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★ 領域 / 優美
a、bは実数で、b≠0とする。m、nは整数とする。a、bがa2-a+b2>0、0<a<1を満たすとき、不等式(m+na)2-(m+na)+n2b2≧0が成り立つことを示せ。

x=m+na、y=nbとおくと、示すべき不等式はx2-x+y2≧0になります。(x,y)は(a,b)を原点を中心にn倍して、x軸方向にmだけ平行移動したものです。したがって、a2-a+b2>0、0<a<1にこの変換を施した図形が、x2-x+y2≧0を満たすことがいえればいいと思ったのですが、ここから先がどうすればいいのかわかりません。
教えてください。よろしくお願いします。
No.54052 - 2018/09/28(Fri) 20:44:22
☆ Re: 領域 / らすかる
(m+n-1/2)^2≧1/4, (m-1/2)^2≧1/4なので
(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2
=a(m+n-1/2)^2+(1-a)(m-1/2)^2+(a^2-a+b^2)n^2-1/4
≧(1/4)a+(1/4)(1-a)-1/4　（等号は(m,n)=(0,0)または(m,n)=(1,0)のとき）
=0
No.54055 - 2018/09/28(Fri) 21:51:56
☆ Re: 領域 / 優美
御回答ありがとうございます。

一行目の二つの不等式、(m+n-1/2)2≧1/4と(m-1/2)2≧1/4はどこから出てきたのでしょうか。

それと、二行目から三行目の式変形がわかりません。もう少し詳しく教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
No.54077 - 2018/09/29(Sat) 21:20:52
☆ Re: 領域 / らすかる
とりあえず説明はしますが、私の方法は簡単に思い付けるような
変形ではないと思いますので、お勧めできません。

|整数-1/2|は最小1/2ですから、
(整数-1/2)^2は最小1/4となります。
下に出てきた(m+n-1/2)^2と(m-1/2)^2の最小値を評価するもので、
最初に書きました。

(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2
=m^2+2mna+n^2a^2-m-na+n^2b^2 …(1)
この式を何とか(○)^2や(a^2-a+b^2)に非負の数を掛けたものの和で
表せれば評価できると思って式をこねくりまわしました。
まず2mnaが(○)^2から出てくるようにして消したいのですが
(m+na)^2にすると元の式になって-(m+na)が消せそうにありませんので
とりあえずa(m+n)^2を引いてみると
(1)-a(m+n)^2=m^2+n^2a^2-m-na+n^2b^2-m^2a-n^2a
つまり
(1)=a(m+n)^2+m^2+n^2a^2-m-na+n^2b^2-m^2a-n^2a
ここで(a^2-a+b^2)n^2の項が全部そろっていますのでまとめて
(1)=a(m+n)^2+(a^2-a+b^2)n^2+m^2-m-na-m^2a
となります。残りの項のうち-naだけnが残っていて
このままではどうにもなりませんが、先頭のa(m+n)^2を
a(m+n-1/2)^2に変えれば-naの項は消えます。
a(m+n-1/2)^2=a(m+n)^2+(1/4)a-a(m+n)なので
(1)=a(m+n-1/2)^2+(a^2-a+b^2)n^2+m^2-m-na-m^2a-(1/4)a+a(m+n)
=a(m+n-1/2)^2+(a^2-a+b^2)n^2+m^2-m+ma-m^2a-(1/4)a
ここまでくればできそうです。
m^2-m=(m-1/2)^2-1/4
-m^2a+ma-(1/4)a=-a(m-1/2)^2
なので
m^2-m-m^2+ma-(1/4)a=(m-1/2)^2-a(m-1/2)^2-1/4=(1-a)(m-1/2)^2-1/4
従って
(1)=a(m+n-1/2)^2+(a^2-a+b^2)n^2+(1-a)(m-1/2)^2-1/4
という目的に近い形に変形できました。
あとは(m+n-1/2)^2≧1/4と(m-1/2)^2≧1/4を使えば-1/4が消せます。

