ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / たぁ

次の式のx軸との交点の求め方が分かりません。解説をお願いします

No.56022 - 2019/01/09(Wed) 23:17:56

☆ Re: / らすかる

y=(5/9){sin(18/5)}(x-1) ですか？
それとも
y=(5/9)sin{(18/5)(x-1)} ですか？

No.56024 - 2019/01/10(Thu) 00:08:37

☆ Re: / たぁ

y=(5/9)sin{(18/5)(x-1)} です

No.56027 - 2019/01/10(Thu) 15:40:46

☆ Re: / らすかる

それならば
0≦x≦1から
-18/5≦(18/5)(x-1)≦0
となり、
-2π＜-18/5＜-πなので
(18/5)(x-1)=-π,0すなわち
x=1-5π/18,1
のときにy=0となります。
よって交点は(1-5π/18,0)と(1,0)です。

No.56031 - 2019/01/10(Thu) 17:27:33

☆ Re: / たぁ

丁寧にありがとうございます。
とても参考になりました。

No.56033 - 2019/01/10(Thu) 18:56:17

★ 積分 / 積分

画像が逆さまになっていてすみません

問3問4問5がわかりません

答えは問題の近くに書いておきました

三問と多いですがよろしくお願いします。

No.56018 - 2019/01/09(Wed) 20:30:12

☆ Re: 積分 / Masa

問3
円x^2+y^2=2の内部で、放物線x=y^2の右側の部分の面積となります。
円と放物線の交点は(1,1)、(1,-1)となるので（x≧0に注意してx^2+x=2を解く）、
0≦x≦1かつ-√x≦y≦√xの部分の面積と、1≦x≦√2かつ-√(2-x^2)≦y≦√(2-x^2)の部分の面積の合計です。
積分で表すと、求める面積は
2∫[0→1]√xdx+2∫[1→√2]√(2-x^2)dxとなります。
第2項はx=√2sinθと置換して計算するといいと思います。

問4
求める曲線をyの式で表すと、y=x±√(2x)となります（もちろんx≧0です）。
このうち、y=x+√(2x)は単調増加でx=0以外にxとの交点はないので、今回の計算には無関係です。
一方、y=x-√(2x)は、x=0の他にx=2でもx軸と交わることになり（0=x-√(2x)を解く）、
x=0,2でy=0、0<x<2でy<0、2<xでy>0となります。
求める面積を積分で表すと
-∫[0→2]{x-√(2x)}dxとなり、これを計算すれば答えとなります。

問5
C1:y=x^2とlの接点のx座標をtとすると、y=2xより、lの方程式はy-t^2=2t(x-t)、整理してy=2tx-t^2となります。
C2:y=x^2-2ax+a(a+1)とl:y=2tx-t^2が接するとき、
方程式x^2-2ax+a(a+1)=2tx-t^2が重解を持つことになります。
整理してx^2-2(t+a)x+a(a+1)+t^2=0…?@
判別式をDとしてD/4=0より、
D/4=(t+a)^2-{a(a+1)+t^2}=0
整理してa(2t-1)=0、a>0よりt=1/2…?A
C2とlの接点のx座標は、?@にt=1/2を代入して
x^2-2(a+1/2)+a(a+1)+1/4=0
整理して{x-(a+1/2)}^2=0より、x=a+1/2…?B
また、C1とC2の交点のx座標は、x^2=x^2-2ax+a(a+1)を解いて
a>0より、x=(a+1)/2…?C
?A?B?Cより、C1とlの接点、C1とC2の交点、C2とlの接点のx座標がそれぞれ1/2、(a+1)/2、a+1/2となることが分かりました。
また、lの方程式はy=2tx-t^2にt=1/2を代入してy=1/4です。
これより、求める面積は
∫[1/2→(a+1)/2]{x^2-(x-1/4)}dx+∫[(a+1)/2→a+1/2][{x^2-2ax+a(a+1)}-(x-1/4)]dx
=∫[1/2→(a+1)/2](x-1/2)^2dx+∫[(a+1)/2→a+1/2]{x-(a+1/2)}^2dx　※2乗の形にした方が計算しやすいと思います
となり、これを計算すれば答えとなります。

No.56101 - 2019/01/14(Mon) 14:50:29

★ 積分 / 積分

問題の（1）がわかりません

途中式も含めて詳しく解説をお願いします

答えは問題の近くに書いておきました

よろしくお願いします。

No.56017 - 2019/01/09(Wed) 20:28:53

☆ Re: 積分 / noname

それヤコビアン使う一番単純なやつだから、これができないのは完全に勉強不足。教科書参考書すら開いていないのと同じです。
大学生なら、まず自力でやってみなさい。

No.56030 - 2019/01/10(Thu) 16:53:42

★ 積分 / 積分

問1の（1）がわかりません

途中式も含めて詳しく解説をお願いします

答えは問題の近くに書いておきました

よろしくお願いします。

No.56016 - 2019/01/09(Wed) 20:28:00

☆ Re: 積分 / GandB

　(2)～(6)はできて(1)だけができないのか？　とても信じられんが（笑）。

　　f(x) = e^x*sin(x).　　　　　　　　　　 f(0)　 = 0.
　　f'(x) = e^x( sin(x)+cos(x) )　　　　　 f'(0)　= 1.
　　f''(x) = 2e^x*cos(x)　　　　　　　　　 f''(0) = 2.
　　f'''(x) = 2e^x( cos(x)-sin(x) )　　　　f'''(0) = 2.

