この問題が何をやっているかわかりません。
どなたか教えていただけますか？
」の部分までは理解しています。
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No.59409 - 2019/06/22(Sat) 17:25:34
| ☆ Re: / X | | | まず
x=u+v (A)
と置いた上で
u^3+v^3=-1 (B)
uv=-1 (C)
なるu,vが求められれば、それらを
(A)に代入することで問題の
三次方程式の解の一つが求められる
ことはよろしいですか？
(つまり添付写真の「」の中の要約ですが。)
ここで更に1の三乗根のうちの虚数であるものの
一つをωとして
x=ωu+(ω^2)v (A)'
と置くと(B)(C)と同様にして
(ωu)^3+{(ω^2)v}^3=-1 (D)
(ωu){(ω^2)v}=-1 (E)
なるu,vが求められれば、(A)'も問題の三次方程式の
解となります。
が、ここで
ω^3=1
であることから「(D)(E)は(B)(C)と等価」になります。
同様に
x=(ω^2)u+ωv (A)"
と置いたときも、u,vが満たすべき方程式は
やはり(B)(C)となります。
以上から
x=u+v,ωu+(ω^2)v,(ω^2)u+ωv
は、もし(B)(C)を満たすu,vが存在すれば
問題の三次方程式の解となります。
添付写真の後半部分のtの二次方程式云々の部分は
(B)(C)をu,vの連立方程式として解く上で
二次方程式の解と係数の関係を使っている過程に
なっています。
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No.59411 - 2019/06/22(Sat) 17:52:03 |
| ☆ Re: / 棚田 | | | Xさんありがとうございます。
流れは理解したのですが、(c)と(d)のところで質問があります。
(g)と(h)の部分から
u^3=(g) (=α とおく), v^3=(h) (=β とおく)
u=α^(1/3), α^(1/3)ω,α^(1/3)ω^2
v=β^(1/3), β^(1/3)ω,β^(1/3)ω^2
が得られて、(u,v)の組み合わせは3*3=9通りあると思うのですが、
このうち?Aを満たすその組は
{u,v}={β^(1/3), α^(1/3)},{α^(1/3)ω,β^(1/3)ω}
,{α^(1/3)ω^2,β^(1/3)ω^2}の3通りしかないからとやって、
逆算をして(c)と(d)の答えを自分は求めたのですが、
これを問題の誘導の順番通りにはどのように求めるのでしょうか？
解説は(c),(d)のところはなく、答えだけの記述しかありませんでした。
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No.59414 - 2019/06/22(Sat) 19:59:39 |
| ☆ Re: / X | | | 例えば(c)を埋める形の解を置くとき
x=ωu+gv
(gは定数)
とでもしておきましょうか。
これを問題の三次方程式に代入して整理をすると
?Aと似たような式である
(ωu)^3+(gv)^3=-1 (P)
(ωu)(gv)=-1 (Q)
が得られます。
これらが?Aと等価であるためには
(Q)より
ωg=1
∴g=1/ω=(ω^3)/ω=ω^2
となります。
(d)の場合も同様です。
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No.59415 - 2019/06/22(Sat) 21:38:06 |
| ☆ Re: / 棚田 | | | No.59453 - 2019/06/24(Mon) 17:32:32 |
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