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★ ベクトル方程式 / ran
この例題の答えがなくて困ってます！

解いてはみたのですが、

⑴でパラメーターが残っているのですが、これは答えとしていいんでしょうか？？よろしくお願いします。
No.58101 - 2019/05/06(Mon) 17:41:16
☆ Re: ベクトル方程式 / ran
問題です
No.58102 - 2019/05/06(Mon) 17:42:03
☆ Re: ベクトル方程式 / ＩＴ
パラメーターがあってOKです。そのテキストの上部に書いてありますね。
心配なら「ベクトル方程式」を教科書で確認してみてください。
No.58103 - 2019/05/06(Mon) 17:55:05
☆ Re: ベクトル方程式 / ran
ありがとうございます！

助かりました！
No.58111 - 2019/05/06(Mon) 23:43:06
★ (No Subject) / すくそすう
|z1| +|z2|=| z1+z2 | であれば、
3点0, z1 , z2 はこの順に一直線上にあるを示せ。

また、この逆は成り立つか証明せよ。

お願いします。
No.58098 - 2019/05/06(Mon) 16:33:08
☆ Re: / らすかる
例えばz1=2,z2=1のとき成り立ちませんので証明することはできません。
No.58099 - 2019/05/06(Mon) 16:48:57
☆ Re: / すくそすう
|2| +|1|=|2+1| 成り立っていませんか？
No.58106 - 2019/05/06(Mon) 21:49:14
☆ Re: / らすかる
その式が成り立っているのに
3点0,z1,z2が「この順に」一直線上にありませんので、
「|z1|+|z2|=|z1+z2|」⇒「3点0, z1 , z2 はこの順に一直線上にある」
は偽ですね。
偽の命題は証明できません。
No.58107 - 2019/05/06(Mon) 22:09:13
☆ Re: / すくそすう
失礼しました。その通りですね。
この順にの条件がなければこの命題は真ですか？
No.58108 - 2019/05/06(Mon) 22:18:51
☆ Re: / らすかる
真だと思います。
No.58109 - 2019/05/06(Mon) 22:21:11
☆ Re: / ＩＴ
関連の命題の真偽は、下記のようになると思います。
いずれにしても最初の問題は、出題ミスのようですね。

「3点0, z1 , z2 はこの順に一直線上にある」⇒「|z1|+|z2|=|z1+z2|」：真
「|z1|+|z2|=|z1+z2|」⇒「3点0, z1 , z2 はこの順に一直線上にある」：偽

「|z1|+|z2|=|z1+z2|」⇒「3点0, z1 , z2 は一直線上にある」：真
「3点0, z1 , z2 は一直線上にある」⇒ 「|z1|+|z2|=|z1+z2|」：偽

「|z1|+|z2|=|z1+z2|」では　z1 と　z2　を入れ換えられますからz1,z2 に順番を付けることは出来ませんね。
No.58110 - 2019/05/06(Mon) 22:30:08
★ 高1 ベクトル / めろん
問題の（4）をやっています。返信につけた写真のように解きました。答えは合っていると思うのですが、私のやり方だとy（要するに|↑EF| ）イコール1になっているのですが、問題の仮定からしてそれはありえないと思いました。どこが間違えているのか分からないので教えてください！お願いします。
No.58090 - 2019/05/06(Mon) 11:16:59
☆ Re: 高1 ベクトル / めろん
これが私の解答です。
No.58091 - 2019/05/06(Mon) 11:17:55
☆ Re: 高1 ベクトル / X
方針に問題はありませんが、いくつか誤りなどを。

まず、ECの長さを間違えています。
△EBCにおいて余弦定理により
EC^2=BE^2+BC^2-2BE・BCcos∠EBC
=2+√3
=(4+2√3)/2
∴EC=(1+√3)/√2
=(√2+√6)/2

次に↑ECを二通りの方法で表して
↑a,↑bの係数比較でx,yの連立方程式を
導くのは問題ありませんが、それができるのは

↑a//↑bでなく、かつ↑a≠↑0かつ↑b≠↑0 (P)
(教科書などで
一次独立
というキーワードを調べましょう。)

のときです。
もし、この方針を使うのであれば係数比較の前に
必ず(P)を明記するようにしましょう。
No.58092 - 2019/05/06(Mon) 12:52:03
☆ Re: 高1 ベクトル / X
それとめろんさんは
・直線のベクトル方程式
・内分点、外分点のベクトル表示
をまだ学習されていませんか？
学習されているのであれば以下の別解の方が
簡単に計算できます。

