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★ 円の接線 / √
教えてください。

円の接線
と
円の中心と接点を結んだ線

この二つの線は垂直に交わることの証明
の仕方を教えてください。

よろしくお願い致します。
No.57804 - 2019/04/23(Tue) 19:52:38
☆ Re: 円の接線 / ＩＴ
円Oの中心をO、円O上の点をA、Aを通る円Oの接線をLとします。

OからLに下ろした垂線の足をHとする。
H≠Aとすると、
　L上にAH=BHとなるA以外の点Bが取れる。
　このときOB＝OAとなるので,点Bは円Oと直線Lの交点である。
これは、Lが円Oの接線であることに反する。
したがってH＝Aである。
よってOAは接線Ｌと垂直に交わる。
No.57805 - 2019/04/23(Tue) 21:20:02
☆ Re: 円の接線 / ＩＴ
「接線」の定義が　どうなっているかにもよりますね。
No.57806 - 2019/04/23(Tue) 21:43:57
☆ Re: 円の接線 / √
ＩＴさん
有難うございます。

以下が、まだ理解できません（ＴＴ）

> 　L上にAH=BHとなるA以外の点Bが取れる。
> 　このときOB＝OAとなるので,点Bは円Oと直線Lの交点である。
> これは、Lが円Oの接線であることに反する。
> したがってH＝Aである。
> よってOAは接線Ｌと垂直に交わる。
No.57807 - 2019/04/23(Tue) 22:00:52
☆ Re: 円の接線 / らすかる
ほとんどコピペの別解

円Oの中心をO、円O上の点をA、Aを通る円Oの接線をLとします。

OからLに下ろした垂線の足をHとする。
H≠Aとすると、
△OHAはOAが斜辺である直角三角形なので、OH＜OA
よってHは円の内部にあり、Lが接線であることと矛盾。
したがってH＝Aである。
よってOAは接線Ｌと垂直に交わる。
No.57808 - 2019/04/23(Tue) 22:01:37
☆ Re: 円の接線 / ＩＴ
> 以下が、まだ理解できません（ＴＴ）

まったく理解できないということですね。
図を描いて考えてみてください。
No.57809 - 2019/04/23(Tue) 22:13:49
☆ Re: 円の接線 / √
らすかるさん
有難うございました。
よく分かりました。


ＩＴさん
最後まで理解できなくて本当にゴメンナサイ。
No.57810 - 2019/04/23(Tue) 22:15:08
☆ Re: 円の接線 / √
ＩＴさん


> まったく理解できないということですね。
> 図を描いて考えてみてください。

Ｌ上に、Ａ・Ｈ・Ｂの順に並べるということですか？
No.57811 - 2019/04/23(Tue) 22:19:59
☆ Re: 円の接線 / √
ＩＴさん

やっと分かった気がします。

スミマセン、私が点Ｂを「接点」と読み間違えていました。
点Ｂは「交点」でしたね。
そしてＬが円の中を通過してしまうので、
接線にならないという解釈でよろしいでしょうか？
No.57812 - 2019/04/23(Tue) 22:41:11
☆ Re: 円の接線 / ＩＴ
そういう理解でもいいと思います。

「中を通過する。」と云わなくても
その直線Ｌと円Oが異なる２点を共有するので、直線Ｌは円Oの接線にならない。ということではあります。

なお「円の接線」の定義はどう書いてありますか？
No.57813 - 2019/04/23(Tue) 22:56:54
☆ Re: 円の接線 / √
ＩＴさん　有難うございます。

> その直線Ｌと円Oが異なる２点を共有するので、直線Ｌは円Oの接線にならない。ということではあります。
>
> なお「円の接線」の定義はどう書いてありますか？

読んだことないですけど・・・・・

円に外接している三角形の「三辺」は、
必ず、「円の中心と接点を結んだ線」と、
直角になるのかな？
と思って質問させて頂きました。
No.57815 - 2019/04/23(Tue) 23:22:36
★ 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート
この問題の解答と、私の解答の不等式の等号が違うのですが、私の解答に間違いではないですか？

