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★ 大学受験数学です。ベクトルを利用した問題です。 / ゆ
先程件名を入れ忘れてしまったので投稿し直しました。


t>0を実数とする。座標平面において，3点A(-2,0）,B(2,0),P(t, √3t) を頂点とする三角形ABP を考える。
（1）三角形ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲を求めよ。

（2）三角形ABP の垂心の座標を求めよ。

（3）辺AB、BP, PAの中点をそれぞれM, Q, Rとおく。tが（1）で求めた範囲を動くとき、三角形ABP を線分 MQ, QR, R M で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときのtの値を求めよ。


（3）についてです。(3)の答え:t=√10/2 のとき　最大値1/2
解説では、題意の四面体が直方体の中に埋め込むことができることを利用して、四面体の体積をtを用いて表していくという方法で解いています。ここで質問なのですが、（2）で求めた垂心を使って解くことはできないのでしょうか。
No.86037 - 2023/07/27(Thu) 15:32:48
☆ Re: 大学受験数学です。ベクトルを利用した問題です。 / 黄桃
出題意図は(2)を使って(3)を解くのだと思います。
(2)で垂心Hが(t,(4-t^2)/(√3t))と求まります。
(3)で、例えば、MRで折るとAがどう動くか、といえばAからMRに下ろした垂線の足をSとすれば、MR⊥ASで、MRで折る限り、この関係は変わりません。
したがって、上から見れば、Aは直線AS上（Aと反対側、Sと反対側も含む）を動きます(正確に言えば、点Aは、Sを通り、MRに垂直な平面上を動く）。
MR//BPだから、ASはAからBPに下ろした垂線でもあります。
このことは、A以外のB,Pでも同じように言えますので、(3)の方法でできた四面体の頂点Xから△ABPに下ろした垂線の足は△ABPの垂心Hといえます。

さらに、XM=(1/2)AB, (XR=(1/2)AP, XQ=(1/2)BP) ですから、
△ABPを底面とする四面体の高さXHは、XH^2+MH^2=XM^2 を満たします。この関係式からXHを求めると(t>0の時。t<0も考えるなら|t|としてください。△ABPも同様）
XH=2/(t√3)*√(-t^4+5t^2-4)
となります。
△ABP=(1/2)AB*t√3 だから　四面体の体積Vは
V=(1/3)△ABP*XH
=(1/3)(1/2)4*t√3*2/(t√3)*√(-t^4+5t^2-4)
=(4/3)√(-t^4+5t^2-4)
となります。あとは、ルートの中を(t^2について)平方完成して、(1)を満たすtの中で最大のものを求めればおしまいです。
平方完成すれば、t^2=5/2の時(t^2=5/2は1<t^2<4を満たす）、ルートの中は最大で9/4になることがいえるので、t=±√10/2 の時、体積は最大値2をとる、といえます。
No.86068 - 2023/07/29(Sat) 07:10:42
★ (No Subject) / Tommy
第1問
1枚の硬貨を 2500 回投げるとき，表が出る回数を調べ る。以下の問いに答えよ。
問1
表が出る回数を X とすると，X は二項分布に従う確率変数 になる。
X の平均 E[X]，X の分散 V[X] を求めよ。 ただし結果が整数にならない場合は小数第1位まで求めよ。

問2
X の標準偏差を σ[X] とする。確率変数 Z を
Z = (X-E[X]) / σ[X]
によって定めると，Z は近似的に標準正規分布に従う。
X が 1211 以上 1266 以下となる確率は，Z を用いて次の ように表せる。
P( 1211 ≤ X ≤ 1266 ) = P( A ≤ Z ≤ B )
A と B の値を小数第2位まで求めよ。

問3
標準正規分布表(下の表)を利用して， 表の出る回数が 1211 回以上 1266 回以下となる確率を小数第4位まで求め よ。

第2問
次のデータはある母集団から無作為に取り出した標本であ る。結果が整数にならない場合は小数第1位まで求めよ。

40 28 25 37 65 23 35 31 14 34 41 18 32 11

問1
母平均 μ の推定値を求めよ。

問2
母分散 σ^2の推定値(不偏分散)を求めよ。

第3問
正規母集団において，母平均を μ，母分散を σ2 とする。
母分散については σ2 = 82 であることが分かっている。 次のデータはこの母集団から無作為に取り出した標本であ る。

