ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 自然数 / 大西

nを自然数とするとき、(4n)!n!/((2n)!(3n)!)が自然数となるようなnを全て求めよ。

という問題で、
n=1,3,4,7,10,24が自然数になりそうなのですが、それ以外の値の時に自然数にならないことを示すことができません。

求め方を教えてください。

No.85400 - 2023/05/13(Sat) 01:09:46

☆ Re: 自然数 / らすかる

全く証明にはなっていない回答です。
また、この回答程度の考察は既にされているかも知れません。
まず与式を変形すると
{(4n)(4n-1)(4n-2)…(3n+1)}/{(2n)(2n-1)(2n-2)…(n+1)}
となりますね。
nに対し、もし4n/3＜p＜(3n+1)/2を満たす素数pが存在すれば
n+1＜p＜2n, 2p＜3n+1, 3p＞4nですから
分母はpで割り切れ、分子はpで割り切れないことになり、
与式は自然数になりません。
実際、n=2のときp=3、n=5のときp=7、n=8のときp=11、n=9のときp=13、
n=12のときp=17、n=13～14のときp=19、n=16～17のときp=23、
n=20～21のときp=29、n=21～23のときp=31が該当しますので、
少なくともn=2,5,8,9,12,13,14,16,17,20,21,22,23では
上記の理由で自然数にならないことがわかります。
n≦24で残りはn=1,3,4,6,7,10,11,15,18,19,24となりますが、
与式の値は
n=6のとき437/3、n=11のとき65231/6、n=15のとき1028783/3、
n=18のとき68481772/15、n=19のとき2499584678/231
で自然数になりませんので、結果として1,3,4,7,10,24が残ることになります。
nに対するpでは状況がわかりにくいので、各pに対して4n/3＜p＜(3n+1)/2を
満たすようなnの範囲を考えることにすると
p=2: 解なし
p=3: n=2
p=5: 解なし
p=7: n=5
p=11: n=8
p=13: n=9
p=17: n=12
p=19: n=13～14
p=23: n=16～17
p=29: n=20～21
p=31: n=21～23
p=37: n=25～27
p=41: n=28～30
p=43: n=29～32
p=47: n=32～35
p=53: n=36～39
p=59: n=40～44
p=61: n=41～45
p=67: n=45～50
p=71: n=48～53
p=73: n=49～54
p=79: n=53～59
p=83: n=56～62
p=89: n=60～66
p=97: n=65～72
のようになります。
n≦24ではこの理屈でカバーされていないnが多数
(1,3,4,6,7,10,11,15,18,19,24)存在しますが、
25≦n≦72はすべてカバーされていることが見て取れます。
しかもpが大きくなると、nの範囲は徐々に重なって
複数の素数でカバーされるnも多くなっています。
少し大きいpでは、例えば
p=10007: n=6672～7505
p=10009: n=6673～7506
p=10037: n=6692～7527
p=10039: n=6693～7529
のようになり、この範囲だけを見てもn=6693～7505の範囲は
少なくとも4つの素数でカバーされています。
nが大きいとき4n/3＜p＜(3n+1)/2でカバーされるpの範囲の大きさは約n/6となり、
これだけ大きい範囲に素数が存在しないことは考えられません。
例えばn=100000000(1億)のとき、4n/3＜p＜(3n+1)/2は
133333334≦p≦150000000となり、こんなに広い範囲に素数がないとは
思えない（思えないだけでは証明にならないわけですが）ですね。
素数の方から見た場合、
「ある程度大きい素数pでは、必ず次の素数qがp＜q＜(9/8)pの範囲に存在する」
が成り立てば本問は解決されます。
p≧53で確実に成り立つ気はしますが、証明は難しいですね。

No.85401 - 2023/05/13(Sat) 12:33:19

☆ Re: 自然数 / IT

出典は、何ですか？　
素数の分布にまつわる問題ですが、既知の定理を使った
スッキリした解があるのでしょうか？
>らすかるさん
「ある程度大きい素数pでは、必ず次の素数qがp＜q＜(9/8)pの範囲に存在する」の可能性をを否定するものではありませんが、

