[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ 大学の物理、数学です。 / やや
教えてください！！！！！
No.84784 - 2023/01/31(Tue) 02:27:46
★ 猛者よ、助けて下さい！ / あらぶる
全ての辺の長さがaの正四角錐o-abcdにおいて、4つの辺OA、OB、OC、ODに接し、底面ABCDにも接する球の半径を求めよ。

どのような作図で解いたら良いか分かりません。猛者よ、助けて下さい。（図があれば有難いです。）
No.84781 - 2023/01/30(Mon) 22:53:58
☆ Re: 猛者よ、助けて下さい！ / ヨッシー

図のように△ＯＡＣで考えます。
ＯからＡＣに下ろした垂線上に球の中心はあり、半径をｒとすると、
　ｒ＋√2ｒ＝ａ/√2
これを、ｒについて解きます。
No.84782 - 2023/01/31(Tue) 00:06:46
☆ Re: 猛者よ、助けて下さい！ / あらぶる
ありがとうございます！
No.84783 - 2023/01/31(Tue) 00:31:34
★ (No Subject) / 豆
次のデータは12名で行ったあるゲームの得点である
12,10,23,18,6,10,a,b,c,d,e,f,(単位は点)
ここで得点はすべて0以上の整数とし下記のことが分かっている


?@最高点は23点，最低点は6点である
?A第一四分位数は10.5点，中央値は15点，第3四分位数は19点である
?B全体の平均点は15点，分散は27である
?C上位3名の平均値は22点である

この時a〜fの値はいくつか。ただしa≦b≦ｃ≦ｄ≦ｆである

解答＆解説よろしくお願いします
No.84772 - 2023/01/30(Mon) 13:38:47
☆ Re: / ヨッシー
小さい方からの３数は
6,10,10 であり、この間に文字は入りません。（第1四分位数が10より大きいため）
よって、４番目は a=11 となります。

大きい方からの３数は
23,f,e であり、第３四分位数が19なので、
23,f,19,19 または 23,f,20,18 であり、上位３名の平均が 22 になるには、
23,f,19,19 ではダメで、23,23,20,18 と決まります。f=23。

整理すると
　6,10,10,11,・・・12,・・・18,20,23,23
であり、・・・の部分に b,c,d,e が入ります

中央値が15なので、考えられるのは
　6,10,10,11,11, 12,18, 18,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 12,18, 18,18,20,23,23　計181

　6,10,10,11,12, 13,17, 17,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 13,17, 18,18,20,23,23　計181

　6,10,10,11,12, 14,16, 16,18,20,23,23　計179
　6,10,10,11,12, 14,16, 17,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 14,16, 18,18,20,23,23　計181

　6,10,10,11,12, 15,15, 15,18,20,23,23　計178
　6,10,10,11,12, 15,15, 16,18,20,23,23　計179
　6,10,10,11,12, 15,15, 17,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 15,15, 18,18,20,23,23　計181
で、平均 15（合計180) になるのは、
　6,10,10,11,11, 12,18, 18,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 13,17, 17,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 14,16, 17,18,20,23,23　計180
　6,10,10,11,12, 15,15, 17,18,20,23,23　計180
この４通りに絞られます。

分散が 27（差分平方和324）になるのは、
　6,10,10,11,12, 14,16, 17,18,20,23,23　計180
この場合であり、
　(a,b,c,d,e,f)＝(11,14,16,17,20,23)
と決まります。
No.84773 - 2023/01/30(Mon) 14:25:17
★ 正二十面体の計量 / I
（2）?@?Aの解説をお願いします！
（どうやら重心の性質を使うようです）
No.84770 - 2023/01/30(Mon) 10:40:12
☆ Re: 正二十面体の計量 / I
（2）1,2です
画像つけ忘れと文字化けすみません
No.84771 - 2023/01/30(Mon) 10:42:46
☆ Re: 正二十面体の計量 / ヨッシー
(1)

図のように、ｘを取ると、ｘ，ｘ，２ の三角形と、２，２，(x+2) の三角形は相似なので、
　ｘ：２＝２：(x+2)
　x(x+2)＝4
　ｘ^2＋2x−4＝０
これを ｘ＞０ で解いて、
　ｘ＝√5−1
求める対角線は
　ｘ＋２＝√5＋1　・・・答え(1)

