1、2、お願いします。
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No.58535 - 2019/05/25(Sat) 23:06:50
| ☆ Re: 複素数平面 軌跡 / ＩＴ | | | (1)?@をα=(zの式) の形にすれば見えてくるのでは？
それをα=x+yi (x,y は実数）とおいて比較します。
解答（最後の答え）はないのですか？
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No.58537 - 2019/05/26(Sun) 09:00:12 |
| ☆ Re: 複素数平面 軌跡 / たゆたゆ | | | このwの意味がわからないんです
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No.58538 - 2019/05/26(Sun) 09:06:33 |
| ☆ Re: 複素数平面 軌跡 / ast | | | もし α の軌跡が求められるのであれば β の軌跡は α の軌跡を π/4 傾ければ求まるのでそれで済むのですが, この問題では (解答から逆読みする限りでは) α の軌跡は見覚えのある形の式としては導出できず, そのかわりに β の軌跡を直接追跡すれば馴染みのある形の式になる, という構図になっているようです.
しかしここで問題になるのは, α ならばその軌跡を統制する条件が「z と α の関係を記述する方程式?@と z の動ける範囲 |z|=1」で与えられているのに対して、β の軌跡を統制する条件は (α (と z) を経由しなければ) 分からないということです. いま仮に β の軌跡を記述する条件として「w と β の間に成り立つ方程式と w の動ける範囲」というのが分かったとすれば, それによって β の軌跡は追跡できる, ということになりますよね.
β を -π/4 だけ回転すれば α となり, それは方程式?@と |z|=1 で決まりますから, β を統制する w (と β,w の方程式) を -π/4 だけ回転したものは z (と方程式?@) であるはずです.
つまり, β, w をともに -π/4 だけ回転させたことで α, z に関する議論に帰着され, そこでは既知の条件があるので, 逆にその条件を α, z とともに π/4 だけ回転させることで, β, w に関する条件が得られ, β, w に関して直接議論が可能になる, ということになります.
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No.58540 - 2019/05/26(Sun) 10:50:14 |
| ☆ Re: 複素数平面 軌跡 / ＩＴ | | | astさんが ていねいに理論的な回答をされていますが、せっかく書いたので私の回答を載せます
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w=(cos(π/4)+isin(π/4))zを書く場所が早すぎて 天下り的ですね。
（追記）astさんが回答された仕組みが分かれば 天下り的ではなくなりますね。
少し書き換えて見ました。
表記を簡単にするため a=cos(π/4)+isin(π/4) とおく
β＝aα、∴α＝β/a
よって?@はz^2-(β/a)z+2i=0
β＝az+2ai/z
式を簡単にするため w=az とおくと,(wの性質は解答と同じ）
β＝w+2(a^2)i/w=w-2/w (∵a^2=i)
以下は解答と同じです。
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No.58541 - 2019/05/26(Sun) 10:51:44 |
| ☆ Re: 複素数平面 軌跡 / らすかる | | | wを持ち出さなくても、大して変わらないと思います。
z^2-αz+2i=0
αz=z^2+2i
z=0は解ではないのでzで割って
α=z+2i/z
z=cosθ+isinθ（0≦θ＜2π）とおくと
α=(cosθ+isinθ)+2i/(cosθ+isinθ)
=(cosθ+isinθ)+2i(cosθ-isinθ)
=(cosθ+isinθ)+2{cos(θ-π/2)-isin(θ-π/2)}
β={cos(π/4)+isin(π/4)}α
={cos(θ+π/4)+isin(θ+π/4)}+2{cos(θ-3π/4)-isin(θ-3π/4)}
={cos(θ+π/4)+isin(θ+π/4)}+2{-cos(θ+π/4)+isin(θ+π/4)}
=-cos(θ+π/4)+3isin(θ+π/4)
これは単位円を虚軸方向に3倍に拡大した楕円。
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No.58547 - 2019/05/26(Sun) 12:48:10 |
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