「単に「広い範囲」に素数がない。」というだけなら
2以上の自然数nについて n!+2からn!+n までの範囲には素数がありませんね。

No.85402 - 2023/05/13(Sat) 16:43:33

☆ Re: 自然数 / 大西

らすかるさんご返答ありがとうございます。

私もいろいろ実験していて、
素数pに対して、（分母のpの素因数の個数）≧（分子のpの素因数の個数）となるようなnが、一定のn以上に対して必ず存在するような気がしたのですが、それが見付からなかったので質問させていただきました。
方針は間違っていないことは分かりましたが、なかなか難しそうですね。

ITさんご返信ありがとうございます。

出典は遠い過去の河合塾の模試の問題を見ただけで解答は持ち合わせていないです。解答がなかったので気になって質問させていただきました。

No.85403 - 2023/05/13(Sat) 17:33:58

☆ Re: 自然数 / らすかる

> 「単に「広い範囲」に素数がない。」というだけなら
念のためですが、私が書いた「広い範囲」というのは
(素数のない範囲の大きさ)/(その直前の値)
のような、相対的な大きさのことです。
上で書いた 133333334≦p≦150000000の範囲16666667は
その直前の133333333の1/8も占める「広い範囲」ですね。

No.85405 - 2023/05/13(Sat) 18:24:26

☆ Re: 自然数 / IT

らすかるさん>
>素数の方から見た場合、
>「ある程度大きい素数pでは、必ず次の素数qがp＜q＜(9/8)pの>範囲に存在する」
>が成り立てば本問は解決されます。

G.Hハーディなどの「数論入門」によれば
ε＞0について　x[0](ε)が存在して
　x＞x[0](ε)のとき　 x＜p＜(1+ε)x となる素数pが必ず存在する。
ということが、素数計数関数π(x)～x/log(x)であることを使って示されています。
π(x)～x/log(x)　の証明は難しくて私は理解できていません。

大学入試の模試なら、もっと簡単な解法があるのか、出題ミス（誤植含む）か転記ミスのいずれかでしょうね。

No.85413 - 2023/05/14(Sun) 15:31:03

★ 円を並行な線で等分する / 斉藤

半径rの円の面積を並行な3本の線分で分けた場合、
3本の線分と直角に交わる円の直径の比率はいくつになるか

中学数学で出来るかもしれないですが
数学をやってなかったので対象の難易度がわからないです。
解ける方いればお願いします

No.85395 - 2023/05/11(Thu) 17:55:45

☆ Re: 円を並行な線で等分する / X

線分で円の面積を４等分するという条件でいいのでしょうか？
それとももっと一般的に、ある特定の面積比に分けるという
条件でしょうか？

No.85396 - 2023/05/11(Thu) 18:04:30

☆ Re: 円を並行な線で等分する / 斉藤

>線分で円の面積を４等分するという条件でいいのでしょうか？
はい、その通りです
図の青い線を並行に動かして分けられた円の各部分の面積が等しい状態を作りたいです。

No.85397 - 2023/05/11(Thu) 19:16:44

☆ Re: 円を並行な線で等分する / らすかる

x√(1-x^2)+arcsinx=π/4
のような方程式を解かなければなりませんので、
中学数学どころか高校数学でも無理です。
数値的に近似値を計算すると、全体を1として約
0.29801362335024139534051913：0.20198637664975860465948087：
0.20198637664975860465948087：0.29801362335024139534051913
となります。小さい整数ではおよそ90：61：61：90です。

No.85398 - 2023/05/11(Thu) 20:05:38

☆ Re: 円を並行な線で等分する / 斉藤

ありがとうございます！
高校数学でもやらない内容なんですね！
道理で探してもうまく出てこないわけですね。。。
回答ありがとうございます！

No.85399 - 2023/05/11(Thu) 20:51:03

★ (No Subject) / 自分

x^2+ax+b
x^2-ax+b
x^2+ax-b
x^2-ax-b
がすべて整数係数の範囲で因数分解できるような
定数a,bの値を求めてください。

No.85379 - 2023/05/06(Sat) 10:23:08

☆ Re: / 自分

補足
a,bは自然数です

No.85380 - 2023/05/06(Sat) 10:23:50

☆ Re: / らすかる

無数にありますが、その一般式を求めるということですか？
一つ挙げればよいだけなら(a,b)=(5,6)は条件を満たします。
見つけた解は
(a,b)=(5,6),(29,210),(169,7140),(985,242556),…の他に
aをk倍、bをk^2倍した
(a,b)=(5k,6k^2),(29k,210k^2),(169k,7140k^2),(985k,242556k^2),…
とか
(a,b)=(13k,30k^2),(73k,1320k^2),(425k,45144k^2),…
(a,b)=(17k,60k^2),(97k,2340k^2),(565k,79794k^2),…
などいくらでもあります。

