ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学?V極限の問題 / ケン

極限の問題で
x→∞の時の
(2x+sinx)/(x+sinx)
の極限値を教えてください。
また、同じく極限の問題で
x→∞の時の
(sinx-xe^x)/(x^2)
のマクローリン展開を用いる極限値の解法を教えてください。
よろしくお願いします。

No.57124 - 2019/03/10(Sun) 17:24:57

☆ Re: 数学?V極限の問題 / らすかる

lim[x→∞]sinx/x=0なので
lim[x→∞](2x+sinx)/(x+sinx)
=lim[x→∞](2+sinx/x)/(1+sinx/x)
=2

lim[x→∞](sinx-xe^x)/x^2
は
lim[x→∞]sinx/x^2=0なので
lim[x→∞](sinx-xe^x)/x^2
=lim[x→∞](-xe^x)/x^2
=-lim[x→∞]e^x/x
＜-lim[x→∞](1+x+x^2/2)/x
=-∞

No.57125 - 2019/03/10(Sun) 17:50:12

☆ Re: 数学?V極限の問題 / 関数電卓

> マクローリン展開を用いる極限値の解法
マクローリン展開とは、x が 0 に近いときの関数 f(x) の挙動を調べる手段です。x→∞ で使って悪いわけではないけど、かえって面倒では？

No.57126 - 2019/03/10(Sun) 20:53:00

☆ Re: 数学?V極限の問題 / らすかる

もしかして後者のx→∞はx→0の間違いでしょうか。
もしそうなら、
lim[x→0](sinx-xe^x)/x^2
=lim[x→0]{(x-x^3/3!+…)-x(1+x+x^2/2+…)}/x^2
=lim[x→0](-x^2-2x^3/6-…)/x^2
=lim[x→0](-1-2x/6-…)
=-1

No.57127 - 2019/03/11(Mon) 00:36:02

★ (No Subject) / ゆい

２つ聞きたいことがあります。
?@何故、1/2倍ではないのか。
?A-π/3でなくπ/3の理由。
上記の2点を教えてください。よろしくお願いします。

No.57120 - 2019/03/10(Sun) 05:00:44

☆ Re: / X

?@
θ/2=t
と置くと
θ=2t
また問題の関数は
y=cost
∴グラフ上の点の座標は
(2t,cost)
この点は
点(t,cost)
つまり、関数
y=cosx
上の点をy軸を基準としてx軸方向に
2倍引きのばした位置に移動させた点
となっています。

?A
数学Ｉの教科書、参考書でグラフの平行移動の項目
又は二次関数のグラフの平行移動の項目
を復習しましょう。

No.57121 - 2019/03/10(Sun) 05:47:19

★ (No Subject) / ゆい

私の立てた式です。
間違いでした。
何故ですか？

No.57117 - 2019/03/09(Sat) 23:38:26

☆ Re: / らすかる

a°=(π/180)aラジアンならば
ラジアンなのはaではなく右辺の(π/180)aですから
(π/180)aラジアン=-(4/3)πラジアン
となり、この式からa=-240と求まります。

そもそもa°=(π/180)aラジアンというのは
度をラジアンに直すのに都合が良い（aに代入すればよい）式なので、
ラジアンを度に直す場合はこの式の両辺に180/πを掛けた
(180/π)a°=aラジアン
という式で計算した方が早いです。
この式ならば素直にaに-(4/3)πを代入すれば求まります。

No.57118 - 2019/03/10(Sun) 00:27:05

★ 相似？ / 数学にがなの年

（３）と（４）の問題の解答方法がよく分かりません。
よろしくお願いいたします。

No.57109 - 2019/03/09(Sat) 15:33:58

☆ Re: 相似？ / らすかる

(3)
∠ADE=∠BDEからAE=BEなので△EABはAE=BEの直角二等辺三角形です。
よって5/√2=5√2/2(cm)
(4)
ABとCDの交点をFとするとCF=DF=12/5(cm)
CDを直径とする円を底面と考えて立体を二つの円錐に分けて
それぞれの体積を足すと
π(12/5)^2×AF÷3+π(12/5)^2×BF÷3
=π(12/5)^2×(AF+BF)÷3
=π(12/5)^2×5÷3
=48π/5(cm^3)

