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★ (No Subject) / 黄桃
ITさん：
それだと xyも整数と最初から仮定していませんか？


x,y を求めようとすると大変なので、なんとか具体的に求めないですまそうと考えます。
すると、x,yを2根とする2次方程式、つまり、x+y, xyを上手く使おうという発想になると思います。

(1)
[方針]
問題の書き方からして、x,yを具体的に求める方針は難しそうです。
x^n+y^n は対称式だから、x+y, xyが決まれば決まります。
今x+yに関する問で、x^2+y^2が既知なのでなんとかxyを消去しようと考えます。

[解]
2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)=(x+y)^2-a[2]=(x+y)^2+4, すなわち、
2xy=(x+y)^2+4 ...(*)
である。特に 2xyは整数である。

一方、x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) であり、両辺に2を掛けると(ITさんのx^3+y^3=(x^2+y^2)(x+y)-xy(x+y)の方が簡単ですね）、
2(x^3+y^3)=(x+y)(2(x^2+y^2)-2xy)
となる。右辺に(*)および、a[2]=-4を代入すると、
2(x^3+y^3)=(x+y)(-8-((x+y)^2+4))=-(x+y)^3-12(x+y)
となる。左辺は 2*(3k+1), つまり、6k+2 の形だから、両辺をmod 6で考えれば
2≡-(x+y)^3 mod 6
つまり、
a[1]^3≡4 mod 6
である。mod 6 において、0^3=0, 1^3=1, 2^3=8≡2, 3^3=27≡3, 4^3≡(-2)^3≡-2≡4, 5^3≡(-1)^3=-1 なので、a[1]≡4 mod 6 である。

(2)
[方針]
前半：x,yが満たす2次方程式を上手に利用することを考える
後半：答が分かっているので数学的帰納法を使うことを考える。

[解]
a[1]=-2 より、x+y=-2。また(*)より、2xy=8, xy=4 である。
したがって、x,y は tに関する2次方程式
t^2+2t+4=0
の２つの根である。特に、
x^2+2x+4=0
y^2+2y+4=0 ...(**)
を満たす。

(**)の両辺にそれぞれ x^n, y^n を掛けると、
x^(n+2)+2x^(n+1)+4x^n=0
y^(n+2)+2y^(n+1)+4y^n=0
だから、辺々加えると
a[n+2]+2a[n+1]+4a[n]=0 ...(***)
を得る。これが求める関係式である。

(***)より、
a[n+3]=-2a[n+2]-4a[n+1]
=-2(-2a[n+1]-4a[n])-4a[n+1]
=8a[n]
=2^3*a[n]
となる。

後は、n=1,2,3 について確認し、数学的帰納法で一般のnについて示すのは容易なので略します。
No.53035 - 2018/08/17(Fri) 13:27:36
☆ Re: / IT
> ITさん：
> それだと xyも整数と最初から仮定していませんか？
xyが整数は仮定してないですし　もちろん使ってないつもりです。元の説明を少し詳しくしました。

a[3]=-a[1]((a[1]^2)/2 + 6) で
a[1],a[3]は整数なのでa[1]は偶数・・・
No.53038 - 2018/08/17(Fri) 20:41:08
★ 数列と漸化式 / HC
定数x，yに対して，an=x^n+y^nで定義される数列{an}(n=1,2,…)がある．a1,a2,a3は整数で
(i)a2=-4 (ii)a3は3で割って1余る をみたすとき，次の各問いに答えよ．
(1)a1は6で割って4余る整数であることを示せ．
(2)a1=-2のとき，a(n+2),a(n+1),anのみたす関係式を求めよ．また，このとき
an=2^(n+1)(nが3の倍数のとき)またはan=-2^n(nが3の倍数でないとき)と表されることを示せ．

(1)はa3=3k+1と置いたりmodを使ったりしたのですがx,yの関係式が導かれず解けません．
(2)の3項間漸化式を求める部分は解けたのですがそれを解くと虚数単位iを含む一般項が求まってしまい，問題にある形と合いません．
No.53030 - 2018/08/17(Fri) 10:38:31
☆ Re: 数列と漸化式 / IT
(1) a[3]=x^3+y^3=(x^2+y^2)(x+y)-xy(x+y)
=-4a[1]-((a[1]^2)/2 + 2)a[1]
=-a[1]((a[1]^2)/2 + 6)≡1 (mod3) …?@

a[1],a[3]は整数なのでa[1] は偶数であることが分かり、a[1]≡0,2,4 (mod6) である。
a[1]≡0(mod6)のとき?@の左辺≡0(mod6)
a[1]≡2(mod6)のとき?@の左辺≡2(mod6)
a[1]≡4(mod6)のとき?@の左辺≡4(mod6)

