ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 線形代数 / 大学２年生

線形代数の問題です。
この行列のx1x2x3x4を求めてください。
掃き出し法で解いていますがどうしてもうまくいかないので詳しく書いていただけるとありがたいです。

No.85513 - 2023/06/02(Fri) 19:05:44

☆ Re: 線形代数 / 吉田

https://www.krrk0.com/hakidasihou/

https://jfor.net/row-reduction/

https://senkei.nomaki.jp/gaussian_elimination.html

参考にしてみてください。

No.85516 - 2023/06/03(Sat) 08:46:03

☆ Re: 線形代数 / GandB

85519削除訂正

　2列まで掃き出したが、やはり分数計算が避けられそうもないのでますますやる気が失せた。

PCで計算
1　　2　 -1　 -1　　4
2　 -1　 -3　　1　 -6
2　 -2　　1　　2　　0
1　　1　　1　　1　　7

1　　0　 -1　　0　-3.00000
0　　2　　0　 -1　 7.00000
0　 -1　　4　　1　 6.00000
0　　1　　2　　0　10.00000

1　　0　 -1　　0　-1.60000
0　　1　　0　　0　 2.80000
0　　0　　4　　0　 8.80000
0　　0　　2　　1　 5.80000

1　　0　　0　　0　 1.33333
0　　1　　0　　0　 2.38095
0　　0　　1　　0　 2.09524
0　　0　　0　　1　 1.19048

1　　0　　0　　0　 1.00000
0　　1　　0　　0　 3.00000
0　　0　　1　　0　 2.00000
0　　0　　0　　1　 1.00000

No.85523 - 2023/06/04(Sun) 04:47:41

★ 線形代数 / 大学２年生

何度も質問すみません。
同次連立1次方程式を解いていたのですが、任意の値として『cは任意定数』としたら任意定数ではなく任意の実数と言われました。
しかし固有ベクトルも同じように解いているとその時はcは任意定数でした。
何が違うのでしょうか？

No.85512 - 2023/06/02(Fri) 00:35:27

★ 線形代数 / 大学２年生

この後どのように答えを出せば良いでしょうか？

No.85505 - 2023/06/01(Thu) 17:34:18

☆ Re: 線形代数 / ヨッシー

まずは、下の方の問題のように、行列を外して
３つの式を作りましょう。
３つ目の式から　ｘ2＝(ｘ3 の式)
２つ目の式から　ｘ4＝(ｘ3 の式)
これらを１つ目の式に代入して、ｘ1＝(ｘ3 の式)
を求めます。

文字が４つ、式が３つなので、このような関係式にまでしか出来ません。

No.85507 - 2023/06/01(Thu) 17:41:15

☆ Re: 線形代数 / 大学２年生

これが最終的な答えになってしまうということですか？

No.85508 - 2023/06/01(Thu) 20:06:14

☆ Re: 線形代数 / ヨッシー

そうです。
ｘ3 に１，２，５を代入した
(-7, -6, 1, -1), (-14, -12, 2, -2), (-35, -30, 5, -5)
などについて、行列の計算をしてみればわかります。

No.85509 - 2023/06/01(Thu) 20:43:32

☆ Re: 線形代数 / 大学２年生

ありがとうございます。

No.85511 - 2023/06/02(Fri) 00:30:09

★ 指数方程式 / どんぐり

高校２年生です。
r^(n-1)=8√2
という方程式から実数rと自然数nを求めるとき、右辺が(√2)^7だからr=√2、n=8とするのは間違いですか？
どなたか教えてください。

