ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ABC定理 / 1

次の等式を満たす多項式A, Bを求めよ。
A^2 = B^5 + x^2 <解答>
1 A,B,xのどの2つも互いに素のとき、ABC 定理より、
max (deg A^2, deg B^5, deg x^2) < deg rad(A^2B^5x^2)
2degA < degA+degB+1
5degB < degA+degB+1
2 < degA+degB+1
これから、0 < deg B < 2 /3となり、これを満たす整数 deg B は存在しない。

このdegrad(x^2)が1になる箇所とdegBの最終的な範囲の導き出し方がわかりません。教えて頂きたいです。

No.54111 - 2018/10/01(Mon) 16:41:07

☆ Re: ABC定理 / ast

前半: rad が何か知らない (調べる気もない) が, rad(A^2B^5x^2) = ABx になるようなものなら deg rad(x^2) = deg x = 1 は自明ではないかと. そのようなものでないなら知らない.

後半: 入力面倒くさいので, ここでは deg A =:a, deg B =: b と書くけど
2a < a+b+1 から a < b+1 …[1],
5b < a+b+1 から 4b < a+1 …[2],
2 < a+b+1 から 1 < a+b …[3].

[1][2] から 4b < (b+1)+1 なので 3b < 2, つまり b < 2/3 …[X].
[1][3] から 1 < (b+1)+b なので 0 < 2b, つまり 0 < b … [Y].
[X][Y] をまとめて書けば所期の結果を得る.

No.54144 - 2018/10/03(Wed) 03:05:16

☆ Re: ABC定理 / １

ありがとうございます！助かりました。

No.54147 - 2018/10/03(Wed) 09:06:15

★ 高校数学の難問#2 ～確率～ / 鉄門に集いし100人の精鋭

　ある硬貨を投げたとき，表と裏がそれぞれ確率1/2で出るとする。この硬貨を投げる操作を繰り返し行い，3回続けて表が出た時点で終了する。正の整数nに対し，操作がn回以上繰り返される確率をP[n]とするとき，
　　n≧4 ならば P[n]<(3/4)^{(n-3)/4}
が成立することを示せ。

No.54105 - 2018/10/01(Mon) 10:36:39

☆ Re: 高校数学の難問#2 ～確率～ / ヨッシー

これは、高校数学の難問#1 と同じく、
回答者の腕試し用問題ですか？

>正解！
>お見事です。👏

No.54107 - 2018/10/01(Mon) 10:46:21

☆ Re: 高校数学の難問#2 ～確率～ / 鉄門に集いし100人の精鋭

>ヨッシーさん
　「腕試し」というよりも，私が出会った興味深い問題を数学愛好家の皆さんと共有し，皆さんがそうした問題をどのような切り口で攻略するのかを観察・分析することで，自らの数学的素養を高めたいという思いから投稿させていただいています。
　もちろん，回答者の皆さんがそれをどのように捉えるかは自由ですので，ヨッシーさんが仰るように「腕試し」として解いてくださっても一向にかまいません。

No.54108 - 2018/10/01(Mon) 10:57:14

★ 助けてください / 坂下

画像の問題で、(a,0,0)(0,a,0)(0,0,a)にあった３点が３枚目の図のように、座標空間上で回転変換された点を求めたいとします。
(a,0,0)が(asinθcosφ,asinθsinφ,acosθ）（球上の点への変換）へと移った時
他の２点はどの点に移るかを調べるにはどうすればよいのですか？
線形代数は一応勉強したのですが、具体的な応用方法にくわしくなく、困っています。

