ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 複素数 / Higasino

複素数からの出題です。何卒よろしくお願いいたします。以下問題

No.88538 - 2024/08/05(Mon) 19:45:29

☆ Re: 複素数 / X

x^3+ax^2+bx+1=0 (A)
とします。
条件からα、α^2は複素共役(証明は省略します)ゆえ
|α|=|α^2| (B)
α・α^2=|α|^2 (C)
(A)より
|α|(|α|-1)=0
ここで(A)はx=0を解に持たないので
|α|=1
これを(C)に代入して、
α^3=1 (C)'
∴(α-1)(α^2+α+1)=0
αは虚数ゆえ
α^2+α+1=0 (D)
(D)にα^2をかけて(C)'を使うと
(α^2)^2+α^2+1=0 (E)
(D)(E)よりα、α^2はxの二次方程式
x^2+x+1=0
の解となるので、(A)の実数解をrとすると
x^3+ax^2+bx+1=(x-r)(x^2+x+1)
はxの恒等式。
これより
x^3+ax^2+bx+1=x^3+(1-r)x^2+(1-r)x-r
∴係数比較により
a=1-r (P)
b=1-r (Q)
1=-r (R)
(P)(Q)(R)をa,b,rについての連立方程式として解き
(a,b)=(2,2)

No.88541 - 2024/08/05(Mon) 20:52:03

☆ Re: 複素数 / IT

αは虚数ゆえ
α^2+α+1=0 (D)の後は、(A)の解と係数の関係を使うと少しスッキリ出来ると思います。
----------------------------------------------
x^3+ax^2+bx+1=0 (A)
（A)の実数解をrとする。

条件からα、α^2は複素共役ゆえ
|α|=|α^2| (B)またαα^2=αα~=|α|^2
|α|≠0なので|α|=1
よってα^3=1…(1)∴(α-1)(α^2+α+1)=0　
αは虚数ゆえα^2+α+1=0 (D)
※この辺まではXさんと同じです。

(A)の解と係数の関係
r+α+α^2=-a…(2)
rα^3=-1…(3)
(1)(3)からr=-1　
これを(2)に代入
-1+α+α^2=-a
これと(D)からa=2
-1が(A)の解なので-1+2-b+1=0∴b=2

No.88542 - 2024/08/05(Mon) 21:24:06

☆ Re: 複素数 / Higasino

答案が出来上がりました。時間を書かせてしまい申し訳ございません。答案に対してご指導いただけると幸いです。

No.88543 - 2024/08/07(Wed) 08:58:40

☆ Re: 複素数 / X

略解ということであれば、問題ないと思います。

No.88549 - 2024/08/07(Wed) 19:09:52

★ 確率変数 / カタ

こんにちは。数研出版4プロセス数学2Bの157ページ121番の問題について質問させて頂きます。お時間がおありの方がおられたらおつきあいお願いします。

解答に1本ずつ引くくじ引きにおいて、当たりくじを引く確率、およびはずれくじを引く確率はくじを引く順番に関係なく一定であるから、P(Xi=1)=20/50=2/5, P(Xi=0)3/5と書かれています。

この問題は取り出したくじはもとに戻さないので、それまでに引かれたくじの当たりの本数、はずれの本数によって、次に当たりくじを引く確率は変わってくるのではないかと思ってしまいます。

質問の仕方が下手で申し訳ありません。
よろしくお願いします。

No.88527 - 2024/08/04(Sun) 12:56:02

☆ Re: 確率変数 / カタ

問題集の解答はこのように書かれています。

No.88528 - 2024/08/04(Sun) 13:02:25

☆ Re: 確率変数 / カタ

解答のここの部分が理解できません。当たりくじを引く確率、はずれくじを引く確率は一定でないのではないでしょうか?

No.88529 - 2024/08/04(Sun) 13:04:33

☆ Re: 確率変数 / IT

> この問題は取り出したくじはもとに戻さないので、それまでに引かれたくじの当たりの本数、はずれの本数によって、次に当たりくじを引く確率は変わってくるのではないかと思ってしまいます。