No.85381 - 2023/05/06(Sat) 13:28:49

☆ Re: / 自分

では
x^2+bx+a
x^2+bx-a
x^2-bx+a
x^2-bx-a
も全て因数分解可能なら、どこまで絞り込めますか？
それとも存在しませんか？

No.85382 - 2023/05/06(Sat) 18:22:14

☆ Re: / らすかる

x^2+ax-bが因数分解できるためには
a＜bでなければなりません。
同様に、x^2+bx-aが因数分解できるためには
b＜aでなければなりません。
従って、存在しません。

No.85383 - 2023/05/06(Sat) 20:11:24

★ (No Subject) / 吉田

質問です。
回転体の体積は π*∫(f(x))^2 dx でxについて積分した結果で得られるのに、表面積に関しては
2π*∫f(x) √(1 + f'(x)^2) dx = 2π*∫f(x) dl で回転体の表面に沿った長さで積分しなければならないのでしょうか。

No.85366 - 2023/05/04(Thu) 03:27:49

☆ Re: / らすかる

そんなことはありません。
dxに対する表面積を考えれば、xについての積分で求まります。

No.85367 - 2023/05/04(Thu) 11:12:45

☆ Re: / GandB

　大雑把には
https://batapara.com/archives/13322661.html/

「面積分の定義で回転体の表面積を求める」で検索をかけたが適当な例が見つからなかった。なので、もう少し詳細に知りたければベクトル解析の本で面積分の項を参照。

追記
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12187379107
も参考になるかも。

No.85368 - 2023/05/04(Thu) 12:07:27

☆ Re: / 吉田

> 　大雑把には
> https://batapara.com/archives/13322661.html/
>
> 「面積分の定義で回転体の表面積を求める」で検索をかけたが適当な例が見つからなかった。なので、もう少し詳細に知りたければベクトル解析の本で面積分の項を参照。
>
> 追記
> https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12187379107
> も参考になるかも。

微小な何で積分するかによって与えられる結果が異なるということですか？なぜ表面積は微小な円錐体で積分する方が自然なのでしょうか？

No.85372 - 2023/05/05(Fri) 02:09:45

☆ Re: / 吉田

> そんなことはありません。
> dxに対する表面積を考えれば、xについての積分で求まります。

それは分かります。表面積を用いてdxで積分する方法は、要するに置換積分であり、回転体の表面に沿った長さで積分した結果と同義ですよね。

No.85373 - 2023/05/05(Fri) 02:11:33

☆ Re: / 高校三年生

>なぜ表面積は微小な円錐体で積分する方が自然なのでしょうか？

厳密には、極限値問題で「解析論」の範疇になるのでは？
と思うのですが、直観的には、理解できると思います。
円錐形の近似は、区間を微細にすれば、同値に漸近していくが、
円柱形の近似は、いくら区間を微細にしても、
同値には近づかないからではないでしょうか？

dx^2+dy^2=dr^2

この式から、dyをいくら小さくしても、dxも同じくらい小さくなるので

dx=dr

とはならないですから。

No.85374 - 2023/05/05(Fri) 06:59:00

☆ Re: / 吉田

> >なぜ表面積は微小な円錐体で積分する方が自然なのでしょうか？
>
> 厳密には、極限値問題で「解析論」の範疇になるのでは？
> と思うのですが、直観的には、理解できると思います。
> 円錐形の近似は、区間を微細にすれば、同値に漸近していくが、
> 円柱形の近似は、いくら区間を微細にしても、
> 同値には近づかないからではないでしょうか？
>
> dx^2+dy^2=dr^2
>
> この式から、dyをいくら小さくしても、dxも同じくらい小さくなるので
>
> dx=dr
>
> とはならないですから。

同値に漸近するのかどうか、どのように判断すれば良いんでしょう？
体積と同様に円柱形の近似を用いて表面積も得られるだろうと推測するほうが直感的な気がするのですが。

No.85375 - 2023/05/05(Fri) 14:04:03

☆ Re: / GandB

> 体積と同様に円柱形の近似を用いて表面積も得られるだろうと推測する
> ほうが直感的な気がするのですが。
　その方針で実際に表面積を計算するとおかしなことに気づくはず。

