ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 整数問題 / fm

問題文
xyz=-240を満たす整数x,y,zの組は全部でいくつあるか。

画像の解答の部分で質問があります。

質問１

負の数、3を因数にもつ数、5を因数に持つ数の組み合わせを考えると、3×3×3=27（通り）

ここでなぜ3×3×3としているのですか？

質問２
それぞれに対し、4つの因数2のx,y,zの振り分け方は6C2通りであるから

ここではなぜ6C2としているのでしょうか？

ご教示ください。

No.84879 - 2023/02/10(Fri) 00:44:08

☆ Re: 整数問題 / ast

> 質問１
因数として -1 を持つのが: x or y or z である場合の 3 通り
因数として 3 を持つのが: x or y or z である場合の 3 通り
因数として 5 を持つのが: x or y or z である場合の 3 通り
だから

> 質問２
「(2 と書かれた) 互いに区別のつかない 4 つの玉を (x,y,z と書かれた) 区別された 3 つの組に (空の組を許して) 分ける組み分け」の問題と見なせば, これは「4 つの "○" とそれらを区切る 2 つの "|" の 6 つを並べる場合の数」と等しいから.
# 6C2 は "6 つの場所から | の入る 2 箇所を選ぶ組合せ" の数.

No.84881 - 2023/02/10(Fri) 02:06:49

☆ Re: 整数問題 / fm

理解することができました、ご丁寧にありがとうございます。場合の数、確率、整数系の問題が苦手なのですが、上手に解くためのコツなどはありますか？

No.84882 - 2023/02/10(Fri) 03:38:44

★ (No Subject) / kayo

通信制の大学１回生です。

以下の２変数関数の極値を求めかたを教えていただけないでしょうか。

sin(x)+sin(y)+sin(x+y)
ただし、0<=x<=2π、0<=y<=2π

よろしくお願い致します。

No.84869 - 2023/02/09(Thu) 20:16:25

☆ Re: / ポテトフライ

関数をf(x,y)とおくと

grad(f)=(0,0)となる点(x,y)を求める。
↓
それらの点に対してヘッッシアンHを計算して符号を調べる。
↓
H>0,f_{xx}>0のとき極小、H>0,f_{xx}<0のとき極大、H<0のときは鞍点、H=0は個別に調べる。

No.84871 - 2023/02/09(Thu) 20:46:07

☆ Re: / kayo

停留点（π、π）

H=０
となりました。

f(π+k,π)-f(π,π)=0
f(π,π+k)-f(π,π)=0

上記になりましたので、停留点付近は平坦になっていました。
こうした場合、極値は「なし」ということになりますでしょうか？

No.84872 - 2023/02/09(Thu) 21:16:03

☆ Re: / IT

停留点（π、π）はどうやって求めましたか？　これ以外にもあるのでは？

https://ja.wolframalpha.com/input?i=%E5%81%9C%E7%95%99%E7%82%B9+sin%28x%29%2Bsin%28y%29%2Bsin%28x%2By%29

No.84873 - 2023/02/09(Thu) 21:25:39

☆ Re: / ポテトフライ

＞こうした場合、極値は「なし」ということになりますでしょうか？

それでよいと思います。

他の調べ方としてy=xの方向を調べて
f(x,x)の(π,π)付近では関数の値がプラスからマイナスに変化してるので(π,π)は極値でない
でもよいと思います。

H=0のときの極値になるかどうかの調べ方は、本当に様々なので「がんばるしかない」です。

No.84874 - 2023/02/09(Thu) 21:59:45

☆ Re: / kayo

ITさん

停留点の求め方をもう一度振り返ってみます。

ポテトフライさん

アドバイス感謝いたします。
解けそうな気がしてきました。

有り難うございました。

No.84875 - 2023/02/09(Thu) 22:47:59

★ 1次方程式の表し方や答え方 / やゆん

中学1年です。
2点、質問があります。

?@(2500-x)÷70を分数にする場合、
(2500-x)/70のようにカッコを入れるのは間違いでしょうか。

?A問題　3/5x+1/6=1/3x-1/2
参考書答え　-5/2
この場合、2.5(小数)や2と1/2(帯分数)で答えるのは×になりますか。1次方程式の答え方で一般的だったり丸になる方を教えてください。

