ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / たぁ

容器Xには、ある濃度の食塩水が800g,容器Yには濃度が22%の食塩水が入っている。XからYに300g移してよくかき混ぜたところ、Yの食塩水の濃度は18%になった。さらに、YからXに300gもどし、Xに水を100g加えてよく混ぜたところ、Xの食塩水の濃度は9%になった。
(1)最後にできたXの食塩水には何gの食塩がとけているか。
(2)Yには最初、食塩水が入っているか。という問題です。

答えは(1)81g (2)945g

解説をお願いします。また、食塩水に関する問題が苦手で解く上でのテクニックなどがあれば教えていただきたいです。

No.56507 - 2019/02/05(Tue) 14:45:34

☆ Re: / らすかる

(2)は、書かれている問題が正しいならば
問題に「容器Yには濃度が22%の食塩水が入っている」
と書かれていますので、
「食塩水が入っているか」と聞かれたら「入っている」になります。
しかしそれでは答えと合いませんので、
「Yには最初、何gの食塩水が入っていたか」の間違いと判断します。

(1)
最後のXは800+300-300+100=900gで、9%ですから900×(9/100)=81(g)です。

(2)
最後にXに100gの水を加える前は
食塩水800g、うち食塩が81g
この前にYから移したものは300gで食塩が300×0.18=54gなので
YからXに300gもどす前のXは500gで食塩が81-54=27g
よって最初のXの濃度は27/500=5.4%なので
最初にXからYに移った食塩は300×0.054=16.2g
最初のYの食塩水をy(g)とすると
条件から(0.22y+16.2)/(y+300)=0.18
これを解いて y=945(g)

No.56516 - 2019/02/05(Tue) 17:05:31

☆ Re: / たぁ

ありがとうございます😊

No.56550 - 2019/02/06(Wed) 16:40:46

★ 線形代数 / 初学者

Ｇ＝ＧＬｎ（Ｒ）（Ｒ上のｎ次正則行列）、Ｘ＝Ｒ＾ｎにたいして、
ＧはＸに作用する。このとき、Ｏｒｂ（ｘ）でｘ∈Ｘの軌道を表すとする。
Ｏｒｂ（０）＝０。

また、ｘ,ｙ∈Ｒ＾ｎに関して、
ｘ≠０かつｙ≠０のときｙ＝ＡｘをみたすＡ∈ＧＬｎ（Ｒ）が存在する。とあるのですが、
どうしてその存在がいえるのでしょうか？

No.56499 - 2019/02/05(Tue) 03:20:10

☆ Re: 線形代数 / よっさん

線形代数なのでRは実数体のことですよね？
R^nの元x,y≠0を任意にとります。
x_1=x とする基底x_1,...,x_nをとり、B:=(x_1,...,x_n)とします。このときBは正則です。eを第1成分が1、他の成分が0のR^nの元とするとBe=xです。yについても同様にCe=yを満たす正則行列Cが作れます。よって求める行列AはCB^(-1)とすれば良いですね。

No.56500 - 2019/02/05(Tue) 03:57:35

☆ Re: 線形代数 / 初学者

ありがとうございます。
理解しました。

No.56524 - 2019/02/05(Tue) 18:50:03

★ (No Subject) / たぁ

連投すみません。この問題の四角形BCOAの面積を二等分する直線の式の求め方が分かりません。解説をお願いします。

因みに答えは-1/2です。

No.56493 - 2019/02/04(Mon) 20:02:25

☆ Re: / たぁ

添付図です

No.56494 - 2019/02/04(Mon) 20:03:05

☆ Re: / らすかる

y=ax^2が(2,2)を通るのでa=1/2
直線BCはy=x+4なのでy=(1/2)x^2との交点Bは(4,8)
よって直線ABはy=3x-4なのでABとy=4との交点Dは(8/3,4)
△BCD=8/3×4÷2=16/3
△ADC=8/3×2÷2=8/3
△OAC=4×2÷2=4
よって四角形BCOA=16/3+8/3+4=12
半分は6
Eを線分OC上の点とすると
△CEB=CE×4÷2=2CE
これが6になるためにはCE=3なので
二等分する直線は(0,1)を通ればよい
(0,1)と(4,8)を通る直線はy=(7/4)x+1なので
Pのx座標は(1/2)x^2=(7/4)x+1からx=-1/2

