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★ nに当てはまる数字 / ふゆ＠中3生

【問題】 √53−2n(−2nもルートの中に入ってます)が整数となるような自然数nの個数を求めなさい。 これがさっぱりわかりません。 どうやって求めればいいのでしょうか？ 教えていただけるとありがたいです No.85986 - 2023/07/24(Mon) 15:29:16 ☆ Re: nに当てはまる数字 / らすかる 53-2nは1以上53未満の奇数になりますので、 それが平方数になるようなnの個数が答えです。 1以上53未満の奇数の平方数は 1^2=1,3^2=9,5^2=25,7^2=49 の4つですから、答えは4個となります。 また、そのときのnの具体値は 例えば53-2n=25のような方程式を解けば算出できます。 No.85991 - 2023/07/24(Mon) 17:36:08 ☆ Re: nに当てはまる数字 / ふゆ＠中3生 なるほど〜 こちらも丁寧な解説、ありがとうございましたっ！ No.85997 - 2023/07/24(Mon) 20:55:45

★ 円の中心 / ふゆ＠中3生

円の中心の求め方がわかりません 教えていただけるとありがたいです 問題↓ No.85983 - 2023/07/24(Mon) 14:24:08 ☆ Re: 円の中心 / らすかる 弧AB上の真ん中あたり（端の方だと作図の精度が下がるから）に点Cをとれば、 弦ACの垂直二等分線と弦BCの垂直二等分線の交点が円の中心となります。 図を見た感じでは多分ウですね。 No.85984 - 2023/07/24(Mon) 14:39:54 ☆ Re: 円の中心 / ふゆ＠中3生 その点Cを選ぶのは適当でいいんですか？ No.85985 - 2023/07/24(Mon) 15:03:05 ☆ Re: 円の中心 / ふゆ＠中3生 答えはウです あと、どうしてその方法で求められるのでしょうか？ (アホな質問、すみません💦) No.85987 - 2023/07/24(Mon) 15:30:27 ☆ Re: 円の中心 / らすかる Cは適当でいいです。 円の中心は弦の垂直二等分線上にありますので、 弦の垂直二等分線を二つ引けば中心がわかります。 No.85990 - 2023/07/24(Mon) 17:33:25 ☆ Re: 円の中心 / ふゆ＠中3生 丁寧な解説、本当にありがとうございましたっ！ No.85996 - 2023/07/24(Mon) 20:54:19

★ 正弦定理余弦定理 / 花

半径65/8の円に内接する四角形ABCDは周の長さの和が44、BC＝CD＝13である。このとき残りの辺の長さはいくつか？ No.85977 - 2023/07/23(Sun) 19:26:54 ☆ Re: 正弦定理余弦定理 / X 2倍角の公式を学習済みでない、という前提で回答します。 △BCDにおいて正弦定理により 13/sin∠CBD=2・65/8 ∴sin∠CBD=4/5 従って、点Cから辺BDに下した垂線の足をHとすると BC:CH:BH=5:4:3 (つまり、△BCHは三四五の直角三角形です。) BH=DH ∴BC:BD=5:6 となるので BD=(6/5)BC=78/5 ∴∠BCD=θ と置くと、△BCDにおいて余弦定理により cosθ={13^2+13^2-(78/5)^2}/(2・13・13) =18/25 (A) 一方、△ABDにおいて余弦定理により (78/5)^2=AB^2+AD^2-2AB・ADcos(180°-θ) これより (78/5)^2=AB^2+AD^2+2AB・ADcosθ (A)を代入すると (78/5)^2=AB^2+AD^2+36AB・AD/25 (B) 更に条件から AB+AD+13+13=44 (C) (B)(C)をAB,ADについての連立方程式として解きます。 ((C)からAB+ADの値を求め、これを(B)に用いて AB・ADの値を求めれば、二次方程式の解と係数の関係 を使ってAB,ADの値を求められます。) No.85981 - 2023/07/23(Sun) 22:20:05 ☆ Re: 正弦定理余弦定理 / 花 返信が遅くなりすみません。 回答ありがとうございます。 計算したら14と4と出てきました。 > △BCDにおいて正弦定理により > 13/sin∠CBD=2・65/8 > ∴sin∠CBD=4/5 > 従って、点Cから辺BDに下した垂線の足をHとすると > BC:CH:BH=5:4:3 > (つまり、△BCHは三四五の直角三角形です。) が全く思いつきませんでした。すごいです。 それからもう一つ質問ですが、私はこの問題を以下のように考えました。（うまくいきませんでした） BD=y、∠BCD=α、AB=xとして △ABDと△BCDで余弦定理で y^2=x^2+(18-x)^2-2x(18-x)cos(180°-α( =13^2+13^2-2*13*13cosα また正弦定理で y/sinα=2*65/8 これらより計算しようとしたのですが詰まってしまった。 なぜこれではだめなのでしょうか？うまくいかない理由を知りたいです。 また、私は高3理系なので倍角の公式もわかります。 No.86053 - 2023/07/28(Fri) 18:07:56

