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★ 順列の総和と積分 / 星屑
画像の等式が成り立つことを示せたのですが，これは有名なものでしょうか？
No.59130 - 2019/06/12(Wed) 20:01:26
☆ Re: 順列の総和と積分 / 関数電卓
左辺は部分積分を繰り返して n/e になりますが、右辺もそうなるのですか？
No.59131 - 2019/06/12(Wed) 20:50:30
☆ Re: 順列の総和と積分 / X
>>関数電卓さんへ
左辺の定積分の下限を0と間違えて計算していませんか？
No.59134 - 2019/06/12(Wed) 21:02:24
☆ Re: 順列の総和と積分 / ＩＴ
関数電卓さんへ＞
> 左辺は部分積分を繰り返して n/e になります

間違いでは？

星屑さんへ＞
∫[0..∞](x^n)e^(-x)dx = n! は有名式ですね。
差分の∫[0..1](x^n)e^(-x)dx が有名かですが、手持ちの数冊のテキストでは出てきません。
No.59138 - 2019/06/12(Wed) 21:15:31
☆ Re: 順列の総和と積分 / 関数電卓
失礼しました。積分の下端は 1 でやりましたが、途中計算を間違いました。
左辺を f(n) とすると、f(n)＝nf(n−1)＋1/e　になるようです。
この f(n)、一般項が出せそうですが、これからやってみます。
左辺の積分を Wolfram 入れてみたら、不完全ガンマ関数 Γ(n,1) だと出てきました。ベータ関数とは何らかの関係がありそう。
No.59139 - 2019/06/12(Wed) 21:25:56
☆ Re: 順列の総和と積分 / ast
不完全ガンマで、Γ(n+1,1) の値ということですかね. 有名値なのかはよく知りませんが, 星屑さんご自身が書かれているように, ガンマとよく似た漸化式があるので, ひとつわかれば芋蔓式に出てくることになるのかと.

参考: ウィキペディア日本語版
　　: Wolfram Alpha でいくつか計算してみた
　　: ウィキペディア英語版には質問と同じ内容の式が書いてあるっぽい
No.59140 - 2019/06/12(Wed) 21:32:10
☆ Re: 順列の総和と積分 / ＩＴ
∫[0..1](x^n)e^(-x)dx は下記に出てますね。
e が無理数であることの証明 ［1997 大阪大・理（後）］

https://izu-mix.com/math/?p=205
No.59141 - 2019/06/12(Wed) 21:55:50
★ (No Subject) / しめさば
数列の質問
k=1からnまでのΣ(n+1-k)ak=(n+1)^3-1
を満たすときanの一般項を求めよ
No.59126 - 2019/06/12(Wed) 11:09:42
☆ Re: / まうゆ
与式をsnとおく
s1=(1+1-1)a1=a1=2^3-1=7
n≧2の時
sn-s(n-1)=(n+1-n)an=an=(n+1)^3-1-((n-1+1)^3-1)=3n^2+3n+1
これはa1=7も満たす
∴an=3n^2+3n+1
No.59128 - 2019/06/12(Wed) 14:15:42
☆ Re: / X
横から失礼します。
>>まうゆさんへ
s[n]=Σ[k=1〜n](n+1-k)a[k]
と置いたのであれば
s[n-1]=Σ[k=1〜n-1](n-k)a[k]
なので
s[n]-s[n-1]=(n+1-n)a[n]
とはならないのでは？

Σ[k=1〜n](n+1-k)a[k]=(n+1)^3-1 (A)
とします。
Σ[k=1〜n]a[k]=S[n]
Σ[k=1〜n]ka[k]=T[n]
と置くと(A)は
(n+1)S[n]-T[n]=(n+1)^3-1 (A)'
よってn≧2のとき
S[n]-S[n-1]=a[n] (B)
T[n]-T[n-1]=na[n] (C)
により(A)'から
na[n]+S[n]-na[n]=3n^2+3n+1
∴S[n]=3n^2+3n+1 (D)
(A)より
a[1]=7 (E)
ゆえ(D)はn=1のときも成立。
よってn≧2のとき(B)(D)より
a[n]=6n (F)
となるので(E)(F)をまとめて
a[1]=7,a[n]=6n(n≧2のとき)
No.59129 - 2019/06/12(Wed) 18:36:18
☆ Re: / まうゆ
確かにそうでした
失礼しました
No.59159 - 2019/06/13(Thu) 10:32:19
★ (No Subject) / PUNK
上方をz=xで、下方をz=x^2+y^2で区切られる領域の体積を教えていただきたいです。
極座標で0<=r<=1, -π/2<=θ<=π/2, の範囲でrcosθ-r^2を積分するのだと思いましたが、答えがあいません。
答えはπ/32になっていますが、解説はついておりません。
No.59118 - 2019/06/12(Wed) 01:35:49
☆ Re: / X
積分範囲、被積分関数ともに間違えています。