別解(の方針))
条件から
↑EF=k↑EC
(kは定数)
と置くことができるので(3)の結果から
↑EF=k{{(√3)/3}↑a+{1+(√3)/3}↑b}
={(k√3)/3}↑a+k{1+(√3)/3}↑b (A)
ここで点Fは辺AB上の点ですので(A)の係数について
(k√3)/3+k{1+(√3)/3}=1 (B)
(B)を解いてkの値を求め、(A)に代入します。
No.58093 - 2019/05/06(Mon) 12:59:06
☆ Re: 高1 ベクトル / X
又、質問の範囲外ですが、(1)についても
条件から点Hが辺ABの中点であることに気づけば
↑EH=(↑EA+↑EB)/2
=(↑a+↑b)/2
と求めることもできます。
No.58094 - 2019/05/06(Mon) 13:05:28
☆ Re: 高1 ベクトル / めろん
Xさん、ありがとうごさいます！
一次独立、忘れていました。
内分点・外分点のベクトル表示はまだ習っていないのですが、習ったらまた復習したいと思います。
No.58100 - 2019/05/06(Mon) 17:35:09
★ (No Subject) / ゆい橋
“ニ”の問題なのですが、答えに、建築面積の偏差が1/3.31倍とあるのですが、どういうことですか？
No.58088 - 2019/05/06(Mon) 07:04:04
☆ Re: / ＩＴ
「偏差」の意味（定義）は分かりますか？

ある建物群の建築面積の平均値をA（?u）
ある建物の建築面積をx（?u） とすると
xのAからの偏差はx-A

面積の単位を坪に変換すると。
ある建物群の建築面積の平均値　A/3.31（坪）
ある建物の建築面積　x/3.31（坪）
となりますから
偏差は　x/3.31-A/3.31=(x-A)/3.31
となります。
No.58089 - 2019/05/06(Mon) 08:20:42
★ (No Subject) / ピアノ
何度も失礼します

∠A=30°、∠B=90°、BC=1である直角三角形ABCがある。辺AB上に∠CDB=
45°となるように点Dをとる。また直線ABと点Aで接し、点Cを通る円と直線CDの交点をEとする。
∠DAEを求めよ。

せつげんていりを使うそうなのですが、どこがそうなるかわかりません。教えて欲しいです。答えは15°です。
No.58086 - 2019/05/06(Mon) 05:11:32
☆ Re: / らすかる
接弦定理から∠DAE=∠ACE=∠ACB-∠DCB=60°-45°=15°となります。
No.58087 - 2019/05/06(Mon) 06:14:32
☆ Re: / ピアノ
∠DAE=∠ACEがわからないです。
∠EDA=∠ACEになるのではないのですか？

まだ上手く使えなくてすみません。
No.58095 - 2019/05/06(Mon) 15:50:33
☆ Re: / X
数学の教科書の接弦定理の項目に書かれている図を
もう一度よく見ましょう。
円の接線上に取られている角の先端は
円との接点であって、接線上の任意の点
ではありません。
No.58096 - 2019/05/06(Mon) 16:18:22
☆ Re: / らすかる
> ∠EDA=∠ACEになるのではないのですか？

∠EDAは鈍角、∠ACEは鋭角なので明らかに違いますが、
どういう意味でしょうか。何かの勘違いですか？

接弦定理から
「弦AEとAにおける接線との角度は、AEに対する円周角と等しい」
が成り立ちます。
(弦AEとAにおける接線との角度)=∠DAE
(AEに対する円周角)=∠ACE
ですから、∠DAE=∠ACEとなります。

接弦定理を使わずに示すと、例えば…
Aを通りABに垂直な直線と円との2交点のうちAでない方をFとします。
AFは円の中心を通りますので、∠AEF=90°です。
従って∠EAF+∠AFE=90°ですから、
∠AFE=90°-∠EAF=∠DAEが成り立ちます。
そして円周角一定から∠AFE=∠ACEですから、
∠DAE=∠ACEが成り立ちます。
No.58097 - 2019/05/06(Mon) 16:19:45
☆ Re: / ピアノ
わかりました！ありがとうございます！
No.58105 - 2019/05/06(Mon) 21:11:05
★ 逆関数定理 / 初学者

画像の変換に関して対応関係を調べてみましたが、(二枚目）
いまいちヤコビアンが０でない点では逆関数が存在するというのが図からはピンときませんでした。?@具体的に逆関数を書くことは難しいのですか?また、図から納得する事も難しいのですか?