★ 過去問の添削 / 農場長

高校入試の過去問ですが、解答が公表されていません。 自分の解き方が合っているかどうかを添削していただけないでしょうか。 問題：正の整数m,nに対して数h(m,n)を h(m,n)=(1/2)(m+n)(m+n-1)-m+1 と定める。例えば、h(1,1)=1、h(2,1)=2、h(1,2)=3である。 次の各問いに答えよ。 問１　h(27,2)+h(26,3)を計算せよ。 (1/2)×29×28-27+1+(1/2)×29×28-26+1=766…(答) 問２　等式h(3m,3m+4)=1987を満たす正の整数mの値をすべて求めよ。 (1/2)×(6m+4)×(6m+3)-3m+1=1987 3(3m+2)(2m+1)-3m-1986=0 (3m+2)(2m+1)-m-662=0 6m^2+6m-660=0からm^2+m-110=0となり、m>0なので、m=10…(答) 「すべて求めよ」とありますが、１つしか見つかりませんでした。 どこがいけないのでしょうか？ 問３　h(m,n)=2023を満たす正の整数の組(m,n)をすべて求めよ。 h(m,n)=(1/2){(m+n)(m+n-1)-2m+2}と変形して、 (1/2){(m+n)(m+n-1)-2m+2}=2023 (m+n)(m+n-1)-2m+2=4046 (m+n)(m+n-1)=4044+2m ここで、m+nとm+n-1は連続する２つの正の整数だから、 ２乗して4044に近い数を考えると、 63^2=3969より、64×63=4032だから、正の整数mは無い 64^2=4096より、65×64=4160だから、2m=116より、m=58 m+n=65なので、n=7 同様に、65^2=4225より、66×65=4290だから、2m=246より、m=123 m+n=66なので、正の整数nは無い したがって、(m,n)=(58,7)…(答) こちらも１つしか見つかりませんでした。 問２と合わせて添削をお願いします。 No.85973 - 2023/07/23(Sun) 18:00:56 ☆ Re: 過去問の添削 / ast 問1のケアレスミスを除けば答えは合っている (WolframAlpha に訊いた) ので, 贅沢を言わないなら別にこれでよいのでは. > １つしか見つかりませんでした。 > どこがいけないのでしょうか？ 「すべて求めよ」という文言に対し1つしか見つからなかったなら, 考えるべきは「どこがいけない」ではなく「その1つで本当にすべてなのか」, つまり「それ以外の可能性はきちんと潰せている証明が書けているか」だと思います. 例えば問2は (負の数を含めても, あるいはたとえ m が複素数の範囲で探しても) m の二次方程式の根なのでどうあがいても2つしか可能性はないわけなので, ちゃんとそれで全てだと言えていると思います. --- まあ本当に贅沢を言うなら, たとえば問3 は, 例えば > m+nとm+n-1は連続する２つの正の整数だから、 > ２乗して4044に近い数を考えると、 > 63^2=3969より、 > 64^2=4096より、 > 65^2=4225より、 が論理的には無意味な文言や値なので答案から削除すべきです (目安とするために計算用紙のたぐいにメモするぐらいならかまわないですが, そのまま計算用紙ごとゴミ箱行きが真っ当です). # 論理的には, (m+n)(m+n-1)-4044=2m > 0 (必要条件) に対して # 64×63-4044 < 0, 65×64-4044 > 0 だから m+n≥65 (必要条件), とでもすれば十分ですし, # 同様の論法で, かつ m<m+n (必要条件) にも照らして, m+n<66 (必要条件) を得られればいいので, # 上記の文言が用を為さないというのは納得してもらえると思います. No.86000 - 2023/07/24(Mon) 22:23:59 ☆ Re: 過去問の添削 / 農場長 astさん 丁寧に添削していただきまして、ありがとうございました！ 確かに、問１は計算ミスしていました。761でしょうか？ 問２以上に、問３のご指摘に感謝します。 そうやって記述したり、考えればいいんですね。 ありがとうございました！ No.86014 - 2023/07/25(Tue) 23:57:52