➀よりa[1]≡4(mod6)
No.53033 - 2018/08/17(Fri) 12:53:27
☆ Re: 数列と漸化式 / X
(2)
前半の結果より
a[n+2]+2a[n+1]+4a[n]=0
∴a[n]=(-1+i√3)^n+(-1-i√3)^n
∴kを整数として
(i)n=3kのとき
a[n]=(-1+i√3)^(3k)+(-1-i√3)^(3k)
={(-1+i√3)^3}^k+{(-1-i√3)^3}^k
=8^k+8^k=2・2^(3k)
=2^(n+1)
注)
-1+i√3,-1-i√3はtの二次方程式
t^2+2t+4=0
の解ですが、この方程式の両辺にt-2をかけると
t^3-2^3=0
∴t^3=8

後は(i)と同じように
(ii)n=3k+1のとき
(iii)n=3k+2のとき
のa[n]を計算していきます。
例えば(ii)の場合だと
a[n]=(-1+i√3)^(3k+1)+(-1-i√3)^(3k+1)
=(-1+i√3)(-1+i√3)^(3k)+(-1-i√3)(-1-i√3)^(3k)
=…
と計算していきます。
No.53034 - 2018/08/17(Fri) 13:17:06
☆ Re: 数列と漸化式 / IT
(2) 別解 a[1]=x+y=-2,a[2]=x^2+y^2=-4
(x+y)^2-(x^2+y^2)=2xy=8 ∴xy=4

x^(n+2)+y^(n+2)=(x+y)(x^(n+1)+y^(n+1))-xy(x^n+y^n)
=-2(x^(n+1)+y^(n+1))-4(x^n+y^n)
∴a[n+2]=-2a[n+1]-4a[n]

[任意の自然数ｎについて,　a[n]=2^(n+1)(nが3の倍数のとき),a[n]=-2^n(nが3の倍数でないとき]を（数学的帰納法）により示す。

a[1]=-2^1,a[2]=-2^2,a[3]=-2a[2]-4a[1]=16=2^(3+1)なのでn=1,2,3のとき成立。

0以上の整数kについて,　a[3k+1]=-2^(3k+1)、a[3k+2]=-2^(3k+2)、 a[3k+3]=2^(3k+4) を仮定すると

　a[3k+4]=-2a[3k+3]-4a[3k+2]
　=-2^(3k+5)+2^(3k+4) 　←帰納法の仮定より
　=-2^(3k+4)

　a[3k+5]=-2a[3k+4]-4a[3k+3]
　=2^(3k+5)-2^(3k+6) 　←帰納法の仮定より
　=-2^(3k+5)

　a[3k+6]=-2a[3k+5]-4a[3k+4]
　=2^(3k+6)+2^(3k+6)
　=2^(3k+7)

よって,[任意の自然数ｎについて,　a[n]=2^(n+1)(nが3の倍数のとき),a[n]=-2^n(nが3の倍数でないとき)]が成立。
-------------------------------------------------------
帰納法は　黄桃さん(53035)のa[n+3]=2^3*a[n]を使ったほうが簡明ですね。
No.53041 - 2018/08/18(Sat) 00:35:57
★ 高校数学・積分(面積) / HC
xy平面上に0≦y≦sinx(0≦x≦π)で表される図形Dがある．いま，図形Dを直線y=k(0≦k≦1)に関して折り返し，折り返した部分と元の図形Dが重なった部分の面積をSとおくとき，Sが最大となるようなkの値を求めよ．
kと1/2の大小で場合分けをしたのですが，0≦k≦1/2の場合の折り返したグラフとx軸との交点のx座標を文字で置いたところ面積が求められませんでした．
宜しくお願いします．
No.53029 - 2018/08/17(Fri) 09:48:59
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / X
0≦k≦1/2のときの、折り返した部分のうち
y軸の下側にはみ出る部分の山形の高さは
(1-k)-k=1-2k (A)
又、この部分の面積をU、折り返した部分の
面積をTとすると
S=T-U

ご質問の内容を見る限り、
1/2＜k≦1 (B)
のときのSの計算はできているようですので
これと同じ方針で上記のT,Uの計算を
してみましょう。

Tは(B)のときのSの計算結果そのまんまです。

又、(A)により、UはDを直線
y=1-(1-2k)
つまり
y=2k
で折り返した場合の折り返された部分の
面積になります。
ですので(B)のときのSにおいて、
kの代わりに2kを代入したものになります。
No.53032 - 2018/08/17(Fri) 12:51:17
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / 関数電卓
まず図を。
No.53086 - 2018/08/19(Sun) 10:34:49
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / 関数電卓
(i) 0≦k≦1/2 のとき
図のようにα,βを sin(α)＝k、sin(β)＝2k で定めると、α,βは k の関数で
　(1/2)S(k)＝∫[α,β](sin(x)−k)dx＋k(π/2−β)
　　＝…＝cos(α)−cos(β)＋k(α−2β＋π/2)

　(d/dk)(1/2)S(k)＝−sin(α)(dα/dk)＋sin(β)(dβ/dk)＋(α−2β＋π/2)＋k(dα/dk−2dβ/dk)
　　＝α−2β＋π/2

　dS(k)/dk＝0 となる k に対し α−2β＋π/2＝0　∴ α＋π/2＝2β
　sin(α＋π/2)＝sin(2β)　∴ cos(α)＝2sin(β)cos(β)　∴ √(1−k^2)＝2･2k･√(1−4k^2)
両辺を平方して整理すると
　64(k^2)^2−17k^2＋1＝0　∴ k^2＝(17＋√33)/128　k＝√((17＋√33)/128)　(＝0.421…)