解答と私の解答は次のレスで載せます。
No.57795 - 2019/04/22(Mon) 17:43:39
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート
青チャートの解答です
No.57796 - 2019/04/22(Mon) 17:44:16
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート
こちらが自分の解答です
No.57797 - 2019/04/22(Mon) 17:45:02
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート
画像あげられてなかったのでもう一回
No.57798 - 2019/04/22(Mon) 17:45:51
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート
数学と関係ないですが、縦の画像が横になってしまうのはなぜですか？
No.57799 - 2019/04/22(Mon) 17:46:51
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / X
>>数学と関係ないですが、縦の画像が横になってしまうのはなぜですか？

スマホのカメラアプリの使い方が悪いです。
撮影をするときに、スマホの画面下のカメラの向きを
示すアイコンを確認していますか？
例え縦向きに構えていても、そのアイコンが
横向きを示していたら、アプリは横向きと認識して
横向きの写真が撮られてしまいます。
スマホを水平にして撮影するとよくこういうことが
起こります。
水平から少し斜めに構えるなど工夫をしてみると
よいと思います。
No.57800 - 2019/04/22(Mon) 19:47:52
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / X
で、問題の質問に対する回答ですが
青チャートさんの解答でも問題ありません。
この問題に関しては
m(t)=t^3-3t^2-9t
の場合のt=3のときの値と
m(t)=-27
の場合のt=3のときの値が
一致していますので。
No.57801 - 2019/04/22(Mon) 20:40:31
☆ Re: 不等式のイコールがあるかないかについて / 青チャート
いつもありがとうございます。
写真の件も工夫しようと思います。
No.57831 - 2019/04/24(Wed) 20:33:58
★ 偏微分 / とおます
この問題を教えてください
No.57791 - 2019/04/22(Mon) 11:35:29
☆ Re: 偏微分 / X
点(0,0)において偏微分可能であることは
偏微分係数の定義に従って計算してもらえば
証明できますので、連続関数でないことの
証明だけ。

問題の関数を極座標に変換すると
f(x,y)=cosθsinθ
=(1/2)sin2θ (A)
ここで
(x,y)→(0,0)のときr→0
となりますが、(A)はこのときθの値によって
定数とはなり得ないので、
lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y)=f(0,0)
は成立しません。
よってf(x,y)は点(0,0)において連続では
ありません。
No.57794 - 2019/04/22(Mon) 17:37:36
☆ Re: 偏微分 / とおます
ありがとうございます！
No.57802 - 2019/04/23(Tue) 11:14:28
★ (No Subject) / 算数初心者
ありがとうございます！
No.57789 - 2019/04/22(Mon) 06:36:39
☆ Re: / らすかる
次回から、返信は「返信」を押して書くようにしましょう。
新しく書くと記事がバラバラになってしまいます。
No.57790 - 2019/04/22(Mon) 08:29:13
☆ Re: / 算数初心者
了解です。
No.57793 - 2019/04/22(Mon) 17:07:25
★ 図形 / シャーマンジャンボ
△ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、辺ACを3:1に内分する点をEとする。

直線BEと直線CDの交点をPとし、直線APと直線BCの交点をFとすると、このとき点Fは線分BCを ア:イ に内分する点であり、点Pは線分AFを ウ:エ に内分する点である。直線DEと直線BCの交点をQとするとき、点Qは線分BCを オ:カ に外部する点である。

出来れば図も踏まえて、解説お願いします。
No.57785 - 2019/04/21(Sun) 21:18:03
☆ Re: 図形 / シャーマンジャンボ
自己解決しました
No.57792 - 2019/04/22(Mon) 15:52:40
★ 大至急 / 算数初心者
先程の二桁という表記は無視して下さい。よろしくお願いします。
No.57784 - 2019/04/21(Sun) 20:35:21
★ 大至急 / 算数初心者
分からす困っております。大至急お助け下さい。