★ 絶対値 / 彩

大学入試の過去問です。解答は公表していないので、自力で解きなんとか解答までたどり着けました。合っているのかどうかご確認していただき、不備等ありましたらご指摘していただけたら助かります。 また問2の「この演算については|x|・|y|≧|(x,y)|が成り立つ。このことを証明済みとして」とありますが、この成り立つ式を証明したいと思いましたが、私にはできませんでした。こちらの証明についても教えていただけると大変助かります。 問題 　任意の実ベクトルxとyの組に実数（スカラー）値を対応させる演算（x、y）が以下を満たすものとする。 　（a）（x、y）＝（y、x） （b)　任意の実数λに対して（λx、y）＝λ(x、y） 　（c）（x＋z、y）＝（x、y）＋（z、y） 　（d) （x、x）≧0であり、等号はx＝0の場合に限る。 さらに|x|＝√(x、x）と定義するとき、以下の問いに答えよ。 （√(x、x）はルートの中に(x、x）が入っています。うまく書けなかったのでこのようになりました。申し訳ないです。） 問（1）（x＋y、x−y）＝|x|^2-|y|^2を示せ 解答 　 （x＋y、x−y）＝（x、x）＋（y、−y）・・・（c） 　　　　　　　 ＝（x、x）＋（−y、y）・・・（a) ＝（x、x）−（y、y）・・・・（b) ＝　|x|^2-|y|^2・・・・|x|＝√(x、x）より 問（2）この演算については|x|・|y|≧|(x,y)|が成り立つ。 　　　 このことを証明済みとして、|x|＋|y|≧|x＋y|を示せ。 解答 　(|x|＋|y|)^2−|x＋y|^2＝|x|^2＋2|x|・|y|＋|y|^2−|x＋y|^2 　　　　　　　　　　　　＝（x、x）＋2|x|・|y|＋（y、y）−（x＋y、x＋y）・・・?@ 　ここで（x＋y、x＋y）＝（x＋y、x）＋（x＋y、y） 　　　　　　　　　　　＝（x、x）＋（y、x）＋（x、y）＋(y、y）・・・（ｃ） 　このように変形でき、また|x|・|y|≧|(x,y)|なので 　?@≧（x、x）＋2|(x,y)|＋（y、y）−（x、x）−（y、x）−（x、y）−(y、y） ＝2(|(x,y)|−（x、y）) |(x,y)|≧（x、y）なので　2(|(x,y)|−（x、y）)≧0 No.85969 - 2023/07/23(Sun) 14:30:24 ☆ Re: 絶対値 / IT ＞　「この演算については|x|・|y|≧|(x,y)|が成り立つ。 概要　 y≠0 のとき 　|x+λy|^2 ≧0　で左辺を展開し、λ=-(x,y)/|y|^2 とおく。 「シュワルツの不等式」として有名です。 No.85970 - 2023/07/23(Sun) 15:54:00 ☆ Re: 絶対値 / 彩 ご返信ありがとうございます。 「シュワルツの不等式」は初めて知りました。 ところで私の解答過程は正しいでしょうか。 No.85971 - 2023/07/23(Sun) 16:11:49 ☆ Re: 絶対値 / ast > ところで私の解答過程 概ね良いので出題者・採点者次第ではありますが, 厳密に与えられた条件のみからきちんと導出しているかという観点では, たとえば > （x＋y、x−y）＝（x、x）＋（y、−y）・・・（c） (x+y,x-y) に (c) を適用しても (x,x)+(x,-y)+(y,x)+(y,-y) にしかならず, (a),(b) を必要なだけ適用して (x,-y)=-(y,x) としないと (あるいは (x,-y)=-(x,y) かつ (y,x)=(x,y)) としないときちんと消えることを述べられているとは言えません. また例えば, > |x|^2＋2|x|・|y|＋|y|^2−|x＋y|^2 　　　　　　　　　　　　＝（x、x）＋2|x|・|y|＋（y、y）−（x＋y、x＋y）・・・?@ > 〜(snip)〜 このように変形でき、 は間違ってはいませんが, 問(1) があるのだからそれを適用 (すなわち, |x|^2-|x+y|^2=(2x+y,-y)=2(x,y)-|y|^2) として 　|x|^2+2|x|⋅|y|+|y|^2-|x+y|^2=2(x,y)+2|x|⋅|y| とそのまま式を続けたほうが読み易いと思います. それで > |(x,y)|≧（x、y）なので にも根拠 (実数の性質として自明ではありますが, 例えばこれが複素数とその絶対値だったならそもそもこんなことできないので) を述べておくとなおよいと感じます. No.85974 - 2023/07/23(Sun) 18:07:47 ☆ Re: 絶対値 / 彩 ast様 詳細な解説ありがとうございました。 No.85975 - 2023/07/23(Sun) 18:25:58 ☆ Re: 絶対値 / 彩 ast様 ところでご教示くださった (2x+y,-y)=2(x,y)-|y|^2)ですが、 左辺から右辺への導出過程がわからないのですが、 教えていただけますか。 No.85976 - 2023/07/23(Sun) 18:43:22 ☆ Re: 絶対値 / ast ああ確かにtypoですね, すみません. × (2x+y,-y)=2(x,y)-|y|^2 && |x|^2+2|x|⋅|y|+|y|^2-|x+y|^2=2(x,y)+2|x|⋅|y| ○ (2x+y,-y)=-2(x,y)-|y|^2 && |x|^2+2|x|⋅|y|+|y|^2-|x+y|^2=2|x|⋅|y|-2(x,y) No.85980 - 2023/07/23(Sun) 20:27:19 ☆ Re: 絶対値 / 彩 ast様 度々申し訳ございません。 ○ (2x+y,-y)=-2(x,y)-|y|^2 この式ですが、左辺から右辺への過程を詳しく 教えていただけますか。よくわかりませんでした。 No.85995 - 2023/07/24(Mon) 20:00:58 ☆ Re: 絶対値 / 彩 ast様 先ほどの質問ですが、何とか考えて以下のようになりました。 合っているかご確認願います。 (2x+y,-y)=(2x,-y)+(y,-y) =(2x,-y)-(y,y) =(-y,2x)-|y|^2 =-(y,2x)-|y|^2 =-(2x,y)-|y|^2 =-2(x,y)-|y|^2 No.85998 - 2023/07/24(Mon) 21:15:39 ☆ Re: 絶対値 / ast それで合っています. # そこから訊かれているとは思っていなかった. だったら # |y|^2-|x+y|^2=(x+2y,-x)=(x,-x)+(2y,-x)=(-x,x)+2(y,-x)=-(x,x)+2(-x,y)=-|x|^2-2(x,y), # とか (|x|^2-|x+y|^2=-(|x+y|^2-|x|^2) だから) # |x+y|^2-|x|^2=(2x+y,y)=(2x,y)+(y,y)=2(x,y)+|y|^2 # とかから話を進めたほうがよかった (多少は記述量で楽できた) のかもしれない. ## なお, 与えられた条件だけから ## 　(b') 任意の実数 λ に対して (x,λy)=λ(x,y) ## 　(c') (x,y+z) = (x,y)+(x,z) ## 　　(あるいはまとめて (αx+βy,γz+δw)=αγ(x,z)+αδ(x,w)+βγ(y,z)+βδ(y,w)) ## あたりは容易に導出できるので, ## それをあらかじめ断っておけば, 答案はもっと柔軟に記述できるのでは. No.86001 - 2023/07/24(Mon) 22:44:11 ☆ Re: 絶対値 / 彩 ast様 ご回答と適確なアドバイスありがとうございました。 No.86007 - 2023/07/25(Tue) 20:07:51