そうですね。
10本全部だと面倒なので、
１本目２本目３本目の当たる確率をカタさんの考え方で計算してみてください。

10本順に引くが、結果は一斉に見ると考えるとどうですか？

No.88530 - 2024/08/04(Sun) 13:23:13

☆ Re: 確率変数 / IT

50本のくじに番号を付けて1から50とします。
1から20を当たり、残りを外れとします。
50本のくじ（1から50）を並び替えて左から順に置きます。

このうち左から10本を引くと考えるとどうですか？

No.88531 - 2024/08/04(Sun) 13:40:04

☆ Re: 確率変数 / カタ

ITさん回答ありがとうございます。
50本のくじから3本引くことを考えます。
1本目が当たる確率は、20/50=2/5
2本目が当たる確率は、1本目が当たりで2本目も当たる場合と、1本目がはずれで2本目が当たりの場合があるから、(20/50)×(19/49)+(30/50)×(20/49)=2/5
3本目が当たる確率は、
1本目当たり、2本目当たり、3本目当たり
1本目当たり、2本目はずれ、3本目当たり
1本目はずれ、2本目当たり、3本目当たり
1本目はずれ、2本目はずれ、3本目当たり
の4つの場合があるから
(20/50)×(19/49)×(18/48)+
(20/50)×(30/49)×(19/48)+
(30/50)×(20/49)×(19/48)+
(30/50)×(29/49)×(20/48)=2/5

1本目が当たる確率も、2本目が当たる確率も、3本目が当たる確率も2/5になりますね！？
なんでだろう…
少し考える時間を下さい

No.88532 - 2024/08/04(Sun) 14:00:59

☆ Re: 確率変数 / IT

同じような質疑回答が下記にありますので、参考にしてください

https://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=85172

No.88533 - 2024/08/04(Sun) 14:11:49

☆ Re: 確率変数 / IT

これもどうぞ

https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/82/82-2.pdf

No.88534 - 2024/08/04(Sun) 14:50:07

☆ Re: 確率変数 / カタ

ITさん、ありがとうございます。
50本のくじのうち1〜20をあたり、21〜50をはずれとし、50本のくじを並び替えて左から順に取っていくと考えても今の問題と同じ状況ですね。
この場合、1本目が当たる確率は(20×49！)/50！=2/5
2本目が当たる確率も同じ計算で2/5になりますね。

くじを引く順番によって有利になったり不利になったりすることはないということですね。
ありがとうございました。理解しました。こんな確率の原則っぽいことを知りませんでした。

No.88535 - 2024/08/04(Sun) 15:39:14

☆ Re: 確率変数 / IT

「くじ引き公平」などで検索すると、いろいろな説明があります。
正確に分かり易く説明するのは、けっこうたいへんかも知れませんね。

No.88536 - 2024/08/04(Sun) 17:21:18

★ 東京大学3次方程式 / Higasino

東京大学過去問3次方程式からです。何卒よろしくお願いいたします。以下問題

No.88524 - 2024/08/03(Sat) 23:28:37

☆ Re: 東京大学3次方程式 / IT

Higasinoさんができたところまで書き込まれた方が有効な回答が得やすいと思いますが、
私の方針だけ
(1) (2α^2+5α-1)^2 を展開してα^3+3α^2-1で割って余りを求める
(2)α以外の２つの解をβ、γとし
(x-α)(x-β)(x-γ)=x^3+3x^2-1
β+γ,βγをαの式で表す。（注　αβγ=1は使わない）
二次方程式の解の公式を使ってβ、γをαの式で表す。
(1)がうまく使えて題意に合うように式が変形できる？

No.88525 - 2024/08/04(Sun) 07:44:14

☆ Re: 東京大学3次方程式 / Higasino

(1の誘導はあえて使わず考えてみました。ご意見ご指導のほどよろしくお願いいたします。

No.88537 - 2024/08/05(Mon) 03:58:35

☆ Re: 東京大学3次方程式 / Higasino

これは参考書の解説ですが、私の答えと異なっているので、理由が知りたいです。どなたか教えていただけると幸いです。

No.88544 - 2024/08/07(Wed) 09:13:08

☆ Re: 東京大学3次方程式 / らすかる

間違っているのは参考書の解説の
・2行目の左辺の(2α^2+5α+1)^2 → 正しくは (2α^2+5α-1)^2
・4行目の左辺の(2α^2+5α+1)^2 → 正しくは (2α^2+5α-1)^2
・下から3行目の=(2α^2+5α+1)^2 → 正しくは =(2α^2+5α-1)^2
これの影響でその下2行も誤答になっています。
正解は α^2+2α-2 と -α^2-3α-1 です。