約束記号の問題です。

4＊7=21
5＊13=22
8＊20=36
9＊18=❓(二けた)

よろしくお願いします。
No.57783 - 2019/04/21(Sun) 20:19:52
☆ Re: 大至急 / らすかる
左の数の7倍から右の数を引いた結果なので、
9×7-18=45ですね。
No.57788 - 2019/04/22(Mon) 04:29:38
★ (No Subject) / 晴れ
三角形ABCがありAB=15/2,CA=12である。辺CA上にCD=7となるように点Dを取る。また角度Aの二等分線とBC,BDとの交点をそれぞれE,Fとする。さらに直線CFと辺ABの交点をGとする。この時BF=3√7/2,DG=√21であり四角形AGFDは円に内接している

BE/EC=5/8
三角形BFGと三角形BADは相似であるからFG=√7,CF=3√7
AF/FE=13/7
EF=？(解答21√3/13)

一番最後のEFの長さが求められなくて困っています。解説よろしくお願いします
No.57777 - 2019/04/21(Sun) 15:52:16
☆ Re: / らすかる
CからABに垂線CHを下ろすと
(AG+GH)^2+CH^2=AC^2=144
GH^2+CH^2=CG^2=112
上式から下式を引いてAG=4を代入してGHを求めるとGH=2
CH^2=112-GH^2=108
BH=BG-GH=3/2
BC=√(BH^2+CH^2)=√(9/4+108)=21/2

AからBCに垂線AIを下ろすと
(BC-BI)^2+AI^2=AC^2=144
BI^2+AI^2=AB^2=225/4
上式から下式を引いてBC=21/2を代入してBIを求めるとBI=15/14
AI^2=225/4-BI^2=225/4-225/196=2700/49
BE=(5/13)BC=105/2なので
AE=√{(BE-BI)^2+AI^2}=√{(105/26-15/14)^2+2700/49}=60√3/13

AF：FE=13：7なので
EF=(7/20)AE=21√3/13

# 角の二等分線の長さの公式など使えれば、もっと早く求まります。
No.57782 - 2019/04/21(Sun) 19:53:40
★ (No Subject) / 青チャート
この問題の解説で、

P_1（n）=P_2（n）
などとなるのはなぜですか？

感覚的にわかるのですが、判然としません。

解説は次のレスの画像に載せます。
No.57773 - 2019/04/21(Sun) 12:32:16
☆ Re: / 青チャート
ナゼ？とかいてあるところです。
No.57774 - 2019/04/21(Sun) 12:33:01
☆ Re: / ＩＴ
> P_1（n）=P_2（n）
写し間違いでは？

> などとなるのはなぜですか？
> 感覚的にわかるのですが、判然としません。

感覚的ではなく、漸化式の右辺がまったく同じになっていませんか？
No.57775 - 2019/04/21(Sun) 13:04:06
☆ Re: / 青チャート
すみません。写し間違いです。

P1(n)=P6(n)などのことです。

確かに同じ値になりますが、P1(n+1)=P6(n+1)が等しいのであって。P1(n)=P2(n)が何で等しいか言葉でうまく説明できません。
No.57778 - 2019/04/21(Sun) 16:36:38
☆ Re: / ＩＴ
> P1(n)=P2(n)
書き間違いでは？

m=n+1 とおくと　どうですか？
No.57780 - 2019/04/21(Sun) 16:46:26
☆ Re: / 青チャート
なるほど、そう考えると納得でした！
書き間違いの連続すみませんでした。次から気をつけます。