No.54091 - 2018/09/30(Sun) 17:41:17

☆ Re: 助けてください / 坂下

２枚目です

No.54092 - 2018/09/30(Sun) 17:41:59

☆ Re: 助けてください / 坂下

３枚目です

No.54093 - 2018/09/30(Sun) 17:42:38

☆ Re: 助けてください / ヨッシー

(a,0,0)が(asinθcosφ,asinθsinφ,acosθ）へと移るというのは、
・ｙ軸周りにθ－90°回転
・ｚ軸周りにφ回転
したものですから、
　(a,b,c)→(csin(θ－90°)+acos(θ－90°), b, ccos(θ－90°)－asin(θ－90°))
　　　　　＝(－ccosθ＋asinθ, b, csinθ＋acosθ)
　　　→((－ccosθ＋asinθ)cosφ－bsinφ, (－ccosθ＋asinθ)sinφ＋bcosφ, csinθ＋acosθ)
よって
　(a,0,0)→(asinθcosφ, asinθsinφ, acosθ)
　(0,b,0)→(－bsinφ, bcosφ, 0)
　(0,0,c)→(－ccosθcosφ, －ccosθsinφ, csinθ)
となります。

No.54098 - 2018/09/30(Sun) 20:46:12

☆ Re: 助けてください / IT

(a,0,0) の行き先だけでは、移動が一意に決まらないような気がしますが　何か条件があるのでしょうか？

No.54100 - 2018/09/30(Sun) 21:43:24

☆ Re: 助けてください / 坂下

ありがとうございます。

No.54101 - 2018/09/30(Sun) 23:11:21

☆ Re: 助けてください / 関数電卓

> 移動が一意に決まらない
移動の最短経路は始点と終点を結ぶ大円。
経路は一意には決まらないが，各点の行き先は一意に決まる。

No.54102 - 2018/10/01(Mon) 06:47:28

☆ Re: 助けてください / らすかる

> 関数電卓さん
3点あるうちの1点の移動先が決まっても、
移動方法が提示されていなければ
残りの2点がどこに移動するかは決まらないと思います。
移動先が決まっている1点からの距離だけはわかりますが。

No.54110 - 2018/10/01(Mon) 14:59:32

☆ Re: 助けてください / 関数電卓

要求は
O(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0,a,0)，C(0,0,a)，D(asinθcosφ,asinθsinφ,acosθ）とするとき、四面体 OABC を O を通り平面 OAD に垂直な回転軸の回りに回転させる

ことではないのですか？

No.54112 - 2018/10/01(Mon) 19:16:27

☆ Re: 助けてください / 関数電卓

あ！そうか!!
回転軸が原点を通るとは限らない、ということですね!!
そのとおりですね。失礼しました。
ですが、スレ主さんの要求は、きっと O を中心とする球面上の回転なのでしょう ??!!??

No.54113 - 2018/10/01(Mon) 19:30:19

☆ Re: 助けてください / らすかる

回転軸が原点を通らない場合は考えていません。
三次元で回転を考える場合、普通はヨッシーさんが書かれているように
x,y,z軸に関する回転を二つ組み合わせると思います。
このとき、(a,0,0)が決まったある点に移動するような回転方法は
複数あり、一意には決まらない、という意味で言っています。

No.54117 - 2018/10/01(Mon) 21:23:23

☆ Re: 助けてください / 関数電卓

あ～～！！その通りですね。

No.54112 の記号で言うと、
原点を通り平面 OAD に垂直な軸の回りに A を D まで移転させた後、OD を軸として B,C を回転させる不定さが残る

ということですね。大変失礼しました。

No.54118 - 2018/10/01(Mon) 21:58:41

☆ Re: 助けてください / IT

ヨッシーさんのNo.54098 をみると分かるように
２軸による回転の連続では、すべての移動を表現することはできないのでは？
３軸による回転の連続が必要だと思います。
> よって
> 　(a,0,0)→(asinθcosφ, asinθsinφ, acosθ)
> 　(0,b,0)→(－bsinφ, bcosφ, 0)
> 　(0,0,c)→(－ccosθcosφ, －ccosθsinφ, csinθ)
> となります。
(0,b,0)→(－bsinφ, bcosφ, 0)でz座標が0にしかできない。

No.54119 - 2018/10/01(Mon) 22:16:24

☆ Re: 助けてください / らすかる

あ、そうですね。3軸必要でした。ということは
「(a,0,0)が(asinθcosφ,asinθsinφ,acosθ）へと移る」は
・ｙ軸周りにθ－90°回転
・ｚ軸周りにφ回転
ではなく
・ｘ軸周りにψ回転
・ｙ軸周りにθ－90°回転
・ｚ軸周りにφ回転
なのかも知れませんね。
（x軸周りの回転では(a,0,0)は動かないため）

