この問題の解法を教えてください。
どうぞよろしくお願いいたします。
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No.54536 - 2018/10/21(Sun) 02:06:33
| ☆ Re: 三角形の面積の最大最小 / X | | | まずは前準備。
条件から
D(-t,1/t),E(u,1/u)
(t＞0,u＞0)
と置くことができます。
さて
y=1/x
より
y'=-1/x^2
∴条件から直線AB,ACの方程式は
y=(1/t^2)(x+t)+1/t (A)
y=(-1/u^2)(x-u)+1/u (B)
整理をして
y=(1/t^2)x+2/t (A)'
y=(-1/u^2)x+2/u (B)'
∴B(-2t,0),C(2u,0)
ここでA(X,Y)と置くと、(A)'(B)'より
Y=(1/t^2)X+2/t (A)"
Y=(-1/u^2)X+2/u (B)"
∴
X=(2/u-2/t)/(1/t^2+1/u^2)
=2(t-u)tu/(t^2+u^2) (C)
Y=2(t-u)u/{t(t^2+u^2)}+2/t
=2(t+u)/(t^2+u^2) (D)
よって
(1)
BC=2(t+u)
∴△ABCの面積をSとすると
S=(1/2)BC・Y
=2{(t+u)^2}/(t^2+u^2)
ここでt=vuと置くと
0＜v (E)
であり
S={2(v+1)^2}/(v^2+1)
∴dS/dv=2{2(v+1)(v^2+1)-2v(v+1)^2}/(v^2+1)^2
=4(v+1){(v^2+1)-v(v+1)}/(v^2+1)^2
=-4(v+1)(v-1)/(v^2+1)^2
更に
lim[v→∞]S=2
以上に注意して(E)におけるSの増減表を書くことにより
2＜S≦4
(2)
条件から∠ABC,∠ACBがいずれも鋭角になることに
注意すると
AB:AD=(X+2t):(X+t)
={2(t-u)tu/(t^2+u^2)+2t}:{2(t-u)tu/(t^2+u^2)+t}
={2(t+u)t^2}/(t^2+u^2):{2(t-u)tu/(t^2+u^2)+t}
AC:AE=(2u-X):(u-X)
={2u-2(t-u)tu/(t^2+u^2)}:{u-2(t-u)tu/(t^2+u^2)}
={2(t+u)u^2}/(t^2+u^2):{u-2(t-u)tu/(t^2+u^2)}
∴△ADEの面積をUとすると
U=S(AD/AB)(AE/AC)
={2{(t+u)^2}/(t^2+u^2)}[2(t-u)tu+t(t^2+u^2)}/{2(t+u)t^2}][{u(t^2+u^2)-2(t-u)tu}/{2(t+u)u^2}]
={1/{2(t^2+u^2)(tu)^2}}[2(t-u)tu+t(t^2+u^2)}{u(t^2+u^2)-2(t-u)tu}
={1/{2(t^2+u^2)tu}}[2(t-u)u+(t^2+u^2)}{(t^2+u^2)-2(t-u)t}
={1/{2(t^2+u^2)tu}}(t^2+2tu-u^2)(u^2+2tu-t^2)
∴(1)と同じvで置き換えると
U=(v^2+2v-1)(1+2v-v^2)/{2(v^2+1)v^2}
後の方針は(1)と同じです。
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No.54538 - 2018/10/21(Sun) 09:52:21 |
| ☆ Re: 三角形の面積の最大最小 / 桜井和寿 | | | >X様
早速のご回答をいただき，誠にありがとうございます。
(1)に関して以下のような疑問点がありましたので，お手すきの際にご回答いただければ幸いです。
《質問内容》
X様の解答では，「点Dは2点A, Bの間にあり，点Eは2点A, Cの間にある」という条件が考慮されていないように見受けられるのですが，この点は問題にならないのでしょうか？例えば，直線BEの傾きが直線BAの傾きよりも大きい場合，3点E, A, Cがこの順に並んでしまい，題意の条件を満たさないように思えるのですが…。
お手数をおかけしますが，何卒よろしくお願いいたします。
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No.54567 - 2018/10/21(Sun) 21:07:57 |
| ☆ Re: 三角形の面積の最大最小 / らすかる | | | 点Dは2点A, Bの間にある → Y＞1/t
点Eは2点A, Cの間にある → Y＞1/u
からv(=t/u)の範囲を求めると
-1+√2＜v＜1+√2
となり、この範囲では
2+√2＜S≦4
となると思います。
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No.54573 - 2018/10/22(Mon) 00:13:22 |
| ☆ Re: 三角形の面積の最大最小 / 桜井和寿 | | | >らすかる様
すると，(2)の答えは「0<U≦1」で正しいでしょうか？
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No.54575 - 2018/10/22(Mon) 03:31:07 |
| ☆ Re: 三角形の面積の最大最小 / らすかる | | | No.54576 - 2018/10/22(Mon) 04:47:10 |
| ☆ Re: 三角形の面積の最大最小 / X | | | >>桜井和寿さんへ
ごめんなさい。その通りですね。
既にらすかるさんが回答されていますので
こちらからはこれ以上は控えさせて頂きます。
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No.54585 - 2018/10/22(Mon) 16:06:50 |
| ☆ Re: 三角形の面積の最大最小 / 桜井和寿 | | | >X様，らすかる様
お二方ともご対応ありがとうございました。
今後ともよろしくお願いいたします。
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No.54591 - 2018/10/22(Mon) 18:44:40 |
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