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★ 比の問題について / 街
【問題】
　ある生徒は、5教科の本を本棚に整理して並べることにした。この本棚には5段の棚があり、各段には本を20冊ずつ並べることができる。
　どの教科も、2つの棚を使えばすべての本を並べることができるが、1つの教科の本は1つの棚にだけ並べることにし、本を並べた結果、2つの教科のみすべての本を本棚に並べることができた。
　本の冊数について、ア〜ウのことがわかっているとき、本棚に並べることができなかった本の冊数として妥当なものはどれか。
　ア：国語の本と社会の本の冊数の比は、6：7である。
　イ：英語の本と数学の本の冊数の比は、3：2である。
　ウ：数学の本と理科の本の冊数の比は、5：6である。

---

上の問題の答えが「15冊」で、解説には以下のように書いてあるのですが、どうして本の冊数がわかるのでしょうか？

　問題文の「2つの棚を使えばすべての本を並べることができ」より、全教科が40冊以下であることがわかる。また、「1つの教科の本は1つの棚にだけ並べることにし、本を並べた結果、2つの教科のみすべての本を本棚に並べることができた」より、2教科が20冊以下であることがわかる。
No.54345 - 2018/10/08(Mon) 19:52:19
☆ Re: 比の問題について / らすかる
問題文に「各段には本を20冊ずつ並べることができる」と書かれていますので
1つの棚では20冊、2つの棚では40冊です。

# 問題文で、最初は「5段の棚」と言っているのに後では「2つの棚」と言っていて
# 紛らわしいですが、全体的に考えて「1つの棚」＝「5段の棚のうちの1段」と
# 考えるしかないですね。
No.54346 - 2018/10/08(Mon) 20:10:56
☆ Re: 比の問題について / 街
ありがとうございます。
てっきり5段ある棚が2つあるものと思って読んでいました。
2段落目以降は棚=段だと思って読めばいいのですね。
No.54347 - 2018/10/08(Mon) 20:27:03
★ (No Subject) / 卓越
171番です
No.54342 - 2018/10/08(Mon) 19:41:21
☆ Re: / 卓越
自分の出した答えと模範解答を比較して大なりの記号の下にイコールが入っている位置が違うのですが、これは間違ってるのですか？
求めた最小値は模範解答と一致しています。
No.54343 - 2018/10/08(Mon) 19:45:20
☆ Re: / らすかる
全く問題ありません。
どちらでも正解です。
No.54344 - 2018/10/08(Mon) 19:46:51
☆ Re: / 卓越
ありがとです！
No.54348 - 2018/10/08(Mon) 21:38:04
★ 中学受験 / しゅう👦🏻
よくわかりません。
No.54324 - 2018/10/08(Mon) 11:20:35
☆ Re: 中学受験 / しゅう👦🏻
> よくわかりません。
No.54325 - 2018/10/08(Mon) 11:21:39
☆ Re: 中学受験 / しゅう👦🏻
解説続き
No.54326 - 2018/10/08(Mon) 11:22:54
☆ Re: 中学受験 / しゅう👦🏻
解説よろしくお願いいたします。
No.54327 - 2018/10/08(Mon) 12:00:59
☆ Re: 中学受験 / IT
１　亜鉛と（濃度が一定の）塩酸は一定の比率で反応します。（反応すると　姿を変えます。（「無くなる」と表現しますが）

２　ちょうどぴったりの比率の量でない場合は、少ないほうはすべて無くなり多いほうは残ります。

３　同一条件下では、反応した亜鉛の量（塩酸の量）に比例した量の気体Ｘが発生します。

４　反応した量を測定するには反応してすべて無くなったのは亜鉛か塩酸かを調べる必要があります。

５　実験Ａと実験Ｂから、実験Ａでは塩酸がすべて反応して無くなったことがわかります。　←（解説の前半部分で解説）

これらを踏まえて、解説をもういちどしっかり読んだときに、どこまでは分かってどこから分かりませんか？
No.54329 - 2018/10/08(Mon) 12:30:10
☆ Re: 中学受験 / しゅう👦🏻
5番の塩酸がすべて反応したのがわかりません。
No.54332 - 2018/10/08(Mon) 12:45:41
☆ Re: 中学受験 / IT
実験Ａの亜鉛と塩酸の量を２倍にして考えると
実験Ａ’亜鉛0.40ｇに塩酸20ｍL→気体96ｍL