★ 最大最小問題 / りお

お願いいたします。 No.85967 - 2023/07/23(Sun) 11:46:06 ☆ Re: 最大最小問題 / りお なぜx^2＋y^2＝1との共有点を考えれば良いのでしょうか？ No.85968 - 2023/07/23(Sun) 11:47:39 ☆ Re: 最大最小問題 / X 点Pは単位円、つまり 円x^2+y^2=1 の上の点であることはよろしいですか？ それを踏まえてもう一度解答をご覧下さい。 それでも分からない場合はその旨をアップして下さい。 No.85972 - 2023/07/23(Sun) 16:37:33 ☆ Re: 最大最小問題 / りお ありがとうございます。そこまではわかりました。なぜ共有点を考えるのでしょうか？ No.85982 - 2023/07/24(Mon) 06:52:12 ☆ Re: 最大最小問題 / X f(θ)のことは脇に置いて、次の補題を考えます。 補題) 点A(-2,-1)を通る直線が 円C:x^2+y^2=1 を通るとき、この直線の傾きの値の範囲を求めよ。 (ご質問の問題の解答の４行目以降はこの補題の 解答となっています。) この補題の別解として、円C上の点の座標をある変数(tとします) の関数で表した上で直線の傾きをtの関数で表し、その値域を求める という方針も考えられます。 円C上の点の座標を関数として表す方法は色々あります。 例えば、y座標が正に限定するのであれば (t,√(1-t^2)) としてもいいでしょう。この場合、問題の直線の傾きmは m={√(1-t^2)+1}/(t+2) となりますので、mをtの関数として値域を求めることになります。 最もシンプルなのは、三角関数を使って (cost,sint) (0≦t＜2π) と置くものです。これがご質問の問題に対応しています。 No.85994 - 2023/07/24(Mon) 18:13:32

