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★ 二次関数 / あ
解き方がわかりません。たぶん(1)がわかれば(2)も解けると思うのですが、まず面積が求められません。
解は(1)がS=4t^2＋4t＋52、(2)がQ(−5/2,19/4)のとき最小値51です。
No.59025 - 2019/06/10(Mon) 00:38:33
☆ Re: 二次関数 / X
(1)だけ解きますので(2)はご自分でどうぞ。

(1)
条件から
Q(t-2,(t-2)^2+(t-2)+1),R(t+6,(t+6)^2+(t+6)+1)
∴
↑PQ=(-2,(t-2)^2+(t-2)+1)
↑PR=(6,(t+6)^2+(t+6)+1)
整理をして
↑PQ=(-2,t^2-3t+3)
↑PR=(6,t^2+13t+43)
よって
↑PQ・↑PR=-12+(t^2-3t+3)(t^2+13t+43)
|↑PQ|=√{4+(t^2-3t+3)^2}
|↑PR|=√{36+(t^2+13t+43)^2}
となるので△PQRの面積をSとすると
S=(1/2)PQ・PRsin∠QPR
=(1/2)PQ・PR√{1-(cos∠QPR)^2}
=(1/2)|↑PQ||↑PR|√{1-{(↑PQ・↑PR)/{|↑PQ||↑PR|}}^2}
=(1/2)√{{|↑PQ||↑PR|}^2-(↑PQ・↑PR)^2}
=(1/2)√[{4+(t^2-3t+3)^2}{36+(t^2+13t+43)^2}-{-12+(t^2-3t+3)(t^2+13t+43)}^2]
=(1/2)√{36(t^2-3t+3)^2+4(t^2+13t+43)^2+24(t^2-3t+3)(t^2+13t+43)}
=√{9(t^2-3t+3)^2+(t^2+13t+43)^2+6(t^2-3t+3)(t^2+13t+43)}
=√{{3(t^2-3t+3)+(t^2+13t+43)}^2}
=|4t^2+4t+52|
ここで
4t^2+4t+52=4(t+1/2)^2+51＞0
∴S=4t^2+4t+52
No.59035 - 2019/06/10(Mon) 10:03:30
★ 行列の積 / せんとくん
6 6
2 2
-2 -2
で合ってますか？
No.59023 - 2019/06/10(Mon) 00:09:34
☆ Re: 行列の積 / せんとくん
3問目の問題の事です！！！！
No.59024 - 2019/06/10(Mon) 00:14:15
☆ Re: 行列の積 / まうゆ
あっています
No.59031 - 2019/06/10(Mon) 07:43:11
★ 単位行列！ / Starrrrrrr
この単位行列の問題3問の解答解説をお願いしますm(_ _)m
No.59012 - 2019/06/09(Sun) 23:13:44
☆ Re: 単位行列！ / まうゆ
どこが単位行列なのですか?
積の定義通りに計算すればいいです
No.59017 - 2019/06/09(Sun) 23:36:11
☆ Re: 単位行列！ / Starrrrrrr
3問目が分からないので解説をお願いします
No.59021 - 2019/06/09(Sun) 23:56:51
★ もしよかったらといてください！ / ゴンザレスジョンソンダンソンペイソン
x²±(x+y+z)
y²±(x+y+z)
z²±(x+y+z)
が全て平方数となるような、x.y.zの組みを求めよ。
No.59011 - 2019/06/09(Sun) 23:12:58
☆ Re: もしよかったらといてください！ / らすかる
x,y,zは自然数と勝手に仮定します。
x≧y≧zとすると
x^2＜x^2+(x+y+z)≦x^2+3x＜(x+2)^2なので
x^2+(x+y+z)=(x+1)^2
整理して x+1=y+z
このとき x^2-(x+y+z)=x^2-(x+x+1)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2
平方数を4で割った余りは0か1なので
(x-1)^2-2を4で割った余りは2か3となり、
(x-1)^2-2は平方数にならない。
従って条件を満たす自然数x,y,zは存在しない。
No.59019 - 2019/06/09(Sun) 23:48:51
★ (No Subject) / めめ
ここに書いてある、解説の方が理解できません。
1/(sinx)^3 を積分する時に、cosx=tと置いて何がどうなるのでしょう？？
No.59005 - 2019/06/09(Sun) 22:13:58
☆ Re: / まうゆ
(sinx)^2=1-(cosx)^2=1-t^2=(1-t)(1+t)としてsinxを置いておく
cosx=tの両辺をtで微分し整理
dx=dt/(-sinx)
これでまた(sinx)^2ができる
あとは略
No.59006 - 2019/06/09(Sun) 22:32:28
☆ Re: / めめ
それ以降が止まるのですが……
No.59007 - 2019/06/09(Sun) 22:35:23
☆ Re: / GandB
　　t = cos(x). dt = -sin(x)dx. dx = (-1/sin(x))dt.
　　∫1/sin^3(x) dx
　= ∫( 1/sin^3(x) )( -1/sin(x) )dt
　= -∫1/sin^4(x) dt
　= -∫1/( 1-cos^2(x) )^2 dt
　= -∫1/(1-t^2)^2 dt.

