ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

画像の図のように展開して1/ cos^2θの微分(厳密に言えば tanθの二階微分を行う)、d(1/ cos^2θ)/dθを導こうとしたのですがうまくいきません。

式?@は2 tanθ×(1/ cos^2θ)になるでしょうか？
どのようにしてd(1/ cos^2θ)/dθを導けるか画像を用いて解説して頂けると大変ありがたいです。

No.58741 - 2019/05/31(Fri) 18:38:13

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

> 画像の図のように展開して1/ cos^2θの微分(厳密に言えば tanθの二階微分を行う)、d(1/ cos^2θ)/dθを導こうとしたのですがうまくいきません。
>
> 式?@は2 tanθ×(1/ cos^2θ)になるでしょうか？
> どのようにしてd(1/ cos^2θ)/dθを導けるか画像を用いて解説して頂けると大変ありがたいです。

No.58742 - 2019/05/31(Fri) 18:40:19

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

図で導く方法はわかりませんが、その図でダメなことは明らかです。
弧DE上の点からx軸に下した垂線の足と原点との距離は
kcosθになりますので、その図はkcosθの微分の図です。
（実際、cosθが減ると1/(cosθ)^2は増えなければなりませんが、その図では減ります。）

単位四分円とA,B,C,θ,cosθ,dθをそのように決めたとき、
Aを通りy軸に平行な直線とODの交点をPとすればOP=1/cosθ
中心が円でPを通る円とx軸の交点をQとすればOQ=1/cosθ
Qを通りy軸に平行な直線とODの交点をRとすればOR=1/(cosθ)^2
のようにすれば1/(cosθ)^2は作図できて、
同様に1/(cos(θ+dθ)^2)も作図できますが、
この増分をdθ×○と表せるかどうかわかりません。

No.58743 - 2019/05/31(Fri) 20:06:56

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

ご指摘ありがとうございます。
アドバイスを基に図を作り直しました。
どうか正しいか確認して頂けないでしょうか？
まずは図形の画像です。

No.58747 - 2019/05/31(Fri) 22:54:18

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

分け合って少しアルファベットの記号が違います。申し訳ありません。もう一つは記号の表す長さです。
みにくい場合はいって頂けるとありがたいです。

No.58749 - 2019/05/31(Fri) 22:56:04

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

残念ながら正しくありません。
θ+dθの方はCを通る弧を描いて、それとx軸との交点から
垂線を出さないといけません。
(θのときのBに対応するのはθ+dθのときCです)
あと、1/(cosθ)^2となるのはHRでなくORです。

No.58750 - 2019/05/31(Fri) 23:00:24

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

せっかくのアドバイスを正しく理解できずすいません。
大変申し訳ないのですが、どうか私の送った画像を正しい図にしていただけないでしょうか。

＞＞θ+dθの方はCを通る弧を描いて、それとx軸との交点から
垂線を出さないといけません。
点Hを通る弧は点Cを通るということでしょうか？
だとしたらなぜでしょうか。

お手数おかけしますがどうか理解したいのでお願いいたします。

No.58751 - 2019/05/31(Fri) 23:08:50

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

点Hを通る弧はCは通りません。

θのときにAからBへの垂線を引いて
BからHまでの弧を描いて
HからRまでの垂線を引く
というのは正しいです。

θ+dθのときはBは関係ありませんので使えません。
θ+dθのときは、AからCへの垂線を引いて
CからH'までの弧を描いて（H'はOH'=OCであるようなx軸上の点）
H'からR'までの垂線を引く（R'はH'を通りx軸に垂直な直線と直線OCの交点）
のようになります。
つまりθのときに直線OBを使って作図したのと同じことを、
今度は直線OBの代わりに直線OCに関して行うということです。

No.58752 - 2019/05/31(Fri) 23:18:35

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信ありがとうございます。
少し荒い感じになってしまい、かつR`がはみ出てしまっていますが、図として正しいでしょうか。
確認お願いいたします。

No.58753 - 2019/05/31(Fri) 23:47:29

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

はい、正しいです。
これでOR'-ORをdθ×○と表せれば良いのですが…

No.58754 - 2019/06/01(Sat) 00:08:29

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

確認、ありがとうございます。
ちなみに、OR、OR'、OH、OH'、HR、HR'、HH'それぞれの長さはわかりますか？
ABは長さtanθですが、比を用いて解くのでしょうか？

たしかに、後はd(1/ cos^2θ)がどこかに作りd(1/ cos^2θ)/dθ=とすればなんとかなるのですが。

No.58755 - 2019/06/01(Sat) 00:20:35

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

素直に考えるとOR=1/(cosθ)^2、OR'=1/(cos(θ+dθ))^2ですが
これではどうしようもないですよね。
BCぐらいはdθを使って表せそうな気がしますので
OH'まではおそらく何とかなると思いますが、
そこから先が厳しそうです。
それ以上はわかりません。
（というか、図形的にできる気がしません。）

No.58756 - 2019/06/01(Sat) 00:26:45

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

なるほど、どうもありがとうございます。
ちなみにOR=1/(cosθ)^2、OR'=1/(cos(θ+dθ))^2とのことですが、どのような過程の計算を経てOR=1/(cosθ)^2、OR'=1/(cos(θ+dθ))^2と導けたのでしょうか。
導くまでの過程の計算を教えて頂けますか？

No.58763 - 2019/06/01(Sat) 12:07:53

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

OBcosθ=OA
OB=OH
ORcosθ=OH
OA=1
から
OR=OH/cosθ=OB/cosθ=OA/(cosθ)^2=1/(cosθ)^2
です。
OR'はθがθ+dθに変わっただけです。

# この図では図形的に求めるのは困難な気がしますが、
# 何かうまい図が描ければ求められるかも知れない、
# とは思っています。

No.58764 - 2019/06/01(Sat) 12:52:26

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

丁寧に回答してくださりありがとうございます！

No.58784 - 2019/06/02(Sun) 09:54:48

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

d((cosθ)^2)/dθの図を参考に考えたら、
d(1/(cosθ)^2)/dθはこの図で求められることがわかりました。

No.58834 - 2019/06/03(Mon) 23:54:18

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

本当にどうもありがとうございます！
あの、d((cosθ)^2)/dθの図を参考に考えたとのことですが、どうやって載せて頂いた図を作っていったのか過程の作図方法を詳しく書いていただけないでしょうか？
また、この図は0°<θ<180°の範囲でのみ成り立つのでしょうか？

後、個人的な質問なのですが、らすかるさんは数学の講師の方なのでしょうか？
私のような理解の遅い低知能人間にわかりやすく教えてくださったり、ここまで幾何学的でわかりやすい説明ができる方に出会えて素直にうれしいです。

No.58839 - 2019/06/04(Tue) 09:05:20

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

(cosθ)^2のときに斜辺が1、底辺がcosθで
直角の角から対辺に垂線を下ろせば(cosθ)^2を作れたことから考えると、
底辺を1とすれは斜辺が1/cosθとなり、
直角でもθでもない角から図のように右下に垂直な線を引けば
1/(cosθ)^2は同様に作れるということに気づきました。
あとは、dθを足した頂点(図で一番上の点)を作って左下の角から
線を引き(図で左側の黒細線)、その足した頂点から黒細線に垂直に
なるように右側の黒細線を引けば、1/(cos(θ+dθ))^2が出来て
青い補助線を加えれば(cosθ)^2のときと全く同様に示せると思いました。

個人情報に関する質問にはあまり答えたくないですが、
少なくとも数学の講師ではありません。

No.58841 - 2019/06/04(Tue) 09:45:23

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

なるほどです！どうもありがとうございます！
ちなみに、この図は0°<θ<180°の範囲でのみ成り立つのでしょうか？
もう一つ、画像の図は間違っていたということでしょうか？
あるいは、正しいけれど、これ以上導けないということでしょうか？