> なぜ表面積は微小な円錐体で積分する方が自然なのでしょうか？
　それが「面積」というものだから（笑）。
　円錐の微小側面積を求めるには
　　Δx^2 + Δy^2 = ΔL^2
という関係式が必要になるが、微小円柱の面積では不要。
　　Δx→0 ⇒ Δy→0, ΔL→0
ではあるけど、「各々の比を保ったまま」 0 に近づく。つまり極限においても
　　dx^2 + dy^2 = dL^2
という関係式は厳然として成り立つ。わかりにくいときは、円錐を展開した扇形の面積から円錐の微小な側面積を求めることで
　　S = 2π∫f(x)dL
　　　= 2π∫f(x) √(1 + f'(x)^2) dx
を導けば納得できるのでは。

No.85384 - 2023/05/07(Sun) 00:19:28

★ (No Subject) / みかん

1から10までの番号をつけた10個の玉が入っている袋から1個取り出して元に戻すという操作を4回繰り返し1回目2回目3回目4回目に取り出す玉の番号をそれぞれa,b,c,dとする

b，c，dのうち少なくとも一つがaより大きく少なくとも一つはaより小さい確率は？

aの取り出した玉の番号をtとすると
〇ある人が球を1つ取り出した時その玉の番号がtより大きくなる確率は
10-t/10

〇ある人が球を一つ取り出した時その玉の番号がtより小さくなる確率は(t-1）/10

〇ある人が球を1つ取り出した時その玉の番号がtと同じになる確率は1/10

また条件を満たす玉の取り出し方は
?@2人がaより大きい番号の玉を取り出し残りの1人がaより小さい時の3通り

?A2人がaより小さい番号の玉を取り出し残りの一人がaより大きい球を取り出す3通り

?B1人がaより大きく一人がaより小さく残り1人がaと同じ番号の玉を取り出す時の6通り

?@の現象を満たすある一つの事象が起きる確率は(3通りあるうちの一つの事象が起きる確率)
(1/10)×{(10-t/10}^2×(t-1)/10×(1/10)…?C

?Aの現象を満たすある1つの事象が起きる確率は
(1/10)×{(10-t/10}×{(t-1)/10}^2×(1/10)…?D

?Bの現象を満たすある一つの事象が起きる確率は(6通りあるうちの1つの事象が起きる確率)

(1/10)×{(10-t/10}×(t-1)/10×(1/10)…?E

よってaの取り出した番号がtで問題の事象を満たす確率をP(t)とすると
P(t)=3×?C+3×?D+6×?Eと表すことが出来る

またtの変域は2≦t≦9であるから数列の和の公式を用いて…合わない…模範解答のやり方と違うのですがもしこのやり方(上記のやり方)で突き進むなら何がいけないのでしょうか。解説よろしくお願いします

No.85362 - 2023/05/03(Wed) 18:34:31

☆ Re: / X

＞＞(1/10)×{(10-t/10}^2×(t-1)/10×(1/10)…?C
＞＞(1/10)×{(10-t/10}×{(t-1)/10}^2×(1/10)…?D
では5回球を引くことになってしまいます。

それぞれの末尾の
×(1/10)
が不要です。

No.85363 - 2023/05/03(Wed) 19:06:42

☆ Re: / みかん

すみません。
1/10)×{(10-t/10}^2×(t-1)/10×(1/10)…?C
＞＞(1/10)×{(10-t/10}×{(t-1)/10}^2×(1/10)…?D
の末尾の1/10を間違って記入してしまってました。でもやっぱりそれぞれ×1/10入れてなくても答え合わないんですけど…
計算すると
P(a)={-33(t^2-11t+10)}/1000になるんですが…

