ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高2 数?U / a

0<=θ<=2πで定義された関数f(θ)=8sin^3θ－3cos2θ－12sinθ＋7の最大値、最小値と、そのときのθの値をそれぞれ求めよ。

という問題で写真に赤線で引いたsinθ＝tとおくと、0<=θ<=2πであるから－1<=t<=1 の部分がどうしてこうなるのか分からないので教えていただきたいです。

No.55962 - 2019/01/07(Mon) 01:11:04

☆ Re: 高2 数?U / らすかる

sinθの値域が-1～1であることはご存じないですか？

No.55965 - 2019/01/07(Mon) 02:38:00

★ (No Subject) / k

高2数b 数列の問題です。
この問題の項数の出し方が分かりません。
どなたか教えてください。

No.55960 - 2019/01/07(Mon) 00:48:14

☆ Re: / らすかる

nに小さい値を代入してみればわかります。
n=2のとき末項が2n+1=5なので数列は1,3,5、よって項数は3
n=3のとき末項が2n+1=7なので数列は1,3,5,7、よって項数は4
n=4のとき末項が2n+1=9なので数列は1,3,5,7,9、よって項数は5
のようになっていますので、項数はn+1ですね。

No.55961 - 2019/01/07(Mon) 01:00:20

☆ Re: / k

> nに小さい値を代入してみればわかります。
> n=2のとき末項が2n+1=5なので数列は1,3,5、よって項数は3
> n=3のとき末項が2n+1=7なので数列は1,3,5,7、よって項数は4
> n=4のとき末項が2n+1=9なので数列は1,3,5,7,9、よって項数は5
> のようになっていますので、項数はn+1ですね。

なるほど、無事解決できました。ありがとうごさいます。

No.55963 - 2019/01/07(Mon) 01:24:19

★ 複素数 / カナリア

異なる3つの複素数α,β,γの間に、等式2γ-(1+√3i)β=(1-√3i)αが成り立つとき、3点A(α),B(β),C(γ)を頂点とするΔABCの3つの角の大きさを求めよ。
2γ=(1-√3i)α+(1+√3i)β
2(γ-β)=(1-√3i)α-(1-√3i)β
γ-β/α-β=1/2-√3/2i=cos(-π/3)+isin(-π/3)
arg γ-β/α-β=-π/3(∠αβγ=-π/3) より
∠ABC=π/3 ←これっていいですかね？
|γ-β/α-β|=1 |γ-β|=|α-β|よりBC=BA
したがって、ΔABCは正三角形と相似であるため
∠A=∠B=∠C=π/3

No.55958 - 2019/01/06(Sun) 22:18:27

☆ Re: 複素数 / カナリア

すいません、↑の添削をお願いしたいです

No.55959 - 2019/01/06(Sun) 23:49:48

★ 線形代数 / 無敵

写真が切れててすみません

この問題は計算はできるのですがなにをしているのかわかりません

詳しく教えてください

No.55956 - 2019/01/06(Sun) 16:29:03

☆ Re: 線形代数 / GandB

　ハンドルを変えて同じレベルの質問ばっかりしてるなあ・・・

> なにをしているのかわかりません
　ネタなのかwww
　問題文に

　　[R]^3 の基底 { a1↑,a2↑, a3↑ } を正規直交基底に変えろ

と書いてあるではないか。正規直交基底に直すと、いろいろいいことがあるのだ（笑）。

　a1↑,a2↑, a3↑と直交化した v1↑,v2↑, v3↑を実際に描けばよい。

No.55957 - 2019/01/06(Sun) 18:57:01

★ (No Subject) / こういち

tan159°は三角比の値をどう求めるのですか？

No.55944 - 2019/01/06(Sun) 00:00:34

☆ Re: / らすかる

tan(180°-θ)=-tanθなので
tan159°=tan(180°-21°)=-tan21°です。
-tan21°をどのように求めるかは、
・√などを使った厳密値を求めたいのか、それとも三角関数表などで
　小数の近似値を求めたいのか
・求めるためにどのような知識を使ってよいのか
により大幅に変わりますので、詳しい条件がわからないと
答えようがありません。

