ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数列の特性方程式 / 蘭

数列の特性方程式で、

a n+1=p an+qを α=pα+qとおける理由を教えてください。

直感では、項a nと項a n+1 は違うので、これで解ける理由がわかりません。
よろしくお願いします！

No.55977 - 2019/01/07(Mon) 20:52:51

☆ Re: 数列の特性方程式 / s

anとan+1は違いますが、n大での極限値があるとしたらalpha=palpha+qとなるはずですね。

その極限値との差の数列を新しい数列bnとすると、つまりbn+1=an+1-alpha, bn=an-alphaとするとbn+1=pbnという定数項のない簡単な関係になって解きやすいということです。

No.55978 - 2019/01/07(Mon) 22:05:29

☆ Re: 数列の特性方程式 / GandB

　ヨッシーさんの解説が
http://yosshy.sansu.org/tokusei.htm
にある。

No.55998 - 2019/01/08(Tue) 19:40:55

★ 線形代数 / 無敵

（1）の問題なのですが
どこで間違えているかわかりません

どこで間違えているか教えてください
よろしくお願いします

No.55975 - 2019/01/07(Mon) 20:06:51

☆ Re: 線形代数 / noname

まず、対角化できないか確かめました？

No.55991 - 2019/01/08(Tue) 14:24:09

☆ Re: 線形代数 / GandB

　間違えてはいない。それでもいっこうにかまわない。

No.55995 - 2019/01/08(Tue) 16:48:30

☆ Re: 線形代数 / noname

一度その行列を使って対角化してみて、答えの方で対角化したときと何が違うかなど観察するとよいと思います。

No.55996 - 2019/01/08(Tue) 17:38:11

★ 微積 / 微積

この積分の問題がわかりません

少し多いですがお願いします。

答えは紙の方に記載しておきました。

No.55974 - 2019/01/07(Mon) 19:24:07

☆ Re: 微積 / noname

とりあえず(1)は部分積分ができれば普通にできる。(2)もただの置換積分。

No.56008 - 2019/01/09(Wed) 16:37:16

☆ Re: 微積 / noname

(3)は積分領域が変数に依存しない長方形の面積分なので、2回積分して終わり。(4)～(6)は領域が変数に依存するから、yを固定したときのxを表して、それ使って区間を作って2回積分。
まだ平面上の面積分だから簡単なはず。
正直、これができてないと単位が危ないレベル。

No.56010 - 2019/01/09(Wed) 17:07:47

☆ Re: 微積 / noname

ちなみに最初の番号なしのは、頭の1/nを無理やり(　)^(1/n)の中に入れてから、対数とって区分求積。

No.56012 - 2019/01/09(Wed) 17:22:31

★ 数列計算。 / 蘭

この写真みてください！！

この下線をひいている、式変形のところが分かりません。
Σ(ak+1-ak)がαn+1-a1になる理由かわからないんです！！

説明おねがいします！

No.55971 - 2019/01/07(Mon) 18:54:48

☆ Re: 数列計算。 / 蘭

写真です汗

No.55972 - 2019/01/07(Mon) 18:55:12

☆ Re: 数列計算。 / X

Σ[k=1～n](a[k+1]-a[k])=(a[2]-a[1])+(a[3]-a[2])+(a[4]-a[3])+…+(a[n+1]-a[n])
この式の最初の()内のa[2]と二番目の()内のa[2]は
相殺されます。
同様に二番目の()内のa[3]と三番目の()内のa[3]も
相殺されます。
以下同じ事を繰り返すと結局、a[2],…,a[n]は
全て相殺されます。

注)
教科書で階差数列の項目を復習しましょう。

No.55973 - 2019/01/07(Mon) 19:20:22

☆ Re: 数列計算。 / 蘭

ありがとうございます！理解できました！

No.55976 - 2019/01/07(Mon) 20:25:51

★ 高2 数?U / a

0<=θ<=2πで定義された関数f(θ)=8sin^3θ－3cos2θ－12sinθ＋7の最大値、最小値と、そのときのθの値をそれぞれ求めよ。

という問題で写真に赤線で引いたsinθ＝tとおくと、0<=θ<=2πであるから－1<=t<=1 の部分がどうしてこうなるのか分からないので教えていただきたいです。

No.55962 - 2019/01/07(Mon) 01:11:04

☆ Re: 高2 数?U / らすかる

sinθの値域が-1～1であることはご存じないですか？

No.55965 - 2019/01/07(Mon) 02:38:00

★ (No Subject) / k

高2数b 数列の問題です。
この問題の項数の出し方が分かりません。
どなたか教えてください。

No.55960 - 2019/01/07(Mon) 00:48:14

☆ Re: / らすかる

nに小さい値を代入してみればわかります。
n=2のとき末項が2n+1=5なので数列は1,3,5、よって項数は3
n=3のとき末項が2n+1=7なので数列は1,3,5,7、よって項数は4
n=4のとき末項が2n+1=9なので数列は1,3,5,7,9、よって項数は5
のようになっていますので、項数はn+1ですね。