★ コラッツ予想超解説 / 成清　愼
https:dongram.web.fc2.com/collatz20221cho.pdf 👆 コラッツ予想を数学パズルとして解いてみました。 No.85962 - 2023/07/22(Sat) 22:45:14 ☆ Re: コラッツ予想超解説 / 成清　愼 ご意見賜りたく No.85963 - 2023/07/22(Sat) 23:21:50 ☆ Re: コラッツ予想超解説 / 成清　愼 やはり数学パズルとしては解けないことが判明しましたのでこれをweb上から削除させていただき、ターゲットをもとのhttps://dongram.web.fc2.com/collatz20221esy.pdf　へ戻しました。ご査収いただきました方々には迷惑をおかけして申し訳ありませんでした。 No.85978 - 2023/07/23(Sun) 19:33:11

★ コラッツ予想超解説 / 成清　愼

https:dongram.web.fc2,com/collatz20221cho.pdf 👆 コラッツ予想を数学パズルとして解いてみました。 No.85961 - 2023/07/22(Sat) 22:42:17 ☆ Re: コラッツ予想超解説 / 成清　愼 URLの，は.の誤り訂正してお詫びします。そのうえでご意見賜りたくよろしくお願い申し上げます。 No.85964 - 2023/07/22(Sat) 23:24:12 ☆ Re: コラッツ予想超解説 / 成清　愼 やはり数学パズルとしては解けないことが判明しましたのでこれをweb上から削除させていただき、ターゲットをもとのhttps://dongram.web.fc2.com/collatz20221esy.pdf　へ戻しました。ご査収いただきました方々には迷惑をおかけして申し訳ありませんでした。 No.85979 - 2023/07/23(Sun) 19:33:37

★ (No Subject) / 高二
軌跡の問題です。 ｜x│≦y≦2で定まる領域をDとする。点(x,y)がD内を動くとき、点Q(x+y、x^2-y)が動きうる範囲Wを図示せよ。 順像法で解いてたんですけど変域がごっちゃになってよく分からなくなってしまいました。教えてください。 No.85957 - 2023/07/22(Sat) 18:26:16

★ 条件付き確率 / ゆき

【問題】トランプ５２枚をよく切ってから１枚引いてカードを確認してから元に戻すことを３回繰り返し、引いたカードを順にX、Y、Zとする。X、Y、Zの少なくとも１枚が１２(Queen)であるとき、X、Y、Zがすべて絵札である確率を求めよ。 この問題なのですが、 少なくとも１枚が１２である確率は、 余事象を用いて、１−(12/13)^3＝469/2197 … ?@ X、Y、Zが１２を含みすべて絵札である確率は、 余事象を考えて、(3/13)^3−(2/13)^3＝19/2197 … ?A よって、求める条件付き確率は、?A÷?@＝19/469 と考えたのですが、これであってますか？ 　分かる方、宜しくお願いいたします。 No.85956 - 2023/07/22(Sat) 17:19:56 ☆ Re: 条件付き確率 / X それで問題ないと思います。 No.85960 - 2023/07/22(Sat) 22:35:01

★ 隣接行列の求め方 / 浜田
Aを任意の5つの整数の集合とする。この関係(≧)（大なりイコール）について、A上に関係R＝'≧' をとすると、 (i) A上の隣接行列Rを求める。 上の問題の解き方のご教授よろしくお願いします。 No.85955 - 2023/07/22(Sat) 16:13:01

★ 同値類 / gh

整数の集合上でR = {(x,y): x,y∈ℤ, (x-y) は11の倍数}として定義される関係Rを考えよ。 (a) 関係Rについて、0の同値類を求めよ。 (b) 関係Rの同値類の数を計算せよ。 (a), (b)の解き方について教えてください。 (a)は、 {..., -22, -11, 0, 11, 22, ...} (b)は 同値類の数は、整数を11で割ったときの余りの数に相当する。 でいいですか？ No.85954 - 2023/07/22(Sat) 15:12:11 ☆ Re: 同値類 / IT (a)集合の表記方法としては、「外延的表記」と「内包的表記」があります。それぞれの意味は検索してください。 要素が無限個の集合を表す場合は、「内包的表記」が良いのではないでしょうか。 (b) 具体的な数を計算すべきでは？ 「解き方について教えて」とあるので、答えとしては計算結果を書かれるつもりかもしれませんが。 No.85966 - 2023/07/23(Sun) 10:36:07

