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★ 積分 / ゴンゴン
（4）の問題の解き方がわかりません

途中式も含めて教えてもらいたいです。

答えはすぐ上に書いておきました

また問題は不定積分をする問題です

よろしくお願いします。
No.55922 - 2019/01/05(Sat) 11:54:22
☆ Re: 積分 / らすかる
∫sinx・log|sinx|dx
=(-cosx)log|sinx| - ∫(-cosx)・cosx/sinx dx
=(-cosx)log|sinx| + ∫(cosx)^2/sinx dx
=(-cosx)log|sinx| + ∫(sinx)(cosx)^2/(sinx)^2 dx
=(-cosx)log|sinx| + ∫(sinx)(cosx)^2/{1-(cosx)^2} dx
=(-cosx)log|sinx| + ∫-t^2/(1-t^2) dt　（cosx=tとおいた）
=(-cosx)log|sinx| + ∫1-1/(1-t)(1+t) dt
=(-cosx)log|sinx| + ∫1-(1/2){1/(1+t)+1/(1-t)} dt
=(-cosx)log|sinx| + t - (1/2){log|1+t|-log|1-t|} + C
=(-cosx)log|sinx| + t + (1/2)log|(1-t)/(1+t)| + C
=(-cosx)log|sinx| + cosx + (1/2)log{(1-cosx)/(1+cosx)} + C
となります。
No.55925 - 2019/01/05(Sat) 12:45:15
★ 重複順列 / Mahalo
(3)と(4)は、重複順列の公式が使えませんか？
どのような時使えないか簡単に説明して頂けると嬉しいです。
No.55921 - 2019/01/05(Sat) 11:34:33
☆ Re: 重複順列 / らすかる
使えます。
「使えるかどうか」という意味では、
どのような問題でも使える可能性がありますので
「この問題では使えない」と断言するのは難しいと思いますが、
少なくとも「重複」しない配り方の場合は
使う価値がないと思います。
No.55924 - 2019/01/05(Sat) 12:20:25
★ (1)です / こういち
sin(90ﾟ＋θ)＝cosθになる理由を教えてください。
x＝cosθはわかりました。
No.55908 - 2019/01/05(Sat) 01:47:11
☆ Re: (1)です / noname
図の中に合同な三角形があるので探しましょう。
No.55915 - 2019/01/05(Sat) 08:32:46
☆ Re: (1)です / こういち
…見つけられます。
No.55941 - 2019/01/05(Sat) 22:01:37
☆ Re: (1)です / らすかる
sin(90°+θ)は Qからx軸に下ろした垂線の長さ
cosθは Pからy軸に下ろした垂線の長さ
なので、三角形の合同から等しいことがわかります。
No.55943 - 2019/01/05(Sat) 23:00:33
☆ Re: (1)です / こういち
sin(90°+θ)は Qからx軸に下ろした垂線の長さ
というのが飲み込めません。
もう少し詳しく教えて頂けませんか？
No.55946 - 2019/01/06(Sun) 03:24:16
☆ Re: (1)です / らすかる
sinθというのは、点(1,0)を原点中心にθ左回転した点のy座標の値です。
点(1,0)を原点中心に90°+θ左回転した点は点Qですから、
sin(90°+θ)は点Qのy座標の値となります。
点Qのy座標の値は、点Qからx軸に下ろした垂線の長さに等しいですね。
No.55947 - 2019/01/06(Sun) 03:44:49
☆ Re: (1)です / こういち
本当に何度も申し訳ないのですが
sin(90°+θ)は点Qのy座標の値というのがわからないです。
sin(90°+θ)は-sinθですよね………？
論点がずれてきていると思いますがどうかもう少し教えてください。
No.55948 - 2019/01/06(Sun) 04:45:37
☆ Re: (1)です / らすかる
sin(90°+θ)は-sinθではありませんが、
「sinθというのは、点(1,0)を原点中心にθ左回転した点のy座標の値です。」
が納得できて
「sin(90°+θ)は点Qのy座標の値」
が納得できないということですか？
No.55949 - 2019/01/06(Sun) 05:29:56
☆ Re: (1)です / こういち
はい。そうです…
No.55950 - 2019/01/06(Sun) 05:31:31
☆ Re: (1)です / らすかる
「sinθというのは、点(1,0)を原点中心にθ左回転した点のy座標の値です。」
はθに何を代入しても成り立つのですから、θに90°+θを代入すれば
「sin(90°+θ)というのは、点(1,0)を原点中心に(90°+θ)左回転した点のy座標の値です。」
となりますね。
「点(1,0)を原点中心に(90°+θ)左回転した点」は点Qですから、結局
「sin(90°+θ)は、点Qのy座標の値」
ということになります。
No.55951 - 2019/01/06(Sun) 05:52:31
★ (No Subject) / 数
わかりません。教えてください
No.55902 - 2019/01/05(Sat) 01:18:51
☆ Re: / X
問題の方程式から
(x^2+3x+2)+i(-2x^2+2x+12)=0
ここでxは実数なので複素数の相等の定義により
x^2+3x+2=0 (A)
-2x^2+2x+12=0 (B)
(A)(B)を連立して解き
x=-2
となります。
No.55907 - 2019/01/05(Sat) 01:32:01
★ (No Subject) / こういち
三角形の内角の和がπだと聞いたのですが、よくわからないです。
180度ではないのですか？
No.55899 - 2019/01/04(Fri) 23:18:08
☆ Re: / X
これも三角関数を学習する段階で理解できることです。
それまで待ちましょう。
No.55906 - 2019/01/05(Sat) 01:30:04
☆ Re: / noname
角度の表し方には円を360等分する「度数法」以外にもいくつか方法があって，
「弧度法」という角度の表し方では180°がπと表されます。
No.55914 - 2019/01/05(Sat) 08:30:32
☆ Re: / noname
弧度法は，
半径1の円について，長さが1の弧に対する中心角の大きさを1ラジアンと定めるものです。
(こうしておくと，半径がr倍になった半径rの円に対しては、長さがrの弧に対する中心角を1ラジアンと考えればよいことになります。)
ラジアンはradと書くこともありますが、普通は単位を書きません。
例えば、半径1の円の円周は1×2×π=2π，
180°は半円の弧の長さに対する中心角なので，2π×(1/2)=π
90°はさらに弧の長さを半分にした1/4円の弧に対する中心角なので，
π×(1/2)=π/2と表せます。
また，
60°は円周全体を6等分した弧に対する中心角なので，
2π×(1/6)=π/3
と表せます。
No.55919 - 2019/01/05(Sat) 09:39:57
★ 連投ごめんなさい / こういち
0度<a<90度 0度<b<90度のとき、
sin a=cosb ( a+b=90度)ということであっていますか？
No.55896 - 2019/01/04(Fri) 22:34:35
☆ Re: 連投ごめんなさい / X
それで問題ありません。
No.55904 - 2019/01/05(Sat) 01:29:14
★ (No Subject) / こういち
sin30度＋sin30度は、sin60度でいいのですか？
ふつうに足し算して大丈夫でしょうか？
No.55894 - 2019/01/04(Fri) 22:19:58
☆ Re: / X
よろしくありません。