No.85502 - 2023/06/01(Thu) 16:27:33

☆ Re: 指数方程式 / X

問題が、

rを実数、nを自然数とするとき
r^(n-1)=8√2
を満たす(r,n)の組を「１つ」求めよ

でしたら、それで正解です。

No.85503 - 2023/06/01(Thu) 17:15:14

☆ Re: 指数方程式 / どんぐり

Xさん
どうもありがとうございました！

No.85510 - 2023/06/01(Thu) 21:45:59

★ (No Subject) / 大学２年生

上の式から下の答えはどのように導き出したのでしょうか？

No.85498 - 2023/05/31(Wed) 22:09:38

☆ Re: / ヨッシー

ｘ1＋2ｘ2－ｘ3－ｘ4＝4
－ｘ2＋2ｘ3＋2ｘ4＝3
9ｘ3＋8ｘ4＝26
－25ｘ4＝－25
これらを下から順に解いていけば出来ます。

No.85499 - 2023/05/31(Wed) 23:07:46

☆ Re: / 大学２年生

解けました。
ありがとうございます。

No.85500 - 2023/06/01(Thu) 14:45:35

★ 極限 / デカメロン

分数の極限で、分母の最高次数で全体を割ると都合よくなる理由があまりわかりません。分子ではだめでしょうか。
どなたか詳しく教えていただけないでしょうか
極限を解くとはどういうことなのかという、極限の本質がわかっていない気がするので、そこに言及していただけると助かります。

No.85497 - 2023/05/31(Wed) 16:57:50

★ (No Subject) / 虎党

aを正の整数、p,qを素数とする。ax^2-px+q=0の2解が整数となるようなa,p,qの組を求めよ。
解説よろしくお願いします。

No.85490 - 2023/05/30(Tue) 19:49:21

☆ Re: / IT

解と係数の関係を使えば、割と容易にできるのでは？
解と係数の関係が未知ならa(x-α)(x-β)=ax^2-px+q＝0 から考える。

No.85495 - 2023/05/30(Tue) 21:45:06

★ (No Subject) / 虎党

n≧2,bは素数,a^2-b^n=225の３つの条件を満たす正の整数の組を求めよ
a-15=b^s,a+15=b^t(1≦s<t,sとtは共に整数)でなければならないというふうに進めたのですが、この先はb^s(b^(t-s)-1)=30として一個ずつ確かめるしかないのでしょうか。

No.85486 - 2023/05/30(Tue) 16:48:41

☆ Re: / IT

30=2*3*5 なので、確かめるのは、そんなに多くないのでは？

No.85491 - 2023/05/30(Tue) 20:02:07

☆ Re: / IT

1≦s　はなぜですか？(結果的には正しいと思いますが）

No.85492 - 2023/05/30(Tue) 20:08:55

★ 微分方程式 / 大学２年生

変数分離形の微分方程式dy/dx=y/xの一般解を計算していると答えがy=Cxとy=(1/C)xの2つの場合が出てきました。

どちらが答えとして合っているのでしょうか？

No.85484 - 2023/05/30(Tue) 00:47:30

☆ Re: 微分方程式 / 大学２年生

このような計算結果です。
logを移行させた時にマイナスがxにつくのかyにつくのかで答えが変わってきます。
Cをどのように扱えば良いかわかりません。

No.85485 - 2023/05/30(Tue) 00:54:36

☆ Re: 微分方程式 / X

これはe^cを改めてどのような変数に置き換えるか、
という問題だけで、解としては同じです。

添付写真の左の解では
e^cを改めてCと置いていますが
1/e^cを改めてCと置いても何ら問題はなく、
これは左の解と等価になります。

No.85487 - 2023/05/30(Tue) 16:51:00

☆ Re: 微分方程式 / 大学２年生

どちらで書いても正解ということですか？

No.85494 - 2023/05/30(Tue) 20:51:14

☆ Re: 微分方程式 / X

y=0を解に含めることを考えると
y=Cx
とした方がC=0のときも使えますので
無難です。

勿論
y=(1/C)x又はy=0
と書いても、一般解としては正解です。

No.85496 - 2023/05/31(Wed) 00:38:26

☆ Re: 微分方程式 / 大学２年生

わかりました。
ありがとうございます。

No.85501 - 2023/06/01(Thu) 14:45:55

★ (No Subject) / 面積

pを実数とする。y=x^3+px^2+xのグラフ(C1)とy=x^2のグラフ(C2)はx>0の範囲に共有点を2個持つとする。

(1)このようなpの値の範囲を求めよ
(2)C1とC2のx>0の範囲にある共有点のx座標をそれぞれa,bとし、0≦x≦aとa≦x≦bの範囲でC1とC2が囲む部分の面積をそれぞれS1,S2とする。S1=S2となるpの値を求めよ。