No.58847 - 2019/06/04(Tue) 11:55:21

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

eの半分がcですが、なぜcはd(1/cos^2θ)*1/2ではなく(tanθ/cos^2θ)*dθと書いているのでしょうか？

No.58852 - 2019/06/04(Tue) 13:00:24

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> ちなみに、この図は0°<θ<180°の範囲でのみ成り立つのでしょうか？
図を同じように書けるためには
0°＜θ＜90°である必要がありますね。

> もう一つ、画像の図は間違っていたということでしょうか？
間違っていません。
> あるいは、正しいけれど、これ以上導けないということでしょうか？
そうです。図は正しくても、d(1/(cosθ)^2)を解くのには不適だったということです。
ただし、この図でもこまごまと補助線を引けば同じ答えが得られる可能性はあります。

> eの半分がcですが、なぜcはd(1/cos^2θ)*1/2ではなく(tanθ/cos^2θ)*dθと書いているのでしょうか？
d((cosθ)^2)の図でd((cosθ)^2)の半分が
d((cosθ)^2)*1/2ではなく(cosθsinθ)dθと書かれていたのと全く同じ理由です。

No.58856 - 2019/06/04(Tue) 14:29:34

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信ありがとうございます！
d((cosθ)^2)の図でd((cosθ)^2)の半分が
d((cosθ)^2)*1/2ではなく(tanθ/cos^2θ)*dθと書かれるのは三角比の計算によって(tanθ/cos^2θ)*dθと導かれたためですか？

実は未だに比の計算でa,b,e,cが導けずにいます。どうかヒントを教えて頂けないでしょうか。
だとしたら、d((cosθ)^2)*1/2と置いたとしても、比の計算により(tanθ/cos^2θ)*dθと置けるのかもしれませんが。

No.58858 - 2019/06/04(Tue) 18:22:19

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> d((cosθ)^2)の図でd((cosθ)^2)の半分が
> d((cosθ)^2)*1/2ではなく(tanθ/cos^2θ)*dθと書かれるのは
> 三角比の計算によって(tanθ/cos^2θ)*dθと導かれたためですか？
そうです。cがd(1/(cosθ)^2)*1/2だったら、d(1/(cosθ)^2)/dθが求まりません。

bは
θの上に作った細い角度がdθですが
(弧長)=(中心角)×(半径)からb=dθ×(1/cosθ)です。

aは
aのところの緑二本線とbのところの緑二本線の交わる
小さい長方形の半分が元の三角形と相似なので
a=b・tanθとなります。

右側のcは
青線の下端から右側の黒線に垂線を下ろして小さい直角三角形を
作れば、ccosθ=aすなわちc=a÷cosθとわかります。

左側のcは
tanθ/cosθと書いてある黒太線の下端から青線に垂線を下ろすと、
その上側のほぼ二等辺三角形と最初のdθのところの二等辺三角形が
相似であることから、ccosθ=b・tanθとわかります。

eは計算で導くものではありません。
e=1/((cos(θ+dθ))^2)-1/((cosθ)^2)=d(1/(cosθ)^2)です。

No.58860 - 2019/06/04(Tue) 19:42:49

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

ご親切にどうもありがとうございます！
ヒントのおかげでなんとか導けそうです。本当にありがとうございます。

e=d(1/(cosθ)^2)より、その1/2はd(1/2(cosθ)^2)となりますが、三角比の計算を用いてd(1/2(cosθ)^2)からd(1/(cosθ)^2)と求められないのでしょうか？
あ、、、ですが、d(1/2(cosθ)^2)+d(1/2(cosθ)^2)=d(1/(cosθ)^2)と導けるので三角比とかいらないですね。他の方法でd(1/(cosθ)^2)を導くとしたら「e=1/((cos(θ+dθ))^2)-1/((cosθ)^2)=d(1/(cosθ)^2)」がありますし。

ちなみに1/((cos(θ+dθ))^2)の導き方が未だにわからないのですが、ヒントをください。

もう一つ、今回の問題の基になった画像に関してなのですが、線OJの線の長さは1-((dθ*sinθ/cosθ）と導けたのですが、合っていますでしょうか。

No.58865 - 2019/06/04(Tue) 20:29:43

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> ちなみに1/((cos(θ+dθ))^2)の導き方が未だにわからないのですが、ヒントをください。
前に「(cos(θ+dθ))^2の導き方がわからない」と言っていた時と同様です。
(cos(θ+dθ))^2の導き方をどうやって理解したか思い出して下さい。

> 線OJの線の長さ
OJとはどの図のどこのことですか？

No.58873 - 2019/06/04(Tue) 22:31:23

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

こちらの画像のOJです。

No.58885 - 2019/06/05(Wed) 14:15:43

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

それならばOJの長さは正しいです。

No.58888 - 2019/06/05(Wed) 15:53:28

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

どうもありがとうございます！
ちなみに、1/((cos(θ+dθ))^2)は画像の線分ABの長さと出ました！

No.58938 - 2019/06/07(Fri) 21:31:52

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

度々すいません。確認として、No.58938の画像の線分ABの長さは1/((cos(θ+dθ))^2)で合っていますか？

No.58947 - 2019/06/08(Sat) 05:47:39

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

合っています。

No.58952 - 2019/06/08(Sat) 11:42:22

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

どうもありがとうございます！
式が1/(cos(θ+dθ)):1=X:1/(cos(θ+dθ)となるので合っていてよかったです！

No.58953 - 2019/06/08(Sat) 12:53:42

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

ちなみに、今回の式は0＜θ＜90°の範囲で成り立ちますが、θがは0＜θ＜90°の範囲外だったらどうするのでしょか？
私としてはθが0＜θ＜90°の範囲内の角度になるように平行移動や反転させようと考えたのですが、この方法でもよいでしょうか？
他に方法があればぜひ教えてほしいです。

No.58959 - 2019/06/08(Sat) 14:18:25

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

0＜θ＜90°の範囲外は他の公式から数式的に求めればよいと思いますが、
範囲外まで図形的に求めたい理由は何ですか？

No.58965 - 2019/06/08(Sat) 15:57:48

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信が遅くなりすいません。
単純な理由で申し訳ないのですが、図形で解きたいというこだわりです。（過去に読んだ数学の本で数式を図にして解いた方法がとても美しくシンプルだった為、幾何学に惹かれ、数式を幾何学的な図形に変換して解決できないかとこだわっています。ですが、私はそこまで能力がないためらすかるさんのような才能ある方に教えて頂いてなんとか理解しています。私の持つこのこだわりは一人では何も解けない、理解ができないため迷惑なこだわりです。ですが他の方に呆れられても馬鹿にされても式を図で解くのを見てみたいという欲にかられます。そのため今回のように質問させて頂きました。長文失礼します。）

ちなみにθ=180°とした場合は図形は作れないですよね。
作ろうと紙に書いてみましたがさすがに書けませんでいた。
なので素直に微分の定義などの公式、定義から数式的に求めるしかないとわかりました。

No.58972 - 2019/06/09(Sun) 01:34:20

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

90°＜θ＜180°は同じ図でOKだと思います。
ただし、θは現在のθの外角として
θ+dθの代わりにθ-dθと考え、また符号が負になるものも
考慮する必要があります。
その先はご自身でお考え下さい。

No.58973 - 2019/06/09(Sun) 02:44:22

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信ありがとうございます！
＞＞90°＜θ＜180°は同じ図でOKだと思います。
ただし、θは現在のθの外角として
θ+dθの代わりにθ-dθと考え、また符号が負になる
以上を参考に図を書いてみました。
多分、図は間違っていると思いますが、θ+dθの代わりにθ-dθとするのはdθを含んだ式を作るために、θと関係を持たせるためにθが90°より大きい場合はθ-dθとする必要があると思うのですが合っていますでしょうか？

ただ、図形の長さの符号を変換することでθが90°より大きい場合を90°よりも小さい場合にして同じ図形のようにして解くことはできないでしょうか？
（まあ、今回導いた図に関してθが120°などでも、それ相応のcosθが導けるので今回の図のままでも良いとわかります。）

