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★ 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / NIKI
画像にある問題の（３）について教えて下さい。

（１）と（２）については計算できましたが（次のレスに計算過程を記した画像を載せます。もし間違いなどありましたら、ご指摘願います）、（３）はどう解けばよいか分からないでいます。
また、問題文にある、0<a<1という条件をどう考慮して計算すればよいかも分かりません。

解答と共に、その計算過程や考え方なども詳しく解説していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。
No.57837 - 2019/04/25(Thu) 01:41:31
☆ Re: 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / NIKI
（１）の計算過程です。
No.57838 - 2019/04/25(Thu) 01:52:51
☆ Re: 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / NIKI
（２）の計算過程です。
No.57839 - 2019/04/25(Thu) 01:53:26
☆ Re: 累次積分　極座標への変数変換　無限級数の和 / X
(1)
計算自体に問題はありませんが
下から7行目の被積分関数全体
に括弧を付けましょう。

(2)
cosθ=t
と置く置換積分の計算で積分範囲の
変換をしていません。

(3)
S[n]=Σ[p=1〜n]K[p](a)
と置くと
S[n]=Σ[p=1〜n]∬[D](x^p)ydxdy
=∬[D]{Σ[p=1〜n](x^p)y}dxdy
=∬[D]{x(1-x^n)/(1-x)}ydxdy (A)
ここでDにおいて
0≦x≦a＜1
であることから(A)より
∬[D]{x(1-a^n)/(1-x)}ydxdy≦S[n]≦∬[D]{x/(1-x)}ydxdy
これより
(1-a^n)∬[D]{x/(1-x)}ydxdy≦S[n]≦∬[D]{x/(1-x)}ydxdy
∴はさみうちの原理により
(与式)=lim[n→∞]S[n]=∬[D]{x/(1-x)}ydxdy
後はこの二重積分を計算します。
No.57840 - 2019/04/25(Thu) 06:08:39
★ 線形代数 行列 幾何学的意味 / かるま
問題が理解できません
お力添えをお願いします
No.57833 - 2019/04/24(Wed) 23:26:25
☆ Re: 線形代数 行列 幾何学的意味 / かるま
> 問題が理解できません
> お力添えをお願いします
大学1回です
No.57834 - 2019/04/24(Wed) 23:27:06
☆ Re: 線形代数 行列 幾何学的意味 / ＩＴ
(1) まずは　A(x,y)を計算してみてください。

(x,y)は縦並びです。
No.57835 - 2019/04/24(Wed) 23:32:24
☆ Re: 線形代数 行列 幾何学的意味 / ＩＴ
「回転移動　行列」で検索するといろいろありますが、下記など参考にされるといいかも。
（ なお　1/√2 = cos(π/4)=sin(π/4) などに注意）

　少なくとも行列の計算は理解し自力で出来ないと前に進めないと思います。

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/linear_image3.html
No.57836 - 2019/04/25(Thu) 01:04:35
★ (No Subject) / 青チャート
この問題の、解説の一部がわかりません。
（次のレスで解説の画像を載せます。）
No.57832 - 2019/04/24(Wed) 20:39:35
☆ Re: / 青チャート
すいません、解説アップロード途中で自分で解決したのに忘れて放置してました。

解決しました。
No.57843 - 2019/04/25(Thu) 19:41:47
★ 積分 / ///
こんにちは。とある高校2年生です。
今日の授業で分からないところがあったので質問させて頂きます。画像の問題なんですが、次の授業までに解けるようにしておけ、と先生が言っていたのですが、いまいちよく分かりません。画像のように3x^2+2x+3をθとおき、ヒントを使うらしいのですが、どのように解けばよいのでしょうか？お願いいたします。
No.57827 - 2019/04/24(Wed) 17:30:01
☆ Re: 積分 / ast
積分じゃなくて微分する問題じゃないの?

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=57704
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=57612