46 40 55 58 49 42 47 44 44 26 42 46 41 56 54 38

この母集団に対して，帰無仮説 H0 と対立仮説 H1 を次の ように設定する。
H0: μ = 50, H1: μ ≠ 50
有意水準を α = 0.05 として両側検定を行うとき，次の問 いに答えよ。

問1
標本の大きさを n，標本平均を M とする。M の値を小数第 1位まで求めよ。

問2
次の検定統計量 Z は標準正規分布に従うことが知られてい る。(root は平方根を表す。)
Z = (M - μ) / (σ / root (n) )
帰無仮説 H0 を仮定したとき，検定統計量 Z の値を小数第 2位まで求めよ。

問3
正しいものを選べ。
1. 帰無仮説 H0 は棄却される(対立仮説 H1 が採択
される)。
2. 帰無仮説 H0 は棄却されない(対立仮説 H1 が採択されない)。
No.86032 - 2023/07/27(Thu) 12:51:17
☆ Re: / ポテトフライ
全て統計の教科書の基本例題と言えるものだと思います。または基本例題などが解説された直後の演習問題などでしょうか。

第1問
硬貨を投げることなので二項分布B(2500.1/2)に従うとします。
問1
E[X]、V[X]は二項分布の一般論から直ちにわかる。
問2
1211 ≤ X ≤ 1266をZ = (X-E[X]) / σ[X]と変換（標準化）するだけです。
(1211-E[X])/σ[X]など
問3
>標準正規分布表(下の表)を利用して
利用の仕方はわかりますか？教科書などの例題を参照してください。

第2問
とりあえず標本平均と標本分散を出して、母平均と母分散の水偵値との関係を思い出してください。


第3問
問1
与えられた数値から計算すればよい。

問2
>帰無仮説 H0 を仮定したとき
とあるのでM、σ、√nは全てわかるのでZも計算できます。

問3
優位水準に含まれるかどうか調べてください。
No.86060 - 2023/07/28(Fri) 22:17:37
★ 高1数学 証明お願いします / ののべえ
外接する２円A,Bがあり、接点をC、
共通接線とA.Bとの接点をそれぞれD.Eとします

直線ECとAの交点のうちC出ない点をFとします

するとDFはAの直径になるようなのですが、なぜそうなるのか詳しくしりたいです
よろしくお願いいたします
No.86031 - 2023/07/27(Thu) 11:35:47
☆ Re: 高1数学 証明お願いします / らすかる
ある点Pから円Oに接線を二本引いて接点をQ,Rとしたとき
∠PQR=∠PRQになる（つまりPQ=PR）のはご存知でしょうか。
それを知っているとして、
Cを通る2円の接線をl、Fを通る円Aの接線をmとして
直線DEと接線lの交点をG、接線lと接線mの交点をHとすると
∠HFC=∠HCF=∠GCE=∠GECなので直線DE//接線mとなり、
DFが直径になることが言えます。
No.86033 - 2023/07/27(Thu) 14:01:59
☆ Re: 高1数学 証明お願いします / 関数電卓
図のように各点を定める。
図中にある△ACD, △ACF, △ADG, △BCE はすべて
　１頂点が円の中心，他の２頂点が円周上にある２等辺三角形
で，図中に同じ印をつけた角はそれぞれ等しい。
CG は円 A の直径だから ∠CDG＝●＋▲＝90°
よって，∠DCF＝●＋▲=90° となるから，DF は直径
No.86043 - 2023/07/27(Thu) 21:55:22
★ 難問ですお願いいたします / ゴンさん
お願い致します！！！
No.86030 - 2023/07/27(Thu) 10:38:48
★ 計算お願いいたします / ゴンさん
計算してください、途中式もお願いします。

lim(n→∞)⁡∫[R]e^(-|x|-|x/n|^3 ) 〗 e^(ix/n) cos⁡(x^2/n)dx
No.86029 - 2023/07/27(Thu) 10:27:11
☆ Re: 計算お願いいたします / ast
それは計算 (結果と途中式) だけあれば (論理を無視して) いいという意味か……?
# まあ普通は根拠を述べる (論理のつながりや各種操作の正当性を確認する) のが一番面倒で,
# 数学じゃ計算内容なんてのはどうでもいいこと (得点でいえば1割もないほぼゼロ) 扱いされるとこなので,
# だけでいいなら楽でいいが.