質問されているスレの内容から判断して
こういちさんは三角関数(三角比ではありません)
を学習されていないと思われます。
三角関数を学習すれば自ずと分かることですので
それまでは理由は脇に置いて、
普通に足し算はできない
とだけ頭に入れておいてください。
No.55903 - 2019/01/05(Sat) 01:28:44
★ (3) / こういち
このあと、どうすればいいですか？
tan55度tan35度+tan10度tan80度という問題をといています。
No.55891 - 2019/01/04(Fri) 22:08:34
☆ Re: (3) / 元中３
私もこの手の問題は苦手です。
数字が紛らわしいので、文字で置いて計算すると楽ですよ。
No.55893 - 2019/01/04(Fri) 22:14:09
☆ Re: (3) / こういち
ありがとうございます
なんだか心強いです
No.55895 - 2019/01/04(Fri) 22:20:57
★ (No Subject) / たけまる
おしえてくださいお願いします
No.55890 - 2019/01/04(Fri) 22:07:18
☆ Re: / らすかる
(1)
1-8C4/13C4=129/143
(2)
Dが当たる確率は5/13なので
求める条件付き確率は(5/13)/(129/143)=55/129
No.55909 - 2019/01/05(Sat) 01:52:06
★ (No Subject) / 高2です
分からないですおしえてください
No.55889 - 2019/01/04(Fri) 21:52:02
☆ Re: / 元中３
見づらいですが、解答例です。
No.55892 - 2019/01/04(Fri) 22:08:36
★ (No Subject) / 元中３
△ABCの重心、内心、外心をG,I,Oとして、△GIOが正三角形になるような△ABCは存在しますか？
No.55888 - 2019/01/04(Fri) 21:32:43
☆ Re: / らすかる
存在しません。
No.55905 - 2019/01/05(Sat) 01:29:52
☆ Re: / 元中３
証明するとしたら、どのような証明になりますか？
No.55918 - 2019/01/05(Sat) 09:36:19
☆ Re: / らすかる
辺の長さがa,b,cである三角形の内接円の半径をr、外接円の半径をRとすると
(内心と外心の距離)=√{R(R-2r)}
(外心と重心の距離)=√(9R^2-a^2-b^2-c^2)/3
R=abc/√{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
r=√{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/(4(a+b+c))}
ここまではネット検索で得た式ですので、
上式の証明を知りたい場合は検索して下さい。