(2) は後ほどですが、三角関数履修済みということでいいですか？
No.84775 - 2023/01/30(Mon) 19:05:45
☆ Re: 正二十面体の計量 / ヨッシー
※(1) の解答でｘを使いましたが、(2) で聞かれているｘとは別物です。

(2)

正五角形ＡＢＦＣ’Ｅ’において、中心をＯ、ＡＣ’の中点をＭ、Ｃ’Ｆの中点をＨとします。
Ｃ’Ｅ’＝２、Ｃ’Ｍ＝(√5＋1)/2　より、
　Ｅ’Ｍ^2＝４−(√5＋1)^2/４
　　＝４−(6＋2√5)/4＝(5−√5)/2
△Ｃ’Ｅ’Ｍ∽△ＯＨＣ’　より
　Ｃ’Ｏ：Ｃ’Ｈ＝Ｃ’Ｅ’：Ｅ’Ｍ
　Ｃ’Ｏ^2＝Ｃ’Ｈ^2・Ｃ’Ｅ’^2／Ｅ’Ｍ^2
　　＝１^2・２^2／{(5−√5)/2}
　　＝８／(5−√5)＝８(5＋√5)/２０＝２(5＋√5)/５

△Ｃ’ＯＤ’（Ｄ’は元の問題の図の点Ｄ’）における三平方の定理より
　ＯＤ’^2＝Ｃ’Ｄ’^2−Ｃ’Ｏ^2
　　＝４−２(5＋√5)/５＝２(５−√5)／５

正五角形Ａ’Ｂ’Ｆ’ＣＥ の中心をＯ’とすると、
　Ｄ’、Ｏ、Ｏ’、Ｄ
は一直線上にあり、
　Ｄ’Ｏ：ＯＯ’：Ｏ’Ｄ＝ｘ：２：ｘ＝(√5−1)：２：(√5−1)
よって、ＤＤ’の長さ（ＡＡ’も同じ）は、Ｄ’Ｏの
　2√5/(√5−1)　倍。
つまり、ＡＡ’^2は、ＯＤ’^2 の 20/(√5−1)^2＝10/(3−√5)＝5(3＋√5)/2 倍。
よって、
　ＡＡ’^2＝２(５−√5)／５×5(3＋√5)/2＝(５−√5)(3＋√5)＝10＋2√5


△ＡＢＣに垂直な方向から△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’を見ると、
図のようになり、水平距離でＡＡ’＝(4/3)√3　です。
右の図は△ＡＢＣが線分に見える方向から見た図で、三平方の定理より
　ｈ^2＝ＡＡ’^2−{(4/3)√3}^2＝10＋2√5−16/3＝14/3＋2√5
No.84780 - 2023/01/30(Mon) 22:34:30
☆ Re: 正二十面体の計量 / I
中3です（一応三角関数はできます）
No.84785 - 2023/01/31(Tue) 12:08:00
☆ Re: 正二十面体の計量 / I
わかりやすい解説ありがとうございます！
No.84786 - 2023/01/31(Tue) 12:08:49
★ 三角関数の極限 / nn
lim(x→∞) sin1/x の極限を求めよ。
という問題ですが、
x→∞にするとsin0に限りなく近づくので、答えはすぐに0と分かると思うのですが、学校の教科書はt=1/xとおいて、x→∞のとき、t→+0と置き換えています。わざわざ置き換えているのは、何か理由があるのですか。
よろしくお願いします。
No.84767 - 2023/01/30(Mon) 06:46:55
☆ Re: 三角関数の極限 / けんけんぱ
>x→∞にするとsin0に限りなく近づくので
ということがすぐにはわからない人のためにしています。
(x+y+1)(x+y+2)を展開する際に、x+y=tとおくのと同じ理由です。


ひとつひとつ確実に理解していくことも大事なことです。
一足飛びに考えることに慣れてしまうと、少し難しい問題にであうと手も足もでない五里霧中ということがあります。
半歩でも前進する方法を知っていると、半歩進んだ先では霧が晴れているかも知れません。
No.84769 - 2023/01/30(Mon) 09:41:24
★ 数1 / ま
ここは何度も質問OKなのでしょうか？

画像の水色のところ、
何故(b-c)になるのか分かりません。
No.84765 - 2023/01/29(Sun) 23:29:44
☆ Re: 数1 / ヨッシー
x-(y+z)=x-y-z
x-(y-z)=x-y+z
は理解されてますか？