まず、被積分関数にヤコビヤンが付いていません。
(r^2)cosθ-r^3
を積分します。

次に積分範囲ですが、rの積分範囲が間違っています。
問題の積分範囲の境界は
z=x^2+y^2
と
z=x
からzを消去した
x=x^2+y^2
つまり
x≧x^2+y^2
が積分範囲となります。
これを極座標変換してもう一度考えてみましょう。
No.59122 - 2019/06/12(Wed) 07:04:12
☆ Re: / PUNK
ありがとうございます
解けました！
No.59127 - 2019/06/12(Wed) 13:07:46
★ (No Subject) / パパイヤ鈴木
矢印までの計算がよくわかりません。どうやったらこうなるんでしょうか。解説よろしくお願いいたします
No.59110 - 2019/06/11(Tue) 20:51:27
☆ Re: / らすかる
7^nは「n個の7を掛け合わせたもの」
7^(n-1)は「n-1個の7を掛け合わせたもの」です。
(n個の7を掛け合わせたもの)
＝7×(n-1個の7を掛け合わせたもの)
ですね。
No.59113 - 2019/06/11(Tue) 21:34:54
★ (No Subject) / モンゴル
この問題について質問があります。

画像のA+Bの最小値を考える時、
Aをaの式にして平方完成し、Bをpの式にして平方完成して、
AとBがそれぞれ最小値になるときはA+Bが最小値になるので、
そのときのaとpの値を求めて、そのほかの文字も全て求めて、そして、得られた数値をf(x)、g(x)に代入して問題が要求する式を求めましたが答えが違ってました。

これは、aとpが独立変数じゃないからこのやり方ではよくなくて、何か一つの文字に統一する必要があるということでしょうか？

次のレスでノートの画像をのせます。
No.59098 - 2019/06/11(Tue) 17:43:23
☆ Re: / モンゴル
わかりづらいと思いますが、最初の画像のAをaの式で平方完成、Bをpの式で平方完成し、それぞれAとBが最小になるaとpを求め、ほかの文字も求めました。
No.59099 - 2019/06/11(Tue) 17:46:52
☆ Re: / まうゆ
1個目の条件でr=cが出ているので
pをaを用いて表してaで平方完成すれば出ます
それぞれで求めてたまたまr=cならそれが答えになります
No.59102 - 2019/06/11(Tue) 18:16:28
☆ Re: / ＩＴ
まうゆ　さんが書いておられることと同じですが
f'(0)=g'(0) ですから　f(x)とg(x)は独立ではないですね。

モンゴルさんが求めたf(x),g(x)はf'(0)=g'(0) を満たしません。
No.59103 - 2019/06/11(Tue) 19:17:52
☆ Re: / 関数電卓
> Aをaの式にして平方完成し、Bをpの式にして平方完成して、
> AとBがそれぞれ最小値になるときはA+Bが最小値になるので、

↑これ、違います。
No.59104 - 2019/06/11(Tue) 19:39:03
☆ Re: / モンゴル
皆さんありがとうございます。
式や変数が独立かどうかしっかり考えるようにします。

