A^cでAの補集合を表すとします。
(∪（ｋ∈N)｛1/k})^c＝∩（ｋ∈N)｛（−∞,1/k)または（1/k,∞）｝＝∩（ｋ∈N)（−∞,1/k)または∩（ｋ∈N)（1/k,∞）としましたが、答えと合いません。
どうすればよいのですか？
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No.58438 - 2019/05/21(Tue) 13:05:46
| ☆ Re: 集合位相 / ast | | | # 補集合を考えるときには全体集合を明示しないと意味がないので,
# 以下, 実数直線全体を全体集合としているものと勝手に解釈して答えます
まず, [∩_(k∈N)(−∞,1/k)]∪[∩_(k∈N)(1/k,∞)] = (−∞,0]∪(1,∞) であることを注意しておきます.
求める補集合の意味を考えると, それは実数直線から 1/k の形をした可算個の点を除外したものです. さらに 1/k は k に対して単調減少 (つまり, 逆順で順番に並んでいる) なので, ((−∞,0]や(1,∞)以外にも) (1/(k+1),k) の形の区間がすべて求める補集合に属しなければならないことはすぐに見当が付くと思います.
例えば k=1,2 のみの場合で見ても
[(−∞,1)∪(1,∞)]∩[(−∞,1/2)∪(1/2,∞)]
=[(−∞,1)∩(−∞,1/2)]∪[(−∞,1)∩(1/2,∞)]∪
[(1,∞)∩(−∞,1/2)]∪[(1,∞)∩(1/2,∞)]
= (-∞,1/2)∪(1/2,1)∪∅∪(1,∞)
になりますから, (1/2,1) のような区間が検討対象であることは納得できるはずです. 結局
> ∩（ｋ∈N)｛（−∞,1/k)または（1/k,∞）｝＝∩（ｋ∈N)（−∞,1/k)または∩（ｋ∈N)（1/k,∞）
は正しくなくて, これを直すには
∪_[I⊂N][[∩_{i∈I}(−∞,1/i)]∩[∩_{j∈I'}(1/j,∞)]]
(I' は N における I の補集合とする) のように (−∞,1/i) の形の区間と (1/j,∞) の形の区間の任意の組み合わせでの共通区間をすべて検討する必要があるということになります.
もう少し詳しく検討すれば, 1/k の単調性から I に依って以下の何れかの場合になっていることが言えます：
[i] I に最大値 M=M(I) があるとき I' に最小値 m=m(I') があって m = M+1 がなりたつ. このとき
∩_{i∈I}(−∞,1/i) = (−∞,1/M),
∩_{j∈I'}(1/j,∞) = (1/m,∞) = (1/(M+1),∞)
で, これらの共通部分は (1/(M+1),1/M).
[ii] それ以外のとき
∩_{i∈I}(−∞,1/i) = (−∞,0],
∩_{j∈I'}(1/j,∞) = (1,∞)
なので, 全ての場合を尽くせば (−∞,0]∪[∪_{M∈N} (1/(M+1),1/M)]∪(1,∞) になるはずです.
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No.58442 - 2019/05/21(Tue) 17:04:01 |
| ☆ Re: 集合位相 / 初学者 | | | ありがとうございます
結構大変なのですね
紙に書いて検討し直す必要がありそうです
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No.58443 - 2019/05/21(Tue) 19:20:25 |
| ☆ Re: 集合位相 / ast | | | おそらく出題意図としては
- 実数直線から可算個の点 1/k を除外したもの
- 1/k は順番にとびとびに現れる
から直ちに (−∞,0]∪[∪_{k∈N}(1/(k+1),1/k)]∪(1,∞) と答えればよい, という感じなのではと推測します.
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No.58444 - 2019/05/21(Tue) 19:28:32 |
| ☆ Re: 集合位相 / 初学者 | | | もともとはA=｛0,1,1/2,1/3,,｝が閉集合であることを示せという問題でこの補集合が開集合であることを示そうとしてこのような問題が生じました。
ほかの言い換え、Aの任意の元の近傍がAと交わることを示した方が楽ですかね？
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No.58445 - 2019/05/21(Tue) 19:38:47 |
| ☆ Re: 集合位相 / ast | | | 既に述べたように「A^c = (−∞,0)∪{∪_{k∈N}(1/(k+1),1/k)}∪(1,∞) は開集合だから A は閉集合である」で解答として十分なのではないでしょうか.
# No.58442の説明が長くなったのは ∩_{k∈N} [I_k∪J_k] の形からの展開を
# なるべくきちんと書くとどうなるかを述べたからで, それ自体は必須ではないと思います.
# (説明の内容自体は (a+b)^n の展開と対比して考えると理解しやすいかもしれません.)
# 展開後は包含関係や交わらない組合せが多いので, 工夫すれば説明ももう少し短くなる気はしますが.
> Aの任意の元の近傍がAと交わることを示した方が楽ですかね？
楽かどうかは個人の感覚によるところが大きいと思いますし, 質問者さんがそちらの方が楽に示せると思われるなら, そのほうがよいかもしれませんね.
# A の集積点は 0 のみであり,
# A が点列閉であることは明らかだと思いますし.
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No.58461 - 2019/05/22(Wed) 23:24:43 |
| ☆ Re: 集合位相 / 初学者 | | | No.58519 - 2019/05/24(Fri) 16:15:10 |
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