ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 正規分布のモーメント母関数について / 雫

大学初級の統計学について勉強しています。
青線と赤ワクで囲った部分がわかりません。
青線の方は、指数の部分で積分を変わることができる理由、
赤ワクの方は、赤ワクで囲った式が√２　である理由がわかりません。
教えて下さい、よろしくお願いいたします！

No.53911 - 2018/09/20(Thu) 08:13:18

☆ Re: 正規分布のモーメント母関数について / ヨッシー

青は、公式
　ｅ^(a+b)＝ｅ^a・ｅ^b
を使って、２つに分け、ｘを含まない部分を∫の外に出したものです。

赤は、前回の No.53907 の問題の最終段階で求められているはずです。

No.53913 - 2018/09/20(Thu) 10:55:38

☆ Re: 正規分布のモーメント母関数について / 雫

わかりました！ありがとうございます

No.53919 - 2018/09/20(Thu) 22:53:18

★ 確率分布とモーメント母関数が一対一関係である理由 / 雫

確率分布とモーメント母関数が一対一関係である理由がいまいちわかりません。
ある確率関数の、期待値と分散は１つしかないからでしょうか？

No.53910 - 2018/09/20(Thu) 08:07:31

☆ Re: 確率分布とモーメント母関数が一対一関係である理由 / s

そもそも「1対1対応」というのは

* 確率分布が与えられれば、その（or それに対応する）モーメント母関数が一意に決まる
* モーメント母関数が与えられれば、それに対応する確率分布が一意に決まる

という意味です．

* 確率分布が与えられれば、その期待値と分散は一意に決まる
は正しいですが
* 期待値と分散が与えられれば、それに対応する確率分布は一意に決まる
は偽なので、「ある確率関数の、期待値と分散は１つしかないから」という理解は誤りです
（たとえば期待値0，分散1の分布はいくつも思いつきますね？100個くらい．）

さて，
* 確率分布が与えられれば、その（or それに対応する）モーメント母関数が一意に決まる
は当たり前ですね．問題は
* 期待値と分散が与えられれば、それに対応する確率分布は一意に決まる
の方ですが，これを真面目に定式化・証明しようと思うと測度論（Lebesgue積分論）の知識が必要になります．

なんとなく雰囲気を掴みたいのなら以下のような考え方でどうでしょう
期待値（1次のモーメント）を指定するだけでは確率分布は一意に決まらない
さらに分散（2次のモーメント）を指定したとしてもまだ一意に決まらない，しかし形（分布の広がり方）にある程度の制限はつく
さらに3次のモーメントを指定しても，確率分布を一意に決めることはできないが，さらにその形に制限がつく
モーメント母関数を指定するということは，1次，2次，3次，4次，…全ての次数のモーメントを指定するということです
するとどんどん分布の形が制限されていって，最後には1つの確率分布に絞られるように感じませんか？

もちろん上の説明は厳密な数学的説明ではなく，本当に理解しようと思えば先に述べた測度論をベースとする確率論（特にフーリエ変換論を含む）を学ぶ必要があります．

No.53916 - 2018/09/20(Thu) 13:57:50

☆ Re: 確率分布とモーメント母関数が一対一関係である理由 / 雫

ありがとうございます、わかりました

No.53920 - 2018/09/20(Thu) 22:54:34

★ 数A / 五

5色の絵の具を使って、
A～Eを塗り分ける。

このとき、同じ色を何回使っても良いが、隣り合う部分は異なる色とする場合、何通りの塗り方があるか

3色の場合、5p3なのですが、cb、ｅｃで2通りあるから2をかける…ということはないのですか？変な文章ですみません。解説をしていただきたいです。

No.53900 - 2018/09/20(Thu) 04:34:23

☆ Re: 数A / らすかる

Aを塗る色が5通り
Bを塗る色がA以外の4通り
C,Eを塗る色がA,B以外の3通り
Dを塗る色はBと同じ
よって5×4×3=5P3です。
「cb、ｅｃで2通りあるから2をかける」は
意味がわかりませんでした。

No.53903 - 2018/09/20(Thu) 06:46:14

★ お願いします / 五

赤い色で囲んだ部分の式を、日本語で教えていただきたいです。
何をかけているのかが理解できません。

No.53896 - 2018/09/20(Thu) 03:08:27

☆ Re: お願いします / らすかる

2枚の数字の和が5以下である数字の組合せは
　(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3)
まではわかりますよね？

P(B)の分子の2×3C2は
2枚の数字が同じものが(1,1)と(2,2)の2つ
この場合同じ数字の3枚から2枚選ぶことになるので3C2
よって2×3C2

4×3C1×3C1は
2枚の数字が異なるものは(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)の4つ
この場合一つ目の数字を3枚から1枚選び、二つ目の数字も3枚から1枚選ぶので
4×3C1×3C1

となります。

No.53904 - 2018/09/20(Thu) 06:50:24

★ 弟の課題なのですが、、 / たんぶる

二次関数y＝2x²＋ax＋bがx＝－2のとき最小値－1をとるような実数a,bの値を求めよ

私は文系で全く理解できません、、
どなたか解説願えませんでしょうか？

No.53889 - 2018/09/19(Wed) 23:12:44

☆ Re: 弟の課題なのですが、、 / X

問題の関数より
y=2(x+a/4)^2+b-(1/8)a^2 (A)
∴(A)は
x=-a/4のとき最小値b-(1/8)a^2
を取るので
-a/4=-2 (B)
b-(1/8)a^2=-1 (C)
(B)(C)をa,bの連立方程式として解きます。