No.57113 - 2019/03/09(Sat) 16:16:30

☆ Re: 相似？ / 数学にがなの年

ありがとうございます。やっとすっきりしました！！

No.57114 - 2019/03/09(Sat) 16:35:08

★ 三角比 / カツオ

8番の問題がわかりません。
よろしくお願いします。

No.57104 - 2019/03/09(Sat) 04:40:01

☆ Re: 三角比 / X

方針を。

(1)
まず△BCDを底面と見て高さを求めることを考えます。

点Aから△BCDに下ろした垂線の足をHとすると、条件
から点Hは△BCDの重心になっています。
このことを使って線分BHの長さを求めれば、
△ABHに三平方の定理を用いることで
線分BHの長さ、つまり
正四面体ABCDの△BCDを底面と見たときの高さ
を求めることができます。

後は△BCDの面積が計算できれば、体積を
求めることができます。
(△BCDの面積が計算できないのであれば
教科書の三角比の項目を復習しましょう。)

(2)
これは
半径が分かっている内接円を持つ三角形の面積
を求める場合と似ています。

まず
四面体ABCDの体積は、点Oを頂点とする4つに
分割された四面体の体積の和に等しくなっている
ことに注意します。

今、点Oから正四面体ABCDの各面に垂線を
下ろすことを考えると、この垂線の長さ
は、分割された四面体の、正四面体ABCD
の各面を底面と見たときの高さになっており、
又、条件から問題の球の半径rと等しくなります。

正四面体ABCDの各面は合同ですので
これら各々の面積をSとすると
(四面体ABCDの体積)=4・{(1/3)rS}
=…(Sは(1)の過程で求められていますので…)
これが(1)の結果と等しくなることから
rについての方程式を立てます。

(3)
(2)の結果を使います。

No.57105 - 2019/03/09(Sat) 05:41:38

★ 図形と計量 / ニック

高1です。
赤線で囲んでいるところの問題の解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

No.57102 - 2019/03/09(Sat) 01:48:48

☆ Re: 図形と計量 / noname

どうやってもできるからやってみ。
三角形の面積の公式習ったろ。
長さが分からないところは勝手に文字でおけばいい。

No.57103 - 2019/03/09(Sat) 02:01:31

☆ Re: 図形と計量 / X

nonameさんの回答に補足する形で。
長さが分からないところを適当においた文字は
面積の計算過程で相殺されて消えます。

二辺とそれらで挟まれた角が分かっている
三角形の面積の公式は理解できていますか？
まだ頭に入っていないのなら、教科書の
三角比の項目を復習しましょう。

No.57106 - 2019/03/09(Sat) 05:44:25

☆ Re: 図形と計量 / ＩＴ

noname さんの方式が　確実ですが　図形的に考えるなら

Aを通りBDに平行な直線、Cを通りBDに平行な直線
Bを通りACに平行な直線、Dを通りACに平行な直線
で囲まれて出来る平行四辺形の面積を考えます。

No.57108 - 2019/03/09(Sat) 12:55:32

★ 群論、生成元と関係式 / 初心者

G=<x,y❘x^4=y^3=1,xy=y^2x>とする。❘G❘＝１２である。
Gのなかで、ｘ＾２、ｙで生成された部分群はZ/6Zと同型であることを示せ。

画像の定理を使い、同型写像を構成したいのですが、うまくできません。
＜x^2,y>={1,x^2,y,y^2,yx^2,y^2x^2}だと思うのですが、どうすればよいですか？
まだ関係式に慣れていないのでよろしくお願いします。

No.57100 - 2019/03/08(Fri) 23:48:57

☆ Re: 群論、生成元と関係式 / noname

代数は勉強してないんでアレだけど、
確かに{1,x^2}と{1,y,y^2}の積で表せるから、
それぞれ2で割って余りが{0,1}と3で割って余りが{0,1,2}と対応させれば合うね。
1→0,y→4,y^2→2,x^2→3,x^2y→1,x^2y^2→5と対応することになるのかな。