　 lim_[n→∞] ⁡∫_R e^(-|x|-|x/n|^3)e^(ix/n)cos⁡(x^2/n) dx
　 = ∫_R lim_[n→∞]⁡ e^(-|x|-|x/n|^3)e^(ix/n)cos⁡(x^2/n) dx
　 = ∫_R e^(-|x|) dx = 2 ∫_[0,∞) e^(-x) dx = 2[-e^(-x)]_[0,∞) = 2(0-(-e^0)) = 2.
No.86034 - 2023/07/27(Thu) 14:46:29
☆ Re: 計算お願いいたします / ゴンさん
ありがとうございます！！

分かりにくくてすみません、よろしければ論理も組んで頂けると幸いです
No.86038 - 2023/07/27(Thu) 16:17:14
☆ Re: 計算お願いいたします / ast
そういわれても全然文脈も見えてこない (いま使える道具が何かすら開示されてない質問文では, 目隠し状態で綱渡りやれって言われるようなもんなんで困るしかない) けど

　「|e^(-|x|-|x/n|^3)e^(ix/n)cos⁡(x^2/n)| ≤ |e^(-|x|)|, ∫_R |e^(-|x|)| dx < ∞
だから ⁡∫_R e^(-|x|-|x/n|^3)e^(ix/n)cos⁡(x^2/n) dx は広義一様収束して, ……」

みたいなの適当につけときゃいいんじゃないの?
まあ, 合ってるかはこの状況じゃ保証のしようもないんで, 自分でやって, あるいは (少なくとも積分と極限の順序交換に関する定理を含む) 持ち札をちゃんと開示して.
No.86039 - 2023/07/27(Thu) 16:40:03
★ 数学的帰納法を用いた証明(高２) / みかづき
高２の問題です。
√(1*2)+√(3*4)+...+√{(2n-1)*2n} < {n(2n+1)}/2
が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ、という問題なのですが
平方根がついていて両辺に同じものを足してもそこからどうすれば良いのかがわからなくなってしまいました。
どなたかご教授いただけましたら幸いです。
No.86028 - 2023/07/27(Thu) 10:07:17
☆ Re: 数学的帰納法を用いた証明(高２) / ast
n=k のとき成立すると仮定して n=k+1 の場合に相当するように
> 両辺に同じものを足し
たのなら, 結論を得るには {k(2k+1)}/2 + √{(2k+1)*(2k+2)} < {(k+1)(2k+3)}/2 が言えれば十分, というところまでは (定石通りとして) 理解できているはずです. これを整理すれば
　√{(2k+1)*(2k+2)} < (2k+3/2),
両辺正だから結局
　(2k+1)*(2k+2) < (2k+3/2)^2
がいえればよくて, 実際 (2k+1)*(2k+2) +1/4 = (2k+3/2)^2 だから上記の不等式は自然数 k に依らず常に成り立ちます (答案としてはこれを遡るような順番で記述するのが自然でしょう).
No.86035 - 2023/07/27(Thu) 15:06:21
★ 線積分の難問です、、、 / たまどら
P(x)はなめらかな曲線Cを含む領域で連続な関数とする。このとき、

F(ω)=??(P(z)dz)/(z-ω)

は、C/C上正則であることを示せ。また、F’をC上の線積分で示せ。
（積分記号とlimを正当な理由なく入れ替えてはいけない）
No.86025 - 2023/07/27(Thu) 09:56:10
☆ Re: 線積分の難問です、、、 / たまどら
すみません、??の部分は線積分の記号です

P(x)はなめらかな曲線Cを含む領域で連続な関数とする。このとき、

F(ω)=∫[C](P(z)dz)/(z-ω)