No.55961 - 2019/01/07(Mon) 01:00:20

☆ Re: / k

> nに小さい値を代入してみればわかります。
> n=2のとき末項が2n+1=5なので数列は1,3,5、よって項数は3
> n=3のとき末項が2n+1=7なので数列は1,3,5,7、よって項数は4
> n=4のとき末項が2n+1=9なので数列は1,3,5,7,9、よって項数は5
> のようになっていますので、項数はn+1ですね。

なるほど、無事解決できました。ありがとうごさいます。

No.55963 - 2019/01/07(Mon) 01:24:19

★ 複素数 / カナリア

異なる3つの複素数α,β,γの間に、等式2γ-(1+√3i)β=(1-√3i)αが成り立つとき、3点A(α),B(β),C(γ)を頂点とするΔABCの3つの角の大きさを求めよ。
2γ=(1-√3i)α+(1+√3i)β
2(γ-β)=(1-√3i)α-(1-√3i)β
γ-β/α-β=1/2-√3/2i=cos(-π/3)+isin(-π/3)
arg γ-β/α-β=-π/3(∠αβγ=-π/3) より
∠ABC=π/3 ←これっていいですかね？
|γ-β/α-β|=1 |γ-β|=|α-β|よりBC=BA
したがって、ΔABCは正三角形と相似であるため
∠A=∠B=∠C=π/3

No.55958 - 2019/01/06(Sun) 22:18:27

☆ Re: 複素数 / カナリア

すいません、↑の添削をお願いしたいです

No.55959 - 2019/01/06(Sun) 23:49:48

★ 線形代数 / 無敵

写真が切れててすみません

この問題は計算はできるのですがなにをしているのかわかりません

詳しく教えてください

No.55956 - 2019/01/06(Sun) 16:29:03

☆ Re: 線形代数 / GandB

　ハンドルを変えて同じレベルの質問ばっかりしてるなあ・・・

> なにをしているのかわかりません
　ネタなのかwww
　問題文に

　　[R]^3 の基底 { a1↑,a2↑, a3↑ } を正規直交基底に変えろ

と書いてあるではないか。正規直交基底に直すと、いろいろいいことがあるのだ（笑）。

　a1↑,a2↑, a3↑と直交化した v1↑,v2↑, v3↑を実際に描けばよい。

No.55957 - 2019/01/06(Sun) 18:57:01

★ (No Subject) / こういち

tan159°は三角比の値をどう求めるのですか？

No.55944 - 2019/01/06(Sun) 00:00:34

☆ Re: / らすかる

tan(180°-θ)=-tanθなので
tan159°=tan(180°-21°)=-tan21°です。
-tan21°をどのように求めるかは、
・√などを使った厳密値を求めたいのか、それとも三角関数表などで
　小数の近似値を求めたいのか
・求めるためにどのような知識を使ってよいのか
により大幅に変わりますので、詳しい条件がわからないと
答えようがありません。

No.55945 - 2019/01/06(Sun) 03:00:29

★ 線形代数 / オッパッピー

問1の（1）の答えが何度やってもあいません

一度解いてもらいたいです

よろしくお願いします。

No.55937 - 2019/01/05(Sat) 18:39:17

☆ Re: 線形代数 / GandB

　ネタと思うが、高校数学レベルなのでまじめに応えよう（笑）。
┌　　 ┐┌　 ┐ 　┌　　 ┐ 　┌　┐
│-2　5││-1 │=│ 2+15│=│17│
│ 7　3││ 3 │ 　│-7+ 9│ │ 2│
└　　 ┘└　 ┘ 　└　　 ┘ 　└　┘

No.55938 - 2019/01/05(Sat) 19:50:12

★ 数列について。 / コルム

この問題の解答を詳しく教えていただきたいのです。教えていただけると幸いです。次のURL です。
http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs.cgi?mode=res&namber=48948&type=0&space=0&mo=48948&page=&In=1&no=0#F

No.55936 - 2019/01/05(Sat) 17:48:57

☆ Re: 数列について。 / GandB

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10897132.html
にも回答があるみたいだけど（笑）。
　論理積とか数学的帰納法について知ってるの？

No.55939 - 2019/01/05(Sat) 20:00:40

☆ Re: 数列について。 / コルム

はい。知っています。それを使うのですか？教えていただけると幸いです。もう少し噛み砕いて、教えていただけると幸いです。

No.55940 - 2019/01/05(Sat) 20:35:47

★ 線形代数、斉藤正彦 / 初学者

画像の不等式の証明が良くわかりません。（斉藤正彦、線形代数ｐ２１３）
どなたかご教授ください。

No.55935 - 2019/01/05(Sat) 16:49:33

☆ Re: 線形代数、斉藤正彦 / 初学者

解決できました
ありがとうございました。

No.55999 - 2019/01/09(Wed) 01:14:43

★ 線形代数 / かなりわかりません

問題が切れててすみません

写真の２つの問題はなぜ解き方が違うのでしょうか？

また1組の基底を求めるとはどういうことなのでしょうか？
ほかの基底はどのようにまとめれば良いのでしょうか？

教科書や色々な参考書をみてもわかりません

詳しく教えてください

No.55931 - 2019/01/05(Sat) 14:44:51

☆ Re: 線形代数 / noname

まず、基底って何か分かってますか。
それが答えられないうちは3次元はまだ早いように思います。
2次元の場合を復習することをおすすめします。数Bのベクトルで散々やってるはずです。平面上の全てのベクトルは一次独立な2つのベクトルa↑、b↑を用いて表せることや、一次独立でないと何がまずいのかなど習ったでしょう。