どうかよろしくお願いします。

No.58980 - 2019/06/09(Sun) 14:32:21

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> 以上を参考に図を書いてみました。
左右反転する必要はないと思います。
「全く同じ図」で、θのとる位置を左側にすれば済むことです。

> 90°より大きい場合はθ-dθとする必要があると思うのですが合っていますでしょうか？
合っていません。
90°より大きくてもθ+dθでも良いのですが、
「全く同じ図」で「全く同じやり方」にするためにθ-dθにしただけです。
（微分可能という前提ならばθ+dθでもθ-dθでも同じです）
前の図のθの外角をθにすると、dθはθに含まれていますので
dθ変化させた後の角度は自動的にθ-dθになります。

> ただ、図形の長さの符号を変換することでθが90°より大きい場合を
> 90°よりも小さい場合にして同じ図形のようにして解くことはできないでしょうか？
私はそれを想定しています。
全く同じ図で同じ式で、符号だけ考慮すれば済むと思っています。
（思っているだけで実際に確認はしていません）

No.58988 - 2019/06/09(Sun) 18:21:09

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

詳しい解答ありがとうございます！
なるほど、、、。
＞＞微分可能という前提ならばθ+dθでもθ-dθでも同じです。
ということはcosθ-cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)と
はcos(θ-dθ)-cosθ/(θ-dθ)-θは同じ式なのでしょうか？
もし同じである場合は理由を式を踏まえて教えていただきたいです！！
どうかよろしくお願いします。

No.59002 - 2019/06/09(Sun) 21:59:39

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> ということはcosθ-cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)と
> はcos(θ-dθ)-cosθ/(θ-dθ)-θは同じ式なのでしょうか？
cosθ-cos(θ+dθ)/θ-(θ+dθ)は
{cosθ}-{cos(θ+dθ)/θ}-(θ+dθ)と解釈されてしまいますので
きちんとカッコを付けましょう。

{cosθ-cos(θ+dθ)}/{θ-(θ+dθ)}と
{cos(θ-dθ)-cosθ}/{(θ-dθ)-θ}は
dθ→0のときに同じ値に収束する、というだけであって、
「同じ式」ではありません。

No.59014 - 2019/06/09(Sun) 23:17:36

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信ありがとうございます！
わざわざ式にカッコを付けて見やすく書いてくださりありがとうございます。

なるほど、{cosθ-cos(θ+dθ)}/{θ-(θ+dθ)}と
{cos(θ-dθ)-cosθ}/{(θ-dθ)-θ}は同じ式ではないですが、同じ値が導けるのですね！

No.59026 - 2019/06/10(Mon) 01:17:22

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

なんだか勘違いしていたようで、θが120°などの場合90°を足せば同じ傾きが求まると思っていましたが全然違いました。
＞＞全く同じ図」で、θのとる位置を左側にすれば済むことです。
なるほど、θが90°よりも大きい場合で
(θ+dθ)を(α-dθ)として置けば、今回の図からの式をそのまま使えるわけですね。
今まで90°を足せば（式の符号をマイナスにすれば）良いとばかり考えていました。

ってことはθが90°よりも大きい場合での式は
{-cos(θ+dθ)+cosθ}/{(θ+dθ)-θ｝ですが、
左側の角度をαと置いて、画像の図より（α-dθ）として
-cos(α-dθ)+cosα}/{(α+dθ)-α｝とすればθ+dθの時と同じ傾きがわかるのでしょうか？

No.59027 - 2019/06/10(Mon) 02:12:50

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

αを持ち出す必要はありませんし、
分子でαからdθを引いて分母でαにdθを足すのも変です。
もしその図で求めるなら、そのまま
{cos(θ+dθ)-cosθ}/{(θ+dθ)-θ}
です。

それから、図の中に-cosθと書かれていますが
これがx座標を書いているのなら正しくありません。
x座標はcosθです。

なぜいろいろ変えようとするのでしょうか。
前の図を「そのまま」使って、θの場所を外角にして
符号だけ注意すれば、「同じ式変形」で出来ると思いますが。

No.59028 - 2019/06/10(Mon) 02:30:25

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

＞＞それから、図の中に-cosθと書かれていますが
これがx座標を書いているのなら正しくありません。
x座標はcosθです。
一様、図は中心点よりも左側での話であるため、X座標の負の領域であるため、マイナスを付けたのですが、長さであるためマイナスはつける必要がないということでしょうか？

すいません、文章の正しい理解が出来ていませんでした。
角度αに関しては少し式が間違っておりました。正しくは｛-cos(α-dθ)-（-cosα}/{(α-dθ)+α｝と書きたかったです。（間違っていると思いますが。）

No.59029 - 2019/06/10(Mon) 03:23:48

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> X座標の負の領域であるため、マイナスを付けたのですが、
cosθの値が負ですから、マイナスを付けると正になってしまいます。

> 長さであるためマイナスはつける必要がないということでしょうか？
逆です。
cosθ＜0ですから、長さを示しているならマイナスがいります。
でも点線で下ろしてきた場所の位置を表しているように見えたので、
それならばマイナスは付けてはいけないということです。

> ｛-cos(α-dθ)-（-cosα}/{(α-dθ)+α｝
せっかくθが鈍角の図にしているのに、
ここでαを使ってしまったら0°～90°の証明にしかなりませんね。

No.59030 - 2019/06/10(Mon) 03:46:42

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信ありがとうございます！
そうだったのですね！ですがcos(θ+dθ)も負の領域です。
その場合、{-cos(θ+dθ)-（-cosθ）}/{(θ+dθ)-θ}と式ができると思うのですが、{cos(θ+dθ)-（-cosθ）}/{(θ+dθ)-θ}なのでしょうか？

もう一つあるのですが、また少し戻るようで申し訳ないのですが、
{cosθ-cos(θ+dθ)}/{θ-(θ+dθ)}の符号を変えることでθが鈍角の場合でも使えるとのことですが、符号を変えるとはθに+90°を加えるということでしょうか？

No.59039 - 2019/06/10(Mon) 13:53:40

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

＞＞θの外角をθにすると、dθはθに含まれていますので
dθ変化させた後の角度は自動的にθ-dθになります。
とは、画像のようなことを言っているのでしょうか？

No.59041 - 2019/06/10(Mon) 14:25:47

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

度々すいません。
＞＞θの外角をθにすると、dθはθに含まれていますので
dθ変化させた後の角度は自動的にθ-dθになります。
とは、画像のようなことを言っているのでしょうか？
このようにすることで同じ傾きを求められるということだったのでしょうか？

No.59042 - 2019/06/10(Mon) 14:31:55

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> その場合、{-cos(θ+dθ)-（-cosθ）}/{(θ+dθ)-θ}と式ができると思うのですが、
> {cos(θ+dθ)-（-cosθ）}/{(θ+dθ)-θ}なのでしょうか？
どちらも違います。いつのまにかcosの微分の話になってしまっていますが、
cosの微分の話ならばcosθの符号に関係なく常に
{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}です。

> {cosθ-cos(θ+dθ)}/{θ-(θ+dθ)}の符号を変えることでθが鈍角の場合でも
> 使えるとのことですが、符号を変えるとはθに+90°を加えるということでしょうか？
違います。
私は「{cosθ-cos(θ+dθ)}/{θ-(θ+dθ)}の符号を変える」とは言っていません。
例えば58834で書いた図で斜辺の長さが1/cosθとなっていますが、
θを外角にした場合は斜辺の長さは1/(-cosθ)です。
つまり「長さ」は正なので符号に注意、ということです。
また「θに+90°を加える」ことはありません。それは間違いです。

> dθ変化させた後の角度は自動的にθ-dθになります。
> とは、画像のようなことを言っているのでしょうか？
なぜ画像が前と違うのですか？
いいかげん「前と全く同じ図を使う」という日本語の意味を理解して下さい。
しかもその図でθが鈍角になっているのに「外角θとする」など、
意味がわかりません。
ひょっとして、「θはx軸の正の方向(つまり右方向)から開始しなければいけない」
という固定概念でもあるのでしょうか。

