ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / あ

f(x)=x^3+x^2-x+1,g(x)=x^3-x^2+x+1とするとf(x)=0,g(x)=0の実数解をそれぞれα,βとする αβの値を求めよ

よろしくお願いします

No.55853 - 2019/01/04(Fri) 01:35:19

☆ Re: / らすかる

x=0はg(x)=0の解ではないのでβ≠0
f(1/β)=1/β^3+1/β^2-1/β+1=(β^3-β^2+β+1)/β^3=g(β)/β^3=0
f(x)=0,g(x)=0の実数解はそれぞれ1つずつなのでα=1/β
よってαβ=1

No.55857 - 2019/01/04(Fri) 01:55:39

☆ Re: / kara

1/3 (-1 - 4/(19 - 3 Sqrt[33])^(1/3) - (19 - 3 Sqrt[33])^(
1/3))*1/3 (1 - 2/(-17 + 3 Sqrt[33])^(1/3) + (-17 + 3 Sqrt[33])^(
1/3))
KARA 1 です。

No.56545 - 2019/02/06(Wed) 12:40:46

☆ Re: / kara2

1/3 (-1 - 4/(19 - 3 Sqrt[33])^(1/3) - (19 - 3 Sqrt[33])^(
1/3))*1/3 (1 - 2/(-17 + 3 Sqrt[33])^(1/3) + (-17 + 3 Sqrt[33])^(
1/3))
KARA 1 です。

No.56546 - 2019/02/06(Wed) 12:41:43

★ こんばんは / 美味しい

αcosθsinθがαsinθsinθになるのはなぜですか？

No.55852 - 2019/01/04(Fri) 01:26:19

☆ Re: こんばんは / らすかる

他に条件がなければ、
acosθsinθはasinθsinθにはなりません。
例えばθ=π/6のとき、
acosθsinθ=a(√3/2)(1/2)=(√3/4)a
asinθsinθ=a(1/2)(1/2)=a/4
なので
acosθsinθ≠asinθsinθです。

No.55855 - 2019/01/04(Fri) 01:42:44

★ 三角関数高校数学 / ルイージさん

1(4)が解けません。教えてください

No.55850 - 2019/01/04(Fri) 00:59:30

☆ Re: 三角関数高校数学 / らすかる

cos(t+π)=-cos(t)
sin(t+π)=-sin(t)
なので
cos(x+(n/2)π)+sin(x+((n+1)/2)π)+cos(x+((n+2)/2)π)+sin(x+((n+3)/2)π)
=cos(x+(n/2)π)+sin(x+((n+1)/2)π)+cos(x+(n/2)π+π)+sin(x+((n+1)/2)π+π)
=cos(x+(n/2)π)+sin(x+((n+1)/2)π)-cos(x+(n/2)π)-sin(x+((n+1)/2)π)
=0

No.55856 - 2019/01/04(Fri) 01:46:16

★ 三角関数高校数学 / マリオさん

tanθ/2=t
0≦θ<π/2のとき
cosθ/(1+sinθ)>2-√(3)をみたすθの範囲を求めよ
解けないので解法を教えてください

No.55849 - 2019/01/04(Fri) 00:48:43

☆ Re: 三角関数高校数学 / らすかる

0≦θ＜π/2からcosθ＞0,sinθ≧0
cosθ/(1+sinθ)＞2-√3
(cosθ)^2/(1+sinθ)^2＞(2-√3)^2=7-4√3
{1-(sinθ)^2}/(1+sinθ)^2＞7-4√3
1-(sinθ)^2＞(7-4√3)(1+sinθ)^2
(8-4√3)(sinθ)^2+2(7-4√3)(sinθ)+(6-4√3)＜0
(8-4√3)(8+4√3)(sinθ)^2+2(7-4√3)(8+4√3)(sinθ)+(6-4√3)(8+4√3)＜0
16(sinθ)^2+2(8-4√3)(sinθ)-8√3＜0
(sinθ)^2+(1-√3/2)(sinθ)-√3/2＜0
(sinθ+1)(sinθ-√3/2)＜0
-1＜sinθ＜√3/2
∴θ＜π/3