は、C/C上正則であることを示せ。また、F’をC上の線積分で示せ。
（積分記号とlimを正当な理由なく入れ替えてはいけない）
No.86026 - 2023/07/27(Thu) 10:00:12
☆ Re: 線積分の難問です、、、 / ast
それは "正当な理由があればいい" ってことだろ, 知らんけど.
No.86086 - 2023/07/31(Mon) 17:28:38
★ 連立方程式 / トムソン
4x^3 + xy^2 - 4y =0, 4x^2 y + y^3 -16x=0
この2式を連立して(x,y)の解の組を全て答えよ。

辺々を引いたり足したりしても上手くいきませんでした。解答よろしくお願いします。
No.86020 - 2023/07/27(Thu) 00:09:39
☆ Re: 連立方程式 / らすかる
実数範囲で考えます。
4x^3+xy^2-4y=0 … (1)
4x^2y+y^3-16x=0 … (2)
(1)×2+(2)から
8x^3+y^3+4x^2y+2xy^2-16x-8y=0
(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)+2xy(2x+y)-8(2x+y)=0
(2x+y)(4x^2+y^2-8)=0
∴2x+y=0,4x^2+y^2-8=0
2x+y=0のとき
(2)に2x=-yを代入して整理すると
y(y^2+4)=0
∴y=0なので(x,y)=(0,0)
4x^2+y^2-8=0のとき
両辺にyを掛けて
4x^2y+y^3-8y=0 … (3)
(2)-(3)を整理して
2x-y=0
(2)に2x=yを代入して整理すると
y(y^2-4)=0
∴y=0,±2
y=0のときx=0、これは既出
y=2のときx=1
y=-2のときx=-1
従って答えは
(x,y)=(0,0),(1,2),(-1,-2)
の3組。

※複素数範囲の場合は、上記のy^2+4=0から導出される
(x,y)=(i,-2i),(-i,2i)が解に加わります。
No.86021 - 2023/07/27(Thu) 00:44:37
☆ Re: 連立方程式 / ast
綺麗でも機械的にできるものでもないが以下のようにも解くことはできる:

明らかに (x,y)=(0,0) は解になるのでそれは置いといて, x≠0 として 4x^3 + xy^2 - 4y =0 を y について解く (これは y に関してただの二次方程式だから容易) ならばそれを他方の式に代入すれば y を消去できる.
結局 x^4(1-x^4)=0 (かつ x≠0) から x=±1 (複素数範囲ならばさらに x=±i) が必要とわかる.
# あるいは y≠0 として 4x^2 y + y^3 -16x=0 を x について解くのでも同様にはできるが
# まあ上のほうが数値は見易いとは思う.
No.86023 - 2023/07/27(Thu) 01:09:53
☆ Re: 連立方程式 / トムソン
皆様、ありがとうございます。
No.86024 - 2023/07/27(Thu) 06:49:37
★ (No Subject) / ncr
1から9までの番号が書かれた9枚のカードがある。
この中から6枚のカードを取り出して箱Aと箱Bに3枚ずつ分けて入れる。
このとき
　(箱Aのカードの番号)-(箱Bのカードの番号)＝1
となる箱Aと箱Bのカードの組がちょうど2組できた。
箱Aと箱Bに入れられたカードの組合せは何通りか。
例えば　A={2,4,6], B={1,5,7} は条件を満たす一例である(2-1=1 と 6-5=1)


かなり昔の「高校への数学」にあった問題なのですが
よろしくおねがいします。
No.86019 - 2023/07/26(Wed) 23:44:53
☆ Re: / らすかる
Aのカードをa,b,c（1≦a＜b＜c≦9）とします。
a=1のとき
b,cは3〜9から二つ、b+1＜cとなるように選ぶので6C2通り
（3〜8から二つ選んで大きいほうに1足せばよい）
このときBのカードのうち2枚はb-1,c-1と決まり、残りの1枚は
残りの4枚のうちのどれでもよいので4通り
従ってa=1の場合は6C2×4=60通り
a≧2,b=a+1の場合
b,cは3〜9から二つ、b+1＜cとなるように選ぶので6C2通り
このときBのカードのうち2枚はa-1,c-1と決まり、残りの1枚は
残りの4枚のうちのどれでもよいので4通り
従ってa≧2,b=a+1の場合も6C2×4=60通り
a≧2,c=b+1の場合
Aの箱はa≧2,b=a+1の場合の組み合わせでbだけa+1でなくc-1に変更すればよいので
上と同じく6C2通り
このときBのカードのうち2枚はa-1,b-1と決まり、残りの1枚は
残りの4枚のうちのどれでもよいので4通り
従ってa≧2,c=b+1の場合も6C2×4=60通り
a≧2,a+1＜b,b+1＜cの場合
a,b,cは2〜9から三つ、a+1＜b,b+1＜cとなるように選ぶので6C3通り
（2〜7から三つ選んで小さい順に+0,+1,+2すればよい）
このときBのカードのうち2枚はa-1,b-1,c-1のうち二つとなり、
残る1枚はa,b,c,a-1,b-1,c-1を除く3枚のどれかになればよいので
3C2×3=9通り
従ってa≧2,a+1＜b,b+1＜cの場合は6C3×9=180通り