No.84867 - 2023/02/09(Thu) 19:42:27

☆ Re: 1次方程式の表し方や答え方 / ヨッシー

(1)
間違いではありませんが、付けないのが一般的です。
一方、この掲示板のように、分数を上下に書けない状況では、
カッコは必須です。

(2)
有限小数なら、分数、小数どちらもＯＫです。
循環小数を、数字の上に点を付ける方法で表記するのは、当該の
単元以外ではやめたほうが良いです。
帯分数は、掛け算と紛らわしいので、やはりやめたほうが良いです。上記の場合は×にはならないとは思います。
逆に、掛け算のつもりで書いたら、帯分数に解釈された
なんてことのないように、間に×または・をしっかり書きましょう。

No.84868 - 2023/02/09(Thu) 20:04:37

☆ Re: 1次方程式の表し方や答え方 / ポテトフライ

＞(2500-x)/70のようにカッコを入れるのは間違いでしょうか。
カッコがないと間違いです。

カッコなしの
2500-x/7
は
2500- (x÷7）
ととらえられます。
多項式が分子or分母にくる時にはそれをカッコでくくることが必須です。
単項式が分子or分母にくる時でもカッコがあると良いでしょう。例えば7÷(3a^2)を
7/3a^2
と表記すると
7÷3×a^2
と誤解される可能性があります。

数式の表記については様々なところで注意があるのでそれを参照してください。

＞2.5(小数)や2と1/2(帯分数)で答えるのは×になりますか。
2.5は（たぶん）大丈夫です
ただ、小数と分数が混在する数式はあまり好まれないという印象があります。

一方で、帯分数表記は絶対に避けるべきです。（というよりダメです）

数学では積の記号×を省略する慣習があるので、帯分数2と1/2は2*1/2と誤解されます。
帯分数は和の記号＋を省略していますが、これは小学校の負の遺産であると私は考えています。（中学以降の数学で和の記号＋を省略して書くことは一度もありません。）

例えばですが、「帯分数2と1/2」は「2+1/2」のことです。では負の数の帯分数の場合はどう考えるのが妥当か？「-2と1/2」という帯分数は「-2+1/2」「-2-1/2」のどちらにするのがいいだろうか？（要するに先頭についたマイナスの影響をどこまでにすべきか？ということ）

No.84870 - 2023/02/09(Thu) 20:18:36

★ 確率の問題 / 毛蟹

質問は画像のとおりです。
文章だと伝えづらいので、手書きをしました。
読み難い文字で申し訳ないのですが、お答えいただけると嬉しいです。

No.84855 - 2023/02/08(Wed) 21:48:02

☆ Re: 確率の問題 / IT

２つめの解法は、確率計算の「積の定理」「加法定理」を使っていますね。

正確に書くと
(8/12)×(4/11)×(3/10)＋(4/12)×(8/11)×(3/10)＋(4/12)×(3/11)×(8/10) ですよね。

例えば、１つめの(8/12)×(4/11)×(3/10)の(4/11)では、白４つを区別していると考えられるのではないですか？

No.84856 - 2023/02/08(Wed) 22:21:23

☆ Re: 確率の問題 / 毛蟹

>１つめの(8/12)×(4/11)×(3/10)の(4/11)では、白４つを区別していると考えられるのではないですか？

場合の数ではなく、確率として計算している時点で区別は完了しているということでしょうか？
場合の数と確率の性質の違いなのでしょうか？

No.84857 - 2023/02/08(Wed) 22:31:21

☆ Re: 確率の問題 / IT

> 場合の数ではなく、確率として計算している時点で区別は完了しているということでしょうか？

そうですね。

No.84858 - 2023/02/08(Wed) 22:41:41

☆ Re: 確率の問題 / 毛蟹

分かりました！ありがとうございます！

No.84859 - 2023/02/08(Wed) 22:45:00

★ 整数 / fm

この問題の(2)からがわからず、解説を読んでもうまく理解できません。解説の画像は返信に載せます。

(※)このとき条件を満たす自然数a,b,cの組は,（1,1+k,1+2k),...(2m-2k,2m-k,2m)の2m-2k個存在する。

a,b,cの組を(2m-2k,2m-k,2m)と表すことができることに疑問はないのですが、なぜ2m-2k個存在すると言えるのかがわかりません。

No.84838 - 2023/02/07(Tue) 22:13:14

☆ Re: 整数 / fm

解説です。よろしくお願いします。

No.84839 - 2023/02/07(Tue) 22:14:12

☆ Re: 整数 / ヨッシー

（　）の中の一番左の数は、1,2,3 と１つずつ増えていき、
2m-2k まで増えるので、2m-2k 個です。

No.84844 - 2023/02/07(Tue) 22:35:18

☆ Re: 整数 / fm

()の中のa,b,cはそれらが連続する場合のみのことを表しているのですか？

(1)のn=6の場合、一番左の数の1と2が被ってしまっているので、うまく理解できません。a,b,cの組を,（1,1+k,1+2k),...(2m-2k,2m-k,2m)となぜ表すことができるのか教えてください。