とても勉強になりました。
No.59108 - 2019/06/11(Tue) 19:54:59
★ (No Subject) / 紫色
定点 A(-7/2,0) P(cosθ,sinθ)がある
このとき、AP に平行な直線かつ 単位円に接する直線をLとし
Lと単位円の接点Qを求めよ。
No.59093 - 2019/06/11(Tue) 16:49:59
☆ Re: / 紫色
どなたかお願いします。高校3年です。
No.59094 - 2019/06/11(Tue) 16:50:37
☆ Re: / まうゆ
APの傾きはsinθ/(cosθ+7/2)
よって求める直線は定数aを用いて
sinθx-(cosθ+7/2)y+a=0と書ける
これと原点の距離が1になるaを求めて連立方程式を解けばいい
No.59100 - 2019/06/11(Tue) 17:47:54
★ 微分/大一 / Fラン大学生
問2.24.の(2),(3)のやり方が分からないので、詳しく教えて下さい。また、誤差の評価もお願いします。
No.59088 - 2019/06/11(Tue) 11:11:09
★ 二つの式は同じ値なのか、ほぼ同じ値なのか。 / マーク42
lim dθ→0{cos(θ+dθ)-cosθ｝/｛(θ+dθ)-θ｝と
lim dθ→0{cosθ-cos(θ+dθ)｝/｛θ-(θ+dθ)｝は同じ式ではないですが、お互い同じ値を導けますか。それともほぼ同じ値が導けますか？
No.59084 - 2019/06/11(Tue) 02:17:27
☆ Re: 二つの式は同じ値なのか、ほぼ同じ値なのか。 / まうゆ
同じ式なので同じ値です(分母分子に(-1)/(-1)をかける)
No.59086 - 2019/06/11(Tue) 06:52:53
☆ Re: 二つの式は同じ値なのか、ほぼ同じ値なのか。 / マーク42
どうもありがとうございます！
では、lim dθ→0{cos(θ+dθ)-cosθ｝/｛(θ+dθ)-θ｝と
lim dθ→0{cosθ-cos(θ-dθ)｝/｛θ-(θ-dθ)｝は同じ式ではないですが、お互い同じ値を導けますか。それともほぼ同じ値が導けますか？
No.59089 - 2019/06/11(Tue) 16:09:44
☆ Re: 二つの式は同じ値なのか、ほぼ同じ値なのか。 / まうゆ
微分可能なら連続よりdθは+からも-からも0に近づけられるので同じ値です
No.59123 - 2019/06/12(Wed) 07:10:49
★ (No Subject) / マーク42
cos(α-dθ)はcosθと同じ座標をが表しているので=にできないのですか？
同じ理由でcosαはcos(θ+dθ)と=にできるのですか？
No.59079 - 2019/06/11(Tue) 01:08:46
☆ Re: / マーク42
こちらが画像です。
No.59080 - 2019/06/11(Tue) 01:34:28
☆ cosθの置き換えに関してです。 / マーク42
すいません、件名をつけ忘れました。
No.59081 - 2019/06/11(Tue) 01:35:16
☆ Re: / マーク42
先ほどの質問にいくつかの間違いがありました。

以下に正しい物を書きます。
ちなみに、次の画像の場合は
cos(α+dθ)はcosθと同じ座標をが表しているので=にできないのですか？
同じ理由でcosαはcos(θ+dθ)と表せますか？
No.59082 - 2019/06/11(Tue) 01:53:40
☆ Re: / マーク42
cos(α-dθ)はcosθと同じ座標をが表しているので=にできないのですか？
同じ理由でcosαはcosθと表せますか？
No.59083 - 2019/06/11(Tue) 01:56:11
☆ Re: / まうゆ
1,2枚目はどちらも可能
3は後半は可能
前半は同じ座標を表していないのでできない
No.59087 - 2019/06/11(Tue) 07:00:39
☆ Re: / マーク42
どうもありがとうございます！
No.59079とNo.59080は間違えで、
No.59082とNo.59083は正しいということでしょうか？
No.59090 - 2019/06/11(Tue) 16:13:20
☆ Re: / まうゆ
No.59083のcos(α-dθ)とcosθは角度が一致してないので間違いということです
もちろん残りを=で結ぶ時θ,180°-θの関係になっているので
-が付きます
No.59124 - 2019/06/12(Wed) 07:21:48
★ (No Subject) / 蓮
これ証明付きで解いてくださいお願いします
わりかしむずいらしいです。
No.59078 - 2019/06/11(Tue) 01:00:20
☆ Re: / らすかる
ax+by+cz=1 … (1)
ax^2+by^2+cz^2=2 … (2)
ax^3+by^3+cz^3=6 … (3)
ax^4+by^4+cz^4=24 … (4)
ax^5+by^5+cz^5=120 … (5)
ax^6+by^6+cz^6=720 … (6)
ax^7+by^7+cz^7=t … (7)