No.56015 - 2019/01/09(Wed) 19:40:43

★ 線形代数 / 僕

2番の問題の解き方がわかりません

詳しく教えてください

No.55930 - 2019/01/05(Sat) 14:13:49

☆ Re: 線形代数 / IT

問題の意味は分かりますか？問題の意味が分かれば　何を示せば良いかがわかると思います。
まず<a[1],a[2]> が何を意味するか分かりますか？　分からなければテキストで確認してください。

No.55934 - 2019/01/05(Sat) 15:11:50

★ (No Subject) / キマイラ

写真の5問がわかりません

詳しく教えてください

答えは赤の字で書いておきました

よろしくお願いします。

No.55928 - 2019/01/05(Sat) 13:34:58

☆ Re: / X

上段の(1)
(与式)=[(1/2)arctan(x/2)][0→∞]
=π/4
上段の(2)
(与式)=[(1/2)e^(2x)][0→∞]
=1/2

中段の問題)
グラフによる面積比較を使います。
今、kを自然数として
点(k,0),(k,1/(k+1)^2),(k+1,1/(k+1)^2),(k+1,0)
を頂点とする長方形の面積と
曲線y=1/x^2,直線x=k,x=k+1及びx軸
で囲まれた図形の面積を比較することにより
1/(k+1)^2＜∫[k→k+1]dx/x^2
∴1/(k+1)^2＜1/k-1/(k+1)
となるので、n≧2なる自然数nに対し
Σ[k=1～n-1]1/(k+1)^2＜Σ[k=1～n-1]{1/k-1/(k+1)}
これより
Σ[k=2～n]1/k^2＜1-1/n
(左辺はk+1を改めてkと置いた)
Σ[k=1～n]1/k^2＜2-1/n
後は両辺のn→∞の極限を取ります。

下段の(1)
与式より
y'/y=k/x
両辺xで積分すると
log|y|=klog|x|+c
(cは積分定数)
∴|y|=(e^c)|x|^k
e^c=Dと置くと
|y|=D|x|^k (A)
(D＞0)
ここで問題の微分方程式は
y=0
のときも成立するので
(A)はD=0のときも成立。
よって解は
|y|=D|x|^k (B)
(D≧0)
更に(B)の両辺の絶対値を外すと
y=±Dx^k
つまり右辺のx^kの係数は任意の
実数を取れることになるので
求める一般解は
y=Cx^k
(Cは任意定数)

下段の(2)
y'+y/x=0
を下段の(1)と同じ方針で解くと
y=D/x(Dは任意定数)
よって問題の微分方程式((A)とします)
の一般解を
y=u(x)/x (B)
と置いて(A)に代入すると
u'(x)/x=1
これより
u'(x)=x
u(x)=(1/2)x^2+C
(Cは任意定数)
これを(B)に代入して、求める一般解は
y=(1/2)x+C/x
(Cは任意定数)

No.55942 - 2019/01/05(Sat) 22:22:31

★ 数列 / キマイラ

この数列の極限値の求め方がわかりません

おそらく区分求積法を使うと思います

途中式も含めて教えてもらいたいです。

よろしくお願いします。

No.55926 - 2019/01/05(Sat) 13:01:51

☆ Re: 数列 / X

(1)
求める極限値をIとすると
I=lim[n→∞]Σ[k=1～n]1/(n+k)
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1～n]1/(1+k/n)
=∫[0→1]dx/(1+x) (∵)区分求積法による
=log2

(2)
求める極限値をIとすると
logI=lim[n→∞]log{(1/n)(n!)^(1/n)}
=lim[n→∞]log{{(1/n^n)(n!)}^(1/n)}
=lim[n→∞](1/n)log{(n!)/n^n}
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1～n]log(k/n)
=∫[0→1]logxdx (∵)区分求積法による
=-1 (注)lim[x→+0]xlogx=0 (証明は省略します)
∴I=1/e

(3)
求める極限値をIとすると
I=lim[n→∞]Σ[k=0～n-1]1/√(n^2+k^2)
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=0～n-1]1/√{1+(k/n)^2}
=∫[0→1]dx/√(1+x^2) (∵)区分求積法による
後はこの定積分を計算します。
(ここからはご自分でどうぞ。)

No.55927 - 2019/01/05(Sat) 13:20:08