No.84846 - 2023/02/07(Tue) 23:11:25

☆ Re: 整数 / ヨッシー

n=6 つまり m=3 の時は、
k=1 のとき　2m-2k＝4(通り)。すなわち、
　(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (4,5,6)
k=2 のとき　2m-2k＝2(通り)。すなわち
　(1,3,5), (2,4,6)
k=3 では、2m-2k=0 となり、これ以上はありません。

で、４＋２＝６　をやっているのが解答のΣの式です。

No.84848 - 2023/02/07(Tue) 23:53:34

☆ Re: 整数 / fm

ありがとうございます。理解することができました！

No.84850 - 2023/02/08(Wed) 03:28:12

★ 正n角形の対称性 / fm

現在高校3年生です。レベルは入試問題くらい？です。

kは3以上の自然数で、x=2π/kとするなら
(cos(nx),sin(nx))は(n=0,1...k-1)単位円周上にある正k角形の頂点という認識で良いですか？

例えばk=3なら(cos(nx),sin(nx))は単位円周上にある正3角形の頂点のように。

ここで質問なのですが
Σ記号の下がn=0で、上がk-1のΣcos(nx)=0なのですが、例えばk=3のときなどは計算ができて0となることが確認できるのですが、kが3以上の整数であってもΣcos(nx)=0は成立しますか？またそれを証明することは高校数学の知識で可能ですか？

私が解いていた問題ではk=7のときで(cos(nx),sin(nx))は(n=0,1...６)単位円周上にある正7角形の頂点をなす。
Σ記号の下がn=0で、上が6のΣcos(nx)=「あ」

「あ」に当てはまる数を答えよ。という問題で、答えは0
で解答は「正七角形の対称性より」しか書いていなかったため、理由が知りたくて質問しました。

No.84830 - 2023/02/07(Tue) 16:54:22

☆ Re: 正n角形の対称性 / ast

# 何させようとしてる問題なのか, 文脈がよくわからんなあ
そのような設定で作った正 k-角形の (幾何学的) 重心 ((1/k) Σ_[n=0,…,k-1] cos(2πn/k), (1/k) Σ_[n=0,…,k-1] sin(2πn/k)) が原点に一致するという話をしたいのか, あるいはそれは自明のこととして用いてよいのか, (問題文の全体すらきちんと引用されないような質問の仕方されると) 推測のしようもないですが, 何れにしてもこの部分で扱うのが重心であるというところはたぶん合っているでしょう.

で, 正多角形の対称性にはいろいろな種類がありうるが, (適当な角度での) 回転対称性から重心はその回転に対して不変だし, (適当な軸に関する) 線対称性を考えれば重心はその軸上にあるので, 重心を見つけるだけなら適当な対称軸を二つとってその交点が重心になる程度のことはすぐに言えるのだろうと言ったところでしょうか.

No.84831 - 2023/02/07(Tue) 17:27:06

☆ Re: 正n角形の対称性 / fm

うまく伝えることができず申し訳ありません。問題全体はこうなっています。

No.84833 - 2023/02/07(Tue) 17:50:29

☆ Re: 正n角形の対称性 / ast

画像での補足ありがとうございます. であれば, 正多角形の重心が外接円の中心に一致する (いまの場合, 外接円は単位円でその中心は原点) というのは自明としてよさそうだと思います.

No.84834 - 2023/02/07(Tue) 18:18:19

☆ Re: 正n角形の対称性 / fm

返信有りがとうございます。重心が外接円の中心と一致すると、なぜ「あ」が0だと言えるのでしょうか？理解力が足りず申し訳ありません。。。

No.84840 - 2023/02/07(Tue) 22:16:08

☆ Re: 正n角形の対称性 / ast

ん? それは真っ先に書いたつもりですが…….
今の話で重心が原点と一致するというのは式で書けば
　((1/7) Σ_[n=0,…,6] cos(nθ), (1/7) Σ_[n=0,…,6] sin(nθ)) = (0, 0)
ということですから, 知りたい [あ] がこの情報の中に含まれていることに説明が必要というようにはいまも思っていません.

