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★ 無限等比級数の収束、発散 / sk
rを正の実数、kを正の整数とする。

１．等比数列の和の公式を用いて、r≠1のとき、(1+r+r^2+・・・+r^k-1)/r^k=1/(1-r)(X-1)となるXを求めよ。

２．級数Σ[k=1,∞](1+r+r^2+・・・+r^k-1)/(r^k)の収束、発散を調べよ。


１．r≠1のとき、等比数列の和の公式より、

(1+r+r^2+・・・+r^k-1)/r^k={1/(1-r)}*(X-1)

[{(1*(1-r^k)}(1-r)]/(r^k)=(X-1)/(x-1)

(1-r^k)/{r^k*(1-k)}=(X-1)/(x-1)

(1-r^k)/(r^k)=X-1

X=(1-r^k)/(r^k)+1

X=(1-r^k+r^k)/(r^k)

X=1/r^k

１については、この計算で合っていますか？

２．条件より、rを正の実数、kを正の整数だから、級数Σ[k=1,∞](1+r+r^2+・・・+r^k-1)/(r^k)の第k部分和をS[k]とおくと、r≠1のとき、等比数列の和の公式より、

S[k]=[{(1*(1-r^k)}(1-r)]/(r^k)

S[k]=(1-r^k)/{r^k*(1-r)}

S[k]=1/{r^k*(1-r)}-(r^k)/{r^k*(1-r)}

２について、ここまでの計算は合っていますか？
これ以降の計算方法が分かりません。恐らくrの値について場合分けをして考えるのだと思いますが、その場合どのように場合分けするべきか分かりません。

よろしくお願いします。
No.56284 - 2019/01/23(Wed) 04:00:14
☆ Re: 無限等比級数の収束、発散 / noname
1の式、途中でめちゃくちゃになってない？xってどこから出てきた？
No.56285 - 2019/01/23(Wed) 07:10:26
☆ Re: 無限等比級数の収束、発散 / sk
1の途中式、記入ミスです。すいません。

r≠1のとき、等比数列の和の公式より、

(1+r+r^2+・・・+r^k-1)/r^k={1/(1-r)}*(X-1)

[{(1*(1-r^k)}(1-r)]/(r^k)={1/(1-r)}*(X-1)

左辺の分母分子に1-rを掛けて、

(1-r^k)/{r^k*(1-r)}={1/(1-r)}*(X-1)

両辺に1-rを掛けて、

(1-r^k)/(r^k)=X-1

X={(1-r^k)/(r^k)}+1

X=(1-r^k+r^k)/(r^k)

X=1/r^k
No.56286 - 2019/01/23(Wed) 08:45:22
☆ Re: 無限等比級数の収束、発散 / noname
2は1を使うんじゃないの？
No.56293 - 2019/01/23(Wed) 18:35:53
☆ Re: 無限等比級数の収束、発散 / sk
1の結果を2に使うとはどういうことですか？
No.56300 - 2019/01/24(Thu) 01:50:45
☆ Re: 無限等比級数の収束、発散 / noname
少なくとも0に収束しないときは発散ってすぐわかるじゃん。
No.56312 - 2019/01/25(Fri) 17:06:20
★ 留数定理 / フーリエ
F(ω)=i/(2i+ω)のフーリエ逆変換をし、答えがx≤0のとき-e^2x、x>0のとき0というのは分かるのですが、実際に解いたときに最後の-I×e^(2x)で引っかかり、答えと合わなくなります。最初の分子のIが悪いのかと思い、分子を1に変形してやっても同じことになります。どこで間違えているのか教えてほしいです。
No.56283 - 2019/01/23(Wed) 02:27:32
★ 劣マルチンゲールの収束定理 / とーます
確率論、劣マルチンゲールの収束定理を勉強していく中で、わからない部分があり、質問させていただきます。

私がわからないのは画像の不等式になります。どうしてもこの不等式が理解できません。
確率論の参考書等でも書いてあるのですが、説明されていませんでした。

私の考えとしては期待値の定義の式が使えるのでは？と思っています。
aの絶対値があるので三角不等式もあるのではと思っています。

よろしくお願いします。
No.56282 - 2019/01/23(Wed) 01:19:01
★ 微分（テイラー展開）の問題 / ねたろ
問題：x>0において、x-x^2 < cosx + sinx　を示せ