No.55945 - 2019/01/06(Sun) 03:00:29

★ 線形代数 / オッパッピー

問1の（1）の答えが何度やってもあいません

一度解いてもらいたいです

よろしくお願いします。

No.55937 - 2019/01/05(Sat) 18:39:17

☆ Re: 線形代数 / GandB

　ネタと思うが、高校数学レベルなのでまじめに応えよう（笑）。
┌　　 ┐┌　 ┐ 　┌　　 ┐ 　┌　┐
│-2　5││-1 │=│ 2+15│=│17│
│ 7　3││ 3 │ 　│-7+ 9│ │ 2│
└　　 ┘└　 ┘ 　└　　 ┘ 　└　┘

No.55938 - 2019/01/05(Sat) 19:50:12

★ 数列について。 / コルム

この問題の解答を詳しく教えていただきたいのです。教えていただけると幸いです。次のURL です。
http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs.cgi?mode=res&namber=48948&type=0&space=0&mo=48948&page=&In=1&no=0#F

No.55936 - 2019/01/05(Sat) 17:48:57

☆ Re: 数列について。 / GandB

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10897132.html
にも回答があるみたいだけど（笑）。
　論理積とか数学的帰納法について知ってるの？

No.55939 - 2019/01/05(Sat) 20:00:40

☆ Re: 数列について。 / コルム

はい。知っています。それを使うのですか？教えていただけると幸いです。もう少し噛み砕いて、教えていただけると幸いです。

No.55940 - 2019/01/05(Sat) 20:35:47

★ 線形代数 / かなりわかりません

問題が切れててすみません

写真の２つの問題はなぜ解き方が違うのでしょうか？

また1組の基底を求めるとはどういうことなのでしょうか？
ほかの基底はどのようにまとめれば良いのでしょうか？

教科書や色々な参考書をみてもわかりません

詳しく教えてください

No.55931 - 2019/01/05(Sat) 14:44:51

☆ Re: 線形代数 / noname

まず、基底って何か分かってますか。
それが答えられないうちは3次元はまだ早いように思います。
2次元の場合を復習することをおすすめします。数Bのベクトルで散々やってるはずです。平面上の全てのベクトルは一次独立な2つのベクトルa↑、b↑を用いて表せることや、一次独立でないと何がまずいのかなど習ったでしょう。

No.56015 - 2019/01/09(Wed) 19:40:43

★ (No Subject) / キマイラ

写真の5問がわかりません

詳しく教えてください

答えは赤の字で書いておきました

よろしくお願いします。

No.55928 - 2019/01/05(Sat) 13:34:58

☆ Re: / X

上段の(1)
(与式)=[(1/2)arctan(x/2)][0→∞]
=π/4
上段の(2)
(与式)=[(1/2)e^(2x)][0→∞]
=1/2

中段の問題)
グラフによる面積比較を使います。
今、kを自然数として
点(k,0),(k,1/(k+1)^2),(k+1,1/(k+1)^2),(k+1,0)
を頂点とする長方形の面積と
曲線y=1/x^2,直線x=k,x=k+1及びx軸
で囲まれた図形の面積を比較することにより
1/(k+1)^2＜∫[k→k+1]dx/x^2
∴1/(k+1)^2＜1/k-1/(k+1)
となるので、n≧2なる自然数nに対し
Σ[k=1～n-1]1/(k+1)^2＜Σ[k=1～n-1]{1/k-1/(k+1)}
これより
Σ[k=2～n]1/k^2＜1-1/n
(左辺はk+1を改めてkと置いた)
Σ[k=1～n]1/k^2＜2-1/n
後は両辺のn→∞の極限を取ります。

下段の(1)
与式より
y'/y=k/x
両辺xで積分すると
log|y|=klog|x|+c
(cは積分定数)
∴|y|=(e^c)|x|^k
e^c=Dと置くと
|y|=D|x|^k (A)
(D＞0)
ここで問題の微分方程式は
y=0
のときも成立するので
(A)はD=0のときも成立。
よって解は
|y|=D|x|^k (B)
(D≧0)
更に(B)の両辺の絶対値を外すと
y=±Dx^k
つまり右辺のx^kの係数は任意の
実数を取れることになるので
求める一般解は
y=Cx^k
(Cは任意定数)