上式からrR=abc/{2(a+b+c)}が得られます。そして
(内心と外心の距離)^2-(外心と重心の距離)^2
=R(R-2r)-(9R^2-a^2-b^2-c^2)/9
=(a^2+b^2+c^2)/9-2rR
=(a^2+b^2+c^2)/9-abc/(a+b+c)
={(2a+2b+c)(a-b)^2+(4a+c)(b-c)^2+(4b+c)(c-a)^2}/{18(a+b+c)}
≧0　（等号はa=b=cのとき）
となりますので、元の三角形が正三角形でなければ、必ず
(内心と外心の距離)＞(外心と重心の距離)
となります。

# 内心と重心の距離は
# √{a^3(b+c-a)+b^3(c+a-b)+c^3(a+b-c)+4{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}-5abc(a+b+c)}
# /{3(a+b+c)}
# だそうですので、もし興味があれば
# (内心と外心の距離)と(内心と重心の距離)の関係
# (外心と重心の距離)と(内心と重心の距離)の関係
# を調べてみて下さい。私は計算していません。
No.55923 - 2019/01/05(Sat) 12:08:58
☆ Re: / 元中３
ご丁寧に有難うございます。
非常に興味深い内容でした。私は座標平面上に△ABCを乗せて証明を試みましたが途中で諦めてしまいました。
他の距離の関係についても調べてみようと思います。
No.55953 - 2019/01/06(Sun) 12:51:51
★ (No Subject) / 受験
（5）の問題がわかりません
解答を作ってほしいです


答えは問題の横に書いておきました

よろしくおねがいします
No.55883 - 2019/01/04(Fri) 20:21:51
☆ Re: / らすかる
・問題が切れていて読めません
・(5)が二つありどちらかわかりません
・どちらの(5)にも横に答えが書いてあるようには見えません
No.55884 - 2019/01/04(Fri) 20:28:39
☆ Re: / 受験
すみません
（5）は一番上の問題です。
（5）というのも切れてしまってました

a.bが出てくる問題です。
No.55897 - 2019/01/04(Fri) 22:46:48
☆ Re: / らすかる
式だけでは何をすればいいのかわかりません。
No.55900 - 2019/01/04(Fri) 23:35:43
☆ Re: / noname
不定積分かなぁ。
高校で1/n(n+k)タイプしか習ってなくて一般の部分分数分解ができない手合いと予想。

∫{x/(x+a)(x+b)}dx

x/(x+a)(x+b)=p/(x+a)+q/(x+b)　(p,q:定数)とすると，
　　　　　　={p(x+b)+q(x+a)}/(x+a)(x+b)
　　　={(p+q)x+(bp+aq)}/(x+a)(x+b)
両辺を比較して，
p+q=1,bp+aq=0を満たすp,qを定める。
q=1-p
bp+a(1-p)=0
(a-b)p=a
a≠bよりp=a/(a-b)
q=1-{a/(a-b)}
={(a-b)-a}/(a-b)
=-b/(a-b)
よって，
x/(x+a)(x+b)={a/(a-b)}{1/(x+a)}-{b/(a-b)}{1/(x+b)}
={1/(a-b)}{a/(x+a)-b/(x+b)}
あとは積分
No.55916 - 2019/01/05(Sat) 08:54:03
☆ Re: / 受験
何度も何度もすみません