# 他にもっとうまい方法があると思いますが、思い付けませんでした。
# 「原点を中心にn倍」のように考えると直感的にはわかるのですが、
# 計算でどのように示せばよいかわかりませんでした。
No.54083 - 2018/09/29(Sat) 23:56:35
☆ Re: 領域 / 優美
御回答ありがとうございました。よくわかりました。
No.54115 - 2018/10/01(Mon) 20:43:10
★ (No Subject) / みるく
大変低レベルな質問ですが、教えてください。
ガウス記号の問題で[1/(√5-2)]の値を求める問題で私は有理化せずに0<√5-2<1 から逆数にして1と答えました。何が間違えているのかわかりません、、有理化すると4にはなるのですが、、、、、
No.54049 - 2018/09/28(Fri) 19:56:07
☆ Re: / らすかる
0＜a＜1のとき
例えばa=0.5なら[1/a]=2
a=0.1なら[1/a]=10
のように1以上の値なら何でもとり、値が特定できません。
No.54051 - 2018/09/28(Fri) 20:23:33
★ 定積分 / あ
(4)の解答でどうやったら1行目から2行目になるのか細かく教えて欲しいです
No.54046 - 2018/09/28(Fri) 19:35:17
☆ Re: 定積分 / noname
2倍角の公式を書いてみればわかるよ。
(sinx)^2や(cosx)^2はcos2xの式に出てくるし、
sinxcosxはsin2xの式に出てくるから、変形してそこに代入できる。
No.54047 - 2018/09/28(Fri) 19:43:15
★ (No Subject) / マジュン
この上の(2)の?@の問題なのですが、吹き出しにあるように、なぜn=3kはいらないのですか？？
No.54043 - 2018/09/28(Fri) 19:00:38
☆ Re: / 関数電卓
学校 or 塾の先生の添削ですか？

　「 n＝3k はいらないのか？」

という先生の問いかけなのでしょうから、『はい、いりません！』 と答えれば良いのでしょう。

これは “数学的帰納法” の証明ではないのですから、むしろ、「 r＝1 のとき〜」 の 1 行がいりません。
No.54045 - 2018/09/28(Fri) 19:24:29
☆ Re: / noname
自分でメモとして書いたんでしょ。
対偶の「nが3の倍数でないならば、n^2は3の倍数でない」
において、仮定は「nが3の倍数でない」なので、
証明する側からしてみれば、
「nが3の倍数でない場合なんてのは知ったこっちゃない」
のです。

『pならばq』が成り立つ
というのは、
『少なくともpを満たすときに限ってはqが成り立つ(pを満たさないときはqが成り立とうが成り立たなかろうが知ったこっちゃねぇ)』という意味です。
No.54048 - 2018/09/28(Fri) 19:55:03
☆ Re: / noname
間違えた。５行目
「nが3の倍数の場合なんてのは知ったこっちゃない」
です。
No.54050 - 2018/09/28(Fri) 19:56:23
★ y=x に関して対称 / kitano
y=1/x は、y=x に関して対称を証明したい

のです、教えて下さい。

宜しく御願い致します。
No.54041 - 2018/09/28(Fri) 17:41:47
☆ Re: y=x に関して対称 / 関数電卓
　y＝1/x …(1)
の x と y を交換すると
　x＝1/y …(2)
となります。
(2)は両辺に y/x を掛ければ(1)に他なりません。
これが 『(1)が y＝x について対称』 であることの証明です。

No.54044 - 2018/09/28(Fri) 19:08:49
☆ Re: y=x に関して対称 / kitano
関数電卓様

ご回答有難うございます。

私も考え方が閃いたのですが、、

y＝1/x …(1)

つまり　xy=1

これは、積の交換法則から　xとｙを交換し
ｙｘ＝１

これは、ｘｙ＝１に等しい

証明終了

この考え方でも正しいですか。

教えて下さい。

宜しく御願いします。
No.54065 - 2018/09/29(Sat) 03:07:11
☆ Re: y=x に関して対称 / 関数電卓
> 積の交換法則から x と ｙ を交換し ｙｘ＝１

ご自身が納得できるのであればそれで構いませんが、交換できるのは 『積』 だけではありませんのでご注意ください。
他の例としては
　x＋y＝k， x^2＋y^2＝k， x−y＝0
など。
No.54066 - 2018/09/29(Sat) 09:32:34
☆ Re: y=x に関して対称 / kitano
関数電卓様

最後までお付き合い頂き

心から感謝いたします。

また、宜しく御願い致します。
No.54068 - 2018/09/29(Sat) 10:04:39
★ 高校入試問題 / 伝助
高校入試問題です。
ABCDEFは，１辺８cmの正六角形で，点０がその対称の中心です。MはCD上の点で，CM＝２cm ，線分AMは，円Oと接しています。