よって全部で 60+60+60+180=360通り

# もし6C2,6C3を使ってはいけないのであれば
# 6C2→(6×5)÷2、6C3→(6×5×4)÷(3×2)として下さい。
No.86022 - 2023/07/27(Thu) 01:04:33
☆ Re: / ncr
ありがとうございました。
こたえがなかったので助かりました。
No.86046 - 2023/07/28(Fri) 00:07:03
☆ Re: / ncr
ちなみに自分なりに考えて次の解答になりました。同じ答えになるのでこれでも大丈夫でしょうか。

Aに入る番号とBに入る番号を1つずつペアにして決めていく。
例えば　A={2,4,6}, B={1,5,7}　は　(21)(65)(47) という風に。
以下　(21),(32),(43),(54),(65),(76),(87),(98) これらを「差1のペア」と呼びます。
題意を満たすABの決め方を、
　まず「差1のペア」を二組選び(それは1〜8から隣接しない2数を選ぶことと同じでC[7,2]通り)、
　さらに残る5数からAの要素とBの要素を1つずつ決める
と考えて　C[7,2]*P[5,2] 通り、としたいところですが、これだと「差1のペア」が3組のものも
カウントしてしまいます。しかも「差1のペア」3組のものをトリプルカウントすることになる。
そして、「差1のペア」を3組選ぶのは、1〜8から隣接しない3数を選ぶのと同じでC[6,3]通り。