No.88547 - 2024/08/07(Wed) 13:03:30

☆ Re: 東京大学3次方程式 / Higasino

ラスカル様、ご丁寧な説明ありがとうございました。解決しました。これからもよろしくお願いいたします。

No.88556 - 2024/08/09(Fri) 05:25:33

★ 整数問題 / Nishida

お願いします。

No.88519 - 2024/08/02(Fri) 16:16:51

☆ Re: 整数問題 / ヨッシー

(1)
Ｎをabcde、２Ｎを edcba とします。
a が３以上だと、２Ｎの桁が６桁となるので、a は 1 か 2
２Ｎは偶数なので、a は 2, e は 1 か 4 ですが、a＜e より e は 4。
(2)
c は２倍されて、下の位からの繰り上がりを考慮すると、
c は 5 とわかります。
２ｂ５ｄ４　×　２　＝　４ｄ５ｂ２
において、b は２倍しても繰り上がっていないことから
b は 0, 1, 2 のいずれか。
Ｎの１の位の４が２倍された繰り上がりと、ｄを２倍したものを足したもの（の１の位）
がｂなので、ｂは奇数。よって、 b は 1。
２１５ｄ４　×　２　＝　４ｄ５１２
が成り立つようにｄを決めると、d は 3。よって、
　Ｎ＝２１５３４(6)

No.88520 - 2024/08/02(Fri) 16:37:27

☆ Re: 整数問題 / Nishida

ヨッシー様ありがとうございます。
(2)でなぜc=5と求まったのかがまだ分かりません。
どなたでもよいので教えてください🙇

No.88521 - 2024/08/02(Fri) 17:30:17

☆ Re: 整数問題 / IT

ヨッシーさんはもっとスッキリした説明をされるかも知れませんが、
N =2bcd4
2N=4dcb2
（主に）
２桁目をみて：b=2d+1または　b=2d+1-6…(1) なのでbは1以上の奇数
５桁目をみて：bは2倍しても繰り上がらないので,b=1
４桁目をみて：d≧2b∴d>b,これと(1)からd=3
３桁目をみて：c=2c+1-6∴c=5

これだとcが分かるのは最後になりましたね。

No.88523 - 2024/08/02(Fri) 21:44:23

☆ Re: 整数問題 / 黄桃

>(2)でなぜc=5と求まったのかがまだ分かりません。

2倍しているだけなのでどの桁も繰り上がりはあるとしても1。
だから、2桁目の繰り上がりをrとすれば(r=0 or 1)、3桁目は 2xc+rの下1桁がc (xは掛け算記号；以下同様）。
つまり、2xc+r=c または 2xc+r=c+6 なので、c=-rまたは c=6-r。r=0or1だから、c=0 (繰り上がりなし）または c=5 (繰り上がり１）。
c=0 ということは6進表現で de　x　2=ba かつ ab　x　2=ed すなわち、 d4　x　2=b2, 2b　x　2=4dだから、
2xd+1=b, bx2=d でなければならないが、これは不可能。
だから、c=5でなければならない。

＃ここでは分かりやすい説明にするために細かく書きましたが、
＃こうした問題に慣れれば上記のようなことは式をかかずにすぐわかります。
＃慣れてなければ、6進数だから各桁0から5の6種類しか
＃可能性がなく、文字数も5種類なので、いろいろ考えるより
＃順に数を入れて調べた方が早いこともあります
＃(c=0,5はcに0から5を順に代入して試すとした方が簡単か）。

＃＃本問でも(1)でeを決めればaが決まり、最上位の具合を調べ
＃＃a,eの可能性を絞る、としています。
＃＃(2)でもdを決めればbが決まるので、b,cの組み合わせ
＃＃36通りを調べれば確実に答がでますが、
＃＃想定解は、(1)の考え方を生かして
＃＃dを決めた後上2桁の様子を調べて解を絞る
＃＃というものでしょう。

No.88526 - 2024/08/04(Sun) 07:47:46

★ 複素数 / Higasino

複素数からの出題です。何卒よろしくお願いいたします。以下問題

No.88500 - 2024/07/31(Wed) 08:25:05

☆ Re: 複素数 / ヨッシー

ω＝(-1＋√3ｉ)/2
ω^2＝(-1－√3ｉ)/2
ω^3＝1
であることから、
　ω^5＝ω^2
　ω^4＝ω
　1/ω＝ω^2
これより
　(左辺)＝ω^2＋2ω＋1＋ω^2－3ω＋2＋ω^2
　　＝3ω^2－ω＋3
さらに、ω^2＝－ω－1 より
　(左辺)＝3ω^2－ω＋3＝3(－ω－1)－ω＋3＝－4ω
よって、ａ＝－4, ｂ＝０