No.59043 - 2019/06/10(Mon) 14:37:21

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

うまく理解ができずすいません。
少しづつ自分の勘違いしている点がわかってきました。
私は負の領域ではcosθはマイナスになると思っていたため、常に{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}だとは知りませんでした。
また、分子分母に-1を掛けることで{(cosθ)-cos(θ+dθ)}/{θ-(θ+dθ)} と出来るのですね。

同じことを聞いてしまうようで申し訳ないのですが、なぜ{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}は負の領域でも符号が変わらないのでしょうか？

No.59044 - 2019/06/10(Mon) 15:02:29

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> 私は負の領域ではcosθはマイナスになると思っていたため
90°＜θ＜180°ではcosθはマイナスになります。それは間違っていません。
cosθがマイナスになることから式の形が変わると思い込んでいるところが間違いです。

> なぜ{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}は負の領域でも符号が変わらないのでしょうか？
「負の領域でも符号が変わらない」とはどういう意味ですか？
式の符号のことならば、
微分係数の定義がlim[dθ→0]{f(θ+dθ)-f(θ)}/dθ
なのでf(θ)=cosθならばlimの中身は
{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/dθ
となり、これはf(θ)の符号で変わるものではありません。

No.59045 - 2019/06/10(Mon) 15:29:20

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信ありがとうございます！
＞＞cosθの符号に関係なく常に
{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}です。
とのことですが、{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}は{(cosθ)-cos(θ+dθ)}/{θ-(θ+dθ)}とも表せるわけですね！

＞＞「負の領域でも符号が変わらない」とはどういう意味ですか？
画像の斜線の引いてある範囲を言っています。
θが90°より大きいとこの斜線の範囲に入るためXの値はマイナスになると思っています。

もしや、-cos(α-dθ)や-cosαはマイナスではあるけれど、この二つをθを含む式にすると正の値になり、{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}の式が導けるということでしょうか？

No.59047 - 2019/06/10(Mon) 17:09:16

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

画像の図は間違っていました。
左から角度αで始まるため、cos(α-dθ)やcosαですね。
ちなみに、そのcos(α-dθ)やcosαの式をcosθの式に置き換えてると{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}の式が導けるということでしょうか？
＞＞前の図を「そのまま」使って、θの場所を外角にして
符号だけ注意すれば、「同じ式変形」で出来ると思いますが。
あ、、まさか、反転させてθを左側に置けばいいのですか？
ですが、反転する必要はないとのことですが、どうやってθを外角にするのでしょうか？

No.59048 - 2019/06/10(Mon) 17:21:44

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

少し自分の勘違いと理解不足がわかってきました。
cos120°自体がマイナスの値であるため、
- cos120°はマイナスとマイナスで正の値になるのですね。
なので、{- cosθ-(- cos(θ+dθ)}はθが90°より大きい場合は
cosθ自体とマイナスの符号より正の値となるため、 cosθ- cos(θ+dθ)とおける。
故に常にcosθ- cos(θ+dθ)とおけるわけですね！

No.59054 - 2019/06/10(Mon) 18:28:14

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

ちなみに、 cos^2θの微分に関しては符号により式が変わると思うのですがあっていますか？
仮に{- cos^2θ-(-cos^2(θ+dθ))}/{(θ-(θ+dθ)}とした場合、
cos^2θは二乗により必ず正になるが、
マイナスにより負の値になります。
なので、 cosθの時の微分とは違い、 cos^2θの微分に関しては符号によっては式が変わると思います。

No.59055 - 2019/06/10(Mon) 19:00:44

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> {cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}は
> {(cosθ)-cos(θ+dθ)}/{θ-(θ+dθ)}とも表せるわけですね！

これは単なる式変形であって本質とは関係なく、どうでもいいことです。

> もしや、-cos(α-dθ)や-cosαはマイナスではあるけれど、
> この二つをθを含む式にすると正の値になり、
> {cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}の式が導けるということでしょうか？

> {- cosθ-(- cos(θ+dθ)}はθが90°より大きい場合は
> cosθ自体とマイナスの符号より正の値となるため、 cosθ- cos(θ+dθ)とおける。
> 故に常にcosθ- cos(θ+dθ)とおけるわけですね！

ここら辺の分を見ると、まだまだ考え方が正しくないようです。
「{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}の式を導く」のではありません。
式は最初から「{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}」であって、
その値を求めるのです。

> 左から角度αで始まるため、cos(α-dθ)やcosαですね。
> ちなみに、そのcos(α-dθ)やcosαの式をcosθの式に置き換えてると
> {cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}の式が導けるということでしょうか？

前に書いたことが通じていないようですね。
αを使って示してθに置き換えたのでは、
「0°＜θ＜90°の場合の幾何学的証明を使って90°＜θ＜180°の場合を
　代数的に示した」ことになってしまいます。
「90°＜θ＜180°の場合を直接幾何学的に」示したかったのですよね？
それでしたら、鋭角のαを使ってはいけません。

> ＞＞前の図を「そのまま」使って、θの場所を外角にして
> 符号だけ注意すれば、「同じ式変形」で出来ると思いますが。

いつになったら「前の図をそのまま」使って貰えるのでしょうか。
もう「前の図と異なる図」を載せるのはやめて下さい。

> あ、、まさか、反転させてθを左側に置けばいいのですか？

何をどう反転させることを考えているのですか？
根本から考えが合っていないようなので
何を考えているのかわかりません。

> ですが、反転する必要はないとのことですが、どうやってθを外角にするのでしょうか？

どうやってって…「外角」の意味がわからないということですか？
前の図では「原点から右方向に出ている黒い太線」と
「原点から右上方向に出ている黒い太線」の間がθですよね。
この「外角」ですから、原点から左方向に細い線を引いて
この線と「原点から右上方向に出ている黒い太線」の間を
θにするということです。
今までθだったところは180°-θになるわけですが、
ここの角度は使いませんので書く必要はありません。

No.59056 - 2019/06/10(Mon) 19:00:49

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

ご迷惑をおかけしてしまい申し訳ありません。
前の画像とはこちらの画像でしょうか？

>>今までθだったところは180°-θになるわけですが、
ここの角度は使いませんので書く必要はありません。
わかりました。θを使うのですね。気をつけます。

私はてっきり-cos120°は-×-1/2となり、正の値になるため、
結果的に{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}となると考えていました。

ちなみに cos^2θの場合も符号に関係なく、常に一定の式なのでしょうか？

No.59061 - 2019/06/10(Mon) 19:37:32

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

その画像ではありません。
0°＜θ＜90°の場合の証明に使用した画像、すなわち58834の画像です。
最初に「同じ図で」と書いたのは58973なのですから、それより前に決まってます。
58973で「同じ図でOK」
58988で「全く同じ図で」を3回
59028で「前の図を「そのまま」使って」
59043で「前と全く同じ図を使う」
59056で「前の図をそのまま」
これだけ書いても通じないのですね。

> ちなみに cos^2θの場合も符号に関係なく、常に一定の式なのでしょうか？
当然です。
微分係数の定義がlim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/hで
この式の形はf(x)の符号と関係ありませんので、
(cosθ)^2に限らず、全ての関数で一定の式です。

No.59067 - 2019/06/10(Mon) 20:38:18

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

本当にごめんなさい。
先ほど、やっと理解できました。
-cosθと書くこと自体が間違っていました。
θが90°より大きい時のcosθ自体がマイナスの値であるため、-も何もつけな良くてよいことがわかりました。
要はcosθ自体の「値」についているマイナス自体がX軸の負の領域を表していたのですね。そのためcosθだけでよかったというわけですね！（cosθの値が正であれ、負であれ。）
今まで負の値のcosθは-を付けると思っていました。
多分三角関数の正しい表し方がわかっていなかったのですね。

(cosθ)^2についても、同じような考え方ですね！（(cosθ)^2の値が正であれ、負であれ。(cosθ)^2の中身の値が正であれ、負であれ、負であったとしても(cosθ)^2自体（の値）が負を表しているため(cosθ)^2の値のマイナスの符号を再度付ける必要がないわけですね。）