No.55854 - 2019/01/04(Fri) 01:42:09

★ (No Subject) / 受験

問1の（3）と（4）の解き方がわかりません
解答を作ってもらえると嬉しいです

答えは問題の横に書いておきました

No.55841 - 2019/01/03(Thu) 22:32:14

☆ Re: / らすかる

どちらも曲線の長さの公式にあてはめるだけですね。

(3)
y=x√x=x^(3/2)からy'=3√x/2
∫[0～5]√(1+9x/4)dx
=(1/27)[(9x+4)^(3/2)][0～5]
=335/27

(4)
y=log(1-x^2)からy'=-2x/(1-x^2)
∫[0～1/2]√{1+4x^2/(1-x^2)^2}dx
=∫[0～1/2](1+x^2)/(1-x^2)dx
=∫[0～1/2]2/(1-x^2)-1dx
=∫[0～1/2]1/(1+x)+1/(1-x)-1dx
=[log{(1+x)/(1-x)}-x][0～1/2]
=log3-1/2

No.55845 - 2019/01/03(Thu) 23:21:30

★ 受験生 / 数3 微分　√x＋√y=√aの概形

√x＋√ｙ=√aのグラフをかけ、という問題です。
（自分の解答）
　まず、x>=0,y>=0
　両辺二乗して整理すると、y=(√x－√a)^2-?@
　よって?@のグラフを書けばよい。
　y'=(√x－√a)/√xより
　y'=0とするとx=a
y''=√a/2x√xより
　x>0でy''>0
lim[x→∞]y=∞
　以上より概形を添付ファイルのように書いたのですが、
　解答のグラフは点(a,o)以降が書かれていません。何回計算し直しても上記のようになってしまいます。
どこがまちがっているのでしょうか。よろしくお願いします。

No.55839 - 2019/01/03(Thu) 22:11:52

☆ Re: 受験生 / らすかる

√y≧0ですから、√x≦√aでなければなりません。
すなわちx≦aの範囲のみのグラフが正しいです。
両辺を2乗すると同値性が崩れる場合が多いですから
気をつけましょう。

No.55843 - 2019/01/03(Thu) 22:45:51

☆ Re: 受験生 / 受験生

ありがとうございます。
とても助かりました！

No.55844 - 2019/01/03(Thu) 22:52:34

☆ Re: 受験生 / らすかる

理解を深めるための補足です。

√y=√a-√x の両辺を2乗すると
y=(√x-√a)^2 になりますが、
-√y=√a-√x の両辺を2乗しても
y=(√x-√a)^2 になりますね。
つまり y=(√x-√a)^2 のグラフは
√y=√a-√x のグラフと
-√y=√a-√x のグラフを合わせたものであり、
0≦x≦a の部分が √y=√a-√x のグラフ、
a≦x の部分が -√y=√a-√x すなわち √x-√y=√a のグラフ
ということです。

No.55848 - 2019/01/04(Fri) 00:26:53

★ (No Subject) / 数学

分からないので教えてください

No.55838 - 2019/01/03(Thu) 22:04:06

☆ Re: / 受験生

(x＋1)(x－2)(x＋3)(x－4)＋24
=(x^2－x－2)(x^2－x－12)＋24-?@
ここでA=x^2－xとおくと
?@=(A－2)(A－12)＋24
=A^2－14x＋24＋24
=A^2－14x＋48
=(A－6)(A－8)
　=(x^2－x－6)(x^2－x－8)

No.55840 - 2019/01/03(Thu) 22:19:06

☆ Re: / らすかる

(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24
={(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)}+24
=(x^2-x-2)(x^2-x-12)+24
={(x^2-x)-2}{(x^2-x)-12}+24
={(x^2-x)^2-14(x^2-x)+24}+24
=(x^2-x)^2-14(x^2-x)+48
={(x^2-x)-6}{(x^2-x)-8}
=(x^2-x-6)(x^2-x-8)
=(x+2)(x-3)(x^2-x-8)

# (x^2-x)をAに置き換えた方がわかりやすければ、置き換えて下さい。
# 置き換えなくても、「(x^2-x)」を一文字とみなせば同じことです。

No.55842 - 2019/01/03(Thu) 22:42:39

★ 平面ベクトル / あやの

313番の解き方がわかりません。教えていただきたいです。

No.55836 - 2019/01/03(Thu) 21:15:11

☆ Re: 平面ベクトル / IT

厳密性が？ですが下記でどうでしょう？

s=cosα,t=sinβとおくと　-1≦s≦1,0≦t≦1 でsとtは独立に変化する。
u=-s+2t…?@,v=2s+t…?A
tを固定して考えると
2t-1≦u≦2t+1,v=-2u+5t なので　P(u,v)の動く範囲は線分C(2t-1,t+2)D(2t+1,t-2)
t=0のとき　C(-1,2),D(1,-2)
t=1のとき　C(1,3),D(3,-1)

t が0から1まで動くとき点Cは(-1,2)と(1,3)を結ぶ線分上を動き、点Dは(1,-2)と(3,-1)を結ぶ線分上を動き
各tについて　各線分CD は、互いに平行。