No.56496 - 2019/02/04(Mon) 22:36:30

☆ Re: / たぁ

解説ありがとうございます。
私は点Bを求める際にB(t,(1/2)t^2)とおいて点Bを求めたのですが、
らすかるさんの答えの二行目に直線BCの式がすぐに出されていますが、これはどのように求めたのでしょうか？

No.56506 - 2019/02/05(Tue) 14:23:25

☆ Re: / らすかる

中心が第1象限にありx軸とy軸に接する円の中心は、
y=(中心からx軸までの距離)=(半径)=(中心からy軸までの距離)=x
ですからy=x上にありますね。
この問題ではx軸の代わりにy=4というだけで
y=xをy軸の正方向に4移動したものですから、
y=x+4となります。

No.56512 - 2019/02/05(Tue) 15:54:31

☆ Re: / たぁ

納得できました！

No.56527 - 2019/02/05(Tue) 20:09:47

★ (No Subject) / たぁ

下の図の立方体で、点Mは辺BFの中点である。3点A,M,Gを通る平面でこの立体を切ったときの切り口は何か？
答えはひし形になるようですが、なぜか分かりません。
解説をお願いします

No.56492 - 2019/02/04(Mon) 19:44:50

☆ Re: / noname

この問題を聞く目的は何だ？
自力で解けるようになるためか、答えを知って安心するためか。
前者なら実際作ってみることをおすすめする。
100均に発泡スチロールの立方体が売ってる。

No.56495 - 2019/02/04(Mon) 21:20:12

☆ Re: / たぁ

実際に初見でこの問題が出たとき、どのように対応しますか？
解答へのアプローチを学びたいのですが、、

No.56497 - 2019/02/04(Mon) 22:38:54

☆ Re: / らすかる

板をまっすぐ切った時、表側と裏側の切り口は平行になりますよね。
よって面AEFBの切り口と面CGHDの切り口は平行になります。
面AEFGの切り口はAMで、点Gが切断面上にありますので
面CGHDの切り口はDHの中点(Nとします)とGを結んだ線となります。
同様に、面DHEAの切り口はANとなりますので、
結局切り口の外形はAM,MG,GN,NAの4辺です。
AM=MG=GN=NAで対角線の長さはAG＞MNですから、ひし形になりますね。

No.56498 - 2019/02/05(Tue) 02:41:36

☆ Re: / noname

初見で解けるようになるには、まず実験と観察の積み重ねが必要と言っている。図形が苦手な人は特にだ。
例えば今の問題が解決したとして、ABの中点、ADの中点、点Mを通る平面で切ったときの図形が分かるようになっているかどうかだ。

No.56503 - 2019/02/05(Tue) 07:50:53

☆ Re: / たぁ

らすかるさん
ありがとうございます。納得できました！

noname
そうですね。自分なりにコツコツ頑張ります

No.56504 - 2019/02/05(Tue) 14:04:15

☆ Re: / たぁ

らすかるさん
ありがとうございます。納得できました！

nonameさん
そうですね。自分なりにコツコツ頑張ります

No.56505 - 2019/02/05(Tue) 14:04:56

★ 固有値の求め方 / ゴリラ

こんばんは。

問2.9の問題の(3)の問題なのですが,回答がλ=cosθ+isinθの時c(i,1),λ=cosθ-isinθの時,c(-i,1)になるのはどうしてなのですか?
また,ラムダの値を計算したところcos^2θ-2λcosθ+1となりisinθが出てきません。どのように計算したらよいですか?

No.56491 - 2019/02/04(Mon) 19:41:13

☆ Re: 固有値の求め方 / kara

{{Cos[θ], -Sin[θ]}, {Sin[θ], Cos[θ]}}.{x,y}=(Cos[θ] - I Sin[θ])*{x, y}
　　　　　　　　を解くと{x, I x}　だKARA.
　　　　　　　　