実験Ｂ　亜鉛0.40ｇに塩酸40ｍL→気体144ｍL(+48mL)　
　（実験Ａ’に比べて、（ア）気体は増えたが（イ）２倍よりは少ない）

よって
（ア）から 実験Ａ' では亜鉛が残っていることが分かります.
（イ）から実験Ｂでは、塩酸が残っていることが分かります.

　
No.54336 - 2018/10/08(Mon) 13:03:13
☆ Re: 中学受験 / しゅう👦🏽
よくわかりました。ありがとうございます。
No.54337 - 2018/10/08(Mon) 13:26:19
☆ Re: 中学受験 / IT
化学的には不正確な表現もありますので　理科の教科書で確認してください。（各段階（小中高など）でいろいろな表現があると思います）
No.54341 - 2018/10/08(Mon) 16:53:03
★ (No Subject) / あ
なんで答えは?Aになるんですか？私は?@と考えました。2n−1の部分が分かりません
No.54320 - 2018/10/08(Mon) 10:02:36
☆ Re: / IT
どうやって　?@が出てきましたか？
?@は間違いであることは、n=2のときを考えると分かりますね。
No.54321 - 2018/10/08(Mon) 10:12:02
☆ Re: / あ
Σの公式のnの部分に−1を代入しました。
No.54322 - 2018/10/08(Mon) 10:27:25
☆ Re: / あ
あ！分かりました！！ありがとうございます
No.54323 - 2018/10/08(Mon) 10:28:20
★ 二次関数 / きさき
上下2つの問題の解法はどう違うのでしょうか？
なぜこのような解法をするのか理由を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.54319 - 2018/10/08(Mon) 09:56:48
☆ Re: 二次関数 / noname
両方やってみればいいと思う。
解説聞くより数学の力つくよ。
No.54338 - 2018/10/08(Mon) 13:39:18
★ (No Subject) / はな
aとbは実数とする。
放物線y=ax^+bxと放物線y=x^の共有点の個数を答えなさい。ただしa=0の場合には前者が放物線にならないこと、また両者が一致する場合は放物線上のすべての点が共有点となることに注意して、これらの場合を除外した上で適切に場合分けをして答えること。
という問題がわかりません教えてください
No.54312 - 2018/10/08(Mon) 02:35:45
☆ Re: / らすかる
xの2乗はx^2と書きます。「^」に「2乗」という意味はありません。

y=ax^2+bxとy=x^2からyを消去して整理すると
{(a-1)x+b}x=0
a,bによらずx=0のときの(0,0)は共有点になります。
x≠0に関しては
両辺をxで割って
(a-1)x+b=0
a=1,b≠0のとき解なし、すなわち共有点なし
a=1,b=0のときxは任意だがこのとき両者が一致するので題意により除外
a≠1のときx=-b/(a-1)が共有点になるが
b=0の場合はx=0が重解になり共有点は1個

従って共有点の個数は
a=0は放物線にならないので除外
a=1,b≠0のとき1個（x=0のみ）
a=1,b=0は2放物線が一致するので題意により除外
a≠0,a≠1,b≠0のとき2個（x=0,-b/(a-1)）
a≠0,a≠1,b=0のとき1個（x=0のみ）
No.54314 - 2018/10/08(Mon) 03:12:55
★ (No Subject) / まりか
A(1.0)
B(-1.0)
直線LはAとBからの距離の和が1である
Lが線分ABと交わるときの傾きを求めよ