No.85364 - 2023/05/03(Wed) 20:59:21

☆ Re: / X

＞＞P(a)={-33(t^2-11t+10)}/1000
は
P(t)={-33(t^2-11t+10)}/10000
のタイプミスでしょうか？

No.85365 - 2023/05/04(Thu) 03:09:09

☆ Re: / X

もしタイプミスであるなら、こちらも同じ結果になりました。

このP(t)をt=2～9で和を取ると、求める確率をpとして
p=99/250 (A)
となります。

ちなみに、余事象で考えた別解で検算してみましたが
やはり(A)となるので、値が間違っているとは
考えにくいです。

No.85371 - 2023/05/04(Thu) 21:03:16

★ 中学受験算数の問題です。 / 田口

初めて質問します。
図の斜線部分の面積（右上です）の求め方ですが、どなたか分かるでしょうか。
メモ書きで申し訳ありません。

No.85358 - 2023/05/02(Tue) 13:55:08

☆ Re: 中学受験算数の問題です。 / 関数電卓

消しゴムで消した線が薄く見えるように，下図の x, y が分かれば
　求める斜線部面積＝水色面積＝(1/2)･4･y＝2y
なのですが，これは x, y の２次の連立方程式になるし…
とても算数の問題とは思えないのですが…

No.85360 - 2023/05/02(Tue) 20:46:09

☆ Re: 中学受験算数の問題です。 / 黄桃

誰も書かないようなので、もっと簡単な方法がありそうですが、一応書いておきます。

>とても算数の問題とは思えないのですが…

最近の中学入試事情は知りませんが、おっしゃるように、この問題は本質的に高校で習う余弦定理を、図形的に証明することになると思います。

きたない図ですが、添付の図について、関数電卓さんの記号を使って説明します。
△OAB(黒い太線で囲った三角形）について、以下の作図をしました。
1.各辺の外側に正方形を作ります。
2.各頂点から対辺に(OならAB, AならBOなど)垂線を下ろします。
3.OB,OCの方では、垂線まで正方形を広げて長方形を作ります。
4.BCの方では、そのまま垂線で正方形を分割して２つの長方形を作ります。

すると、等積変形により、
1.水色の２つの長方形（上のものは赤色の長方形を含みます）
2.黄色の２つの長方形（上のものは赤色の長方形を含みます）
3.赤色の２つの長方形（外側に違う色が見えてますが、そこまで含みます）
がいずれも同じ面積だとわかります。

多分等積変形を知らないと難関中学の入試問題は解けないと思いますので説明を省略したいですが、赤の長方形の場合だけ説明しておきます。
黄色の長方形に含まれる赤色の長方形なら、上側の辺を、右端をCの頂点に来るように移動します（このようにしても面積は変わりません）。
水色の長方形に含まれる赤色の長方形なら、左側の辺を、下端がBの頂点に来るように移動します。
すると、どちらも隣り合う辺の長さがOB,OCであるような平行四辺形になりますから、ぴったり重なり同じ面積です。

＃このくらいのことは難関中学入試では常識とおもっていいのでしょうか？？

以上を準備すれば、
一辺がBC(=10cm)の長方形の面積＝（黄色と水色の長方形の面積）
=(一辺がOB(=4cm)の長方形)+(一辺がOC(=8cm)の長方形)+(2つの赤色の長方形）
となります。したがって、2つの赤色の長方形の面積は
10x10-4x4-8x8=20(cm^2)
となります。
求める三角形の面積は、赤色の長方形の半分だから、20÷4=5cm^2 が答です。

No.85369 - 2023/05/04(Thu) 18:25:20

☆ Re: 中学受験算数の問題です。 / IT

算数しばりがなければ、関数電卓さんの解法で
x^2+y^2=8^2
x^2+(y+4)^2=10^2
２式の差をとって　8y+16=36
∴y=5/2
求める面積=4×(5/2)/2=5cm^2 とできますが、
三平方の定理も２変数の方程式も算数では直接は使えないので、かえって難しいですね。上記を図形的に処理しようと思いましたが良い方法を思いつきませんでした。

No.85370 - 2023/05/04(Thu) 20:31:34

★ 二次不等式の係数決定問題 / Alice

次の事柄が成り立つように定数a,bの値を定めよ。
2次不等式5x²-ax+7<0の解がb<x<3である。(赤チャート練習135(西南学院大))

<解答>
条件から二次関数y= 5x²-ax+7のグラフはb<x<3のときだけx軸より下側にある。よってグラフは下に凸の放物線でa>0

<質問>というふうに以下は(b,0)と(3,0)を代入して出てきたaに対してa>0を満たすことを確認するように解答が続きます。ここで質問なのですが、なぜaを0より大きいと定められるのですか？x²の係数が5であることから放物線が下に凸であることは分かりますが、5x²-ax+7のaの正負とは関係ないですよね？x²の係数がaなら納得できるのですが。解説よろしくお願いします。