No.88501 - 2024/07/31(Wed) 09:32:36

☆ Re: 複素数 / Higasino

^_^
ご回答ありがとうございます。ご返信が遅くなり大変申し訳ありませんでした。ご意見いただけると幸いです。

No.88504 - 2024/07/31(Wed) 18:06:25

☆ Re: 複素数 / ヨッシー

補１をどこまで自明な性質として認めるかというところはありますが、
筋道は良いと思います。

あと、ｂ＝０ですね。

No.88511 - 2024/08/01(Thu) 08:50:38

☆ Re: 複素数 / Higasino

ご意見ありがとうございました。またよろしくお願いいたします。

No.88515 - 2024/08/01(Thu) 10:47:52

★ 大学2年複素関数 / kawarisa

度々質問すみません、、、
手がつけられなくて困ってます、、、
宜しくお願いいたします。

No.88482 - 2024/07/28(Sun) 17:05:14

☆ Re: 大学2年複素関数 / ast

# これはまったく回答ではないのだけれど.
WolframAlpha に投げてみたところ (直接的な結果はうまく返ってこなかったが), (1) π/(2a^2b), (2) π/(2b) になるような気がする.

No.88487 - 2024/07/29(Mon) 03:00:44

☆ Re: 大学2年複素関数 / ポテトフライ

f(x)=(x^2-a^2)^2+b^2*x^2=(x^2+A^2)^2+B^2
ただしA＝・・・,B=・・・（a,bの式）
と変形できるので
∫1/f(x)dx
=∫1/{(x^2+A^2+iB)(x^2+A^2-iB)}dx
=1/(2iB)∫{1/(x^2+A^2-iB)+1/(x^2+A^2+iB)}dx
=arctanを用いた原始関数（ちょっとごり押し気味

∫x^2/f(x)dxについても同様

とするのが簡単なんじゃないかと思います。
途中の不定積分などは適当な置換をすればいます。

※タイトルから察するに、本当は留数定理を用いて計算してほしいのだと思うが、a,bの大小に関する場合分けなどが煩雑なので、避けた。（途中までやった感じ、積分路もf(x)＝0となる点をうまく避けるように指定する必要があるので非常に面倒だと感じた。
※留数定理を用いた計算をしたい場合は、例えば
一松信　函数論入門（1957）
などを参照してみてください。複素関数論の一歩踏み込んだ書籍でないと、複雑な積分路に関する留数解析が載っていません。

No.88488 - 2024/07/29(Mon) 11:21:57

☆ Re: 大学2年複素関数 / X

横から失礼します。
(1)(2)を複素積分を使って計算してみましたので
アップしておきます。

極の複素平面上の配置をa,bの値に対して場合分けして
調べてみましたが、複素平面上の実軸に関して上側
にあるものの値は、変わらないようです。

(1)
ｆ(x)は偶関数ゆえ
∫[x:0→∞]dx/f(x)=(1/2)∫[x:-∞→∞]dx/f(x) (A)
ここでxの方程式
f(x)=0
を解くと
(x^2-ibx-a^2)(x^2+ibx-a^2)=0
∴x=ib±√(4a^2-b^2),-ib±√(4a^2-b^2) (B)
(B)において
(i)4a^2-b^2≧0のとき
複素平面上で実軸に関して上半面にあるのは
x=ib±√(4a^2-b^2)
に対応する点。
(ii)4a^2-b^2＜0のとき
√(4a^2-b^2)=i√(b^2-4a^2)
∴複素平面上で実軸に関して上半面にあるのは
やはり
x=ib±√(4a^2-b^2)
に対応する点。

ここで
C'={z|z=t,t:-r→r}
C"={z|z=re^(iθ),θ:0→π}
C=C'∪C"
(但し、rはr＞0なる定数)
なる経路C',C",Cに対し
∫[C]dz/f(z)=∫[C']dz/f(z)+∫[C"]dz/f(z)
を考えると、
r→∞のとき
|∫[C"]dz/f(z)|→0(証明は省略します)
∴∫[C"]dz/f(z)→0
∫[C']dz/f(z)→∫[x:-∞→∞]dx/f(x)
又、(i)(ii)より、Cの内部に含まれる1/f(z)の極は
z=ib±√(4a^2-b^2)
になります。

よって、z=uを1/f(z)における極として
z=uにおける留数を
Res[1/f(z)|z=u]
と書くことにすると、(A)と留数定理により
∫[x:0→∞]dx/f(x)
=(1/2)・2πi{Res[1/f(z)|z=ib+√(4a^2-b^2)]+Res[1/f(z)|z=ib-√(4a^2-b^2)]}
=πilim[z→ib+√(4a^2-b^2)]{z-{ib+√(4a^2-b^2)}}/f(z)
+πilim[z→ib-√(4a^2-b^2)]{z-{ib-√(4a^2-b^2)}}/f(z)
=πi/f'(ib+√(4a^2-b^2))+πi/f'(ib-√(4a^2-b^2))