# にしてもころころ学年が変わる人だな……
No.57828 - 2019/04/24(Wed) 18:12:47
☆ Re: 積分 / GandB
> # にしてもころころ学年が変わる人だな……
wwwww

wolframaに行けば

∫cos^3(3x^2+2x+3)dx

は大変厄介な積分だということがわかる。高校2年に解けという高校数学の教師がいるはずがない。
No.57829 - 2019/04/24(Wed) 19:03:09
★ 微分について / 田中
画像のグラフより、
曲線f(x)=x^3、接線 g(x)=12x-16 を引いているのですが
L(x) = f(x) - g(x) = x^3-12x+16
曲線と接線を引くとどうなるのですか？
引く意味がわかりません。引くとどうなるのですか？
No.57823 - 2019/04/24(Wed) 14:51:37
☆ Re: 微分について / 田中
画像追加しました
No.57824 - 2019/04/24(Wed) 14:55:56
☆ Re: 微分について / らすかる
L(x)は、xの値に対して
f(x)がg(x)よりどれだけ上にあるかを示す関数になります。
つまり縦方向での「幅」（ただしf(x)の方が下のとき負）です。
「曲線と接線の間隔を表現する関数」と書かれていますね。
実際にL(x)のグラフを（重ねて）書いてみればわかりやすいと思います。
No.57825 - 2019/04/24(Wed) 14:56:46
★ (No Subject) / 135
三角形ABCは鋭角三角形でありAB=6,BC=4√6,sinBAC=2√2/3,である。三角形ABCの外接円の中心をOとしOAとBCの交点をDとする。
sinACB=√3/3
CA=10
cosCBA=√6/9
sinBAO,sinOACの値は順に√6/3,√6/9
BD=？(18√6/7)

最後のBD=？の値が出せなくて困っています。解説よろしくお願いします
No.57821 - 2019/04/24(Wed) 14:17:07
☆ Re: / らすかる
sin∠ADB=sin(∠BAO+∠CBA)
=sin∠BAOcos∠CBA+cos∠BAOsin∠CBA
=(√6/3)(√6/9)+(1/√3)(5√3/9)
=7/9
AB/sin∠ADB=BD/sin∠BAOから
BD=ABsin∠BAO/sin∠ADB
=6(√6/3)/(7/9)
=18√6/7
No.57822 - 2019/04/24(Wed) 14:38:34
★ 積分 / ///
こんにちは。とある高校2年生です。
この前の授業で積分のところを学習したのですが、画像の(c)と(d)の解き方がいまいち分かりません。お願いいたします。
No.57819 - 2019/04/24(Wed) 12:28:14
☆ Re: 積分 / らすかる
(c)
∫{e^x-e^(-x)}/{e^x+e^(-x)}dx
=∫{e^x+e^(-x)}'/{e^x+e^(-x)}dx
=log|e^x+e^(-x)|+C
=log(e^x+e^(-x))+C

(d)
√(x+1)=tとおくとx+1=t^2,dx=2tdt
∫1/{(x-1)√(x+1)}dx
=∫2/(t^2-2)dt
=(1/√2)∫{1/(t-√2)-1/(t+√2)}dt
=(1/√2){log|t-√2|-log|t+√2|}+C
=log|(√(x+1)-√2)/(√(x+1)+√2)|/√2+C
=log|1-2√2/(√(x+1)+√2)|/√2+C
=log|1-4/(√(2x+2)+2)|/√2+C
No.57820 - 2019/04/24(Wed) 13:11:16
☆ Re: 積分 / ///
なるほど❗それは思い付きませんでした。ありがとうございました。
No.57826 - 2019/04/24(Wed) 17:19:11
★ 二次方程式 / 理
この問題の解答の最終行にある、実数解x=...とありますが、どうやって求めるのでしょうか
No.57814 - 2019/04/23(Tue) 23:10:35
☆ Re: 二次方程式 / ＩＴ
実数解をαとしてあり、
α＝３でないときは　k＝1で、・・・（不適）
α＝３のときは、・・・（適）

ということが調べてありますから　実数解は３ですね。
No.57817 - 2019/04/23(Tue) 23:25:18
☆ Re: 二次方程式 / 理
実数解αとしてましたね。
ありがとうございました。
No.57818 - 2019/04/24(Wed) 07:02:20
★ 円の接線 / √
教えてください。

円の接線
と
円の中心と接点を結んだ線

この二つの線は垂直に交わることの証明
の仕方を教えてください。

よろしくお願い致します。
No.57804 - 2019/04/23(Tue) 19:52:38
☆ Re: 円の接線 / ＩＴ
円Oの中心をO、円O上の点をA、Aを通る円Oの接線をLとします。

OからLに下ろした垂線の足をHとする。
H≠Aとすると、
　L上にAH=BHとなるA以外の点Bが取れる。
　このときOB＝OAとなるので,点Bは円Oと直線Lの交点である。
これは、Lが円Oの接線であることに反する。
したがってH＝Aである。
よってOAは接線Ｌと垂直に交わる。
No.57805 - 2019/04/23(Tue) 21:20:02
☆ Re: 円の接線 / ＩＴ
「接線」の定義が　どうなっているかにもよりますね。
No.57806 - 2019/04/23(Tue) 21:43:57
☆ Re: 円の接線 / √
ＩＴさん
有難うございます。