微分、おそらくテイラー展開の問題だと思うのですが、解りません。
どなたかご教示いただければ幸いです。
No.56278 - 2019/01/22(Tue) 20:42:48
☆ Re: 微分（テイラー展開）の問題 / IT
マルチ質問先に回答しました。
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=83390
No.56280 - 2019/01/22(Tue) 22:48:16
★ 級数の収束 / ねたろ
問題：一般項 f(k) = log2(k)/2^k が収束することを示せ

分子は「底が２、真数がk」です。分母は２のk乗です。
よろしくお願いします。
No.56277 - 2019/01/22(Tue) 20:41:53
☆ Re: 級数の収束 / IT
二項展開によります
k≧2のとき
　2^k=(1+1)^k≧1+k+k(k-1)/2 なので
　k＜2^k よって　１≦log(2)k＜k
　また　2^k＞k(k-1)/2から　0＜log(2)k/2^k＜k/(k(k-1)/2)=2/(k-1)→0　（k→∞)　
No.56281 - 2019/01/22(Tue) 23:15:18
☆ Re: 級数の収束/ ITさん / ねたろ
大変わかりやすい解答ありがとうございました。
No.56296 - 2019/01/23(Wed) 21:14:55
★ ヘッセ行列を用いた凹凸判定について / 涼花
写真に問題、解答、自分の考えを載せました。
よろしくお願い致します。
No.56274 - 2019/01/22(Tue) 18:17:13
★ 近似計算 / 小雪
1/√{(x-a)の2乗+bの2乗}-1/√{(x+a)の2乗+bの2乗}において、xを微小量として近似すると、2ax/(aの2乗+bの2乗)の3/2乗になるらしいのですが、その計算過程がわかりません。詳しく教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
No.56272 - 2019/01/22(Tue) 16:36:07
☆ Re: 近似計算 / らすかる
0＜r≪1のとき√(1+r)≒1+r/2から
0＜d≪cのとき√(c+d)=(√c)√(1+d/c)≒(√c){1+d/(2c)}=√c+d/(2√c)
よってx≒0のとき
√{(x±a)^2+b^2}
=√(a^2+b^2±2ax+x^2)
≒√(a^2+b^2±2ax)
≒√(a^2+b^2)±ax/√(a^2+b^2)
従って√(a^2+b^2)=tとおくと、x≒0のとき
1/√{(x-a)^2+b^2}-1/√{(x+a)^2+b^2}
≒1/(t-ax/t)-1/(t+ax/t)
=t/(t^2-ax)-t/(t^2+ax)
=t{(t^2+ax)-(t^2-ax)}/{(t^2-ax)(t^2+ax)}
=2axt/{t^4-(ax)^2}
≒2axt/t^4
=2ax/t^3
=2ax/(a^2+b^2)^(3/2)
No.56275 - 2019/01/22(Tue) 18:29:35
☆ Re: 近似計算 / 小雪
早速の回答ありがとうございました。よくわかりました。
No.56276 - 2019/01/22(Tue) 19:57:49
★ 標準化 / 統計
今年のセンター試験で出題されていましたが、二つのデータの散布図について、データを二つとも標準化したときの縦軸、横軸の幅が「-2〜2」となるのはなぜでしょうか？下のURLにあるような散布図です。
【https://scrapbox.io/kimiyuki/x,yを標準化して、散布図にする】

お願い致します。
No.56268 - 2019/01/22(Tue) 08:40:50
★ 高校数学の問題 / 宅浪生
写真の問題の答えは手書きで書いたので合っているでしょうか？お願いします。
No.56266 - 2019/01/22(Tue) 01:06:53
☆ Re: 高校数学の問題 / らすかる
a[n]=2（∀n∈N）とか
a[2^l(2m+1)]=2^(l+1)（l,m≧0）でも条件を満たすのでは？
（前者はk=0、後者はk=∞に相当）

# 私の勘違いでしたらご容赦下さい。
No.56267 - 2019/01/22(Tue) 05:42:12
☆ Re: 高校数学の問題 / 宅浪生
ご返信ありがとうございます。確かに見落としがありました。一応自分の答えは正しくはある、ということでよろしいでしょうか？
No.56270 - 2019/01/22(Tue) 13:18:42
☆ Re: 高校数学の問題 / らすかる
その答えは条件を満たしているとは思いますが、
それで全解かどうかは確認できていません。
No.56271 - 2019/01/22(Tue) 14:46:42
☆ Re: 高校数学の問題 / 宅浪生
わかりました。ご協力ありがとうございました。
No.56273 - 2019/01/22(Tue) 17:16:53
★ 0に法則収束するなら0に確率収束する / とーます
0に法則収束するなら、0に確率収束するという証明の中で、理解できない部分があるので質問させていただきます。