?Aヤコビアンが０になる点の写り先に関して逆関数が存在するかは逆関数定理からは分かりませんが、それを判断する方法はないのですか？また、今回の例の場合u＝０ではどうなのですか？
(教科書には一対一対応はないとかかれていますが）
No.58083 - 2019/05/06(Mon) 03:30:51
☆ Re: 逆関数定理 / 初学者
２枚目です
よろしくお願いします。
No.58084 - 2019/05/06(Mon) 03:31:29
★ (No Subject) / ピアノ
5本のくじの中に2本の当たりくじが入っている。2本のくじを同時に引くとき1本があたり、もう1本が外れている確率を求めよ。

3/10だと答えたら、3/5でした。
何がいけないのでしょうか？計算間違いかとも思いましたが、何回やってもこうなります。
No.58078 - 2019/05/06(Mon) 00:37:46
☆ Re: / ＩＴ
> 何がいけないのでしょうか？
どういう考えで求めたかが分からないと、何がいけないか分かりません。

５本から２本選ぶ方法は　C(5,2)=10通り
そのうち１本があたりで１本が外れなのは　２×３＝６通り
ですよね。
No.58079 - 2019/05/06(Mon) 00:59:46
☆ Re: / ピアノ
こうやって解きました！
No.58080 - 2019/05/06(Mon) 01:25:25
☆ Re: / らすかる
そのように計算する場合は、同時に引く場合でも区別が必要です。
1本目があたり、2本目が外れる確率は 2/5×3/4=3/10
1本目がはずれ、2本目があたる確率は 3/5×2/4=3/10
よって求める確率は 3/10+3/10=3/5
No.58081 - 2019/05/06(Mon) 02:33:37
☆ Re: / ピアノ
なるほど……………

ありがとうございます
気をつけます
No.58085 - 2019/05/06(Mon) 04:34:55
★ (No Subject) / sinx/x の証明
普通は 図形を書き sinx < x < tanx の式を導いて示しますが、
lim[x→0] ( sinx - sin0 ) / (x - 0 ) = ( cosxのx=0の微分係数)
=0
を用いて示してはいけないのですか？
そっちの方が楽だと思うのですが
No.58070 - 2019/05/05(Sun) 23:16:50
☆ Re: / らすかる
sinxの導関数を求める時にlim[x→0]sinx/x=1を使いますので、
lim[x→0]sinx/x=1を求める時に微分を使うことはできません。
No.58071 - 2019/05/05(Sun) 23:24:41
★ (No Subject) / 浦
次のデータは、6人のハンドボール
投げの記録(m)である。
20,25,28,29,30,36

このデータのうち1個が誤りであり、
正しい数値に基づく平均値と中央値は
ともに29であることがわかった。
誤っているデータは(1)である。
またこのとき、正しい数値に修正した
後のデータ分散は、修正する前のデータの
分散より(2)。
ただし、最後の(2)には大きいまたは小さいを入れなさい。

この、線を引いた部分がわからないです。どういう公式を元にしたのでしょうか？？
No.58067 - 2019/05/05(Sun) 23:02:53
☆ Re: / らすかる
(平均)×(個数)=(合計)ですね。
記録されたデータの平均は28、正しい平均は29なので
平均が1違うということは合計はその個数(6)倍の6違います。
これを式で表したのが6×(29-28)という式です。
No.58068 - 2019/05/05(Sun) 23:07:44
☆ Re: / 浦
平均が1違うということは合計はその個数(6)倍の6違う、というのはどういった数の時でも言えるんですか？
No.58075 - 2019/05/06(Mon) 00:08:04
☆ Re: / らすかる
(平均)×(個数)=(合計)ですから、
平均がa増えれば合計はa×(個数)増えます。
No.58076 - 2019/05/06(Mon) 00:12:58
★ (No Subject) / ピアノ
△ABCにおいて、AB＝2√3、BC＝2、∠C＝120° のとき△ABCの内接円の中心をI、外接円の中心をoとする。
Oiの長さを求めよ。