あとは気合いを入れて部分分数分解すれば計算できる。
No.59009 - 2019/06/09(Sun) 22:50:01
☆ Re: / めめ
本当に部分分数分解出来るものなんですか？絶対に不可能な気がするのですが、、
No.59013 - 2019/06/09(Sun) 23:16:45
☆ Re: / らすかる
1/(1-t^2)^2
=1/{(1+t)(1-t)}^2
=1/{(1+t)^2(1-t)^2}
=(1/4){(2+t)/(1+t)^2+(2-t)/(1-t)^2}
=(1/4){1/(1+t)+1/(1+t)^2+1/(1-t)+1/(1-t)^2}
のように分解できます。
No.59020 - 2019/06/09(Sun) 23:52:35
☆ Re: / 関数電卓
誘導にある、tan(x)＝t とおく。
なぜこのように置換するのか？
このことをじっくり追求することが、本問のような積分に馴れることの大きなポイントです。
No.59053 - 2019/06/10(Mon) 18:16:39
★ (No Subject) / ｎａｎａ
f(x)=(1+sinx)cosxについて

xy平面において、連立不等式0≦y≦f(x),0≦x≦π/2で表される領域をDとする。Dの面積をSとする。また、Dをｘ軸の周りに一回転してできる立体の体積をV,ｙ軸の周りに一回転してできる立体の体積をWとする。
このとき、S,V,Wを求めよ。

この問題がよくわかりません。解説お願いします。
No.59001 - 2019/06/09(Sun) 21:56:03
☆ Re: / 関数電卓
　S＝∫[0,π/2]f(x)dx＝…＝3/2
　V＝π∫[0,π/2]{f(x)}^2dx＝…＝π(5π/16＋2/3)

D の重心の x 座標を x0 とすると
　x0＝∫[0,π/2]xf(x)dx/S＝…＝(5π/8−1)/S
パップス-ギュルダンの定理より
　W＝2πx0･S＝2π(5π/8−1)
No.59040 - 2019/06/10(Mon) 13:54:35
★ (No Subject) / モンゴル
この問題の(2)で相加相乗定理を使って最小値を求めますが、なぜ等号条件が必要ないのですか？教えてください。

なお、これが答えです。
https://www.densu.jp/tokyo/09tokyolpass.pdf
No.58998 - 2019/06/09(Sun) 21:06:35
☆ Re: / X
必要ないのではありません。
Sが最小値を取るときのaの値である
-1/2≦a≦1/2
に等号成立条件となるaの値が含まれています。