よって答えは、C[7,2]*P[5,2] - 3*C[6,3] = 420-60 = 360通り。
No.86062 - 2023/07/28(Fri) 23:04:21
☆ Re: / らすかる
大丈夫です。というか私の方法よりその計算の方が簡潔でいいですね。
No.86067 - 2023/07/29(Sat) 00:37:11
★ コラッツ予想解説 / 成清　愼
宜しくご査収の上ご意見賜りたくお願い申し上げます。
No.86016 - 2023/07/26(Wed) 01:20:01
★ コラッツ予想について / 成清　愼
宜しくご査収の上ご意見賜りたくお願い申し上げます。
No.86015 - 2023/07/26(Wed) 01:18:04
★ 同値関係について / たけし
同値関係について質問です。
R^2において
P〜Qを
(p1-q1)^2+(p2+q2)^2<1
と定義した時の推移律が成立しないことを示したいのですが、よく分からないです。
No.86013 - 2023/07/25(Tue) 23:35:08
☆ Re: 同値関係について / IT
推移律の定義は、分かっていますか？
反例を一つ示せば良いので、簡単のため例えば第2成分が0 の場合を考えると良いかも知れません。
No.86018 - 2023/07/26(Wed) 19:16:30
★ (No Subject) / 第二次導関数
y=alogx + 1/(x+1)が表す曲線が上に凸であるためのaの必要十分条件を求めよ
No.86009 - 2023/07/25(Tue) 20:40:00
☆ Re: / らすかる
y=alogx+1/(x+1)
y'=a/x-1/(x+1)^2
y''=-a/x^2+2/(x+1)^3
={2x^2-a(x+1)^3}/{x^2(x+1)^3}
与式が上に凸であるためには
x＞0で2x^2-a(x+1)^3≦0
a(x+1)^3≧2x^2
(x+1)^3≧(2/a)x^2
a≦0は明らかに条件を満たさないのでa＞0
b=2/a（b＞0）とおいて
f(x)=(x+1)^3-bx^2=x^3+(3-b)x^2+3x+1
とおくと
f'(x)=3x^2+2(3-b)x+3
D/4=(3-b)^2-9=b^2-6b≦0を解くと0＜b≦6（∵b＞0）
なのでb≦6ではf(x)は単調増加でf(0)=1なのでx＞0でf(x)＞0
b＞6のとき
f'(x)=0の解はx={b-3±√(b^2-6b)}/3
f(x)はx={b-3+√(b^2-6b)}/3で極小値をとる
f(x)={(3x+3-b)/9}f'(x)+{(-2b^2+12b)x+3b}/9なので、極小値は
f({b-3+√(b^2-6b)}/3)={(-2b^2+12b){b-3+√(b^2-6b)}/3+3b}/9
={-2b^2+18b-27-2(b-6)√(b^2-6b)}b/27
(極小値)≧0であれば条件を満たすので
{-2b^2+18b-27-2(b-6)√(b^2-6b)}b/27≧0を解く。
-2b^2+18b-27-2(b-6)√(b^2-6b)≧0（∵b＞0）
-2b^2+18b-27≧2(b-6)√(b^2-6b)
(-2b^2+18b-27)^2≧4(b-6)^2(b^2-6b)
整理して
4b≦27
∴b≦27/4
g(b)=-2b^2+18b-27とすると
g(6)=9, g(27/4)=27/8なので
6＜b≦27/4のとき両辺を二乗した時の左辺は正であり、
6＜b≦27/4でf(x)の極小値≧0であることがわかる。
従って0＜b≦27/4で問題の条件を満たす。
b=2/aから0＜b≦27/4⇔a≧8/27なので、
求める必要十分条件は a≧8/27。
No.86010 - 2023/07/25(Tue) 21:49:59
☆ Re: / 第二次導関数
書き方を間違えてました。yはalogxと1/(x+1)の和です。わざわざ解いていただいたのに申し訳ないです。
No.86011 - 2023/07/25(Tue) 22:24:13
☆ Re: / らすかる
alogxと1/(x+1)の和のつもりで解いていますので、問題ないと思います。
No.86012 - 2023/07/25(Tue) 22:33:28
★ 接戦の方程式 / 大学生
これの証明を教えてください。どうしても分かりません。
どなたかよろしくお願いします。
No.86006 - 2023/07/25(Tue) 19:38:38
☆ Re: 接戦の方程式 / X
(i)f'(t^*)≠0のとき
(ii)f'(t^*)=0のとき
で場合分けして考えましょう。
(i)の場合
dy/dx=…ですので…
No.86017 - 2023/07/26(Wed) 17:01:14
★ 最小二乗法 / 過負荷
回帰式によりx=xiの時に推定できるyの値をyi'=a'+ b' xiとする(i=1〜n)。この時、Cov(a', b')について求めよ。また、単回帰yi=a+bxi+u の残差平方和Seの期待値について、E(Se)=nV(a')+Σ(i=1→n)xi^2+V(b')+Σ(i=1→n)V(ei)+2Σ(i=1→n)xiCov(a',b')-2Σ(i=1→n)xiCov(b',ei)-2Σ(i=1→n)Cov(a',ei)が成立することを示せ。但し、E(ui)=0,V(ui)=σ^2を用いて良い。
No.86004 - 2023/07/25(Tue) 11:08:51
★ 複素解析の問題です / りあん
テストの解き直しを行いたいのですが解答がないのでお願いしたいです。
No.86002 - 2023/07/25(Tue) 02:07:08
☆ Re: 複素解析の問題です / りあん
> テストの解き直しを行いたいのですが解答がないのでお願いしたいです。

よろしければ問1と問2とお願い致します。
No.86003 - 2023/07/25(Tue) 02:08:23
☆ Re: 複素解析の問題です / X
問題1)
(√2+i√2)^i={2e^(iπ/4)}^i
={e^(-π/4)}2^i
={e^(-π/4)}e^(iln2)

