「A」「B」「C」「D」「E」の5つの文字を使って4文字を作成する組み合わせ総数の考え方を教えてください。
5つの文字は何回使ってもよいという条件です。
「AAAA」や「AABB」もOKという事です。
答えは「70」通りになります。
重複を除かない場合は「5x5x5x5」＝625通り、これは理解できます。
そこから重複を除くと「70」通りになる考え方が判りません。
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No.88320 - 2024/07/10(Wed) 18:10:52
| ☆ Re: 組合せの総数 / てつ | | | 追伸です。
「AABB」と「BBAA]、「ABAB」「BABA」は同じとみなします。
順序を入れ替えて同じ文字となるものは重複しているとみなして、組合せから除きます。
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No.88321 - 2024/07/10(Wed) 18:50:37 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / IT | | | 同じ文字の個数のパターンごとに数え上げるのが早いかも知れませんね
(4):AAAAなど 5通り
(3,1):AAABなど 5×4通り
(2,2):AABBなど C(5,2)通り
(2,1,1):AABCなど 5×C(4,2)通り
(1,1,1,1):ABCDなど 5通り
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No.88322 - 2024/07/10(Wed) 20:33:23 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / てつ | | | IT様、ありがとうございます。
なるほどです。理解できました。
どうもありがとうございました。
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No.88323 - 2024/07/10(Wed) 21:12:37 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / らすかる | | | 別解
○○○○××××を任意に並べて
左から順に○をB,C,D,Eに変えて
左端にAを付けると
例えば
AB××C×DE×
などのように並ぶが
これで4つある×の左にある文字を選ぶと考えればよい
上の例ではBBCE
よって8C4=70通り
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No.88324 - 2024/07/11(Thu) 00:33:11 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / IT | | | らすかるさんの別解、思いつきませんでした。
下記のように逆に対応させて考えると納得しやすいかも知れませんね。
AABC→A××B×C×DE→A××○×○×○○→××○×○×○○
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No.88330 - 2024/07/13(Sat) 14:56:06 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / らすかる | | | そうですね。元の発想がそういう順番なので、
その順で説明した方がわかりやすかったですね。
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No.88331 - 2024/07/13(Sat) 15:11:33 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / ast | | | 余談です.
C[8,4] ……(1)
= C[6,2]+2C[6,3]+C[6,4] ……(2)
= C[5,1]+3C[5,2]+3C[5,3]+C[5,4] ……(3)
= C[4,0]+4C[4,1]+6C[4,2]+4C[4,3]+C[4,4] ……(4)
で, らすかるさんのやり方が (1), IT さんのやり方が (多少見た目が違うが) (3)
ということになりますが, (2) や (4) に (あるいは n 文字並べるように一般化して同様に展開していって (5),(6),… に) 相当する数え方ができるやり方は何かあるでしょうか?
## わたしもらすかるさんのやりかたは思いつかなかったのですが, 知ってから見ると
## No.88301 で自分も同じやり方をしてたことに気付いた……
## (「端をひとつ固定」<->「ちょうど」, 「端を固定しない」<->「以下」の違いくらい)
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No.88333 - 2024/07/13(Sat) 16:32:40 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / IT | | | 別解です。最初に思いつきましたが計算が面倒なので止めました。
文字数が増えると記述や計算は面倒ですが考え方は簡単です。
Σ[a=0,4](Σ[b=0,4-a](Σ[c=0,4-a-b](Σ[d=0,4-a-b-c]1)))
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No.88334 - 2024/07/13(Sat) 18:46:48 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / IT | | | ４個の同じものを５人（ABCDE)に分ける仕方（１つももらえない人がいてもいい）と考えるのが、よくある考え方ですね。
(A)｜(B)｜(C)｜(D)｜(E)
○○○○｜｜｜｜を並べる方法の数なのでC[8,4]
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No.88335 - 2024/07/13(Sat) 19:00:11 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / てつ | | | 皆様、ありがとうございます。
自分には高度すぎる内容だったので静観してましたが、ITさんの
>４個の同じものを５人（ABCDE)に分ける仕方（１つももらえない人がいてもいい）と考えるのが、よくある考え方ですね。
は、非常にわかりやすいです。
一般公式として、
(要素数-1+取り出す数) C (取り出す数)
でいけそうです。
今回の場合だと「要素数＝5」、「取り出す数＝4」で
(5-1+4)C(4)=8C4
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No.88336 - 2024/07/13(Sat) 19:22:38 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / らすかる | | | その公式をあらためて記号にしたのが
重複組合せのnHrですね。（つまりnHr=(n+r-1)C(r)）
なのでこれを学習済みという前提なら
5H4=70で一発です。
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No.88337 - 2024/07/13(Sat) 19:29:26 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / てつ | | | らすかる様、ありがとうございます。
やはり、そのような公式が既にあるのですね。
勉強になります。
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No.88338 - 2024/07/13(Sat) 19:42:39 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / ast | | | IT さんの No.88334 の計算には
(*) Σ_[j=0,…,n-x] C[n-x-j,k] = C[n-x+1,k+1]
が成り立つので, n=4 のとき 1=C[4-(a+b+c+d),0] からはじめて
> Σ[a=0,4](Σ[b=0,4-a](Σ[c=0,4-a-b](Σ[d=0,4-a-b-c]1)))
は
Σ_[d=0,…,4-(a+b+c)] C[4-(a+b+c)-d,0] = C[5-(a+b+c),1],
Σ_[c=0,…,4-(a+b)] C[5-(a+b)-c,1] = C[6-(a+b),2],
Σ_[b=0,…,4-a] C[6-a-b,2] = C[7-a,3]
Σ_[a=0,…,4] C[7-a,3] = C[8,4]
という見通しが立てられるので立式の素朴さを思えば案外良い方法かもしれません (もちろん単に計算というだけでなく各式に組合せ論的解釈が与えられてしかるべきですし, それは可能そうな形をした式ではありますが). あるいは
> Σ[a=0,4](Σ[b=0,4-a](Σ[c=0,4-a-b](Σ[d=0,4-a-b-c]1)))
=Σ[a=0,4](Σ[b=a,4](Σ[c=b,4](Σ[d=c,4]1)))
と書いても同じですから, (*) を
(**) Σ_[j=x,…,n] C[n-j,k] = C[n-x+1,k+1]
として用いて
Σ_[d=c,…,4] C[4-d,0] = C[5-c,1],
Σ_[c=b,…,4] C[5-c,1] = C[6-b,2],
Σ_[b=a,…,4] C[6-b,2] = C[7-a,3],
Σ_[a=0,…,4] C[7-a,3] = C[8,4]
でも同じことですが.
# (*)(**) は基本的には階乗冪 x^n := x(x-1)…(x-n+1) が和分差分に関してよく振る舞うという話:
# 差分 Δx^n = nx^n-1, 和分 Σx^n) = x^n+1/(n+1).
この論法で一般に, 並べる文字数が n 個なら Σ_[d=c,…,n] C[n-d,0] から始めて最後が C[n+4,4] に, さらに選べる文字が m+1 種なら Σ が m 重になるから C[n+m,m] を得る, でいいかな.
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No.88342 - 2024/07/14(Sun) 00:58:04 |
| ☆ Re: 組合せの総数 / IT | | | astさん
>もちろん単に計算というだけでなく各式に組合せ論的解釈が与えられてしかるべきです・・
なるほど、おもしろいですね。
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No.88343 - 2024/07/14(Sun) 11:17:28 |
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