丸投げ的な質問は１度目でもご遠慮願いたいですが、
そうでなければ何度でもＯＫです。
わざとらしくハンドルを変える必要もありません。
No.84766 - 2023/01/30(Mon) 06:30:15
☆ Re: 数1 / GandB
数1・・・中学の数1なのかな。
No.84774 - 2023/01/30(Mon) 17:39:25
★ 数1 / ま
画像の赤線の引いてある所の、+25xの2乗が一体どこから来たのか分からず、教えて頂けると嬉しいです。
No.84757 - 2023/01/29(Sun) 21:08:49
☆ Re: 数1 / ま
画像付け忘れました
No.84758 - 2023/01/29(Sun) 21:09:34
☆ Re: 数1 / ヨッシー
その前の ｘ^4 や -10x^3 はどこから来たのかおわかりですか？
No.84759 - 2023/01/29(Sun) 22:20:34
☆ Re: 数1 / ま
> その前の ｘ^4 や -10x^3 はどこから来たのかおわかりですか？

そこはなんとなく分かります！
自分で計算すると画像のようになって25x^2だけが出てこず…
No.84762 - 2023/01/29(Sun) 22:42:47
☆ Re: 数1 / ヨッシー
では、−10x^3 はどこから来てますか？

また、(x−5)^2 は展開できますか？
No.84763 - 2023/01/29(Sun) 22:46:35
☆ Re: 数1 / ま
> では、−10x^3 はどこから来てますか？
>
> また、(x−5)^2 は展開できますか？

完全に理解しました。
(x^2-5x)の2乗は展開の公式が使えるのに、せずに変なことしてました。
無事解けました、ありがとうございます！
No.84764 - 2023/01/29(Sun) 23:00:59
★ (No Subject) / ピースで目潰しパンチ
点Oを中心とする半径2の円の内部にOP＝1となるような点Pをとり、点Pで直交する2直線を引く。円と2直線の交点を反時計回りに順にA,B,C,Dとし、四角形ABCDの面積をS1、三角形ABPの面積をS2、三角形CDPの面積をS3とする。
１.点Oと直線ACの距離をhとする。S1をhの式で表せ。
２.S2×S3を求めよ
３.S2＋S3の値の取りうる範囲を求めよ。
No.84753 - 2023/01/29(Sun) 15:29:43
☆ Re: / ヨッシー
出典は何ですか？
対象学年は？
No.84754 - 2023/01/29(Sun) 16:45:18
☆ Re: / ヨッシー

1.
ＡＣの中点をＥ、ＢＤの中点をＦとします。
三平方の定理より
　ＡＥ＝√(4−h^2)　よって　ＡＣ＝2√(4−h^2)
また
　ＯＦ^2＝ＰＥ^2＝1−h^2
より、
　ＢＦ＝√(4−ＯＦ^2)＝√(3＋h^2)　よってＢＤ＝2√(3＋h^2)
以上より
　S1＝(1/2)ＡＣ・ＢＤ＝2√{(4−h^2)(3＋h^2)}　・・・答え１

2.
方べきの定理より
　ＡＰ・ＣＰ＝ＢＰ・ＤＰ＝2^2−ＯＰ^2＝３
よって
　S2×S3＝(ＡＰ・ＢＰ/2)(ＣＰ・ＤＰ/2)＝9/4　・・・答え２

ここまでは初回の投稿のあった日に出てたのですが、
3. をどのレベルで解けば良いのか不明なので、
対象学年を聞きました。
No.84761 - 2023/01/29(Sun) 22:22:34
☆ Re: / ピースで目潰しパンチ
すいません。返信遅れました。1A2Bの範囲です。
No.84776 - 2023/01/30(Mon) 19:22:29
☆ Re: / ピースで目潰しパンチ
最小値は何となく相加相乗かなと思うのですが最大値が全然わかりません。どなたかよろしくお願いします。
No.84797 - 2023/02/01(Wed) 21:30:08
★ 楕円の面積 / いけ
こんにちは。以下の問題で、楕円をy軸方向に2倍して円の面積を求めた後、1/2倍するという操作があるのですが、そもそもどうしてy軸方向に2倍すると面積も2倍になるのでしょうか？
No.84751 - 2023/01/29(Sun) 11:17:30
☆ Re: 楕円の面積 / IT
縦１×横２の長方形で考えたらどうですか？
長方形は特別だと思われれば。三角形、ひし形などでも確認して下さい。
ここまでは分かるが、楕円は別だ。ということなら区分求積で考える。
No.84752 - 2023/01/29(Sun) 12:47:44
☆ Re: 楕円の面積 / いけ
ありがとうございます。理解することができました。
No.84768 - 2023/01/30(Mon) 09:31:45
★ 位相空間 コンパクト / とんぼ
以下の問題が分かりません。
どなたか教えて頂きたいです。
よろしくお願いします。