よって、求める範囲は、(-1,2),(1,-2),(1,3),(3,-1)を頂点とする長方形の内部（４辺を含む）

No.55846 - 2019/01/03(Thu) 23:21:50

★ (No Subject) / 美味しい

(sin70°+sin20°)^2-2tan20°(cos20°)^2で、
(cos20°+sin20°)^2-2(sin20°/cos20°)(cos20°)^2の
sin20°/cos20°の部分が分からず進めません。
なぜこうなるのですか？

No.55834 - 2019/01/03(Thu) 20:14:00

☆ Re: / noname

三角比の最初の方で出てきたtanθ=sinθ/cosθを使っています。
三角比の最初の定義では、
斜辺がr,対辺がy,隣辺(底辺)がxの直角三角形を使って
sinθ=y/r,cosθ=x/r,tanθ=y/xとしているかと思います。
tanθ=y/x=(y/r)/(x/r)=sinθ/cosθです。

No.55835 - 2019/01/03(Thu) 20:27:39

★ 数2 剰余の定理 / ボルト

x^nをx^2-3x＋2で割ったときの余りを求めよ。ただし、nは自然数とする。
この問題で余りをax＋bとした後、どのように解けばいいのか分かりません。詳しい解説よろしくお願いします。

No.55830 - 2019/01/02(Wed) 23:17:53

☆ Re: 数2 剰余の定理 / らすかる

x^2-3x+2=(x-1)(x-2)なので、x^2-3x+2で割った余りをax+bとおくと
x^n=(x-1)(x-2)P(x)+ax+b
これよりx=1のときa+b=1、x=2のとき2a+b=2^n
これら2式から a=2^n-1,b=-2^n+2なので
x^nをx^2-3x+2で割った余りは (2^n-1)x-2^n+2

No.55831 - 2019/01/03(Thu) 01:04:16

☆ Re: 数2 剰余の定理 / ボルト

らすかるさん詳しい解説ありがとうございました。よく理解することができました。これからもよろしくお願いします。

No.55833 - 2019/01/03(Thu) 10:39:58

★ 中２　一次関数 / sawa

解き方が解りません。詳しい解説よろしくお願いします。

No.55826 - 2019/01/02(Wed) 19:55:14

☆ Re: 中２　一次関数 / ヨッシー

４分の時点で一郎1000m, 大輔800m、差は200m なので、
10分の時点では、その2.5倍で、500m
1000m の地点を一郎は４分(問題文より)、大輔は
　4×1000/800＝5(分)
で通過し、その差は１分。
差が、4分15秒＝4.25分になるには、
　1000×4.25＝4250(m)
の地点。

No.55827 - 2019/01/02(Wed) 20:55:54

☆ Re: 中２　一次関数 / sawa

何となく解りました。解説ありがとうございました。

No.55832 - 2019/01/03(Thu) 09:05:17

★ 二次関数 / 輪

63番です。場合分けは、
?@a≦-3
?A-6<a<-3
?Ba≦-6
なのですが、普通に解いた時、どの場合に不等号か等号をつければいいのか分かりません

No.55822 - 2019/01/01(Tue) 21:57:58

☆ Re: 二次関数 / IT

「普通に解いた時」とはどんな解き方ですか？
?@a≧-3　ですか？

下記のように解くとその場合分けは出てきません。
f(x)=x^2+ax+bとおくと
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線なので範囲の端のどちらかで最大値をとる。
0≦x≦3での最大値が1　⇔max(f(0),f(3))=1 …?@
0≦x≦6での最大値が9　⇔max(f(0),f(6))=9 …?A

ここでf(0)=b

?@よりf(0)=b≦1よって?Aよりf(6)=36+6a+b＝9…?B

f(0)=b=1のとき　?Bより　36+6a+1＝9　∴a=-14/3 このとき　9+3a+b=-4 なので?@?Aを満たす。
f(3)=9+3a+b=1のとき?Bとの連立方程式を解くと　a=-19/3,b=11 これは不適。

よってa=-14/3,b=1.　