ここで
f'(z)=2(z^2-a^2)・2z+2zb^2
=2z(2z^2-2a^2+b^2)
で
α=ib+√(4a^2-b^2)
β=ib-√(4a^2-b^2)
と置くと、α、βはxの二次方程式
x^2-ibx-a^2=0 (C)
の解ゆえ、解と係数の関係から
α+β=ib
αβ=-a^2
又(C)より
α^2=ibα+a^2
∴f'(α)=2α(2α^2-2a^2+b^2)
=2α(2ibα+b^2)
=2b(2iα^2+bα)
=2b(-bα+2ia^2)
同様に
f'(β)=2b(-bβ+2ia^2)
以上から
∫[x:0→∞]dx/f(x)=πi/{2b(-bα+2ia^2)}+πi/{2b(-bβ+2ia^2)}
=(πi/2b){-b(α+β)+4ia^2}/{-4a^4-2i(α+β)ba^2+αβb^2}
=(πi/2b){-ib^2+4ia^2}/{-4a^4+2(ab)^2-(ab)^2}
=(π/2b)(b^2-4a^2)/{-4a^4+(ab)^2}
=π/(2ba^2)

No.88495 - 2024/07/30(Tue) 19:06:21

☆ Re: 大学2年複素関数 / X

(2)
これは(1)の過程を使います。
g(z)=f(z)/z^2={z-(a^2)/z}^2+b^2
と置くと、(1)の過程と同様にして
∫[x:0→∞]{(x^2)/f(x)}dx=πi/g'(α)+πi/g'(β)
ここで
g'(z)=2{z-(a^2)/z}{1+(a^2)/z^2}
=2(z^2-a^2)(z^2+a^2)/z^3
∴(1)と同様にして、次数落としでg'(α),g'(β)を求めると
g'(α)=2(ibα+a^2-a^2)(ibα+a^2+a^2)/{α(ibα+a^2)}
=2ibα(ibα+2a^2)/{α(ibα+a^2)}
=2ib(ibα+2a^2)/(ibα+a^2)
g'(β)=ib(ibβ+2a^2)/(ibβ+a^2)
∴∫[x:0→∞]{(x^2)/f(x)}dx={π/(2b)}{(ibα+a^2)/(ibα+2a^2)+(ibβ+a^2)/(ibβ+2a^2)}
={π/(2b)}{(ibα+a^2)(ibβ+2a^2)+(ibα+2a^2)(ibβ+a^2)}/{(ibα+2a^2)(ibβ+2a^2)}
={π/(2b)}{-2αβb^2+3(α+β)iba^2+4a^4}/{-αβb^2+2(α+β)iba^2+4a^4}
={π/(2b)}{2(ab)^2-3(ab)^2+4a^4}/{(ab)^2-2(ab)^2+4a^4}
={π/(2b)}{-(ab)^2+4a^4}/{-(ab)^2+4a^4}
=π/(2b)

No.88497 - 2024/07/30(Tue) 19:39:37

★ 大変！ / ホイホイ子

我が家の新築の豪邸に早速ゴキブリが出ました。ちょうどエクササイズ中だったので、フラフープをぶん投げました。
はなれたところから観察していると、ゴキブリは床に落ちたフラフープの上を激しく反時計回りに等速円運動しています。
ペットがおり殺虫スプレーが使えないので、フラフープめがけゴキブリが嫌がる香りのアロマオイル(高価)を一滴かけようと思います。
はなれたところからアロマオイルを一滴発射するので、狙うことはできません。フラフープの周上の一点に無作為にアロマオイルが付着します。
ゴキブリはアロマオイルの付着した箇所からその箇所におけるフラフープの接線へと進路を変更し、勢いを維持したまま接線上を直進して壁まで到達するものと予想されます。
そこで、あらかじめ壁に粘着テープを貼っておき、逃げてきたゴキブリを捕獲しようと思うのですが、ゴキブリを捕獲する確率を最も高めるには、粘着テープをどこに貼ればよいでしょうか？

なるべく正確に粘着テープを貼る位置を知りたいので、
フラフープをx^2+y^2=1、壁をx=a(≧1)、粘着テープの長さをd(>0)
として回答していただいてもかまいません。