★ (No Subject) / 軍
2つの長方形の中に点が2つある。 長方形Aの中にある点a,bは双方ともランダムな方向から力を加えられて動いている 長方形Bの中にある点aは同じように動いているが、点bは静止している AとBどちらの長方形の方が先に点同士がぶつかるか？ 点が長方形の枠に当たった時は跳ね返るものとする。 開始位置はランダム。大きさは想像に任せます(ただし、双方1秒以上ぶつからずに動けること) No.85952 - 2023/07/22(Sat) 12:06:31 ☆ Re: / らすかる 開始位置や力の方向がランダムならば点どうしがぶつかる確率は0なので、 「どちらもぶつからない」と思います。 No.85965 - 2023/07/23(Sun) 02:15:56

★ 順列の問題 / 高校２年
英単語sunriseを構成するすべての文字を並べてできる順列のうち、両端が母音であるものは何通りか。 という問題です。答えは360です。 No.85949 - 2023/07/22(Sat) 07:38:44 ☆ Re: 順列の問題 / IT 母音はどれとどれで何種ありますか？ 左端と右端の母音の並べ方は何通りありますか？ それぞれについて、残りの5個の文字の並べ方が何通りあるか数えます。 sが２つあることに注意してください。 No.85951 - 2023/07/22(Sat) 08:49:46

★ 算数 / ぽん太
書いている意味が分かりません。 教えて下さい。 No.85948 - 2023/07/22(Sat) 01:43:33 ☆ Re: 算数 / ヨッシー 問題文からしてわからないということでしょうか？ 問題文、左の解答、右の別解 少しでもわかる部分はありますか？ No.85959 - 2023/07/22(Sat) 22:15:28

★ 大学　微分方程式　ラプラス変換 / もみじ

こんばんは、理系大学3年です。 ラプラス変換を習ってないのに課題に出てしまい、困っています。どうかよろしくお願いします。ネットの解説見ながら私なりにあがいたものもお乗せいたします。 講義の資料は以下のとおりです。 https://60.gigafile.nu/0726-cf9a3d0d5c60d51832e2f6093c4e24dc1 No.85943 - 2023/07/21(Fri) 21:23:22 ☆ Re: 大学　微分方程式　ラプラス変換 / もみじ こちらが私なりにあがいた答案になります。 No.85944 - 2023/07/21(Fri) 21:25:03 ☆ Re: 大学　微分方程式　ラプラス変換 / X α(t),β(t)のラプラス変換をそれぞれA(s),B(s)とすると、 (2)(3)から sA(s)=b{a/s-A(s)} (2)' sB(s)=b{A(s)-B(s)} (3)' (2)'から A(s)=ab/{s(s+b)} これを(3)'に代入して (s+b)B(s)=(ab^2)/{s(s+b)} ∴B(s)=(ab^2)/{s(s+b)^2} (4) (4)を部分分数分解して B(s)=X/s+Y/(s+b)+Z/(s+b)^2 (X,Y,Zは定数) となったとすると B(s)={X(s+b)^2+Ys(s+b)+sZ}/{s(s+b)^2} B(s)={(X+Y)s^2+(2bX+bY+Z)s+Xb^2}/{s(s+b)^2} (4)' (4)(4)'の係数を比較して X+Y=0 (A) 2bX+bY+Z=0 (B) Xb^2=ab^2 (C) (A)(B)(C)を連立して解き (X,Y,Z)=(a,-a,-ab) ∴B(s)=a/s-a/(s+b)+ab^2/(s+b)^2 これの逆ラプラス変換を取ると β(t)=a-ae^(-bt)+(ab^2){e^(-bt)}*e^(-bt) (但し、*は合成積) ここで {e^(-bt)}*e^(-bt)=∫[τ:0→t]{e^(-bτ)}{e^{-b(t-τ)}}dτ =te^(-bt) よって β(t)=a-ae^(-bt)+(ab^2)te^(-bt) No.85945 - 2023/07/21(Fri) 23:08:53

★ 高校入試問題 / かほり
(3)のみ解説をお願いできれば有難いです。 答・・・ 2-√3 よろしくお願い致します。 No.85939 - 2023/07/21(Fri) 13:12:44 ☆ Re: 高校入試問題 / 関数電卓 (3) 図のように Q を定め，AQ＝x, QB＝y とすると 　x＋y＝2 …<1>, PQ＝y＝x/√3 …<2> <1><2>を解いて y＝√3−1。このとき，PA＝2y＝2(√3−1) 　CP＝CA−PA＝√3−2(√3−1)＝2−√3 No.85940 - 2023/07/21(Fri) 16:17:11 ☆ Re: 高校入試問題 / かほり どうもご丁寧にありがとうございます。 そこに補助線を引くのですね。 勉強になりました。 No.85947 - 2023/07/22(Sat) 00:11:48