-1/2＜a＜1/2 (A)
のときのSの値(=2)が
その相加相乗平均の等号が成立するときの
Sの値と等しくなっており、解答としては
その等号が成立するときのaの値である
a=1/2,-1/2
と(A)を合わせた
-1/2≦a≦1/2
のときにSが最小値2を取る
となっています。
No.59000 - 2019/06/09(Sun) 21:42:40
☆ Re: / モンゴル
ありがとございました。
よく分かりました。他の参考書では必要ないと書いていたので混乱しました。
No.59003 - 2019/06/09(Sun) 21:59:44
★ 6月9日実施国家公務員国家専門職 / ぬる
まったくわからず勘で解いてしまいました。自己採点したいので解答と解説よろしくお願いします。
No.58993 - 2019/06/09(Sun) 20:33:29
☆ Re: 6月9日実施国家公務員国家専門職 / ぬる
こちらもよろしくお願いします
No.58994 - 2019/06/09(Sun) 20:36:35
☆ Re: 6月9日実施国家公務員国家専門職 / ぬる
こちらもよろしくお願いします。
No.58995 - 2019/06/09(Sun) 20:38:42
☆ Re: 6月9日実施国家公務員国家専門職 / ぬる
こちらもよろしくお願いします！
No.58996 - 2019/06/09(Sun) 20:40:17
☆ Re: 6月9日実施国家公務員国家専門職 / ぬる
こちらもよろしくお願いします！！
No.58997 - 2019/06/09(Sun) 20:42:03
☆ Re: 6月9日実施国家公務員国家専門職 / まうゆ
とりあえずできたところを送ります
N12.5 N13.1 N22.4 N19.3 N20.2 N21.5
解説とほかの問いは明日始めます
No.59016 - 2019/06/09(Sun) 23:32:04
☆ Re: 6月9日実施国家公務員国家専門職 / まうゆ
N19は間違えてました
明日にします
No.59018 - 2019/06/09(Sun) 23:42:56
☆ Re: 6月9日実施国家公務員国家専門職 / まうゆ
N22は2でした
a,bとcはある自然数m,nを用いて
m^2-n^2,2mnとm^2+n^2とおける
aを前者とするとa+c=2m^2=81で仮定に矛盾
a=2mn a+c=(m+n)^2=81
m+n=9これを満たしm^2-n^2>0になるm,nを考えれば
2になる
No.59032 - 2019/06/10(Mon) 07:57:00
☆ Re: 6月9日実施国家公務員国家専門職 / まうゆ
N15は1
A1 3 4 5 2 7 6
B1 2 5 4 3 6 7
と出せば2,3,4,5の反例になる
No.59034 - 2019/06/10(Mon) 09:40:28
☆ Re: 6月9日実施国家公務員国家専門職 / まうゆ
N19はたぶん1
確証はないです
N20漢字のものから1,2,3個選ぶ時で場合分け
1の時はカタカナから1
2,3の時はカタカナから0,1で合計する
3*3+3*(1+3)+1*(1+3)=25
∴2
No.59036 - 2019/06/10(Mon) 12:47:58
☆ Re: 6月9日実施国家公務員国家専門職 / まうゆ
N21
去年取った量をx、割合をt:(1-t)とおいて
方程式を作ればxが消える
No.59037 - 2019/06/10(Mon) 12:51:49
☆ Re: 6月9日実施国家公務員国家専門職 / まうゆ
N23はたぶん3
これも確証はないです
No.59038 - 2019/06/10(Mon) 13:09:04
☆ Re: 6月9日実施国家公務員国家専門職 / ぬる
回答ありがとうございました！
No.59049 - 2019/06/10(Mon) 17:25:38
★ (No Subject) / モンゴル
ある連立方程式の求める文字を0でないと仮定して、解き進めてもいいですか？具体例は以下の通りです。

以下の連立方程式を解いてa,b,cを求める時

3ac+3c=1 ...(1)
6+3a=8c+6ac
a+b+1=0

(1)の式でcを0でないと仮定して、a=1/3c-1とし、連立方程式を解きすすめて最終的にa,b,cを求めて、cが0でないと確認するのはいけないですか？
No.58991 - 2019/06/09(Sun) 20:19:35
☆ Re: / モンゴル
なおこの連立方程式では、cは0になりません。
No.58992 - 2019/06/09(Sun) 20:20:34
☆ Re: / まうゆ
その仮定をいってあとからc=0で議論していれば大丈夫です
No.59008 - 2019/06/09(Sun) 22:37:18
☆ Re: / らすかる
「c=0は(1)を満たさないのでc≠0」
と最初に書いておくのが簡単だと思います。
No.59010 - 2019/06/09(Sun) 23:12:41
☆ Re: / モンゴル
皆さんありがとうございます。
No.59050 - 2019/06/10(Mon) 17:45:08
★ (No Subject) / ξ
y1=a1sinθ1+a1sinθ1

