｛|ax+by+cz| 0≦a,b,c≦1, a+b+c=1}
上の条件がなぜ「x,y,z を頂点とする三角形の周と内部」を表すのか教えてほしいです。
どうぞよろしくお願い致します。
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No.57976 - 2019/05/02(Thu) 01:23:58
| ☆ Re: ベクトル / 黄桃 | | | 大学生ならもっとご自分で考えられてはどうですか。
＃関連質問なら元のスレッドに書いたらどうですか。これだけ抽出してもa,b,c,x,y,z がなんだかわからないでしょう。
a+b+c=1 なら、c=1-a-b より
0<=a,b,c<=1 a+b+c=1 をみたす (a,b,c)と
0<=a,b<=1,0<=a+b<=1 をみたす (a,b,1-a-b) とは1対1に対応する。
よって
ax+by+cz
=ax+by+(1-a-b)z
=a(x-z)+b(y-z)+z
と変形できるから、原点をzとし、X軸の単位ベクトルを x-z, Y軸のそれをy-zとするような斜交座標で考えれば、
求める領域は、XY座標系で、X≧0, Y≧0, X+Y≦1 の共通部分であり、これはx,y,zを頂点とする三角形の周と内部に他ならない。
＃ax+by, a+b=1 ならx,yを端点とする線分、ax+by+cz, a+b+c=1 ならx,y,zを頂点とする三角形、ax+by+cz+dw, a+b+c+d=1 ならx,y,z,wを頂点とする四面体,...以下同様です。
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No.57977 - 2019/05/02(Thu) 07:48:36 |
| ☆ Re: ベクトル / GandB | | | > 大学生ならもっとご自分で考えられてはどうですか。
wwwww
高校数学の復習が足りないと思われるので以下に蛇足を述べる。
a↑, b↑, c↑ をベクトル、s, t, u を実数とするとき
{ sa↑+ tb↑+ uc↑| 0≦s,t,u≦1, s+t+u=1 }
は a↑,b↑,c↑を頂点とする三角形の周と内部を表す。
空間上の点 O, A, B, C を結ぶ四面体OABC において
a↑= OA↑,b↑= OB↑,c↑= OC↑
とする。OA↑、OB↑、OC↑を頂点とする三角形ABC の周と内部の点を P とすると
OP↑= OA↑+ uAC↑+ tAB↑
= OA↑+ u(OC↑- OA)↑+ t(OB↑- tOA↑)
= (1-u-t)OA↑ + tOB↑+ uOC↑
s = 1 - u - t とすると
s + t + u = 1.･････(#).
s, t, u が任意の実数ならば、OP↑は四面体OABC を含む空間の点を表す。
(#)だけでは、OP↑は三角形ABCを含む平面上の点を表すことになるので
0≦s,t,u≦1
という条件を追加する。
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No.57978 - 2019/05/02(Thu) 10:07:51 |
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