解説よろしくお願いします。

No.85483 - 2023/05/29(Mon) 21:05:39

☆ Re: / X

(1)
C[1],C[2]の共有点のx座標について、条件から
x^3+px^2+x=x^2
これより
x=0
又は
x^2-(1-p)x+1=0 (A)
∴題意を満たすためには、まず(A)に対して
解と係数の関係から
1-p＞0 (B)
次に(A)の解の判別式をDとすると
D=(1-p)^2-4＞0 (C)
(B)(C)を連立して解いて、求めるpの値の範囲は
p＜-1

(2)
条件からa,bは(A)の解ゆえ、解と係数の関係から
a+b=1-p (D)
ab=1 (E)
一方、C[1],C[2]の位置関係から
S[1]=∫[0→a]{(x^3+px^2+x)-x^2}dx
=(1/4)a^4+(1/3)(p-1)a^3+(1/2)a^2
S[2]=∫[a→b]{x^2-(x^3+px^2+x)}dx
=(1/3)(1-p)(b^3-a^3)-(1/4)(b^4-a^4)-(1/2)(b^2-a^2)
∴S[1]=S[2]により
(1/4)a^4+(1/3)(p-1)a^3+(1/2)a^2=(1/3)(1-p)(b^3-a^3)-(1/4)(b^4-a^4)-(1/2)(b^2-a^2) (F)
(D)(E)(F)をa,b,pについての連立方程式として解きます。

(F)より
(1/3)(1-p)b^3-(1/4)b^4-(1/2)b^2=0
{3b^2-4(1-p)b+6}b^2=0
条件より0＜b、つまりb≠0ゆえ
3b^2-4(1-p)b+6=0
これに(D)を代入すると
3b^2-4(a+b)b+6=0
左辺を展開して(E)を代入すると
b^2-2=0
∴0＜bより
b=√2
これを(E)に代入して
a=1/√2
∴(D)より
p=1-(3/2)√2
となります。

No.85489 - 2023/05/30(Tue) 17:43:48

★ (No Subject) / 面積

a>0とする。y=|x^2-x|とy=axで囲まれた面積の最小値とその時のaの値を求めよ

No.85482 - 2023/05/29(Mon) 20:53:31

☆ Re: / X

y=|x^2-x| (A)
y=ax (B)
とします。
(A)(B)のグラフを描くと、面積を求めるべき領域は
0≦x
の範囲にのみ存在しますので、この範囲で場合分けをします。

(i)0≦x≦1のとき
(A)は
y=-x^2+x
∴この範囲に(B)との交点が原点以外に存在するのであれば
その交点のx座標について
-x^2+x=ax
∴x=1-a (但し0＜a≦1)
(ii)1＜xのとき
(A)は
y=x^2-x
∴(A)(B)の交点のx座標について
x^2-x=ax
となるので
x=a+1

(i)(ii)から問題の領域の面積をS(a)とすると
(I)0＜a≦1のとき
S(a)=∫[0→1-a]{(-x^2+x)-ax}dx+∫[1-a→1]{ax-(-x^2+x)}dx
+∫[1→a+1]{ax-(x^2-x)}dx
=(1-3a+9a^2-a^3)/6
これより
S'(a)=-(1-6a+a^2)/2
=-(1/2){a-(3-2√2)}{a-(3+2√2)}
∴S(a)の増減表を書くことによりS(a)は
a=3-2√2
のときに最小になります。
(II)1＜aのとき
(A)(B)のグラフにより、S(a)はaに関して単調増加。