No.84849 - 2023/02/08(Wed) 01:34:09

☆ Re: 正n角形の対称性 / fm

ありがとうございます。愚かにも私が重心を求める式の存在を忘れてしまっていました。ここまで丁寧に説明してくださりありがとうございます。

No.84851 - 2023/02/08(Wed) 03:33:19

★ (No Subject) / y

画像の添付が出来ないので文章で失礼します。

右の図1のように、直線lと2点A,Bがある。直線l上に点Cを書き入れて、?僊BCが辺ACを斜辺とする直角三角形となるように、手順1～4で点Cを求めた。

No.84829 - 2023/02/07(Tue) 16:26:13

☆ Re: / ast

> 画像の添付が出来ない
(これが画像が用意できないという意味でなく) 画像自体は存在するという状況なのであれば, 画像ファイル選択から[投稿する]ボタンを押すまでの間にプレビューをしていませんか?
# プレビュー画面では画像ファイルが未選択の状態に戻ってしまいますので, # 再選択せずにそのまま投稿しようとすると画像は抜けてしまいます.

> ?僊
直角三角形の記号（右下が直角になった斜体のΔ, 差分を表すのにもたまに使われる）に A を続けて書いたことでこの文字化けになっているようですね. (直角三角形の記号自体がこの掲示板では化けます. むかしは大丈夫だったのに過去ログでもたくさんの記号が化けててなかなか妙なことになってる). できれば△ABCとか, むしろ記号を使わずに(直角)三角形ABCなどと書いてくれたほうが安心です.

> 文章で
たぶん画像にしようとした部分に書かれていた文章を手入力してくださったのだとは思います (それ自体は重要です, ヘタに改変してしまうと意味が変わってしまったりする恐れもあります) が, たとえば
> 右の図1のように、直線lと2点A,Bがある。
では l と A,B の位置関係がいろいろ考えられます. A,B が l の同じ側にあるのかそれとも l を挟んで A,B はそれぞれ l の違う側にあるのか, と言ったようなことも補足で書き足してくれないと回答者は問題を誤解してしまって, あなたに (悪意は無くても実質的に) 嘘を教えることになってしまうかもしれません. またたとえば
> 手順1～4
が何をどのようにしようとしているのかなかなか想像つきづらいところです (絶対に誰がやってもこの順番で必ずこうすると言ったようなことはそうそうないことです).

No.84832 - 2023/02/07(Tue) 17:50:16

☆ Re: / y

添付の方法等教えてくださりありがとうございます。

おっしゃる通り、図がないと色んなパターンが考えられますよね。

もう一度添付してみます。

No.84837 - 2023/02/07(Tue) 19:17:24

☆ Re: / ヨッシー

この問題とは関係なく、
　直線上の点Ａから、この直線に垂直な直線
を作図することは出来ますか？

No.84841 - 2023/02/07(Tue) 22:26:08

☆ (No Subject) / y

垂線の作図は出来ます。

No.84843 - 2023/02/07(Tue) 22:34:54

☆ Re: / ヨッシー

それならば、この図を目指して作図してみましょう。

No.84845 - 2023/02/07(Tue) 22:42:47

☆ Re: / y

理解できました！ありがとうございます。

No.84847 - 2023/02/07(Tue) 23:20:31

★ (No Subject) / ラジオディア

xy平面において、原点Oと異なる点Pがあり、点Oを端点とする半直線OP上にOP×OQ＝1となるような点Q(x,y)を考える。点Pがx=h(h>0)上を動くとき点Qの動く軌跡を求めよ

No.84822 - 2023/02/06(Mon) 19:59:57

☆ Re: / X

方針を。

P(X,Y)とすると、条件から
↑OQ=(1/OP^2)↑OP
∴
x=X/(X^2+Y^2) (A)
y=Y/(X^2+Y^2) (B)
一方、点Pの存在範囲について
X=h (C)
(C)を(A)(B)に代入して
x=h/(h^2+Y^2) (A)'
y=Y/(h^2+Y^2) (B)'
後は(A)'(B)'からYを消去します。
但し、(A)'とh＞0により
xの値の範囲に注意しましょう。

No.84835 - 2023/02/07(Tue) 18:46:50

☆ Re: / ラジオディア

どうYを消去するのですか？

No.84852 - 2023/02/08(Wed) 18:37:11

☆ Re: / ラジオディア

自分で解いて（1/2k,0)を中心とする半径1/2kの円から原点を除いたものとなりました。問題に続きがあり、３点(-1,2),(-1,-1),(2,-1)を結んだ三角形上を点Pが動くときのQの軌跡を求めよという問題で、上の問題を使うのはわかるのですが範囲をどう絞ればいいかわかりません。