(1)×xyz-(2)×(xy+yz+zx)+(3)×(x+y+z)-(4)から
xyz-2(xy+yz+zx)+6(x+y+z)=24 … (7)
(2)×xyz-(3)×(xy+yz+zx)+(4)×(x+y+z)-(5)から
xyz-3(xy+yz+zx)+12(x+y+z)=60 … (8)
(3)×xyz-(4)×(xy+yz+zx)+(5)×(x+y+z)-(6)から
xyz-4(xy+yz+zx)+20(x+y+z)=120 … (9)
(4)×xyz-(5)×(xy+yz+zx)+(6)×(x+y+z)-(7)から
xyz-5(xy+yz+zx)+30(x+y+z)=t/24 … (10)

(7)-(8)×2+(9)からx+y+z=12
(7)-(8)にx+y+z=12を代入してxy+yz+zx=36
(7)にx+y+z=12とxy+yz+zx=36を代入してxyz=24
これらを(10)に代入して 24-5×36+30×12=t/24
∴t=4896なのでax^7+by^7+cz^7=4896


ちなみにx+y+z=12,xy+yz+zx=36,xyz=24からx,y,zが求められ、
それを(1)(2)(3)に代入して連立方程式を解くとa,b,cが求められます。
具体値はx＜y＜zとすると
x=4-4cos(2π/9)=8(sin(π/9))^2
y=4-4cos(4π/9)=8(sin(2π/9))^2
z=4-4cos(8π/9)=8(sin(4π/9))^2
a=1/4+(2√3/9)sin(4π/9)
b=1/4-(2√3/9)sin(π/9)
c=1/4-(2√3/9)sin(2π/9)
となり、この値を代入すると確かに(1)〜(6)が成り立って
ax^7+by^7+cz^7=4896になります。
No.59085 - 2019/06/11(Tue) 04:15:38
☆ Re: / 蓮
答え違います。

答えは7！＝5040となります
実はこれ方程式の右辺が1！2！3！...7！となっているらしいですだから数列で解くらしいのですが、その解き方がわかりません
No.59114 - 2019/06/11(Tue) 22:25:27
☆ Re: / らすかる
いいえ、違いません。
上の解をあてはめて確認していますので、4896で間違いありません。
5040と書いてあったのなら、その答えが間違いです。
↓証拠
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%5E2%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%5E2%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29%5E2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%5E3%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%5E3%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29%5E3
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%5E4%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%5E4%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29%5E4
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%5E5%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%5E5%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29%5E5
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%5E6%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%5E6%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29%5E6
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F4%2B2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%284pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%28pi%2F9%29%29%5E2%29%5E7%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%28pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%282pi%2F9%29%29%5E2%29%5E7%2B%281%2F4-2%2Asqrt%283%29%2F9%2Asin%282pi%2F9%29%29%2A%288%28sin%284pi%2F9%29%29%5E2%29%5E7
上記サイトだけでなく、電卓でも確認しています。


# 見にくいですが、https://で始まるURLが7個(1乗〜7乗)書いてあり、
# それぞれのリンクを開くと
# x=8(sin(π/9))^2, y=8(sin(2π/9))^2, z=8(sin(4π/9))^2,
# a=1/4+(2√3/9)sin(4π/9), b=1/4-(2√3/9)sin(π/9),
# c=1/4-(2√3/9)sin(2π/9)とした時の計算結果が表示されます。

# もし上のリンクが開けないのであれば、https://www.wolframalpha.com/ に行って
# 数式入力欄に
# (1/4+2*sqrt(3)/9*sin(4pi/9))*(8(sin(pi/9))^2)^7+(1/4-2*sqrt(3)/9*sin(pi/9))*(8(sin(2pi/9))^2)^7+(1/4-2*sqrt(3)/9*sin(2pi/9))*(8(sin(4pi/9))^2)^7
# などのように入力すれば結果が表示されます。
No.59115 - 2019/06/11(Tue) 23:30:03
☆ Re: / ＩＴ
らすかるさんの答えが正しいです。
らすかるさんの答えを少し書き方を変えて　確認してみました。