No.88478 - 2024/07/28(Sun) 15:01:12

☆ Re: 大変！ / らすかる

アロマオイル点を(cosθ,sinθ) (π＜θ＜2π)とおくと
その点における接線はxcosθ+ysinθ=1
この接線と壁(x=a)の交点のy座標はy=(1-acosθ)/sinθ
これより
cosθ=2π-{a+y√(a^2+y^2-1)}/(a^2+y^2)
なので
f(t)=arccos({a+t√(a^2+t^2-1)}/(a^2+t^2))
-arccos({a+(t+d)√(a^2+(t+d)^2-1)}/(a^2+(t+d)^2))
とおいてf(t)が最大値をとるtを調べればよいことがわかります。
（t＜0の範囲に最大値が存在し、粘着テープの位置は(a,t)から(a,t+d)までとなります）
しかしf(t)の式を微分すると高次でとんでもなく長い式となり解けません。
従って具体的な数値に対して数値的に計算するしかないと思います。

No.88489 - 2024/07/29(Mon) 21:44:33

★ 大学2年複素関数 / kawarisa

コーシーリーマン関係式を使いそうだと思ったのですが、使っていくと式がめちゃくちゃになって詰んでしまいました、、、
宜しくお願いいたします。

No.88477 - 2024/07/28(Sun) 14:40:17

☆ Re: 大学2年複素関数 / ast

F(z)=:U(x,y)+i⋅V(x,y) に関するコーシー・リーマンの式: ∂U/∂x=∂V/∂y かつ ∂U/∂y=-∂V/∂x ……(*) を問題の指示に従って既知であるとして, 一方, F(z)(=z⋅f(z))= (x+iy)(u+iv) = (xu-yv) + i(xv+yu) だから具体的に U=xu-yv および V=xv+yu = (e^(-x)cos(y)). とくに V(x,y) について
　∂V/∂x = -cos(y)e^(-x) かつ ∂V/∂y = -e^(-x)sin(y),
したがって (*) を適用すれば U(x,y) に関し
　∂U/∂y = e^(-x)cos(y), ∂U/∂x = -e^(-x)sin(y). ∴U = e^(-x)sin(y).
つまり, F(z) = e^(-x)sin(y)+ie^(-x)cos(y) = i⋅e^(-x)(cos(-y)+isin(-y)) = i⋅e^(-z), ∴f(z)=(i⋅e^(-z))/z.

# コーシー・リーマンの適用で滅茶苦茶になりそうな要素をとくに感じないが, なにがあったのだろう……???
## 強いて言うなら最後 x,y を使わず z の式にまとめられるかあたりはそういう要素はあるかもしれない
## (が, おそらくはべつに x,y を用いた表示のままでもそこまで咎められたりはしなさそうだしな……).

No.88479 - 2024/07/28(Sun) 16:10:02

☆ Re: 大学2年複素関数 / kawarisa

astさん、ありがとうございます！ポカしてしまって間違えていました……
ほんとにありがとうございます！

No.88480 - 2024/07/28(Sun) 16:43:18

☆ Re: 大学2年複素関数 / kawarisa

質問させていただきたいのですが、f(z)は正則関数であるのに、z=0で正則でないのは大丈夫なのでしょうか？

No.88481 - 2024/07/28(Sun) 16:46:47

☆ Re: 大学2年複素関数 / IT

そもそもz=0では
　xv+yu = e^(-x)cos(y)　は、成り立たないのでは？

No.88483 - 2024/07/28(Sun) 18:10:36

★ 複素数 / Higasino

京都大学過去問複素数の問題からです。何卒よろしくお願いいたします。以下問題

No.88469 - 2024/07/28(Sun) 05:16:24

☆ Re: 複素数 / X

条件から
α=(r^2)(cos2θ+isin2θ)
(但しr＞0,0≦θ＜π)
と置くことができるので
β^2=α
に代入すると
β^2=(r^2)(cos2θ+isin2θ) (A)
ここで
cos2θ+isin2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2+2icosθsinθ
=(cosθ+isinθ)^2
∴(A)は
β^2={r(cosθ+isinθ)}^2
これより
{β-r(cosθ+isinθ)}{β+r(cosθ+isinθ)}=0
∴β=±r(cosθ+isinθ)
となるので、問題の命題は成立します。

No.88470 - 2024/07/28(Sun) 08:29:55

☆ Re: 複素数 / Higasino

(^^)
エック先生、こんにちは。ありがとうございます。ところでその方法ですと、
例えば－ 15 +8 I 平方根はどのように求めるのでしょうか？

No.88473 - 2024/07/28(Sun) 08:49:32

☆ Re: 複素数 / IT

1998年文系後期の出題のようです。
（出題当時は分かりませんが）文系なので数３で習う「極形式」は使わない解法が想定されているのだと思いますが、数学的に正しくて循環論法になっていなければ「極形式」を使った解答も正解ですね。

cosθ+isinθ≠0も一言断っておいた方が良いですね。

なお、数３で習う「ド・モアブルの定理」を使えば途中計算不要ですね。
（京大後期にしては文系といえども簡単すぎる？）

No.88475 - 2024/07/28(Sun) 11:08:23

☆ Re: 複素数 / IT

失礼しました。数学Bに「複素数平面（ド・モアブルの定理含む）」があったようです。
https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/old-cs/1322525.htm
https://inupri.web.fc2.com/katei.html

