2問、よろしくお願いいたします。
一問だけでも構いません。面白い解答お待ちしております。
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No.88932 - 2024/09/26(Thu) 18:27:07
| ☆ Re: 関数 2問 / らすかる | | | (1)
x=u+v, y=u-v とおくと
x^2-xy+y^2=u^2+3v^2, xy+x+y=u^2+2u-v^2 となるので
u^2+3v^2=1のときにu^2+2u-v^2の最大値と最小値を求める問題になる。
z=u^2+2u-v^2にv^2=(1-u^2)/3を代入し整理すると
u^2+(3/2)u-(3z+1)/4=0
これが|u|≦1である解を持てばよい。
f(u)=u^2+(3/2)u-(3z+1)/4=(u+3/4)^2-(12z+13)/16とおくと
f(u)はu=-3/4を軸とする下に凸な放物線なので、|u|≦1である解を持つとき
-(12z+13)/16はf(1)=0のとき最小、f(-3/4)=0のとき最大
f(1)=0→z=3、f(-3/4)=0→z=-13/12なので
u^2+2u-v^2の最小値はu=-3/4のときで-13/12、最大値はu=1のときで3
u=-3/4→v=±√21/12→(x,y)=((-9±√21)/12,(-9干√21)/12) (複号同順)
u=1→v=0→(x,y)=(1,1)
なので、求める答えは
(x,y)=(1,1)のとき最大値3、
(x,y)=((-9±√21)/12,(-9干√21)/12) (複号同順)のとき最小値-13/12
(2)
xy≠0のとき
z=(-x^2+xy+y^2)/(x^2+xy+y^2)=(-x/y+1+y/x)/(x/y+1+y/x)
t=x/yとおくと
z=(-t+1+1/t)/(t+1+1/t)
=(-t^2+t+1)/(t^2+t+1)
=(-2t^2+t^2+t+1)/(t^2+t+1)
=1-2t^2/(t^2+t+1)
=1-2/(1+1/t+1/t^2)
zが最小⇔2/(1+1/t+1/t^2)が最大⇔1+1/t+1/t^2が最小
1+1/t+1/t^2=kとおいて整理すると
(1-k)t^2+t+1=0
これが解を持つためには
D=1-4(1-k)≧0→k≧3/4
よって最小値はk=3/4、このときz=1-2/(3/4)=-5/3
k=3/4のとき(1-k)t^2+t+1=0の解はt=-2つまり(x,y)=(2s,-s)
x=0のときz=1だがこれは最小値ではない。
y=0のときz=-1だがこれも最小値ではない。
従って(x,y)=(2t,-t)（tは0でない任意の実数）のとき最小値-5/3をとる。
|
No.88937 - 2024/09/27(Fri) 05:42:57 |
| ☆ Re: 関数 2問 / たーこ | | | ありがとうございます。
(-2t^2+t^2+t+1)/(t^2+t+1)
=1-2t^2/(t^2+t+1)
(2)のこの変形のところがわかりません。
よろしければ教えていただきたいです。
|
No.88938 - 2024/09/27(Fri) 07:57:34 |
| ☆ Re: 関数 2問 / らすかる | | | (-2t^2+t^2+t+1)/(t^2+t+1)
={(-2t^2)+(t^2+t+1)}/(t^2+t+1)
=(-2t^2)/(t^2+t+1)+(t^2+t+1)/(t^2+t+1)
=(-2t^2)/(t^2+t+1)+1
=1-2t^2/(t^2+t+1)
です。
|
No.88939 - 2024/09/27(Fri) 08:41:30 |
| ☆ Re: 関数 2問 / X | | | 横から失礼します。
(2)について。
らすかるさんは
t=x/y
と置いていますが
t=y/x
と置けば多少簡単になります。
(2)
(i)x=0のとき
z=1
(ii)x≠0のとき
t=y/xと置くと
z=(-1+t+t^2)/(1+t+t^2)
=1-2/(1+t+t^2)
=1-2/{(t+1/2)^2+3/4} (A)
ここで
(t+1/2)^2+1/4≧3/4
∴1/{(t+1/2)^2+1/4}≦4/3
-2/{(t+1/2)^2+1/4}≧-8/3
∴(A)から
z≧1-8/3=-5/3
(不等号の下の等号はいずれもt=-1/2、
つまりx+2y=0のときに成立)
(i)(ii)より、zの最小値は-5/3
(このとき、x+2y=0(但し(x,y)≠(0,0)))
注)
最小値を取るときのx,yの条件がらすかるさん
のそれと異なるように見えますが、
見かけだけで、言っていることは同じです。
|
No.88946 - 2024/09/27(Fri) 17:44:13 |
| ☆ Re: 関数 2問 / 黄桃 | | | 受験用の簡単な例題でしょうから、ありがちな解法を一応コメントしておきます。
(1)
対称式の場合は
u=x+y
v=xy
と置く方法もよく使われます。
x,yが実数なので、この場合は、u^2-4v≧0 という条件が付きます(x,yは t^2-(x+y)t+xy=0 という2次方程式の２つの実数解だから）。
結局
u^2-3v=1 および u^2-4v≧0 の下で
u+v の最大、最小を求める問題になります。
vについて解けるので、vを消去してuに関する条件 -2≦u≦2 の下で、u+(1/3)(1-u^2)の最大最小を求める問題となります。
こちらだと、具体的にx,yを求めなくてもいいので少し楽です。
なお、高校数学にこだわらなければ、ラグランジュの未定乗数法でも解けますが、計算はちょっと面倒です。
(2)
テクニックとしては、分母分子同次式(すべての単項式の次数が同じ)なので、
x,yの同次式(x^2,xy,y^2など）で分母分子を割ると(もちろん、0の場合は別扱い）、
1変数の場合に帰着できる、というものです。
ただ、この問題に関しては、単純な形なので、オーソドックスに最大値の最大値でもいいでしょう。
1-2x^2/(x^2+xy+y^2)
と変形し、
x^2/(x^2+xy+y^2)=x^2/((y+x/2)^2+(3/4)x^2)
の最大を求める問題に帰着します。
次に、まずxを固定してyを動かして最大値(xの関数になる)を求め、その後xを動かして最大値の最大を求めます。
xを固定すれば、x=0の時0, そうでないときはy=-x/2(≠0)の時に分母が最小で、この時の値はxによらず 4/3。
これより、最小値は1-2*4/3=-5/3。
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No.88952 - 2024/09/28(Sat) 13:36:52 |
| ☆ Re: 関数 2問 / たーこ | | | らすかるさん、Xさん、黄桃さん。ありがとうございます。
おかげでよく理解できました。
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No.88968 - 2024/09/29(Sun) 14:13:49 |
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