という問題の解き方を教えてください。
あと、これは数何の範囲ですか？
教科書を見ようと思ったのですが、どれを見ればいいかわからなかったです。
No.58062 - 2019/05/05(Sun) 21:48:33
☆ Re: / らすかる
∠C=120°ということは
一辺が2√3の正三角形ADB（DはABに関してCと反対側）を描いて
その正三角形ADBの外接円を描くと、Cは劣孤AB上にあります。
ABの垂直二等分線と劣孤ABの交点からBまでの距離は2なので、
この点がCです。つまり△ABCはBC=CAの二等辺三角形です。
正三角形ADBの外接円がそのまま△ABCの外接円でもありますので、
外接円の中心は直線CD上かつ△ABCの外部にあって
辺ABからの距離は1となります。
△ABCは二等辺三角形ですから、内接円の中心も直線CD上にあります。
△ABCの面積は√3、周の長さは4+2√3ですから、内接円の半径は
√3×2÷(4+2√3)=2√3-3となります。従って内接円の中心は直線CD上かつ
△ABCの内部で辺ABから2√3-3のところにあります。
従って内接円の中心と外接円の中心との距離は、
1+(2√3-3)=2√3-2です。

# 数何の範囲かはわかりませんが、
# 関連の箇所を学習中ならばその内容に沿って解く必要があり、
# 入試問題などで数何と関係なければ
# 自分の知識を自由に使って解いて構わないと思います。
# （例えば余弦定理を習った後ならばCAの長さを出すのに余弦定理を
# 使ってよいですが、習っていなければ他の方法で出すことになります。）
No.58065 - 2019/05/05(Sun) 22:47:32
☆ Re: / ピアノ
> ∠C=120°ということは
> 一辺が2√3の正三角形ADB（DはABに関してCと反対側）を描いて
> その正三角形ADBの外接円を描くと、Cは劣孤AB上にあります。

すみません……この時点でわかりません。
なぜそうだとわかるのですか？
No.58073 - 2019/05/05(Sun) 23:49:14
☆ Re: / らすかる
円に内接する四角形の対角の和は180°です。
ですからABに関してCと反対側に
∠ADB=60°となるように点Dをとり、
△ADBの外接円を描けば
Cはこの円周上にあります。
またこの外接円は△ABCの外接円でもありますので
この問題には好都合です。
∠ADB=60°であればどんな三角形でもよいので
正三角形にするのが簡単です。
No.58074 - 2019/05/05(Sun) 23:55:43
☆ Re: / ピアノ
何度もすみません。わかりました、ありがとうございます。

まだわからないところがあるので、もう少し解説してもらえたらとても嬉しいです。
> ABの垂直二等分線と劣孤ABの交点からBまでの距離は2なので、
> この点がCです。

BC=CAなのはわかったのですが、劣孤ABの交点からBまでの距離は2というのがわかりません。
No.58077 - 2019/05/06(Mon) 00:26:36
☆ Re: / らすかる
ABの中点をMとすると△AMC≡△BMCですね。
ということは∠BCM=60°ですから、△BCMは
∠B=30°、∠C=60°、∠M=90°の三角形であり、
BC=(2/√3)BM=2となります。

劣孤ADの中点をE、劣孤DBの中点をFとすると
六角形AEDFBCが正六角形になることを考えると
わかりやすいかも知れません。
No.58082 - 2019/05/06(Mon) 02:39:31
★ 数?T青チャート　Exercise65　西南学院大 / 田中一郎
(2)x,y,zがx+2y+3z=6を満たすとき、x^2+4y^2+9z^2の最小値とそのときのx,yの値を求めよ。

上記の問題なんですが、解答のやり方では


x+2y+3z=6　から　3z=6-x-2y　・・・(あ)
これを　x^2+4y^2+9z^2　に代入して
(計算過程省略)
x^2+4y^2+9z^2 = 2(x+y-3)^2+6(y-1)^2+12
よって x+y-3=0 y-1=0　すなわち
x=2,y=1のときに最小となる。
したがって　x=2,y=1のとき最小値12


という導き方をしています。
ですが
(x+2y+3z)^2 = x^2+4y^2+9z^2+4xy+12yz+6xz　
36 = x^2+4y^2+9z^2+4xy+12yz+6xz
x^2+4y^2+9z^2 = 36-4xy-12yz-6xz　・・・?@
として
(あ)の部分で　x=-2y-3z+6　と置いて、
?@の式の右辺に x=-2y-3z+6 を代入すると
x^2+4y^2+9z^2 = 8(y+3/4)^2+18(z-1)^2+27/2
となって
y=-3/4,z=1　となります。
これを x+2y+3z=6 に代入すると
x=9/2 が出され
x=9/2,y=-3/4 で最小値27/2
となってしまいます。