自然数nについて
f(n)=ax^n+by^n+c^n とおく

xyz-x(xy+yz+zx)+(x^2)(x+y+z)=x^3 より
(x^n)xyz-(x^(n+1))(xy+yz+zx)+(x^(n+2))(x+y+z) = x^(n+3) なので
　s=xyz,t=xy+yz+zx,u=x+y+z とおくと
　(x^n)s-(x^(n+1))t+(x^(n+2))u=x^(n+3)
これはxをy,zに置き換えても同様に成り立つ

よって　f(n)s-f(n+1)t+f(n+2)u=f(n+3)…(ア)

f(1)=1,f(2)=2,f(3)=6,f(4)=24,f(5)=120,f(6)=720 より
　1s-2t+6u=24
　2s-6t+24u=120,　2で割って,s-3t+12u=60
　6s-24t+120u=720,　6で割って,s-4t+20u=120
この連立方程式を解くと s=24,t=36,u=12

よって(ア)から　 f(7)=24s-120t+720u=4896

やってることはらすかるさんの答えを写しただけです。
御自分で検証されることをお勧めします。
No.59116 - 2019/06/12(Wed) 00:16:16
★ (No Subject) / チャート式
いつもありがとうございます。
少々見にくいですが、画像の右下が問題です。

ホワイトボードにあるのは問題の解答です。
画像の左下のペンで囲ったところの条件で、
f(0)>0の条件が必要ないのは、なぜですか？
No.59074 - 2019/06/10(Mon) 22:28:38
☆ Re: / チャート式
なお、問題(1)です。
No.59075 - 2019/06/10(Mon) 22:29:20
☆ Re: / まうゆ
解答の4行目のf(t)の式でt^2の係数が正なので下に凸なので
f(0)に条件を付けなくても>0が言えてます
もちろんf(0)>0をやってもいいです
No.59076 - 2019/06/10(Mon) 22:40:09
☆ Re: / チャート式
とても勉強になりました。ありがとうございます。
No.59092 - 2019/06/11(Tue) 16:49:41
★ (No Subject) / パパイヤ鈴木
矢印の部分に行くまでがわかりません。通分するところまではわかるのですが、上の1-の部分がどこに行ったのか、なぜマイナス3分の一なのかがよくわかりません。解説お願いします
No.59070 - 2019/06/10(Mon) 21:58:20
☆ Re: / ＩＴ
> 通分するところまではわかるのですが
わかるところまで　御自分で計算して書き込んでみてください。
No.59071 - 2019/06/10(Mon) 22:06:26
☆ Re: / パパイヤ鈴木
ここまでしかわかりません。
No.59109 - 2019/06/11(Tue) 20:47:10
☆ Re: / ＩＴ
分子の｛　｝を外して整理するとどうなりますか？
No.59111 - 2019/06/11(Tue) 21:07:58
★ 数学について。 / コルム
座標空間に4点A(1,0,1),B(-1,2,-5),C(-3,1,-5),D(-3,0,-3)をとる。
(1)AB→=p→,AD→=q→とおくとき、三角形ABDの面積は1/2√{|p→|•|q→|-(p→•q→)^2}に等しい事を示せ。
(2)点Cは、3点A,B,Dで定まる平面上にあることを示せ。
(3)四角形ABCDの面積を求めよ。
No.59064 - 2019/06/10(Mon) 20:02:51
★ 場合の数など / くるいさば
五種類の料理a,b,c,d,eから
a.同じ料理を何度でも注文でき、注文の順序の違いを区別する場合
b.同じ料理を何度でも注文でき、注文の順序の違いを区別しない場合
c.同じ料理は一度までしか注文できず、注文の順序の違いを区別する場合
d.同じ料理は一度までしか注文できないとして、注文の順序の違いを区別しない場合