下段の(2)
y'+y/x=0
を下段の(1)と同じ方針で解くと
y=D/x(Dは任意定数)
よって問題の微分方程式((A)とします)
の一般解を
y=u(x)/x (B)
と置いて(A)に代入すると
u'(x)/x=1
これより
u'(x)=x
u(x)=(1/2)x^2+C
(Cは任意定数)
これを(B)に代入して、求める一般解は
y=(1/2)x+C/x
(Cは任意定数)

No.55942 - 2019/01/05(Sat) 22:22:31

★ 数列 / キマイラ

この数列の極限値の求め方がわかりません

おそらく区分求積法を使うと思います

途中式も含めて教えてもらいたいです。

よろしくお願いします。

No.55926 - 2019/01/05(Sat) 13:01:51

☆ Re: 数列 / X

(1)
求める極限値をIとすると
I=lim[n→∞]Σ[k=1～n]1/(n+k)
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1～n]1/(1+k/n)
=∫[0→1]dx/(1+x) (∵)区分求積法による
=log2

(2)
求める極限値をIとすると
logI=lim[n→∞]log{(1/n)(n!)^(1/n)}
=lim[n→∞]log{{(1/n^n)(n!)}^(1/n)}
=lim[n→∞](1/n)log{(n!)/n^n}
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1～n]log(k/n)
=∫[0→1]logxdx (∵)区分求積法による
=-1 (注)lim[x→+0]xlogx=0 (証明は省略します)
∴I=1/e

(3)
求める極限値をIとすると
I=lim[n→∞]Σ[k=0～n-1]1/√(n^2+k^2)
=lim[n→∞](1/n)Σ[k=0～n-1]1/√{1+(k/n)^2}
=∫[0→1]dx/√(1+x^2) (∵)区分求積法による
後はこの定積分を計算します。
(ここからはご自分でどうぞ。)

No.55927 - 2019/01/05(Sat) 13:20:08

★ 積分 / ゴンゴン

（4）の問題の解き方がわかりません

途中式も含めて教えてもらいたいです。

答えはすぐ上に書いておきました

また問題は不定積分をする問題です

よろしくお願いします。

No.55922 - 2019/01/05(Sat) 11:54:22

☆ Re: 積分 / らすかる

∫sinx・log|sinx|dx
=(-cosx)log|sinx| - ∫(-cosx)・cosx/sinx dx
=(-cosx)log|sinx| + ∫(cosx)^2/sinx dx
=(-cosx)log|sinx| + ∫(sinx)(cosx)^2/(sinx)^2 dx
=(-cosx)log|sinx| + ∫(sinx)(cosx)^2/{1-(cosx)^2} dx
=(-cosx)log|sinx| + ∫-t^2/(1-t^2) dt　（cosx=tとおいた）
=(-cosx)log|sinx| + ∫1-1/(1-t)(1+t) dt
=(-cosx)log|sinx| + ∫1-(1/2){1/(1+t)+1/(1-t)} dt
=(-cosx)log|sinx| + t - (1/2){log|1+t|-log|1-t|} + C
=(-cosx)log|sinx| + t + (1/2)log|(1-t)/(1+t)| + C
=(-cosx)log|sinx| + cosx + (1/2)log{(1-cosx)/(1+cosx)} + C
となります。

No.55925 - 2019/01/05(Sat) 12:45:15

★ 重複順列 / Mahalo

(3)と(4)は、重複順列の公式が使えませんか？
どのような時使えないか簡単に説明して頂けると嬉しいです。

No.55921 - 2019/01/05(Sat) 11:34:33

☆ Re: 重複順列 / らすかる

使えます。
「使えるかどうか」という意味では、
どのような問題でも使える可能性がありますので
「この問題では使えない」と断言するのは難しいと思いますが、
少なくとも「重複」しない配り方の場合は
使う価値がないと思います。

