ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ モンティ・ホール問題 / fygar

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
モンティ・ホール問題です。数学者と、マリリン・サヴァント（コンピュータ・シミュレーション）は、どっちが正しいのですか？

No.56132 - 2019/01/16(Wed) 06:46:21

☆ Re: モンティ・ホール問題 / fygar

数学的には、「変えなくとも良い」、実際には、「変えた方が良い」でしょうか？信頼できる情報ソースもないし、情報の真偽もわからないし、どちらの証明が正しいか分からないです。正しい（？）証明が2つあるのでしょうか。
宜しくお願いいたします。

No.56133 - 2019/01/16(Wed) 06:55:47

☆ Re: モンティ・ホール問題 / らすかる

サヴァントが正しく、数学的にも実際にも「変えた方が良い」です。
「数学的にこうした方が良い」と
「実際にはこうした方が良い」が違うことはあり得ません。

No.56134 - 2019/01/16(Wed) 07:19:52

☆ Re: モンティ・ホール問題 / fygar

ラスカル様、どうもご解答ありがとうございました。私は今さっきまで検索していて、サヴァントの答えが正しいと、知りました。https://www.krsk-phs.com/entry/montyhall

No.56135 - 2019/01/16(Wed) 07:32:45

★ 回転行列による、加法定理の導出。 / fygar

こんばんは。
回転行列で、sinとcosの加法定理の導出をしてみました。
これで、合ってるでしょうか？
よろしくお願いします。

No.56129 - 2019/01/16(Wed) 04:15:45

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / fygar

これです。行列なので画像ファイルにしました。
見にくくってすみません。

No.56130 - 2019/01/16(Wed) 04:20:05

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / 歌声喫茶

回転行列の性質
R(a)R(b)=R(a+b)
はいかにして導きましたか？
少なくとも高等学校（旧課程）の教科書では、その性質は加法定理を用いて導いています。
それを脱しない以上、循環論法になります。

No.56137 - 2019/01/16(Wed) 12:29:56

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / fygar

歌声喫茶さん、どうもご回答ありがとうございます。
回転行列R(a)が、角度aの回転で、同じく、R(b)は角度bの回転で、それらの積R(a)R(b)が、角度a+bの回転になることは、明白だからです。厳密に証明は出来てませんが、
他の定理（公式？）を持ってこない以上、
循環論法になるのですか・・・。

No.56145 - 2019/01/16(Wed) 22:28:32

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / 歌声喫茶

じゃあ、そもそも。
点(x,y)を原点を中心にθだけ回転させた点の座標が(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ)で与えられることはそこまで明白ともいえない気がしますが、これはどう導きますか？

No.56147 - 2019/01/16(Wed) 23:08:30

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / fygar

回転行列は、高校の頃、習ったので、丸暗記していました。どう導くかと言われると、自分の力だけでは難しかったので、解りやすいwebページを、引用させていただきます。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/linear_image3.html

No.56148 - 2019/01/16(Wed) 23:26:53

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / fygar

理解したので、texに纏めてみました。

No.56150 - 2019/01/17(Thu) 00:51:08

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / 歌声喫茶

そんな感じですね。
答案として書きたければ、少なくともその回転した点を与える証明を（加法定理によらず）書いておくべきかと思います。
方法は色々あるのでしょうが、受験生だった当時、ご紹介のWebページでいう説明1での証明をやってみた覚えがあります。

おそらくは、99年東大前期の問題を念頭においたものかと思います（もし違うのであれば一度見ておくとよいです）。
実際の採点では回転行列（あるいは複素数）を用いるのみで説明不足であった点数は減点されたものの、0点というわけではなかったらしい、という記述を『大学への数学』で見た記憶があります。
信憑性としてはどうだか分かりませんが。

TeXを使うときは、\sinや\cosのコマンドを使うとよいかと思います。

No.56155 - 2019/01/17(Thu) 10:40:16

☆ Re: 回転行列による、加法定理の導出。 / fygar

どうもありがとうございました。

No.56157 - 2019/01/17(Thu) 13:52:03

★ 一様可積分についての証明 / とーます

確率論の一様可積分についての証明について、わからない部分があるため、解説をお願いしたく、質問いたしました。
証明内容は画像に記載しました。
わからない点は2点です。