No.56502 - 2019/02/05(Tue) 06:42:13

☆ Re: 固有値の求め方 / ゴリラ

返信遅れまして、すみません。
教えていただきありがとうございます。
参考にさせていただきます。

No.56604 - 2019/02/08(Fri) 09:38:52

★ (No Subject) / たぁ

この図形のxの角度は55°になるようですが、何故でしょうか？
何となくA,B,C,Dが同一円周上にあるのかなーと予想はつけたのですが根拠が分かりません😭

No.56487 - 2019/02/04(Mon) 19:02:16

☆ Re: / らすかる

∠BCE=∠DEC-∠EBC=25°=∠BDAからA,B,C,Dは同一円周上にあるので
x=∠ABD=180°-∠ABE-∠BEA=180°-60°-65°=55°

No.56489 - 2019/02/04(Mon) 19:11:00

☆ Re: / たぁ

ありがとうございます！！

No.56490 - 2019/02/04(Mon) 19:39:53

★ (No Subject) / たぁ

この問題の解き方が分かりません。
答えは?Cです。
解説をお願いします。

No.56485 - 2019/02/04(Mon) 18:07:45

☆ Re: / ヨッシー

第１レーンの内側の半円部分の半径をｒ、第１レーンの幅をｗ、直線部分の長さをＬとします。
第１レーンの１周は
　２πｒ＋２Ｌ
第２レーンの１周は
　２π（ｒ＋ｗ）＋２Ｌ
なので、その差は
　２πｗ
となり、ｗだけがずらす量に関わってきます。

No.56486 - 2019/02/04(Mon) 18:51:44

☆ Re: / たぁ

ありがとうございます！

No.56488 - 2019/02/04(Mon) 19:02:51

★ (No Subject) / TIFFる

6番の問題の解説をお願いします。

No.56480 - 2019/02/04(Mon) 15:28:24

☆ Re: / noname

問題の流れを読めば最大公約数ってわかるよ

No.56481 - 2019/02/04(Mon) 16:00:41

☆ Re: / noname

間違い。最小公倍数

No.56482 - 2019/02/04(Mon) 16:01:20

☆ Re: / TIFFる

ありがとうございます！立方体だから最小公倍数ってことですね！助かりました

No.56484 - 2019/02/04(Mon) 16:49:46

★ (No Subject) / TIFFる

連続投稿すいません。138番の問題の模範解答ではa≠0、b≠0であると書いてあり、答えに0が含まれていると最終的な答えから除外されています。これはどうしてでしょうか？

No.56471 - 2019/02/04(Mon) 13:37:11

☆ Re: / TIFFる

138番の2番の模範解答です。

No.56472 - 2019/02/04(Mon) 13:38:31

☆ Re: / TIFFる

そして教科書の問題ですと、4の2番では最終的な答えに0が入っています。わかる方解説の程よよろしくお願いします。

No.56473 - 2019/02/04(Mon) 13:41:10

☆ Re: / TIFFる

教科書４の2番の解答です。長くなってすいませんでしたm(_ _)m

No.56474 - 2019/02/04(Mon) 13:42:34

☆ Re: / らすかる

a=0のとき1/aは計算できませんので、
問題の式に1/aが入っていればa=0は自動的に除外されます。
a=0かつb=0のときに6/a+1/bが3になるかどうかを考えれば
理解できるのではないでしょうか。

No.56475 - 2019/02/04(Mon) 14:27:27

☆ Re: / TIFFる

なるほど。丁寧な解説助かりました！ありがとうございます

No.56478 - 2019/02/04(Mon) 15:04:45

★ 高一数学 / TIFFる

数学Aの最大公約数の単元なのですが、145番の問題で写真右の模範解答の部分の赤線を引いてある部分がどうして逆がないのかわかりません。1と13でしたら、13と1はないのでしょうか？そこのところを詳しく解説お願いします。

No.56470 - 2019/02/04(Mon) 12:56:14

☆ Re: 高一数学 / らすかる

もし問題が「・・・2つの正の整数の組(a,b)をすべて求めよ」だとしたら
入れ替えたものは別の答えになりますが、この問題は
もし問題が「・・・2つの正の整数の組をすべて求めよ」であって
2つの整数の区別がありませんので、入れ替えたものは同一となります。
ですから(1,13)があれば(13,1)は不要（というより余計）です。