No.88476 - 2024/07/28(Sun) 11:47:30

☆ Re: 複素数 / X

＞＞例えば－ 15 +8 I 平方根はどのように求めるのでしょうか？

No.88470の結果を使うという前提で
α=-15+8i
とすると
|α|=17
∴
r=√|α|=√17 (P)
cos2θ=-15/17 (Q)
sin2θ=8/17 (R)
(0≦θ＜π)
(Q)(R)をcosθ,sinθについての連立方程式として解きます。

(R)÷(Q)より
tan2θ=-8/15
2(tanθ)/{1-(tanθ)^2}=-8/15
4(tanθ)^2-15tanθ-4=0
(4tanθ+1)(tanθ-4)=0
ここで(Q)(R)より、θの値の範囲はさらに絞られて
π/4＜θ＜π/2 (S)
となることに注意すると、
1＜tanθ
∴tanθ=4 (T)
∴(cosθ)^2=1/{1+(tanθ)^2}
=1/17
∴(S)より
cosθ=1/√17
sinθ=4/√17
よって
β=±(1+4i)
つまり
β=1+4i,-1-4i
となります。

No.88484 - 2024/07/28(Sun) 20:48:11

☆ Re: 複素数 / Higasino

^_^返信が遅くなり大変申し訳ありません。局形まだ習っておりませんので、代数的にアプローチしました。なにとぞご意見よろしくお願いいたします。

No.88498 - 2024/07/31(Wed) 08:21:05

☆ Re: 複素数 / らすかる

88498の解答は正しくないと思います。
p=0,q=-2の場合にどうなるか計算してみて下さい。

No.88502 - 2024/07/31(Wed) 11:59:30

☆ Re: 複素数 / Higasino

^_^

ラスカル様、こんにちは。自分で答案を見直したところ、どこが間違っているのかわかりません。よかったらご指導願えませんでしょうか新たな追伸をいたしました。何卒よろしくお願いいたします。

No.88506 - 2024/07/31(Wed) 22:34:03

☆ Re: 複素数 / Higasino

申し訳ございません。東案に間違いがございました。改めます。
ex1. x<0
ex2. y<0
は、除いてください

No.88509 - 2024/07/31(Wed) 23:31:07

☆ Re: 複素数 / らすかる

p=0,q=-2のとき
「結果として・・・」の行の式に代入すると
±(1/√2)(√2+i√2)=1+i,-1-i
になりますので、その行の式は正しくないですね。

No.88510 - 2024/07/31(Wed) 23:52:25

☆ Re: 複素数 / Higasino

ラスカル様何度もすみません。答案が出来上がりました。自分の過ちもよくわかりました。不安不安ですのでご指導いただけると幸いです。以下当番です。

No.88512 - 2024/08/01(Thu) 09:53:07

☆ Re: 複素数 / らすかる

q/|q|とするとq=0の場合に使えませんが、
「q≠0」限定（つまり虚数限定）の公式とするならばそれで問題ないと思います。

No.88514 - 2024/08/01(Thu) 10:11:45

☆ Re: 複素数 / Higasino

ご回答くださいました。皆皆様本当にありがとうございました。今度もまたよろしくお願いいたします。

No.88516 - 2024/08/01(Thu) 10:49:35

★ 複素数 / Higasino

複素数からの出題です。よろしくお願いいたします。

No.88464 - 2024/07/28(Sun) 01:03:51

☆ Re: 複素数 / X

(1)
条件から
ω^2+ω+1=0 (A)
両辺にω-1をかけて
(ω-1)(ω^2+ω+1)=0
∴ω^3=1 (A)'
∴ω^2=1/ω,ω=1/ω^2 (B)
∴(証明すべき等式の左辺)=(x+1)(x+1/ω^2)(x+1/ω)
=(x+1)(1+ωx){1+(ω^2)x}/ω^3
=(証明すべき等式の右辺)

(2)
(A)'(B)よりkを自然数として
(i)k=3kのとき
ω^n=1
(ii)n=3k-1のとき
ω^n=1/ω=ω^2
(ii)n=3k-2のとき
ω^n=1/ω^2=ω

(3)
条件から、方程式x^2+x+1=0の二つの解は、ω、ω^2
∴x^2+x+1=(x-ω)(x-ω^2) (C)