1点目は赤字で記載した部分になります。
参考書にはこのまま記載されていたのですが、自分の解釈があっているか教えていただきたいです。
自分の解釈は画像の一番下に赤字で記載しました。
積分に自信がないため、心配です…

2点目は「第2項は…」の赤字で記載した不等号になります。
なぜこの不等号が成り立つかわかりません。

解説よろしかお願いします。

No.56128 - 2019/01/16(Wed) 01:52:26

★ (No Subject) / Huzuz

解答の電気量保存の部分についてなのですが、
電圧をVとおくと、直列なので、容量の逆比に配分で
4Q=1/2CV +1/2CVではないのですか？

No.56127 - 2019/01/15(Tue) 23:44:25

☆ Re: / X

回路をよく見ましょう。

この回路では二つのコンデンサーの
それぞれの接続端が電位を共有しているので、
コンデンサーの並列接続
と見なすことができます。
(直列接続ではありません)

No.56131 - 2019/01/16(Wed) 05:30:50

☆ Re: / し

電位を共有しているかはどのように見分ければいいのでしょうか？

No.56151 - 2019/01/17(Thu) 00:52:31

☆ Re: / X

直列接続はコンデンサー同士の接続が一か所のみですよね。
それに対して並列接続はどのように接続されていますか？

No.56205 - 2019/01/20(Sun) 15:57:12

★ 概収束しない例の証明 / とーます

どうしてもわからず、質問させていただきます。

概収束しない例の証明になります。

まず、その例は画像の上七行の間にあります。

概収束しないことを示すため、上極限と下極限が一致しないことを示すというのが、証明の流れです。

χ(ω)は階段関数で、
χ_Λ(ω)はω∈Λなら1、ω∈/Λなら0になるものです。

♯AはAの元の数を表します。

証明が全体的にわからないのですが、まずわからないのが、赤下線部の部分になります。

なぜ♯{…}=1、#{…}=2^m-1になり、このことから∞になるのか理解できません…

長文になってしまい申し訳ありません。
よろしくお願いいたします。

No.56115 - 2019/01/15(Tue) 04:03:51

★ 概収束から一次平均収束する証明 / とーます

確率論の収束についての質問です。
問
確率変数列X_nが一様可積分であると仮定する。
X_nが概収束すればX_nはXに一次平均収束する。

の証明についてわからない部分があり、解説をお願いしたいです。

解説をお願いしたい部分は画像の赤下線部の部分になります。

画像は証明の途中からになっていますが、上から四行目の第2行から読んでいただけるとわかりやすいかと思います。

まず、εがでできていますが、このεはどこから出てきたのでしょうか…

また、それ以降の「そのようなλを固定して…」からもよくわかりません…

噛み砕いて解説していただけるとありがたいです。

よろしくお願いいたします。

No.56114 - 2019/01/15(Tue) 00:53:26

☆ Re: 概収束から一次平均収束する証明 / noname

よくわからんけど、λ以上と未満の期待値に分けてるんでしょ。
λを十分大きくしとけば、とりあえずλ以上の方は0に収束させられるってことじゃないの。
εはよくεδ論法でめっちゃ小さい正の実数としてでてくるよね。

No.56119 - 2019/01/15(Tue) 06:51:34

☆ Re: 概収束から一次平均収束する証明 / とーます

証明が協力もあり自分の中では理解できましたので、掲載させていただきます。
見てくださっていた方、返信をしていただいたnonameさん、ありがとうございます。

nomaneさんのおっしゃるとおり、εN論法でした。
また、なにか証明が違うというところがありましたら、返信からよろしくお願いします。

No.56122 - 2019/01/15(Tue) 17:20:59

★ (No Subject) / みく

セタソに関してです。サシス=332

私はまず、
1から４回目までに
【1 2 3 】がでて
５回目に4が出る確率をだして　
５回目は(1~4)まで出るので最後に4倍して条件付き確率を出そうと思いました。
まず
４回目までに(3/4)^4
その内
同じ数字の場合
3C1(1/4)^4
異なる数字２つしか出ない場合
3c2(2/4)^4　-　2｛3c2(1/4)^4｝
これらを引いて4倍したものを
(1-サシス)で割り算をしたのですが違いました、、
なにがまちがっていますか？