No.84861 - 2023/02/09(Thu) 17:46:46

☆ Re: / X

＞＞自分で解いて～なりました。

＞＞（1/2k,0)
が
((1/2)h,0)
＞＞半径1/2kの円
が
半径(1/2)hの円
のタイプミスであるなら、こちらの計算結果と同じです。

＞＞３点(-1,2),(-1,-1),(2,-1)を結んだ三角形上～
「三角形上」とは三角形の周及び内部
という意味ですか？

No.84862 - 2023/02/09(Thu) 18:06:40

☆ Re: / ラジオディア

すいません。タイプミスでした。三角形上は周だけです。

No.84863 - 2023/02/09(Thu) 18:14:18

☆ Re: / X

＞＞３点(-1,2),(-1,-1),(2,-1)を結んだ三角形上～
について、ヒントを。

(A)(B)と同様にして
双対性(つまりP,Qの立場を入れ替えても同じ)
により
X=x/(x^2+y^2) (A)"
Y=y/(x^2+y^2) (B)"
が成立します。

もし、このヒントで解けないようならその旨を
アップして下さい。
(ちなみに最初にご質問の問題の結果は
使いません。)

No.84864 - 2023/02/09(Thu) 18:20:35

☆ Re: / X

それから一言お詫びを。

最初の問題の質問についてですが、最初から
(A)"を提示できていれば
(つまり、↑OP,↑OQの対応関係を
逆に考えていれば)
簡単に解ける問題でした。
(ごめんなさい。)

No.84865 - 2023/02/09(Thu) 18:25:56

☆ Re: / ラジオディア

AC上を動くときがわかりません。

No.84885 - 2023/02/10(Fri) 14:39:58

☆ Re: / X

他の掲示板の同じ問題の質問から
A(-1,2),B(-1,-1),C(2,-1)
と解釈して回答を。
条件から辺CAの方程式は
y=-x+1　(但し-1≦x≦2)
∴点Pについて
Y=-X+1 (C)
-1≦X≦2 (D)
(C)(D)に(A)"(B)"を代入すると
y/(x^2+y^2)=-x/(x^2+y^2)+1 (C)'
-1≦x/(x^2+y^2)≦2 (D)'
(C)'より
y=-x+x^2+y^2 かつ(x,y)≠(0,0)
∴(x-1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2かつ(x,y)≠(0,0) (C)"
(D)より
-(x^2+y^2)≦x≦2(x^2+y^2)かつ(x,y)≠(0,0)
∴
(x+1/2)^2+y^2≧1/4 (E)
かつ
(x-1/4)^2+y^2≧1/16 (F)
かつ
(x,y)≠(0,0) (G)

(C)"(E)(F)(G)を図示します。

No.84894 - 2023/02/12(Sun) 18:00:15

☆ Re: / X

(C)"(E)(F)(G)を図示するとこのようになります。

No.84900 - 2023/02/12(Sun) 20:52:53

☆ Re: / X

ここで(E)(F)の境界線と(C)"との
原点以外の交点の座標はそれぞれ
(-1/5,2/5),(2/5,-1/5)
よって辺CAに対応する点Qの軌跡は

点(1/2,1/2)を中心とし、
点(-1/5,2/5),(2/5,-1/5)
を両端とする劣弧

となります。

No.84901 - 2023/02/12(Sun) 20:56:21

☆ Re: / X

改めて図示するとこんな感じになります。

No.84910 - 2023/02/13(Mon) 17:46:29

★ 2次関数:2変数関数 / 山田山

過去に回答を頂きましたが、まだよくわからないので再度質問させていただきます。

質問1
?Aをtの関数とみなした時、2次の係数がマイナスなので減少関数であることは分かります。なぜa<0と記述してあるのか。

質問2
軸が分からず、なぜt=0で最大値を取ることが分かるのか。

今回の質問で最後にしたいと思います。回答よろしくお願いします。

No.84814 - 2023/02/04(Sat) 23:03:27

☆ Re: 2次関数:2変数関数 / 山田山

質問1直後冒頭?Aは(丸2)です。

No.84815 - 2023/02/04(Sat) 23:05:35

☆ Re: 2次関数:2変数関数 / ast

同じことの繰り返しにしかならないと思います (結局は, まる2の行の右傍注に書いてあることに尽きるので).