No.59073 - 2019/06/10(Mon) 22:15:22

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

昨日改めて復習して、わかってきました。
角度θが90°より大きくて反対側がα+dθやα-dθのどちらであっても変数の式は変わる（厳密には角度の部分が変わる。角度の部分以外の変数の部分は一定）けれど、結果的に導かれる値がほぼ同じになるということですね。
故にどんなθの時でも、以上の理由で結果的に導かれる値がほぼ同じであるためどんなθでも良いということでしょうか？

No.59091 - 2019/06/11(Tue) 16:35:49

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

「ほぼ同じ」とはどういう意味ですか？
「ほぼ同じ」では証明になりません。

> どんなθでも良いということでしょうか？
0°＜θ＜90°のときと
90°＜θ＜180°のときは
図が異なります（少なくともθが違う）ので、
「どんなθでも良い」ような図は書けませんね。
180°＜θ＜270°ならまた別の図が必要です。
同じ三角形は使えますが。

結果的に図形的にcosθ=-cos(180°-θ)のような性質を
使うわけで、内容的には0°＜θ＜90°の結果を使って
代数的に求めるのと何ら変わりはありません。
だから、以前「なぜ90°＜θ＜180°の場合をわざわざ
図を使って示そうとするのか」と質問したのです。

No.59101 - 2019/06/11(Tue) 17:53:00

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信ありがとうございます！
＞＞「ほぼ同じ」とはどういう意味ですか？
dθが限りなく0になるため、
例えば{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}と{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}のように違う式ですが、結果的にほぼ同じ結果になるということを言いたかったのです。

たしかにおっしゃる通り、θが90°＜θ＜180°では画像のように反転させたものになるので0°＜θ＜90°のときの図とは異なります。
たしかに、一つの図でどんな場合のθに対応した式は作れないです。ですが、結果的に得られる式は同じです。角度の部分が少しθの取る範囲によっては{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}と{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}のように異なりますが、dθが0に近くなることで得られる値（結果）はほぼ同じになると思います。

＞＞結果的に図形的にcosθ=-cos(180°-θ)のような性質を
使うわけで、内容的には0°＜θ＜90°の結果を使って
代数的に求めるのと何ら変わりはありません。
だから、以前「なぜ90°＜θ＜180°の場合をわざわざ
図を使って示そうとするのか」と質問したのです。

なるほど、正しく理解できていると良いのですが、0°＜θ＜90°の場合（cosθ=-cos(180°-θ)であり、右側にcosθが作れる）でも、90°＜θ＜180°の場合（左側にcosθを作れる）でもcosθのままであるため、θの取る範囲が違うし図は違うけれど符号が変わることなくそのままcosθを使えるため、使う式は同じというわけですね。ゆえに0°＜θ＜90°の時の場合の図から導いた式をそのまま0°＜θ＜90°以外のθの場合でも使えるというわけですね。
これはcosθの微分の定義に関しても同じことが言えて、θの取る範囲によって図は異なるが、どの場合であれ式は同じわけですね！そして結果も同じ。
ちなみに、どんなθの場合での微分の式を書くにしても図は異なるが式は{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}と{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}の二つの書き方がありますが、どっちにしても結果はdθが0に限りなく近くなるためほぼ同じであるということですね。
これは今回の図形にも言えることで、+dθか‐dθのどっちで図を作ってもよいが、値はどちらもほぼ同じというわけですね。+dθか‐dθのどちらの場合でも範囲と図は異なるが式は一定で、+dθか‐dθの違いだけですね。そしてどっちをつかっても結果はほぼ同じのなのでどっちでもいいわけですね！

No.59105 - 2019/06/11(Tue) 19:41:19

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

すいません。載せる画像を間違えました。
こちらです。

No.59106 - 2019/06/11(Tue) 19:43:44

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

「ほぼ同じ」とたくさん書かれていますが、
「ほぼ同じ」は全く数学的ではありませんので、
数学の議論には不適切です。
（「ほぼ同じ」の数学的意味を定義しない限り、意味不明な言葉です。）
「dθが0に近くなることで得られる値はほぼ同じ」は
「dθ→0の極限値が一致」と書くべきです。

それから、図を左右反転させていますが、
反転させずにθを左側に書けばよいだけです。
元々xy平面に書いているわけではなく
ただの幾何学的な図ですから、
θが右側になければならない理由は全くありません。
「θは右側」という固定概念は捨てましょう。
反転させずに
1/cosθ → 1/|cosθ|
b=(1/cosθ)dθ → b=(1/|cosθ|)dθ
と変えることで0°＜θ＜90°の場合と
90°＜θ＜180°の場合の図を
θの位置以外すべて共通にできます。

No.59112 - 2019/06/11(Tue) 21:33:15

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

ご指摘してくださりありがとうございます。

＞＞θが右側になければならない理由は全くありません。
「θは右側」という固定概念は捨てましょう。
なるほど、画像のように左側から始めれば良いのですね。

＞＞元々xy平面に書いているわけではなく
ただの幾何学的な図ですから、
今まで座標上に描いているとばかり思いこんでいました。
xy平面でない平面で成り立つからと言ってxy平面で成り立つかはわかりませんが（今回の図はどっちの平面でも成り立ちました。ただ三角関数はxy平面でない平面でも式が表せるため、（xy平面で図を作るのもよいが、）そのようなxy平面でない平面で表せる図の場合は減少はあれど負の長さはないのでどのようなθの場合でも（θによって図は異なるが図から導かれる式は同じなので）同じ式で解けるのでしょう。）

ちなみに、{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}と{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}のように違う式ですが、結果的にほぼ同じ結果になるという解釈で大丈夫でしょうか？

もう一つ、90°＜θ＜180°の場合は図が異なるとのことですが、それは図を置く位置が異なるということですか？

No.59117 - 2019/06/12(Wed) 01:04:08

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> {cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}と{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}のように違う式ですが、
> 結果的にほぼ同じ結果になるという解釈で大丈夫でしょうか？

「ほぼ同じ」というのは「近似値」という意味と考えられますので、
その言い方は正しくありません。
「近似値」と「正確に一致」は大違いです。

cosθは微分可能なので
lim[dθ→0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
の値が定まります。
これの意味は
lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
lim[dθ→-0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
の両方の値が定まって一致するという意味です。
lim[dθ→-0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
はdθを-dθに置き換えれば
lim[dθ→+0]{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}
なので、
lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
と
lim[dθ→+0]{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}
は同一の値になる（決して「ほぼ同じ」ではないことに注意！）、
ということです。

# 0°＜θ＜90°のときも「微分可能」を前提にしているから
# lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
# の方だけで良いのであって、そうでなければ
# lim[dθ→+0]{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}
# の方も示す必要があります。
# 「微分可能」を前提にすれば、
# lim[dθ→+0]{cos(θ+dθ)-(cosθ)}/{(θ+dθ)-θ}
# と
# lim[dθ→+0]{cos(θ-dθ)-(cosθ)}/{(θ-dθ)-θ}
# のどちらか一つでOKです。

> もう一つ、90°＜θ＜180°の場合は図が異なるとのことですが、
> それは図を置く位置が異なるということですか？

ただの幾何学的な単一の図形に「置く位置」は関係ありませんので
「図を置く位置」が何を指しているのかわかりません。
90°＜θ＜180°の図が0°＜θ＜90°の図と異なるのは、
・θの位置を外角に変える(よって底辺を左側に延長する必要があります)
・斜辺の長さ1/cosθを1/(-cosθ)に変える
・b=(1/cosθ)dθをb=(1/(-cosθ))dθに変える
・c=(tanθ/(cosθ)^2)dθをc=(-tanθ/(cosθ)^2)dθに変える
の4点です。

No.59119 - 2019/06/12(Wed) 02:26:54

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

詳しい説明ありがとうございます！

微分の式について、同じ値になることは納得できました。わかりやすい説明ありがとうございます！

＞＞・θの位置を外角に変える(よって底辺を左側に延長する必要があります)
・斜辺の長さ1/cosθを1/(-cosθ)に変える
・b=(1/cosθ)dθをb=(1/(-cosθ))dθに変える
・c=(tanθ/(cosθ)^2)dθをc=(-tanθ/(cosθ)^2)dθに変える