ありがとうございます！
No.57781 - 2019/04/21(Sun) 17:16:43
★ (No Subject) / ピアノ
「よって」まではわかるのですが、「ゆえに」からがわかりません。どういう変換をしたのですか？教えてください。
No.57765 - 2019/04/21(Sun) 02:10:50
☆ Re: / ピアノ
すみません、つけ忘れです。
No.57766 - 2019/04/21(Sun) 02:11:15
☆ Re: / ＩＴ
10^x は狭義単調増加関数なので
　a<b<c のとき　10^a<10^b<10^c です。
　a<b<c を　86<log[10](12^10)<87 におきかえて考えてください。
No.57767 - 2019/04/21(Sun) 03:10:30
☆ Re: / ピアノ
10^《log[10](12^80)》ってなりますよね…
これをどのようにして12^80にするのですか？
No.57786 - 2019/04/21(Sun) 22:16:38
☆ Re: / ＩＴ
log の定義から
　a＞0,a≠1、M＞0について、a^{log[a](M)}=M です。
教科書を確認してください。
No.57787 - 2019/04/21(Sun) 23:32:12
★ こんばんは / ピアノ
ここで平方完成した理由ってなんですか？？
No.57764 - 2019/04/21(Sun) 01:56:33
☆ Re: こんばんは / ＩＴ
「平方完成」は、２次関数の最大値（２次の係数が負の場合）、最小値（２次の係数が正の場合）を調べるための常套手段（セオリー）です。
No.57768 - 2019/04/21(Sun) 03:18:06
☆ Re: こんばんは / ピアノ
そうだったのですね！
ありがとうございます。
No.57770 - 2019/04/21(Sun) 11:00:13
☆ Re: こんばんは / ピアノ
あと、もう一つ教えてほしいです。
最大値最小値というのは頂点のことですか？
No.57771 - 2019/04/21(Sun) 11:02:44
☆ Re: こんばんは / らすかる
対数関数の最大値最小値は「頂点」とは言いません。
No.57772 - 2019/04/21(Sun) 11:49:46
★ 積分 / ゆい橋
この写真の問題なのですが、どちらのグラフが上になるのか求め方がわかりません。詳しく解説お願いしますー！
No.57762 - 2019/04/20(Sat) 22:54:08
☆ Re: 積分 / 関数電卓
題意より?Aの b,c は、b＝a^3＋1, c＝−2(a^3＋1) となり、
　y1＝ax^2＋(a−2)x−(a−2) …?@
　y2＝(a^3＋3)x^2＋(a^3＋1)x−2(a^3＋1) …?A
です。このとき、
　y1−y2＝…＝−(a^3−a＋3)(x^2＋x−2)
で、a＞0 で a^3−a＋3＞0、−2＜x＜1 で x^2＋x−2＜0 ですから、y1−y2＞0
すなわち、a＞0 では ?@がつねに上 です。

?@?Aが囲む部分の面積 S は、
　S＝∫[−2,1](y1−y2)dx＝…＝(9/2)(a^3−a＋3)
ですね。
No.57763 - 2019/04/21(Sun) 00:06:55
☆ Re: 積分 / らすかる
「どちらが上か」を考えない方法もありますね。
(求める面積)=∫[-2〜1]|(?@の右辺)-(?Aの右辺)|dx
=(9/2)|a^3-a+3|
=(9/2)(a^3-a+3)　（∵a^3-a+3=(a+2)(a-1)^2+2a+1＞0）
No.57769 - 2019/04/21(Sun) 07:52:54
★ (No Subject) / 驕るな
中学3年生です。答えだけが載っていて、解き方が分かりません。

正三角形ABCの辺BC、CA上にそれぞれBD=CEである点D、Eをとる。AD、BEの交点をPとして、
(1)AD=BEを証明しなさい
(2)角APBは何度か

⑵が120度となる理由がいまいちピンときてません。円周角の定理を用いてそうだと思うのですが、各頂点が円周上の点であると言えていないので、困っています。
No.57758 - 2019/04/20(Sat) 17:27:28
☆ Re: / X
円周角の定理は使いません。