y2=a2sinθ2+a2sinθ2

の時 y=y1+y2 の最大値、最小値とその時のその時のθ1とθ2の関係式を答えよ。

よろしくお願いします。
No.58983 - 2019/06/09(Sun) 16:39:50
☆ Re: / ξ
失礼しました
y1=a1sinθ1+acosθ1

y2=a2sinθ2+a2cosθ2

です
No.58984 - 2019/06/09(Sun) 16:41:06
☆ Re: / ＩＴ
式は合っていますか？
a1,a,a2 の条件はないですか？　実数定数？

θ1とθ2が独立して変化したとき、y1とy2は　独立して変化するので
y1 が最大　かつ y2 が最大のとき　y1+y2 は最大。　となりますから、
問題としてあまり意味がない気がします。
No.58985 - 2019/06/09(Sun) 17:07:21
☆ Re: / らすかる
> y1=a1sinθ1+acosθ1
> y2=a2sinθ2+a2cosθ2
この2式には同じ変数がありませんので、
「θ1とθ2の関係式」は絶対に出ませんね。
No.58989 - 2019/06/09(Sun) 18:22:43
★ 微分の定義の式について。 / マーク42
cosθの微分に関して、θが120°などの場合、
cos(θ+dθ)- cosθ/(θ+dθ)-θの式で良いでしょうか？
それともcosθ- cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)となるのでしょうか？
それともcosθ- cos(θ-dθ)/θ-(θ-dθ)となるのでしょうか？
少し混乱しています。
皆さんはどの様にθが120°などの90°より大きい場合に微分の定義の式を作っているのでしょうか？

もう一つ、120°の cosθでの傾きと、120°での cosθの微分により導かれた傾きを90°を引いて30°にして式の符号を変えて導いた傾きは同じ値となるのでしょうか？
符号を変えたりとθを変えた際に式の符号を考慮したため同じ傾きになると思うのですが。
ちなみに、以上のように120°を30°へ変えることにより式の符号を変える場合cos(θ+dθ)- cosθ/(θ+dθ)-θの式を
cosθ- cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)に変えるのでしょうか？
No.58981 - 2019/06/09(Sun) 15:29:18
☆ Re: 微分の定義の式について。 / まうゆ
1段落目の式を上から1,2,3とします
1は定義式で正しい
2は分母分子に-1をかけると1に戻るので正しい
3はdθの符号に関係なく0に近づけられるので正しい(たぶん)
No.58986 - 2019/06/09(Sun) 17:57:56
☆ Re: 微分の定義の式について。 / まうゆ
もう1つのほうは等しくないです
sinθの値が等しいと傾きは等しいです(例60°)
定義式を変える必要はありません
No.58987 - 2019/06/09(Sun) 18:13:11
☆ Re: 微分の定義の式について。 / マーク42
まうゆさん、どうもありがとうございます！
ちなみに、cosθ-cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)と
はcos(θ-dθ)-cosθ/(θ-dθ)-θは同じ式なのでしょうか？もし同じである場合、なぜ同じなのでしょうか？
dθは0に近い数字とします。
No.58999 - 2019/06/09(Sun) 21:41:05
★ (No Subject) / おおとなり
この問題における相関係数の求め方と答えの相関係数を教えてください
No.58977 - 2019/06/09(Sun) 10:23:11
★ 最小値 / 梅雨入り
143 Abs[n - 16] + 120 Abs[n - 15] + 99 Abs[n - 14] + 80 Abs[n - 13] + 63 Abs[n - 12] + 48 Abs[n - 11] + 35 Abs[n - 10] + 24 Abs[n - 9] + 15 Abs[n - 8] + 8 Abs[n - 7] + 3 Abs[n - 6] - Abs[n - 4] + 3 Abs[n - 2] + 8 Abs[n - 1]
の最小値は?
No.58974 - 2019/06/09(Sun) 06:28:37
☆ Re: 最小値 / まうゆ
nが13,14,15の時を試して
nが自然数ならn=14で最小値1316をとる
もう少しいい方法を考えます
No.58976 - 2019/06/09(Sun) 10:12:34
☆ Re: 最小値 / ＩＴ
143,120,99,80,63,48,35,24,15,8,3,|-1|,3,8 合計650　/ 2 =325