とのことですが、90°＜θ＜180°の図での式に関して、どのようにして式
1/cosθ、b=(1/cosθ)dθ、c=(tanθ/(cosθ)^2)dθ
のどこにマイナスの符号が付くとわかったのでしょうか？是非詳しく教えてください。

そして、幾何学的な単一の図形なのにマイナスの符号が付くのは減少を表しているのでしょうか？
もう一つ、どのθの場合であれ、図と範囲は違えど、導かれる式は同じということでしょうか？

No.59120 - 2019/06/12(Wed) 04:41:40

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

θが鋭角の場合、斜辺の長さを1として
斜辺の端のうちθの角でない方の端から下ろした
垂線の足からθの角までの距離がcosθになりますよね。
# ここらへん、図の各頂点にA,B,C,…と名前が付いていれば
# こんなまわりくどい説明にならずに済むんですけどね。
一方、θが鈍角の場合（59117の図の太いθ）は、
斜辺の長さが1ならば垂線の足からθの角までの距離は
-cosθになります（∵単位円上のcosの定義）。
よって(斜辺)：(底辺)=1：-cosθなわけで、
59117の図では底辺が1ですから斜辺は1/(-cosθ)になります。
同様にtanθもマイナスですから
右側のtanθ/cosθの辺は
(-tanθ)×(1/(-cosθ))=tanθ/cosθとなり結果的に前と同じ、
bは斜辺にdθを掛けたものなので(1/(-cosθ))dθ、
aはbの(-tanθ)倍なので((-tanθ)/(-cosθ))dθ=(tanθ/cosθ)dθ、
cはaを(-cosθ)で割ったものなので-(tanθ/(cosθ)^2)dθ
のようになります。
つまり、鋭角のときに直角三角形の辺の比が
(底辺)：(垂直辺)：(斜辺)=1：tanθ：1/cosθ
だったものが
(底辺)：(垂直辺)：(斜辺)=1：-tanθ：1/(-cosθ)
となるだけなので、各辺の長さやa,b,cを算出する時に
符号を気にすればよいだけです。

> 幾何学的な単一の図形なのにマイナスの符号が付くのは
> 減少を表しているのでしょうか？
「マイナス記号」＝「負」という先入観は捨てましょう。
マイナス記号は「負」ではなく、符号の反転です。
cosθが負の値なら-cosθは正の値ですから、
辺の長さが-cosθなどであっても何の問題もありませんし、
当然「減少」などを表すわけでもありません。

> もう一つ、どのθの場合であれ、図と範囲は違えど、
> 導かれる式は同じということでしょうか？
普通に代数的に微分するときに符号とか関係なく
一定の式になりますので、図形から求めても
結果的に同じになるはずですね。

No.59121 - 2019/06/12(Wed) 05:31:27

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信ありがとうございます！
大変恥ずかしいのですが、θが鈍角の場合（90°＜θ＜180°）になぜ-cosθになるのかわかりませんでした。
マイナスを付けることでcosθを正の値にして0＜θ＜90°の図の式と同じようにするためでしょうか？
それってxy平面で今回の図を書く場合でも同じようなやり方でできるのでしょうか？

またcosθ=-cos(180°-θ)はθがどんな角度の時でも成り立つのでしょうか？

また画像のように少し斜めっている場合でも式は立てられるのでしょうか？多分、平面での図なので符号など気を付ければ求まるような気はします。

No.59132 - 2019/06/12(Wed) 20:55:12

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> θが鈍角の場合（90°＜θ＜180°）になぜ-cosθになるのかわかりませんでした。
cosθは負、長さは正で絶対値が同じだからです。
よくわからなければ、θに具体値を入れて
図を正確に書いて考えて下さい。
数学を理解するには自分の手を動かすことが重要です。
説明された文を読んだり人の話を聞くだけでは身に付きません。

> マイナスを付けることでcosθを正の値にして
> 0＜θ＜90°の図の式と同じようにするためでしょうか？
同じようにするためではなく、辺の長さは正なので
マイナスを付けないと誤りです。

> それってxy平面で今回の図を書く場合でも同じようなやり方でできるのでしょうか？
ただの幾何学的な図ですから、どこの平面に書こうと関係ありません。
# 座標と関係ありませんので、xy平面のどこにどんな向きに書こうと関係ありません。
# 例えば辺の長さが3,4,5の直角三角形はxy平面のどこにどんな向きで書いても
# 座標と関係なく、辺の長さが3,4,5の直角三角形であることは変わりませんね。
# それと同じです。

> またcosθ=-cos(180°-θ)はθがどんな角度の時でも成り立つのでしょうか？
そういうことは私に質問して私が答えても一時的に理解するだけで
身に付きません。「三角関数の性質」を検索してしっかり勉強して下さい。

> また画像のように少し斜めっている場合でも式は立てられるのでしょうか？
斜めになっているのが中身の値とどういう関係があるのですか？
辺の長さが3,4,5である直角三角形が書いてある紙を斜めにしたら値が変わるのですか？

# このスレのような質問をする前に、
# 三角関数の基本性質、微分の定義などの必要な事項は
# 自分でしっかり勉強して理解して下さい。
# 基本がわかっていないのに質問すると、いつまで経ってもスレが終わりません。
# このスレは他と比較して圧倒的に長いですよね？
# それは基本ができていないからです。

No.59137 - 2019/06/12(Wed) 21:14:29

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信ありがとうございます！
少しずつ理解できてきました。
0°＜θ＜90°正の値の時に正しい傾きがわかったため、90°＜θ＜180°の時はcosθの値がマイナスになってしまい正しい傾きが求まらないためマイナスの符号をつけた（図を90°回転させる）というようなことでしょうか？
なんだか、負の値にしないためにただマイナスを付けるというか、勝手にマイナスを持ってきていいのか不安があります。

＞＞cosθ=-cos(180°-θ)
はどんなθの角度でも成り立つとわかりました。

No.59147 - 2019/06/13(Thu) 00:07:19

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> 0°＜θ＜90°正の値の時に正しい傾きがわかったため、
> 90°＜θ＜180°の時はcosθの値がマイナスになってしまい
> 正しい傾きが求まらないためマイナスの符号をつけた（図を90°回転させる）というようなことでしょうか？
「正しい傾きが求まらない」とはどういうことですか？
例えばθ=60°のときに傾きは2でcosθ=1/2になるのと同様に
θ=120°のときは傾きが-2でcosθ=-1/2になります。
「正しい傾きが求まらないためマイナスの符号をつけた」とか
数学でそんないいかげんなことはあり得ません。
またなぜ「図を90°回転させる」が出てくるのでしょうか。
まだ鈍角のときに90°引くとか思ってるんですか？
回転は一切関係ありません。

> なんだか、負の値にしないためにただマイナスを付けるというか、
> 勝手にマイナスを持ってきていいのか不安があります。
「負の値にしないためにただマイナスを付ける」などという
いいかげんなことを数学でやることはありません。
cosθの値が「x軸の正の方向から反時計回りに長さ1の線分OA（Oは原点）を
θ回転した時のAのx座標」というのはわかっているんですよね？
# もしそれすら知らなければ「三角関数単位円」を検索して勉強して下さい
だからθが鈍角の場合はAのx座標であるcosθは当然負になり、
このAをy軸に対称に移動した点をA'とすれば
x軸の負の方向とOA'のなす角度はθであり、
Aのx座標とA'のx座標は符号を反転したものですから
A'のx座標は-cosθとなります。
だからマイナスなのです。
「求まらないからマイナスを付ける」とか「負の値にしないために
マイナスを付ける」みたいな非数学的なことは数学の証明とは無縁です。