No.57123 - 2019/03/10(Sun) 13:05:16

★ (No Subject) / 梨主

物理のケプラーの法則について分からないところがあります。この12番で、解説には、、

「月も地球の周りを回るから、人工衛星と第3法則で結べる。月までの距離をa、静止衛星の半径をrとすると
(27²)/(a^3) = (1²)/(r^3)」

と書いてあったのですが、それぞれの分母には、楕円の半長軸が入るのではないでしょうか？ましてや静止衛星の半径をなぜ分母に持ってくるのですか？

No.57088 - 2019/03/08(Fri) 07:53:36

☆ Re: / GandB

　アップした画像ではケプラーの法則をどう説明しているのかよくわからんが、静止軌道は円、月の軌道離心率は0.0549なので、その軌道は円に近い楕円。したがって
> 月までの距離をa、静止衛星の半径をrとする
ということは、月も衛星も地球を中心とする円軌道の公転をしている前提ではないのかな。

　細かいことを言い出すときりがない。たとえば
　「月は地球の周りを回る」
という説明も
　「月は地球と月の共通の重心の周りを回る」
とでもしなければならない。

No.57091 - 2019/03/08(Fri) 12:17:20

☆ Re: / 梨主

ありがとうございます。高校の範囲では、問題文に「楕円軌道である」等と言う注意書きがない限り、基本その惑星は円軌道で動くとして良い、、等と聞いたのですが、そう言う事でしょうか…？

No.57096 - 2019/03/08(Fri) 18:33:41

☆ Re: ケプラーの法則 / 関数電卓

↑↑
> …そう言う事でしょうか…？

そう言うことです。

> それぞれの分母には、楕円の半長軸が入るのではないでしょうか？

このことをキチンと示すには，大学で学ぶ “解析力学” の知識が必要です。

No.57098 - 2019/03/08(Fri) 20:48:25

☆ Re: / jpgr

> それぞれの分母には、楕円の半長軸が入るのではないでしょうか？

結論から言うと、(T^2/a^3) = ...のaには軌道長半径（あなたの言う「楕円の半長軸」）が入ります。（教科書で説明されているかどうかは知りませんが）この式は円軌道でも楕円軌道でもそのまま使えます。

そもそも画像の1行目、式中にある「a」とか、問題文中にある「軌道半径」は教科書ではどのように説明されていますか？

> ましてや静止衛星の半径をなぜ分母に持ってくるのですか？

この式は「同一の天体」を回るすべての天体について成り立ちます。画像1行目の式は「太陽」を回るすべての天体についての話。
月も静止衛星も「地球」を回っているので、この式に月と静止衛星それぞれの公転周期Tと軌道長半径aを代入すればいいです。

No.57107 - 2019/03/09(Sat) 10:37:33

☆ Re: / 梨主

皆さまありがとうございます。その「a」については、半長軸としか書かれてなく、その「軌道半径」についてはなんの説明もなかったです。
(T²)/(a^3)の分母には、本来は半長軸が入るけど、高校の範囲では、その惑星が円軌道を周るとした上での半径が入る、という事ですよね？

No.57115 - 2019/03/09(Sat) 19:00:44

☆ Re: / jpgr

概ねその理解でいいかと思います。
（細かいことを言えば、「教科書のどこかに『月の公転軌道は円軌道とみなす』とか書いてないかな」とか思ったりもしますが）。

No.57130 - 2019/03/11(Mon) 22:34:32

★ 確率　数列　最大値 / 受験生高3

確率p[n]の最大値をとるnを求める問題の解答によく次のような記述があります。
「n=○のときp[n+1]=p[n]
よってp[n]はn=○,○+1のとき最大値をとる。」

n=○のときといっておきながら、なぜ
答えのnに○+1も含まれるのでしょうか?そもそも同じnのことを指しているのでしょうか?
とても気持ち悪いです。
回答よろしくお願いします。

No.57085 - 2019/03/08(Fri) 01:39:00

☆ Re: 確率　数列　最大値 / らすかる

「n=○のときp[n+1]=p[n]」というのは
「p[○+1]=p[○]」という意味ですから
p[○]が最大ならp[○+1]も最大です。

理解しやすいように具体例を書きます。
例えば○=4で
n＜4のときp[n+1]＞p[n]
n＝4のときp[n+1]＝p[n]
n＞4のときp[n+1]＜p[n]
だったとすると、p[n]は
p[1]=0.1
p[2]=0.2
p[3]=0.3
p[4]=0.4
p[5]=0.4
p[6]=0.3
p[7]=0.2
p[8]=0.1
のようにp[4]まで増加してp[4]とp[5]が同じで
p[5]以降減少ということです。
すると当然p[4]とp[5]が最大値ですから
「p[n]はn=4,5のとき最大値をとる」
ということになりますね。