No.55924 - 2019/01/05(Sat) 12:20:25

★ (1)です / こういち

sin(90ﾟ＋θ)＝cosθになる理由を教えてください。
x＝cosθはわかりました。

No.55908 - 2019/01/05(Sat) 01:47:11

☆ Re: (1)です / noname

図の中に合同な三角形があるので探しましょう。

No.55915 - 2019/01/05(Sat) 08:32:46

☆ Re: (1)です / こういち

…見つけられます。

No.55941 - 2019/01/05(Sat) 22:01:37

☆ Re: (1)です / らすかる

sin(90°+θ)は Qからx軸に下ろした垂線の長さ
cosθは Pからy軸に下ろした垂線の長さ
なので、三角形の合同から等しいことがわかります。

No.55943 - 2019/01/05(Sat) 23:00:33

☆ Re: (1)です / こういち

sin(90°+θ)は Qからx軸に下ろした垂線の長さ
というのが飲み込めません。
もう少し詳しく教えて頂けませんか？

No.55946 - 2019/01/06(Sun) 03:24:16

☆ Re: (1)です / らすかる

sinθというのは、点(1,0)を原点中心にθ左回転した点のy座標の値です。
点(1,0)を原点中心に90°+θ左回転した点は点Qですから、
sin(90°+θ)は点Qのy座標の値となります。
点Qのy座標の値は、点Qからx軸に下ろした垂線の長さに等しいですね。

No.55947 - 2019/01/06(Sun) 03:44:49

☆ Re: (1)です / こういち

本当に何度も申し訳ないのですが
sin(90°+θ)は点Qのy座標の値というのがわからないです。
sin(90°+θ)は-sinθですよね………？
論点がずれてきていると思いますがどうかもう少し教えてください。

No.55948 - 2019/01/06(Sun) 04:45:37

☆ Re: (1)です / らすかる

sin(90°+θ)は-sinθではありませんが、
「sinθというのは、点(1,0)を原点中心にθ左回転した点のy座標の値です。」
が納得できて
「sin(90°+θ)は点Qのy座標の値」
が納得できないということですか？

No.55949 - 2019/01/06(Sun) 05:29:56

☆ Re: (1)です / こういち

はい。そうです…

No.55950 - 2019/01/06(Sun) 05:31:31

☆ Re: (1)です / らすかる

「sinθというのは、点(1,0)を原点中心にθ左回転した点のy座標の値です。」
はθに何を代入しても成り立つのですから、θに90°+θを代入すれば
「sin(90°+θ)というのは、点(1,0)を原点中心に(90°+θ)左回転した点のy座標の値です。」
となりますね。
「点(1,0)を原点中心に(90°+θ)左回転した点」は点Qですから、結局
「sin(90°+θ)は、点Qのy座標の値」
ということになります。

No.55951 - 2019/01/06(Sun) 05:52:31

★ (No Subject) / こういち

三角形の内角の和がπだと聞いたのですが、よくわからないです。
180度ではないのですか？

No.55899 - 2019/01/04(Fri) 23:18:08

☆ Re: / X

これも三角関数を学習する段階で理解できることです。
それまで待ちましょう。

No.55906 - 2019/01/05(Sat) 01:30:04

☆ Re: / noname

角度の表し方には円を360等分する「度数法」以外にもいくつか方法があって，
「弧度法」という角度の表し方では180°がπと表されます。

No.55914 - 2019/01/05(Sat) 08:30:32

☆ Re: / noname

弧度法は，
半径1の円について，長さが1の弧に対する中心角の大きさを1ラジアンと定めるものです。
(こうしておくと，半径がr倍になった半径rの円に対しては、長さがrの弧に対する中心角を1ラジアンと考えればよいことになります。)
ラジアンはradと書くこともありますが、普通は単位を書きません。
例えば、半径1の円の円周は1×2×π=2π，
180°は半円の弧の長さに対する中心角なので，2π×(1/2)=π
90°はさらに弧の長さを半分にした1/4円の弧に対する中心角なので，
π×(1/2)=π/2と表せます。
また，
60°は円周全体を6等分した弧に対する中心角なので，
2π×(1/6)=π/3
と表せます。

No.55919 - 2019/01/05(Sat) 09:39:57

★ (No Subject) / こういち

sin30度＋sin30度は、sin60度でいいのですか？
ふつうに足し算して大丈夫でしょうか？

No.55894 - 2019/01/04(Fri) 22:19:58

☆ Re: / X

よろしくありません。

質問されているスレの内容から判断して
こういちさんは三角関数(三角比ではありません)
を学習されていないと思われます。
三角関数を学習すれば自ずと分かることですので
それまでは理由は脇に置いて、
普通に足し算はできない
とだけ頭に入れておいてください。

No.55903 - 2019/01/05(Sat) 01:28:44