No.59150 - 2019/06/13(Thu) 01:25:04

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

＞＞またなぜ「図を90°回転させる」が出てくるのでしょうか。
まだ鈍角のときに90°引くとか思ってるんですか？
cosが－cosθになるのは90°図を回転させたためだと考えていたためです。
今まで、90°回転させればcosθが－cosθのようにマイナスが付くと考えていました。ちなみにこの考えは間違えでしょうか？

ということは、90°＜θ＜180°での今回の図の考え方は
Y軸に反転させてx軸の負の方向とOA'のなす角度により角度をθとして符号に気を付けて式を作るわけだったのですね！（あるいは絶対値の｜｜を付ける）

No.59152 - 2019/06/13(Thu) 02:41:09

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> 今まで、90°回転させればcosθが－cosθのようにマイナスが付くと考えていました。
> ちなみにこの考えは間違えでしょうか？
はい、間違いです。
cosθを90°回転させたcos(θ+90°)は-cosθとは一致しません。
実際、θ=30°のときcosθ=√3/2、cos(θ+90°)=-1/2≠-cosθです。

> ということは、90°＜θ＜180°での今回の図の考え方は
> Y軸に反転させてx軸の負の方向とOA'のなす角度により角度をθとして
> 符号に気を付けて式を作るわけだったのですね！（あるいは絶対値の｜｜を付ける）
そうです。
上で書いたcosθ=-cos(180°-θ)というのはそういう意味です。

No.59153 - 2019/06/13(Thu) 03:03:21

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信ありがとうございます！
なるほど、90°＜θ＜180°の範囲のθをθのまま使うと－cosθとなり、その－cosθを使うため、過去に書いたように式の符号が変わるのですね！やっと理解でき来ました。

ちなみに、そのθが90°よりも大きい場合、（θ－90°）などしたり、外角（180°－θ）を使って作った図形の式は角度がθではないので式を作っても意味はないのでしょうか？
何が求まる式なのでしょうか？

No.59154 - 2019/06/13(Thu) 06:09:55

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

今回の図とは違うのですが、この画像の図に関してもθが90°以上の場合でも同じ原理で符号が変わるだけで図は作れるのでしょうか？

No.59155 - 2019/06/13(Thu) 06:49:15

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> ちなみに、そのθが90°よりも大きい場合、（θ－90°）などしたり、
> 外角（180°－θ）を使って作った図形の式は角度がθではないので
> 式を作っても意味はないのでしょうか？

「（θ－90°）などしたり、外角（180°－θ）を使って作った図形の式」
は漠然としていて意味があるかどうかわかりません。
意味があるかどうかは、その「作った図形の式」によると思います。

> 今回の図とは違うのですが、この画像の図に関してもθが90°以上の場合でも
> 同じ原理で符号が変わるだけで図は作れるのでしょうか？

元々の図の角度がαとβなのに「θが90°以上」と言われても
わけがわかりません。
その図にかかれているようにθ=180°-α-βにするならば
既に90°以上になっています。

No.59156 - 2019/06/13(Thu) 06:57:47

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

説明不足ですいません。
今回の図において、そのθが90°よりも大きい場合、（θ－90°）などしたり、外角（180°－θ）を使って作った図形の式は角度がθではないので式を作っても意味はないのでしょうか？

もう一つの画像の図に関してはαはθ、βをdθとしてθが90°より大きい場合でも今回と同じような原理で
画像の図を作れるのか気になり質問しました。

No.59158 - 2019/06/13(Thu) 10:29:51

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> 説明不足ですいません。
> 今回の図において、そのθが90°よりも大きい場合、（θ－90°）などしたり、
> 外角（180°－θ）を使って作った図形の式は角度がθではないので
> 式を作っても意味はないのでしょうか？
変わらず説明不足でわかりません。
「（θ－90°）などしたり、外角（180°－θ）を使って作った図形の式」
とは具体的にどういう式のことを言っているのですか？
私は、意味があるかどうかはその式による、と言っているのです。
具体的に式が提示されないと意味がわかりません。
（式を作って意味があるか、という質問が何を聞こうとしているのかすらわかりません）

> もう一つの画像の図に関してはαはθ、βをdθとしてθが90°より大きい場合でも
> 今回と同じような原理で画像の図を作れるのか気になり質問しました。
全く同じです。
その図は左右反転されているのでまず左右反転を戻し、
・θを元のαの外角にする
・dθは元のβのまま
とすると
・小さい三角形のαも外角をθにする
・tanα→-tanθ
・secα→-secθ
・tanβ→tandθ
・secαtanβ→-secθtandθ
・tanαtanβ→-tanθtandθ
となり、
-tan(θ-dθ)=(-tanθ+tandθ)/(1+tanθtandθ)
すなわち
tan(θ-dθ)=(tanθ-tandθ)/(1+tanθtandθ)
となります。

# 前と全く同じ原理で、以前と同様に符号が変わっているだけですが、
# 自分で考えようとしなかったのですか？
# 自分で考えようとしないと、今後同様の図を全て人に聞くことになりますよ。

No.59160 - 2019/06/13(Thu) 10:54:59

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

頼ってばかりでごめんなさい。でも、大丈夫です。
やっとやり方がわかりました。
本当にありがとうございます！
もちろん今回の図に関しても、図を書いた際に1/cos^2(θ+dθ)は1/cos^2(θ-dθ)となったのですが、これで正しいのでしょうか？
確認お願いいたします。

あとは(θ-dθ)でも(θ+dθ)であれ同じ値になるため、どちらにしても正しい値が導けるわけですね！

No.59164 - 2019/06/13(Thu) 15:13:58

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> もちろん今回の図に関しても、図を書いた際に1/cos^2(θ+dθ)は
> 1/cos^2(θ-dθ)となったのですが、これで正しいのでしょうか？

今回の図ってどの図のことですか？
最後に説明した図ならtan(θ+dθ)がtan(θ-dθ)になっただけで
cosは関係ありませんが。

No.59165 - 2019/06/13(Thu) 15:17:42

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

ポンコツですいません。
＞＞今回の図ってどの図のことですか？
＞＞最後に説明した図ならtan(θ+dθ)がtan(θ-dθ)になっただけで
＞＞cosは関係ありませんが。
こちらの画像の図です。この図の1/cos^2(θ+dθ)は1/cos^2(θ-dθ)となったのですが、正しいでしょうか？

＞＞変わらず説明不足でわかりません。
＞＞「（θ－90°）などしたり、外角（180°－θ）を使＞＞って作った図形の式」
＞＞とは具体的にどういう式のことを言っているのです＞＞＞か？
＞＞私は、意味があるかどうかはその式による、と言って＞＞いるのです。
＞＞具体的に式が提示されないと意味がわかりません。
＞＞（式を作って意味があるか、という質問が何を聞こう＞＞としているのかすらわかりません）
うまく書けなくてごめんなさい。
1/cos^2θの微分を図で表した画像に関してですが、画像のθが90°よりも大きい場合、（θ－90°）などしたり、外角（180°－θ）を使って作った図形の式は角度がθではないので式を作っても意味はないのでしょうか？

すなわち、画像の図のθを（θ－90°）や（180°－θ）としてもdθ(2sin（θ－90°）/cos^3（θ－90°）)やdθ(2sin（180°－θ）/cos^3（180°－θ）)と導かれた式はdθ(2sinθ/cos^3θ)と同じように1/cos^2θの微分を表すのでしょうか？

No.59166 - 2019/06/13(Thu) 15:28:54

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> こちらの画像の図です。この図の1/cos^2(θ+dθ)は1/cos^2(θ-dθ)と
> なったのですが、正しいでしょうか？
その図なら正しいです。

> すなわち、画像の図のθを（θ－90°）や（180°－θ）としても
> dθ(2sin（θ－90°）/cos^3（θ－90°）)やdθ(2sin（180°－θ）/cos^3（180°－θ）)
> と導かれた式はdθ(2sinθ/cos^3θ)と同じように1/cos^2θの微分を表すのでしょうか？

1/(cosθ)^2の微分は表しませんし、
1/(cos(θ-90°))^2や1/(cos(180°-θ))^2の微分も表しません。
1/(cosθ)^2の微分のθに単にθ-90°や180°-θを代入しただけのものです。