Lをy=ax+bとして解くことはできないのでしょうか？ 他のやり方は解答を見て分かったのですが、、、もし上の式で解けない
なら、解いている途中にこの式では解くことができないというのがどうやったら分かるのかも教えてほしいです
No.54311 - 2018/10/08(Mon) 02:21:04
☆ Re: / らすかる
点と直線の距離の公式を使えば解けます。
f(x)=ax+bとすると
f(-1)f(1)≦0
(-a+b)(a+b)≦0
b^2-a^2≦0 … (1)

y=ax+bからax-y+b=0
(1,0)からの距離は|a+b|/√(a^2+1)
(-1,0)からの距離は|-a+b|/√(a^2+1)
なので条件から
|a+b|/√(a^2+1)+|-a+b|/√(a^2+1)=1
両辺に√(a^2+1)を掛けて両辺を2乗し、
(1)を使って整理すると
3a^2=1
∴a=±1/√3
No.54313 - 2018/10/08(Mon) 03:00:59
★ (No Subject) / たか
図形と方程式、軌跡の問題です。
0≦y≦-x^2+7x-10の表す領域をDとする。
正方形Zの4つの頂点P,Q,R,Sはこの順に反時計回りに並んでおり、Q,Rはy軸上に存在する。また、正方形Zの対角線の交点Tは領域D内に存在する。
(1)Tの座標を(x,y)とし、正方形Zの右下の頂点Sの座標を(X,Y)とするとき、x,yをX,Yを用いて表せ。
(2)TがD内を動くとき、Sが動く範囲を図示せよ。
(3)TがD内を動くとき、正方形Zの周の動く範囲を図示せよ。
問題が長くて申し訳ないです。
よろしくお願いします。(2),(3)の解法が全く思い浮かびません。
No.54301 - 2018/10/07(Sun) 22:02:32
☆ Re: / たか
(1)はx=(1/2)X y=(1/2)X+Yで合ってるのでしょうか？
No.54310 - 2018/10/08(Mon) 00:51:22
☆ Re: / らすかる
合ってます。
No.54315 - 2018/10/08(Mon) 03:16:33
☆ Re: / たか
ありがとうございます。
(3)は不明ですが(2)は(1)で出したx,yを0≦y≦-x^2+7x-10に代入して整理した-(1/2)X≦Y≦-(1/4)X^2+3X-10を図示すれば良いのでしょうか。
No.54316 - 2018/10/08(Mon) 04:42:33
☆ Re: / らすかる
(2)はそれでOKです。
(3)は(2)と同様にしてPの動く範囲を調べれば、
(正方形Zの周の動く範囲)
=(Pの動く範囲)+(Sの動く範囲)
　+(Pの動く範囲とSの動く範囲を縦につないだ範囲)　（辺PSの動く範囲）
　+(Pの動く範囲とy軸を横につないだ範囲)　（辺PQの動く範囲）
　+(Sの動く範囲とy軸を横につないだ範囲)　（辺RSの動く範囲）
　+(Qの範囲の上端とRの範囲の下端を結ぶy軸上の線分)
となりますね。
No.54317 - 2018/10/08(Mon) 06:34:34
☆ Re: / たか
Pの座標は(X,X+Y)だと思うのですがここからx,yで表すと(1)と同じになってしまうのですがどこがおかしいのでしょう
No.54318 - 2018/10/08(Mon) 07:02:45
☆ Re: / らすかる
Pの座標を(X,X+Y)とおくところがおかしいです。
(1)はSの座標を(X,Y)とおいてx,yをX,Yで表しましたよね。
それと同様に、Pの座標を(X,Y)とおいてx,yをX,Yで表さないと、
Pの動く範囲が調べられません。
No.54328 - 2018/10/08(Mon) 12:10:53
★ 孝一数学 / 隣家
連続投稿申し訳ないです。赤線の部分両方ともわかりません。最初の問題は両端の男子の求め方がわからないです。真ん中は5の階乗というのはわかります。2番は求め方が全くわかりません。解説お願いします
No.54297 - 2018/10/07(Sun) 20:40:04
☆ Re: 孝一数学 / らすかる
男子、女子をそれぞれ区別せずに計算してよいので
全体は7C3で両端に男子がくるのは5C2通りですから
両端に男子がくる確率は5C2/7C3=2/7です。
同様に、男女が交互に並ぶのは1通りなので1/7C3=1/35です。
No.54299 - 2018/10/07(Sun) 20:45:32
☆ Re: 孝一数学 / 隣家
ありがとうございます！わかりました
No.54331 - 2018/10/08(Mon) 12:40:52
☆ Re: 孝一数学 / 隣家
すいません。わかりましたと言いましたがよくわかりませんでした。全体が7C3とはどこから出てきたのかがわかりません。両端に男子がくる5C2の部分もわかりません。男子の4人から2人を選んで4C2ではないんですか？解答はらすかるさんの解答であってました。
No.54335 - 2018/10/08(Mon) 12:55:42
☆ Re: 孝一数学 / らすかる
性別だけ区別するとき、全体の並べ方は
男男女女男女男
のように7箇所中のどこの3箇所を女にするかですから
全体は7C3通りです。