(1)の過程から
∠BAD=∠CBE
そこでこれをx[°]と置くと
△ABPに注目して
∠ADC=60+x[°]
よって△BPDに注目すると
∠BPD=∠ADC-∠CBE
=60+x-x[°]
=60°
よって
∠APB=180°-∠BPD
=120°
No.57760 - 2019/04/20(Sat) 18:55:19
★ 円と放物線 / 高3
この問題の模範解答は法線ベクトルを(2t,-1)と置いていますが
自分は(-2t , 1 ) とおきました。
するとOP=( t - 2st , t^2 + s ) となり
OP=R のy 座標より s = t^2 /{ √(4+1/t^2 ) -1 } となり
s/t → ∞ を計算すると 1/2 となります。
よってs/t → ∞ のとき ORの傾きは -1 となってしまいます。
しかし、ここの答えが1とならないと、模範解答と同じ答えになりません。自分の解答のどこが間違っているか、ご教授お願いします。
No.57754 - 2019/04/20(Sat) 16:00:11
☆ Re: 円と放物線 / 高3
模範解答はこれです。
No.57755 - 2019/04/20(Sat) 16:00:57
☆ Re: 円と放物線 / X
法線ベクトルを(-2t,1)と置いたのであれば、条件から
s＜0
となります。
そこを踏まえてもう一度計算を見直してみましょう。
No.57756 - 2019/04/20(Sat) 17:16:03
☆ Re: 円と放物線 / 高3
X さん 返信ありがとうございます。
もう一度考え直したところ
S<0 となることはわかったのですが、
自分は全ての式を同地で変形したため、S<0を使う場所が見つかりません。
どこでその条件を使うか教えていただけませんか？
お願いします。
No.57757 - 2019/04/20(Sat) 17:22:13
☆ Re: 円と放物線 / X
＞＞自分は全ての式を同地で変形したため
その計算過程で
√(s^2)=s
として変形していませんか？
s＜0ですので
√(s^2)=-s
となります。
No.57759 - 2019/04/20(Sat) 18:40:15
☆ Re: 円と放物線 / X
レスがないようなのでもう少しアップしておきます。

法線ベクトルを(-2t,1)と置くと
↑OR=(t-2st,t^2+s)
ここで
PR=(Rのy座標)
ですので
√{(2st)^2+s^2}=t^2+s
∴s＜0に注意すると
-s√(4t^2+1)=t^2+s
これより
s=-(t^2)/{√(4t^2+1)+1} (A)
又、直線ORの傾きは
(t^2+s)/(t-2st)=(1+s/t^2)/(1/t-2s/t) (B)
(A)より
lim[t→∞]s/t=lim[t→∞](-t)/{√(4t^2+1)+1}
=-1/2
∴(B)より
lim[t→∞](直線ORの傾き)=(1+0)/{0-2・(-1/2)}
=1
となります。
No.57776 - 2019/04/21(Sun) 15:35:06
★ 行列 / Fox
問2.13 についてですが、t0は、０と同じ扱い=なにをかけても０という性質を使っていいのですか？
いまいち、式整理が出来なくて困っています。
No.57752 - 2019/04/20(Sat) 15:17:47
☆ Re: 行列 / konP
t0というのは零ベクトル0=(0,0,・・・0)の転置行列のことです。

t0=t[0,0,・・・0]となります。何を掛けてもゼロというのは、行列の演算について言えば正しいです。
No.57753 - 2019/04/20(Sat) 15:33:38
★ rungeの定理の証明に使う補題について / konP
大学生向けの質問です。複素解析の教科書を使用してます。写真の命題3.24についてです。証明5行目の∂O∩D≠∅を示すところで、「2つの開集合OとD-O」とありますが、なぜこの2つは開集合になるのでしょうか。よろしくお願いします。
No.57751 - 2019/04/20(Sat) 10:47:38
★ 大学数学のご質問 / みやっち
今は大学の４年生です。

