(1) x^4-2(a+b)x^2+(a-b)^2=0の実数解をすべて求めよ(ただしa>b>0)
という誘導の次に、((1)は複号任意の±(sqrt(a)±sqrt(b))で合っていますでしょうか？)
(2)sqrt(4+sqrt(13))*sqrt(5+2sqrt(3)) - sqrt(5+sqrt(13))*sqrt(4+sqrt(3)) を計算せよ
という問題が出されました。どのように誘導に乗ればよいでしょうか？
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No.84944 - 2023/02/16(Thu) 16:24:00
| ☆ Re: 誘導にのれません / らすかる | | | √(4+√13)√(5+2√3)-√(5+√13)√(4+√3)
=√{(4+√13)(5+2√3)}-√{(5+√13)(4+√3)}
a=(4+√13)(5+2√3)=20+8√3+5√13+2√39,
b=(5+√13)(4+√3)=20+5√3+4√13+√39
とすれば
a+b=40+13√3+9√13+3√39=(13+3√13)(3+√3)+1
a-b=3√3+√13+√39
(a-b)^2=79+26√3+18√13+6√39=2(13+3√13)(3+√3)+1
となり、式の値は(1)の方程式の解。
（a-b=3√3+√13+√39＞0からa＞b＞0も満たしている）
ここでt=(13+3√13)(3+√3)とおくと
a+b=t+1, (a-b)^2=2t+1
(1)の方程式は
x^4-2(t+1)x^2+(2t+1)=0
(x+1)(x-1)(x^2-2t-1)=0
(x+1)(x-1)(x^2-(a-b)^2)=0
(x+1)(x-1)(x+a-b)(x-a+b)=0
∴x=-1,1,b-a,a-b
a＞1,b＞1から√a+√b＞2
a-b=(√a+√b)(√a-√b)＞√a-√b
a＞bから√a-√b＞0
よって-1＜0＜√a-√b, b-a＜0＜√a-√b, √a-√b＜a-bから
式の値は-1,b-a,a-bではないので、√a-√b=1
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No.84949 - 2023/02/16(Thu) 18:04:05 |
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