強いて言うべきことがあるとすると, どちらの質問も, また以前のスレッドのやり取りでもそうだけど, そもそも
> 減少関数
の意味が解ってない, としか思えないが…….
# もう少し正確に言うなら閉区間 [0,2] 上(※)で (単調) 減少函数(※※).
# ※ この部分は解説文では「この範囲では，」という形で書いてある.)
# ※※ 考えている範囲 (定義域) の全域で単調減少な函数のことを単に減少函数と(「単調」を落として)呼ぶことも少なくない.
## "考えている範囲 (定義域)" が重要であることは, 定義域が実数全体なら, どんな二次函数であっても
## 減少函数にも増大函数にもなり得ない (ある範囲では増加しある範囲では減少する) ことから
## 普通は明らかだし, 質問1の
## > 2次の係数がマイナスなので減少関数である
## が明らかに誤りであることも普通は説明しなくても分かると考えるようなことなので,
## だからわからない原因はそもそも減少函数の意味 (定義) が分かっていないのにわかったつもりで
## 軽くスルーしてしまっているのでは, というのが蓋然性高そうだと言っているわけです.

No.84816 - 2023/02/04(Sat) 23:34:07

☆ Re: 2次関数:2変数関数 / IT

＞tの関数とみなした時、2次の係数がマイナスなので減少関数であることは分かります。なぜa<0と記述してあるのか。

「2次の係数がマイナスなので減少関数であることは分かります」→間違いです。
山田山さんが気にしておられる「軸」の位置によっては、区間 [0,2]での増減が変わってきます。

問題を書き込んでおられない（？）ので、aが何者か確実には分かりませんが、

例えば [0,2]での -2t^2+8t の増減はどうなりますか？

No.84819 - 2023/02/05(Sun) 09:59:34

☆ Re: 2次関数:2変数関数 / 山田山

回答ありがとうございます。

No.84820 - 2023/02/05(Sun) 13:56:41

★ 曲線の長さの比較 / 大西

y=x^a(0≦x≦1)(a>1)の長さはaが大きくなると長くなることを
示したいです。
グラフより明らかと書くと雑なような気がするので、何か示すいい方法は無いでしょうか？

No.84802 - 2023/02/02(Thu) 21:55:27

☆ Re: 曲線の長さの比較 / ポテトフライ

甘い点もありますが、次のようにすればよいと思います。

y=x^a(0≦x≦1)(a>1)の長さをL(a)とすれば
L(a)=∫_[0,1](1+ax^{a-1})^{1/2}dx
よって
(∂/∂a) L(a)=∫_[0,1](∂/∂a)(1+ax^{a-1})^{1/2}dx
=∫_[0,1]x^{a-2}(x+a(a-1))/{2(1+ax^{a-1})^{1/2}}dx
このときx∈[0,1],a>1のときx+a(a-1)>0より、
(∂/∂a) L(a)の被積分関数は正。
すなわち(∂/∂a) L(a)>0なのでL(a)は単調増加

No.84803 - 2023/02/03(Fri) 01:58:10

☆ Re: 曲線の長さの比較 / らすかる

f(x)=x^a, g(x)=x^b (a＜b)とします。
y=g(x)上の点(p,g(p))におけるy=g(x)の接線l1を考え、
点(p,g(p))を通り接線l1と垂直な直線l2とy=f(x)との交点を(q,f(q))とします。
pが0に近いときはf'(q)＞g'(p)、1に近い時はf'(q)＜g'(p)となりますので、
pが0＜p＜1を満たすある値のときにf'(q)=g'(p)となります。
このとき、接線l1をs軸、直線l2をt軸とみなしてst座標系を考えて
xy座標系におけるy=f(x)をst座標系におけるt=h(s)、
xy座標系におけるh=g(x)をst座標系におけるt=i(s)とすると、
h'(0)=i'(0)=0
s＞0のとき0＜h'(s)＜i'(s)
s＜0のとき0＞h'(s)＞i'(s)
となりますので、任意の微小区間[α,α+ε]において
「h(α)からh(α+ε)の長さ」＜「i(α)からi(α+ε)の長さ」
となり、その合計である全体の長さもt=h(s)よりt=i(s)の方が長くなります。
従ってy=f(x)よりy=g(x)の方が長いことになります。

# 細かいところははしょっていますので厳密性に欠けますが、
# 図形的イメージはつかみやすいかと思います。

No.84804 - 2023/02/03(Fri) 02:09:49

☆ Re: 曲線の長さの比較 / 大西

ポテトフライさん、らすかるさんありがとうございます。

ポテトフライさんの方の回答は曲線の長さの式からaに対するL(a)の増減を調べるという点の説明は理解できました。

曲線の長さは
L(a)=∫_[0,1](1+(ax^{a-1})^2)^{1/2}dx
でしょうか。
あと、私の勉強不足かも知れませんが、aではなくてxで微分しているように見えてしまいました。