不定積分をしてほしいです。

よろしくお願いします。
No.55917 - 2019/01/05(Sat) 09:22:20
☆ Re: / noname
あとは項ごとに分けて∫(1/x)dx=log|x|+Cを利用するだけじゃぜ。
No.55920 - 2019/01/05(Sat) 10:01:59
★ (No Subject) / 高2です
こんばんは、教えてください
No.55882 - 2019/01/04(Fri) 20:16:48
☆ Re: / らすかる
2/(√3-1)=2(√3+1)/{(√3-1)(√3+1)}=2(√3+1)/2=√3+1
2＜√3+1＜3なのでa=2、b=√3+1-a=√3-1
(1)
a+b=√3+1、b=√3-1なので(a+b)b=(√3+1)(√3-1)=2
∴a^2+ab+b^2=a^2+(a+b)b=2^2+2=6
(2)
b=√3-1なのでb+1=√3
1/(a-b-1)-1/(a+b+1)
={(a+b+1)-(a-b-1)}/{(a-b-1)(a+b+1)}
=2(b+1)/{a^2-(b+1)^2}
=2√3/{2^2-(√3)^2}
=2√3
No.55885 - 2019/01/04(Fri) 20:35:27
★ (No Subject) / 初学者
作用素ノルム
作用素ノルムに関して、画像の（４）の不等式が成立することが示せません。
教えてください。
No.55881 - 2019/01/04(Fri) 20:04:44
☆ Re: / 初学者
解決できました。
ありがとうございました
No.55932 - 2019/01/05(Sat) 14:48:10
★ (No Subject) / 高2です
こんばんは
おしえてもらえないでしょうか
No.55880 - 2019/01/04(Fri) 19:57:07
☆ Re: / らすかる
(1)
判別式から
D=(a+3)^2-4a^2＞0
これを解いて -1＜a＜3
(2)
f(x)=x^2-(a+3)x+a^2の軸はx=(a+3)/2だが
(1)を満たすとき1＜(a+3)/2＜3なので軸はx=1より右にある。
よって(1)の条件にf(1)＞0を加えればよい。
f(1)=a^2-a-2=(a-2)(a+1)＞0からa＜-1,a＞2なので
求める範囲は(1)との共通部分の 2＜a＜3
No.55886 - 2019/01/04(Fri) 20:45:39
★ (No Subject) / まゆ
２番の関係式を求める問題でx^2ではなくyを消してしまうと、そこからは解けなくなってしまいますか？
やってみたのですが、x^2 をtとおいて

tの二次方程式に直して2つの+α -α解をもつ判別式、、、とやっていくと答えにはたどりつきませんでした。
(解答のせてます)
No.55879 - 2019/01/04(Fri) 19:42:04
☆ Re: / noname
どちらでおいてもできるはずですが。
tの2次方程式が「2つの+α -α解をもつ」という条件はおかしいです。それをやりたいなら"xの方程式が"「α，-αのみを解にもつ」でしょう。
No.55887 - 2019/01/04(Fri) 20:48:36
☆ Re: / まゆ
Ri^2>=ai-1/4になって、
ダイナリがついてしまいませんか？
No.55898 - 2019/01/04(Fri) 23:00:18
☆ Re: / らすかる
付きません。ちゃんと求まります。
No.55901 - 2019/01/04(Fri) 23:36:25
☆ Re: / まゆ

X^2=tの時点で　xは２つの解しかとらない→tは重解　　という考え方であってますか？

ここでtはゼロ以上という条件がでてくると思うのですが、そのまま判別式に持ち込んでいいのでしょうか？　
No.55910 - 2019/01/05(Sat) 01:55:39
☆ Re: / らすかる
> t^2の式は解が重解としてとかなければならないのでしょうか？
そんなに単純ではありません。