この時，円Oの半径を求めよ。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

どうぞよろしくお願い致します。。。
No.54033 - 2018/09/28(Fri) 00:31:12
☆ Re: 高校入試問題 / らすかる
解き方はいろいろありそうですが、例えば…

単位は省略します。
C,MからADに垂線CP,MQを下ろすと△DQM∽△DPCで
DM：DC=3：4なのでDQ=8×(1/2)×(3/4)=3,MQ=(√3)DQ=3√3
よってAQ=AD-DQ=13なのでAM=√(AQ^2+MQ^2)=14
OからAMに垂線OHを下ろすと△AHO∽△AQMなので
AO：OH=AM：MQ
従ってOH=AO×MQ÷AM=12√3/7
No.54035 - 2018/09/28(Fri) 00:57:14
☆ Re: 高校入試問題 / 伝助
いろいろあるんですね・・例えばの解き方も，思いつかないナ〜・・恐れ入りました。
ありがとうございました〜〜
No.54036 - 2018/09/28(Fri) 01:13:09
☆ Re: 高校入試問題 / らすかる
この解き方の方が簡単そうです。

AC=8√3,CM=2なのでAM=14
OBとAMの交点をGとするとOG=3
OからAMに垂線OHを下ろすと△OHG∽△ACMなので
OH=(AC/AM)OG=12√3/7
No.54038 - 2018/09/28(Fri) 03:24:49
☆ Re: 高校入試問題 / らすかる
より簡単な解き方を思い付きました。

FN=2cmとなるようにAF上に点Nをとると
DNは円Oに接し四角形AMDNは平行四辺形
AC=8√3、AM=√(AC^2+CM^2)=14
(平行四辺形の面積)=MD×AC=AM×(円Oの直径) なので
(円Oの半径)=(MD×AC)/(2AM)=12√3/7
No.54040 - 2018/09/28(Fri) 09:45:51
☆ Re: 高校入試問題 / 伝助
らすかる様，別解までご提示いただき，本当にありがとうございます。特に最後のやつは美しいですね。
非常にタメになりました！！
No.54064 - 2018/09/29(Sat) 02:41:46
★ 存在条件 / 坂下
画像の問題で、x=p+qi(p,qは実数、ｑ≠０）として、与えられた方程式に代入して、実部虚部比較して得られる２式に関してｑ≠０の下で、実数 a,bの存在条件を考えるとｑ≠０です。
だから求める条件はｑ≠０で、これを複素平面上に図示して終了と２，３枚目のようにしたのですが、答えとは違いました。
どうして自分の方針はまずいのですか？
自分としては題意に書かれているとおりの存在条件を考えたつもりなのですが。
No.54025 - 2018/09/27(Thu) 22:51:55
☆ Re: 存在条件 / 坂下
答案一枚目です
No.54026 - 2018/09/27(Thu) 22:53:29
☆ Re: 存在条件 / 坂下
答案２枚目です
No.54027 - 2018/09/27(Thu) 22:54:44
☆ Re: 存在条件 / IT
その４次方程式が虚数解を持つからといって実数解を持たないとは限らないのでは？
No.54029 - 2018/09/27(Thu) 23:38:10
☆ Re: 存在条件 / 坂下
「虚数解をもつ⇔実数解は持たない」ではないのですか？
No.54032 - 2018/09/28(Fri) 00:20:22
☆ Re: 存在条件 / らすかる
実数係数の4次方程式は重解を区別して
・4個の実数解を持つ
・2個の実数解と2個の虚数解を持つ
・4個の虚数解を持つ
のいずれかですから、
「虚数解を持つ⇔実数解を持たない」は正しくありません。
No.54034 - 2018/09/28(Fri) 00:38:14
☆ Re: 存在条件 / 坂下
なんかいろいろ勘違いしていました。
少なくとも１つ虚数解を持つ条件を求めても挙げてくださったパターンの２つ目の場合があるので、条件が緩いのですね。
２次方程式のようなパターンしか想定できておりませんでした。
とりあえず自分で考えてみます。ありがとうございました。
No.54037 - 2018/09/28(Fri) 02:20:53
★ (No Subject) / ピクミン
196の問題で定義域とか値域をどのように考えればいいのでしょうか？
No.54022 - 2018/09/27(Thu) 22:03:08
☆ Re: / ピクミン
答え1
No.54023 - 2018/09/27(Thu) 22:05:18
☆ Re: / ピクミン
答え2
No.54024 - 2018/09/27(Thu) 22:06:07
☆ Re: / X
y=f(x),y=(g○g)(x)のグラフを描くイメージを考えましょう。
例えばf(x)の場合だと
f(x)=3/2-(5/2)/(2x+1)
よってy=f(x)のグラフは
漸近線が直線
y=3/2,x=-1/2
となる双曲線となりますがよろしいですか？
したがって定義域、値域は漸近線と交点を
持たない値の範囲となり
x≠-1/2,y≠3/2
となります。
No.54039 - 2018/09/28(Fri) 08:40:01
★ 高校数学の難問#1 〜通過領域〜 / 鉄門に集いし100人の精鋭
　一辺の長さが1の正三角形ABCがあり，辺AB，BC，CA上（端点は除く）にそれぞれ点P，Q，Rをとる。三角形PQRが常に正三角形となるように3点P，Q，Rが動くとき，三角形PQRの周が通過する領域の面積を求めよ。
No.54009 - 2018/09/27(Thu) 06:22:28
☆ Re: 高校数学の難問1 / 関数電卓
図は後ほど。11√3/54 になりました。
No.54017 - 2018/09/27(Thu) 14:56:30
☆ Re: 高校数学の難問1 / 関数電卓
便宜上、正三角形の一辺を 2 で計算します。

