xy平面内に次の二つの集合l、mを考える。
l={(-5,y)?U-5<y<5}、m={(5,y)?U-5<y<5}
l、m上にない2点A、Bに対し、A、Bをl、mと交わらない線分または折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値をd(A,B)で表す。2点P(-9,-3)、Q(9,3)に対しd(P,R)=d(Q,R)となる点Rの軌跡をxy平面上に図示せよ。
A(-5,5)、B(-5,-5)、C(5,-5)、D(5,5)とします。対称性を考慮して、y≦0の場合について考えます。
2点P、Qいずれからもl、mに触れないでRに到達する場合はd(P,R)=d(Q,R)はPR=QRなので、RはPQの垂直二等分線上より、y=-3x。
RがPからのみ触れないで到達する場合は明らかにd(P,R)<d(Q,R)。
同様にRがQからのみ触れない場合も不適。
l、mにはさまれた部分について考えます。d(P,R)=min(PA+AR,PB+BR)=min(4√5+AR,2√5+BR)、d(Q,R)=min(QC+CR,QD+DR)=min(4√5+CR,2√5+DR)。
y≦0と仮定してるのて゜、d(P,R)=2√5+BR。
4√5+CR≦2√5+DRのとき、d(P,R)=d(Q,R)は、2√5+BR=4√5+CRより、BR-CR=2√5
4√5+CR≧2√5+DRのとき、d(P,R)=d(Q,R)は、2√5+BR=2√5+DRより、BR=DRよりy=-x
ここまでは何とか考えました。わからないのはここから先です。
4√5+CR≦2√5+DRがどこを示しているのか、BR-CR=2√5はどういう図形になるのかがわかりません。
教えてください。よろしくお願いします。
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No.54884 - 2018/11/06(Tue) 20:53:14
| ☆ Re: / IT | | | > 4√5+CR≦2√5+DRがどこを示しているのか、BR-CR=2√5はどういう図形になるのかがわかりません
２定点からの距離の差が一定である点の軌跡を「双曲線」といいます。「双曲線」で検索すると分かります。
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No.54885 - 2018/11/06(Tue) 21:30:53 |
| ☆ Re: / らすかる | | | BR-CR=2√5は
R(x,y)とおくと
√{(x+5)^2+(y+5)^2}-√{(x-5)^2+(y+5)^2}=2√5
{(x+5)^2+(y+5)^2}+{(x-5)^2+(y+5)^2}-2√{{(x+5)^2+(y+5)^2}{(x-5)^2+(y+5)^2}}=20
2x^2+2y^2+20y+80=2√{{(x+5)^2+(y+5)^2}{(x-5)^2+(y+5)^2}}
x^2+y^2+10y+40=√{{(x+5)^2+(y+5)^2}{(x-5)^2+(y+5)^2}}
(x^2+y^2+10y+40)^2={(x+5)^2+(y+5)^2}{(x-5)^2+(y+5)^2}
(x^2+y^2+10y+40)^2={(y+5)^2+x^2+25+10x}{(y+5)^2+x^2+25-10x}
(x^2+y^2+10y+40)^2={(y+5)^2+x^2+25}^2-(10x)^2
(x^2+y^2+10y+40)^2=(x^2+y^2+10y+50)^2-(10x)^2
(x^2+y^2+10y+50)^2-(x^2+y^2+10y+40)^2=(10x)^2
{(x^2+y^2+10y+50)+(x^2+y^2+10y+40)}{(x^2+y^2+10y+50)-(x^2+y^2+10y+40)}=(10x)^2
10(2x^2+2y^2+20y+90)=(10x)^2
x^2+y^2+10y+45=5x^2
4x^2-y^2-10y-45=0
4x^2-(y+5)^2=20
x＞0なので双曲線4x^2-(y+5)^2=20のx＞0の部分
同様に
4√5+CR≦2√5+DRはDR-CR≧2√5となり
DR-CR=2√5は上と同様に双曲線4y^2-(x-5)^2=20のy＜0の部分なので
DR-CR≧2√5は双曲線4y^2-(x-5)^2=20のy＜0の部分より下の領域(境界を含む)
となります。
4x^2-(y+5)^2=20のx＞0の部分と4y^2-(x-5)^2=20のy＜0の部分の交点は
((4√10-5)/3,-(4√10-5)/3)
（y=-xと4y^2-(x-5)^2=20のy＜0の部分の交点も同じ）
ですから、結局
y=-xの-(4√10-5)/3≦y≦0の部分と
4x^2-(y+5)^2=20のx＞0かつ-9≦y≦-(4√10-5)/3の部分
となりますね。
# 余談ですが
# 「l、mに触れないで」というのはどこかに書かれていた言い回しでしょうか。
# 言葉のニュアンスを考えると
# 「○と△が触れる」というのは「○と△の間に隙間がない」ということなので
# PRが(-5,-5)を通るときは「lに触れている」ように思えます。
# 数学的に曖昧な言葉は良くありませんので、「lと交わる/交わらない」
# 「lと共有点を持つ/持たない」などの数学用語を使った方が良いと思います。
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No.54887 - 2018/11/06(Tue) 21:52:47 |
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