No.85343 - 2023/05/01(Mon) 21:13:34

☆ Re: 二次不等式の係数決定問題 / IT

y= 5x²-ax+7　はx=0 のとき7 （> 0）なので
　b＞0 であり、

y=5x²-ax+7 の軸は原点より右側にあることが分かります。

放物線y=5x²+7 と原点を通る直線y=axの位置関係で考えても良いかも知れません。
（赤茶の解答は不親切どころか不十分だと思います。）

No.85345 - 2023/05/01(Mon) 22:03:53

★ (No Subject) / ?TA?UB

ax^2+y^2+az^2-xy-yz-zx≧0が任意の実数x,y,zについて常に成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。
解説よろしくお願いします。

No.85341 - 2023/05/01(Mon) 17:44:52

☆ Re: / X

問題文の
＞＞ax^2+y^2+az^2-xy-yz-zx≧0
は
ax^2+ay^2+az^2-xy-yz-zx≧0
のタイプミスということはありませんか？

No.85354 - 2023/05/02(Tue) 01:25:13

☆ Re: / ⅠA2B

ay^2ではなくy^2です。

No.85356 - 2023/05/02(Tue) 07:40:40

☆ Re: / X

問題の不等式から
y^2+(z+x)y+ax^2+az^2-xz≧0 (A)
∴y^2+(z+x)y+ax^2+az^2-xz=0
をyの二次方程式と見たときの解の判別式を
D[1]とすると、(A)を満たすyが任意の実数
であることから
D[1]=(z+x)^2-4(ax^2+az^2-xz)≦0
これより
(4a-1)z^2-6xz+(4a-1)x^2≧0 (B)
(i)4a-1≦0、つまりa≦1/4のとき
題意を満たさないので不適。
(ii)4a-1＞0、つまり1/4＜aのとき
(4a-1)z^2-6xz+(4a-1)x^2=0
をzの二次方程式と見たときの解の判別式を
D[2]とすると(B)を満たすzが任意の実数で
あることから
D[2]/4=9x^2-{(4a-1)^2}x^2≦0
これより
(4a+2)(4a-4)x^2≧0
これが任意の実数xに対して成立するので
(4a+2)(4a-4)≧0
∴a≦-1/2,1≦a
1/4＜aとの共通範囲を考えて
1≦a

以上から求めるaの値の範囲は
1≦a
となります。

No.85357 - 2023/05/02(Tue) 10:11:45

☆ Re: / X

上記の方針は、問題の不等式をx,y,zいずれかに注目した
二次不等式と見て、解が任意の実数であるときの条件を
使って順番に文字を減らしていく、といったものです。

今回は文字を減らす順番が
最初がy,続いてz,x
となっていますが、この順番である必要は
何もありません。
只、x^2,y^2,z^2の係数を見ると、y^2の係数だけ
aを含まない定数(1ということですが)であり、
係数の符号による場合分けが不要ですので、
最初に処理した、というだけです。

No.85361 - 2023/05/03(Wed) 09:37:15

★ (No Subject) / ⅠAⅡB

a,bを実数とする。cos2x+acosx+b=0が0≦x<2πの範囲で2個の異なる実数解を持つためのa,bに関する条件を求めよ。
解説よろしくお願いします。

No.85339 - 2023/05/01(Mon) 17:38:03

☆ Re: / X

cosx=t (A)
と置くと
0≦x＜2π (B)
より
-1≦t≦1 (C)
であり、また
-1＜t＜1のとき、tの一つの値に対し、xの値が2つ対応する (D)
t=1,-1のときtの一つの値に対し、xの値が1つ対応する (D)'
ことに注意します。
このとき問題の方程式は
1-2t^2+at+b=0
∴
2t^2-at-b-1=0 (E)
よって問題は
tの2次方程式(E)が
-1＜t＜1の範囲で実数解を一つのみ持つ (P)
又は
(E)の解がt=1,-1となる (Q)
条件を求めることに帰着します。
ここで
f(t)=2t^2-at-b-1
と置くと、横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフは
軸の方程式が
t=a/2
である、下に凸の放物線。
よって求める条件は、次のいずれかになります。
(i)f(-1)f(1)≦0
(ii)(E)の解の判別式をDとしたとき
-1＜a/2＜1かつD=0
注)(Q)は(i)に含まれます。