らすかるさんの方の回答はグラフのイメージ通りのことで理解しやすかったです。

ありがとうございました。

No.84805 - 2023/02/03(Fri) 07:53:47

☆ Re: 曲線の長さの比較 / ポテトフライ

すみません。間違ったことをかいてしまいました。

一般に関数y=f(x)のa≦x≦bの曲線の長さLは
L=∫_[a,b]√(1+f'(x)^2)dx
です。なので今回の場合大西さんの
L(a)=∫_[0,1](1+(ax^{a-1})^2)^{1/2}dx
が正しいです。

その上でaの関数とみて微分しても増減を簡単に判定できそうもないですね。
(∂/∂a) L(a)=∫_[0,1](∂/∂a)(1+(ax^{a-1})^2)^{1/2}dx
=∫_[0,1]ax^{a-2}(2+alogx)/{2(1+ax^{a-1})^{1/2}}dx

あとは
＞L(a)の増減を調べる
で間違いないです。

No.84806 - 2023/02/03(Fri) 12:37:15

☆ Re: 曲線の長さの比較 / 大西

ポテトフライさんご返信ありがとうございます。

私も最初は曲線の長さの式を微分しようと思ったのですが、うまくいきませんでした。
区間を分割したりしてもなかなかうまくいかずに混乱していました。ありがとうございます。

No.84807 - 2023/02/03(Fri) 19:06:45

☆ Re: 曲線の長さの比較 / IT

陸上競技で凸曲線またはその外側を走るとき、その曲線が最短路であることは当たり前の気がしましたが、証明は思いつきませんでした。検索したら見つかりましたので紹介します。

「単純閉凸曲線の長さ」で検索すると佐賀大学のレポートが見つかると思いますのでご覧ください。

（概要）細かい定義や証明は原文をご覧ください。
Cを単純閉曲線とする。
Cは平面を２つの領域に分割するが、そのうち有界な方の領域をCの内部といい、C及びその内部からなる集合を[C]で表す。
[C]が凸集合であるような単純閉曲線を「単純閉凸曲線」という。
単純閉曲線Cの長さをCに内接する単純多辺形の長さの上限として定義できこれをL(C) と表す。

単純閉凸曲線C1,C2 について、[C1]⊂[C2]ならばL(C1)≦L(C2)が成り立つ。等号は[C1]＝[C2]のときに限る

証明の流れ
[補題１]
　P、Qが単純多辺形であるとする。
[P],[Q]が凸であって[P]⊂[Q]を満たすならば、L(P)≦L(Q)が成り立つ。

[補題２]
　単純閉凸曲線C上に一定の向きに点A1,A2,...,Anをとるとき、これらの点を順次結んで得られる閉折線Pは単純多辺形であり、[P]は凸多角形になる。

[定理１]単純閉凸曲線Cの長さは有限である。

[定理２]C1,C2が単純閉凸曲線で[C1]⊂[C2]ならば、L(C1)≦L(C2)が成り立つ。等号は[C1]＝[C2]のときに限る。

証明の概要：C1に内接する任意の単純多辺形Pについて、C2に内接する単純多辺形Qで[P]⊂[Q]となるものを構成することができる。(省略）
このとき補題２からL(P)≦L(Q)。
L(C2)の定義よりL(Q)≦L(C2)だから,L(P)≦L(C2)となる。
Pに関して上限をとってL(C1)≦L(C2)を得る。

（等号条件の証明はあとで）

　