No.56476 - 2019/02/04(Mon) 14:34:21

☆ Re: 高一数学 / TIFFる

わかりました。ありがとうございます！

No.56477 - 2019/02/04(Mon) 14:59:10

★ (No Subject) / どなたか助けてください！！

この問題の解説をよろしくお願いします！！

No.56467 - 2019/02/03(Sun) 22:40:20

☆ Re: / X

方針を。

(1)
教科書で三角関数の合成の項目を
復習しましょう。

(2)
(1)の過程から少なくとも
0＜α＜π/2
であることが分かります。

このことから後は(1)の結果を使って
1/2=sin(π/6)＜sinα＜sin(π/3)=(√3)/2
であることを示します。

(3)
条件と(2)の結果により
π/6=0+π/6＜θ+α＜π/6+π/3=π/2
よって
yはθに関して単調増加
(∵)極角がθ+αである単位円を考えましょう。

となっていますので、yは
θ=0のとき最小
θ=π/3のとき最大
となります。

No.56468 - 2019/02/04(Mon) 06:24:00

★ (No Subject) / まなみ

An=3n-2 (nは1～100の自然数)
のとき
Anの第1項から100項数を掛けたときに含まれる7の因数の個数はどう求めたらいいのでしょう、、、

No.56462 - 2019/02/03(Sun) 18:35:31

☆ Re: / らすかる

nに1,2,3,…を代入していくと
最初はn=3のときに7の倍数になることがわかります。
その後は7項ごとに7の倍数になりますので
n=3,10,17,…,94すなわちn=7m-4(1≦m≦14)のとき7の倍数になります。
A[n]=3n-2=3(7m-4)-2=7(3m-2)で
再び3m-2が7の倍数になるのは（1≦m≦14なので）m=3,10のときです。
m=3のとき7(3m-2)=7^2
m=10のとき7(3m-2)=7^2×4
で両方とも素因数7の個数は2個であり、
その他の7の倍数は素因数7の個数は1個ですから、
全部で14+2=16個となります。

No.56464 - 2019/02/03(Sun) 19:05:55

☆ Re: / まなみ

ありがとうございます！！

No.56465 - 2019/02/03(Sun) 20:02:38

★ (No Subject) / たぁ

この問題の計算過程が分かりません。
解説をお願いします。

No.56456 - 2019/02/03(Sun) 15:38:52

☆ Re: / らすかる

例えばθ=πのとき
∫[cosθ～1]√(1-x^2)dx=∫[-1～1]√(1-x^2)dx=π/2なので
S(π)=(3√3/2)sinπcosπ+(√3)∫[cosπ～1]√(1-x^2)dx
=(√3)π/2≒2.72となり、
3/4+(√3/6)π≒1.6569は最大値ではありません。
何か他に条件があるのでは？

No.56457 - 2019/02/03(Sun) 16:02:19

☆ Re: / たぁ

0<θ<2/π でした。

No.56459 - 2019/02/03(Sun) 16:59:31

☆ Re: / たぁ

訂正です。
0<θ<π/2

No.56460 - 2019/02/03(Sun) 17:00:25

☆ Re: / らすかる

∫[cosθ～1]√(1-x^2)dxは
x=costとおけばdx=-sintdt, x=cosθのときt=θ, x=1のときt=0なので
∫[cosθ～1]√(1-x^2)dx
=∫[θ～0]√{1-(cost)^2}・-sintdt
=∫[0～θ](sint)^2 dt
=(1/2)∫[0～θ]1-cos2tdt
=(1/4)[2t-sin2t][0～θ]
=θ/2-sin2θ/4
S(θ)=(3√3/2)sinθcosθ+(√3){θ/2-sin2θ/4}
=(3√3/4)sin2θ+(√3){θ/2-sin2θ/4}
=(√3/2)(sin2θ+θ)
S'(θ)=(√3/2)(2cos2θ+1)
2cos2θ+1=0を解くとθ=π/3なので
S'(θ)はθ＜π/3で正、π/3＜θで負
従って最大値はθ=π/3のときで
S(π/3)=(√3/2)(sin(2π/3)+π/3)
=3/4+(√3/6)π