この問題は院試の過去問ですが、最後までお答えする必要はなく、途中の式変形が分からず質問した次第です。大学入試では具体的な関数が与えられ、漸化式に持ち込んで解くのですが、関数f(x)は単調増加関数という条件のみになっています。また、τ=xe^(-u)と置換し、広義積分に持ち込むのはなぜなのか分かりません。なにかアドバイスを頂けると幸いです。

よろしくお願いします。
No.57750 - 2019/04/19(Fri) 23:48:41
★ 場合の数 / yukimi
1つの円周上に異なるn個の点をとり、これらを順に結んでn角形を作る。
ただしnは4以上の自然数とする。

このn角形の対角線がちょうど3辺となる三角形の個数を求めよ。


n点から3点を選ぶ方法がnC3

三角形の2辺がn角形の辺となる方法がn

あとは三角形の1辺がn角形の辺となる場合を求めればいいと思ったんですが、ここからがわかりません。どうやって考えればいいのでしょうか？
No.57748 - 2019/04/19(Fri) 22:44:44
☆ Re: 場合の数 / らすかる
三角形の1辺がn角形の辺となるのは、
その辺の選び方がn通り
残りの頂点は、上で選んだ辺の両端とその両隣の4点以外が選べるのでn-4通り
よって1辺がn角形の辺となるのはn(n-4)通りです。

参考までに、そのように場合分けせずに求めることもできます。
まず1点を選ぶ方法がn通り
残りの2点は最初に選んだ点とその隣の3点を除くn-3点から選べばよいが、
2点が隣り合う場合は除かなければいけないので
片方の端を除くn-4点から2点選び、除いた端に近い方の点を一つずらせばよい。
よってn-3点から隣接しないように2点を選ぶ方法は(n-4)C2通り
これに最初のnを掛けたものは求める場合の数の3倍なので
（一つの三角形に対して最初の点の選び方が3通りあるから）
求める個数はn・(n-4)C2/3=n(n-4)(n-5)/6個。
# ただし、n=4,5では途中計算で不都合がありますので、
# n≧6として求めてn=4,5でも成り立つことを言う必要があります。
No.57749 - 2019/04/19(Fri) 23:11:55
☆ Re: 場合の数 / yukimi
ありがとうございました！！
No.57761 - 2019/04/20(Sat) 20:41:44
★ グラフの対称性 / 魚
「x＝2y^2はy＝2x^2のグラフと、直線y＝xに関して対称」となるのはどうしてですか？
No.57745 - 2019/04/19(Fri) 18:12:18
☆ Re: グラフの対称性 / らすかる
ある点(a,b)に対して、直線y=xに関して対称である点は(b,a)ですから、
xとyを交換すればy=xに関して対称になります。
No.57747 - 2019/04/19(Fri) 19:35:50
★ 高校数学 / 茶華道

8行目の AM:MC=△BAP:△BCP がなぜなるのか分かりません。
教えて下さい。お願いします。
No.57741 - 2019/04/19(Fri) 13:14:53
☆ Re: 高校数学 / SS
青ラインを底辺と考えてすると……
△=底辺×高さ=面積で、青ラインの底辺が等しい長さだから、面積比＝高さ(AM:MC)になるからです。
No.57742 - 2019/04/19(Fri) 16:19:25
☆ Re: 高校数学 / 茶華道
BMとACは垂直と証明できていないと思うのですがこの場合でも
AM:MCが高さになるんですか？
No.57743 - 2019/04/19(Fri) 16:33:45
☆ Re: 高校数学 / らすかる
A,Cから直線BMにぞれぞれ垂線AD,CEを下ろすと△ADM∽△CEMですから、
△BAP：△BCP=AD：CE=AM：CMとなります。
このように相似の直角三角形が作れることから、一般に
垂直でなくても長さの比が高さの比になります。
No.57744 - 2019/04/19(Fri) 17:45:56
☆ Re: 高校数学 / 茶華道
理解出来ました。
ありがとうございます。
No.57746 - 2019/04/19(Fri) 19:02:13
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