↑増減、無縁根の評価をしていないので、答案としては不完全ですが、取り敢えず。
No.53087 - 2018/08/19(Sun) 11:15:03
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / らすかる
√((17+√33)/128) = (1+√33)/16 ですね。
No.53089 - 2018/08/19(Sun) 11:31:36
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / 関数電卓
有り難うございます。速いですね！〜
No.53092 - 2018/08/19(Sun) 11:39:02
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / 関数電卓
No.53087 を補います。

k^2 の２次方程式 64(k^2)^2−17k^2＋1＝0 のもうひとつの解 k^2＝(17−√33)/128 は、
　α＋π/2＝2β から sin(α＋π/2)＝sin(2β)
とした際に紛れ込んだ α＋π/2＝π−2β → sin(α＋π/2)＝sin(2β)
からもたらされたものだから不適。

また、
　(d^2/(dk)^2)(1/2)S(k)＝dα/dk−2dβ/dk＝1/√(1−k^2)−2/√(1−4k^2)＜0
より、α−2β＋π/2 は極大値を与える。

(ii) 1/2≦k≦1 のとき
　(1/2)S(k)＝∫[α,π/2](sin(x)−k)dx=+cos(α)＋k(α−π/2)
　(d/dk)(1/2)S(k)＝−sin(α)(dα/dk)＋α−π/2＋k(dα/dk)＝α−π/2＜0
よって、S(k) は単調減少。

以上を総合し、S(k) の最大値を与える k は k＝(1＋√33)/16
No.53095 - 2018/08/19(Sun) 14:57:04
☆ Re: 高校数学・積分(面積) / 関数電卓
ご参考まで
No.53109 - 2018/08/19(Sun) 20:33:19
★ 三平方の定理と立体 / 中学数学苦手
（２）８√６　㎠　（３）６４㎤　が答えです。特に図形が苦手でよく解りません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.53027 - 2018/08/17(Fri) 07:23:40
☆ Re: 三平方の定理と立体 / ヨッシー
(2)
△ＡＰＱにおいて、
　ＰＱ＝4√2
　ＡＰ＝ＡＱ＝√(4^2＋2^2)＝2√5
なので、

図のように、ＰＱの中点をＭとすると、
　ＡＭ＝√(20−8)＝2√3
よって、
　△ＡＰＱ＝4√2×2√3÷2＝4√6
求める断面の面積はこの２倍で　8√6 cm^2

(3)
ＡＥ上でＡから２ｃｍの点をＳ、
ＣＧ上でＣから２ｃｍの点をＵ、４ｃｍの点をＴとすると、
四面体Ａ−ＰＱＳと四面体Ｒ−ＰＱＴは合同であり、
四面体Ａ−ＰＱＳを切り取って、四面体Ｒ−ＰＱＴに収めると
ＥＦＧＨを底面、高さ４ｃｍの直方体が出来ます。

よって、求める体積は
　4×4×4＝64(cm^2)
No.53028 - 2018/08/17(Fri) 08:16:48
☆ Re: 三平方の定理と立体 / 中学数学苦手
すみません。(3)がよくわかりません。図にＲ−ＰＱＴどこの位置なのか解りません。図にアルファベットをつけてくれると助かります。
No.53037 - 2018/08/17(Fri) 18:20:45
☆ Re: 三平方の定理と立体 / ヨッシー
記号の振り方が誤ってました。
ＡＥ上でＡから２ｃｍの点をＳ、
ＣＧ上でＣから２ｃｍの点をＴ、４ｃｍの点をＲとする
です。
No.53040 - 2018/08/17(Fri) 22:56:51
☆ Re: 三平方の定理と立体 / 中学数学苦手
何とか解りました。解説ありがとうございます。
No.53050 - 2018/08/18(Sat) 11:00:59
★ 確率　サイコロ / クト
3つのサイコロを同時に投げた
そのときの三つのサイコロの目の積が40以下になる確率を求めよ。
最初の40を因数分解して2*4*5にしてサイコロの目が2,4,5以下になるパターンを調べてみたんですが答えがでませんでした...解説お願いします...
No.53022 - 2018/08/16(Thu) 14:34:13
☆ Re: 確率　サイコロ / IT
地道に場合分けするのが結局確実で早いかと思います。

３つのサイコロを区別しその目をa,b,cとして考えてもいいです。
a=1,2,3,...6 に場合分けして考えるのが分かり易いのでは。
因数分解より不等式を使うですね。

b,cについては６×６の表で確認するのが確実です。
No.53023 - 2018/08/16(Thu) 14:42:56
★ 因数分解について。その２ / ｊｔ７７８７７
因数分解について。その２

