四面体OABCにおいて、
OA=OB=OC=AC=10、AB=6、∠ACB=30°、∠BAC = 45°、頂点Oから△ABCに垂線OHを下ろす。
(1)AHの長さを求めよ。
(2)四面体OABCの体積を求めよ。
この問題が分かりません。詳しい解説よろしくお願いします。
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No.54776 - 2018/10/31(Wed) 21:02:54
| ☆ Re: 数1 空間図形の計量 / らすかる | | | AC=10、AB=6、∠ACB=30°、∠BAC=45°という三角形は存在しませんので問題がおかしいです。
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No.54779 - 2018/10/31(Wed) 23:25:55 |
| ☆ Re: 数1 空間図形の計量 / ボルト | | | らすらるさん、なぜ存在しないのですか？詳しい解説よろしくお願いします。
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No.54780 - 2018/10/31(Wed) 23:44:30 |
| ☆ Re: 数1 空間図形の計量 / ボルト | | | 例えば、BC=7のとき、△ABCは成立しませんか？
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No.54781 - 2018/10/31(Wed) 23:49:02 |
| ☆ Re: 数1 空間図形の計量 / passer-by | | | 横から失礼いたします。
もしボルトさんの書き込まれた問題文が正しいとすると、三角形ABCは「AB=6, AC=10, ∠BAC=45°」を満たしているわけですから、余弦定理により
BC^2
＝AB^2+AC^2-2AB・AC・cos∠BAC
＝36+100-2・6・10・{(√2)/2}
＝136-60√2 …(☆)
が成り立ちます。
さらに、「∠ACB=30°」という条件も示されていますので、再び余弦定理を適用すると、
AB^2
＝AC^2+BC^2-2AC・BC・cos∠ACB
＝100+(136-60√2)-2・10・{√(136-60√2)}・{(√3)/2}
＝236-60√2-10√{3・(136-60√2)}
＜236-60・1.4-10√{3・(136-60・1.5)} (∵1.4<√2<1.5)
＝152-10√138
＝(36+116)-10√138
＝36+(√13456-√13800) (∵116=√13456)
＜36 (∵√13456-√13800<0)
となり、「AB<6」が成立することになります。
ところが、問題文の設定によれば、「AB=6」であるはずであり、ここに矛盾が生じてしまいます。
したがって、「AB=6, AC=10, ∠BAC=45°, ∠ACB=30°」を満たす三角形ABCは存在し得ないのです。
問題文を今一度確認されることをお勧めします。
(注)
なお、(☆)より「AB=6, AC=10, ∠BAC=45° ⇒ BC=√(136-60√2)(≠7)」が成り立ちますので、「AB=6, AC=10, BC=7, ∠BAC=45°」を満たす三角形ABCは存在しません。
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No.54782 - 2018/11/01(Thu) 05:34:29 |
| ☆ Re: 数1 空間図形の計量 / らすかる | | | passer-byさんが書かれたことの言い換えに過ぎませんが、
三角形は二つの角が決まると辺の比が決まります。
もし∠ACB=30°、∠BAC=45°であれば
BからACに垂線BHを引くと
AB=(√2)BH、BC=2BH、CA=(1+√3)BH
よってAB：BC：CA=√2：2：1+√3
となりますので、どれか1辺の長さが整数ならば
残りの2辺の長さは必ず無理数となり、
2辺以上が整数になることはあり得ません。
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No.54783 - 2018/11/01(Thu) 06:29:52 |
| ☆ Re: 数1 空間図形の計量 / ボルト | | | らすかるさん、passer- byさんありがとうございました。言われた通り問題の△ABCのような三角形は存在しないというが理解できました。自分で気がつかなくて本当に申し訳ございませんでした。深く反省しております。これからもよろしくお願いします。
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No.54789 - 2018/11/01(Thu) 19:34:49 |
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