「x^4の式がちょうど2つの異なる実数解を持つ」
⇔「置き換えたt^2の式がt=0を解に持たず、t＞0である解をちょうど1個持つ」
です。
t=α(α＞0)が正の唯一解であれば、
（t=β(β＜0)という解を持つかどうかにかかわらず）
xの式の解はx=±√αの2解となりますね。
もしt=α,β(α＞0,β＞0)が解ならば
xの式はx=±√α,±√βの4解を持つことになります。
また、もしt=0が解であればxの解は奇数個になってしまいます。
No.55911 - 2019/01/05(Sat) 02:06:37
☆ Re: / まゆ
0より大きいという条件がある場合
そのまま判別式に持ち込んでもいいのでしょうか？
No.55912 - 2019/01/05(Sat) 02:16:52
☆ Re: / らすかる
tの式が0以下の解を持たないとわかっていれば、
「正の解がちょうど1つ」⇔「判別式＝0」
ですから、判別式で判断できますね。
No.55913 - 2019/01/05(Sat) 02:34:34
★ (No Subject) / 高2
おしえてください
No.55872 - 2019/01/04(Fri) 16:23:43
☆ Re: / ななもと
大雑把ですが答案です。
No.55876 - 2019/01/04(Fri) 17:51:15
☆ Re: / らすかる
-x^2+x+2-(-2x+a)=-x^2+3x+(2-a)で
D=3^2-4(-1)(2-a)=17-4a=0からa=17/4なので
y=-2x+6と平行な直線y=-2x+17/4はy=-x^2+x+2に接する。
-x^2+3x+(2-17/4)=(2x-3)^2/4=0から接点のx座標はx=3/2
y座標はy=-2x+17/4にx=3/2を代入してy=5/4なので接点は(3/2,5/4)
よってPが(3/2,5/4)のとき直線y=-2x+6に最も近くなる。
そしてPと直線2x+y-6=0との距離は、点と直線の距離の公式により
|3/2×2+5/4×1-6|/√(2^2+1^2)=7√5/20
従って答えは
ア (3/2,5/4)
イ 7√5/20
No.55878 - 2019/01/04(Fri) 18:43:35
★ (No Subject) / たけまる
お願いします。教えてください
No.55870 - 2019/01/04(Fri) 16:23:06
☆ Re: / らすかる
y=kx+(5-4k)=k(x-4)+5なのでx=4のときy=5
すなわちkの値にかかわらず常に点(4,5)を通る。
2式からyを消去して整理すると
(k^2+1)x^2+(-8k^2+10k)x+(16k^2-40k+24)=0
接する条件は
D/4=(-4k^2+5k)^2-(k^2+1)(16k^2-40k+24)=-15k^2+40k-24=0
これを解いて k=2(10±√10)/15
No.55877 - 2019/01/04(Fri) 18:27:17
★ (No Subject) / たけまる
こんにちは。これを教えてもらえますか
No.55869 - 2019/01/04(Fri) 16:22:34
☆ Re: / らすかる
C(1,3),D(5,7)とすると、条件からAC：CB=3：2、AB：BD=1：2なので
AC：CB：BD=3：2：10
従ってAC：CD=3：12=1：4なので
Aの座標は(1,3)-{(5,7)-(1,3)}/4=(0,2)
またAB：BD=1：2からBの座標は(0,2)+{(5,7)-(0,2)}/3=(5/3,11/3)
No.55875 - 2019/01/04(Fri) 16:53:57
★ (No Subject) / こんにちは
おしえてください
No.55868 - 2019/01/04(Fri) 16:04:36
☆ Re: / らすかる
√(x^2-2x+1)-√(x^2+4x+4)=√{(x-1)^2}-√{(x+2)^2}
=|x-1|-|x+2|
x＞1のときx-1＞0,x+2＞3＞0なので
|x-1|-|x+2|=(x-1)-(x+2)=-3
-2＜x＜1のときx-1＜0,x+2＞0なので
|x-1|-|x+2|=-(x-1)-(x+2)=-2x-1
No.55871 - 2019/01/04(Fri) 16:23:19
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