No.54120 - 2018/10/01(Mon) 22:40:58

★ (No Subject) / みなと

T=cos2θのとき
Sin5θ/sinθをTで表せ。

このような問題を二次試験やセンターで見るのですが、ほぼ毎回　時間をたくさんかけて計算してしまい、しかも答えが出ません。解答を見るともちろんわかりますが本番中に[３倍角を使うか？もしくは3θをθと2θに分けるか？]まずここで勝敗を分けてしまいそこから先も[２倍角？θとθに分けるか？]でまた間違えて、、、を永遠に繰り返してしまいます。
この手はどのように解けばよいのでしょうか？

No.54084 - 2018/09/30(Sun) 03:38:20

☆ Re: / らすかる

「どのように解くのがよいか」はよくわかりませんが、
私なら多分次のように解くと思います。

cosθ=c,sinθ=sとおくと
sin2θ=2sc
cos2θ=c^2-s^2=2c^2-1
sin3θ=2sc^2+s(2c^2-1)=s(4c^2-1)
cos3θ=c(2c^2-1)-2s^2c=c(4c^2-3)
sin5θ=2sc^2(4c^2-3)+s(2c^2-1)(4c^2-1)
=s(16c^4-12c^2+1)
∴sin5θ/sinθ=16c^4-12c^2+1
=4(T+1)^2-6(T+1)+1　（∵2c^2=T+1）
=4T^2+2T-1

No.54085 - 2018/09/30(Sun) 04:28:37

☆ Re: / IT

数３を習っていればド・モアブルの定理を使うとｎ倍角の公式が機械的に求められます。

ド・モアブルの定理
(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)　(nは整数)

n=5,cosθ=c,sinθ=sとおくと
(c+is)^5=cos(5θ)+isin(5θ)
左辺を展開し係数比較し（isの奇数乗の各係数をパスカルの三角形で求めます）

sin(5θ)=5(c^4)s-10(c^2)(s^3)+s^5 が機械的に計算できます。

（センターだと　誘導小問なしにいきなり　こんな面倒な計算は出ないでしょうから直接は使えませんが、検算には使えるかも）

なお、その問題の場合はθ=π/6,π/4,π/2 のときなどで検算すると計算間違いが見つけられる場合があります。

さらにセンター試験でsin5θ/sinθ=aT^2+bT+c の形が分かっていて　a,b,cを求める穴埋め式問題なら特定のθでの値からa,b,cを求めることができます。

θ=π/4 のとき　sin5θ/sinθ=-１,T=0より,　c=-1
θ=π/2 のとき sin5θ/sinθ=１,T=-1より, a-b-1=1
θ=π/6 のとき sin5θ/sinθ=１,T=1/2より, (1/4)a+(1/2)b-1=1
よって　a=4,b=2

No.54087 - 2018/09/30(Sun) 08:06:19

☆ Re: / ヨコハマ

T = (1 - 6 s^2 + s^4)/(1 + s^2)^2,
U = (5 - 60 s^2 + 126 s^4 - 60 s^6 + 5 s^8)/(1 + s^2)^4
　　　　から　s を消去すれば　叶います。

No.54090 - 2018/09/30(Sun) 10:51:33

★ (No Subject) / 日本語の求道者

「～を満たす○○を求めよ」という問題に対し、「題意を満たす○○は存在しない」のように解答する場合がありますが、これは日本語として疑問文と応答文が適切に対応していると言えるのでしょうか？

No.54078 - 2018/09/29(Sat) 21:29:38

☆ Re: / はい

はい

No.54079 - 2018/09/29(Sat) 21:43:07

☆ Re: / はい

はい

No.54080 - 2018/09/29(Sat) 21:43:25

☆ Re: / TANTAN麺

「何も道具を使わずに空を飛んでください」と要求された場合に「出来ません」と答えることは日本語として不適切ですか？

更に数学などの言語では”存在しない”という事の意味を抽象化した”０”や”空集合”などという対象をその言語の中に持ち込んでいます。
このような言語概念の拡張によって、特に数学的な思考としては、”～と満たす対象”とは”存在し得ない対象”であると表現することによって存在の提示を肯定的に応答することが出来て、質問者さんの疑問はその旨の自然な言い換えですよ。