No.56109 - 2019/01/14(Mon) 18:59:36

☆ Re: / IT

みくさんの計算結果はいくらで、正解はいくらですか？

みくさんの方針で良いと思います。計算したら9/58 になりました。
みくさんは５回目に4が出る確率1/4を掛けるのは忘れてないですよね？

No.56112 - 2019/01/14(Mon) 19:51:13

☆ Re: / IT

下記(別解）でも　9/58　になりました。
４回試行したとき
数字の出方は4^4 とおり
そのうち４つの数字がすべて現われる場合は1,2,3,4を並べる方法の数なので4！とおり
よって、４回で４つの数字がすべて現われる確率は　4！/(4^4)
よって、４回でどれかの数字が現れない確率は　1-4！/(4^4)

5回試行したとき
数字の出方は4^5 とおり
そのうち4回までにどれかの数字が現れず、5回目ではすべての数字が現れるのは
11234のパターンのうち12341(２回現われる数字が最後に出る）のパターン以外なので
(5!/2!-4!)×4 とおり　（×4は２回現われる数字が4とおりなので）
よってその確率は((5!/2!-4!)×4)/(4^5)

したがって求める条件付確率は　(((5!/2!-4!)×4)/(4^5))/(1-4！/(4^4))

No.56138 - 2019/01/16(Wed) 19:37:39

★ 確率収束するなら法則収束する / とーます

確率論の、「確率収束するなら法則収束する」の証明がどうしてもわからないので、解説をお願いしたいです。

証明は画像の通りになっております。
X_k_jはX_kの部分列です。

私がわからないのは証明中の赤下線部2箇所になります。

1箇所目は、…とする。と書いてあるのですが、なぜそうしていいのかわかりません。
上極限と部分列の極限の関係性がわかってないのかと思っています。

よろしくお願いいたします。

No.56105 - 2019/01/14(Mon) 17:07:43

☆ Re: 確率収束するなら法則収束する / とーます

証明が自分の中では理解できましたので、掲載させていただきます。
見てくださっていた方ありがとうございます。

また、なにか証明が違うというところがありましたら、返信からよろしくお願いします。

No.56121 - 2019/01/15(Tue) 16:43:45

★ (No Subject) / かりん

3x-7y=1の整数解を全て求める方法を教えてください

No.56095 - 2019/01/13(Sun) 23:50:30

☆ Re: / GandB

　　3x - 7y = 1 　　　　･････(#1)
　　7 = 3*2 + 1.
　　-3*2 + 7 = 1.
　　3(-2) - 7(-1) = 1. 　･････(#2)
　(#1)-(#2) から
　　3(x+2) - 7(y+1) = 0.
　　3(x+2) = 7(y+1). 　　･････(#3)
　3(x+2) は 7 で割り切れるが、3 は 7 では割りきれないので、適当な整数 k により
　　x + 2 = 7k
と表すことができる。
　　∴x = 7k - 2.
　これを (#3) に代入する。
　　3(7k-2+2) = 7(y+1).
　　21k = 7y + 7.
　　7y = 21k - 7.
　　∴y = 3k - 1.

No.56100 - 2019/01/14(Mon) 07:22:28

☆ Re: / かりん

適当な数字が浮かばず、パッと
(#2)のような式が出ない時はどう考えるといいですか？

No.56116 - 2019/01/15(Tue) 05:28:17

☆ Re: / GandB

　Euclidの互除法を使う。知らなければ

　「不定一次方程式　Euclidの互除法」

で検索。

　http://www.kimori.net/nada080102.htm

を不定一次方程式として解くといい練習になる（笑）。

No.56120 - 2019/01/15(Tue) 07:44:29

☆ Re: / noname

3x-7y=1から
-y≡1(mod3)
y≡-1(mod3)
y=3k-1(kは整数)と表せる。
3x-7(3k-1)=1
3x=3・7k-6
x=7k-2

No.56136 - 2019/01/16(Wed) 07:41:44

★ 中学受験入学試験問題?Aのつづき / しゅう👦🏻

問1はわかりましたが問2から全然わかりません。解説はありません。らすかる先生、教えてください。よろしくお願いします！！！
答えは(2)が6と3/19、(3)は864です。