No.56463 - 2019/02/03(Sun) 18:56:17

☆ Re: / たぁ

ありがとうございます😊

No.56479 - 2019/02/04(Mon) 15:07:18

★ (No Subject) / ぽん

【至急よろしくお願いします！！！】

「座標空間において、3点O(0,0,0)A(1,-2,-1)B(0,3,2)を通る平面をαとし、2点C(4,1,1)D(11,2,3)を通る直線をLとする。
直線Ｌ上の点Pは実数tを用いて
OPベクトル=OCベクトル+tCDベクトル=(7t+4,t+1,2t+1)と表される。

平面αと直線Lの交点の座標を求めよ。」

No.56454 - 2019/02/03(Sun) 15:04:48

☆ Re: / らすかる

平面の式は、(0,0,0)を通ることからax+by+cz=0の形
(0,3,2)を通ることからb：c=2：-3なのでb=2,c=-3として
aを求めるとx+2y-3z=0
これに(7t+4,t+1,2t+1)を代入してtを求めるとt=-1なので、
交点は(-3,0,-1)

No.56455 - 2019/02/03(Sun) 15:38:01

☆ Re: / ぽん

解答ありがとうございます！
自分の理解力と知識が低すぎてどのように計算されているのかわからないのですが、他に計算の仕方はありませんか？？
OPベクトル=aOAベクトル+bOBベクトルみたいな分点倍率の式と恒等式にするみたいなやり方はできませんか？
度々すみません。

No.56458 - 2019/02/03(Sun) 16:56:51

☆ Re: / らすかる

OP=aOA+aOBに代入して(7t+4,t+1,2t+1)=a(1,-2,-1)+b(0,3,2)
7t+4=a, t+1=-2a+3b, 2t+1=-a+2bからa,bを消去して t=-1
∴(7t+4,t+1,2t+1)=(-3,0,-1)

No.56461 - 2019/02/03(Sun) 18:34:03

☆ Re: / ぽん

ありがとうございます！らすかるさんのお陰で理解できました！

No.56466 - 2019/02/03(Sun) 22:39:21

★ (No Subject) / Virginia Woolf

以下の図において、P[1]P[3]⊥P[2]P[4]といえるのはなぜですか？

No.56448 - 2019/02/03(Sun) 12:41:13

☆ Re: / らすかる

直交する2直線に円が接している時、
2直線の交点と円の中心を結ぶ直線は
直交する2直線と45°で交わるからです。

No.56449 - 2019/02/03(Sun) 13:15:49

☆ Re: / Virginia Woolf

ご回答ありがとうございます。
つまり、「2直線の交点」と「各円の中心」と「各円と2直線の接点」からなる8つの三角形は、すべて直角二等辺三角形であるということですね。
お陰さまで理解することができました。
今後ともよろしくお願いいたします。

No.56452 - 2019/02/03(Sun) 13:30:40

★ 微分法について / ゴリラ

y=(3x^2+4x-2)^4(x^3-6x)^2

上記の問題の答えが
dy/dx=2(3x^2+4x-2)^3(x^3-6x)(21x^4+20x^3-96x^2-72x+12)となるのですが、どうしてこうなるのか教えて下さい。

私が計算すると、
dy/dx=4(6x+4)^3(x^3-6x)^2+2(3x^2+4x-2)^4(3x-6)となってしまい、ここからどうしていいかが分かりません。