初めの(あ)の部分をx=-2y-3z+6としたのがミスの原因かもしれませんが、遠回りになれど間違ってはいないと思うのです。
何故(あ)の部分を変更しただけでこんなに結果が違うのでしょうか。
それとも(x+2y+3z)^2を計算した事が間違っていたのでしょうか。
自分では考えても分かりません。
どなたか解説を宜しくお願いします。
No.58061 - 2019/05/05(Sun) 21:39:56
☆ Re: 数?T青チャート　Exercise65　西南学院大 / ＩＴ
> ?@の式の右辺に x=-2y-3z+6 を代入すると
> x^2+4y^2+9z^2 = 8(y+3/4)^2+18(z-1)^2+27/2

計算間違いですね。右辺にyzの項がないのはおかしいです。
途中式を再確認してください。
No.58063 - 2019/05/05(Sun) 22:08:43
☆ Re: 数?T青チャート　Exercise65　西南学院大 / 田中一郎
漸く分かりました。
途中式でzの項を省略していました。
おかげで助かりました。
ありがとうございました。
No.58104 - 2019/05/06(Mon) 19:09:42
★ (No Subject) / 複素数
N を、2以上の整数として
複素数 z= cos θ + isinθ はz^2N = 1をみたす
この時、S= Σ [ k=1~N ]cos(2k-1)θ の値を求めよ。
またT= Σ [ k=1~N ]sin(2k-1)θ の値をθを使って表せ。

ドモアブルを使ってN の条件をもとめたところでつまってしまいました。方針を教えてください。よろしくお願いします。
No.58059 - 2019/05/05(Sun) 16:56:30
☆ Re: / ＩＴ
> N の条件をもとめた
Nは２以上の整数であり、「N の条件をもとめる」というのがどういうことかよくわかりませんが、

Σ [ k=1~N ]z^(2k-1) を計算してみるとどうでしょう。
No.58060 - 2019/05/05(Sun) 17:09:42
★ 評価 / 高校数学
15log5 - 20. > 0 を示したいです！
今、問題文に与えられているのは、2<e<3
log2<3/4 だけです
No.58052 - 2019/05/05(Sun) 13:05:31
☆ Re: 評価 / らすかる
5^3=125, 3^4=81 なので 5^3＞3^4
両辺を5乗して 5^15＞3^20
両辺の対数をとって 15log5＞20log3
3＞eからlog3＞1なので 15log5＞20log3＞20
よって 15log5＞20
ゆえに 15log5-20＞0
No.58053 - 2019/05/05(Sun) 13:20:35
☆ Re: 評価 / 高校数学
なるほど！
3>e を使うのですね！
ありがとうございます！
No.58055 - 2019/05/05(Sun) 15:44:50
★ (No Subject) / 共接線
f(x) = x^4 + 2x^3 + ax^ 2 が 異なる2点で接する接戦を持つaの条件とら接線の方程式を求めよ。

自分は接点の座標をα β とおいて、(x-α)^2(x-β)^2 との係数比較で
接戦の式 y= (1-a)x-(1/4)(a-1)^2
を求めましたが、条件が出てきません。
自分の方針が間違っているから、aのじょうけんがでてこないのでしょうか？
ちなみに条件は a< 3/2 です
No.58050 - 2019/05/05(Sun) 12:13:49
☆ Re: / 共接線
すいません。回りくどいやり方では思いつきました。
α +β = -1 αβ = (1/2)(a-1) になると思いますが、

これを用いて、囲まれた面積は(1/30)(β-α)^5 となりますよね？
そうすると面積S>0 が条件だから、(β -α) >0 が条件であり
β -α = -2a+3 >0 ⇔ a<3/2
これ以外のやり方はあるのでしょうか？
No.58051 - 2019/05/05(Sun) 12:30:58
☆ Re: / らすかる
> 自分は接点の座標をα β とおいて、(x-α)^2(x-β)^2 との係数比較で
> 接戦の式 y= (1-a)x-(1/4)(a-1)^2
> を求めましたが、条件が出てきません。

