ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 回転行列による、加法定理の導出。 / fygar

こんばんは。
回転行列で、sinとcosの加法定理の導出をしてみました。
これで、合ってるでしょうか？
よろしくお願いします。

No.56129 - 2019/01/16(Wed) 04:15:45

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / fygar

これです。行列なので画像ファイルにしました。
見にくくってすみません。

No.56130 - 2019/01/16(Wed) 04:20:05

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / 歌声喫茶

回転行列の性質
R(a)R(b)=R(a+b)
はいかにして導きましたか？
少なくとも高等学校（旧課程）の教科書では、その性質は加法定理を用いて導いています。
それを脱しない以上、循環論法になります。

No.56137 - 2019/01/16(Wed) 12:29:56

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / fygar

歌声喫茶さん、どうもご回答ありがとうございます。
回転行列R(a)が、角度aの回転で、同じく、R(b)は角度bの回転で、それらの積R(a)R(b)が、角度a+bの回転になることは、明白だからです。厳密に証明は出来てませんが、
他の定理（公式？）を持ってこない以上、
循環論法になるのですか・・・。

No.56145 - 2019/01/16(Wed) 22:28:32

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / 歌声喫茶

じゃあ、そもそも。
点(x,y)を原点を中心にθだけ回転させた点の座標が(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ)で与えられることはそこまで明白ともいえない気がしますが、これはどう導きますか？

No.56147 - 2019/01/16(Wed) 23:08:30

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / fygar

回転行列は、高校の頃、習ったので、丸暗記していました。どう導くかと言われると、自分の力だけでは難しかったので、解りやすいwebページを、引用させていただきます。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/linear_image3.html

No.56148 - 2019/01/16(Wed) 23:26:53

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / fygar

理解したので、texに纏めてみました。

No.56150 - 2019/01/17(Thu) 00:51:08

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / 歌声喫茶

そんな感じですね。
答案として書きたければ、少なくともその回転した点を与える証明を（加法定理によらず）書いておくべきかと思います。
方法は色々あるのでしょうが、受験生だった当時、ご紹介のWebページでいう説明1での証明をやってみた覚えがあります。

おそらくは、99年東大前期の問題を念頭においたものかと思います（もし違うのであれば一度見ておくとよいです）。
実際の採点では回転行列（あるいは複素数）を用いるのみで説明不足であった点数は減点されたものの、0点というわけではなかったらしい、という記述を『大学への数学』で見た記憶があります。
信憑性としてはどうだか分かりませんが。

TeXを使うときは、\sinや\cosのコマンドを使うとよいかと思います。

No.56155 - 2019/01/17(Thu) 10:40:16

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / fygar

どうもありがとうございました。

No.56157 - 2019/01/17(Thu) 13:52:03

★ 概収束から一次平均収束する証明 / とーます

確率論の収束についての質問です。
問
確率変数列X_nが一様可積分であると仮定する。
X_nが概収束すればX_nはXに一次平均収束する。

の証明についてわからない部分があり、解説をお願いしたいです。

解説をお願いしたい部分は画像の赤下線部の部分になります。

画像は証明の途中からになっていますが、上から四行目の第2行から読んでいただけるとわかりやすいかと思います。

まず、εがでできていますが、このεはどこから出てきたのでしょうか…

また、それ以降の「そのようなλを固定して…」からもよくわかりません…

噛み砕いて解説していただけるとありがたいです。

よろしくお願いいたします。

No.56114 - 2019/01/15(Tue) 00:53:26

☆ Re: 概収束から一次平均収束する証明 / noname

よくわからんけど、λ以上と未満の期待値に分けてるんでしょ。
λを十分大きくしとけば、とりあえずλ以上の方は0に収束させられるってことじゃないの。
εはよくεδ論法でめっちゃ小さい正の実数としてでてくるよね。