図のように A, B, C を定める。助変数 t を用い P, Q を
　P(t, √3−√3t), Q(1＋t, √3t)
とすると、線分 PQ の方程式は
　y＝√3(2t−1)x−2√3t^2 …(1)

ひとつの実数 t に対し線分 PQ 上の (x, y) が定まるから、(1)を t の 2次方程式とみた
　2√3t^2−2√3x･t＋√3x＋y−√3＝0 …(2)
が t の実数解をもつ条件を考えて、

　D/4＝(√3x)^2−2√3(√3x＋y−√3)≧0

整理して y≦√3/2(x^2−2x＋2) …(3)

で、△ABC 内部かつ 青い放物線 の下部を線分 PQ は動く。

（以下、後ほど）
No.54018 - 2018/09/27(Thu) 16:43:16
☆ Re: 高校数学の難問1 / 関数電卓
対称性より、△PQR の周が動く部分の面積は下図の緑色の部分の面積 11√3/81 の 6 倍で 22√3/27。

△ABC の一辺が 1 ならば、その 1/4 で 11√3/54
No.54019 - 2018/09/27(Thu) 18:40:34
☆ Re: 高校数学の難問#1 〜通過領域〜 / 鉄門に集いし100人の精鋭
>関数電卓さん
正解！
お見事です。👏
No.54020 - 2018/09/27(Thu) 19:49:43
★ 組合せの総数 / 旭
2番なのですが、階乗で割ってら計算するのは分かるのですがらどうして2!でわるのでしょうか？
3つの組に分けているので3!でわるのではないのですか？
No.54004 - 2018/09/26(Wed) 23:41:23
☆ Re: 組合せの総数 / らすかる
3人の組が2つだからです。
例えばaaabbcの並べ方を計算するのに
6!/(3!2!1!)と計算しますね。
この分母と同様の意味です。
つまり3人の組が2つ、2人の組が1つなので
(2!1!)で割るということです。
No.54005 - 2018/09/27(Thu) 00:05:35
☆ Re: 組合せの総数 / 旭
本当にすみません、あと少しだけ分かりやすく説明をお願いします…！
No.54011 - 2018/09/27(Thu) 09:57:54
☆ Re: 組合せの総数 / ヨッシー
もし、問題が
(1) ９人をＡ，Ｂ，Ｃの３つの部屋に３人ずつ分ける場合の数
(2) ９人を３人、３人、３人に分ける場合の数
だと、(1) の答えに対して、Ａ，Ｂ，Ｃを入れ替えたものも、
(2) では同一と見なされるので、３！ で割ります。