No.57087 - 2019/03/08(Fri) 02:18:31

☆ Re: 確率　数列　最大値 / 受験生高3

回答ありがとうございます！
ということは、
「n=○のときp[n+1]=p[n]」におけるnはp[n+1]=p[n]となるようなn、つまり条件としてのnのことを指して
「よってp[n]はn=○,○+1のとき最大値をとる。」
におけるnは第何項が最大値をとるのかということを指している、つまり別のn であるという解釈で大丈夫ですか？

No.57090 - 2019/03/08(Fri) 09:16:55

☆ Re: 確率　数列　最大値 / らすかる

nはその都度(値が)変わるというだけで、特に「別のn」ということはありません。
前者を「条件としてのn」と言うならば後者も「条件としてのn」と言えますし、
後者を「nは第何項が最大値をとるのか」と言うならば前者も
「第何項と第何項が等しくなるのか」と言えます。

補足
「n=4のときp[n+1]=p[n]」は「p[5]=p[4]」と全く同じこと、
「よってp[n]はn=4,5のとき最大値をとる。」は
「よってp[4]とp[5]が最大」と全く同じことであり、
nは補助的に使っているだけの変数ですから
特にnが意味を持っているということはありません。
前者を「s=4のときp[s+1]=p[s]」、後者を
「よってp[t]はt=4,5のとき最大値をとる。」と書いても
全く同じ意味です。
新しい変数を使う必要がありませんので
同じnという変数を使いまわしているだけです。
（というか、同じ用途には同じ変数を使うのが普通ですが）

No.57093 - 2019/03/08(Fri) 17:38:14

☆ (No Subject) / 受験生高3

やっと理解できました

No.57111 - 2019/03/09(Sat) 16:07:02

☆ Re: 確率　数列　最大値 / 受験生高3

らすかるさん、ありがとうございます！

No.57112 - 2019/03/09(Sat) 16:07:50

★ (No Subject) / アークマン

これ数学とかそういうのではないのですが、どうゆうことがわかるかた解説お願いします

No.57081 - 2019/03/07(Thu) 19:51:17

☆ Re: / らすかる

2700円に200円を足すのは間違い。
本来2500円のところ200円多く支払って、
その200円を従業員がくすねただけ。

No.57082 - 2019/03/07(Thu) 19:56:56

☆ Re: / アークマン

すいません。よくわかりません😅
200円たすのが間違いというところがわかんないです。解説お願いします

No.57092 - 2019/03/08(Fri) 15:29:04

☆ Re: / らすかる

3000円のうち500円返したが従業員が200円くすねて3人組に300円だけ返した
ということは、3000円のうち300円は最初から支払っていないのと同じですから
3人組が2700円支払い、そのうちホテルが2500円、従業員が200円受け取った
ということですよね。
ですから2700=2500+200であり、
この2700と200を足すのは意味のない計算です。

No.57094 - 2019/03/08(Fri) 17:53:31

☆ Re: / アークマン

なるほど！ありがとうございます

No.57101 - 2019/03/09(Sat) 00:03:51

★ 高校入試問題 / 岩船

答え（２）時速１０．５ｋｍ以上　１６．８ｋｍ未満
（２）よく解りません。詳しい解説よろしくお願いします。

No.57077 - 2019/03/07(Thu) 18:47:17

☆ Re: 高校入試問題 / らすかる

はるとさんの動きを図に書き入れると左下から右上方向ですから、
追い越されるのは右上がりの線と交わる点、すれ違うのは
右下がりの線と交わる点です。
従って2回追い越されて1回すれ違うためには、
少なくともA駅発7:18の電車がB駅に着いた後にB駅に到着しなければならず、
またB駅発7:40の電車がB駅を発車する前にはB駅に到着しなければなりません。
従ってB駅に到着する時刻が7:25より遅く7:40までですから、
速さは7km/25分=7km/(25/60)時間=84/5(km/h)より遅く
7km/40分=7km/(40/60)時間=21/2(km/h)以上でなければなりません。
よって答えは時速21/2km以上84/5km未満
すなわち時速10.5km以上16.8km未満となります。

