nを自然数とする。n!に含まれる素因数pの最高冪指数は、pのk乗≦n<pのk+1乗とすると、
[n/p]+[n/pの2乗]+…+[n/pのk乗]
であることを示せ。ただし、実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す。
解法が理解できません。詳しく教えて頂けないでしょうか？
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No.58594 - 2019/05/28(Tue) 17:54:03
| ☆ Re: 素因数の数 / ＩＴ | | | 1,2,3,.....,n のうち pで割りきれるものの個数が分かりますか？
1,2,3,.....,n のうち p^2 で割りきれるものの個数が分かりますか？
1,2,3,.....,n のうち p^k で割りきれるものの個数が分かりますか？
もし分からなければ n,p を具体的な値として考えてみてください。
（式を見ているだけでは、理解しにくいです。理解するためには、手と頭を動かすことが大切だと思います。）
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No.58596 - 2019/05/28(Tue) 18:09:00 |
| ☆ Re: 素因数の数 / ＩＴ | | | 下記に類題とらすかるさんの回答（解説・解答）がありますので参考にご覧ください。
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=42379
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No.58606 - 2019/05/28(Tue) 21:29:35 |
| ☆ Re: 素因数の数 / ＩＴ | | | 言葉で書くと下記のようになります。（数の世界ー整数論への道 和田秀男著 岩波書店 参考）
１からｎまでの整数の中でｐの倍数の個数は
ｎをｐで割ったときの商をｑ余りをｒ すなわち ｎ＝ｐｑ+ｒ（０≦ｒ＜ｐ）としたとき
１ｐ,２ｐ,３ｐ,…,ｑｐ のｑ個である。
ｎ/ｐ＝（ｐｑ+ｒ）/ｐ＝ｑ+（ｒ/ｐ）, ０≦ｒ/ｐ＜１であるから
ｑ＝[ｎ/ｐ]と表せる。
ｐ^2 の倍数は、同様に考えれば[ｎ/ｐ^2]個ある。
ｐ^3,ｐ^4,....,ｐ^k, の倍数は、それぞれ[ｎ/ｐ^3]個,[ｎ/ｐ^4]個,...,[ｎ/ｐ^k]個ある。
(注 ｐ^(k+1)などの倍数は０個です。）
これらの中で,例えばｐ^3の倍数で,ｐ^4で割り切れない整数は,ｎ！におけるｐの指数に３だけ影響を与える（３だけ増やす）ので,
ｐの倍数,ｐ^2 の倍数,ｐ^3 の倍数として３重に数えればちょうど良い．
# このことを分かりやすく図示されたのが 上に紹介した らすかるさんの説明です。
よって 元の式が示された。
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No.58609 - 2019/05/28(Tue) 22:04:33 |
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