(i)のとき
(-a-b+1)(a-b+1)≦0
(b+a-1)(b-a-1)≦0 (F)
(ii)のとき
a-b+1=0かつ-a-b+1＜0
⇔b=a+1かつ-a-b+1＜0
⇔b=a+1 (0＜a＜2) (G)

ここで
(F)を満たす点(a,b)の領域の境界線上に
(G)を満たす点(a,b)が存在する
ことが分かりますので、求める条件は
(b+a-1)(b-a-1)≦0
となります。

No.85347 - 2023/05/01(Mon) 23:33:08

☆ Re: / ヨッシー

cos(2x)＝2cos^2ｘ－1 より、与式は
　2cos^2ｘ＋ａcosｘ＋ｂ－１＝０
と書けます。Ｘ＝cosｘとおくと、この式はさらに
　2Ｘ^2＋ａＸ＋ｂ－１＝０
と書けます。これを解いたときの解が
　Ｘ＝１　ならば　元の式の解は　ｘ＝０　の１つ
　Ｘ＝－１　ならば　元の式の解は　ｘ＝π　の１つ
　－１＜Ｘ＜１　ならば　元の式の解は　２つ
　それ以外の場合は、実数解はなし。
以上より、２個の異なる実数解を持つには
2Ｘ^2＋ａＸ＋ｂ－１＝０　の解が
1)ｘ＝１とｘ＝－１
2)－１＜ｘ＜１　の範囲に１個と、Ｘ＜－１またはＸ＞１の範囲に１個
3)－１＜ｘ＜１　の範囲に重解
のいずれかとなります。
　

No.85348 - 2023/05/01(Mon) 23:38:07

★ (No Subject) / ⅠAⅡB

点(a,b)からy＝x^3-3xのグラフに引ける接線の本数をnとする。
(1)n=3を満たすような点(a,b)の範囲を図示せよ
(2)-3a<bかつn≦2を満たすように点(a,b)が動く時、 b-3aの最小値を求めよ

No.85338 - 2023/05/01(Mon) 17:35:44

☆ Re: / X

y=x^3-3x (A)
より
y'=3x^2-3
∴(A)上の点(t,t^3-3t)における接線の方程式は
y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t
これが点(a,b)を通るので
b=(3t^2-3)(a-t)+t^3-3t
これより
b=(3t^2-3)a-2t^3
2t^3-3at^2+3a+b=0 (B)
ここで
f(t)=2t^3-3at^2+3a+b
と置くと
f'(t)=6t^2-6at=6t(t-a)

(1)
f'(t)=0の解がt=0,aであることに注意すると
求める条件は
a≠0 (C)
f(0)f(a)＜0 (D)
(D)より
(3a+b)(-a^3+3a+b)＜0
(b+3a)(b-a^3+3a)＜0
図示すると下のようになります。
(但し、境界含まず)

No.85350 - 2023/05/02(Tue) 00:01:49

☆ Re: / X

(No.85350の続き)

(2)
方針を。
(1)の結果から題意を満たす点(a,b)の領域は
下の図のようになります。
但し、境界は直線b=-3a上の点を含まず、
それ以外の境界は含みます。)
よって
b-3a=k (E)
と置くと、問題は下図の領域と
直線(E)が共有点を持つときのkの最小値を求める
ことに帰着しますので、kの最小値は

曲線b=a^3-3aの傾き3の接線の方程式と
等価になる(E)のkの値

のうち、小さい方
となります。

No.85352 - 2023/05/02(Tue) 00:34:28

★ 線形微分不等式 / ぐっち

実数上で定義され、実数に値をとる、2次までの連続な導関数をもつ関数f(x)が条件f''(x)≧f(x)を満たすとき、
f(x)≧1/2{e^x+e^(-x)}*f(0)+1/2{e^x-e^(-x)}*f'(0)
となることを示せ、という問題があって、解説のところに
α,βを実数とするとき、D=d/dxとして
(D-α)(D-β)f(x)≧0(α>β)
も同様にして解ける、と書いてあったので計算した結果、
(α-β)f(x)
≧(αe^(βx)-βe^(αx))f(0)+(e^(αx)-e^(βx))f'(0)
という結果を得ました。
解説に、さらに高階も同様に導くことができる、と書いてあるのですが、自分ではこれ以上の議論ができなくて、どういう式が導けるのか導出過程とともに知ることができればと思い、投稿しました。ご教授よろしくお願いいたします。