No.59168 - 2019/06/13(Thu) 15:59:17

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

ありがとうございます！
＞＞1/(cosθ)^2の微分は表しませんし、
1/(cos(θ-90°))^2や1/(cos(180°-θ))^2の微分も表しません。
1/(cosθ)^2の微分のθに単にθ-90°や180°-θを代入しただけのものです。

ちなみに、1/(cosθ-90°)^2や1/(cos180°-θ)^2は1/(cosθ)^2とは導く値が違うため、仮に1/(cosθ-90°)^2や1/(cos180°-θ)^2から値を導いたとしても、その値は1/(cosθ)^2を解いた時の値ではないため、1/(cosθ-90°)^2や1/(cos180°-θ)^2とする意味はないですよね？

No.59186 - 2019/06/14(Fri) 00:40:46

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> ちなみに、1/(cosθ-90°)^2や1/(cos180°-θ)^2は1/(cosθ)^2とは
> 導く値が違うため、仮に1/(cosθ-90°)^2や1/(cos180°-θ)^2から
> 値を導いたとしても、その値は1/(cosθ)^2を解いた時の値ではないため、
> 1/(cosθ-90°)^2や1/(cos180°-θ)^2とする意味はないですよね？

「1/(cosθ)^2を解いた時の値ではない」からといって
「1/(cosθ-90°)^2や1/(cos180°-θ)^2とする意味はない」
とは言えないと思います。
同じ値ではありませんが、何らかの意味はあるはずですので。

No.59187 - 2019/06/14(Fri) 02:05:35

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信ありがとうございます！
なるほど、どんな意味があるかはわかりませんが、少なくとも角度θの時の傾きではないということですね！
まあ、角度θの時の傾きが求まる式でないならば作る必要はなかったです。お手数おかけしました。

No.59188 - 2019/06/14(Fri) 03:22:28

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

角度(θ-90°)、(θ+90°)、(θ-180°)、(θ+180°)の時の図から作った式からはθの時の傾きは求まらないため、あまり意味はないとわかりました。

No.59189 - 2019/06/14(Fri) 03:52:04

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

＞＞角度(θ-90°)、(θ+90°)、(θ-180°)、(θ+180°)の時の図から作った式からはθの時の傾きは求まらないため、あまり意味はないとわかりました。

この考えでよいでしょうか？

No.59200 - 2019/06/14(Fri) 20:14:43

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

私は試していませんので求まるかどうかは知りませんが、
求まらないなら、あまり意味はないですね。

No.59202 - 2019/06/14(Fri) 20:33:37

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

＞＞角度(θ-90°)、(θ+90°)の時の図から作った式からはθの時の傾きは求まらないため、あまり意味はないとわかりました。

あの(180°‐θ)、(180°+θ)に関して、少し混乱してきたのですが、90°＜θ＜180°でのθの時の残りの角度は(180°‐θ)ですが、
θの座標は（cosθ、sinθ）ですが、(180°‐θ)の座標も（cosθ、sinθ）と置けました。間違っていると思うのですが、何が間違っているかわかりません。
正直、θの時の残りの角度が(180°‐θ)か不安です。正しい残りの角度は何度でしょうか？

No.59203 - 2019/06/14(Fri) 20:47:04

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

用語がおかしいです。
「θ」は値なのでθに座標はありません。
90°＜θ＜180°のときに単位円周上で角度θに対する点は
確かに(cosθ,sinθ)ですが、
角度180°-θに対する点は(cos(180°-θ),sin(180°-θ))=(-cosθ,sinθ)
となります。

No.59204 - 2019/06/14(Fri) 20:58:04

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

なるほど、どうもありがとうございます！
あの最後に90°＜θ＜180°でのθの時の残りの角度が(180°‐θ)なのでしょうか？
角度(180°‐θ)に対する点は(-cosθ,sinθ)であるため、残りの角度が(180°‐θ)というのは間違いのように思えます。

No.59205 - 2019/06/14(Fri) 22:51:53

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

「残りの角度」って何ですか？
数学用語で言ってくれないとわかりません。

No.59207 - 2019/06/14(Fri) 22:58:10

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

すいません。わかりやすくするために図を送ります。
画像の？の部分はどう表せるのでしょうか？

No.59210 - 2019/06/15(Sat) 00:26:32

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

180°-θです。

No.59211 - 2019/06/15(Sat) 00:27:30

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

返信ありがとうございます！
ってことは画像の点Aの座標は(-cosθ,sinθ)でその点での角度は－θなわけでしょうか？
まあ、図形より、-cos（—θ）＝-cosθなので－θでも点Aの座標は(-cosθ,sinθ)と表せます！

No.59212 - 2019/06/15(Sat) 01:54:46

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

Aが左側の斜め線とy軸に関して対称ならば、
(-cosθ,sinθ)は正しいですが-θは間違いです。
sin(-θ)=-sinθです。
もし「その点での角度」がx軸の正方向から
反時計回りに回転した角度のことならば、
180°-θです。

それから、細かいことですが
右側の角度がθ、左側の角度が(180-θ)°というのはおかしいです。
θ°と(180-θ)°か
θと180°-θの
どちらかにしないと、単位が合いません。

No.59213 - 2019/06/15(Sat) 03:15:39

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

ちなみに、こちらの画像に関して90°＜θ＜180°の時、tan(θ+dθ)は(tanθ+tandθ)/(1+tanθtandθ)と導けましたが正しいでしょうか？

No.59214 - 2019/06/15(Sat) 03:32:00

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

すいません間違えました。No.59160の方法に従いもう一度作ってみました。No.59214の画像の図の時の式は
tan(θ+dθ)=(tanθ-tandθ)/(1+tanθtandθ)と導けました。正しいでしょうか？
確認お願いいたします。

今更で申し訳ないのですが、
No.59160に関して、なぜtanβ→—tandθではなく、tanβ→tandθなのでしょうか？詳しく教えてください。

No.59220 - 2019/06/15(Sat) 17:32:49

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

ちなみに、90°＜θ＜180°でのθの座標（cosθ、sinθ）を使わず、y軸に対称に作った座標（‐cosθ、sinθ）から図形を作るのは長さがマイナスでないことを考慮したためでしょうか？
要は90°＜θ＜180°でのθ場合でマイナスの長さが出ないようにするためでしょうか？

No.59221 - 2019/06/15(Sat) 18:19:45

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / マーク42

θ+dθでの座標( cosθ. sinθ)をy軸に対称に作られた座標( -cosθ. sinθ)とx軸の負の軸がなす角度がなぜθ+dθとなるのでしょうか？違っていたらすいません。

No.59223 - 2019/06/15(Sat) 18:46:57

☆ Re: 1/ cos^2θの微分を図で表したいです。 / らすかる

> tan(θ+dθ)=(tanθ-tandθ)/(1+tanθtandθ)と導けました。正しいでしょうか？
正しくありません。

> No.59160に関して、なぜtanβ→-tandθではなく、tanβ→tandθなのでしょうか？
cosの時にθの外角をθにしたのと同様、αの外角をθとして
tan(θ-dθ)を求めることにしたからです。
（θの中にβを含んでいます）

> ちなみに、90°＜θ＜180°でのθの座標（cosθ、sinθ）を使わず、
> y軸に対称に作った座標（‐cosθ、sinθ）から図形を作るのは
> 長さがマイナスでないことを考慮したためでしょうか？
違います。cosの時と同様に、図を反転せずに同じ図を使いまわしたいからです。
そうすれば各値の符号を考えるだけで証明が終わります。

> θ+dθでの座標( cosθ. sinθ)をy軸に対称に作られた座標( -cosθ. sinθ)と
> x軸の負の軸がなす角度がなぜθ+dθとなるのでしょうか？
文の意味がわかりません。（特に最初の「θ+dθでの」の部分）

# もうスレがいっぱいになってこれ以上書けませんので
# 終わりにします。

No.59228 - 2019/06/15(Sat) 20:53:06