No.56119 - 2019/01/15(Tue) 06:51:34

☆ Re: 概収束から一次平均収束する証明 / とーます

証明が協力もあり自分の中では理解できましたので、掲載させていただきます。
見てくださっていた方、返信をしていただいたnonameさん、ありがとうございます。

nomaneさんのおっしゃるとおり、εN論法でした。
また、なにか証明が違うというところがありましたら、返信からよろしくお願いします。

No.56122 - 2019/01/15(Tue) 17:20:59

★ (No Subject) / みく

セタソに関してです。サシス=332

私はまず、
1から４回目までに
【1 2 3 】がでて
５回目に4が出る確率をだして　
５回目は(1~4)まで出るので最後に4倍して条件付き確率を出そうと思いました。
まず
４回目までに(3/4)^4
その内
同じ数字の場合
3C1(1/4)^4
異なる数字２つしか出ない場合
3c2(2/4)^4　-　2｛3c2(1/4)^4｝
これらを引いて4倍したものを
(1-サシス)で割り算をしたのですが違いました、、
なにがまちがっていますか？

No.56109 - 2019/01/14(Mon) 18:59:36

☆ Re: / IT

みくさんの計算結果はいくらで、正解はいくらですか？

みくさんの方針で良いと思います。計算したら9/58 になりました。
みくさんは５回目に4が出る確率1/4を掛けるのは忘れてないですよね？

No.56112 - 2019/01/14(Mon) 19:51:13

☆ Re: / IT

下記(別解）でも　9/58　になりました。
４回試行したとき
数字の出方は4^4 とおり
そのうち４つの数字がすべて現われる場合は1,2,3,4を並べる方法の数なので4！とおり
よって、４回で４つの数字がすべて現われる確率は　4！/(4^4)
よって、４回でどれかの数字が現れない確率は　1-4！/(4^4)

5回試行したとき
数字の出方は4^5 とおり
そのうち4回までにどれかの数字が現れず、5回目ではすべての数字が現れるのは
11234のパターンのうち12341(２回現われる数字が最後に出る）のパターン以外なので
(5!/2!-4!)×4 とおり　（×4は２回現われる数字が4とおりなので）
よってその確率は((5!/2!-4!)×4)/(4^5)

したがって求める条件付確率は　(((5!/2!-4!)×4)/(4^5))/(1-4！/(4^4))

No.56138 - 2019/01/16(Wed) 19:37:39

★ 確率収束するなら法則収束する / とーます

確率論の、「確率収束するなら法則収束する」の証明がどうしてもわからないので、解説をお願いしたいです。

証明は画像の通りになっております。
X_k_jはX_kの部分列です。

私がわからないのは証明中の赤下線部2箇所になります。

1箇所目は、…とする。と書いてあるのですが、なぜそうしていいのかわかりません。
上極限と部分列の極限の関係性がわかってないのかと思っています。

よろしくお願いいたします。

No.56105 - 2019/01/14(Mon) 17:07:43

☆ Re: 確率収束するなら法則収束する / とーます

証明が自分の中では理解できましたので、掲載させていただきます。
見てくださっていた方ありがとうございます。

また、なにか証明が違うというところがありましたら、返信からよろしくお願いします。

No.56121 - 2019/01/15(Tue) 16:43:45

★ (No Subject) / かりん

3x-7y=1の整数解を全て求める方法を教えてください

No.56095 - 2019/01/13(Sun) 23:50:30

☆ Re: / GandB

　　3x - 7y = 1 　　　　･････(#1)
　　7 = 3*2 + 1.
　　-3*2 + 7 = 1.
　　3(-2) - 7(-1) = 1. 　･････(#2)
　(#1)-(#2) から
　　3(x+2) - 7(y+1) = 0.
　　3(x+2) = 7(y+1). 　　･････(#3)
　3(x+2) は 7 で割り切れるが、3 は 7 では割りきれないので、適当な整数 k により
　　x + 2 = 7k
と表すことができる。
　　∴x = 7k - 2.
　これを (#3) に代入する。
　　3(7k-2+2) = 7(y+1).
　　21k = 7y + 7.
　　7y = 21k - 7.
　　∴y = 3k - 1.