問題2)
(1)
条件から実軸上、虚軸上のの線積分は0。
残りの４分の１円上の経路、つまり
x=cosθ,y=sinθ(θ:0→π/2)
での線積分を考えて
(与式)=∫[θ:0→π/2]{-cosθsinθ(-sinθ)+(cosθ)^2}dθ
=∫[θ:0→π/2]{cosθ(sinθ)^2+(cosθ)^2}dθ
=∫[θ:0→π/2]{cosθ(1-cos2θ)/2+(1+cos2θ)/2}dθ
=∫[θ:0→π/2]{(1/2)cosθ-(1/4)cos3θ-(1/4)cosθ+1/2+(1/2)cos2θ}dθ
=∫[θ:0→π/2]{(1/4)cosθ-(1/4)cos3θ+1/2+(1/2)cos2θ}dθ
=[(1/4)sinθ-(1/12)sin3θ+θ/2+(1/4)sin2θ][θ:0→π/2]
=1/4+1/12+π/4
=1/3+π/4

(2)
D={(x,y)|x^2+y^2≦1,0≦x,0≦y}
とすると、Greenの定理により
((1)の線積分)=∫∫[D]{(∂/∂x)x-(∂/∂y)(-xy)}dxdy
=∫∫[D](x+1)dxdy
ここでDを極座標に変換すると
((1)の線積分)=∫[θ:0→π/2]∫[r:0→1](rcosθ+1)rdrdθ
=∫[θ:0→π/2]{(1/3)cosθ+1/2}dθ
=1/3+π/4
No.86005 - 2023/07/25(Tue) 17:31:50
☆ Re: 複素解析の問題です / りあん
Xさんありがとうございます！

問3、問4の解答もよろしければお願い致します！
No.86008 - 2023/07/25(Tue) 20:22:46
★ 最大最小の追加です / りお
なぜ緑のf(x)は関数なのに、傾きと不等号で比べることができるのでしょうか？
No.85988 - 2023/07/24(Mon) 16:33:11
☆ Re: 最大最小の追加です / りお
この緑です
No.85989 - 2023/07/24(Mon) 16:33:44
☆ Re: 最大最小の追加です / X
No.85967のご質問の回答を理解した上で
もう一度考えてみて下さい。
No.85993 - 2023/07/24(Mon) 17:49:44
☆ Re: 最大最小の追加です / ast
緑線の直前まで, f(θ) の値を (点Pを, したがってθを, パラメータとする) 特定の直線族に属する直線の傾きとして実現して, f(θ) の値の大小をそれら直線の傾きの大小として直観的に認識・比較できるようにするという手順を長々とやっているのに, それを全部忘れたかのように「なぜ傾きと比較してるのか」と問うのは鳥頭すぎて不可解 (解答を読む気があるのか疑うレベル).

もうちょっと典型的な例として, 「x,y が特定の領域 D を動くときの x^2+y^2 の変域を求めよ (この解答の定石は "x^2+y^2=k^2 とおいて x^2+y^2 の値 (=k^2) の大小を 円 x^2+y^2=k^2 の半径 k の大小として比較する", "その円上に D の点があれば, その点の x,y 座標の値を使って k^2 は実現できる" というもの)」のような問いがおそらく教科書や大抵の問題集にあると思うので, まずはそういうのを探して解くところからやるのがよいのでは.
No.85999 - 2023/07/24(Mon) 21:51:34
★ nに当てはまる数字 / ふゆ＠中3生
【問題】
√53−2n(−2nもルートの中に入ってます)が整数となるような自然数nの個数を求めなさい。