この問題では、入れ替えて同一と見なされるのが、ＡとＢの
入れ替えだけで、Ｃは人数が違うので、ＡやＢと入れ替えられません。
よって、割るのは、ＡとＢの入れ替えの２！だけです
No.54012 - 2018/09/27(Thu) 10:33:40
☆ Re: 組合せの総数 / らすかる
全部書き出しやすいように全員を5人(a,b,c,d,e)にして2人部屋A,Bと1人部屋Cにすると
A(a,b)B(c,d)C(e)　A(c,d)B(a,b)C(e)
A(a,c)B(b,d)C(e)　A(b,d)B(a,c)C(e)
A(a,d)B(b,c)C(e)　A(b,c)B(a,d)C(e)
A(a,b)B(c,e)C(d)　A(c,e)B(a,b)C(d)
A(a,c)B(b,e)C(d)　A(b,e)B(a,c)C(d)
A(a,e)B(c,b)C(d)　A(c,b)B(a,e)C(d)
A(a,b)B(d,e)C(c)　A(d,e)B(a,b)C(c)
A(a,d)B(b,e)C(c)　A(b,e)B(a,d)C(c)
A(a,e)B(d,b)C(c)　A(d,b)B(a,e)C(c)
A(a,c)B(d,e)C(b)　A(d,e)B(a,c)C(b)
A(a,d)B(c,e)C(b)　A(c,e)B(a,d)C(b)
A(a,e)B(d,c)C(b)　A(d,c)B(a,e)C(b)
A(b,c)B(d,e)C(a)　A(d,e)B(b,c)C(a)
A(b,d)B(c,e)C(a)　A(c,e)B(b,d)C(a)
A(b,e)B(d,c)C(a)　A(d,c)B(b,e)C(a)
の30通りになりますね。
これを部屋の区別をなくし2人、2人、1人にした場合は
(a,b)(c,d)(e)　(c,d)(a,b)(e)
(a,c)(b,d)(e)　(b,d)(a,c)(e)
(a,d)(b,c)(e)　(b,c)(a,d)(e)
(a,b)(c,e)(d)　(c,e)(a,b)(d)
(a,c)(b,e)(d)　(b,e)(a,c)(d)
(a,e)(c,b)(d)　(c,b)(a,e)(d)
(a,b)(d,e)(c)　(d,e)(a,b)(c)
(a,d)(b,e)(c)　(b,e)(a,d)(c)
(a,e)(d,b)(c)　(d,b)(a,e)(c)
(a,c)(d,e)(b)　(d,e)(a,c)(b)
(a,d)(c,e)(b)　(c,e)(a,d)(b)
(a,e)(d,c)(b)　(d,c)(a,e)(b)
(b,c)(d,e)(a)　(d,e)(b,c)(a)
(b,d)(c,e)(a)　(c,e)(b,d)(a)
(b,e)(d,c)(a)　(d,c)(b,e)(a)
となりますが、各行の左右が同じものになりますので2個ずつ重複しています。
従って2!で割る必要があるということです。
No.54016 - 2018/09/27(Thu) 12:33:59
☆ Re: 組合せの総数 / 旭
よく分かりました、
ありがとうございました
No.54028 - 2018/09/27(Thu) 23:12:14
★ 積文と連続 / Glacia
区間[a,b]での関数fの積分はΣf(c_k)(t_{k+1}-t_k) (但しa=t_1<t_2<...=b、t_k<c_k<t_{k+1})
において分割幅の最大値を0に近づけた時、分割の仕方やc_kの取り方に無関係に極限値を取るならば積分可能というのですよね。
そこでもしfが[a,b]で連続な時に限りc_kとしてmin f([t_k,t_{t+1}]) をとってもいいのですよね?
No.53999 - 2018/09/26(Wed) 22:13:30
☆ Re: 積文と連続 / らすかる
連続でなくてもmin f([t_k,t_{t+1}])をとってもよい場合がありますので、
「連続な時に限り」は正しくないと思います。
No.54007 - 2018/09/27(Thu) 02:29:07
☆ Re: 積文と連続 / Glacia
なるほどです。
連続ならとりあえずmin f([t_k,t_{t+1}])と採ってもいいのですね。
No.54013 - 2018/09/27(Thu) 11:24:10
☆ Re: 積文と連続 / らすかる
はい、「連続な時に限り」が「連続ならば」ならば正しいと思います。
No.54014 - 2018/09/27(Thu) 11:47:40
★ 数1 背理法の証明 / ボルト
343の問題について、背理法を使ってどのように証明すればよいのか分かりませんでした。詳しい解説よろしくお願いします。
No.53996 - 2018/09/26(Wed) 21:34:26
☆ Re: 数1 背理法の証明 / IT
x^2-y < 0 かつ　y^2+x>0 かつ　x+y=0 として矛盾を導きます。
y=-x を２つの不等式に代入すればいいと思います。
No.53997 - 2018/09/26(Wed) 21:59:38
☆ Re: 数1 背理法の証明 / ボルト
ここまで解けたのですが、どこで矛盾が生じるのかよく分かりません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.54000 - 2018/09/26(Wed) 22:18:30
☆ Re: 数1 背理法の証明 / IT
最後まで行かなくても、
下から３行目で　矛盾が起こっていませんか？