定理と証明内容は画像に記載しました。
私がわからないのは、なぜXを恒等的に0の値を取る確率変数にしているかです。
0に法則収束させるためでしょうか？

解説お願いいたします。
No.56265 - 2019/01/21(Mon) 21:42:47
★ 関数 / 中３　佐々木
（２）ｎ＝２　　解き方が解りません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.56264 - 2019/01/21(Mon) 21:41:43
☆ Re: 関数 / 元中３
回りくどい書き方をしているだけで、実際読み取るのはPQ=6,PとQのy座標がともに整数ということだけです。
No.56279 - 2019/01/22(Tue) 21:47:36
☆ Re: 関数 / 中３佐々木
解説ありがとうございました。
No.56318 - 2019/01/26(Sat) 11:44:01
★ 図形の性質について / 図形の性質
こちらの問題なのですが、まったく分からなくて困っています。
どうかご教授願います。
No.56263 - 2019/01/21(Mon) 21:39:51
☆ Re: 図形の性質について / noname
中点つなぎなさいよ。
No.56295 - 2019/01/23(Wed) 18:53:51
★ 座標、三角比 / マスヨワイ
クがわかりません。
解説をお願いします。
3点の座標から面積を求めて、pa×pb×1/2×sin30°の面積公式とイコールを結び、両辺を二乗しました
そして、pb,paをxで表してから二乗したものを代入しても出来ませんでした、
No.56245 - 2019/01/21(Mon) 15:49:14
☆ Re: 座標、三角比 / らすかる
C(√3,0)とすると△ABCは正三角形となり、
θ=30°となるような点は中心が点Cで半径が2の円周上にあります。
この円とy=√3との交点は(√3±1,√3)ですから、
求めるxの値は√3±1となります。
No.56246 - 2019/01/21(Mon) 16:07:20
☆ Re: 座標、三角比 / らすかる
マスヨワイさんの方針で求めると
PA・PB・(1/2)・sin30°=x(√3+1)/2-x(√3-1)/2
PA・PB/4=x
16x^2=PA^2・PB^2
PA=√(x^2+(√3-1)^2)
PB=√(x^2+(√3+1)^2)
なので
16x^2=(x^2+(√3-1)^2)(x^2+(√3+1)^2)
これを解いてx^2=4±2√3=(√3±1)^2なので
x＞0からx=√3±1
No.56249 - 2019/01/21(Mon) 17:43:16
☆ Re: 座標、三角比 / マスヨワイ
いろんな切り口から求められるのがわかりました
ありがとうございました
No.56262 - 2019/01/21(Mon) 21:38:12
★ 中学受験 / しゅう👦🏻
なぜ「÷2」をしているのでしょうか？教えてください。よろしくお願いします！！
No.56238 - 2019/01/21(Mon) 13:00:42
☆ Re: 中学受験 / しゅう👦🏻
問題です。
No.56239 - 2019/01/21(Mon) 13:01:05
☆ Re: 中学受験 / しゅう👦🏻
よろしくお願いします！！
No.56240 - 2019/01/21(Mon) 13:06:57
☆ Re: 中学受験 / らすかる
求めた97は「3で何回割れるか」であり、
調べたいのは「9で何回割れるか」だからです。
No.56243 - 2019/01/21(Mon) 13:39:06
☆ Re: 中学受験 / しゅう
> ありがとうございます！！よくわかりました。
No.56244 - 2019/01/21(Mon) 14:17:25
★ 横断回数についての質問 / とーます
マルチンゲールを勉強していく中で、横断回数についての証明があり、1部分理解できないので解説をお願いします。

わからない部分は画像の等式になります。
2つの参考書で勉強しており、2つの参考書の該当するところを抜きだしました。

私がわからないのは、なぜ∞回横断するのかがわかるかです。
上極限がaより小さく、下極限がbより大きくても、横断回数が無限になるかはわからないと考えております。

自分の考えを図にしました。（返信の写真に掲載しました。）
図のように1回だけa,b間を横断し、その後a,bの間にい続けたら、横断回数は1回になるのではないかと考えています。
（横断部分は赤い線部分）
liminf X_n<a<b<limsup X_nもしっかり満たしてると思っています。