まことにすみません。前回の因数分解の問題とちょっと
似たような問題ですが書きます。というか投稿します。
よろしくお願いします。

問題

A^5+B^5+C^5+D^5+E^5-5ABCDE＝0はずばり
因数分解は可能か？それとも不可能か？
という問題です。大至急よろしくお願いします。

※前回と似たような問題ですみません。
よろしくお願いします。
No.53017 - 2018/08/16(Thu) 09:29:58
☆ Re: 因数分解について。その２ / らすかる
B=C=1,D=E=0とするとA^5+2となり
これはアイゼンシュタインの既約判定法により既約。
よって元の式は既約である5次の因数を持つため、因数分解できない。

# 「A^5+B^5+C^5+D^5+E^5-5ABCDE＝0は因数分解可能か」
# というのはちょっと違和感を感じます。
# 「A^5+B^5+C^5+D^5+E^5-5ABCDEは因数分解可能か」
# なら問題ないですが。
No.53019 - 2018/08/16(Thu) 11:13:12
☆ Re: 因数分解について。その２ / ｊｔ７７８７７
> らすかる様へ

因数分解について。その２についてですが
らすかるさまの指摘通り質問を一部変更します。

問題

>
> A^5+B^5+C^5+D^5+E^5-5ABCDEはずばり
> 因数分解は可能か？それとも不可能か？
> という問題です。よろしくお願いします。
>
> ※前回と似たような問題ですみません。
> これであらためてよろしくお願いします。
No.53031 - 2018/08/17(Fri) 12:48:19
☆ Re: 因数分解について。その２ / らすかる
あらためて、といっても回答は上に書いた通りです。
No.53042 - 2018/08/18(Sat) 01:35:54
★ 三平方の定理と立体 / 中学数学苦手
512/3　が答えです。どの様にして解いていいいのか解りません。できれば図解と詳しい解説お願いします。
No.53016 - 2018/08/16(Thu) 07:46:47
☆ Re: 三平方の定理と立体 / X
条件から正四角錐の底面は一辺の長さが
8cmの正方形になっていますので
その面積は
8[cm]×8[cm]=64[cm^2]
後は高さを求めることを考えていきます。

今、問題の球を△ACEを含む平面で切った
断面を考え、この断面の円の中心をOと
します。
すると正四角錐の対称性から、Oは
球の中心と一致していますので
この円の半径は6cm。
円Oは△ACEの外接円ですので
OA=OE=OC=6[cm] (A)
一方、△BCEにおいて三平方の定理により
CE=8√2[cm] (B)
となるので辺CEの中点をFとすると
CF=4√2[cm] (C)
(A)により△OCEは二等辺三角形ですので
OF⊥CE
よって△OCFは直角三角形ですので
三平方の定理により
OF=√(OC^2-CF^2)=2[cm]

条件から△ACEはAC=AEの二等辺三角形
ですので、対称性により点O,A,Fは
同一直線上にあり、
AF⊥CE
つまりAFが問題の正四角錐の高さになり
AF=OA+OF=8[cm]

よって求める体積は
(1/3)×64[cm^2]×8[cm]=512/3[cm^3]
となります。
No.53018 - 2018/08/16(Thu) 09:40:56
☆ Re: 三平方の定理と立体 / 中学数学苦手
何となく解りました。解説ありがとうございます。
No.53020 - 2018/08/16(Thu) 12:50:41
☆ Re: 三平方の定理と立体 / らすかる
答えは512/3だけではないですね。
球の中心が正四角錐の外側にある可能性があり、
その場合の体積は256/3となります。
従って、正解は「512/3[cm^3]または256/3[cm^3]」であり、
512/3[cm^3]だけ答えるのは間違いだと思います。
No.53024 - 2018/08/16(Thu) 15:33:45
☆ Re: 三平方の定理と立体 / X
＞＞らすかるさんへ
問題に与えられている略図と
解答が球の中心が正四角錐の内側
にある場合しか与えられていない
ことを見る限り、この問題の作成者は
球の中心が正四角錐の内側にある
ことを前提にして問題を作成して
いると思われます、

(球の中心が正四角錐の内側にあるという
説明が問題文にない点で問題としては
不十分でしょうが。)
No.53025 - 2018/08/16(Thu) 18:51:23
☆ Re: 三平方の定理と立体 / らすかる
略図で球の中心Oが記載されていて
底面BCDEより上にあることが読み取れれば
512/3だけで納得できますが、
この問題と図だけではそのような条件はありませんので
「512/3だけ」を正解とするなら問題不備ですね。
入試に出たりしたら問題になるレベルだと思います。
No.53026 - 2018/08/16(Thu) 20:40:24
★ 代数学 / 坂下

HがＺの部分群なら整数ｄ≧０があり、Ｈ＝ｄＺである。
という命題の証明についてですが、
?@まず、Ｚ（群）に定義されている演算は＋であると常識的に考えるのでしょうか？

?Aまた、最後の行のｎ∈Ｈは任意だからＨ＝ｄＺとあるのですが、
Ｈ⊂ｄＺは言えてもｄＺ⊂Ｈを言わないとＨ＝ｄＺを示したことにはならないと思います。
どういうことなのでしょうか？
No.53015 - 2018/08/16(Thu) 02:37:22
☆ Re: 代数学 / IT
> ?@まず、Ｚ（群）に定義されている演算は＋であると常識的に考えるのでしょうか？
そのテキストの文脈によりますが、そのＺは、整数全体からなる群のようですから　演算は＋と考えてよいのでは？他にどんな演算が考えられますか？×はダメですよね。