実数全体の集合Rにおいて、次の条件(a),(b),(c)を全て満たす空でない部分集合を1つ挙げよ。
(a)コンパクトである
(b)有限集合ではない
(c)閉区間ではない
No.84746 - 2023/01/28(Sat) 21:05:00
☆ Re: 位相空間 コンパクト / IT
Ｒの部分集合がコンパクトであるための条件は、どう習いましたか？

[0,1]∪[2,3] は、ダメですか？
{0}∪{1/n;n∈Ｎ} は、どうですか？
No.84748 - 2023/01/28(Sat) 22:06:05
☆ Re: 位相空間 コンパクト / とんぼ
ありがとうございます！
納得しました！
No.84749 - 2023/01/28(Sat) 22:38:14
★ 三角関数の極限 / nn
添付ファイルの問題ですが、答えはすぐに0とわかると思うが、どうしてわざわざt=1/xとおいてあるのですか？
No.84744 - 2023/01/28(Sat) 17:22:12
☆ Re: 三角関数の極限 / ast
プレビューした場合ファイルが未選択に戻るので再度選択してから (あるいはそもそもプレビューせずに) 投稿してください.
# 編集パスを設定してあるなら, うまくいかなかったとしても後から画像を変更するなど修正が利きます.

あるいは画像に頼らずテキスト入力だけで伝わるような問題であれば, そちらも検討してみてください.
No.84745 - 2023/01/28(Sat) 18:47:55
★ (No Subject) / ぴーたろ
こんにちは。
後半の←の証明の中で、
　ただし、p,qは互いに素
とあるのですが、なぜ互いに素である必要があるのでしょうか。

よろしくお願いいたします。
No.84740 - 2023/01/28(Sat) 10:00:41
☆ Re: / ぴーたろ
> こんにちは。
> 後半の←の証明の中で、
> 　ただし、p,qは互いに素
> とあるのですが、なぜ互いに素である必要があるのでしょうか。
>
> よろしくお願いいたします。
No.84741 - 2023/01/28(Sat) 10:02:30
☆ Re: / IT
p,qが互いに素でないとき、すなわち　2以上の整数kを公約数に持てば
pm+qn は、任意の整数m,nについてkの倍数となり、
pm+qn＝1は整数解を持ちません。
No.84742 - 2023/01/28(Sat) 11:01:27
☆ Re: / ast
> なぜ互いに素である必要があるの
を文字通りに受け取るなら, それに対する回答はたしかにITさんの書かれた通りなのですが, しかし, それは画像中の「さきほど」が指す部分できちんと説明 (証明) されてるはずのこととしか思えないので, この疑問文が質問者の持った疑問を正確に表していないのではないかという疑いの線が濃厚であるように感じられます.
# 本当にそういう疑問を持ったのなら質問対象はこの画像の部分ではなく「さきほど」の部分であるはず.
# (少なくとも「さきほど」の部分もともに引用されてしかるべき場面ということになる.)
/*
仮に, たとえば「"a=p⋅gcd(a,b), b=q⋅gcd(a,b)" とした時点で "p,q は互いに素" という条件まで言い切れる理由が知りたい」というような内容をさしたかったとかであれば, 疑問としては真っ当だと思います.
# が, これは逆に「互いに素なのは (そうなるように gcd で割ってるので) 明らか」な部類なので,
# 質問するには及ばない気がする (ので, こちらで真の疑問と思われるものを想像するまでに至らない).
*/

なので, ぴーたろさんには質問文が適正なものになっているのかいちど検討してみて欲しいところです.
No.84743 - 2023/01/28(Sat) 13:45:08
★ (No Subject) / よー
大学2年生です。
画像の複素積分の解き方を教えてください。
答えはi/6log5です。
途中式などもわかりやすく教えていただけるとありがたいです。
No.84737 - 2023/01/27(Fri) 21:57:07
☆ Re: / ポテトフライ
積分路z=e^{it},-π/2≦t≦π/2なので

