2(x−a/2)^2＋a^2/2≦a^2/2
で、L^2 は x＝a/2 のとき最小値 a^2/2 となり、L は最小値 a/√2 となります。
このとき、もう一辺は a−a/2＝a/2 ですから、求める長方形は 正方形 です。
No.59843 - 2019/07/12(Fri) 18:16:15
★ (No Subject) / 数楽
この問題で、ωを代入して
あまりが0になることで必要十分条件になっているみたいなのですが、なぜそうなるのかがわかりませんでした

(x-ω)(x-ωバー)を因数に持つことを示して必要十分だと思ったのですが、ωを代入してあまりが０になるとき、ωバーの方は自明と言って良いのですか？
No.59836 - 2019/07/12(Fri) 10:20:42
☆ Re: / 数楽
京大2003年のf(x)=(x100+1)100+(x2+1)100+1 は x2+x+1 で割り切れるか。です
No.59837 - 2019/07/12(Fri) 10:21:57
☆ Re: / らすかる
式に虚数を含まない方程式f(x)=0が虚数αを解に持つとき、
複素共役のα~も必ず解に持ちます。
No.59838 - 2019/07/12(Fri) 10:54:32
★ (No Subject) / あたま➗➗
すみません
当方大学生なのですが統計学の質問をしてもよろしいでしょうか？
No.59826 - 2019/07/11(Thu) 20:31:37
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