No.54089 - 2018/09/30(Sun) 10:12:59

☆ Re: / 日本語の求道者

>TANTAN麺様
ご回答ありがとうございます。大変勉強になりました。
また質問させていただくことがあるかも知れませんが、その節はどうぞよろしくお願いいたします。

No.54099 - 2018/09/30(Sun) 20:57:45

★ (No Subject) / マジュン

この丸をしてあるところの計算の仕方を教えてください！

No.54073 - 2018/09/29(Sat) 17:54:47

☆ Re: / らすかる

(±s/t)^3±s/t+1=0
±{(s/t)^3+s/t}+1=0
±{(s/t)^3+s/t}=-1
(s/t)^3+s/t=±1
(s/t)^3=-s/t±1
s^3/t=-st±t^2
s^3/t=-t(s±t)
となりますね。

No.54076 - 2018/09/29(Sat) 18:59:37

☆ Re: / マジュン

5段目から6段目はどういう操作をしたのでしょうか？？

No.54081 - 2018/09/29(Sat) 23:14:18

☆ Re: / らすかる

両辺にt^2を掛けました。

No.54082 - 2018/09/29(Sat) 23:27:11

☆ Re: / マジュン

3段目から4段目で、-1から±1になっていますが、マイナスプラス1になるのではないのですか？？

No.54086 - 2018/09/30(Sun) 07:06:53

☆ Re: / ヨッシー

±１は　＋１と－１の両方の場合が考えられる。
という意味で、直前の±の＋に対応するのが－１で、
－に対応するのが＋１で、という必要はありませんので、
±１で十分です。

むしろ干１と書いたら、「意味が分からずに使っている」と
採点者の不興を買いかねません。

干を使うのは
　ｘ＝１±√２干√3　（複号同順）
のような場合です。

※干はマイナスプラスを表しています。

No.54088 - 2018/09/30(Sun) 09:18:31

☆ Re: / マジュン

その写真の下の方にもう１つ計算があって、そこではマイナスプラス1というふうに書いてありますが、これはどう解釈すれば良いですか？

No.54096 - 2018/09/30(Sun) 18:41:10

☆ Re: / ヨッシー

それは、同値の式ですので、式変形とは違います。

複号の関係を保ったまま変形するなら、らすかるさんの書かれた式は

(±s/t)^3±s/t+1=0
⇔　±{(s/t)^3+s/t}+1=0
⇔　±{(s/t)^3+s/t}=-1
⇔　(s/t)^3+s/t=干1
⇔　(s/t)^3=-s/t干1
⇔　s^3/t=-st干t^2
⇔　s^3/t=-t(s±t) 　(複号同順)
と書けます。

らすかるさんは、質問の本質はそこにはないとして、
式変形自体の回答をされたと思います。
式変形のあと、同値の式に直すには、符号を一つ一つ
追っていけば出来ることですから。

No.54097 - 2018/09/30(Sun) 19:08:19

★ (No Subject) / さか

線を引いた問題なのですが、解説の意味がわかりません。

No.54070 - 2018/09/29(Sat) 16:10:05

☆ Re: / さか

a＝0(2の二乗＝1)とはどういうことでしょうか？

No.54071 - 2018/09/29(Sat) 16:11:48

☆ Re: / さか

また、b＝1の時やc＝1の時は奇数にならないのでしょうか？

No.54072 - 2018/09/29(Sat) 16:13:13

☆ Re: / IT

> a＝0(2の二乗＝1)とはどういうことでしょうか
さかさんの書き間違いですね
(2の0乗＝1)　です。　これは分かりますか？

a=0 のとき
　(2^a)(5^b)(7^c)=(2^0)(5^b)(7^c)=1(5^b)(7^c) は奇数となります。
a=1,2,3,... のとき　
　　(2^a)(5^b)(7^c)　は偶数となります。