No.55823 - 2019/01/01(Tue) 23:27:59

☆ Re: 二次関数 / 輪

?@がa<-3
?Aが-6≦a≦-3..
というふうに、等号不等号が反対？になるときです

No.55824 - 2019/01/02(Wed) 00:08:41

☆ Re: 二次関数 / IT

質問の意味が分かりません。
「普通に解いた」解答を書いてみてください。（どちらに等号を付けてもいいですから）

No.55825 - 2019/01/02(Wed) 00:15:15

☆ Re: 二次関数 / 輪

私の、2個目のコメントのような書き方でも正解と見なされますか？という意味です。

No.55828 - 2019/01/02(Wed) 22:16:44

☆ Re: 二次関数 / IT

a の値で場合分けするということであれば、すべての場合を正しく調べてあれば、OKです。（重複があっても）

輪さんの　場合分けだと　a＞-3の場合が　記述されてないようなのでダメです。
（?@a≧-3　ですか？　と聞きましたが、直されなかったので）　

No.55829 - 2019/01/02(Wed) 22:57:38

★ 高一数学 / アント

26の2番からわかりません。解説よろしくお願いします

No.55820 - 2019/01/01(Tue) 18:09:13

☆ Re: 高一数学 / IT

26
(2) どちらかのsin をcos に変えて、(cosx)^2+(sinx)^2=1 を使います。
　sin(90°-x)=cosx,cos(90°-x)=sinx を使います。
(3) cos の加法定理を逆に使います。
(4) ２つとも展開して　、(cosx)^2+(sinx)^2=1 ,sinの倍角公式を使います。
(5)tanx=sinx/cosx を使ってcos,sin の式にします。　
sin(90°-x)=cosx,cos(90°-x)=sinx から　sin80°=cos10°,cos80°=sin10°を使います。
(cosx)^2+(sinx)^2=1 を使います。
(6) (5)と同じようにするとできると思います.

単位円かsin,cos のグラフを描いて各三角関数の概算値を確認しながら考えるといいです。

No.55821 - 2019/01/01(Tue) 21:29:18

★ 係数に虚数を含む2次方程式 / きさき

答えに赤でマーカーを引いた部分のつながりが分かりません。どのようにすれば上式から下式に変形できるのでしょうか？

No.55817 - 2018/12/31(Mon) 17:49:30

☆ Re: 係数に虚数を含む2次方程式 / IT

(1+i)x^2+(3-i)x+2(1-3i)はx+2 を因数に持つので
(1+i)x^2+(3-i)x+2(1-3i)=(x+2)(px+q) と因数分解できる
x^2の係数を比較してp=1+i,定数項を比較してq=1-3i

No.55818 - 2018/12/31(Mon) 20:56:15

★ 実数問題 / N.N

実数x,yは関係式x＾2＋2y＋y＾2＝1を満たすとする。
（1）
この関係式をyに関する二次方程式y＾2＋2y＋x＾2ー1＝0と考えて、この方程式が実数解yを持つようなxの範囲を求めなさい。
（2）
k＝yーxとして関係式からyを消去した式をx＾2＋px＋qとする。p,qをkを用いて表しなさい。
（3）
（2）で求めたp,qに対して二次方程式t＾2＋pt＋q＝0が実数解を持つようなkの範囲を求めなさい。
（4）
（2）で求めたkの最大値と最小値を与えるの実数の組（x,y）をそれぞれ求めなさい。

この問題の（4）だけよくわかりません!！解き方を教えてください!！

No.55816 - 2018/12/31(Mon) 16:12:42

☆ Re: 実数問題 / X

(3)の結果から求められるkの最大値、最小値を
k[1],k[2]として
x,yの連立方程式
y^2+2y+x^2-1=0
k[1]=y-x
と
x,yの連立方程式
y^2+2y+x^2-1=0
k[2]=y-x
を解きます。

(3)が解けているのであればk[1],k[2]の値も
求められるはずですので、(2)の過程に習えば
解けるはずです。

No.55819 - 2018/12/31(Mon) 22:46:24

★ -1の実数乗 / fygar

こんばんは。
-1の実数乗を求めてみました。なにぶん、複素解析は
ほとんどやってないので、合ってるでしょうか。
よろしくお願いします。

公式．------------------------------------------
複素数z、実数p,qについて、
α=p log|z|-q arg z
β=q log|z|+p arg z
として、
z^(p+qi)=(e^α)(cosβ+isinβ)が成り立つ、ここで、
log(x)は実数xの自然対数を、
arg(z)は複素数zの偏角（多価関数）を、それぞれ表す。
------------------------------------------------
-1の実数乗は、z=-1、p=実数、q=0になる。
すると、
α=plog(|-1|)、β=p arg (-1)=pπとなり、

z^(p+qi)=-1^p=(e^(plog(|-1|)))(cos pπ+isin pπ）

log(|-1|)=0なので、

-1^p=(e^0)(cos pπ+isin pπ)=cos pπ+isin pπ=e^(ipπ)
故に、
-1^p=e^(piπ)=cos pπ + isin pπ
となる。