>
> ?Aまた、最後の行のｎ∈Ｈは任意だからＨ＝ｄＺとあるのですが、
> Ｈ⊂ｄＺは言えてもｄＺ⊂Ｈを言わないとＨ＝ｄＺを示したことにはならないと思います。

おっしゃるとおりだと思います。証明は容易なので略してあるのでは？　
d∈Ｈ でＨは部分群なので,任意の整数mについてmd=dm∈Ｈ
よってｄＺ⊂Ｈ
No.53021 - 2018/08/16(Thu) 14:16:22
☆ Re: 代数学 / 坂下
ありがとうございます。
助かりました。
No.53039 - 2018/08/17(Fri) 22:51:29
★ 文章題 / 隼星
式って、移動する距離をx(0<x≦5)とすると
42≦x/5+(5-x)/10≦48
で合っていますか？
No.53009 - 2018/08/15(Wed) 22:09:04
☆ Re: 文章題 / X
間違えています。
中辺の時間の単位は「時間」ですので
左辺、右辺も「分」ではなく「時間」
になるように単位変換しないと
いけません。
従って、不等式は
42/60≦x/5+(5-x)/10≦48/60
となります。
No.53011 - 2018/08/15(Wed) 22:19:01
☆ Re: 文章題 / らすかる
細かいことですが、
「途中から」毎時10kmの速さで走るのですから、x=5はあり得ません。
従って0＜x≦5でなく0＜x＜5です。
No.53013 - 2018/08/15(Wed) 23:13:39
★ 不等式 / J
場合分けをして解こうとしているんですけど、x<2のときにどうすればいいか分かりません
No.53007 - 2018/08/15(Wed) 21:32:07
☆ Re: 不等式 / X
問題の不等式から
|x-2|＞4 (A)
ここでx＜2のとき
x-2＜0
∴(A)は
-(x-2)＞4
となります。
No.53008 - 2018/08/15(Wed) 21:35:31
★ 確率 / クト
1から50までの数を描いた50枚のカードをよく切って起き、1枚引いて出た数をa、次にまた残りから1枚引いて出てきた数をbとする.
ab(a+b)が7で割り切れない確率を求めよ。
これが歯が立ちません....
No.53000 - 2018/08/15(Wed) 18:58:11
☆ Re: 確率 / IT
ab(a+b)が7で割り切れる場合を考えればいいと思います

ab が7で割り切れる場合
ab が7で割り切れずa+bが7で割り切れる場合

に分ける。　
No.53003 - 2018/08/15(Wed) 19:21:59
☆ Re: 確率 / IT
全部の取り出し方は50×49とおり
7の倍数は7個、それ以外は43個

ab が7で割り切れる場合を調べる
abが７で割り切れないのは　43×42とおり
ab が7で割り切れるのは,(50×49)-(43×42)

ab が7で割り切れずa+bが7で割り切れる場合を調べる
　7で割った余りが1なのは８個、他は7個なので
パターン(1,6)(6,1)は 8×7×2 とおり
パターン(2,5)(5,2)は 7×7×2 とおり
パターン(3,4)(4,3)は 7×7×2 とおり
No.53005 - 2018/08/15(Wed) 21:19:45
☆ Re: 確率 / クト
すごくコンパクトで分かりやすかったです！ありがとうございました！
No.53006 - 2018/08/15(Wed) 21:25:37
☆ Re: 確率 / IT
abが７で割り切れない場合-(abが７で割り切れず,a+bが7で割り切れる場合) の方が少し早いですね。


a≡1,2,3,4,5,6 (mod7) に場合分けして、直接ab(a+b)が7で割り切れない場合を数えてもいいですね。
No.53014 - 2018/08/15(Wed) 23:39:04
★ 微分 / くるみ
F(x)=ax^5+bx^4+cx+4
F(x)を(x-1)^2で割った余りが
f'(1)(x-1)+f(1)で表されることは１番で証明しました。２番の問題で

