rを正の実数とする。Oを座標とする座標空間において3点A(1,0,r)B(-1,0,r) C(0.r.1)に対して△ABCは正三角形である。さらに点DはOA=ODおよびcosAOD=cosCOD=r/(r+2)を満たすxy平面上の点である
(1)rの値を求めよ
(2)内積→OC・→ODを求めよ
(3)Dの座標を求めよ
(1)→AB=(-2,0,0)，→AC=(-1，r，1-r)かつ△ABCは正三角形より
2=√{1+r^2+(1-r)^2}
これを解くとr=(1+√5)/2
(2)省略
(3)点Dは[XY平面上の点なので]点O，点A，点Cを通る平面上の点には存在しない。そこで点Dの座標を(X，Y，0）と置くと
cosAOD＝cosCODかつ｜→OC｜=｜→OA｜(=√(r^2+1))より
→OA・→OD=→OC・→ODが成り立つ
よって
→OA・→OD＝X
→OC・→OD=ｒY
X=ｒY
またOA=ODより
X^2+Y^2=(ｒY)^2+Y^2＝r^2+1
これを解くとY＝1, Y=-1
よってDの座標は{(1+√5)/2、1，0}または{-(1+√5)/2,-1.0}
になると思ったのですが答えは{(1+√5)/2、1，0}のようなのですがなんでY=-1になる時はいけないのでしょうか？
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No.85613 - 2023/06/21(Wed) 15:24:04
| ☆ Re: / X | | | ＞＞→OC・→OD=rY
かつ
cos∠COD＞0かつr＞0
∴Y＞0
となるからです。
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No.85614 - 2023/06/21(Wed) 17:47:14 |
| ☆ 必要条件だけど十分条件ではないからです / 黄桃 | | | この答案では
cosAOD=cosCOD
であることは使っていますが、
cosCOD=r/(r+2)
であることは使ってないので、他の解、この場合は
cosCOD=-r/(r+2)
である解(-(1+√5)/2,-1.0)も必要条件として出てきたのです。
別の言い方をすれば、この答案ではD(x,y,0)は、
xy平面の直線x=ry 上にあって、原点からの距離が|OA|であるもの、
としか規定されていませんので、2点出てくるのは当然です。
問題文では、OA、およびOCとのなす角まで規定されていますので、そのうち一方（XさんのおっしゃるY>0のもの)しか該当しません。
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No.85616 - 2023/06/21(Wed) 23:26:12 |
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