ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 角度zはどのように表せるか。 / マーク42

角度zはθやdxで表すとどのように表せますか？
ちなみに、右側のdθは-dθであっていますか？

No.59224 - 2019/06/15(Sat) 20:32:53

☆ Re: 角度zはどのように表せるか。 / マーク42

すいません。画像が少し違いました。
角度z,yはθやdθを使うとどのように表せますか？

No.59225 - 2019/06/15(Sat) 20:37:03

☆ Re: 角度zはどのように表せるか。 / らすかる

この図だけでは第１象限にある太い斜線の角度がわかりませんので、
x,y,zはどれも決まりません。
それと、角度に「dθ」と「-dθ」があるのはおかしいです。

No.59232 - 2019/06/16(Sun) 00:00:55

☆ Re: 角度zはどのように表せるか。 / マーク42

返信ありがとうございます！
＞＞それと、角度に「dθ」と「-dθ」があるのはおかしいです。
なぜ「dθ」と「-dθ」があるのはおかしいでのしょうか？
違うとは思いますが、「dθ」と「-dθ」は小さすぎるため図示できないとかでしょうか。
あるいは、微分を表していないためdθがあるのはおかしいということでしょうか？

どうかよろしくお願いします。

No.59242 - 2019/06/16(Sun) 04:10:26

☆ Re: 角度zはどのように表せるか。 / らすかる

図形上の角度に負の値はありません。
もし「dθ」が正の値ならば「-dθ」という角度はなく、
負の値ならば「dθ」という角度はありません。
「小さすぎる」とか「微分を表す」とかは全く関係ありません。

No.59244 - 2019/06/16(Sun) 04:31:31

☆ Re: 角度zはどのように表せるか。 / マーク42

返信ありがとうございます！
＞＞図形上の角度に負の値はありません。
ですが、時計回りに進み角度θにはマイナスが付きますが、
それは間違いなのでしょうか？
また、「dθ」が正の値の場合、時計回りに進む「dθ」は「—dθ」と表せないのでしょうか？

No.59302 - 2019/06/17(Mon) 23:13:22

☆ Re: 角度zはどのように表せるか。 / らすかる

> ＞＞図形上の角度に負の値はありません。
> ですが、時計回りに進み角度θにはマイナスが付きますが、
> それは間違いなのでしょうか？
負の角度があるのは、絶対的な回転の中心と0°となる基準方向があり、
その基準方向からの回転角度を考える場合であって、
少なくとも「tan(θ+dθ)」を図形的に求めるような、
静止状態で考える「図形」では、負の角度はありません。

> また、「dθ」が正の値の場合、時計回りに進む「dθ」は
> 「-dθ」と表せないのでしょうか？
この図形上で何かが「進む」わけではありませんので
角度に向きはありません。

例えば上の図でy=140°、z=150°、dθ=10°だったとすると
図からz=y+(-dθ)でなければならないはずなのに
成り立たないのはおかしいですね。
このように、一部分を負の角度にすると角度の足し算などの
図形の基本的な性質が成り立たなくなってしまいます。

# 例えば、4つの内角が「150°、140°、130°、-60°」である
# 四角形が描けるのですか？

No.59305 - 2019/06/18(Tue) 00:46:53

★ (No Subject) / δ

θは任意の値をとる。

この時、sin(cos θ) ≦ cos (sin θ) が成り立つことを示せ

お願いします。

No.59218 - 2019/06/15(Sat) 17:15:18

☆ Re: / ＩＴ

θは任意の実数値をとる　ですよね。
θは書き難いのでx と書きます。

-π≦x≦π　で　sin(cosx)≦cos(sinx) を示せばよい。
sin(cos(-x))=sin(cosx),cos(sin(-x))=cos(-sinx)=cos(sinx)
なので　0≦x≦π　で　sin(cosx)≦cos(sinx) を示せばよい。（簡単に分かりますが、実はsin(cosx)＜cos(sinx) です。）