なお「・・・x^2-y < 0 かつ　y^2+x>0 ならば　x+y=0 」と仮定する。
としておられますが　おかしいです。
No.54001 - 2018/09/26(Wed) 22:53:41
☆ Re: 数1 背理法の証明 / ボルト
ITさんありがとうございました。矛盾に気づかず申し訳ございませんでした。もっと力をつけようと思います。これからもよろしくお願いします。
No.54002 - 2018/09/26(Wed) 23:16:01
☆ Re: 数1 背理法の証明 / ボルト
ITさんからの返信の下の2行 【なお~おかしいです。】の部分が、なぜか時間差で届き、今確認しているのですが どこがどの様におかしいのか気づくことができません。
すいません 教えてください。
No.54003 - 2018/09/26(Wed) 23:26:15
☆ Re: 数1 背理法の証明 / IT
今日はもう時間がないですし、ボルトさんが誤解されないように　うまく説明出来そうもありません。

どなたかお願いします。
No.54006 - 2018/09/27(Thu) 00:09:24
☆ Re: 数1 背理法の証明 / らすかる
背理法は証明すべき命題の否定を仮定して矛盾を導くものです。
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0ならばx+y≠0」の否定は
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0ならばx+y=0」ではありませんので、
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0ならばx+y=0」を仮定して矛盾が生じても
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0ならばx+y≠0」の証明にはなりません。
No.54008 - 2018/09/27(Thu) 02:32:15
☆ Re: 数1 背理法の証明 / ボルト
背理法の証明では、命題の結論部分だけを否定するのだと思っているのですがこの考えは違うのですか？例えばpならばqという命題があるとすると、pであるがqではないと仮定し矛盾を見つけるのが背理法の証明の仕方だと理解しているのですが違うのですか？私の考えが違うなら、この問題はどのように命題を否定すれば良いのですか？詳しい解説よろしくお願いします。
No.54010 - 2018/09/27(Thu) 06:56:41
☆ Re: 数1 背理法の証明 / らすかる
> 例えばpならばqという命題があるとすると、pであるがqではないと仮定し矛盾を
> 見つけるのが背理法の証明の仕方だと理解しているのですが違うのですか？
違いません。まったくその通りです。よって
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0ならばx+y≠0」を証明するためには
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0であるがx+y≠0でない」すなわち
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0であるがx+y=0である」すなわち
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0かつx+y=0である」を仮定しなければいけません。
「x^2-y＜0かつy^2+x＞0ならばx+y=0である」はこれと異なる命題です。
例えば
「x＞-1かつx＜1ならばx≠0である」は偽で
「x＞-1かつx＜1ならばx=0である」も偽ですから、
「ならば」の後だけ変えても否定になっていませんね。
No.54015 - 2018/09/27(Thu) 11:52:26
☆ Re: 数1 背理法の証明 / ボルト
ITさんとらすかるさん、詳しい解説をありがとうございました。おかげで背理法をより理解することができました。これからもよろしくお願いします。
No.54021 - 2018/09/27(Thu) 20:18:21
★ 一次関数 / 中学数学苦手
（１）（２）答え７分３０秒前　どの様にして解いたらよいのか解りませんでした。詳しい解説よろしくお願いします。
No.53994 - 2018/09/26(Wed) 18:07:45
☆ Re: 一次関数 / X
(1)
グラフから、家から店までの距離は
2.5[km]
ですので店から図書館までの距離は
4.5[km]-2.5[km]=2[km]
一方、兄の自転車の分速は
12[km/時]÷60[分/時間]=0.2[km/分]
よって兄が図書館を出発して
店に着くまでにかかる時間は
2[km]÷0.2[km/分]=10[分]
これが弟が店に滞在する時間ですので
図のグラフの続きは
y=2.5(30≦x≦40)
となります。
次に店を出てから、つまり
40≦x
におけるグラフですが、条件から
点(40,2.5) (A)
を通り、
0≦x≦30
におけるグラフの傾きの1.2倍
の傾きを持つ直線となります。
図のグラフからそのような直線の
傾きは
xが30増加したときにyは
2.5×1.2=3
だけ増加するような傾きとなります。
従って、この直線において
xが20増加したときyは
3×(2/3)=2
だけ増加するのでこの直線は(A)と
点(40+20,2.5+2)
つまり
点(60,4.5)
を通ることが分かります。