与式=∫_[-π/2,π/2]ie^{it}/(9+4e^{2it})dt

あとは積分を頑張って実行すれば答えになります。


参考
https://www.wolframalpha.com/input?i=int_%7B-%CF%80%2F2%7D%5E%7B%CF%80%2F2%7D+ie%5E%7Bit%7D%2F%289%2B4e%5E%7B2it%7D%29+dt&lang=ja
No.84738 - 2023/01/27(Fri) 23:05:39
☆ Re: / ast
被積分函数の正則領域上での積分だから積分路に依らず端点での値のみで決まるし, しかも 1/(z^2+a^2) (の定数倍) の形だから原始函数はあきらかに arctan いっぱつで書ける.
特に計算過程のみに関しては複素積分に特有な手順などは要らないはずなので, それでなぜ解き方すら尋ねるようなレベルで計算できないとなるのか……?
# まあ確かに相手は "複素変数の" 逆正接 arctan だが, いま必要なのは純虚数における値だから,
# 実際には実変数の逆双曲線正接 artanh になり, つまり結局は対数が出てくるのは当然の流れ.
## (各逆双曲線函数の中身が対数函数で書ける簡単な函数だというのは一般教養として.)
No.84739 - 2023/01/28(Sat) 01:51:07
☆ Re: / ポテトフライ
astさん
＞被積分函数の正則領域上での積分だから積分路に依らず端点での値のみで決まるし

確かにそうですね。複素積分の定義に従うよりはるかに簡単に計算できますね。正則関数であることから実積分っぽく計算すれば

与式=∫[-i,i]dz/(9+4z^2)
=[(1/6)arctan(2z/3)]_[-i,i]
=・・・
=(i/6)*log5
No.84747 - 2023/01/28(Sat) 21:09:07
☆ Re: / ast
まあ出題者が想定しているのはおそらく, ポテトフライさんが No.84738 で書かれた計算と同様の仕方で, ただし積分路 C を虚軸上を -i から i まではしる積分路 C' に取り換えて計算することなのではないでしょうか.
# すると ∫[-1,1] dy/(9-4y^2) という高校レベルの平易な実積分の実行可否に話が帰着されるので.
## いずれにしても「途中式」云々と訊いてくるのはしょうもない場面ですけれど.
No.84750 - 2023/01/28(Sat) 23:03:41
★ (No Subject) / ピースで目潰しパンチ
点Oを中心とする半径2の円の内部にOP＝1となるような点Pをとり、点Pで直交する2直線を引く。円と2直線の交点を反時計回りに順にA,B,C,Dとし、四角形ABCDの面積をS1、三角形ABPの面積をS2、三角形CDPの面積をS3とする。
１.点Oと直線ACの距離をhとする。S1をhの式で表せ。
２.S2×S3を求めよ。
３.S2＋S3の値の取りうる範囲を求めよ。
No.84731 - 2023/01/26(Thu) 00:18:33
☆ Re: / ヨッシー
S2 と S3 について、
2. は掛け算、3. は足し算
で間違いないですか？
No.84732 - 2023/01/26(Thu) 08:28:46
☆ Re: / ピースで目潰しパンチ
そうです。
No.84734 - 2023/01/26(Thu) 11:20:29
★ 中2数学　場合分け / 中2
中2です。場合分けの問題です。

ABCDEの五人から三人ずつ選ぶ時、組み合わせは何通りあるか
解答　10通り

この問題を解く時、私は普通に樹形図で解いたんですけど、先生が「五人から三人を選ぶのは、五人から二人を選ばないのと同じ」と言っていました。言ってることはなんとなくわかるんですけど、五人から二人選ばない解き方が思いつきません。
わかりやすく教えてくださると嬉しいです。
No.84725 - 2023/01/24(Tue) 23:57:10
☆ Re: 中2数学　場合分け / らすかる
二人選ばないということは、「選ばない二人を決める」ということですから、結局「五人から二人を選ぶ」のと同じ数になります。
No.84727 - 2023/01/25(Wed) 05:08:42
☆ Re: 中2数学　場合分け / 中2
> 二人選ばないということは、「選ばない二人を決める」ということですから、結局「五人から二人を選ぶ」のと同じ数になります。