0≦x≦π/2 で
　0≦sinx≦x≦π/2　要証明
　 cosxは0≦x≦π/2 で単調減少なので　cos(sinx)≧cosx
　また、0≦cosx≦1≦π/2なので　sin(cosx)≦cosx
　よって　sin(cosx)≦cos(sinx)

π/2 ≦x≦πで
　0≦sinx≦1＜π/2 　よって　cos(sinx)＞0
　-π/2＜-1≦cosx≦0　よって sin(cosx)≦0
　よって　sin(cosx)＜cos(sinx)

No.59222 - 2019/06/15(Sat) 18:44:53

☆ Re: / らすかる

この問題は昔解きましたが、その時の解法はＩＴさんの解法と同じでしたので
あらためて別の解き方を考えてみました。

{cos(sinθ)}^2-{sin(cosθ)}^2
={1+cos(2sinθ)}/2-{1-cos(2cosθ)}/2　（∵半角公式）
={cos(2sinθ)+cos(2cosθ)}/2
=cos(sinθ+cosθ)・cos(sinθ-cosθ)　（∵和積公式）
=cos((√2)sin(θ+π/4))・cos((√2)sin(θ-π/4))　（∵三角関数の合成）
＞0　（∵|(√2)sin(θ±π/4)|≦√2＜π/2）
から
cos(sinθ)=|cos(sinθ)|＞|sin(cosθ)|≧sin(cosθ)
（∵|sinθ|≦1＜π/2からcos(sinθ)＞0なのでcos(sinθ)=|cos(sinθ)|）

No.59226 - 2019/06/15(Sat) 20:41:09

☆ Re: / らすかる

cos(sinθ)-sin(cosθ)
=sin(π/2-sinθ)-sin(cosθ)
=2cos(π/4-sinx/2+cosx/2)・sin(π/4-sinx/2-cosx/2)
=2cos(π/4+cos(x+π/4)/√2)・sin(π/4-sin(x+π/4)/√2)
＞0　（∵0＜π/4+cos(x+π/4)/√2,π/4-sin(x+π/4)/√2＜π/2）
で良いそうです。

No.59251 - 2019/06/16(Sun) 12:51:38

★ (No Subject) / モンゴル

(2z+2i)/(z+2i)=z*
を満たす複素数zをすべて求めよ。（z*はzに共役な複素数）

という問題で、z=a+bi(a,b実数)、z*=a-biとし、そのあと与式の両辺をz+2iで払って整理したあと、zとz*にさっきの式を代入をし、複素数の相当を使って方程式を解いて答えを導きました。

私と同じ解き方をした人に対して画像のような指摘がありました。
これはどういうことでしょうか？分母を払うと同値性がくずれるのですか？複素数の話だけですか？

No.59208 - 2019/06/14(Fri) 23:06:24

☆ Re: / らすかる

虚数特有の話ではありません。整数や実数でも同じです。
例えば
(x^2+2x-8)/(x-2)=1 を解け。
と言う問題で
両辺にx-2を掛けて
x^2+2x-8=x-2
両辺からx-2を引いて
x^2+x-6=0
(x+3)(x-2)=0
∴x=2,-3 … (答)
のようにしたら減点されるか、0点になります。
なぜだかわかりますか？

No.59209 - 2019/06/14(Fri) 23:34:02

☆ Re: / モンゴル

ありがとうございます。

分母が0になっちゃいけないので、それだと、最初に与えられた式が成り立つという前提がそもそもおかしくなるから、x=-3のみってことですか？

浅い考えで申し訳ないのですが、私はらすかるさんの例の分数の式の左辺を見て、分母を払う前からx≠2だなぁというのは直感的にわかります。

分母を払った瞬間に同値が崩れるというのがよくわかりません。
与えられた式を見ただけで分母が0にならないように考えることはいけないのでしょうか。(画像の例ならz≠2i、らすかるさんの例ならx≠2と、式を見ただけで判断してもいいんですか。)

No.59216 - 2019/06/15(Sat) 15:52:24

☆ Re: / らすかる

> 分母が0になっちゃいけないので、それだと、最初に与えられた式が成り立つという
> 前提がそもそもおかしくなるから、x=-3のみってことですか？
その通りです。