＞また、b＝1の時やc＝1の時は奇数にならないのでしょうか？
a=0 であれば,b,cはどんな非負整数でも（b＝1の時やc＝1の時も）
　(2^a)(5^b)(7^c)　は奇数となります。

分からなければ　具体的なa,b,c でいろいろ調べてください。

No.54074 - 2018/09/29(Sat) 18:01:44

☆ Re: / さか

読み間違えていたみたいです、すみません！
理解しました！ありがとうございました。

No.54075 - 2018/09/29(Sat) 18:25:23

★ 線分の方程式 / Laura

空間内で点a,bを結ぶ線分の方程式は媒介変数tを用いて
at+b(1-t) 0　(0≦t≦1)
と表わされるのは正しいでしょうか?

No.54067 - 2018/09/29(Sat) 09:44:33

☆ Re: 線分の方程式 / らすかる

方程式になっていませんので正しくありません。

No.54069 - 2018/09/29(Sat) 10:45:31

☆ Re: 線分の方程式 / Laura

すみません。at+b(1-t)＝0でした。これでいかがでしょうか?

No.54104 - 2018/10/01(Mon) 10:13:28

☆ Re: 線分の方程式 / ヨッシー

点を表す記号 a, b を式に使用することは普通ありません。

以下のようなことを言いたいのであれば、正確に書くべきです。
２点Ａ，Ｂの位置ベクトルをそれぞれａ、ｂとするとき、
線分ＡＢ上の点Ｐの位置ベクトルｐは
　ｐ＝ｔａ＋(1－t)ｂ　(0≦ｔ≦1)

これと比べて、
>at+b(1-t)＝0
は、どうですか？

No.54106 - 2018/10/01(Mon) 10:40:10

☆ Re: 線分の方程式 / Laura

納得です。どうもありがとうございました。

No.54190 - 2018/10/04(Thu) 01:59:22

★ 領域 / 優美

a、bは実数で、b≠0とする。m、nは整数とする。a、bがa2-a+b2>0、0<a<1を満たすとき、不等式(m+na)2-(m+na)+n2b2≧0が成り立つことを示せ。

x=m+na、y=nbとおくと、示すべき不等式はx2-x+y2≧0になります。(x,y)は(a,b)を原点を中心にn倍して、x軸方向にmだけ平行移動したものです。したがって、a2-a+b2>0、0<a<1にこの変換を施した図形が、x2-x+y2≧0を満たすことがいえればいいと思ったのですが、ここから先がどうすればいいのかわかりません。
教えてください。よろしくお願いします。

No.54052 - 2018/09/28(Fri) 20:44:22

☆ Re: 領域 / らすかる

(m+n-1/2)^2≧1/4, (m-1/2)^2≧1/4なので
(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2
=a(m+n-1/2)^2+(1-a)(m-1/2)^2+(a^2-a+b^2)n^2-1/4
≧(1/4)a+(1/4)(1-a)-1/4　（等号は(m,n)=(0,0)または(m,n)=(1,0)のとき）
=0

No.54055 - 2018/09/28(Fri) 21:51:56

☆ Re: 領域 / 優美

御回答ありがとうございます。

一行目の二つの不等式、(m+n-1/2)2≧1/4と(m-1/2)2≧1/4はどこから出てきたのでしょうか。

それと、二行目から三行目の式変形がわかりません。もう少し詳しく教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

No.54077 - 2018/09/29(Sat) 21:20:52

☆ Re: 領域 / らすかる

とりあえず説明はしますが、私の方法は簡単に思い付けるような
変形ではないと思いますので、お勧めできません。

|整数-1/2|は最小1/2ですから、
(整数-1/2)^2は最小1/4となります。
下に出てきた(m+n-1/2)^2と(m-1/2)^2の最小値を評価するもので、
最初に書きました。