以下が、まだ理解できません（ＴＴ）

> 　L上にAH=BHとなるA以外の点Bが取れる。
> 　このときOB＝OAとなるので,点Bは円Oと直線Lの交点である。
> これは、Lが円Oの接線であることに反する。
> したがってH＝Aである。
> よってOAは接線Ｌと垂直に交わる。
No.57807 - 2019/04/23(Tue) 22:00:52
☆ Re: 円の接線 / らすかる
ほとんどコピペの別解

円Oの中心をO、円O上の点をA、Aを通る円Oの接線をLとします。

OからLに下ろした垂線の足をHとする。
H≠Aとすると、
△OHAはOAが斜辺である直角三角形なので、OH＜OA
よってHは円の内部にあり、Lが接線であることと矛盾。
したがってH＝Aである。
よってOAは接線Ｌと垂直に交わる。
No.57808 - 2019/04/23(Tue) 22:01:37
☆ Re: 円の接線 / ＩＴ
> 以下が、まだ理解できません（ＴＴ）

まったく理解できないということですね。
図を描いて考えてみてください。
No.57809 - 2019/04/23(Tue) 22:13:49
☆ Re: 円の接線 / √
らすかるさん
有難うございました。
よく分かりました。


ＩＴさん
最後まで理解できなくて本当にゴメンナサイ。
No.57810 - 2019/04/23(Tue) 22:15:08
☆ Re: 円の接線 / √
ＩＴさん


> まったく理解できないということですね。
> 図を描いて考えてみてください。

Ｌ上に、Ａ・Ｈ・Ｂの順に並べるということですか？
No.57811 - 2019/04/23(Tue) 22:19:59
☆ Re: 円の接線 / √
ＩＴさん

やっと分かった気がします。

スミマセン、私が点Ｂを「接点」と読み間違えていました。
点Ｂは「交点」でしたね。
そしてＬが円の中を通過してしまうので、
接線にならないという解釈でよろしいでしょうか？
No.57812 - 2019/04/23(Tue) 22:41:11
☆ Re: 円の接線 / ＩＴ
そういう理解でもいいと思います。

「中を通過する。」と云わなくても
その直線Ｌと円Oが異なる２点を共有するので、直線Ｌは円Oの接線にならない。ということではあります。

なお「円の接線」の定義はどう書いてありますか？
No.57813 - 2019/04/23(Tue) 22:56:54
☆ Re: 円の接線 / √
ＩＴさん　有難うございます。

> その直線Ｌと円Oが異なる２点を共有するので、直線Ｌは円Oの接線にならない。ということではあります。
>
> なお「円の接線」の定義はどう書いてありますか？

読んだことないですけど・・・・・

円に外接している三角形の「三辺」は、
必ず、「円の中心と接点を結んだ線」と、
直角になるのかな？
と思って質問させて頂きました。
No.57815 - 2019/04/23(Tue) 23:22:36
★ 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート
この問題の解答と、私の解答の不等式の等号が違うのですが、私の解答に間違いではないですか？

解答と私の解答は次のレスで載せます。
No.57795 - 2019/04/22(Mon) 17:43:39
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート
青チャートの解答です
No.57796 - 2019/04/22(Mon) 17:44:16
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート
こちらが自分の解答です
No.57797 - 2019/04/22(Mon) 17:45:02
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート
画像あげられてなかったのでもう一回
No.57798 - 2019/04/22(Mon) 17:45:51
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート
数学と関係ないですが、縦の画像が横になってしまうのはなぜですか？
No.57799 - 2019/04/22(Mon) 17:46:51
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / X
>>数学と関係ないですが、縦の画像が横になってしまうのはなぜですか？

スマホのカメラアプリの使い方が悪いです。
撮影をするときに、スマホの画面下のカメラの向きを
示すアイコンを確認していますか？
例え縦向きに構えていても、そのアイコンが
横向きを示していたら、アプリは横向きと認識して
横向きの写真が撮られてしまいます。
スマホを水平にして撮影するとよくこういうことが
起こります。
水平から少し斜めに構えるなど工夫をしてみると
よいと思います。
No.57800 - 2019/04/22(Mon) 19:47:52
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / X
で、問題の質問に対する回答ですが
青チャートさんの解答でも問題ありません。
この問題に関しては
m(t)=t^3-3t^2-9t
の場合のt=3のときの値と
m(t)=-27
の場合のt=3のときの値が
一致していますので。
No.57801 - 2019/04/22(Mon) 20:40:31
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート
いつもありがとうございます。
写真の件も工夫しようと思います。
No.57831 - 2019/04/24(Wed) 20:33:58
★ 偏微分 / とおます
この問題を教えてください
No.57791 - 2019/04/22(Mon) 11:35:29
☆ Re: 偏微分 / X
点(0,0)において偏微分可能であることは
偏微分係数の定義に従って計算してもらえば
証明できますので、連続関数でないことの
証明だけ。