> 分母を払った瞬間に同値が崩れるというのがよくわかりません。
(x^2+2x-8)/(x-2)=1 の解は x=-3のみ
両辺にx-2を掛けたx^2+2x-8=x-2 の解は x=2,-3
ですから同値（全く同じ解を持つ方程式）ではないですね。

> 与えられた式を見ただけで分母が0にならないように考えることはいけないのでしょうか。
もちろん「考える」のはOKというより考えなければいけませんが、
それを「考える」だけでなく「解答に明記」しないと、解答者が考えたかどうかが
わかりませんので、「京大の先生だったら減点する」ということです。

> (画像の例ならz≠2i、らすかるさんの例ならx≠2と、式を見ただけで判断してもいいんですか。)
式を見ただけで判断するのは構いません。
それを判断したかどうかがわかるように解答の中に書くということです。

ですから「京大の先生でも減点しない」解答は、上の例ならば
問題 (x^2+2x-8)/(x-2)=1を解け。
解答
(x^2+2x-8)/(x-2)=1
⇔x^2+2x-8=x-2 かつ x≠2
⇔x^2+x-6=0 かつ x≠2
⇔(x+3)(x-2)=0 かつ x≠2
⇔x=-3
のようになります。
ただし、必ずしもここまで書く必要はありません。
上の例ならば
(x^2+2x-8)/(x-2)=1
x^2+2x-8=x-2
x^2+x-6=0
(x+3)(x-2)=0
問題の式からx≠2なので x=-3
ぐらいでOKです。

しかしこれは、導出した解がすべて元の式を満たす場合でも
明記する必要がありますので、
例えば「(x^2+2x-14)/(x-2)=1を解け」という問題を
(x^2+2x-14)/(x-2)=1
x^2+2x-14=x-2
x^2+x-12=0
(x+4)(x-3)=0
∴x=3,-4
と書いただけではx≠2に注意を払っていないと判断されて
京大の先生なら減点されるということで、
(x^2+2x-14)/(x-2)=1
⇔x^2+2x-14=x-2 かつ x≠2
⇔x^2+x-12=0 かつ x≠2
⇔(x+4)(x-3)=0 かつ x≠2
⇔x=3,-4
のように書くか、あるいはもう少し簡単に
(x^2+2x-14)/(x-2)=1
x^2+2x-14=x-2
x^2+x-12=0
(x+4)(x-3)=0
問題の式からx≠2だがx=3,-4は両方ともx≠2を満たすので、
答えはx=3,-4
などのように書けばOKです。

No.59217 - 2019/06/15(Sat) 16:15:53

☆ Re: / モンゴル

とても勉強になりました。

今まで全く配慮していなかったのですが、次回からは同値を意識した計算をしていきたいと思います。

本当にありがとうございます。

No.59219 - 2019/06/15(Sat) 17:30:04

★ (No Subject) / モンゴル

この問題と解説の(ii)において、

1)「x=cos2θで連続なので」とはどういうことですか？
2)なぜ(ii)の場合の最小値を考えないんですか。単調増加のグラフf(x)(cos2θ≦x≦1)の最小値はf(cos2θ)ではありませんか？

解説の全文は以下のURLの一番下です。
https://www.densu.jp/tokyo/06tokyolpass.pdf

No.59196 - 2019/06/14(Fri) 19:01:38

☆ Re: / モンゴル

画像忘れました。

この問題と解説の(ii)において、

1)「x=cos2θで連続なので」とはどういうことですか？
2)なぜ(ii)の場合の最小値を考えないんですか。単調増加のグラフf(x)(cos2θ≦x≦1)の最小値はf(cos2θ)ではありませんか？