これら四パターンはそれぞれ何通りか、やり方も含めお願いいたします。
量が多くてすみませんが、よろしくお願いいたします。
No.59059 - 2019/06/10(Mon) 19:31:39
☆ Re: 場合の数など / くるいさば
忘れていたので追記です。高専二年生です。
No.59060 - 2019/06/10(Mon) 19:33:50
☆ Re: 場合の数など / ＩＴ
a, b,何度でも注文できるということは、全部で何回注文するか分からないということですか？
No.59062 - 2019/06/10(Mon) 19:41:28
☆ Re: 場合の数など / くるいさば
す、すみません、抜けておりました……
注文できる数は3品となっております。
No.59063 - 2019/06/10(Mon) 19:55:21
☆ Re: 場合の数など / らすかる
a 各回5種類選べるので5×5×5=125通り
b 5個から3個を重複して選ぶ組合せなので5H3=35通り
c 1回目5種類、2回目4種類、3回目3種類なので5×4×3=60通り
d 5個から3個を選ぶ組合せなので5C3=10通り
No.59068 - 2019/06/10(Mon) 21:32:32
☆ Re: 場合の数など / くるいさば
らすかるさん、ありがとうございました。bが自分が解いたのと違っていたようで、勉強になりました。
ITさん、欠陥を指摘していただきありがとうございました。
No.59069 - 2019/06/10(Mon) 21:52:10
★ (No Subject) / モンゴル
この問題について、次のレスの画像の内容を解答に盛り込む意味はなんですか？

aで表された条件Bの不等式の判別式DについてD≦0とするだけじゃいけないんですか？

解答のpdfはこちらです。
https://www.densu.jp/tokyo/03tokyolpass.pdf
No.59051 - 2019/06/10(Mon) 17:56:12
☆ Re: / モンゴル
下に凸でD≦0ならば、f(-1)、f(1)は当然0より大きいし、軸の位置はどこでもいいと思うのです。
私何か勘違いしてるのでしょうか。

結局aの範囲を求めたいので、正確に図を書く必要ないと思うのですが。
No.59052 - 2019/06/10(Mon) 17:59:25
☆ Re: / ＩＴ
> 解答のpdfはこちらです。
> https://www.densu.jp/tokyo/03tokyolpass.pdf

と
>この問題について、次のレスの画像の内容を解答に盛り込む意味はなんですか？
の「次のレスの画像」の解答は、異なるものですよね？

> 下に凸でD≦0ならば、f(-1)、f(1)は当然0より大きいし
f(-1),f(1) とは？

モンゴルさんの考えている「必要十分な答案」を書き込んでみてもらえませんか？
No.59057 - 2019/06/10(Mon) 19:17:09
☆ Re: / らすかる
> 下に凸でD≦0ならば、f(-1)、f(1)は当然0より大きいし、軸の位置はどこでもいいと思うのです。
> 私何か勘違いしてるのでしょうか。

勘違いしています。
もし、軸の位置を調べて軸が-1≦x≦1の範囲にないことがわかったら、
D＞0でも成り立つのですから、D≦0という条件を付けることは誤りになります。
さらに、aによって軸が-1≦x≦1の範囲内になったり範囲外になったりする場合は、
「軸が-1≦x≦1の範囲内かつD≦0」または「軸が-1≦x≦1の範囲外」
のように求めなければなりません。
ですから、軸が-1≦x≦1の範囲にあるかどうかというのは重要な条件です。
「下に凸だからD≦0であればよい」というのは十分条件でしかありません。
No.59058 - 2019/06/10(Mon) 19:20:01
☆ Re: / モンゴル
>ITさん

ありがとうございます。
すみません。f(1)など意味不明な式を書きました。
aとxで表された条件Bの不等式を整理して左辺をg(x)と考えた時、
g(1)、g(-1)などが0より大きいことを書く必要がわからないと思いました。

軸が場合分けの要になることはわかりました。

>らすかるさん

軸が範囲内にあるかないかは大事だということはわかりました。ありがとうございます。

もう一回質問になるのですが、

計算して軸が範囲内にあるとしっかり求めた後、D≦0だけで式を進めるのはダメですか？軸が範囲内にあり、放物線が下に凸で、D≦0ならば、その放物線はx=1、-1のときどちらも0以上なのは明らかではありませんか？
No.59065 - 2019/06/10(Mon) 20:10:40
☆ Re: / らすかる
> 計算して軸が範囲内にあるとしっかり求めた後、D≦0だけで式を進めるのはダメですか？