(I)(II)により求めるaの値は
a=3-2√2
となります。

No.85488 - 2023/05/30(Tue) 17:21:44

★ 場合の数 / ぷろいせん

「問：10匹の犬を1匹、1匹、3匹、3匹ずつ、４つのケージに入れる方法は何通りあるか？」解答は280通りになるはずですが、その方法を示してください。

No.85476 - 2023/05/28(Sun) 19:39:37

☆ Re: 場合の数 / ぷろいせん

書き忘れましたが、高2です。

No.85477 - 2023/05/28(Sun) 19:41:12

☆ Re: 場合の数 / IT

残りの2匹はどうするのですか？

No.85478 - 2023/05/28(Sun) 20:15:44

☆ Re: 場合の数 / ぷろいせん

残りの2匹は残していいみたいです。

No.85479 - 2023/05/28(Sun) 20:43:01

☆ Re: 場合の数 / IT

10匹の犬は区別する。４つのケージは区別しない。という条件と推定されます。

1匹ずつ入れる2匹の選び方がC(10,2)通り
それぞれについて、2組の3匹を選ぶ方法が
(C(8,3)×C(5,3))/ 2 通り

なので280通りより多くなると思いますが、出題・解答に間違いはないですか？

8匹なら　C(8,2)×C(6,3)/2= 280 通りになりますが

No.85480 - 2023/05/28(Sun) 22:24:26

☆ Re: 場合の数 / ぷろいせん

ありがとうございます。
出題ミスかも知れないので、先生に確認します。

No.85481 - 2023/05/28(Sun) 22:44:00

★ (No Subject) / 中間値の定理

区間[0, 1]で定義された連続関数f(x)の最大値をM,最小値をmとする。M+m=1 かつ 0≦a≦1であるときf(a)+f(b)=1かつ0≦b≦1を満たすbが存在することを中間値の定理を用いて示せ

No.85472 - 2023/05/27(Sat) 21:16:35

☆ Re: / IT

ポイントだけ、細かい記述などは自分でどうぞ
f(s)=m,f(t)=M とする。
g(x)=f(a)+f(x) とおく
g(s)=f(a)+m≦1
g(t)=f(a)+M≧1

中間値の定理より・・・

No.85473 - 2023/05/27(Sat) 21:29:51

★ 同じものを含む円順列 / 初夏

赤玉2個、白玉2個．青玉4個で出来る
円順列の個数はいくらですか。
同じ問題で青玉が5個の場合は
いくらになりますか。
この問題の解法をご教授願えない
でしょうか。
よろしくお願いします。

No.85469 - 2023/05/27(Sat) 19:11:24

☆ Re: 同じものを含む円順列 / IT

最初の問題の考え方（２つ目の問題も似たような感じで）

赤玉2個の配置は4通り。
それぞれについて白玉2個の配置を考える。
回転して一致する場合に注意

No.85470 - 2023/05/27(Sat) 19:56:59

☆ Re: 同じものを含む円順列 / 初夏

早速の解答有り難うございました。
最初の問題は6！/(2×2×2×6)=15
15+15+15=45通りで間違いないでしょうか。

No.85474 - 2023/05/27(Sat) 21:44:29

☆ Re: 同じものを含む円順列 / IT

どういう考え方で、計算されているのか良く分かりません。

具体的に（赤玉2個の配置毎に）図を描いて考えないと、計算式だけで解くのは難しいのではないかと思います。

No.85475 - 2023/05/27(Sat) 22:09:34

★ 高2:図形と方程式 / 山田山

(1)の問題の解答を読みましたが、接点座標が出ていない状況でなぜ最小•最大を判別出来るのか理解できません。
回答よろしくお願いします。

No.85466 - 2023/05/26(Fri) 22:40:43

☆ Re: 高2:図形と方程式 / ast

x-3y の取りうる値 k が, (領域 D と共有点を持つ直線 y=3x+k の) y-切片として実現できているので (直観的に, つまり見た通りに) 分かるような状況だからですね.
# y-切片がちょうど k になっているので, y-切片が y が大きくなる方向へ行けば k が大きくなり
# y-切片が y が小さくなる方向へ行けば k が小さくなる, ということがそのまま結論できます.
## y-切片がもっと複雑な k の式である場合には, y-切片の変化と k の値の変化の関係をもっとちゃんと
## みないといけない (例えば y-切片が -k なら y-切片の大小と k の値の大小は逆になる).

No.85467 - 2023/05/27(Sat) 00:05:25

☆ Re: 高2:図形と方程式 / 山田山

回答ありがとうございます。質問投稿後色々と仮定を立ててみたのですが、y切片における考え方で「点Bで最小になる」と言う結論には納得出来ませんでした。純粋にkと置いた時に単位円の第二象限という考え方で結論に納得行くと”個人的に”思いました。
本当にありがとうございました。

No.85468 - 2023/05/27(Sat) 02:08:24

★ (No Subject) / グーチョコランタン

こちらの問題、三角形BDEが正三角形ということが前提で回答が書かれています。
どうすればそれがわかるのでしょうか。