両端に男子がくるのは、
男○○○○○男
の残りの5個の○のうちどこの2つを男にするかですから
5C2通りになります。
男子4人を区別しませんので、4C2は出てきません。
No.54339 - 2018/10/08(Mon) 16:26:34
★ 孝一数学 / 隣家
この問題がよくわかりません。全体から一部を引くことはわかるのですが、その全体がどこで一部がどこからどこなのかがいまいちつかめません。解説お願いします
No.54296 - 2018/10/07(Sun) 20:37:11
☆ Re: 孝一数学 / らすかる
「この問題」とはどれのことですか？
赤い帯が何か関係ありそうな気がしますが、
この帯の意味がわかりませんでした。
No.54298 - 2018/10/07(Sun) 20:40:45
☆ Re: 孝一数学 / 隣家
すいません。2番です
No.54330 - 2018/10/08(Mon) 12:40:22
☆ Re: 孝一数学 / らすかる
2番は3個ありますが、どれのことですか？

?A4人,4人,2人の3組。
(2)HOKKAIDOの8文字を1列に並べるとき，異なる並べ方は全部で何通りあるか。
?AAからQを通らないでBまで行く。
No.54333 - 2018/10/08(Mon) 12:46:19
☆ Re: 孝一数学 / 隣家
本当に申し訳ないです。3の2番です
No.54334 - 2018/10/08(Mon) 12:52:59
☆ Re: 孝一数学 / らすかる
PとQを通るかどうかという条件がない場合に
最短経路が13C6通りになるのはOKでしょうか。
Qを通って行くのは、
Qまでが9C4通り、Qから先が4C2通りですから、
求める場合の数は13C6-(9C4×4C2)通りとなります。
No.54340 - 2018/10/08(Mon) 16:30:03
★ (No Subject) / みるく
x-y<0
x+y<2
ax+by<1
これらの領域が三角形の内部になるようなa bの
集合を式で表す問題なのですが、マーカーのところがわかりません。なにをしているのでしょうか？

一般的にF(x y)<m　点(α　β)がこの式の領域内の場合F(α　β)<mが成り立つのでしょうか？
Y=の形じゃない式で少し戸惑いました

また(a+b)^2はどこから出てきたのでしょうか、
(a+b)(a+b-1)>0　これもなんでしょうか、、、
No.54295 - 2018/10/07(Sun) 20:34:21
☆ Re: / IT
> 集合を式で表す問題なのですが、マーカーのところがわかりません。なにをしているのでしょうか？
青マーカーの式は　(ii)を式で表しただけです。（　ax+by < 1 の(x,y)に(1,1)を代入）

黄マーカーの左の不等式は、ひとつ上の不等式の両辺に(a+b)^2 (>0) を掛けたものです。
右の式(a+b)(a+b-1)>0　は、移項して整理した不等式です。
No.54300 - 2018/10/07(Sun) 21:10:25
★ 計算 / みずき
(-2a^4+2a^2)/(a^2+1)^2を
A=1/a^2+1を使って表せ