解説お願いいたします。
No.56229 - 2019/01/21(Mon) 05:26:56
☆ Re: 横断回数についての質問 / とーます
私の考えです
No.56231 - 2019/01/21(Mon) 05:29:39
☆ Re: 横断回数についての質問 / らすかる
内容をよく理解していませんので間違っているかもしれませんが、
例えば1回だけbを横断してn≧5ではbを横断しなかったら
n≧5での上極限はb以下になりますので
limsup[n→∞] X[n](ω)
=lim[n→∞]{sup[k≧n]X[n](ω)}
≦b
となってしまうのではないでしょうか。
No.56232 - 2019/01/21(Mon) 05:38:45
☆ Re: 横断回数についての質問 / とーます
らすかるさん回答ありがとうございます。
なんとなくわかった気がします！

回答していただいた式は
lim[n→∞]sup[k≧n]X[k]（ω）になるのかと思います。（Xの添字がnじゃなくてkが正しい定義だったかと…)

理解できました！ありがとうございます。
No.56252 - 2019/01/21(Mon) 18:33:43
☆ Re: 横断回数についての質問 / らすかる
あ、そうですね。kでした。
No.56254 - 2019/01/21(Mon) 18:43:48
★ 文章変かもしれません。 / ピアス
2次方程式で、 ＝0となったとき左辺が同類項でまとまってもその数で両辺を割ってはいけない理由を教えてください。
No.56226 - 2019/01/21(Mon) 05:00:29
☆ Re: 文章変かもしれません。 / らすかる
0である可能性がある変数（または式）で割ることはできません。
（「正の数」など、0である可能性がない条件がついていれば割ることができます。）
例えば
xP(x)=0
となったのであれば解はx=0またはP(x)=0であり、
これをxで割って「P(x)=0」としてしまうと、
「x=0」という解がなくなってしまいます。
No.56230 - 2019/01/21(Mon) 05:27:57
★ すみません / かりん
途中式なのですが、急にどう計算するかわからなくなってしまいました。お手数ですが教えてください。
No.56222 - 2019/01/21(Mon) 03:48:48
☆ Re: すみません / らすかる
(-2)((6(4-√3)-b^2)/(12(√3-1)))=1
両辺に12(√3-1)を掛けて
(-2)(6(4-√3)-b^2)=12(√3-1)
両辺を2で割って
-(6(4-√3)-b^2)=6(√3-1)
左辺の外側のカッコを外して
-6(4-√3)+b^2=6(√3-1)
-6(4-√3)を移項して
b^2=6(√3-1)+6(4-√3)
右辺のカッコを外して
b^2=6√3-6+24-6√3
右辺を計算して
b^2=18
∴b=±3√2
No.56223 - 2019/01/21(Mon) 04:48:17
★ (No Subject) / ぬる
√55000÷xが整数となるような自然数xは全部で何個か？は素因数分解すると5^4×2^3×11で
2×11が余分で必ず因数として持つまでわかります。そこからがわかりません。詳しい解説お願いします。
No.56219 - 2019/01/20(Sun) 21:51:46
☆ Re: / ぬる
これをxに代入し数えて6個でしょうか？
回答が無理やりすぎる気がします。
No.56220 - 2019/01/20(Sun) 21:55:18
☆ Re: / らすかる
条件を満たすxは
2×11×2^(2m)×5^(2n)　（mは0か1、nは0か1か2）
だから
mは2通り、nは3通りなので2×3=6個

# 掲示板上で√55000÷xと書くと(√55000)÷(x)と解釈されます。
# √(55000÷x)と書きましょう。
No.56224 - 2019/01/21(Mon) 04:51:31
☆ Re: / ぬる
回答ありがとうございます！
No.56247 - 2019/01/21(Mon) 16:15:32
★ (No Subject) / しゅう👦🏻
(1)と(3)が、どうしてもわかりません。解説が、いつもの通りないです。
答えは、(1)が3で、(3)が31です。よろしくお願いします！
No.56203 - 2019/01/20(Sun) 15:46:17
☆ Re: 件名は、中学受験 入試実践 / しゅう👦🏻
問題です。よろしくお願いします！
No.56204 - 2019/01/20(Sun) 15:47:34
☆ Re: / らすかる
(1)
算数では「線分」は「点対称な図形」に含まれないのでしょうか。
（もし含まれるなら、最小面積は0になります。）
（あるいは、面積を考える問題なので面積0はNGとかでしょうか。）
面積が0でなく使用する点がすべて頂点である点対称な図形になるためには、少なくとも
平行四辺形（ひし形・長方形・正方形も含む）となる点が必要です。
四角形CEGIが長方形、四角形ACFIと四角形ABFJがひし形で
これらを結べば点対称な図形になりますが、
最も小さいものはひし形ABFJです。
ただしAB,BF,FJ,JAと結ぶと面積は6で最小になりません。
これはAB,BJ,JF,FAと結べば最小面積の3になります。