解説の全文は以下のURLの一番下です。
https://www.densu.jp/tokyo/06tokyolpass.pdf

No.59197 - 2019/06/14(Fri) 19:03:00

☆ Re: / らすかる

> 1)「x=cos2θで連続なので」とはどういうことですか？

例えばg(x)が
x=-1のとき1
-1＜x＜αで減少
x=αのとき0
α＜x＜cos2θで増加
x→cos2θ-0のとき1
x=cos2θのとき-5
cos2θ＜x＜1で増加
x=1のとき-4
だとしたら、x=cos2θのときの-5が最小値ですね。
しかしこの問題ではそのようにx=cos2θのところで
グラフが飛んでいるようなことがなく、
(減少)－(極小値f(α))－(増加)－(f(cos2θ))－(増加)
のようになっていますので、f(α)が最小値になるということです。
つまり(i)の範囲で減少→増加した後、(連続なので)その最後のところから
(ii)ではさらに増加している、という意味です。
もし上のg(x)のようにcos2θで値が飛んでいると、
この極小値が最小値とは言えず、極小値とg(cos2θ)のうちの
小さい方が最小値になります。

> 2)なぜ(ii)の場合の最小値を考えないんですか。
> 単調増加のグラフf(x)(cos2θ≦x≦1)の最小値はf(cos2θ)ではありませんか？

(i)(ii)から、上に書いたように、全体が
(減少)－(極小値f(α))－(増加)－(f(cos2θ))－(増加)
となっていることがわかりますので、
(i)の中のf(α)が最小値であり、f(cos2θ)は明らかに最小値ではないからです。
（つまり(ii)の中の最小値ではあるけれども(i)の最小値の方が明らかに小さいということ）

No.59201 - 2019/06/14(Fri) 20:23:43

☆ Re: / モンゴル

とても勉強になりました。
本当にありがとうございます。
しっかり復習します。

No.59206 - 2019/06/14(Fri) 22:54:56

★ 極限 / 仁

r<-1のとき
lim(n→∞）1/(1+r^n)は分母が振動するので、分子も振動、よって極限値は存在せず発散、で合っていますか？間違っていたらなぜダメなのか教えてください。よろしくお願いします。

No.59184 - 2019/06/13(Thu) 23:34:32

☆ Re: 極限 / らすかる

式は
lim[n→∞]1/{(1+r)^n}ではなく
lim[n→∞]1/{1+(r^n)}でいいですか？
それでよければ、合っていません。
分母は振動しながら絶対値がいくらでも大きくなりますので、
全体は0に近づいていき、0に収束します。

例えば少し簡略化しますが
分母が10,-100,1000,-10000,100000,-1000000,…
のように振動すると、1/(分母)は
0.1,-0.01,0.001,-0.0001,0.00001,-0.000001,…
のようになりますよね。
ですから0に収束することになります。

No.59185 - 2019/06/14(Fri) 00:15:48

☆ Re: 極限 / 仁

回答ありがとうございます。わかりやすい説明でほぼ理解できました。
疑問点があります。（本問は誘導のない（nについて自然数かも何も情報が与えられていない）単発の計算問題ですが、）lim(n→∞）のnは何も書かれていなくても暗黙の了解で自然数なのでしょうか？

よろしくお願い致します。

No.59198 - 2019/06/14(Fri) 20:02:46

☆ Re: 極限 / らすかる

nは自然数であることが多いですが、暗黙の了解と考えてよいかどうかは
場合によると思います（常に自然数と考えるのは危険です）。
しかしこの問題では負数のn乗であり、おそらく高校以下では
複素数の極限値はやらなかったと思いますので、
実数範囲限定と考えればnは自動的に自然数に限定されます。

No.59199 - 2019/06/14(Fri) 20:09:56

★ (No Subject) / モンゴル

この問題の次のレスに添付する解説の赤いところがわかりません。
なぜtan(θ-60)になるのですか？

僕はRQの傾きを、tan(θ+120)で考えました。
こちらが解説しているサイトです。
http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-196.html

No.59170 - 2019/06/13(Thu) 16:27:54

☆ Re: / モンゴル

なぜ、θから60引くのでしょうか。図を交えていただけると助かります。

No.59172 - 2019/06/13(Thu) 16:29:41

☆ Re: / らすかる

直線RQは点Qを中心に直線PQを時計回りに60°回転したものですから、
60°引くことになります。
反時計回りに120°回転と考えれば120°足すことになりますが、
tan(θ+120°)=tan(θ-60°)ですからどちらで考えても同じです。
（tan(θ+120°)を使って解答を作っても正解になります。）