これがさっぱりわかりません。
どうやって求めればいいのでしょうか？
教えていただけるとありがたいです
No.85986 - 2023/07/24(Mon) 15:29:16
☆ Re: nに当てはまる数字 / らすかる
53-2nは1以上53未満の奇数になりますので、
それが平方数になるようなnの個数が答えです。
1以上53未満の奇数の平方数は
1^2=1,3^2=9,5^2=25,7^2=49
の4つですから、答えは4個となります。
また、そのときのnの具体値は
例えば53-2n=25のような方程式を解けば算出できます。
No.85991 - 2023/07/24(Mon) 17:36:08
☆ Re: nに当てはまる数字 / ふゆ＠中3生
なるほど〜
こちらも丁寧な解説、ありがとうございましたっ！
No.85997 - 2023/07/24(Mon) 20:55:45
★ 円の中心 / ふゆ＠中3生
円の中心の求め方がわかりません
教えていただけるとありがたいです
問題↓
No.85983 - 2023/07/24(Mon) 14:24:08
☆ Re: 円の中心 / らすかる
弧AB上の真ん中あたり（端の方だと作図の精度が下がるから）に点Cをとれば、
弦ACの垂直二等分線と弦BCの垂直二等分線の交点が円の中心となります。
図を見た感じでは多分ウですね。
No.85984 - 2023/07/24(Mon) 14:39:54
☆ Re: 円の中心 / ふゆ＠中3生
その点Cを選ぶのは適当でいいんですか？
No.85985 - 2023/07/24(Mon) 15:03:05
☆ Re: 円の中心 / ふゆ＠中3生
答えはウです
あと、どうしてその方法で求められるのでしょうか？
(アホな質問、すみません💦)
No.85987 - 2023/07/24(Mon) 15:30:27
☆ Re: 円の中心 / らすかる
Cは適当でいいです。
円の中心は弦の垂直二等分線上にありますので、
弦の垂直二等分線を二つ引けば中心がわかります。
No.85990 - 2023/07/24(Mon) 17:33:25
☆ Re: 円の中心 / ふゆ＠中3生
丁寧な解説、本当にありがとうございましたっ！
No.85996 - 2023/07/24(Mon) 20:54:19
★ 正弦定理余弦定理 / 花
半径65/8の円に内接する四角形ABCDは周の長さの和が44、BC＝CD＝13である。このとき残りの辺の長さはいくつか？
No.85977 - 2023/07/23(Sun) 19:26:54
☆ Re: 正弦定理余弦定理 / X
2倍角の公式を学習済みでない、という前提で回答します。

△BCDにおいて正弦定理により
13/sin∠CBD=2・65/8
∴sin∠CBD=4/5
従って、点Cから辺BDに下した垂線の足をHとすると
BC:CH:BH=5:4:3
(つまり、△BCHは三四五の直角三角形です。)
BH=DH
∴BC:BD=5:6
となるので
BD=(6/5)BC=78/5
∴∠BCD=θ
と置くと、△BCDにおいて余弦定理により
cosθ={13^2+13^2-(78/5)^2}/(2・13・13)
=18/25 (A)
一方、△ABDにおいて余弦定理により
(78/5)^2=AB^2+AD^2-2AB・ADcos(180°-θ)
これより
(78/5)^2=AB^2+AD^2+2AB・ADcosθ
(A)を代入すると
(78/5)^2=AB^2+AD^2+36AB・AD/25 (B)
更に条件から
AB+AD+13+13=44 (C)
(B)(C)をAB,ADについての連立方程式として解きます。
((C)からAB+ADの値を求め、これを(B)に用いて
AB・ADの値を求めれば、二次方程式の解と係数の関係
を使ってAB,ADの値を求められます。)
No.85981 - 2023/07/23(Sun) 22:20:05
☆ Re: 正弦定理余弦定理 / 花
返信が遅くなりすみません。

回答ありがとうございます。
計算したら14と4と出てきました。

> △BCDにおいて正弦定理により
> 13/sin∠CBD=2・65/8
> ∴sin∠CBD=4/5
> 従って、点Cから辺BDに下した垂線の足をHとすると
> BC:CH:BH=5:4:3
> (つまり、△BCHは三四五の直角三角形です。)

が全く思いつきませんでした。すごいです。

それからもう一つ質問ですが、私はこの問題を以下のように考えました。（うまくいきませんでした）


BD=y、∠BCD=α、AB=xとして
△ABDと△BCDで余弦定理で
y^2=x^2+(18-x)^2-2x(18-x)cos(180°-α(
=13^2+13^2-2*13*13cosα
また正弦定理で
y/sinα=2*65/8
これらより計算しようとしたのですが詰まってしまった。


なぜこれではだめなのでしょうか？うまくいかない理由を知りたいです。

また、私は高3理系なので倍角の公式もわかります。
No.86053 - 2023/07/28(Fri) 18:07:56
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