問題の関数を極座標に変換すると
f(x,y)=cosθsinθ
=(1/2)sin2θ (A)
ここで
(x,y)→(0,0)のときr→0
となりますが、(A)はこのときθの値によって
定数とはなり得ないので、
lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y)=f(0,0)
は成立しません。
よってf(x,y)は点(0,0)において連続では
ありません。
No.57794 - 2019/04/22(Mon) 17:37:36
☆ Re: 偏微分 / とおます
ありがとうございます！
No.57802 - 2019/04/23(Tue) 11:14:28
★ (No Subject) / 算数初心者
ありがとうございます！
No.57789 - 2019/04/22(Mon) 06:36:39
☆ Re: / らすかる
次回から、返信は「返信」を押して書くようにしましょう。
新しく書くと記事がバラバラになってしまいます。
No.57790 - 2019/04/22(Mon) 08:29:13
☆ Re: / 算数初心者
了解です。
No.57793 - 2019/04/22(Mon) 17:07:25
★ 図形 / シャーマンジャンボ
△ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、辺ACを3:1に内分する点をEとする。

直線BEと直線CDの交点をPとし、直線APと直線BCの交点をFとすると、このとき点Fは線分BCを ア:イ に内分する点であり、点Pは線分AFを ウ:エ に内分する点である。直線DEと直線BCの交点をQとするとき、点Qは線分BCを オ:カ に外部する点である。

出来れば図も踏まえて、解説お願いします。
No.57785 - 2019/04/21(Sun) 21:18:03
☆ Re: 図形 / シャーマンジャンボ
自己解決しました
No.57792 - 2019/04/22(Mon) 15:52:40
★ 大至急 / 算数初心者
先程の二桁という表記は無視して下さい。よろしくお願いします。
No.57784 - 2019/04/21(Sun) 20:35:21
★ 大至急 / 算数初心者
分からす困っております。大至急お助け下さい。

約束記号の問題です。

4＊7=21
5＊13=22
8＊20=36
9＊18=❓(二けた)

よろしくお願いします。
No.57783 - 2019/04/21(Sun) 20:19:52
☆ Re: 大至急 / らすかる
左の数の7倍から右の数を引いた結果なので、
9×7-18=45ですね。
No.57788 - 2019/04/22(Mon) 04:29:38
★ (No Subject) / 晴れ
三角形ABCがありAB=15/2,CA=12である。辺CA上にCD=7となるように点Dを取る。また角度Aの二等分線とBC,BDとの交点をそれぞれE,Fとする。さらに直線CFと辺ABの交点をGとする。この時BF=3√7/2,DG=√21であり四角形AGFDは円に内接している

BE/EC=5/8
三角形BFGと三角形BADは相似であるからFG=√7,CF=3√7
AF/FE=13/7
EF=？(解答21√3/13)

一番最後のEFの長さが求められなくて困っています。解説よろしくお願いします
No.57777 - 2019/04/21(Sun) 15:52:16
☆ Re: / らすかる
CからABに垂線CHを下ろすと
(AG+GH)^2+CH^2=AC^2=144
GH^2+CH^2=CG^2=112
上式から下式を引いてAG=4を代入してGHを求めるとGH=2
CH^2=112-GH^2=108
BH=BG-GH=3/2
BC=√(BH^2+CH^2)=√(9/4+108)=21/2

AからBCに垂線AIを下ろすと
(BC-BI)^2+AI^2=AC^2=144
BI^2+AI^2=AB^2=225/4
上式から下式を引いてBC=21/2を代入してBIを求めるとBI=15/14
AI^2=225/4-BI^2=225/4-225/196=2700/49
BE=(5/13)BC=105/2なので
AE=√{(BE-BI)^2+AI^2}=√{(105/26-15/14)^2+2700/49}=60√3/13

AF：FE=13：7なので
EF=(7/20)AE=21√3/13

# 角の二等分線の長さの公式など使えれば、もっと早く求まります。
No.57782 - 2019/04/21(Sun) 19:53:40
★ (No Subject) / 青チャート
この問題の解説で、

P_1（n）=P_2（n）
などとなるのはなぜですか？

感覚的にわかるのですが、判然としません。

解説は次のレスの画像に載せます。
No.57773 - 2019/04/21(Sun) 12:32:16
☆ Re: / 青チャート
ナゼ？とかいてあるところです。
No.57774 - 2019/04/21(Sun) 12:33:01
☆ Re: / ＩＴ
> P_1（n）=P_2（n）
写し間違いでは？