以上に基づいてグラフを描いてみて下さい。

(2)
条件から兄の進む行程を(1)のグラフ上に
描き込む場合、そのグラフの形は
点(30,4.5) (B)
を通り、
傾きが-0.2((1)の過程より)
の直線となります。
よってこの直線の切片をbとすると
直線の方程式は
y=-0.2x+b
これが(B)を通るので
4.5=-6+b
これより
b=10.5
となるので直線の方程式は
y=-0.2x+10.5
よって兄が家に到着する時刻について
-0.2x+10.5=0
となるので、これを解いて
x=52.5
(1)の結果より、弟が図書館に到着するのは
x=60
のときですので求める時間は
60-52.5=7.5
により
7分30秒前
です。
No.53995 - 2018/09/26(Wed) 18:44:02
☆ Re: 一次関数 / 中学数学苦手
解説ありがとうございます。
No.54054 - 2018/09/28(Fri) 21:44:24
★ (No Subject) / シリーズ
（2）の問題の範囲がx<-1/2になりますが、それはなぜですか？解説見てもわかりません
No.53988 - 2018/09/26(Wed) 14:50:56
☆ Re: / シリーズ
こちらが解答です。
No.53989 - 2018/09/26(Wed) 14:51:36
☆ Re: / ヨッシー
(x＋1)^2＋ｙ^2＝1 の円上で、ｘ＜−1/2 でない点、例えば、
　(0, 0), (−1/5, ±3/5)
などを、座標平面上に描いてみる。
問題で与えられた、
　(x＋2)^2＋ｙ^2＝３
を同じ座標平面上に描いてみる。
最初に書いた点が、条件(２つの交点の中点) を満たすかを確認する。

ｘ≧−1/2 では、点Ｐが存在しないことがわかると思います。

数式の上では、
　√3Ｘ＜Ｙ＜−√3Ｘ
がそれを表しています。
　√3ｘ＜ｙ＜−√3ｘ
が表す領域をグラフ上に描いて、それに、
　(x＋1)^2＋ｙ^2＝1
を重ねて描いてみると、ｘ＜−1/2 の部分のみが、
　√3ｘ＜ｙ＜−√3ｘ
を満たすことがわかります。
No.53991 - 2018/09/26(Wed) 15:22:10
☆ Re: / シリーズ
ありがとうございます。
領域の問題と考えればよかったんですね。
納得できました！本当にありがとうがざいます！
No.53992 - 2018/09/26(Wed) 16:06:21
★ 高校数学 シグマ計算 / しゅん
写真の丸で囲んである計算になぜなるのか。その計算過程がわかりません。回答よろしくお願いします。
No.53985 - 2018/09/26(Wed) 12:22:39
☆ Re: 高校数学 シグマ計算 / IT
下から２行目のことなら　

下から３行目の(1/2)n(n+1)=(1/6)n(n+1)3　ですから。
No.53986 - 2018/09/26(Wed) 12:43:41
★ ちゅうがくちゅうがく　 / 伝助
中学数学です。（高校入試演習問題）