ありがとうございます。五人から二人選んだ（二人選ばなかった）ときの組み合わせと、五人から三人選んだときの組み合わせをやってみたら確かに同じになりました！助かりました。
No.84736 - 2023/01/27(Fri) 06:26:33
★ (No Subject) / やゆん
算数小学6年です。
問) Aの自動車のタイヤは、1秒間に5回転し、そのときの時速が40kmです。また、同じタイヤで、Bの自動車は、1秒間に8回転します。Bの自動車の時速を求めなさい。

解法)40÷5=8より、1秒間にタイヤが1回転するときの時速8km、これに8をかけると8回転するときの時速が求められる。8×8=64

答え)時速64km

時速を秒速に変換し、÷5、×8をして出た秒速160/9mを時速に変換しました。
答えが時速64kmで、変換なし計算の答えと同じでした。
ただ、何故答えが同じなのか分かりません。
No.84721 - 2023/01/24(Tue) 20:54:23
☆ Re: / ヨッシー
時速○kmを秒速□m に変換するときは、
3600で割って、1000を掛けます。つまり、3.6で割ります。
逆の場合は 3.6 を掛けます。
秒速に直す解き方では
　40÷3.6÷5×8
ここまでが 秒速160/9mであり、これを時速に直すのに3.6を掛けると
　40÷3.6÷5×8×3.6
なので、40÷5×8 に対して、3.6で割って3.6を掛けているので、答えは同じになります。
No.84728 - 2023/01/25(Wed) 06:11:43
☆ Re: / ast
# 正直, No.84673 で一致を確認したことで現時点の理解としては十分だと思っていますが…….

本質的にはヨッシーさんのご回答から外れるものではないですが, 今回の問題で全く同じ比としてあらわされるものに↓以下のようなものがあります:

　　(Aの時速) : (Bの時速)
　= (1時間あたりにAが進んだ距離) : (1時間あたりにBが進んだ距離)
　= (1時間あたりのAのタイヤの回転数)×(タイヤの一周の長さ) : (1時間あたりのBのタイヤの回転数)×(タイヤの一周の長さ)
　= (1時間あたりのAのタイヤの回転数) : (1時間あたりのBのタイヤの回転数)
　= 3600×(1秒あたりのAのタイヤの回転数) : 3600×(1秒あたりのBのタイヤの回転数)
　= (1秒あたりのAのタイヤの回転数) : (1秒あたりのBのタイヤの回転数)　　// 問題で与えられた情報
　= (1秒あたりのAのタイヤの回転数)×(タイヤの一周の長さ) : (1秒あたりのBのタイヤの回転数)×(タイヤの一周の長さ)
　= (1秒あたりにAが進んだ距離) : (1秒あたりにBが進んだ距離)
　= (Aの秒速) : (Bの秒速)

↑ここでは, "ある一定の時間 (例えば1秒) で進んだ距離" が "一定時間当たりの回転数×タイヤの一周の長さ" に等しいことや, それが走らせる時間の長さに比例することなどの事実を用いていますがそれは本論ではないと思いますので割愛します (本論は「2数の比はその2数に同じ数を掛けて得られる2数の比に等しい」という比の性質だと思いますので).
※ここでは距離および長さの単位は [km] と考えてください. もちろん [m] に関して同じような式が作れますし, それらを上記の等式の途中に挟み込むこともできます.
No.84730 - 2023/01/25(Wed) 19:34:15
★ 8球の和集合の体積 / 大西
rを正の実数の定数とするとき

領域D1:(x-r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2≦3r^2
領域D2:(x+r)^2+(y-r)^2+(z-r)^2≦3r^2
領域D3:(x-r)^2+(y+r)^2+(z-r)^2≦3r^2
領域D4:(x-r)^2+(y-r)^2+(z+r)^2≦3r^2
領域D5:(x+r)^2+(y+r)^2+(z-r)^2≦3r^2
領域D6:(x-r)^2+(y+r)^2+(z+r)^2≦3r^2
領域D7:(x+r)^2+(y-r)^2+(z+r)^2≦3r^2
領域D8:(x+r)^2+(y+r)^2+(z+r)^2≦3r^2
D=D1∪D2∪D3∪D4∪D5∪D6∪D7∪D8
とするときDの体積を求めよ。