ダメではありません。
そこまで求まればあとはD≦0だけです。
上のpdfでもそれは明記されていますし、
上の画像は続きがわかりませんが
その画像で「計算して軸が範囲内にあるとしっかり求め」ていて、
その後はおそらくD≦0で求めているのではないでしょうか。

# その画像は、「計算して軸が範囲内にあるとしっかり求め」ることを
# 丁寧に解説したものですよね。
No.59066 - 2019/06/10(Mon) 20:28:26
☆ Re: / モンゴル
そうです、画像はそのあとD≦0を求めています。

画像の上のg(1)、g(-1)>0は必要ないけど、詳しい解説のために書いてあると考えてもよろしいですか？(g(x)は判別式Dのもとになる放物線の方程式です)

必要なくても答案に書いといた方が丁寧ぐらいな認識で問題ないですか？
No.59072 - 2019/06/10(Mon) 22:11:05
☆ Re: / らすかる
> 詳しい解説のために書いてある
> 必要なくても答案に書いといた方が丁寧

そういう意味ではないと思います。
結果的にはなくても大丈夫ですが、
全く必要ないというわけでもありません。
例えばg(1)=0だとしたら
判別式など計算せずにf(x)が出せるわけで、
g(-1)とg(1)が正というのは
判別式を計算する根拠にはなっていますね。
No.59077 - 2019/06/11(Tue) 00:54:51
☆ Re: / モンゴル
>例えばg(1)=0だとしたら
判別式など計算せずにf(x)が出せるわけで、

すみません。これはどういう意味ですか？
No.59095 - 2019/06/11(Tue) 16:55:01
☆ Re: / らすかる
もし軸が範囲内にあってg(1)=0ならば
軸がx=1でなければならないので、
放物線がすぐに決まります。
No.59097 - 2019/06/11(Tue) 17:42:32
☆ Re: / モンゴル
よく分かりました。ありがとうございます。
ちゃんと調べるようにします。勉強になりました。
No.59107 - 2019/06/11(Tue) 19:52:38
★ 二次関数 / あ
解き方がわかりません。たぶん(1)がわかれば(2)も解けると思うのですが、まず面積が求められません。
解は(1)がS=4t^2＋4t＋52、(2)がQ(−5/2,19/4)のとき最小値51です。
No.59025 - 2019/06/10(Mon) 00:38:33
☆ Re: 二次関数 / X
(1)だけ解きますので(2)はご自分でどうぞ。