No.59173 - 2019/06/13(Thu) 16:33:49

☆ Re: / モンゴル

とても勉強になりました。ありがとうございます。
引き続き頑張ります。

No.59174 - 2019/06/13(Thu) 16:53:19

★ (No Subject) / モンゴル

この問題のこちらのサイトの解説には、点Rが直線PQより上にあるのが明らか、と書いてありますが、なぜ明らかなのですか？

http://ron4310.blog.fc2.com/blog-entry-196.html

No.59167 - 2019/06/13(Thu) 15:36:31

☆ Re: / らすかる

そのサイトにあるように底辺が1、垂直辺が√2、斜辺PQが√3である
直角三角形を描いたとき、もう一点Rを△PQRが正三角形になるように
とるにはRを線分PQの左上方に書くか右下方に書くかのどちらかですね。
しかしRが右下方にあるとすると、P,Q,Rの三点を通る放物線は
上に凸の放物線であり、y=x^2上にP,Q,Rがあるようにはできません。
従ってRはPQの左上方すなわち直線PQより上にあることになります。

No.59169 - 2019/06/13(Thu) 16:05:08

☆ Re: / モンゴル

よく分かりました。ありがとうございますm(_ _)m

No.59171 - 2019/06/13(Thu) 16:28:17

★ (No Subject) / あ

これの続きお願い致します。

No.59157 - 2019/06/13(Thu) 09:37:03

☆ Re: / らすかる

その続きは自分がどういう解答にしたいかで決まるものですから、
人が作っても意味がないと思います。
何でもよければ、(少し変えますが)

f(x)=∫[0～1]|t^2-x^2|dt (0≦x≦2)
t^2-x^2≧0のとき
(t+x)(t-x)≧0
t≧x (∵t≧0,x≧0)
そして
∫|t^2-x^2|dt=∫t^2-x^2dt=(1/3)t^3-tx^2+C
t^2-x^2＜0のとき
(t+x)(t-x)＜0
t＜x (∵t≧0,x≧0)
そして
∫|t^2-x^2|dt=∫-t^2+x^2dt=-(1/3)t^3+tx^2+C
よって
(i)0≦x≦1のとき
f(x)=∫[0～x]|t^2-x^2|dt+∫[x～1]|t^2-x^2|dt
=[-(1/3)t^3+tx^2][0～x]+[(1/3)t^3-tx^2][x～1]
=-2((1/3)x^3-x^3)+(1/3-x^2)=(4/3)x^3-x^2+1/3
(ii)1≦x≦2のとき
f(x)=∫[0～t]|t^2-x^2|dt=[-(1/3)t^3+tx^2][0～1]=x^2-1/3
以上(i)(ii)より、
(以下解説と同じ)