まったくわかりません、、分子をどうしたらいいんでしょうか？-2(a^4-a^2)、、？Aにもっていけませんでした、、、

答え　-2(2A^2-3A+1)
No.54291 - 2018/10/07(Sun) 19:53:42
☆ Re: 計算 / らすかる
1/a^2+1 は (1/a^2) + (1) という意味ですが、多分違いますよね？
A=1/(a^2+1) ならば
1/A=a^2+1
(1/A)^2=a^4+2a^2+1
(1/A)^2-3(1/A)=(a^4+2a^2+1)-3(a^2+1)=a^4-a^2-2
よってa^4-a^2=(1/A)^2-3(1/A)+2なので
(-2a^4+2a^2)/(a^2+1)^2
=-2(a^4-a^2)・{1/(a^2+1)}^2
=-2{(1/A)^2-3(1/A)+2}・A^2
=-2(1-3A+2A^2)
=-2(2A^2-3A+1)
No.54292 - 2018/10/07(Sun) 20:06:16
★ 線分の通過領域 / 桜井和寿
この問題の答えは「16/3」で正しいでしょうか？
No.54289 - 2018/10/07(Sun) 18:53:35
☆ Re: 線分の通過領域 / らすかる
正しくないと思います。
No.54294 - 2018/10/07(Sun) 20:33:28
☆ Re: 線分の通過領域 / 関数電卓
ぼくの計算では、(79/18)√3 となりましたが、自信はありません。
No.54302 - 2018/10/07(Sun) 22:09:53
☆ Re: 線分の通過領域 / らすかる
私の計算では(26/9)√3になりました。
No.54303 - 2018/10/07(Sun) 22:52:18
☆ Re: 線分の通過領域 / 桜井和寿
2通りの方法で計算をやり直してみたところ，結果は「(26/9)√3」で一致しました。
これで正しいのでしょうか…。
No.54304 - 2018/10/07(Sun) 23:32:48
☆ Re: 線分の通過領域 / らすかる
正しいと思います。
-3≦x≦0でy=(√3)(x^2+9)/6とy=-(√3)xに挟まれた領域
0≦x≦1でy=(√3)(x^2+9)/6とy=(√3)xに挟まれた領域
1≦x≦2でy=(√3)(x+4)/3とy=(√3)xに挟まれた三角形の領域
の合計ですよね。

# 関数電卓さんが再計算してくれて一致すれば間違いないですね。
No.54305 - 2018/10/07(Sun) 23:37:39
☆ Re: 線分の通過領域 / 関数電卓
はい。(26/9)√3 になりました。失礼しました。
No.54307 - 2018/10/07(Sun) 23:50:33
☆ Re: 線分の通過領域 / 桜井和寿
>らすかる様，関数電卓様
お二方とも親身にご対応くださり，誠にありがとうございました。
今後ともよろしくお願いいたします。
No.54308 - 2018/10/08(Mon) 00:19:29
★ (No Subject) / 東大諦めた浪人生
T4からお願いします。
No.54279 - 2018/10/07(Sun) 15:34:18
☆ Re: / X
条件から
X^(n-1)=51.2/100 (A)
X^n=41.0/100 (B)
(A)(B)をX,nについての連立方程式として解きます。
(B)÷(A)より
X=41.0/51.2≒0.80≡80[%]
これを(B)に代入して
0.80^n=0.410 (B)'
ここで(B)'の左辺がnに関し単調減少
の関数であることと
0.80^3=0.504
0.8^4=0.4096≒0.410
となることから
n=4

ということで
(1)80[%]
(2)n=4
となります。
No.54293 - 2018/10/07(Sun) 20:29:49
★ (No Subject) / ベース
条件付き確率の問題で疑問を抱いたのですが
Pa(b)が9／10のときPa￣bはそのまま余事象を使って1-9／10 で1／10としてもいいのでしょうか。
わからないので教えていただけると嬉しいです
No.54277 - 2018/10/07(Sun) 15:31:50
☆ Re: / GandB
> Pa(b)が9／10のときPa￣bはそのまま余事象を使って1-9／10 で1／10としてもいいのでしょうか。