> などとなるのはなぜですか？
> 感覚的にわかるのですが、判然としません。

感覚的ではなく、漸化式の右辺がまったく同じになっていませんか？
No.57775 - 2019/04/21(Sun) 13:04:06
☆ Re: / 青チャート
すみません。写し間違いです。

P1(n)=P6(n)などのことです。

確かに同じ値になりますが、P1(n+1)=P6(n+1)が等しいのであって。P1(n)=P2(n)が何で等しいか言葉でうまく説明できません。
No.57778 - 2019/04/21(Sun) 16:36:38
☆ Re: / ＩＴ
> P1(n)=P2(n)
書き間違いでは？

m=n+1 とおくと　どうですか？
No.57780 - 2019/04/21(Sun) 16:46:26
☆ Re: / 青チャート
なるほど、そう考えると納得でした！
書き間違いの連続すみませんでした。次から気をつけます。

ありがとうございます！
No.57781 - 2019/04/21(Sun) 17:16:43
★ (No Subject) / ピアノ
「よって」まではわかるのですが、「ゆえに」からがわかりません。どういう変換をしたのですか？教えてください。
No.57765 - 2019/04/21(Sun) 02:10:50
☆ Re: / ピアノ
すみません、つけ忘れです。
No.57766 - 2019/04/21(Sun) 02:11:15
☆ Re: / ＩＴ
10^x は狭義単調増加関数なので
　a<b<c のとき　10^a<10^b<10^c です。
　a<b<c を　86<log[10](12^10)<87 におきかえて考えてください。
No.57767 - 2019/04/21(Sun) 03:10:30
☆ Re: / ピアノ
10^《log[10](12^80)》ってなりますよね…
これをどのようにして12^80にするのですか？
No.57786 - 2019/04/21(Sun) 22:16:38
☆ Re: / ＩＴ
log の定義から
　a＞0,a≠1、M＞0について、a^{log[a](M)}=M です。
教科書を確認してください。
No.57787 - 2019/04/21(Sun) 23:32:12
★ こんばんは / ピアノ
ここで平方完成した理由ってなんですか？？
No.57764 - 2019/04/21(Sun) 01:56:33
☆ Re: こんばんは / ＩＴ
「平方完成」は、２次関数の最大値（２次の係数が負の場合）、最小値（２次の係数が正の場合）を調べるための常套手段（セオリー）です。
No.57768 - 2019/04/21(Sun) 03:18:06
☆ Re: こんばんは / ピアノ
そうだったのですね！
ありがとうございます。
No.57770 - 2019/04/21(Sun) 11:00:13
☆ Re: こんばんは / ピアノ
あと、もう一つ教えてほしいです。
最大値最小値というのは頂点のことですか？
No.57771 - 2019/04/21(Sun) 11:02:44
☆ Re: こんばんは / らすかる
対数関数の最大値最小値は「頂点」とは言いません。
No.57772 - 2019/04/21(Sun) 11:49:46
★ 積分 / ゆい橋
この写真の問題なのですが、どちらのグラフが上になるのか求め方がわかりません。詳しく解説お願いしますー！
No.57762 - 2019/04/20(Sat) 22:54:08
☆ Re: 積分 / 関数電卓
題意より?Aの b,c は、b＝a^3＋1, c＝−2(a^3＋1) となり、
　y1＝ax^2＋(a−2)x−(a−2) …?@
　y2＝(a^3＋3)x^2＋(a^3＋1)x−2(a^3＋1) …?A
です。このとき、
　y1−y2＝…＝−(a^3−a＋3)(x^2＋x−2)
で、a＞0 で a^3−a＋3＞0、−2＜x＜1 で x^2＋x−2＜0 ですから、y1−y2＞0
すなわち、a＞0 では ?@がつねに上 です。

?@?Aが囲む部分の面積 S は、
　S＝∫[−2,1](y1−y2)dx＝…＝(9/2)(a^3−a＋3)
ですね。
No.57763 - 2019/04/21(Sun) 00:06:55
☆ Re: 積分 / らすかる
「どちらが上か」を考えない方法もありますね。
(求める面積)=∫[-2〜1]|(?@の右辺)-(?Aの右辺)|dx
=(9/2)|a^3-a+3|
=(9/2)(a^3-a+3)　（∵a^3-a+3=(a+2)(a-1)^2+2a+1＞0）
No.57769 - 2019/04/21(Sun) 07:52:54
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