(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2
=m^2+2mna+n^2a^2-m-na+n^2b^2 …(1)
この式を何とか(○)^2や(a^2-a+b^2)に非負の数を掛けたものの和で
表せれば評価できると思って式をこねくりまわしました。
まず2mnaが(○)^2から出てくるようにして消したいのですが
(m+na)^2にすると元の式になって-(m+na)が消せそうにありませんので
とりあえずa(m+n)^2を引いてみると
(1)-a(m+n)^2=m^2+n^2a^2-m-na+n^2b^2-m^2a-n^2a
つまり
(1)=a(m+n)^2+m^2+n^2a^2-m-na+n^2b^2-m^2a-n^2a
ここで(a^2-a+b^2)n^2の項が全部そろっていますのでまとめて
(1)=a(m+n)^2+(a^2-a+b^2)n^2+m^2-m-na-m^2a
となります。残りの項のうち-naだけnが残っていて
このままではどうにもなりませんが、先頭のa(m+n)^2を
a(m+n-1/2)^2に変えれば-naの項は消えます。
a(m+n-1/2)^2=a(m+n)^2+(1/4)a-a(m+n)なので
(1)=a(m+n-1/2)^2+(a^2-a+b^2)n^2+m^2-m-na-m^2a-(1/4)a+a(m+n)
=a(m+n-1/2)^2+(a^2-a+b^2)n^2+m^2-m+ma-m^2a-(1/4)a
ここまでくればできそうです。
m^2-m=(m-1/2)^2-1/4
-m^2a+ma-(1/4)a=-a(m-1/2)^2
なので
m^2-m-m^2+ma-(1/4)a=(m-1/2)^2-a(m-1/2)^2-1/4=(1-a)(m-1/2)^2-1/4
従って
(1)=a(m+n-1/2)^2+(a^2-a+b^2)n^2+(1-a)(m-1/2)^2-1/4
という目的に近い形に変形できました。
あとは(m+n-1/2)^2≧1/4と(m-1/2)^2≧1/4を使えば-1/4が消せます。

# 他にもっとうまい方法があると思いますが、思い付けませんでした。
# 「原点を中心にn倍」のように考えると直感的にはわかるのですが、
# 計算でどのように示せばよいかわかりませんでした。

No.54083 - 2018/09/29(Sat) 23:56:35

☆ Re: 領域 / 優美

御回答ありがとうございました。よくわかりました。

No.54115 - 2018/10/01(Mon) 20:43:10

★ (No Subject) / マジュン

この上の(2)の?@の問題なのですが、吹き出しにあるように、なぜn=3kはいらないのですか？？

No.54043 - 2018/09/28(Fri) 19:00:38

☆ Re: / 関数電卓

学校 or 塾の先生の添削ですか？

　「 n＝3k はいらないのか？」

という先生の問いかけなのでしょうから、『はい、いりません！』と答えれば良いのでしょう。

これは “数学的帰納法” の証明ではないのですから、むしろ、「 r＝1 のとき～」の 1 行がいりません。

No.54045 - 2018/09/28(Fri) 19:24:29

☆ Re: / noname

自分でメモとして書いたんでしょ。
対偶の「nが3の倍数でないならば、n^2は3の倍数でない」
において、仮定は「nが3の倍数でない」なので、
証明する側からしてみれば、
「nが3の倍数でない場合なんてのは知ったこっちゃない」
のです。

『pならばq』が成り立つ
というのは、
『少なくともpを満たすときに限ってはqが成り立つ(pを満たさないときはqが成り立とうが成り立たなかろうが知ったこっちゃねぇ)』という意味です。

No.54048 - 2018/09/28(Fri) 19:55:03

☆ Re: / noname

間違えた。５行目
「nが3の倍数の場合なんてのは知ったこっちゃない」
です。

No.54050 - 2018/09/28(Fri) 19:56:23

★ y=x に関して対称 / kitano

y=1/x は、y=x に関して対称を証明したい

のです、教えて下さい。

宜しく御願い致します。

No.54041 - 2018/09/28(Fri) 17:41:47

☆ Re: y=x に関して対称 / 関数電卓

　y＝1/x …(1)
の x と y を交換すると
　x＝1/y …(2)
となります。
(2)は両辺に y/x を掛ければ(1)に他なりません。
これが『(1)が y＝x について対称』であることの証明です。