「α,βが異なる実数」⇔(α-β)^2＞0
「α,βが同一の実数」⇔(α-β)^2＝0
「α,βが虚数」⇔(α-β)^2＜0　（∵虚数の場合αとβは複素共役）
という条件がありますので
(α-β)^2＞0から3-2a＞0すなわちa＜3/2が得られます。

> これを用いて、囲まれた面積は(1/30)(β-α)^5 となりますよね？

自分で計算していないのですが、α＜βでもα＞βでも
(β-α)^5/30となるのですか？

> これ以外のやり方はあるのでしょうか？

もし微分を習っていれば
「四次関数y=f(x)が異なる2点で接する接線を持つ」
⇔「四次関数y=f(x)が異なる2点で変曲点を持つ」
⇔「f''(x)=0が異なる2点で解を持つ」
なので
f''(x)=12x^2+12x+2a
D/4=36-24a＞0
∴a＜3/2
と求められます。
No.58054 - 2019/05/05(Sun) 14:00:14
☆ Re: / 共接線
なるほど、たしかに
「α,βが異なる実数」という条件が必要でしたね、

しかし、もう一方の解答で示していただいた、
「四次関数y=f(x)が異なる2点で接する接線を持つ」
⇔「四次関数y=f(x)が異なる2点で変曲点を持つ」
が言えるのでしょうか？ そこがわかりません。


「四次関数y=f(x)が異なる2点で変曲点を持つ」
⇔「f''(x)=0が異なる2点で解を持つ」
は分かります。
No.58056 - 2019/05/05(Sun) 15:54:30
☆ Re: / らすかる
四次の項の係数が正である四次関数は、
xが小さい方と大きい方で下に凸ですから
変曲点の個数は0個か2個のどちらかですね。
変曲点が0個の場合、四次関数のグラフは
任意の点における接線よりも上にありますので、
明らかに2点で接することはありません。
変曲点が2個ならば、xが小さいときと大きいときが下に凸で
間に上に凸の部分がありますので(四次の項の係数が正の場合)、
2箇所の下に凸の部分に接する接線が存在します。

# f''(x)=0の解が一つ(重解)の場合は、
# その解の左右でf''(x)の符号が同じですから、
# 変曲点はありません。
No.58057 - 2019/05/05(Sun) 16:24:50
☆ Re: / 共接線
すいません、 まだわからないです。
> 四次の項の係数が正である四次関数は、
xが小さい方と大きい方で下に凸ですから
変曲点の個数は0個か2個のどちらかですね。

「 四次の項の係数が正である四次関数は、
xが小さい方と大きい方で下に凸ですから」
この部分は理解できます。
しかし、
「四次の項の係数が正の4次関数は変曲点の個数は0個か2個のどちらかですね。」
ここがわかりません。
f(x) は4次式 なので、 f‘’(x) は2次式になりますよね？
そこで 例えば x=α という重解を持つ可能性があると思うのですが
そこで、変曲点が1個存在することもあるのではないですか？
No.58064 - 2019/05/05(Sun) 22:35:20
☆ Re: / らすかる
左の方は「下に凸」、右の方も「下に凸」ですから、
「全体が下に凸」であるか
「下に凸・上に凸・下に凸」のようになっているかのいずれかです。
前者ならば変曲点は0個、後者ならば変曲点は2個です。
左の方が「下に凸」で変曲点が1個だと
右の方が「上に凸」になってしまい、これは四次関数ではないですね。

上にも書きましたが、f''(x)=0が重解を持つときは
その解の前後でf''(x)の符号が同じですから、
変曲点にはなりません。
例えばf(x)=x^4のときf''(x)=12x^2は重解0を持ちますが、
y=x^4のグラフで(0,0)は変曲点ではないですね。
No.58066 - 2019/05/05(Sun) 22:54:55
☆ Re: / 共接線
理解できました。ありがとうございます。
ところで
四次の項の係数が正である四次関数は、
xが小さい方と大きい方で下に凸
という事実は証明なしに使って良いのでしょうか？
No.58069 - 2019/05/05(Sun) 23:09:53
☆ Re: / らすかる
証明なしに使って良いかどうかは問題によりますが、
この問題では主要なポイントではないので
証明なしに使って良いと思います。