Lim　f(x)/(x-1)^2＝4
X→1

が成り立つ a b c の値の求め方がわかりせん。
F(1)とf'(1)が0であるという2式しか出すことができませんでした。
No.52993 - 2018/08/15(Wed) 17:59:59
☆ Re: 微分 / らすかる
f(x)を(x-1)^2で割った答えが4にならなければいけませんので
{f(x)-{f'(1)(x-1)+f(1)}}/(x-1)^2
=(ax^5+bx^4+cx+4-(5a+4b+c)(x-1)-(a+b+c+4)}/(x-1)^2
=ax^3+(2a+b)x^2+(3a+2b)x+(4a+3b)
にx=1を代入して整理し、5a+3b=2という条件式が得られますね。
No.52996 - 2018/08/15(Wed) 18:23:36
☆ Re: 微分 / くるみ
これは、(x-1)^2で割ったら、余りが０になるわけだから、f(x)から一番で求めた余りを引いて(x-1)^2で割っても４になりますよね。っていう式ですか？
No.52998 - 2018/08/15(Wed) 18:54:41
☆ Re: 微分 / らすかる
はい、そうです。
正確には、割った結果にx=1を代入したら4、ですが。
No.53002 - 2018/08/15(Wed) 19:20:58
★ 数と式・整数について / 鈴木さん
以下の問題［12］の回答についてですが、どうしても考え方がわかりません……
回答方法を教えて欲しいです。
よろしくお願いします。
No.52991 - 2018/08/15(Wed) 17:25:37
☆ Re: 数と式・整数について / らすかる
x＜y＜zから1/x＞1/y＞1/zなので
1/2=1/x+1/y+1/z＜1/x+1/x+1/x=3/x
∴x＜6
また1/x＜1/2なのでx＞2
従ってx=3,4,5

x=5のとき
1/5+1/y+1/z=1/2
1/y+1/z=1/2-1/5=3/10
両辺に10yzを掛けて
10z+10y=3yz
3yz-10y-10z=0
9yz-30y-30z=0
(3y-10)(3z-10)=100
y＜zから3y-10＜3z-10なので
(3y-10,3z-10)=(1,100),(2,50),(4,25),(5,20)
いずれもx＜yを満たさないので不適

x=4のとき
1/4+1/y+1/z=1/2
1/y+1/z=1/2-1/4=1/4
両辺に4yzを掛けて
4z+4y=yz
yz-4y-4z=0
(y-4)(z-4)=16
y＜zからy-4＜z-4なので
(y-4,z-4)=(1,16),(2,8)
y-4=1,z-4=16のときy=5,z=20
y-4=2,z-4=8のときy=6,z=12
従って条件を満たす組は
(x,y,z)=(4,5,20),(4,6,12)
No.52994 - 2018/08/15(Wed) 18:05:09
☆ Re: 数と式・整数について / IT
x=5が不適であることの別証
x=5 のとき
　y=6,z=7のとき 1/y+1/z=1/6+1/7=13/42≠ 3/10
　z≧8のとき 　1/y+1/z≦1/6+1/8＜3/10
　よって不適
No.52995 - 2018/08/15(Wed) 18:23:12
☆ Re: 数と式・整数について / 鈴木さん
回答への導き方が分からず、四苦八苦していました。

おかげてスッキリしました！

本当にありがとうございました。
No.52997 - 2018/08/15(Wed) 18:36:45
☆ Re: 数と式・整数について / IT
（別解）　x=4のときのy,zの求め方
x=4のとき
1/y+1/z=1/4=1/8+1/8
x＜y＜z なので　4＜y＜8 よってy=5,6,7
y=5のとき　1/z=1/4-1/5=1/20 ∴z=20
y=6のとき　1/z=1/4-1/6=1/12 ∴z=12
y=7のとき　1/z=1/4-1/7=3/28 不適
No.52999 - 2018/08/15(Wed) 18:57:27
★ 線分比と面積比の関係について / たいむ
図の赤で囲まれた部分の、特に黄色の部分がよくわかりません。

三角形の面積比は、
同じ底辺の三角形同士なら高さの比、
同じ高さの三角形同士なら底辺の比になるのはわかるんですが、
三角形ABDと三角形CBDの高さがわからないので、面積比が出せないと思うのです。
高さは垂直になりますよね。

私が見落としている基本的な公式や性質がわかりません。

ご回答お待ちしております。
No.52987 - 2018/08/15(Wed) 13:50:04
☆ Re: 線分比と面積比の関係について / らすかる
高さは垂直ですが、垂直でない「斜めの高さ」でも
『同じ底辺の三角形同士なら面積比は「斜めの高さ」の比』
が成り立ちます。
ACとBDの交点をEとし、AからBDに垂線AFを下ろして
CからBDに垂線CGを下ろすと、
△AFE∽△CGEからAE：CE=AF：CGですから、
「斜めの高さの比」は「高さの比」と等しくなります。
No.52988 - 2018/08/15(Wed) 14:12:07
☆ Re: 線分比と面積比の関係について / たいむ
そうだったんですね！とてもスッキリしました。
証明もしていただいたので完全に腑に落ちました。

ありがとうございます。
No.52989 - 2018/08/15(Wed) 14:47:23
★ 命題 / ピーマン
「x=1かつy=-1ならば、x＞0またはy＞0」の証明を知りたいです！
No.52982 - 2018/08/15(Wed) 00:23:20
☆ Re: 命題 / らすかる
1は0より大きいので、x=1ならばx＞0。
よってx=1であればyの値にかかわらず「x＞0またはy＞0」も成り立つ。
No.52983 - 2018/08/15(Wed) 01:07:44
★ 物理 / トルティーヤ
すみません物理の質問なんですが、、