★ 相加平均相乗平均です / りお

相加平均相乗平均の証明について n＝kー1の時、なぜakの式がこうなるのかわかりません No.85931 - 2023/07/21(Fri) 08:28:35 ☆ Re: 相加平均相乗平均です / りお akはakー1の誤りでしょうか？ No.85932 - 2023/07/21(Fri) 08:30:21 ☆ Re: 相加平均相乗平均です / nacky ak をそのように置いてその前の仮定を用いると n=k-1 の場合が証明できるということです。 仮定では k 個の正の整数 a1,a2,...,ak に対して (a1+a2+...+ak)/k>=(a1a2...ak)^(1/k) が成り立つことを仮定しています。ここで ak は正の数なら何でもいいので ak=(a1+a2+...+a[k-1])/(k-1) を代入すると n=k-1 のときの相加平均と相乗平均の関係が出てくるということです。 その前の(a)のところでは n=2 の場合の相加平均と相乗平均の関係が成り立つのでそれを (a1+a2+...+ak)/k と (a[k+1]+a[k+2]+...+a[2k])/k に使っていますね。それと同じようなことをしています。 No.85933 - 2023/07/21(Fri) 08:59:57 ☆ Re: 相加平均相乗平均です / りお ak＝a1＋a2＋…ak /kではないのでしょうか？ No.85934 - 2023/07/21(Fri) 09:27:45 ☆ Re: 相加平均相乗平均です / りお akの部分がak−1ではないのはなぜでしょうか？ No.85935 - 2023/07/21(Fri) 09:30:47 ☆ Re: 相加平均相乗平均です / りお 本来はak−1＝a1＋a2‥ak−1/kー1だが、あえてak＝a1＋a2‥ak−1/kー1と置いたということでしょうか？ No.85936 - 2023/07/21(Fri) 10:13:46 ☆ Re: 相加平均相乗平均です / ast 違います ("本来" も "敢えて" も間違い). (b) は k-1 個の数 a[1],…,a[k-1] に対する関係式 (☆) を示す場面なので a[1],…,a[k-1] だけが (自由な値をとる) 既知の数であることに留意すべきです. ## 何が仮定 (既知のもの) で何が結論 (証明すべきもの) なのかちゃんと区別できないと ## (とくに数学的帰納法では仮定と結論がよく似た形をしているので) まともに議論を追うことは ## できないと思いますよ. それで上の方も仰っている通り, そこに新たな数 a[k] を (既知の a[1],…,a[k-1] から与えられる新しい値を持つものとして) 加えて考えるとき, "k 個の数 a_1,…,a[k-1], a[k] に対する関係式 (☆) は既知" と仮定しているので, それら k 個の数に対してはその仮定を適用できる, という話です. だから, 左辺が a[k], 右辺には a[1],…,a[k-1] (と k-1) だけが現れているのは必然で, それ自体が「本来」あるべきもので, まったく「敢えて」などではないことがわかるはずです. # 結局「新たな数 a[k] を a_1,…,a[k-1] から与えられる新しい値を持つものとして加え」るときに # 証明に都合がいい値がたまたま (a[1]+…+a[k-1])/(k-1) だったのでそれを a[k] と書いたというだけ ## むしろ a[k] などと書かないで "a[1],…,a[k-1],(a[1]+…+a[k-1])/(k-1) に対し" と述べたほうが ## (それで初学者が混乱しないというのであれば) 適切とまで言い切ってもいい可能性すらある. No.85938 - 2023/07/21(Fri) 13:03:02 ☆ Re: 相加平均相乗平均です / 黄桃 普通の？数学的帰納法と異なり、行き過ぎて戻る、という証明の構造を理解できてないのでしょう。 証明が分かりにくい場合は、具体的な値を代入してどうなるか考えた方がいいです。 この場合であれば、n=3 の場合はどうなるのだろう？と当てはめてみることです。 (b)にn=3の場合を考えれば、k=4 であり、(b)はk=4 の場合から n=k-1=3 の場合を示しているとなります。 なので、ak=a4=(a1+a2+a3)/3 で間違いありません。 では k=4の場合は（n=3の場合を示してないのに）なぜ正しいといえるかといえば、 n=4の場合は(a)により(n=4=2k, k=2。k=2の場合は証明済)示しているのです。 n=3 より大きな4の場合に先に証明しているのがポイントです。 では、n=2,3,4が正しい時、n=5 の場合はどういえるか、も考えてみましょう。 いろんな見方ができますが、例えば、n=4 の場合から(a)によりn=8 の場合が言えて、(b)により、n=8の場合からn=7の場合がいえます。 n=7がいえると(b)によりn=6 の場合が言えて、n=6がいえると(b)により n=5 の場合もいえる、ということです。 あるいは、n=3が言えたのであれば、(a)よりn=6の場合も言えて、(b)によりn=6が正しいのでn=5も正しい、といえる、といってもいいです。 一般のn の場合も同様で、道のりはいろいろありますが、例えば、次のような仕掛けになっています： 1. (a)により、k>1 の場合に正しければ、2k(>k) の場合にも正しいので k=2の場合から(a)を繰り返せば、いつかはnより大きな数mで正しいといえる 2. nより大きな場合の m について正しいといえれば、(b)を繰り返すと m,m-1,m-2,... についても正しいといえるので、nの場合にも正しい だから、(a),(b)を示せばすべての自然数nについていえたことになる。 No.85950 - 2023/07/22(Sat) 07:39:40