No.56092 - 2019/01/13(Sun) 20:47:35

☆ Re: 中学受験入学試験問題?Aのつづき / しゅう👦🏻

いつでもいいのでよろしくお願いします！

No.56093 - 2019/01/13(Sun) 21:33:53

☆ Re: 中学受験入学試験問題?Aのつづき / らすかる

上下4cmずつは断面積96、間2cmは断面積32、
水の体積は2000cm^3です。
立体が置いてあるとき、下4cmの水の体積は(400-96)×4=1216
中2cmの水の体積は(400-32)×2=736
足して1952
よって2000-1952=48から水はあと48cm^3なので
上4cmにかかっている部分の深さは
48÷(400-96)=3/19cm
従って水の深さは4+2+3/19=6と3/19cmとなります。

水槽いっぱいまで水を入れると
上4cmのうち3cmまで水が入りますので
上3cmの水の体積は(400-96)×3=912
従って追加した水の量は912-48=864cm^3となります。

No.56094 - 2019/01/13(Sun) 21:57:33

☆ Re: 中学受験入学試験問題?Aのつづき / しゅう👦🏻

解説ありがとうございます！よくわかりました。ちょっと難しかったです。

No.56099 - 2019/01/14(Mon) 05:57:56

★ 中学受験入学試験問題?A / しゅう👦🏻

何度も質問して申し訳ないです。

この問題の、0123のカードを2枚ずつ使っているので、
3(1,2,3)×4(0,1,2,3)×4(0,1,2,3)の48通りになると思いましたが、答えは45通りでした。どこが違うか教えてください。よろしくお願いします！解説はありませんでした。

No.56087 - 2019/01/13(Sun) 18:55:18

☆ Re: 中学受験入学試験問題?A / らすかる

カードが2枚ずつしかありませんので、
3枚とも同じである111,222,333は作れません。
従って48-3=45通りです。

No.56089 - 2019/01/13(Sun) 19:58:44

☆ Re: 中学受験入学試験問題?A / しゅう👦🏻

たしかに111,222,333は作れないですね。よくわかりました。
ありがとうございます！

No.56090 - 2019/01/13(Sun) 20:30:41

★ 中学受験入学試験問題?A / しゅう👦🏻

1番目を1⃣、2番目を?Aと置いてしてみましたが、とてもごちゃごちゃになり答えも違いました。
どうやって整理すればいいのかを教えてください。よろしくお願いします。また解説がありません。答えは200です。

No.56085 - 2019/01/13(Sun) 18:45:36

☆ Re: 中学受験入学試験問題?A / しゅう👦🏻

失礼しました。2番目を?@と置きました。

No.56086 - 2019/01/13(Sun) 18:47:06

☆ Re: 中学受験入学試験問題?A / らすかる

(4番目)=(2番目)+(3番目)=(2番目)+20
(5番目)=(3番目)+(4番目)=20+{(2番目)+20}=(2番目)+40
(6番目)=(4番目)+(5番目)={(2番目)+20}+{(2番目)+40}=(2番目)×2+60=76
これより2番目=8、3番目=20、4番目=28、5番目=48、6番目=76とわかりますので
続きは7番目=48+76=124、8番目=76+124=200となります。

No.56088 - 2019/01/13(Sun) 19:57:29

☆ Re: 中学受験入学試験問題?A / しゅう👦🏻

ありがとうございます！整理できてスッキリしました。またよろしくお願いします！！

No.56091 - 2019/01/13(Sun) 20:39:13

☆ Re: 中学受験入学試験問題?A / しゅう👦🏻

よくわかりました！

No.56269 - 2019/01/22(Tue) 12:58:45