回転する円盤上の支柱に吊るされた玉が静止している時の糸の張力Sを釣り合いを使って求めるのですが、

Cのやり方が模範解答なのですが、Aのやり方だと答えが合わなくてBのやり方では模範解答とやり方が違います。

AとBで分解の仕方が違うのですが答えが違う値になるのはなぜでしょうか？なにがまちがっった考え方なのでしょうか？
No.52975 - 2018/08/14(Tue) 20:44:09
☆ Re: 物理 / 関数電卓
赤で囲った部分が支柱ですか？ 「回転する円盤」 はどこですか？
No.52977 - 2018/08/14(Tue) 20:58:55
☆ Re: 物理 / GandB
　A, B の例がない。図を見る限り、高校物理でよくある円錐振り子の問題だとは思うが、正確さを期すために元の問題文をそっくり上げた方がよい。
No.52978 - 2018/08/14(Tue) 20:59:10
☆ Re: 物理 / トルティーヤ
すみませんわすれてました
No.52979 - 2018/08/14(Tue) 21:10:22
☆ Re: 物理 / 関数電卓
わかりました。下の図のような 「（水平面内で） 回転する円盤」 の中心に円板に垂直に立てた支柱から吊られている 『円錐振り子』 ですね。

張力 S の鉛直成分が重力と、水位平成分が遠心力とつり合います。Ｃ が正しいですね。
No.52980 - 2018/08/14(Tue) 21:31:11
☆ Re: 物理 / トルティーヤ
Bなどの斜め方向の釣り合いで考えるのはNG何でしょうか？
No.52981 - 2018/08/15(Wed) 00:00:08
☆ Re: 物理 / GandB
> Bなどの斜め方向の釣り合いで考えるのはNG何でしょうか？

　問題文がないので断定はできないが、玉は円錐振り子による等速円運動をしているものと思われる。であれば、円運動の半径を r、角速度をωとするとつり合いの式は
　　S = mg + mrω^2
となる。S を鉛直方向と水平方向に分解すれば
　　Scosθ= mg
　　Ssinθ= mrω^2
である。つまり、玉に乗って玉といっしょに円運動をしている観測者にとって、玉に働いている力は、斜め方向の張力、水平方向の遠心力、鉛直方向の重力だけなのだから A とか B にはなりようがない。

　参考書や教科書には円錐振り子の説明は必ず出ているはずだから、まずはそこをしっかり読む。あと遠心力を含む慣性力についても理解不足のように思える。
No.52985 - 2018/08/15(Wed) 05:47:18
☆ Re: 物理 / 関数電卓
> S = mg + mrω^2
ベクトルの式ならば、これでいいが…
No.52986 - 2018/08/15(Wed) 11:24:49
★ (No Subject) / アンチ
32の2番がよくわかりません。考え方がわかりません。
ちなみに答えは6通りです。
解説お願します‼
No.52968 - 2018/08/14(Tue) 16:31:37
☆ Re: / IT
表を○　裏を×　で表します。
表が２回の場合
　裏が０回は○○
　裏が１回は×○○、○×○
の３通り

裏が２回の場合も同様なので　全部で６通り。
No.52969 - 2018/08/14(Tue) 16:45:04
★ 1/6公式 / 瑠璃
以前質問させていただいた問題なんですが、またわからなくなってしまったので再質問させてください。

放物線C:y=x^2と直線lが0≦x≦1において、x=p、x=p+q(0≦p≦p+q≦1)なる2点で交わっている。ただしq=0のときのlはx=pでのCの接線とする。このとき0≦x≦1でCとlに挟まれた部分の面積の和をSとおく。Sをp、qを用いて表せ。

f(x)=x^2-(2p+q)x+p(p+q)とおきます。

S=∫[0,p]f(x)dx+∫[p,p+q]-f(x)dx+∫[p+q,1]を変形して、
S=∫[0,1]f(x)dx-2∫[p,p+q]f(x)dxとします1。この2∫[p,p+q]f(x)dxの部分に1/6公式を当てはめて、1/6・q^3 としました。
解答も同じような方針を取っているのですが、∫[p,p+q]f(x)dxの部分が-1/6・q^3となっているんです。

なぜ-が付くのかがわからないです。


例えばy=x^2とy=3x-2の囲む部分の面積は直線の方が放物線より上にありますが交点のx座標1と2を用いて、1/6・(2-1)^3=1/6になりますよね。-は付きません。

他にもy=-x^2とy=x+2の囲む面積は交点のx座標-1と2を用いて1/6・(2+1)^3=9/2になりますよね。

1/6公式は二つの例からわかると思いますが、1/6公式は-が付かないと思います。

質問の問題はy=x^2とy=(2p+q)x-p(p+q)の囲む面積ですのでやはり、交点のx座標pとp+qを用いて上の例と同じように1/6・(p+q-p)^3=1/6・q^3になると思うのですが、上の例では-が付かないのに対して、質問の問題では-が付くのはなぜか、両者の違いが分かりません。