答えの数字はわかっています。
問１　（１）９√３　平方ｃｍ　（２）１８／５　ｃｍ　（３）７２／２５ｃｍ
問２　（１）７／４ｃｍ　（２）９√２３／２　立方ｃｍ

やり方がわかりません・・・（TT)　よろしくお願いします！
No.53981 - 2018/09/26(Wed) 00:37:38
☆ Re: ちゅうがくちゅうがく　 / らすかる
問1
(1)△ABCは一辺が6cmの正三角形なので、面積は9√3cm^2
(2)CD=√(CF^2+DF^2)=10cm、△GHD∽△CADからGH=(AC/CD)GD=18/5cm
(3)DH=(AD/AC)GH=24/5cm、△DIH∽△DBCからHI=(DH/CD)BC=72/25cm
問2
(1)JC^2+AJ^2=AC^2=36、JC^2+GJ^2=GC^2=25、AJ=GJ+2から
　(GJ+2)^2-GJ^2=36-25=11、これをといてGJ=7/4cm
(2)JC^2=GC^2-GJ^2=351/16なので
　△BCJの底辺をBCとしたときの高さは√(JC^2-(BC/2)^2)=3√23/4
　よって△BCJ=6×3√23/4÷2=9√23/4なので
　求める立体の体積は△BCJ×GD÷3=9√23/2(cm^3)
No.53983 - 2018/09/26(Wed) 01:58:25
☆ Re: ちゅうがくちゅうがく　 / 伝助
らすかる様
迅速なご対応本当にありがとうございます！
内容よくわかりました！！　助かりました！
No.53984 - 2018/09/26(Wed) 02:15:37
★ 高一数学夏祝 / 隣家
31と32のカッコ2がわかりません。途中までわかるとかではなく1から全てわからないので解説お願いします。
No.53976 - 2018/09/25(Tue) 19:46:31
☆ Re: 高一数学夏祝 / 隣家
すいません。考えたら31は理解できました。32の2番の硬貨の問題解説お願いします。
No.53977 - 2018/09/25(Tue) 19:49:03
☆ Re: 高一数学夏祝 / らすかる
表表
表裏表
表裏裏
裏裏
裏表表
裏表裏
の6通り。
No.53978 - 2018/09/25(Tue) 19:56:07
★ 幸一数学 / ルール
数学a場合と数、確率の範囲について質問です。
PとSは何が違うんでしょうか？教えてくださいお願いします！
No.53975 - 2018/09/25(Tue) 19:11:55
☆ Re: 幸一数学 / noname
順列と組み合わせのことだろうか。だったらSではなくCだ。
何が違うって、場合の数の数え方も計算方法も全然違う。
大雑把に言えば、野球をやるメンバーを決めるのが組み合わせ。打順まで決めたら順列。

多分、テストが近くなって切羽詰まっているんだろうけど、
場合の数・確率の問題の大半は、問題文を整理できるかどうかにかかっていて、
PやCと書けば自動的に答えが出るようなものではないので、
解説を見て「このときはP」って覚えようとしても、できるようにはならんよ。
No.53980 - 2018/09/25(Tue) 23:43:38
★ (No Subject) / 坂下
画像の問題で、ふつうはLとBを含む平面上にAが載るようにLを中心とした回転変換を施すのですが、解いた際にLとAを含むような平面上にBが載るように回転変換を施した点B`について、AB`が求める最小値であるという論法でやったところ答えが合いません（答えは√１０です）
どなたかこの方針での解答を教えてください。
No.53971 - 2018/09/25(Tue) 12:29:49
☆ Re: / らすかる
AからLに下した垂線の足は(2,2,0)
AからLまでの距離は√2
BからLに下した垂線の足は(3,3,0)
BからLまでの距離は√2
よって
B'=(3,3,0)+{(2,2,0)-((4-√2)/2,(4+√2)/2,1)}
=((6+√2)/2,(6-√2)/2,-1)
なので
AB'=√{((4-√2)/2-(6+√2)/2)^2+((4+√2)/2-(6-√2)/2)^2+(1-(-1))^2}
=√10
No.53972 - 2018/09/25(Tue) 13:59:57
☆ Re: / 坂下
ありがとうございました。OA=３、AH=√２としたところ無茶苦茶な値になっておりました。
大変助かりました。
No.53979 - 2018/09/25(Tue) 22:55:12
★ 再び失礼します / 五
150から450までの整数のうち…のような問題で、何個数字の個数があるかを求めるにはどういう計算をすれば良いのですか？
No.53967 - 2018/09/24(Mon) 13:45:17
☆ Re: 再び失礼します / IT
150から450までの整数 の個数は、450-(150-1) 個ですけど
そういう質問ではないですよね。

問題によって条件を満たす整数の個数の求め方はさまざまで万能の計算方法はないと思います。
No.53969 - 2018/09/24(Mon) 14:58:25
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