# 例えば
# 「四次関数の変曲点の個数は0個または2個であることを証明せよ」
# のような問題の場合は、示しておく必要があるでしょうね。
# とはいっても、明らかなことですから
# 「二階微分の小さい方と大きい方で値が正だから下に凸」
# 程度の言及で良いと思いますが。
No.58072 - 2019/05/05(Sun) 23:32:52
★ クーロンの法則での計算 / あー
理屈は理解していますが、QBの求め方の式が理解できません。途中式はどのようにしてQBを求めているのですか？
No.58049 - 2019/05/05(Sun) 10:52:23
☆ Re: クーロンの法則での計算 / X
添付写真の下から3行目の式も理解できない
ということですか？
No.58058 - 2019/05/05(Sun) 16:39:02
★ 部分積分について / hegn
(x-4)log(4-x)-x にどうしても計算してもなりません。教えて頂きたいです。
No.58046 - 2019/05/05(Sun) 03:14:53
☆ Re: 部分積分について / らすかる
部分積分は使わなくていいですか？
置換積分を使うと
4-x=tとおいて
∫log(4-x)dx=-∫logtdt
=-tlogt+t+C1
=-(4-x)log(4-x)+(4-x)+C1
=(x-4)log(4-x)-x+C
となります。
No.58047 - 2019/05/05(Sun) 03:20:57
★ (No Subject) / たけ
ベクトルの問題で、内積を例えば(3.5) (1.2)だったら3×1+5+2と計算すると思います。でもたまに問題で分配法則的に計算する時がありますよね。その違いと使い分けが知りたいです
No.58040 - 2019/05/04(Sat) 21:43:29
☆ Re: / たけ
5×2の間違えです
No.58041 - 2019/05/04(Sat) 21:44:02
☆ Re: / らすかる
「内積」は「分配法則的に計算」しないと思いますので
「分配法則的に計算する時」の具体例がないと私にはわかりませんが、
この質問だけで真意を汲み取って回答してくれる人はいるかも知れませんね。
No.58042 - 2019/05/04(Sat) 21:49:46
☆ Re: / たけ
このようなときです
No.58043 - 2019/05/04(Sat) 21:53:15
☆ Re: / らすかる
複数のベクトルの和同士の内積をまず分配法則で分けてから
後で内積を計算（内積の値を代入）しているだけですね。
(↑a+↑b)・(↑c+↑d) のように内積の値が直接計算できない、
あるいは計算しにくいときに、分配法則で
(↑a+↑b)・(↑c+↑d)=↑a・↑c+↑a・↑d+↑b・↑c+↑b・↑d
のように分けて、その後個別の内積の値を計算（代入）している
ということです。
ですから、「違い」は
3×1+5×2のような計算：内積の値の計算
分配法則的な計算：内積の式の展開
であり、全く意味が違いますので、
「使い分け」という考え方にはならないと思います。
No.58044 - 2019/05/04(Sat) 22:11:28
★ 図形問題？ / .
円に内接する正方形をABCDとし、弧AD (短い方) 上の動点をPとする時、
このときPA+PD と PB+PC の比が一定である。
これを示せ。

自分の考え

半径1の円をかんがえる。また、円の中心をOとする。
∠AOP＝θ とすると、 余弦定理より、 AP = √(2-2cosθ)
∠POD= π/2 - θ であるので、余弦定理より、 PD = √(2-2sinθ)
∠POB= π/2 + θ であるので、 余弦定理より、 PB = √(2-2cosθ)
∠POC= π - θ より、 PC = √(2+2cosθ)

(PA+PD) / (PB+PC)=
{ √(2-2cosθ) + √(2-2sinθ) } / {√(2-2cosθ)+√(2+2cosθ)}

半角を使って整理すると、
(PA+PD) / (PB+PC)=
[√2 ・ {√2 ・ sinθ/2) + √(1-sinθ) } / [ √2 ・{√2 ・cosθ/2)+√(1-sinθ)}
ここでいきずまってしまいます。
ここからどうやるのでしょうか？

