間違えている点をご指摘ください。
xy平面上の楕円板E:x^2/a^2+y^2/b^2≦1かつz=0(a＞0,b＞0)上に動点Pをとり、線分L:z=2かつy=0かつ|x|≦a上に動点Qをとるとき、線分PQが通過してできる立体をHとする。
Hの体積Vを求めなさい。
P(acosθ,bsinθ,0)、Q(t,0,2)とします。ただし、0≦θ≦2π、-a≦t≦aとします。z=h(0≦h≦2)による切り口を考えます。線分PQのz座標がhの点をR(x,y,h)とします。
OR→=OQ→+kQP→=(t,0,2)+k(acosθ-t,bsinθ,-2)であり、Rのz座標がhであることから、h=2-2kより、k=1-h/2です。
よって、x=(1-h/2)acosθ+ht/2、y=(1-h/2)bsinθです。
ここでtを固定して、θを消去すると、(x-ht/2)^2/{a^2(1-h/2)^2}+y^2/{b^2(1-h/2)^2}=1となります。ここでtを-a≦t≦aの範囲で動かすと、z=hによる切り口の図形は楕円(x-ha/2)^2/{a^2(1-h/2)^2}+y^2/{b^2(1-h/2)^2}=1を楕円(x+ha/2)^2/{a^2(1-h/2)^2}+y^2/{b^2(1-h/2)^2}=1に一致するまで平行移動したときの通過領域になります。
この面積S(h)は楕円x^2/{a^2(1-h/2)^2}+y^2/{b^2(1-h/2)^2}=1の面積に、縦2b(1-h/2)、横ahの長方形の面積を加えたものになりますので、S(t)=2ab(h-h^2/2)+πab(1-h/2)^2です。
よって、V=∫[0,2]S(h)dh=(2π+4)ab/3となります。
でも解答は(2π+16/3)abとなっていて合いません。
どこを間違えているのでしょうか。訂正方法とともに教えてください。よろしくお願いします。
|
No.56957 - 2019/02/28(Thu) 17:14:01
| ☆ Re: 体積 / noname | | | 自分も同じ答えになりました。
まだ何が異なっているのかは分析できてません。
|
No.56966 - 2019/03/01(Fri) 09:02:15 |
| ☆ Re: 体積 / らすかる | | | 多少厳密性に欠けますが、幾何学的に考えて
(2π+4)ab/3で合っていると思います。
A(-a,0,2),B(a,0,2),C(0,-b,0),D(0,b,0)として
まずP=CとしてQをAからBまで動かすと△CABが出来て
P=DとしてQをAからBまで動かすと△DABが出来ますので、
立体Hに四面体ABCDが含まれます。
この四面体の体積はABの中点とC,Dを通る平面で二つに切ると
底面積2b、高さがaの三角錐二つになりますので、体積は4ab/3です。
また、Q=AとしてP(acosθ,bsinθ)をπ/2≦θ≦3π/2の範囲で動かした曲面と
△ACDを合わせると、半楕円錐になり、反対側も同様ですので
立体Hに半楕円錐2個が含まれます。
この半楕円錐2個の合計の体積は、底面積がπab、高さが2の楕円錐1個分
になりますので、2πab/3です。
P,Qがどこであっても、上記の四面体+半楕円錐2個の立体の中に線分PQが
含まれますので（ここが厳密性に欠ける部分）、立体Hの体積Vは
上記を合わせた(2π+4)ab/3となります。
また、その解答が正しくないことも明らかです。
(2π+16/3)abが{2π+(16/3)}ab、{(2π+16)/3}abのどちらであっても
底面が楕円板E、高さが2の楕円柱の体積2πabより大きくなりますので、
明らかにおかしいです。
|
No.56967 - 2019/03/01(Fri) 09:42:46 |
| ☆ Re: 体積 / noname | | | x軸と垂直に切って、断面が二等辺三角形と誤解した場合や、家型と誤解した場合をやってみましたが、誤りを再現できませんでした。
|
No.56968 - 2019/03/01(Fri) 12:58:51 |
| ☆ Re: 体積 / noname | | | 似た誤りを再現できたので報告。
x=tで切った断面を長方形に二等辺三角形が乗ったものと考え、このままでは高さhとtの関係が明らかにならないと求められないにも関わらず、屋根の傾きが2/bで一定であると誤解すると、(2π+8/3)abという誤った値が出る。
|
No.56970 - 2019/03/01(Fri) 17:30:52 |
| ☆ Re: 体積 / noname | | | この解答作成者、一定でないものを見た目で一定と決めつける傾向があるんじゃないか。
|
No.56971 - 2019/03/01(Fri) 17:34:12 |
| ☆ Re: 体積 / 瑠璃 | | | 皆様
御回答ありがとうございました。これもでしたか。大変助かりました。
|
No.56993 - 2019/03/02(Sat) 14:44:10 |
|