No.55809 - 2018/12/30(Sun) 18:22:05

☆ Re: -1の実数乗 / らすかる

> β=p arg (-1)=pπとなり
ここが違います。
上に書いているようにarg(z)は多価関数であり、
arg(-1)=(2n+1)πです。

No.55810 - 2018/12/30(Sun) 18:50:20

☆ Re: -1の実数乗 / fygar

らすかる様、ご指摘ありがとうございます。

No.55811 - 2018/12/30(Sun) 18:52:36

☆ Re: -1の実数乗 / fygar

ご指摘に従って計算をしたら、以下のようになりました。
合ってますでしょうか？
-1^p=e^(pi(2n+1)π)=cos p(2n+1)π + isin p(2n+1)π

No.55812 - 2018/12/30(Sun) 20:11:52

☆ Re: -1の実数乗 / らすかる

はい、それで問題ないと思います。

No.55813 - 2018/12/30(Sun) 20:28:09

☆ Re: -1の実数乗 / fygar

らすかる様、どうもありがとうございました。

No.55814 - 2018/12/30(Sun) 20:31:25

★ (No Subject) / こんにちは

この問題の解き方教えてもらえないでしょうか

No.55806 - 2018/12/30(Sun) 11:50:18

☆ Re: / IT

k^2部分とL部分に分けて計算します。

?納k=1,10](?納L=1,10]2(3k^2-L))
=?納k=1,10](?納L=1,10]6k^2-?納L=1,10]2L)
=?納k=1,10](?納L=1,10]6k^2)-?納k=1,10](?納L=1,10]2L)

?納k=1,10]k^2
?納L=1,10]L は計算できますか？

No.55807 - 2018/12/30(Sun) 12:12:31

★ 実数問題 / N.N

解き方がいまいち分からないので解説していただけると嬉しいです!！

No.55802 - 2018/12/29(Sat) 18:47:27

☆ Re: 実数問題 / X

方針を。
(1)
求める条件は
f(x)-g(x)=1
をxの二次方程式と見たときに
x≦0
なる実数解を少なくとも一つ
もつようなaの条件
となります。
そこで
y=f(x)-g(x)-1
のグラフがx≦0の範囲でx軸と
一つ以上の交点を持つ条件を求めます。

(2)
求める条件はxの二次不等式
f(x)-g(x)≧0
の解が任意の実数となるような
aの条件です。
これはxの二次方程式
f(x)-g(x)=0
の解の判別式に対する条件を
使うだけですので(1)よりは容易です。

(3)
題意を満たすためには
(y=f(x)のグラフの頂点のy座標)
≧(y=g(x)のグラフの頂点のy座標)
となればよいことが分かります。
後はこの条件からaの不等式を導いて
解きます。

No.55805 - 2018/12/29(Sat) 20:50:17

★ 数iii 複素数平面 n乗根 / カナリア

「nθ=θ'+2kπ(kは整数) 」
2kπをここで足す意味って方程式の解の数をn個に合わせるための数合わせってことですか？なんか下の偏角を比較してる箇所見てたらよく分かんなくなってきます

No.55797 - 2018/12/29(Sat) 17:07:56

☆ Re: 数iii 複素数平面 n乗根 / カナリア

すいません、こっちの写真でお願いします

No.55798 - 2018/12/29(Sat) 17:10:19

☆ Re: 数iii 複素数平面 n乗根 / noname

数合わせというか、そのままの意味です。
1つのnθに対して周回違いがいくつもあるので、
nで割ったときに数え忘れないように、ということです。

例えば、三角関数を用いた方程式でも，
0≦θ<2πのとき，sin3θ=1となったら，
3θ=π/2としてはだめでしたよね。
実際は0≦3θ<6πなので，3θ=π/2，5π/2，9π/2としてから3で割ってθ=π/6,5π/6，3π/2とするのでした。
複素数の方程式では偏角の定義域を与えていないことが多いので、特に注意しようということです。

No.55801 - 2018/12/29(Sat) 18:35:36

☆ Re: 数iii 複素数平面 n乗根 / カナリア

三角方程式の例でよく分かりました！ありがとうございました。

No.55804 - 2018/12/29(Sat) 19:18:09