(1)
条件から
Q(t-2,(t-2)^2+(t-2)+1),R(t+6,(t+6)^2+(t+6)+1)
∴
↑PQ=(-2,(t-2)^2+(t-2)+1)
↑PR=(6,(t+6)^2+(t+6)+1)
整理をして
↑PQ=(-2,t^2-3t+3)
↑PR=(6,t^2+13t+43)
よって
↑PQ・↑PR=-12+(t^2-3t+3)(t^2+13t+43)
|↑PQ|=√{4+(t^2-3t+3)^2}
|↑PR|=√{36+(t^2+13t+43)^2}
となるので△PQRの面積をSとすると
S=(1/2)PQ・PRsin∠QPR
=(1/2)PQ・PR√{1-(cos∠QPR)^2}
=(1/2)|↑PQ||↑PR|√{1-{(↑PQ・↑PR)/{|↑PQ||↑PR|}}^2}
=(1/2)√{{|↑PQ||↑PR|}^2-(↑PQ・↑PR)^2}
=(1/2)√[{4+(t^2-3t+3)^2}{36+(t^2+13t+43)^2}-{-12+(t^2-3t+3)(t^2+13t+43)}^2]
=(1/2)√{36(t^2-3t+3)^2+4(t^2+13t+43)^2+24(t^2-3t+3)(t^2+13t+43)}
=√{9(t^2-3t+3)^2+(t^2+13t+43)^2+6(t^2-3t+3)(t^2+13t+43)}
=√{{3(t^2-3t+3)+(t^2+13t+43)}^2}
=|4t^2+4t+52|
ここで
4t^2+4t+52=4(t+1/2)^2+51＞0
∴S=4t^2+4t+52
No.59035 - 2019/06/10(Mon) 10:03:30
★ 行列の積 / せんとくん
6 6
2 2
-2 -2
で合ってますか？
No.59023 - 2019/06/10(Mon) 00:09:34
☆ Re: 行列の積 / せんとくん
3問目の問題の事です！！！！
No.59024 - 2019/06/10(Mon) 00:14:15
☆ Re: 行列の積 / まうゆ
あっています
No.59031 - 2019/06/10(Mon) 07:43:11
★ 単位行列！ / Starrrrrrr
この単位行列の問題3問の解答解説をお願いしますm(_ _)m
No.59012 - 2019/06/09(Sun) 23:13:44
☆ Re: 単位行列！ / まうゆ
どこが単位行列なのですか?
積の定義通りに計算すればいいです
No.59017 - 2019/06/09(Sun) 23:36:11
☆ Re: 単位行列！ / Starrrrrrr
3問目が分からないので解説をお願いします
No.59021 - 2019/06/09(Sun) 23:56:51
★ もしよかったらといてください！ / ゴンザレスジョンソンダンソンペイソン
x²±(x+y+z)
y²±(x+y+z)
z²±(x+y+z)
が全て平方数となるような、x.y.zの組みを求めよ。
No.59011 - 2019/06/09(Sun) 23:12:58
☆ Re: もしよかったらといてください！ / らすかる
x,y,zは自然数と勝手に仮定します。
x≧y≧zとすると
x^2＜x^2+(x+y+z)≦x^2+3x＜(x+2)^2なので
x^2+(x+y+z)=(x+1)^2
整理して x+1=y+z
このとき x^2-(x+y+z)=x^2-(x+x+1)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2
平方数を4で割った余りは0か1なので
(x-1)^2-2を4で割った余りは2か3となり、
(x-1)^2-2は平方数にならない。
従って条件を満たす自然数x,y,zは存在しない。
No.59019 - 2019/06/09(Sun) 23:48:51
★ (No Subject) / めめ
ここに書いてある、解説の方が理解できません。
1/(sinx)^3 を積分する時に、cosx=tと置いて何がどうなるのでしょう？？
No.59005 - 2019/06/09(Sun) 22:13:58
☆ Re: / まうゆ
(sinx)^2=1-(cosx)^2=1-t^2=(1-t)(1+t)としてsinxを置いておく
cosx=tの両辺をtで微分し整理
dx=dt/(-sinx)
これでまた(sinx)^2ができる
あとは略
No.59006 - 2019/06/09(Sun) 22:32:28
☆ Re: / めめ
それ以降が止まるのですが……
No.59007 - 2019/06/09(Sun) 22:35:23
☆ Re: / GandB
　　t = cos(x). dt = -sin(x)dx. dx = (-1/sin(x))dt.
　　∫1/sin^3(x) dx
　= ∫( 1/sin^3(x) )( -1/sin(x) )dt
　= -∫1/sin^4(x) dt
　= -∫1/( 1-cos^2(x) )^2 dt
　= -∫1/(1-t^2)^2 dt.

あとは気合いを入れて部分分数分解すれば計算できる。
No.59009 - 2019/06/09(Sun) 22:50:01
☆ Re: / めめ
本当に部分分数分解出来るものなんですか？絶対に不可能な気がするのですが、、
No.59013 - 2019/06/09(Sun) 23:16:45
☆ Re: / らすかる
1/(1-t^2)^2
=1/{(1+t)(1-t)}^2
=1/{(1+t)^2(1-t)^2}
=(1/4){(2+t)/(1+t)^2+(2-t)/(1-t)^2}
=(1/4){1/(1+t)+1/(1+t)^2+1/(1-t)+1/(1-t)^2}
のように分解できます。
No.59020 - 2019/06/09(Sun) 23:52:35
☆ Re: / 関数電卓
誘導にある、tan(x)＝t とおく。
なぜこのように置換するのか？
このことをじっくり追求することが、本問のような積分に馴れることの大きなポイントです。
No.59053 - 2019/06/10(Mon) 18:16:39
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