★ (No Subject) / gta

エクセルで、33の27乗の答え (99971538734896047460249499950752967950177です) を表示させたいのですが、=(33)^(27)と入力しても、16桁以降は0になってしまいます。文字列とするやり方もうまくいきません。 表示方法があれば教えてください。 No.85925 - 2023/07/20(Thu) 22:03:07 ☆ Re: / らすかる 多倍長整数演算のアドインを入れるのが簡単だと思いますが、 もしアドインなど入れずに計算するなら、例えば (1) A1に 0 B1に 0 C1に 0 D1に 33 E1に =10^11 A2に =MOD(A1*33+QUOTIENT(B1*33+QUOTIENT(C1*33+QUOTIENT(D1*33,$E$1),$E$1),$E$1),$E$1) B2に =MOD(B1*33+QUOTIENT(C1*33+QUOTIENT(D1*33,$E$1),$E$1),$E$1) C2に =MOD(C1*33+QUOTIENT(D1*33,$E$1),$E$1) D2に =MOD(D1*33,$E$1) をそれぞれ入力する (2) A2..D2を範囲指定して右下の小さい四角を下方向にドラッグしてA27..D27までにコピーする (3) A28に =TEXT(A27,"@") B28に =TEXT(B27,"00000000000") をそれぞれ入力する (4) B28の内容をC28,D28にコピーする (5) A29に =CONCATENATE(A28,B28,C28,D28) を入力すると A29が33^27の文字列になります。 No.85926 - 2023/07/21(Fri) 02:42:36 ☆ Re: / gta おかげさまで解くことができました。 (46)^(23)の場合はどう入力したら良いでしょうか。 よろしくお願いします。 No.85941 - 2023/07/21(Fri) 17:15:28 ☆ Re: / らすかる 33を全部46に置き換えて、(2)でコピーする行を4行減らせば求まると思います。 （(3)以降の行の28,29は24,25に変わる） No.85942 - 2023/07/21(Fri) 17:31:44

★ 平面ベクトル / 山田山

α,βのなす角が円の接点でありますが、なぜそうなるのか分かりません。回答お願いします。 No.85923 - 2023/07/20(Thu) 19:52:14 ☆ Re: 平面ベクトル / ヨッシー 質問文をもう一度吟味してください。 α、βはそれぞれ角度であり、さらにその「なす角」というのは 想像つきません。 「なす角」は線と線、線と面、面と面に対して使う言葉です。 さらにそれが「円の接点」というのもわかりません。 100^100歩ほど譲って、良心的に解釈すると 　α、βがそれぞれ、最大、最小となるのは 　ＯＡ，ＯＢがそれぞれ円の接線になるときですが、 　それはなぜですか？ と書きたかったのでしょうか？ もちろん違うかもしれません。 No.85929 - 2023/07/21(Fri) 07:28:05 ☆ Re: 平面ベクトル / 山田山 回答ありがとうございます。そしてこのような不十分な質問で回答者様を不快にさせてしまった事、お詫びします。 質問の要旨については回答者様の良心に基づいた解釈と同じです。 大変失礼を承知ですが、もう一度回答して頂きたく思います。 No.85937 - 2023/07/21(Fri) 11:25:34 ☆ Re: 平面ベクトル / ヨッシー ＯＡが接線になる状態(赤線)よりも、αが大きくなると(青線) 円と離れて、点Ａが存在しないからです。 No.85958 - 2023/07/22(Sat) 22:08:15

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