よろしくお願いします。
No.52962 - 2018/08/14(Tue) 14:55:46
☆ Re: 1/6公式 / らすかる
「∫[p,p+q]f(x)dx」はただの「定積分」であって「面積」ではありませんので
1/6公式をそのまま使うことはできません。
q＞0として、∫[p,p+q]f(x)dxの値は
p≦f(x)≦p+qでf(x)が正ならば1/6・q^3
p≦f(x)≦p+qでf(x)が負ならば-1/6・q^3
となります。
一方「面積」ならば式は∫[p,p+q]f(x)dxではなく
∫[p,p+q]|f(x)|dxとなり、
f(x)が正か負かにかかわらず1/6・q^3です。
No.52965 - 2018/08/14(Tue) 15:26:25
☆ Re: 1/6公式 / 瑠璃
御回答ありがとうございます。

御解説はよくわかりましたが、ではなぜy=x^2とy=3x-2の場合は1/6公式がそのまま利用できるんでしょうか。この違いが分からないです。
No.52970 - 2018/08/14(Tue) 18:21:08
☆ Re: 1/6公式 / らすかる
> なぜy=x^2とy=3x-2の場合は1/6公式がそのまま利用できるんでしょうか。
最初から「面積を求める」のが目的なのですよね？
1/6公式は「面積を求める公式」ですから、
面積を求める場合は1/6公式がそのまま利用できます。
上の問題の∫[p,p+q]f(x)dxは「定積分の値を求める」ので
1/6公式はそのまま利用できません。

# y=x^2とy=3x-2で挟まれた部分の面積を求めるには1/6公式が使えますが、
# ∫[1〜2](x^2)-(3x-2)dxの値を求めるには1/6公式はそのまま使えません。
No.52971 - 2018/08/14(Tue) 20:10:13
☆ Re: 1/6公式 / 瑠璃
御回答ありがとうございました。今度こそ納得できました。
No.53012 - 2018/08/15(Wed) 23:05:47
★ (No Subject) / ぺ
No.52800で9日に質問した者です。質問が流れてしまったので再度質問させていただきます。
大体は理解できたのですが、後半の「?@を満たす任意のxが?Aを満たさない (P)とき、つまり?@?A'をxの連立不等式としたときの解が存在しない」というのが何故そうなるのかよくわかりません。教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。
No.52959 - 2018/08/14(Tue) 12:41:30
☆ Re: / らすかる
質問が流れてしまって再度質問するのなら、
元の質問を探さずに済むように
再度問題文など載せた方が良いと思います。
質疑応答が一つのスレ内で完結していないと、
他の人が見ても何のことかわかりません。
No.52964 - 2018/08/14(Tue) 15:13:45
☆ Re: / ぺ
すみません。指摘ありがとうございます。
画像の2つ目の問題についてです。
解説は
「?Aより
-2＜x-a＜2
-2+a＜x＜2+a ?A'

前半)
題意を満たすためには?@が?A'に含まれればよい
ことはよろしいですか？
従って
-2+a≦0
1≦2+a
これらを連立して解き
-1≦a≦2

後半)
前半と同様に考えると
?@を満たす任意のxが?Aを満たさない (P)
とき、
つまり
?@?A'をxの連立不等式としたときの解が存在しない
とき
2+a≦0
又は
1≦-2+a
∴a≦-2,3≦a (P)'
題意を満たすためには(P)の否定を考えればよいので
(P)'に含まれないaの値の範囲により
-2＜a＜3」
なのですが、「?@を満たす任意のxが?Aを満たさない (P)とき、つまり?@?A'をxの連立不等式としたときの解が存在しない」という部分がなぜそうなるのか分かりません。
解説よろしくお願いします。
No.52966 - 2018/08/14(Tue) 15:43:30
☆ Re: / ぺ
画像が載せられていませんでした。これです。
No.52967 - 2018/08/14(Tue) 15:45:38
☆ Re: / らすかる
質問の意味がイマイチよくわからないのですが、

「?@を満たす任意のxが?Aを満たさない」と
「?@?A'をxの連立不等式としたときの解が存在しない」が
同値であるということが理解できない、という意味ですか？
No.52972 - 2018/08/14(Tue) 20:17:35
☆ Re: / ぺ
そういうことです。分かりづらくてすみません
No.52974 - 2018/08/14(Tue) 20:41:45
☆ Re: / らすかる
「?@を満たす任意のxが?Aを満たさない」は
「0より大きく1より小さいどの値をxに代入しても、|x-a|は2以上になる」
という意味です。
「?@?A'をxの連立不等式としたときの解が存在しない」は
「xが0より大きく1より小さい」かつ「|x-a|は2未満」が成り立つようなxが存在しない
という意味です。
これでも同じ意味に思えないでしょうか。
No.52976 - 2018/08/14(Tue) 20:52:45
★ (No Subject) / あかり
円外の点と円周上の点を結んださいの直線の最大値はなぜ中心を通るときなのですか？
No.52954 - 2018/08/14(Tue) 03:33:44
☆ Re: / らすかる
円外の点をP、円の中心をO、直線OPと円の交点をAとB（ただしPに近い方がB）、
円周上の点でA,Bと異なる点をCとすると
PC＜PO+OC　（三角形の辺の長さは他の二辺の長さの和より短い）
＝PO+OA　（OC=OA=円の半径）
＝PA
なので、必ずPAが最大となります。
No.52955 - 2018/08/14(Tue) 04:43:27
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