　　∴f(x) ≒ 0 + (1/1!)x + (2/2!)x^2 + (2/3!)x^3
　　　　　 = x + x^2 + (1/3)x^3

No.56019 - 2019/01/09(Wed) 22:19:06

☆ Re: 積分 / 積分

ありがとうございます。
とてもわかりやすい解答でした

上の２つの質問もわかれば答えてもらえるとありがたいです

よろしくお願いします。

No.56021 - 2019/01/09(Wed) 23:05:39

★ (No Subject) / 数学修行者

すいません
この問題の赤線部分の展開がどうしてこうなるのか分かりません
よろしくお願いします
右が問題で左が解答です

No.56009 - 2019/01/09(Wed) 16:40:04

☆ Re: / RYO

「n-3√3＜(5-3√3)/2＜2n+3」という不等式は，「n-3√3＜(5-3√3)/2」と「(5-3√3)/2＜2n+3」という2つの不等式を連立したものですから，

　n-3√3＜(5-3√3)/2＜2n+3
⇔n-3√3＜(5-3√3)/2 かつ (5-3√3)/2＜2n+3
⇔n＜3√3+(5-3√3)/2 かつ 5-3√3＜4n+6
⇔n＜(6√3)/2+(5-3√3)/2 かつ 4n＞5-3√3-6
⇔n＜(5+3√3)/2 かつ n＞(-1-3√3)/4
⇔(-1-3√3)/4＜n＜(5+3√3)/2

となります。

No.56011 - 2019/01/09(Wed) 17:18:12

☆ Re: 再びですいません / 数学修行者

ありがとうございます

申し訳ないのですが続くの部分で５＜３√３＝√２７＜６より、
－７/４＜－１－３√３/４＜－３/２、５＜５＋３√３/２＜１１/２
と書いてあるのですがどうやったらこのように展開出来るのか分かりません
宜しくお願いします

No.56013 - 2019/01/09(Wed) 17:29:59

☆ Re: / RYO

(i)-7/4＜(-1-3√3)/4＜-3/2であることを示す。
　5＜3√3＜6
⇔-6＜-3√3＜-5
⇔-1-6＜-1-3√3＜-1-5
⇔-7/4＜(-1-3√3)/4＜-6/4＝-3/2

(ii)5＜(5+3√3)/2＜11/2であることを示す。
　5＜3√3＜6
⇔5+5＜5+3√3＜5+6
⇔5＝10/2＜(5+3√3)/2＜11/2

No.56014 - 2019/01/09(Wed) 18:08:08

★ 中3の三平方の問題 / Tori

答えは、2センチなのですが、わかりません。よろしくお願いします。

No.56001 - 2019/01/09(Wed) 04:11:39

☆ Re: 中3の三平方の問題 / れる

コの長さならπが付きそうな？

No.56003 - 2019/01/09(Wed) 04:17:55

☆ Re: 中3の三平方の問題 / れる

ごめん、弦だったねー。

No.56004 - 2019/01/09(Wed) 04:19:46

☆ Re: 中3の三平方の問題 / Tori

あー。わかりました。三平方のページの問題だったので、どこかに、直角をつくらないと、、と考えていたのですが。ありがとうございます

No.56005 - 2019/01/09(Wed) 04:31:37

★ 不動点定理、反復法 / 初学者

http://izumi-math.jp/F_Wada/fixpoint_theorem.pdf
のｐ９に関して、ｆ（ｘ）が縮小写像である場合にf(a（n)）=a（n+1）で定義された｛an}はｆ（α）＝αとなる不動点αに収束しますが、
?@例４のばあい
ｆ（ｘ）は縮小写像ではありません。
しかし、縮小写像でなくとも初項a1をうまく取ることで不動点への近似数列｛an}がうまく構成できているということなのでしょうか？
?Aまた、今回の場合不動点は±√aと２つありますよね？

No.56000 - 2019/01/09(Wed) 02:10:26

★ 微分 / けい

aは実数とする。
関数f(x)=x^4-6x^2-4ax+a^2は３つの極値を持つものとする。
(1)関数y=x^3-3xのグラフを書け。
(2)aについて条件を求めよ。
(3)f(x)の３つの極値の和が取り得る値の範囲を求めよ。