No.57080 - 2019/03/07(Thu) 19:13:27

★ 無限級数 / ハナちゃん

数IIIでの質問です。

無限級数Σa_n, Σb_n が共に和を持つならばΣa_nb_nも和を持つ。
の反例ってありますでしょうか?
反例を挙げていただけますでしょうか？

No.57073 - 2019/03/07(Thu) 09:21:52

☆ Re: 無限級数 / ぽけっと

交代級数をつかって反例が作れます

Σa_nもΣb_nも
Σ{(-1)^n}/√n
だとすると、これは交代級数で項の絶対値が単調に0に収束するので、級数自体も収束します

しかしΣa_nb_nに対応する
Σ1/n
は発散する調和級数ですね

No.57074 - 2019/03/07(Thu) 09:42:56

☆ Re: 無限級数 / ハナちゃん

なるほどです。どうもありがとうございました。

No.57075 - 2019/03/07(Thu) 09:57:09

★ 数学的帰納法 / 林

2^n(1・3・5・・・(2n-1))=(n+1)(n+2)・・・2n
（ただしn∈N）
が成り立つことはを数学的帰納法で証明せよ。

この問題の解き方を教えてください。高1レベルで式変形をわかりやすく書いていただけるとうれしいです。

No.57064 - 2019/03/06(Wed) 18:26:55

☆ Re: 数学的帰納法 / X

(i)n=1のとき
成立は明らか。
(ii)n=kのとき、問題の等式の成立を仮定します。
つまり
(2^k){1・3・5・・・(2k-1)}=(k+1)(k+2)・・・2k (A)
このとき
{2^(k+1)}{1・3・5・・・(2k-1){2(k+1)-1}
=(2^k){1・3・5・・・(2k-1)}・2{2(k+1)-1}
=(k+1)(k+2)・・・2k・2{2(k+1)-1} (∵)(A)を代入
=(k+2)(k+3)・・・2k・2{2(k+1)-1}(k+1)
=(k+2)(k+3)・・・2k・{2(k+1)-1}・2(k+1)
={(k+1)+1}{(k+1)+2}・・・2k・{2(k+1)-1}・2(k+1)
∴問題の等式はn=k+1のときも成立。

No.57066 - 2019/03/06(Wed) 18:45:08

☆ Re: 数学的帰納法 / ＩＴ

（別解）
数学的帰納法を直接使いませんが

両辺に　2・4・6・・・2n=(2^n)(1・2・3・・・n)を掛けると等しいのが分かりますね。

任意の自然数ｎについて,　2・4・6・・・2n=(2^n)(1・2・3・・・n)を数学的帰納法で示す。
n=1のとき　左辺=2,右辺=2 よって成立
n=kのとき　　2・4・6・・・2k=(2^k)(1・2・3・・・k) と仮定すると
n=k+1のとき　2・4・6・・・2k・2(k+1)=(2^k)(1・2・3・・・k) 2(k+1)=(2^(k+1))(1・2・3・・・k・(k+1)) なので　成立。

No.57067 - 2019/03/06(Wed) 19:47:33

☆ Re: 数学的帰納法 / 林

=(k+1)(k+2)・・・2k・2{2(k+1)-1} (∵)(A)を代入
=(k+2)(k+3)・・・2k・2{2(k+1)-1}(k+1)

上記1行目から2行目の式変換がどうして成り立つのかわかりません。すべて1が足されていることはわかるのですが。
おしえてください。

No.57069 - 2019/03/07(Thu) 00:05:12

☆ Re: 数学的帰納法 / GandB

　1行目の先頭にある (k+1) を末尾に移動しただけ。

No.57070 - 2019/03/07(Thu) 00:22:05

☆ Re: 数学的帰納法 / 林

気がつきませんでした。ありがとうございます。

No.57071 - 2019/03/07(Thu) 00:29:46