No.56100 - 2019/01/14(Mon) 07:22:28

☆ Re: / かりん

適当な数字が浮かばず、パッと
(#2)のような式が出ない時はどう考えるといいですか？

No.56116 - 2019/01/15(Tue) 05:28:17

☆ Re: / GandB

　Euclidの互除法を使う。知らなければ

　「不定一次方程式　Euclidの互除法」

で検索。

　http://www.kimori.net/nada080102.htm

を不定一次方程式として解くといい練習になる（笑）。

No.56120 - 2019/01/15(Tue) 07:44:29

☆ Re: / noname

3x-7y=1から
-y≡1(mod3)
y≡-1(mod3)
y=3k-1(kは整数)と表せる。
3x-7(3k-1)=1
3x=3・7k-6
x=7k-2

No.56136 - 2019/01/16(Wed) 07:41:44

★ 中学受験入学試験問題?Aのつづき / しゅう👦🏻

問1はわかりましたが問2から全然わかりません。解説はありません。らすかる先生、教えてください。よろしくお願いします！！！
答えは(2)が6と3/19、(3)は864です。

No.56092 - 2019/01/13(Sun) 20:47:35

☆ Re: 中学受験入学試験問題?Aのつづき / しゅう👦🏻

いつでもいいのでよろしくお願いします！

No.56093 - 2019/01/13(Sun) 21:33:53

☆ Re: 中学受験入学試験問題?Aのつづき / らすかる

上下4cmずつは断面積96、間2cmは断面積32、
水の体積は2000cm^3です。
立体が置いてあるとき、下4cmの水の体積は(400-96)×4=1216
中2cmの水の体積は(400-32)×2=736
足して1952
よって2000-1952=48から水はあと48cm^3なので
上4cmにかかっている部分の深さは
48÷(400-96)=3/19cm
従って水の深さは4+2+3/19=6と3/19cmとなります。

水槽いっぱいまで水を入れると
上4cmのうち3cmまで水が入りますので
上3cmの水の体積は(400-96)×3=912
従って追加した水の量は912-48=864cm^3となります。

No.56094 - 2019/01/13(Sun) 21:57:33

☆ Re: 中学受験入学試験問題?Aのつづき / しゅう👦🏻

解説ありがとうございます！よくわかりました。ちょっと難しかったです。

No.56099 - 2019/01/14(Mon) 05:57:56

★ 中学受験入学試験問題?A / しゅう👦🏻

1番目を1⃣、2番目を?Aと置いてしてみましたが、とてもごちゃごちゃになり答えも違いました。
どうやって整理すればいいのかを教えてください。よろしくお願いします。また解説がありません。答えは200です。

No.56085 - 2019/01/13(Sun) 18:45:36

☆ Re: 中学受験入学試験問題?A / しゅう👦🏻

失礼しました。2番目を?@と置きました。

No.56086 - 2019/01/13(Sun) 18:47:06

☆ Re: 中学受験入学試験問題?A / らすかる

(4番目)=(2番目)+(3番目)=(2番目)+20
(5番目)=(3番目)+(4番目)=20+{(2番目)+20}=(2番目)+40
(6番目)=(4番目)+(5番目)={(2番目)+20}+{(2番目)+40}=(2番目)×2+60=76
これより2番目=8、3番目=20、4番目=28、5番目=48、6番目=76とわかりますので
続きは7番目=48+76=124、8番目=76+124=200となります。

No.56088 - 2019/01/13(Sun) 19:57:29

☆ Re: 中学受験入学試験問題?A / しゅう👦🏻

ありがとうございます！整理できてスッキリしました。またよろしくお願いします！！

No.56091 - 2019/01/13(Sun) 20:39:13

☆ Re: 中学受験入学試験問題?A / しゅう👦🏻

よくわかりました！

No.56269 - 2019/01/22(Tue) 12:58:45

★ 中学受験 1月入試問題 / しゅう👦🏻

(1)は、わかりましたが(2)はグラフの相似を使って解きたいです。
どうやってとけばいいですか？よろしくお願いします！
解説はありません。答えは12時23分です。

No.56076 - 2019/01/13(Sun) 13:15:19

☆ Re: 中学受験 1月入試問題 / しゅう👦🏻

一応図も書いておきました。

No.56077 - 2019/01/13(Sun) 13:16:02

☆ Re: 中学受験 1月入試問題 / しゅう👦🏻

問2の問題を書き忘れていました。すみません。

No.56078 - 2019/01/13(Sun) 13:24:39

☆ Re: 中学受験 1月入試問題 / らすかる

説明のために記号を付けます。
2回目に出会うところの交点を点Aとして
たかしさんの出発時を点B、到着時を点D
野球場から駅に向かう2本目のバスの
出発時を点E、到着時を点Cとすると
△ABC∽△ADEでBC：DE=4：16=1：4なので
AB：AD=1：4です。
つまり求める時間はたかしさんの移動時間を
1：4に分けた時点となります。