お願いします。(1)、(2)は解けるのですが(3)が分かりません。

No.55994 - 2019/01/08(Tue) 15:54:02

☆ Re: 微分 / X

問題の極値を取るxの値をα、β、γとすると
これらはxの三次方程式
f'(x)=4x^3-12x-4a=0
つまり
x^3-3x-a=0 (A)
の解。よって解と係数の関係から
α+β+γ=0 (B)
αβ+βγ+γα=-3 (C)
ここでf(x)÷(x^3-3x-a)を
実行することにより
f(x)=(x^3-3x-a)x-3x^2-3ax+a^2
以上から
f(α)=-3α^2-3aα+a^2
f(β)=-3β^2-3aβ+a^2
f(γ)=-3γ^2-3aγ+a^2
となるので
f(α)+f(β)+f(γ)=g(a)
と置くと
g(a)=-3(α^2+β^2+γ^2)-3a(α+β+γ)+3a^2
=-3(α+β+γ)^2+6(αβ+βγ+γα)-3a(α+β+γ)+3a^2
これに(B)(C)を代入すると
g(a)=3a^2-18
後は(2)のaの値の範囲における
g(a)の取り得る値の範囲を求めます。

No.55997 - 2019/01/08(Tue) 17:54:13

★ 数列の特性方程式 / 蘭

数列の特性方程式で、

a n+1=p an+qを α=pα+qとおける理由を教えてください。

直感では、項a nと項a n+1 は違うので、これで解ける理由がわかりません。
よろしくお願いします！

No.55977 - 2019/01/07(Mon) 20:52:51

☆ Re: 数列の特性方程式 / s

anとan+1は違いますが、n大での極限値があるとしたらalpha=palpha+qとなるはずですね。

その極限値との差の数列を新しい数列bnとすると、つまりbn+1=an+1-alpha, bn=an-alphaとするとbn+1=pbnという定数項のない簡単な関係になって解きやすいということです。

No.55978 - 2019/01/07(Mon) 22:05:29

☆ Re: 数列の特性方程式 / GandB

　ヨッシーさんの解説が
http://yosshy.sansu.org/tokusei.htm
にある。

No.55998 - 2019/01/08(Tue) 19:40:55

★ 線形代数 / 無敵

（1）の問題なのですが
どこで間違えているかわかりません

どこで間違えているか教えてください
よろしくお願いします

No.55975 - 2019/01/07(Mon) 20:06:51

☆ Re: 線形代数 / noname

まず、対角化できないか確かめました？

No.55991 - 2019/01/08(Tue) 14:24:09

☆ Re: 線形代数 / GandB

　間違えてはいない。それでもいっこうにかまわない。

No.55995 - 2019/01/08(Tue) 16:48:30

☆ Re: 線形代数 / noname

一度その行列を使って対角化してみて、答えの方で対角化したときと何が違うかなど観察するとよいと思います。

No.55996 - 2019/01/08(Tue) 17:38:11

★ 微積 / 微積

この積分の問題がわかりません

少し多いですがお願いします。

答えは紙の方に記載しておきました。

No.55974 - 2019/01/07(Mon) 19:24:07

☆ Re: 微積 / noname

とりあえず(1)は部分積分ができれば普通にできる。(2)もただの置換積分。

No.56008 - 2019/01/09(Wed) 16:37:16

☆ Re: 微積 / noname

(3)は積分領域が変数に依存しない長方形の面積分なので、2回積分して終わり。(4)～(6)は領域が変数に依存するから、yを固定したときのxを表して、それ使って区間を作って2回積分。
まだ平面上の面積分だから簡単なはず。
正直、これができてないと単位が危ないレベル。

No.56010 - 2019/01/09(Wed) 17:07:47

☆ Re: 微積 / noname

ちなみに最初の番号なしのは、頭の1/nを無理やり(　)^(1/n)の中に入れてから、対数とって区分求積。

No.56012 - 2019/01/09(Wed) 17:22:31

★ 数列計算。 / 蘭

この写真みてください！！

この下線をひいている、式変形のところが分かりません。
Σ(ak+1-ak)がαn+1-a1になる理由かわからないんです！！

説明おねがいします！

No.55971 - 2019/01/07(Mon) 18:54:48

☆ Re: 数列計算。 / 蘭

写真です汗

No.55972 - 2019/01/07(Mon) 18:55:12

☆ Re: 数列計算。 / X

Σ[k=1～n](a[k+1]-a[k])=(a[2]-a[1])+(a[3]-a[2])+(a[4]-a[3])+…+(a[n+1]-a[n])
この式の最初の()内のa[2]と二番目の()内のa[2]は
相殺されます。
同様に二番目の()内のa[3]と三番目の()内のa[3]も
相殺されます。
以下同じ事を繰り返すと結局、a[2],…,a[n]は
全て相殺されます。

注)
教科書で階差数列の項目を復習しましょう。

No.55973 - 2019/01/07(Mon) 19:20:22

☆ Re: 数列計算。 / 蘭

ありがとうございます！理解できました！

No.55976 - 2019/01/07(Mon) 20:25:51