ここで
f(x)=(x+1)^n-x^n-1
と置くと
f(ω)=(ω+1)^n-ω^n-1
={(-1)^n}ω^(2n)-ω^n-1 (∵)(A)より
=-{ω^(2n)+ω^n+1} (∵)nは奇数
f(ω^2)=(ω^2+1)^n-ω^(2n)-1
={(-1)^n}ω^n-ω^(2n)-1 (∵)(A)より
=-{ω^(2n)+ω^n+1} (∵)nは奇数

更にnは3の倍数ではないので、(2)の結果より
ω^n=ω,ω^2
ですが、
(i)ω^n=ωのとき
ω^(2n)+ω^n+1=ω^2+ω+1
=0 (∵)(A)より
(ii)ω^n=ω^2のとき
ω^(2n)+ω^n+1=ω^4+ω^2+1
=ω^2+ω+1 (∵)(A)'より
=0 (∵)(A)より

(i)(ii)より
f(ω)=f(ω^2)=0
∴(C)と因数定理により、f(x)はx^2+x+1で割り切れます。

No.88466 - 2024/07/28(Sun) 03:42:14

☆ Re: 複素数 / Higasino

x様、早速のご回答ありがとうございます。1つ疑問があるのですが、(1の誘導は何に使うのでしょうか？よろしければ教えてください。私の答案は後ほどアップします。

No.88467 - 2024/07/28(Sun) 05:06:12

☆ Re: 複素数 / X

私の解答では(1)の結果自体は(2)(3)には使いませんでした。

No.88471 - 2024/07/28(Sun) 08:31:43

☆ Re: 複素数 / Higasino

^_^ 私の回答です。よかったらご意見ください。何卒よろしくお願いいたします。以下答案

No.88472 - 2024/07/28(Sun) 08:36:11

☆ Re: 複素数 / X

その別解でも問題ないと思います。

No.88486 - 2024/07/28(Sun) 20:56:52

★ 不等式 / ぴーたろー

こんばんは。

(1)は理解できたのですが、(2)の言っていることがわかりません。もう少しわかりやすく説明していただけるとありがたいです。

よろしくお願いします！

No.88461 - 2024/07/26(Fri) 22:05:51

☆ Re: 不等式 / X

以下、区切って説明するので、分からない場合は
どこで分からなくなったのかレスを下さい。

まず
t=a^x (A)
と置くと、a＞1より(A)のtはxに対し単調増加
∴1≦x≦2のとき
a≦t≦a^2 〇2
となることはよろしいですか？

このとき、(A)のようにxをtに置き換えたときの
Y=f(x) (B)
のグラフは添付写真左側のようになります
(但し、解説では分かりやすくするため、
f(x)はg(t)に置き換えてありますが。)
が、(B)のグラフの直線Y=3の上側となっている部分の
tの値の範囲は〇1となることもよろしいですか？

よって条件を満たすためには、〇2が〇1に含まれれば
よいことになります。

ここで〇1は
0≦t≦α (C)
2≦t≦4 (D)
β≦t (E)
となりますので、(C)(D)(E)のいずれかの範囲に〇2が
含まれる条件を考えることになります。
以上を踏まえて、添付写真右下の部分の下から5行目
からをもう一度見て下さい。

No.88462 - 2024/07/27(Sat) 09:00:06

★ 複素数 / Higashino

複素数からの出題です。何卒よろしくお願いいたします。

No.88451 - 2024/07/25(Thu) 13:40:59

☆ Re: 複素数 / ヨッシー

ωは ω^2＋ω＋１＝０の解とします。
同時に　ω^3＝１を満たします。

条件より、
　f(x)＝(ｘ^2＋ｘ＋１)g(x)
と置けるので、
　f(1)＝3g(1)＝2
よって、g(1)＝2/3
　g(x)＝(x-1)h(x)＋ａ
と置くと、
　g(1)＝ａ＝2/3
なので、
　g(x)＝(x-1)h(x)＋2/3
と置けます。よって、
　f(x)＝(ｘ^2＋ｘ＋１){(x-1)h(x)＋2/3}
　　＝(x^3－1)h(x)＋(2/3)(ｘ^2＋ｘ＋１)
よって、求める余りは
　(2/3)(ｘ^2＋ｘ＋１)

No.88452 - 2024/07/25(Thu) 14:17:01

☆ Re: 複素数 / Higashino

ご回答ありがとうございます。次のように考えることもできるかもしれません。何卒よろしくお願いいたします。素晴らしい考え方を教えていただきありがとうございました。

No.88453 - 2024/07/25(Thu) 16:06:10