ちなみに答えは、(PA+PD) / (PB+PC)= √2 - 1 になるそうです。
No.58033 - 2019/05/04(Sat) 20:20:24
☆ Re: 図形問題？ / らすかる
sinに直してしまうと半角の公式で√が外せなくなりますので、cosのままにしましょう。
PA=√(2-2cosθ)=2sin(θ/2)
PD=√(2-2cos(π/2-θ))=2sin(π/4-θ/2)
PB=√(2-2cos(π/2+θ))=2sin(π/4+θ/2)
PC=√(2-2cos(π-θ))=2sin(π/2-θ/2)
和積の公式により
PA+PD=2sin(θ/2)+2sin(π/4-θ/2)=4sin(π/8)cos(π/8-θ/2)
PB+PC=2sin(π/4+θ/2)+2sin(π/2-θ/2)=4sin(3π/8)cos(π/8-θ/2)
(PA+PD)/(PB+PC)=sin(π/8)/sin(3π/8)=sin(π/8)/cos(π/8)
ところで
{sin(π/8)/cos(π/8)}^2
={sin(π/8)}^2/{cos(π/8)}^2
=(1-cos(π/4))/(1+cos(π/4))
=(1-1/√2)/(1+1/√2)
=(√2-1)/(√2+1)
=(√2-1)^2
なので
sin(π/8)/cos(π/8)
=√2-1
∴(PA+PD)/(PB+PC)=√2-1
No.58039 - 2019/05/04(Sat) 21:34:44
☆ Re: 図形問題？ / らすかる
正弦定理を使った方が簡単ですね。
また劣孤ADの中点をMとして∠MOP=θ（-π/4≦θ≦π/4）とおき、
途中計算を工夫すると計算が綺麗になります。

PA/sin∠ABP=PB/sin∠PAB=2から
PA=2sin∠ABP=2sin(π/8+θ/2)
PB=2sin∠PAB=2sin(3π/8+θ/2)=2cos(π/8-θ/2)
PC/sin∠CDP=PD/sin∠PCD=2から
PC=2sin∠CDP=2sin(3π/8-θ/2)=2cos(π/8+θ/2)
PD=2sin∠PCD=2sin(π/8-θ/2)
なので加法定理から
PA+PD=2sin(π/8+θ/2)+2sin(π/8-θ/2)=4sin(π/8)cos(θ/2)
PB+PC=2cos(π/8-θ/2)+2cos(π/8+θ/2)=4cos(π/8)cos(θ/2)
(PA+PD)/(PB+PC)=sin(π/8)/cos(π/8)
=2{sin(π/8)}^2/{2sin(π/8)cos(π/8)}
={1-cos(π/4)}/sin(π/4)
=(1-1/√2)/(1/√2)
=√2-1
No.58048 - 2019/05/05(Sun) 03:59:34
☆ Re: 図形問題？ / c
(Sqrt[2-Sqrt[2] Cos[t]-Sqrt[2] Sin[t]]+Sqrt[2-Sqrt[2] Cos[t]+Sqrt[2] Sin[t]])/(Sqrt[2+Sqrt[2] Cos[t]-Sqrt[2] Sin[t]]+Sqrt[2+Sqrt[2] Cos[t]+Sqrt[2] Sin[t]])
が　t∈[-Pi/4,Pi/4] で　定値函数であることを示ばよい。

No.58200 - 2019/05/11(Sat) 14:14:18
★ 行列の次元 / あかさ
m×n行列Aにおいて、一般に
Aの行空間の次元≦Aの列空間の次元
が成り立つと本に書いてあったのですが、理由がわかりません。
理由を教えてほしいです。

どうぞよろしくお願いします。
No.58024 - 2019/05/04(Sat) 17:57:48
★ (No Subject) / 格子点について
[問題] (1) y = x^2/3 + x/2 のグラフ上に無数の交差点があることを示
せ。
(2) y= ax^2 + bx + c 上に 格子点がちょうど2個存在するよう
な(a,b,c) の組の例を1つあげよ。

[質問]
1. (1) の自分の証明がこれで正しいか。
2. (2) はどのように考えれば良いのか

(1) の証明
x=6k (kは整数) とおくと、 y は整数であり、
6の倍数は無数に存在するから、交差点も無数に存在する。

お願いします。
No.58020 - 2019/05/04(Sat) 17:25:01
☆ Re: / らすかる
(1)は問題ないと思います。
(2)は例えばb=0とすればy軸に関して対称なので考えやすくなります。
x=±1のときにyが0とするとa+c=0なのでy=a(x^2-1)
これでaが例えば√2ならば格子点が2個だけになりますね。
No.58021 - 2019/05/04(Sat) 17:35:55
☆ Re: / 難しい
なるほど！
対称軸の設定で設定を簡単にするのですね。

らすかるさん ありがとうございます^ ^
No.58028 - 2019/05/04(Sat) 18:25:30
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