　ちょっと訂正した。

　余事象の表記が a、bどっちにかかっているのか、よくわからん。それに条件付き確率で Pa(b) という表記は P(b|a) だと思うが。しかし、そうだと Pa￣b はますますよくわからん（笑）。

　質問の内容が、余事象を ~ で表すとき

　　P(A|B) = 9/10 ⇒ P(A|B~) = 1-9/10

なのかという意味なら、全然違うが

　　P(A|B) = 9/10 ⇒ P(A~|B) = 1-9/10

ならOK。
No.54282 - 2018/10/07(Sun) 16:04:39
☆ Re: / ベース

なぜ違うのか教えていただきたいです！
No.54285 - 2018/10/07(Sun) 16:48:05
☆ Re: / らすかる
その前に、
「Pa￣b」の意味が正しく通じていない可能性がありますので
正しい意味を書いた方が良いと思います。
No.54286 - 2018/10/07(Sun) 16:49:08
☆ Re: / ベース

わたしの表記が悪かったです。
ちょっと記号があまりわからないので具体例で説明すると例えば
Aである場合に検査で陽性とされる確率が9／10だったらAである場合に検査で陰性とされる確率は1/10になりますか？
No.54287 - 2018/10/07(Sun) 17:47:17
☆ Re: / らすかる
はい、なります。
No.54288 - 2018/10/07(Sun) 17:53:12
★ (No Subject) / 数学man
2枚目です。
No.54275 - 2018/10/07(Sun) 15:18:52
☆ Re: / 数学man
（補足）任意のεといっても、もちろんごくごく小さい値を考えていることはわかっています。しかし、注意2.2 に書いてある根拠がイマイチわかりません。
No.54276 - 2018/10/07(Sun) 15:20:18
☆ Re: / らすかる
バラバラに書くとわかりません。
2枚目の写真は元の記事の「返信」から書き込みましょう。
あらためて元の記事に追記すれば、
ここはもし自分で消せなくても
管理人さんが消してくれると思います。
No.54283 - 2018/10/07(Sun) 16:07:00
★ (No Subject) / 数学man
こんにちは。

大学一年生です。初めてですが、ご質問させていただきます。

lim an→α、lim bn →β からlim an bn→α β を求める証明問題（例2.4）なのですが、写真のやり方で解いた時に、o<ε<1として良い理由がわかりません。

2枚目の写真に教科書に載っている根拠を挙げておきましたが理解できません。どなたかご解説願います。
何卒よろしくお願いいたします。
No.54274 - 2018/10/07(Sun) 15:18:01
☆ Re: / ast
単に場合分けをして, あまりに自明すぎる場合については説明すればかえってくどく読みにくくなるから, それは大した論点ではないものとして記述を省略（して「〜の場合であると仮定してよい」と表現）しているだけです. (二枚目の説明の論旨もそういうことですし, ちゃんと説明として分かりやすく書かれていると思うので, 納得できるできないはともかく, それ以上の説明や解説を求めてもあまり益のないことではないかと思います).
# 今後もそれなりに数学の教科書や文献を読んでいれば「（○○でない場合は自明だから）○○の場合だけ示せば十分」とか「（××でないものも××の場合に帰着するのは簡単だから）××の場合を仮定しても一般性を失わない」とかいう表現にたくさん出くわすはずです.