# 結局最初にt≧xとt＜xで場合分けした不定積分を書いただけで
# 基本は解説と変わりません。

No.59161 - 2019/06/13(Thu) 11:21:29

☆ Re: / あ

> t^2-x^2＜0のとき
(t+x)(t-x)＜0
t＜x (∵t≧0,x≧0)
これはt=1,x=2の時、-x<tも満たしませんかね？

No.59162 - 2019/06/13(Thu) 12:00:55

☆ Re: / らすかる

t≧0かつx≧0なのでt=x=0でない限り常に-x＜tは満たしますが、
それがこの問題の解答と関係あるのですか？

No.59163 - 2019/06/13(Thu) 14:30:09

☆ Re: / あ

条件が違うと答えも変わるのではと考えています。正直に申しますと解答を見ないでどう解けば良いかまだ分かっていません。すみません。

No.59175 - 2019/06/13(Thu) 17:53:40

☆ Re: / らすかる

条件が違えば答えが変わるのは当然ですが、
どういう条件を考えているのでしょうか。

この問題の考え方は以下のようになります。
・絶対値を含む積分だから場合分けが必要
・tもxも非負だから、t^2-x^2の正負はt-xの正負と同じ
・従ってt≧xとt＜xで場合分けすればよい
・しかし0≦t≦1,0≦x≦2だからx≧1の場合はt＞xと
　なることがなく、場合分けできない
・よってt≧xとt＜xで場合分けする以前に、x≧1とx＜1で
　場合分けしなければいけない
・x≧1の場合はt-x≦0だからtとxの大小関係による場合分けは
　不要で、|t^2-x^2|=-(t^2-x^2)として単純に積分すればよい
・x＜1の場合はt≧xとt＜xで場合分けして積分、つまり
　積分区間0～1を0～xとx～1に分けてそれぞれ絶対値を外す
このように考えますので、自動的に解答＆解説に
書かれているような解答になります。

No.59176 - 2019/06/13(Thu) 19:21:46

☆ Re: / あ

分かりました。ありがとうございます。

No.59190 - 2019/06/14(Fri) 11:07:06

★ 平方完成 / 高一男子

?@2x²-3x+1

?A-2(x-3)(x+6)

この二問の平方完成の仕方がわかりません…解説してくれると嬉しいです

No.59149 - 2019/06/13(Thu) 00:30:19

☆ Re: 平方完成 / らすかる

平方完成は
まずx^2の係数で全体をくくる
2x^2-3x+1 → 2{x^2-(3/2)x+(1/2)}
xの係数の半分の2乗を足して引く
xの係数は-(3/2)なので半分は-(3/4)、その2乗は(9/16)なので
2{x^2-(3/2)x+(1/2)} → 2{x^2-(3/2)x+(9/16)-(9/16)+(1/2)}
これでx^2-(3/2)x+(9/16)の部分が
(x-(3/4))^2と表せます。
-(3/4)は、もちろん上のxの係数の半分です。
従って
2{x^2-(3/2)x+(9/16)-(9/16)+(1/2)}
=2{(x-(3/4))^2-(9/16)+(1/2)}
あとは係数をまとめてカッコの外に出せば
2{(x-(3/4))^2-(9/16)+(1/2)}
=2{(x-(3/4))^2-(1/16)}
=2{x-(3/4)}^2-(1/8)
となります。これが平方完成した答えです。

2問目も一旦展開すれば同じ方法でできますので、やってみて下さい。

No.59151 - 2019/06/13(Thu) 01:31:18

★ ガウス記号 / yukimi

正の整数nの約数の個数をf(n)とする。

正の整数nに対して、Σ[k=1からn]f(k)=Σ[k=1からn][n/k]であることを示せ。ただし[x]は実数xに対してxを超えない最大の整数を表す。

わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

No.59142 - 2019/06/12(Wed) 22:17:50

☆ Re: ガウス記号 / ＩＴ

k=1からn の整数kに対する正の約数∈{1からnの整数}です。

整数i (１≦i≦n）は、1からn の整数のうち[n/i]個の整数の約数です｡　

言い換えると
１からｎまでの整数のうちi の倍数は、i,2i,....,[n/i]i の [n/i]個です。

例えば　n=6 のとき
1　は[6/1]＝6個の整数1,2,3,4,5,6の約数です
2　は[6/2]＝3個の整数2,4,6の約数です
3　は[6/3]＝2個の整数3,6の約数です
4　は[6/4]＝1個の整数4の約数です
5　は[6/5]＝1個の整数5の約数です
6　は[6/6]＝1個の整数6の約数です

No.59143 - 2019/06/12(Wed) 22:36:42

☆ Re: ガウス記号 / ＩＴ

Σ[k=1からn]f(k)=Σ[k=1からn][n/k]
の左辺のkと右辺のkは、もちろん独立して動きますし異なる意味となっていますから

Σ[k=1からn]f(k)=Σ[i=1からn][n/i]＝Σ[k=1からn][n/k]と考えた方が分かり易いかも知れません。

No.59144 - 2019/06/12(Wed) 22:56:15

☆ Re: ガウス記号 / ＩＴ

n=6 のとき　表にすると

　一二三四五六
１○○○○○○
２－○－○－○
３－－○－－○
４－－－○－－
５－－－－○－
６－－－－－○

No.59146 - 2019/06/12(Wed) 23:15:18