自然数 n に対して、3^n を 2^n で割った余りを a[n] とする。
数列 {a[n]} (n=1,2,3,...) は有界か。
という問題を以下のように考えてみたのですが、合っているでしょうか？
もし有界であると仮定すると、ある自然数mがあって、すべてのnに対して a[n] ≤ m となる。
3^n を 2^n で割った商の整数部分を q[n], 小数部分を d[n] とおくと
(3/2)^n = q[n] + d[n] そして 3^n = q[n] 2^n + a[n] だから d[n] = a[n]/2^n 。
a[n] ≤ m だから n→∞ のとき d[n] ≤ m/2^n → 0。
したがってある自然数 N があって n ≥ N であるすべての n に対して d[n] < 1/3 が成り立つ。
ここで s を奇数として q[N] = (2^k)s と表したとき、すべての i ≥ 0 に対して、i ≤ k ならば
q[N+i] = (3/2)^i q[N]
d[N+i] = (3/2)^i d[N]
が成り立つことを帰納法で示す。
i = 0 のときは明らか。
i < k のときは、帰納法の仮定から
(3/2)^{N+i} = q[N+i] + d[N+i] = (3/2)^i q[N] + (3/2)^i d[N]
だから
(3/2)^{N+i+1} = (3/2)^{i+1} q[N] + (3/2)^{i+1} d[N]
だが、i+1 ≤ k だから (3/2)^{i+1} q[N] は整数、そして
(3/2)^{i+1} d[N] = (3/2) d[N+i] < (3/2)(1/3) = 1/2 < 1 だから
q[N+i+1] = (3/2)^{i+1} q[N]
d[N+i+1] = (3/2)^{i+1} d[N]
となって帰納法完了。
このことから
q[N+k] = (3/2)^k q[N] = (3/2)^k (2^k)s = (3^k)s
(3/2)^{N+k} = q[N+k] + d[N+k] = (3^k)s + d[N+k]
だけど (3^k)s は奇数だから
(3/2)^{N+k+1} = (3/2)((3^k)s - 1) + 1 +
1/2 + (3/2) d[N+k]
において (3/2)((3^k)s - 1) + 1 は整数、そして
1/2 + (3/2) d[N+k] < 1/2 + (3/2)(1/3) = 1
だから
q[N+k+1] = (3/2)((3^k)s - 1) + 1
d[N+k+1] = 1/2 + (3/2) d[N+k]
となる。ところが 1/2 + (3/2) d[N+k] > 1/3 だから
d[N+k+1] > 1/3 となってこれは矛盾。
したがって {a[n]} は有界ではない。
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No.86153 - 2023/08/06(Sun) 16:45:57
| ☆ Re: 余り / 黄桃 | | | 書き方がわかりにくいですが、内容自体は合っていると思います。
Nを決めた後、
n>N において、
q[n]が偶数の時、q[n+1]=(3/2)*q[n], d[n+1]=(3/2)d[n]
q[n]が奇数の時 q[n+1]=q[n]+(q[n]-1)/2, d[n+1]=1/2+(3/2)d[n] (>1/3)
であるから、すべてのn>Nに対して、q[n]は偶数、でなければならない。
したがって、n>Nならばq[n+1]=(3/2)q[n], d[n+1]=(3/2)d[n] を満たすがこれは矛盾
（d[n]≠0よりd[n]→∞といってもいいし、q[n]は全ての2^kで割り切れるからq[n]=0といってもいい）
くらいの方がわかりやすいかと。
＃素朴な疑問として、このレベルの問題に挑戦するのに、解答が
＃正しいかどうかを人に聞かねばわからぬのが不思議です。
＃＃あっちにも投稿しているので回答を控えようと思いましたが、
＃＃あっちの回答がちょっと変なので仕方なくコメントしました。
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No.86163 - 2023/08/08(Tue) 22:42:49 |
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