(3)は難しいですが、少なくとも31は最大ではありませんので
答えが間違っていると思います。
A→C→E→B→D→F→H→J→G→I→Aと結べば面積は35になります。
No.56207 - 2019/01/20(Sun) 18:17:48
☆ Re: / しゅう
「線分」とは何でしょうか？？教えてください。
No.56208 - 2019/01/20(Sun) 18:20:56
☆ Re: / らすかる
算数では「直線」というのかも知れません。
たとえばAとBを結んだ線、つまり両端があって
長さが有限なまっすぐの線が「線分」です。
AとBを結んだ線はABの中点に関して点対称ですね。
No.56209 - 2019/01/20(Sun) 18:28:15
☆ Re: / しゅう👦🏻
線分の意味はわかりました。
らすかる先生、「35」というのは、どうやって出したのですか？
教えてください。よろしくお願いします！
図を描いてみました。
No.56210 - 2019/01/20(Sun) 18:33:21
☆ Re: / しゅう👦🏻
ありがとうございます！「線分」の意味はよくわかりました！
No.56211 - 2019/01/20(Sun) 18:35:01
☆ Re: / らすかる
△ACI=12
△CEB=△JGI=15/2
台形BDHJ=6
△DFH=2
なので、全部足して35です。
No.56212 - 2019/01/20(Sun) 18:39:48
☆ Re: / しゅう👦🏻
よくわかりました！ありがとうございます。
これ、とある中学校の入学試験問題なんですが…
No.56213 - 2019/01/20(Sun) 18:50:16
☆ Re: / しゅう👦🏻
解答をもう一度みましたが、やはり「31」でした。
No.56214 - 2019/01/20(Sun) 18:53:43
☆ Re: / らすかる
私の計算は間違ってないですよね？
「A〜Jのすべての点を結んで作られる」
「線対称」
「10本の辺からできている」
の条件もすべて満たしていますので、
その模範解答(?)が間違っていると思います。
（解答を作った人の考え落としか計算ミスかも知れません）
No.56215 - 2019/01/20(Sun) 19:09:04
☆ Re: / らすかる
全通りを考えるためには片側を考えれば十分で、
線対称という条件から片側の端はAとFですから
A→C→E→Fの間のどこにB,Dを入れるかと考えれば
全通り考えられます。
単純に文字の入れ方だけ考えると
A→B→D→C→E→F
A→B→C→D→E→F
A→B→C→E→D→F
A→C→B→D→E→F
A→C→B→E→D→F
A→C→E→B→D→F
A→D→B→C→E→F
A→D→C→B→E→F
A→D→C→E→B→F
A→C→D→B→E→F
A→C→D→E→B→F
A→C→E→D→B→F
の12通りですが、
後半6個のうち条件を満たすものは最後の1個だけなので
それぞれについて面積を計算すると
A→B→D→C→E→F 27
A→B→C→D→E→F 25
A→B→C→E→D→F 27
A→C→B→D→E→F 28
A→C→B→E→D→F 21
A→C→E→B→D→F 35
A→C→E→D→B→F 31
というわけで、最大は私が書いた
A→C→E→B→D→F→H→J→G→I→A
の35ですが、
解答を作った人はこのつなぎ方に気付かず、
A→C→E→D→B→F→J→H→G→I→A
の31が最大と考えていたのだと思います。
No.56227 - 2019/01/21(Mon) 05:22:51
☆ Re: / しゅう👦🏻
確かに！！ありがとうございます！
この問題は、「最後にまわす」あるいは、「解かなくて良い」
問題ですね。
No.56233 - 2019/01/21(Mon) 08:19:16
★ １次関数 / 中学数学苦手
（２）（３）の解き方が解りません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.56201 - 2019/01/20(Sun) 06:28:54
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