No.85332 - 2023/04/27(Thu) 18:03:41

☆ Re: 線形微分不等式 / ぐっち

具体的には
(D-α)(D-β)(D-γ)f(x)≧0(α>β>γ)
さらに一般的に
(D-α[1])(D-α[2])…(D-α[n])≧0(α[1]>α[2]>…>α[n])
を解いたらどうなるかが知りたいです。よろしくお願いします。

No.85333 - 2023/04/27(Thu) 22:17:28

☆ Re: 線形微分不等式 / ぐっち

すいません。訂正です。
(D-α[1])(D-α[2])…(D-α[n])≧0(α[1]>α[2]>…>α[n])
↓
(D-α[1])(D-α[2])…(D-α[n])f(x)≧0(α[1]>α[2]>…>α[n])

No.85334 - 2023/04/27(Thu) 22:19:25

☆ Re: 線形微分不等式 / 黄桃

一般の場合に簡単に示す方法があるかもしれませんが、とりあえず。

なお、まじめにやると計算が面倒なので、ミスがあるかもしれません。流れは合っていると思いますが、細かいところは自分で確認してください。

f'''(x)-(a+b+c)f''(x)+(ab+bc+ca)f'(x)-abcf(x)≧0
を変形すれば、
f'''(x)-(a+b)f''(x)+abf'(x)-c(f''(x)-(a+b)f'(x)+abf(x))≧0
で、今までと同様に e^(-cx)(>0)を両辺にかけて、0からxまで積分すれば、
(f''(x)-(a+b)f'(x)+abf(x))e^(-cx)-(f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0))≧0
となります。e^(cx)をかけると、
f''(x)-(a+b)f'(x)+abf(x)-((f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0)))e^(cx)≧0 ...(*)
となります。これを変形すると
f''(x)-af'(x)-b(f'(x)-af(x))-((f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0)))e^(cx)≧0
だから、再びe^(-bx)をかけて0からxまで積分すれば
(f'(x)-af(x))e^(-bx)-(f'(0)-af(0))-((f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0)))/(c-b)(e^((c-b)x)-1)≧0
となります。まったく同様に、これを整理して e^(bx)をかけると（多分）
f'(x)-af(x)+(f''(0)-(a+c)f'(0)-acf(0))/(c-b) * e^(bx)-(f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0))/(c-b) *e^(cx)≧0
となります。再び e^(-ax)をかけて 0からxまで積分し、 e^(ax)をかけて整理すると（おそらく）
f(x)≧(f''(0)-(b+c)f'(x)+bcf(0))/((a-b)(a-c)) *e^(ax)+(f''(0)-(a+c)f'(0)+acf(0))/((b-a)(b-c))*e^(bx)+(f''(0)-(a+b)f'(0)+abf(0))/(c-a)(c-b))*e^(cx)
となります。

仕掛けがわかれば、高階になっても同じで、したがって、
e^(ax)の部分の係数は、 (f^(n)(0)-(a以外の1次対称式)f^(n-1)+...+(a以外のn-1次対称式)f(0))/((a-b)(a-c)...) （分母は (a-(a以外)) のすべての積) ...(**)
となるでしょう。

一般の場合にちゃんと計算はしてませんが、上で見たように、e^(cx)の部分の係数は、(*)から始めて進むにつれて分母に(c-a),(c-b),...が次々とかかっていきます。
なので、おそらく、どういう順番で計算しても答は同じでしょうから、cではなく、最初にa,bから始めれば(**)がいえると思われます。
興味があればご自分で厳密な証明をしてみてください。

＃3階の場合にx=0とすると、いわゆる「オイラーの分数式」が出てきそうです。

No.85335 - 2023/04/30(Sun) 08:41:17

☆ Re: 線形微分不等式 / ぐっち

3階の計算の規則が見えなくて、自分だけでは絶望的だったので、視界が開けました。オイラーの分数式と関係性があるとするととても興味深いです。ちょっとそちらの方向でも研究してみます。ありがとうございました。

No.85336 - 2023/04/30(Sun) 18:10:39