No.54044 - 2018/09/28(Fri) 19:08:49

☆ Re: y=x に関して対称 / kitano

関数電卓様

ご回答有難うございます。

私も考え方が閃いたのですが、、

y＝1/x …(1)

つまり　xy=1

これは、積の交換法則から　xとｙを交換し
ｙｘ＝１

これは、ｘｙ＝１に等しい

証明終了

この考え方でも正しいですか。

教えて下さい。

宜しく御願いします。

No.54065 - 2018/09/29(Sat) 03:07:11

☆ Re: y=x に関して対称 / 関数電卓

> 積の交換法則から x とｙを交換しｙｘ＝１

ご自身が納得できるのであればそれで構いませんが、交換できるのは『積』だけではありませんのでご注意ください。
他の例としては
　x＋y＝k， x^2＋y^2＝k， x－y＝0
など。

No.54066 - 2018/09/29(Sat) 09:32:34

☆ Re: y=x に関して対称 / kitano

関数電卓様

最後までお付き合い頂き

心から感謝いたします。

また、宜しく御願い致します。

No.54068 - 2018/09/29(Sat) 10:04:39

★ 高校入試問題 / 伝助

高校入試問題です。
ABCDEFは，１辺８cmの正六角形で，点０がその対称の中心です。MはCD上の点で，CM＝２cm ，線分AMは，円Oと接しています。

この時，円Oの半径を求めよ。
～～～～～～～～～～～～～

どうぞよろしくお願い致します。。。

No.54033 - 2018/09/28(Fri) 00:31:12

☆ Re: 高校入試問題 / らすかる

解き方はいろいろありそうですが、例えば…

単位は省略します。
C,MからADに垂線CP,MQを下ろすと△DQM∽△DPCで
DM：DC=3：4なのでDQ=8×(1/2)×(3/4)=3,MQ=(√3)DQ=3√3
よってAQ=AD-DQ=13なのでAM=√(AQ^2+MQ^2)=14
OからAMに垂線OHを下ろすと△AHO∽△AQMなので
AO：OH=AM：MQ
従ってOH=AO×MQ÷AM=12√3/7

No.54035 - 2018/09/28(Fri) 00:57:14

☆ Re: 高校入試問題 / 伝助

いろいろあるんですね・・例えばの解き方も，思いつかないナ～・・恐れ入りました。
ありがとうございました～～

No.54036 - 2018/09/28(Fri) 01:13:09

☆ Re: 高校入試問題 / らすかる

この解き方の方が簡単そうです。

AC=8√3,CM=2なのでAM=14
OBとAMの交点をGとするとOG=3
OからAMに垂線OHを下ろすと△OHG∽△ACMなので
OH=(AC/AM)OG=12√3/7

No.54038 - 2018/09/28(Fri) 03:24:49

☆ Re: 高校入試問題 / らすかる

より簡単な解き方を思い付きました。

FN=2cmとなるようにAF上に点Nをとると
DNは円Oに接し四角形AMDNは平行四辺形
AC=8√3、AM=√(AC^2+CM^2)=14
(平行四辺形の面積)=MD×AC=AM×(円Oの直径) なので
(円Oの半径)=(MD×AC)/(2AM)=12√3/7

No.54040 - 2018/09/28(Fri) 09:45:51

☆ Re: 高校入試問題 / 伝助

らすかる様，別解までご提示いただき，本当にありがとうございます。特に最後のやつは美しいですね。
非常にタメになりました！！

No.54064 - 2018/09/29(Sat) 02:41:46

★ 存在条件 / 坂下

画像の問題で、x=p+qi(p,qは実数、ｑ≠０）として、与えられた方程式に代入して、実部虚部比較して得られる２式に関してｑ≠０の下で、実数 a,bの存在条件を考えるとｑ≠０です。
だから求める条件はｑ≠０で、これを複素平面上に図示して終了と２，３枚目のようにしたのですが、答えとは違いました。
どうして自分の方針はまずいのですか？
自分としては題意に書かれているとおりの存在条件を考えたつもりなのですが。