No.56079 - 2019/01/13(Sun) 13:49:31

☆ Re: 中学受験 1月入試問題 / しゅう👦🏻

そして、たかしさんの移動時間は90分なので、90×1/5=18分
12時5分＋18=12時23分となるんですね！
ありがとうございます。よくわかりました！

No.56081 - 2019/01/13(Sun) 17:15:23

★ (No Subject) / しょう

この問題の問1がわかりません。
教えてください

No.56069 - 2019/01/13(Sun) 02:33:54

☆ Re: / GandB

　問1は画像に存在しないから解きようがない。こういう問題は

　　RLC直列回路　電験三種　問題

で検索しよう。

No.56080 - 2019/01/13(Sun) 14:04:17

☆ Re: / しょう

> 　問1は画像に存在しないから解きようがない。こういう問題は
>
> 　　RLC直列回路　電験三種　問題
>

> で検索しよう。

すみません間違えました、問3です

No.56097 - 2019/01/14(Mon) 04:21:03

☆ Re: / GandB

　電験三種ではなく高校物理の問題か・・・

　電流の最大値をIm、電圧の最大値を Vm で表す。
　時間を t、交流電源の周波数をωとすると電圧の瞬時値 v(t) は
　　v(t) = vR + vC + vL
　　　　 = ImRsinωt + Im(1/ωC)sin(ωt-π/2) + ImωLsin(ωt+π/2)
　　　　 = Im( Rsinωt - (1/ωC)cosωt + ωLcosωt )
　　　　 = Im( Rsinωt + (ωL-1/ωC)cosωt )
　　　　 = Im√( R^2 + (ωL-1/ωC)^2) )sin(ωt+α).
　　　　（　ただし、tanα = (ωL - 1/ωC)/R　)
　　∴Vm = Im√( R^2 + (ωL-1/ωC)^2) ).
　　Im = Vm/√( R^2 + (ωL-1/ωC)^2) ).
　したがって Im の最大値は
　　Im = Vm/R.　（答えは?@）

No.56104 - 2019/01/14(Mon) 16:05:13

☆ Re: / X

横から失礼します。
>>GandBさんへ
グラフが与えられていることから、回路定数、Tは全て一定ですので
(答えは正しいですが)その計算では誤りでは？。
(Tが回路の共振周波数に対応する周期であるとは
書かれていません。)

この回路は直列ですので電源の電圧を
求めなくても、抵抗の間の電圧から
電流を計算できます。
グラフbからV_Rの最大値はV[0]ですので
回路電流の最大値は
V[0]/R
ということで答えは?@です。

No.56107 - 2019/01/14(Mon) 17:52:34

☆ Re: / GandB

> (Tが回路の共振周波数に対応する周期であるとは
> 書かれていません。)
　いやいや失礼。共振回路の定番問題と思い込み、ろくに問題文を読んでませんでした(^O^)。

No.56111 - 2019/01/14(Mon) 19:39:47

★ 三角関数に関する問題です / たぁ

0≦x≦πとする。
xの関数y=sin2x-2(sinx+cosx)がある。次の問いに答えよ。
t=sinx+cosxとする。
sin2x-2(sinx+cosx)-k=0 (kは実数の定数)の実数解の個数を求めよ。
この問題の解説をお願いします。

因みに答えは
k<-2,2<kのとき0個
k=-2のとき2個
-2<k<1-2√2のとき3個
k=1-2√2のとき2個
1-2√2<k≦2のとき1個です。

No.56062 - 2019/01/12(Sat) 23:24:31

☆ Re: 三角関数に関する問題です / X

t=sinx+cosx (A)
とすると、三角関数の合成により
t=(√2)sin(x+π/4)
で
0≦x≦π
により
π/4≦x+π/4≦5π/4
-1≦t≦√2 (B)
ここで
π/4≦x+π/4＜π/2,π/2＜x+π/4≦3π/4
つまり
1≦t＜√2のとき、tの値一つに対し、xの値は2つ対応 (P)
し、
3π/4＜x+π/4≦5π/4,x+π/4=π/2
つまり
-1≦t＜1,t=√2のときt,xの値は1対1に対応する (Q)
ことに注意します。