東京工業大学の問題だと思うのですが、解答が見当たらなくて解けなくて困っています。
教えてください。
No.84720 - 2023/01/24(Tue) 20:42:34
☆ Re: 8球の和集合の体積 / IT
３次元（立体）だと難しいので２次元（平面）で考えます。
z=a での断面を調べて積分するぐらいかな（面倒ですね）
No.84722 - 2023/01/24(Tue) 21:38:51
☆ Re: 8球の和集合の体積 / IT
領域D1:(x-r)^2+(y-r)^2+(a-r)^2≦3r^2 と
領域D4:(x-r)^2+(y-r)^2+(a+r)^2≦3r^2

領域D2:(x+r)^2+(y-r)^2+(a-r)^2≦3r^2と
領域D7:(x+r)^2+(y-r)^2+(a+r)^2≦3r^2

領域D3:(x-r)^2+(y+r)^2+(a-r)^2≦3r^2と
領域D6:(x-r)^2+(y+r)^2+(a+r)^2≦3r^2

領域D5:(x+r)^2+(y+r)^2+(a-r)^2≦3r^2と
領域D8:(x+r)^2+(y+r)^2+(a+r)^2≦3r^2
は

それぞれ円の内部（円周も含む。空の場合もあり）であり、ｚの値a によって　一方が他方を含みますので
各aの値について、大きい方の４つの円の位置関係で分類し、和集合の面積を計算すれば出来ると思います。
（対称性を使って、片側だけ計算して２倍する）
No.84723 - 2023/01/24(Tue) 21:53:39
☆ Re: 8球の和集合の体積 / 大西
ITさんご返事ありがとうございます。

z=aで切って求めるのが良さそうなのですね。
隣り合う領域が3つ重なっているところがあるような気がして立体がイメージできませんでした。

対称性を考えるとx≧0,y≧0,z≧0の領域だけ考えて8倍しても
良さそうな気がしたのですが違うのでしょうか？
No.84724 - 2023/01/24(Tue) 23:30:47
☆ Re: 8球の和集合の体積 / IT
> 対称性を考えるとx≧0,y≧0,z≧0の領域だけ考えて8倍しても
> 良さそうな気がしたのですが違うのでしょうか？

良いと思います。
No.84726 - 2023/01/25(Wed) 01:00:52
☆ Re: 8球の和集合の体積 / 大西
ITさんご返事ありがとうございます。

挑戦してみます。

ありがとうございました。
No.84729 - 2023/01/25(Wed) 10:46:51
★ (No Subject) / 吉田　
7ケタの自然数のうち, 1がちょうど２個連続して並ぶようなものはいくつあるか。また, そのような数のうち, 偶数が1と隣り合わないものはいくつあるか。

この問題の解答を教えていただけますでしょうか。よろしくおねがいいたします。
No.84710 - 2023/01/23(Mon) 18:30:53
☆ Re: / IT
例えば、1100110 は含まれますか？
No.84711 - 2023/01/23(Mon) 18:44:37
☆ Re: / 吉田　
返信ありがとうございます。含まれます。
しかし, 1112301 は1が３個連続しているので含まれません。
同様に 0471156 などは先頭に0がくるので６ケタの自然数となり含まれません。
No.84712 - 2023/01/23(Mon) 18:58:48
☆ Re: / IT
けっこう面倒ですね。
条件を満たす１の配置をすべて列挙して、それぞれ残りの数の並べ方を計算する方法しか、ぱっとは思いつきません。
No.84714 - 2023/01/23(Mon) 21:03:13
☆ Re: / らすかる
例えば、1110110は含まれますか？
No.84715 - 2023/01/24(Tue) 00:04:38
☆ Re: / 吉田　
返信ありがとうございます。
含まれません。1110110 は1が連続して三個以上並んでいるので, 1が「ちょうど２個」連続して並ぶという条件に反します。
No.84716 - 2023/01/24(Tue) 13:13:55
☆ Re: / 吉田　
答えだけでも教えていただけないでしょうか。
No.84717 - 2023/01/24(Tue) 13:14:43
☆ Re: / らすかる
では1100100も含まれないということでいいでしょうか？
（条件がきちんとわからない状態では答えも出せません）
No.84718 - 2023/01/24(Tue) 13:57:08
☆ Re: / らすかる
もし
・1は必ず、ちょうど2桁連続でなければならない
・1は存在しなければならない
という条件で良ければ
以下でxは1以外の数字、yは0,1以外の数字
11xxxxx: 9^5通り
y11xxxx,yx11xxx,yxx11xx,yxxx11x,yxxxx11:
それぞれ8×9^4通りなので全部で40×9^4通り
11x11xx,11xx11x,11xxx11:
それぞれ9^3通りなので全部で3×9^3通り
y11x11x,y11xx11,yx11x11:
それぞれ8×9^2通りなので全部で24×9^2通り
従って全部で
9^5+40×9^4+3×9^3+24×9^2=325620通り
となります。
No.84719 - 2023/01/24(Tue) 14:09:01
☆ Re: / 吉田　
答えを出してもらった後で申し訳ないのですが, 題意としては
・1が連続して存在するところがある
・1が連続しているところは, 2ケタ以下である。
ということでした。抽象的ですいません。