私個人としては, 「納得できないなら, 無理に納得することはない, でも自分で十全と思える解答を工夫しないといけない」と考えます (それを考えて作成しようとするうちに, これらの説明の意味とか意義を天啓のように見出すことがあるだろうと思います).).
No.54290 - 2018/10/07(Sun) 19:45:03
★ (No Subject) / あ
数列
2, 2＋4, 2＋4＋6.........のk項目を求めなさいという問題で、
その一般項みたいなものの導き方を教えて欲しいです。
ちなみに答えはk(k＋1)です。
No.54273 - 2018/10/07(Sun) 15:15:20
☆ Re: / らすかる
2+4+6+…+2k
=(1+2+3+…+k)+(1+2+3+…+k)
=(1+2+3+…+k)+{k+(k-1)+(k-2)+…+1}　（右項を逆順にしただけ）
=(1+k)+{2+(k-1)}+{3+(k-2)}+…+(k+1)　（左項の1つ目+右項の1つ目、左項の2つ目+右項の2つ目のように足す）
=(k+1)+(k+1)+(k+1)+…+(k+1)　（k+1がk個）
=k(k+1)
となります。
No.54280 - 2018/10/07(Sun) 15:38:03
★ 数１ / りゅう
お世話になります。
（１）と（２）ともに教えていただけますでしょうか？
よろしくお願いします。
No.54272 - 2018/10/07(Sun) 15:01:44
☆ Re: 数１ / らすかる
(1)
|b-c|＜a＜b+c
⇔|b-c|＜a かつ b+c＞a
⇔-a＜b-c＜a かつ b+c＞a
⇔-a＜b-c かつ b-c＜a かつ b+c＞a
⇔a+b＞c かつ c+a＞b かつ b+c＞a

(2)
この中のどの2つを足しても他の数より大きくなるので、
どの3つを選んでも三角形になる。
よって9個の数字から重複を許して3個選べばよいので、
9H3=165種類。
No.54284 - 2018/10/07(Sun) 16:40:34
☆ Re: 数１ / りゅう
いつも分かりやすく教えていただき、ありがとうございます。
おかげで理解することができました！
No.54309 - 2018/10/08(Mon) 00:40:25
★ 数列の極限 / HC
数列{an}をa1=1,a(n+1)=n+(2/n)Σ[k=1→n]akによって定める。lim[n→∞]an/nlognを求めよ。
区分求積だと思ったのですがうまく処理できません。
No.54268 - 2018/10/07(Sun) 09:38:02
☆ Re: 数列の極限 / IT
できたところまで書き込まれると　有効な回答が得られ易いと思いますよ。
No.54269 - 2018/10/07(Sun) 09:59:40
☆ Re: 数列の極限 / HC
漸化式から一般項を推定する方法は無理そうだったのでanの式を直接極限の部分に代入して
lim[n→∞](n-1)/nlogn+lim[n→∞]{2/n(n-1)logn}Σ[k=1→n-1]akの形になったのですがlim[n→∞]{2/n(n-1)logn}Σ[k=1→n-1]akが求められません。
No.54270 - 2018/10/07(Sun) 10:07:23
☆ Re: 数列の極限 / らすかる
a[n+1]=n+(2/n)Σ[k=1→n]a[k]から
Σ[k=1→n]a[k]=(na[n+1]-n^2)/2なので
a[n]={Σ[k=1→n]a[k]}-{Σ[k=1→n-1]a[k]}
=(na[n+1]-n^2)/2-((n-1)a[n]-(n-1)^2)/2
整理して
na[n+1]=(n+1)a[n]+2n-1
a[n+1]/(n+1)=a[n]/n+(2n-1)/{n(n+1)}
b[n]=a[n]/nとおくと
b[n+1]=b[n]+(2n-1)/{n(n+1)}, b[1]=1
n≧2のとき
b[n]=1+Σ[k=1〜n-1](2k-1)/{k(k+1)}
b[n]=1+Σ[k=1〜n-1]{3/(k+1)-1/k}
b[n]=1/n+2Σ[k=2〜n]1/k
∴a[n]=1+2nΣ[k=2〜n]1/k

log(n+1)-log2=∫[2〜n+1]dx/x＜Σ[k=2〜n]1/k＜∫[1〜n]dx/x=lognなので
1+2nlog(n+1)-2nlog2＜a[n]＜1+2nlogn
lim[n→∞]{1/(nlogn)+2log(n+1)/logn-2log2/logn}≦lim[n→∞]a[n]/(nlogn)≦lim[n→∞]{1/(nlogn)+2}
2≦lim[n→∞]a[n]/(nlogn)≦2
よってlim[n→∞]a[n]/(nlogn)=2
No.54281 - 2018/10/07(Sun) 15:47:27
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