さて(A)より
t^2=(sinx+cosx)^2
右辺を展開し、整理をすると
t^2=1+sin2x
∴sin2x=t^2-1
よって問題の方程式である
sin2x-2(sinx+cosx)-k=0
は
t^2-2t-1=k (C)
となります。
そこで
f(t)=t^2-2t-1
と置き、横軸にtを取った
y=f(t)
のグラフを(B)の範囲で描き、
このグラフと、直線
y=k
との交点の個数がkの値によって
どうなるかを考えます。
但し、(P)(Q)により、上記の交点の
t座標によって、対応するxの個数が
変わりますので、注意が必要です。

No.56065 - 2019/01/12(Sat) 23:41:22

☆ Re: 三角関数に関する問題です / たぁ

丁寧にありがとうございます。
ここで、一つ疑問なのですが、
tの値に対するxの値の具体的な求め方を教えていただくことはできますか。グラフを書いても分からなくて、、😭

No.56082 - 2019/01/13(Sun) 17:27:16

☆ Re: 三角関数に関する問題です / たぁ

(P),(Q)の求め方です。グラフなどがあれば幸いです、、

No.56084 - 2019/01/13(Sun) 17:30:19

☆ Re: 三角関数に関する問題です / X

回答の前に訂正を。
No.56065で誤りがありましたので直接修正して
おきました(ごめんなさい)ので、
再度ご覧下さい。

で、回答ですが、
この問題は方程式を満たすxの値「の数」を
問題にするのであって、値そのものを求める
必要は全くありません。

但し、tとxの間の対応関係について
もう少し詳しく書いておきます。

x+π/4では見にくいので
π/4≦θ≦5π/4 (A)
において
t=(√2)sinθ (B)
を考えてみます。

例えば
t=(√6)/2のとき
(B)より
sinθ=(√3)/2
∴単位円により(A)に含まれるθの値は
θ=π/3,2π/3
つまり、このときは
tの値一つに対しθの値は二つ対応
します。

これに対し、例えば
t=(√2)/2のとき
(B)より
sinθ=1/2
∴単位円により(A)に含まれるθの値は
θ=5π/6
(θ=π/6は(A)に含まれないので除外されます)
つまり、このときは
tの値とθの値は一対一に対応
します。

さて、以上の例を踏まえて次のように考えます。
(B)より
sinθ=t/√2
ここから、まず単位円上に(A)の範囲の円弧を描き
この円弧と、x軸平行の直線である
y=t/√2
との交点の個数は、tの値を変化させたときに
どうなりますでしょうか？。

No.56098 - 2019/01/14(Mon) 05:51:48

☆ Re: 三角関数に関する問題です / たぁ

円を書いてxとtの関係性を考えてみました。
ここから、kの範囲とどのように絡めるのか、、

No.56110 - 2019/01/14(Mon) 19:03:27

☆ Re: 三角関数に関する問題です / X

返事が遅れました。

では、y=f(t)のグラフの
1≦t＜√2の範囲の部分を赤線で
-1≦t＜1,t=√2の範囲の部分を青線で
描いてみて下さい。

上記のグラフと
直線y=k (L)
との交点について
(L)と赤線の交点1つに対し、問題の
方程式の解xの数は2つ対応します。
(L)と青線の交点1つに対し、問題の
方程式の解xの数は1つ対応します。

以上を踏まえて(L)の位置を動かして
考えてみましょう。
(t,kは連動しておらず、独立で変化
していることに注意して下さい。)

No.56153 - 2019/01/17(Thu) 05:30:47

☆ Re: 三角関数に関する問題です / たぁ

赤線と青線の違いとは？？

No.56161 - 2019/01/17(Thu) 20:17:23

☆ Re: 三角関数に関する問題です / X

ごめんなさい。No.56153で誤りがあったので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.56163 - 2019/01/17(Thu) 22:40:23

☆ Re: 三角関数に関する問題です / たぁ

解決しました。ありがとうございます😊

No.56172 - 2019/01/18(Fri) 15:43:07