x>0において定まるf(x)がある。
x>1のとき、0<y<xであって、f(x)=f(y)・f(1)を満たす実数yが存在する。
f(1)には、f(1)=Aとおくと、A・A^(-1)=1となるA^(-1)が存在する。
xが自然数であるとき、f(x)={f(1)}^mとなる自然数mが存在することを示せ。
問われていること自体が理解しがたいのですが、
f(y)=f(x)・A^(-1)かつ0<y<xを満たすyが存在するということは、そのようなyに対して、
f(z)=f(y)・A^(-1)=f(x)・A^(-2)かつ0<z<yを満たすzが存在することから、m=2は取れるし、また、そのようなzに対して、
f(w)=f(z)・A^(-1)=f(x)・A^(-3)かつ0<w<zを満たすwが存在することから、m=3は取れるし、
…ということを繰り返していけば、m=4、5、6、…と取れていけるという方向性が解答上の手掛かりになっているのでしょうか？
0<w<z<y<xといった感じで、自然数が下がるたびに、新たなmが取れるような気がしますが、
「f(x)={f(1)}^mとなる自然数mが存在することを示せ。」
という問題の結論への結び付け方がわからないです。御教授御願いします。
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No.83688 - 2022/10/23(Sun) 11:37:04
| ☆ Re: 何が問題になっているのか… / ast | | | 本題を解いてはいないのですが, いくつかすぐにわかること:
示すべきことは「どのような自然数 x が与えられたとしても, 適当な自然数 m をうまく選んで f(x)=A^m とできる」ということですから, m は偏った値しかとらないこともあり得ますしそれで矛盾しませんので
> m=2は取れるし、
> m=3は取れるし、
> m=4、5、6、…と取れていけるという方向性
は指針として無意味です (そもそも m の任意性は訊かれていない).
それと, 少なくとも
> f(z)=f(y)・A^(-1)=f(x)・A^(-2)かつ0<z<yを満たすzが存在することから、
では
> m=2は取れる
というのは出てきませんよね. (それとも, "m=2 が取れる" とは "f(z)=1 が成り立っている" と主張したいということ?)
また, x に対して条件を満たす y がとれることは x>1 のときにしか保証されない (当然ですが, y に対して条件を満たす z がとれるのは y>1 のとき, z に対して条件を満たす w がとれるのは z>1 のときにしか保証されない) ので,
> 0<w<z<y<xといった感じ
で推し進めたとして y,x,w,… の中に 1 以下のものが現れたならば, そのような操作はその時点で停止します (いつでも無限に続けられるという主張であるならば, いつでも 1 より大きくとれることを証明しなければならない).
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後はまだ何も検討していませんが, もし仮に "自然数 x に対して条件を満たす y が必ず自然数である …(*)" ことが言えるのであれば話は単純で, 上記と同じ論法で y,x,w,… の中にちょうど 1 に等しいものが現れて, 停止するとともにそれまでにあらわれた文字 y,x,w,… の数が求める m であることはすぐにわかります (が, そもそも (*) が言えるかといえばそんな単純な話でもないかなとは思っている).
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No.83692 - 2022/10/23(Sun) 11:49:04 |
| ☆ Re: 何が問題になっているのか… / IT | | | f(x)は何ですか？（実数値関数？行列値関数？）
＞f(1)には、f(1)=Aとおくと、A・A^(-1)=1となるA^(-1)が存在する。
f(x)が実数値関数なら、上記は単にf(1)≠0と書きますよね。
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No.83693 - 2022/10/23(Sun) 12:20:41 |
| ☆ Re: 何が問題になっているのか… / IT | | | 問題の転記ミス（ｆの条件の記入漏れ）では？
反例）
f(x)=1/x (0<x<1),f(x)=x(x≧1）とすると条件を満たす。
このときf(2)=2,f(1)=1 なのでf(2)={f(1)}^mとなる自然数mは存在しない。
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No.83694 - 2022/10/23(Sun) 13:54:10 |
| ☆ Re: 何が問題になっているのか… / Mari | | | 先生方、御答えありがとうございます。
レジュメの問題を丸写ししましたので、記載ミスはないです。
先生方の解説を読むと、出題ミスの感じですので、明日、学校の先生に質問してみます。
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No.83699 - 2022/10/23(Sun) 16:10:07 |
| ☆ Re: 何が問題になっているのか… / Mari | | | 先生、学校の先生に質問しました。以下、先生のコメントです。
この問題は、2002年の金沢大学理科系の問題だそうです。
当時は行列と言う単元があったらしく、私達は教わっていないので、問題を一部変更したそうです。
当時の実際の出題は、f(x)が、2次の行列というものらしく、括弧内の左上が√(1+3x^2)、右上が3x、左下がx、右下が√(1+3x^2)になっているそうです。
問題のxが自然数のところは、行列f(x)の各成分が自然数であるだそうです。
行列の掛け算のやり方は一応教わってきました。
ちゃんとした問題だから、冬休みまでゆっくり考えてみるといいと言われたんですが、できれば早く解決したいので、この問題が適正なら、やり方を教えて頂けないでしょうか？
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No.83707 - 2022/10/24(Mon) 23:44:14 |
| ☆ Re: 何が問題になっているのか… / IT | | | むちゃくちゃな出題ですね。
> ちゃんとした問題だから
どの問題のことですか？ （金沢大入試はもちろんちゃんとした問題だと思いますが）
時間の無駄だと思いますが、適正な問題ならやる気でおられるのなら、
念のため、修正後の問題をすべてきちんと書いてみてください。
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No.83709 - 2022/10/25(Tue) 00:26:39 |
| ☆ Re: 何が問題になっているのか… / IT | | | 2002年の金沢大学理科系の問題と解答は下記のｐ42、ｐ48にあります。
青空学園数学科
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/
2002年問題研究
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/PDF/2002m.pdf
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No.83711 - 2022/10/25(Tue) 00:49:21 |
| ☆ Re: 何が問題になっているのか… / ast | | | まあ, おかしな問題に頭を悩ませるのは止めにして, もとの入試問題の解答で用いられている「無限降下法」という論法 (帰納的証明法の一種) について調べることをおすすめします.
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No.83713 - 2022/10/25(Tue) 03:09:57 |
| ☆ Re: 何が問題になっているのか… / 黄桃 | | | 元の問題の考え方に近いように作り直してみました。
[問題]
xを自然数としてf(x)=√(3x^2+1) と定義する。次の(1),(2)を証明せよ。
(1)xが１より大きく、かつ、f(x)が自然数であれば、xより小さい自然数yで、f(y)が自然数であって、しかも
f(x)+x√3=(f(y)+y√3)(f(1)+√3)
をみたすものが存在する。
(2)f(x)が自然数となる時、f(x)+x√3=(f(1)+√3)^n となるnが存在する。
[ヒント]
(1)の証明には、3x^2+1=(f(x))^2, つまり、1=(f(x))^2-3x^2 であることを上手に使いましょう。
[解題]
f(1)+√3=2+√3 の逆元が 2-√3 というやはり、整数+(整数)√3 という形であることがこの問題のポイント（元の問題でもA^(-1)の成分がすべて整数になるのがポイント）です。
[余談]
（高校の範囲からは外れる）ペル方程式と呼ばれるものの簡単な場合である a^2-3b^2=1 の自然数解を求めよ、という問題と同じです。
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No.83716 - 2022/10/25(Tue) 23:32:29 |
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