- Abs[n - 4] だけ符号が異なっており注意が必要です。

n が自然数なら、nを16から1ずつ減少して調べます｡

nが16から15に変化すると,増加項分は143+1=144<減少項分 なので減少する。
nが15から14に変化すると,増加項分は144+120=264<減少項分 なので減少する。
nが14から13に変化すると,増加項分は264+99=363>減少項分 なので増加する。
その後は,増加項分＞減少項分なので増加する。　

最小はn=14のとき。
No.58978 - 2019/06/09(Sun) 11:53:13
★ (No Subject) / 魚
この問題を違う方法で解いたのですが、答えが偶然合っている可能性もあるので、考え方が正しいのか知りたいです。
3辺(AB,BC,BD)がすべて√2なことを利用して、△ACDに外接する円をとり、各頂点からの距離が等しいと考えたので外心を求めました。
∠Dが90°よりACは直径、その中点の真上にBが存在することになるので、そこから高さを求めました。
吟味よろしくお願いいたします。
No.58969 - 2019/06/08(Sat) 22:15:18
☆ Re: / 魚
載せる順番を間違えました。こちらが問題です。
No.58970 - 2019/06/08(Sat) 22:16:29
☆ Re: / 元中3
魚さんの考え方は合っているとおもいます。
今回の問題は偶々△ACDの外心がACの中点と一致し模範解答のような解き方ができますが、もし△ACDが直角三角形でなければ魚さんのように、頂点Bから△ACDに下ろした垂線の足が△ACDの外心に一致するという考え方は非常に有効だとおもいます。
No.58975 - 2019/06/09(Sun) 07:35:05
★ お願いします...。 / あ
全くわかりません...。どうかご協力お願いします。
No.58963 - 2019/06/08(Sat) 15:13:20
★ (No Subject) / あ
何が間違えているのか分かりません。
No.58957 - 2019/06/08(Sat) 14:04:45
☆ Re: / あ
解いたものです。
No.58958 - 2019/06/08(Sat) 14:06:16
☆ Re: / らすかる
(t+x)(t-x)≧0から言えるのは
「t≦-x,t≦x」ではなく
「t≦-x,x≦t」です。（∵x≧0）
そしてtは1ではなく0〜1を動きますので
t≦-x,t≦xを
1≦-x,1≦xにすることもできません。
No.58964 - 2019/06/08(Sat) 15:51:38
☆ Re: / あ
右側に書いた式の続きはどのように書けば良いですか？
No.58982 - 2019/06/09(Sun) 15:56:50
☆ Re: / らすかる
(t+x)(t-x)≧0から得られるのは
t≦-x,x≦tですが、だからといって
次の行を「t≦-x,x≦tのとき、」とするのは良くないと思います。
なぜなら、t≧0,x≧0なので「t≦-x」は考える必要がないからです。
それから、
「x≦tのとき、」
としても解答は作れる可能性はありますが、
先にx≧1とx＜1で場合分けしないと
おそらく面倒なことになると思います。
（大変そうなので、その続きを考えたくありません）
No.58990 - 2019/06/09(Sun) 18:28:31
☆ Re: / あ
それからの後がよく分かりません。実際にどのように書けば良いのですか？
No.59125 - 2019/06/12(Wed) 09:31:17
★ オイラーの公式 / りんりん
線を引いているところの変形がぜんぜんわかりません
お願いします
No.58951 - 2019/06/08(Sat) 11:33:18
☆ Re: オイラーの公式 / nakaiti
指数法則より
e^{(1±i)x}=e^(x±ix)=e^x・e^(±ix)
と変形できるのでその変形ののちe^xでくくったのですね
No.58955 - 2019/06/08(Sat) 13:28:06
★ (No Subject) / むにむに
pと（p^2+1）/2がともに素数となるpは有限個か？