No.84808 - 2023/02/03(Fri) 22:02:26

☆ Re: 曲線の長さの比較 / IT

（等号条件の証明用の略図です）

No.84809 - 2023/02/03(Fri) 22:46:02

☆ Re: 曲線の長さの比較 / 大西

ITさんご返信ありがとうございます。

興味深い文献をご紹介いただきありがとうございます。
当たり前のことのようでそれを示すのは意外と難しいのですね。
勉強になりました。

No.84810 - 2023/02/04(Sat) 00:57:57

☆ Re: 曲線の長さの比較 / IT

本問の場合に特化した説明図を書いてみました。

厳密にはy=x^a 上の折れ点の数がいくらでも、折れ点を結ぶ線分の長さの和が、y=x^bの内側の折れ線の長さより小さいことを示す必要があります。

No.84811 - 2023/02/04(Sat) 10:40:04

☆ Re: 曲線の長さの比較 / IT

折れ点が３つの場合を描いてみました。

No.84812 - 2023/02/04(Sat) 13:29:14

☆ Re: 曲線の長さの比較 / 大西

ITさんご返信ありがとうございます。

非常にわかりやすいイメージ図を描いていただきありがとうございます。
点の数が増えていって曲線に近付いた時でも同じことが言えますね。

ありがとうございました。

No.84813 - 2023/02/04(Sat) 22:14:56

★ dreaming muscle / 絶対値付きの積分の最小値

問題文:f(x)=??(0→1)|t^3-3t-x|dt の最小値を求めよ

No.84787 - 2023/01/31(Tue) 19:06:58

☆ Re: dreaming muscle / 絶対値付きの積分の最小値

ここまで解いたのですが先が解けません。どなたか解答＆解説よろしくお願いします！

No.84788 - 2023/01/31(Tue) 19:07:57

☆ Re: dreaming muscle / X

(i)(ii)それぞれのf(x)の値の範囲を
求めた上で、(iii)の続きの方針を。

p^3-3p-x=0
を使ってf(x)の式からxを消去し
f(x)をpの関数と見て
0≦p＜1
の範囲で最小値を求めます。

No.84789 - 2023/01/31(Tue) 19:41:45

☆ Re: dreaming muscle / IT

厳密性は？ですが
グラフを使ってt=0,t=1,y=g(t),t軸で囲まれる部分の面積の変化を考えれば
p=1/2 のときが最小であることが分かります。
（ちゃんとした解法（Xさんの方針）で解いて計算間違いがないかを確認するのに使えます。）

この方法で厳密に示すには、縦横を変えて積分を考える必要があります。

No.84790 - 2023/01/31(Tue) 20:07:36

☆ Re: dreaming muscle / 絶対値付きの積分の最小値

> (i)(ii)それぞれのf(x)の値の範囲を
> 求めた上で、(iii)の続きの方針を。
>
> p^3-3p-x=0
> を使ってf(x)の式からxを消去し
> f(x)をpの関数と見て
> 0≦p＜1
> の範囲で最小値を求めます。

この先は4次の増減表で地道にやるしかないのでしょうか？

No.84795 - 2023/02/01(Wed) 19:07:14

☆ Re: dreaming muscle / IT

でしょうね。
pで微分すると　a(p-(1/2))(1-p^2) ,(aは正定数）になるので　0≦p＜1での増減表は、簡単ですね。

No.84796 - 2023/02/01(Wed) 19:49:45

☆ Re: dreaming muscle / 絶対値付きの積分の最小値

ありがとうございます。

No.84798 - 2023/02/01(Wed) 21:41:34

☆ Re: dreaming muscle / 黄桃

>この先は4次の増減表で地道にやるしかないのでしょうか？
初見だとそうなるでしょうが、以下のようにまとめることができます。

(iii)の場合に　最初から　t^3-3t は0≦t≦1で単調減少だから、 x=p^3-3p (0≦p≦1) となるpがただ1つある、として、
f(x)=f(p^3-3p)=g(p)と置き、g(p)の変化を調べる、といえば
g(p)
=∫[0,p] t^3-3t-(p^3-p) dt + ∫[p,1] (p^3-p)-(t^3-3t) dt
=∫[0,p] (t^3-3t)dt -∫[0,p](p^3-3p) dt+∫[p,1](p^3-3p)dt -∫[p,1](t^3-3t)dt
=∫[0,p] (t^3-3t)dt -p(p^3-3p)-∫[p,1](t^3-3t)dt+(1-p)(p^3-3p)
=∫[0,p] (t^3-3t)dt -∫[p,1](t^3-3t)dt+(1-2p)(p^3-3p)
だから、
dg(p)/dp
=(p^3-3p)+(p^3-3p)-2(p^3-3p)+3(1-2p)(p^2-1)
((1-2p)(p^3-3p) の微分には積の微分の公式を使った）
=3(1-2p)(p^2-1)
（(p^3-3p)をPとでもおけば、P+P-2P=0)
となり、g(p)の増減がすぐにわかります。

おそらく、この計算（t^3-3tでなくても、積分区間で単調増加や単調減少の微分可能な関数であれば同様に積分区間の中点で最小となる）がITさんのいう厳密性に相当するものではないかと思います。

No.84799 - 2023/02/02(Thu) 07:58:07

☆ Re: dreaming muscle / IT

グラフを90度回転して考えた場合のイメージ図です。

No.84800 - 2023/02/02(Thu) 19:58:47

☆ Re: dreaming muscle / IT

イメージを示すのが目的なのでh(u)が何かとか細かいことは書いてません。

No.84801 - 2023/02/02(Thu) 20:01:52