1100011, 0110010, 1101101 含みます。
1001110, 1000100, 1110110 含みません。

「存在する1は必ず２ケタ連続である」といった題意ではありません。
No.84733 - 2023/01/26(Thu) 10:58:56
☆ Re: / らすかる
その条件ならば、上の場合分けに追加すると場合分けが結構多くなって
計算間違いの可能性が増えますので、ちょっと方法を変えます。
(先頭桁)≠0をいちいち場合分けすると大変ですので、機械的な計算で済むように
「先頭桁0を含む7桁の数(10^7通り)で条件を満たすもの」
−「先頭桁0を含む6桁の数(10^6通り)で条件を満たすもの」
として計算します。
先頭桁0を含む7桁の数において
11が一つで他は1以外
→ 1以外の数字を5個並べ、間または端計6箇所中1箇所に11を入れる
→ 9^5×6C1個
11が一つと1が一つで他は1以外
→ 1以外の数字を4個並べ、間または端計5箇所中2箇所に11と1を入れる
→ 9^4×5P2個
同様に
11が一つと1が二つ → 9^3×4C3×3C1個
11が二つ → 9^3×4C2個
11が二つと1が一つ → 9^2×3C1個
先頭桁0を含む6桁の数でも同様に
11が一つ → 9^4×5C1個
11が一つと1が一つ → 9^3×4P2個
11が一つと1が二つ → 9^2×3C1個
11が二つ → 9^2×3C2個
のようになりますので、問題の条件を満たすものは
(9^5×6C1+9^4×5P2+9^3×4C3×3C1+9^3×4C2+9^2×3C1)
-(9^4×5C1+9^3×4P2+9^2×3C1+9^2×3C2)
=456840個
となります。
No.84735 - 2023/01/26(Thu) 12:43:09
★ 集合の問題 / た
36以下の自然数のうち6、9の倍数の集合をそれぞれA、Bとする。
この時次の集合の要素の個数を求めよ。
⑴A ∩ B ⑵ A ∪ B
よろしくお願いします
No.84704 - 2023/01/22(Sun) 18:26:36
☆ Re: 集合の問題 / IT
36以下の自然数のうち6の倍数　を小さい方から　書いてみてください。

36以下の自然数のうち9の倍数　を小さい方から　書いてみてください。
No.84705 - 2023/01/22(Sun) 22:16:53
★ 数列 / 乃
a1=26,S(n+1)=2(an+a(n+1))-n^2-64 (n=1,2,3…)のとき、an>(n+4)^2 (n=1,2,3…)を示せ

a(n+2)=2an+2n^2+1になったのですが、n項とn+2項の関係式なので帰納法でこんがらがって進めません。どなたかよろしくお願いします
No.84699 - 2023/01/22(Sun) 16:44:11
☆ Re: 数列 / 乃
a(n+2)=2an+2n+1でした。
No.84702 - 2023/01/22(Sun) 17:18:34
☆ Re: 数列 / IT
a2 を求めて

1つ飛びに２系統の帰納法で示せば良いのでは？
a1→a3→a5→a7→
a2→a4→a6→a8→

a(n+2)=2a(n)+2n+1 まで出来てるなら
a(n+2)+2(n+2)+5=2(a(n)+2n+5) と変形して
一般項（奇数項・偶数項ごとに）を求めても良いですね。
No.84703 - 2023/01/22(Sun) 17:28:18
全22458件 [ ページ : << 1 ... 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 ... 1123 >> ]