No.56447 - 2019/02/03(Sun) 12:21:01

☆ Re: 微分法について / らすかる

{f(x)}^4の微分は4{f'(x)}^3ではありません。
合成関数の微分公式を見直しましょう。
またx^3-6xの微分も間違っています。

No.56451 - 2019/02/03(Sun) 13:19:29

☆ Re: 微分法について / ゴリラ

ご指摘ありがとうございます。

再度、公式を確認し解きなおしてみます。

No.56469 - 2019/02/04(Mon) 07:20:14

★ (No Subject) / 澤田慶一郎

この問題をできるだけわかりやすく解説お願いします。

No.56444 - 2019/02/02(Sat) 12:47:26

☆ Re: / らすかる

問題文が書かれていませんが、x,y,zを求める問題ですか？

三角形の上の頂点をA、下の横線の左側をB、右側をC、
AからBCに下ろされた垂線をAHとすると
（つまりAH=x,AC=y,AB=z）
AB：AH：BH=2：1：√3からBH=(√3)x,AB=2x
AH：CH：AC=1：1：√2からCH=x,AC=(√2)x
よって
BC=BH+CH=(√3)x+x=(√3+1)xから(√3+1)x=2
∴x=2/(√3+1)=2(√3-1)/{(√3+1)(√3-1)}=2(√3-1)/2=√3-1
y=(√2)x=√6-√2
z=2x=2√3-2
となります。

No.56445 - 2019/02/02(Sat) 13:32:35

☆ Re: / Masa

三角形の辺の長さの関係より、x+(√3)x=2からx=√3-1
y=(√2)x=√2(√3-1)
z=2x=2(√3-1)
です。

No.56446 - 2019/02/02(Sat) 13:33:18

☆ Re: / 澤田慶一郎

ありがとうございます。よくわからなかったけどよく考えて解説を見てみればよく分かりました。ご協力助かりました

No.56453 - 2019/02/03(Sun) 13:37:27

☆ Re: / ra

Sin[30 Degree] = x/z, Tan[45 Degree] = (2 - z*Cos[30 Degree])/x
　　　 1/2 = x/z, 1 = (2 - (Sqrt[3] z)/2)/x
　　　を解いて　x=-1 + Sqrt[3], z=2 (-1 + Sqrt[3])
　　　
　　　Sin[45 Degree] = (-1 + Sqrt[3])/y
　　　から　y=-Sqrt[2] + Sqrt[6]
　　　

No.56580 - 2019/02/07(Thu) 13:22:24

★ 約数の個数 / 綿芦売

p,qは異なる素数とする。
2^(p-1)-1=pq^2を満たすp,qを全て求めよ。という問題についての質問です。解説で、左辺が1+2+4+8+…+2^(p-2)と変形できるから、右辺の約数の個数が6個であることからp-2=5であることがわかる、とあったのですが、この意味がよくわかりません。左辺の変形、右辺の約数の個数に関しては理解しています。この2つがどう結びつくのかをご教示いただけると幸いです。

No.56438 - 2019/02/01(Fri) 21:24:55

☆ Re: 約数の個数 / IT

「1+2+4+…+2^n の約数の個数が6　ならば　n=5」をそんなに簡単に示せる気がしませんが

どういうレベル（大学の数論、大学入試の整数問題など）の問題で　出典は何ですか？

No.56439 - 2019/02/01(Fri) 22:45:03

☆ Re: 約数の個数 / らすかる

「左辺が1+2+4+8+…+2^(p-2)と変形できるから、右辺の約数の個数が
6個であることからp-2=5であることがわかる」という解説を無視すれば
比較的簡単に解けますね。

p≧5のとき、2^(p-1)-1は3とpで割り切れますので、
約数が6個になるためには
2^(p-1)-1が3^2×pでなければなりません。
p=2,3,5,7と試すとp=7で成り立ち、
p≧11では2^(p-1)-1＞3^2×pなので
p=7のみが解であることがわかります。

この考え方だと「p=7であることがわかる」または
「p-1=6であることがわかる」ならば納得できますが、
「p-2=5であることがわかる」にはなりませんので
考え方が違うのだと思います。

No.56440 - 2019/02/01(Fri) 23:05:21

☆ Re: 約数の個数 / 綿芦売

ありがとうございます。実は予備校で別解という形紹介されたものでして、、詳しくは予備校の先生に聞いてみることにします。

No.56441 - 2019/02/02(Sat) 01:54:24

☆ Re: 約数の個数 / IT

ぜひ結果を教えてください。
2^(p-1)-1を1+2+4+8+…+2^(p-2)と変形することによって、これの約数の個数が判定しやすくなる理屈が不明ですね。

また、「別解でない　解法」は　どんなのですか？らすかるさん方式ですか？

No.56442 - 2019/02/02(Sat) 04:28:54