これどう解くのでしょうか？

教えてください
No.58945 - 2019/06/08(Sat) 00:13:02
☆ Re: / らすかる
自作問題ですか？
↓このページに
http://oeis.org/A048161
「無限個と予想されている」
と書かれていますので、未解決問題で
解いた人はいないと思います。
No.58950 - 2019/06/08(Sat) 08:17:22
★ 余因子行列 / まうゆ
A:実n次正方行列 はA^3=-EをみたすAの余因子行列の行列式の値を求めよ
|A|^(n-1)までは求めました
まだA^3を使っていないので進むはずなのですが分かりません
お願いします
No.58941 - 2019/06/07(Fri) 22:59:29
☆ Re: 余因子行列 / nakaiti
|A|^3=|A^3|=|-E|=(-1)^n ですね?ということは…
No.58954 - 2019/06/08(Sat) 13:14:43
☆ Re: 余因子行列 / まうゆ
nをmod6で場合分けということですか
No.58961 - 2019/06/08(Sat) 14:32:51
☆ Re: 余因子行列 / まうゆ
考えていたら思いつきました
ありがとうございました
No.58967 - 2019/06/08(Sat) 21:44:48
★ 最小多項式 / ｎａｎａ
http://izumi-math.jp/I_Yanagita/Chebychev.pdfについて
このpdfの一番最後の高3駿台模試の(2)〜全く手が付きませんでした。
解いていただけないでしょうか？
No.58940 - 2019/06/07(Fri) 21:55:26
☆ Re: 最小多項式 / ＩＴ
(2)の概略　 数学的帰納法のメイン部分

α[n+1]＝√a[1]+√a[2]+...+√a[n]+√a[n+1]
移項して、α[n+1]-√a[n+1]＝√a[1]+√a[2]+...+√a[n]…（ア）

f[n](√a[1]+√a[2]+...+√a[n])=0 ,(f[n](x)は整数係数のs次整式でs次の係数は１)と仮定する。

（ア）よりf[n](α[n+1]-√a[n+1])=0
これを展開するとα[n+1]^s+....+g(α[n+1])+√a[n+1]h(α[n+1])＝0,(g(x),h(x)はs-１次以下で整数係数）
移項してα[n+1]^s+....+g(α[n+1])＝-√a[n+1]h(α[n+1])
両辺２乗して{α[n+1]^s+....+g(α[n+1])}^2＝a[n+1]{h(α[n+1])}^2
移項してα[n+1]^(2s)+...= 0

このようにしてf[n+1](x) を作ることができます。
No.58944 - 2019/06/07(Fri) 23:45:46
☆ Re: 最小多項式 / ＩＴ
上記方式で　f[2](x)が構成できることを
α[2]＝√2+√3の場合で確認してみてください。
No.58946 - 2019/06/08(Sat) 00:33:57
☆ Re: 最小多項式 / ＩＴ
(3) 一般に
a[0],a[1],...,a[n]が整数のとき、
a[0]x^n+a[1]x^(n-1)+...+a[n]=0 が有理数p/q(既約分数）を解にもてば
qはa[0]の約数、pはa[n]の約数　である。
　※証明は方程式にx=p/qを代入しq^n を掛ければ出来ます。
特にa[0]=1 のときは、上記の有理数解は整数となります。…（イ）

γ＝?納k=10..29]√(k^2+1)＝?納k=1..20]√a[k]、(a[k]は平方数でない正整数）とおけるので
(2) からf(γ)=0 となる整数係数の整式で最高次の係数が１であるものが存在する。

ヒントから?納k=10..29]k＜γ＜?納k=10..29](k)+1なのでγは整数でない。
したがって（イ）からγは有理数でない。
No.58949 - 2019/06/08(Sat) 08:14:56
☆ Re: 最小多項式 / ｎａｎａ
ありがとうがざいました！
No.58966 - 2019/06/08(Sat) 18:21:49
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