No.53890 - 2018/09/19(Wed) 23:46:56

☆ Re: 弟の課題なのですが、、 / たんぶる

ありがとうございます！
ちょっと弟にでかい顔してきます！

No.53891 - 2018/09/20(Thu) 00:05:17

☆ Re: 弟の課題なのですが、、 / 田中

文系の方にもわかって欲しいので簡易版の方法
関数が最大とか最小値をとるとき、その導関数、微分したものが０になる性質があります。
ｙ’＝４ｘ＋ａ＝０
このｙ’が、ｘ＝－２のとき０
４・（－２）＋ａ＝０　．　ａ＝８

ａが決まったので、元の式に代入します。

ｙ＝２ｘ＾２＋８ｘ＋ｂ

あとは、ｘ＝－２のときｙ＝－１になるように

－１＝２・（－２）＾２＋８・（－２）＋ｂ
－１＝８－１６＋ｂ
ｂ＝７
答えはａ＝８　ｂ＝７　です・

実際　元の式を変形すると

ｙ＝２ｘ＾２＋８ｘ＋７＝２（ｘ＋２）＾２－１

で題意に合うものとなります。

No.53892 - 2018/09/20(Thu) 00:10:00

☆ Re: 弟の課題なのですが、、 / らすかる

別解
2次の係数がa（a＞0）でx=pのとき最小値qをとる二次関数は
y=a(x-p)^2+q
と表されますので、2次の係数が2でx=-2のとき最小値-1ならば
y=2(x+2)^2-1=2x^2+8x+7
となり、a=8,b=7となります。

No.53909 - 2018/09/20(Thu) 08:01:47

★ ベクトルについて。 / コルム

点Cを中心とする半径rの円の外部にの点Dからこの円に引いた二本の接線の接点をそれぞれA.Bとした時の直線A Bのベクトル方程式を求めたいのですかどうすればいいのでしょうか？
教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

No.53886 - 2018/09/19(Wed) 18:59:59

☆ Re: ベクトルについて。 / s

他掲示板についている丁寧な回答を無視して同質問か。
恥を知れ、無礼者。

http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=59913

No.53888 - 2018/09/19(Wed) 22:43:10

☆ Re: ベクトルについて。 / GandB

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10732745.html
　この人もまことに丁寧。ほとほと感心する。

No.53915 - 2018/09/20(Thu) 13:36:02

★ 場合の数 / N氏

この問題の解法を教えてください。

No.53885 - 2018/09/19(Wed) 18:51:50

☆ Re: 場合の数 / らすかる

Aから最初に進む方向が4通り
円を一つ増やしたときにその円を一筆書きする方法は
最初にその円との交点に当たった時の分岐が3通り、
次にその円との交点に当たった時の分岐が2通りなので
3×2=6通り
よって円が4つ増えれば4×6^4=5184通り

No.53887 - 2018/09/19(Wed) 19:26:08

☆ Re: 場合の数 / N氏

返信が遅くなりました。
明快な解法を教えていただき、ありがとうございました。
今後もよろしくお願いします。

No.53928 - 2018/09/21(Fri) 17:02:54

★ こちらの問題がわかりません / 雫

青、オレンジ、赤で線を引かれた部分がなぜそうなるのかわかりません。
・青：なぜ極座標に変換しているのでしょうか？
・オレンジ：なぜヤコビアンが出てくるのでしょうか？
・赤：なぜヤコビアンが出てくるのでしょうか？

よろしくお願いいたします！

No.53866 - 2018/09/18(Tue) 23:28:38

☆ Re: こちらの問題がわかりません / GandB

　あのなあ・・・・
　その積分を求めるのに、極座標のヤコビアンを使わない方法があればぜひ教えてくれ（笑）。
　

No.53868 - 2018/09/18(Tue) 23:45:52

☆ Re: こちらの問題がわかりません / GandB

> 極座標のヤコビアンを使わない方法があればぜひ教えてくれ
　いや、あるにはあったぞ。ガンマ関数を使うらしい。

　https://mathtrain.jp/gauss

　初めて知った。しかし、ガンマ関数なんか出てくるとますますややこしくなるだろ（笑）。なぜ、重積分にするのかということについても丁寧な説明がある。

No.53871 - 2018/09/19(Wed) 06:19:48

☆ Re: こちらの問題がわかりません / 雫

わかりやすいURLをありがとうございます。URLの赤線を引いた内容ですが、なぜ2πrdr に近似できるのでしょうか？

No.53873 - 2018/09/19(Wed) 07:30:59

☆ Re: こちらの問題がわかりません / IT

円の面積は計算できますよね？　少し自力で考えられたほうが,疑問が湧くたび質問されるより、かえって早いと思います。

No.53875 - 2018/09/19(Wed) 07:40:54

☆ Re: こちらの問題がわかりません / 雫

@ITさん

すみません、言葉足らずでした。自分で計算したところ、
2rdr+dr^2 になったので、そのように質問したのです。

No.53876 - 2018/09/19(Wed) 08:08:56

☆ Re: こちらの問題がわかりません / らすかる

πをかけ忘れているのでは？

No.53878 - 2018/09/19(Wed) 10:34:10

☆ Re: こちらの問題がわかりません / 雫

確かにπを書け忘れてますね！
2rdrπ+dr^2π　なので、どちらにせよURLの結果と合わないですが・・・。

No.53880 - 2018/09/19(Wed) 15:05:16

☆ Re: こちらの問題がわかりません / IT

何と何とがどう合わないということですか？
もう一度、赤線部分を良く読んでください。

No.53881 - 2018/09/19(Wed) 15:29:32

☆ Re: こちらの問題がわかりません / GandB

> 2rdrπ+dr^2π　なので、
　テキストでは曖昧な書き方。

　　2rdrπ + (dr)^2π = π( 2rdr + (dr)^2 ).

　これを見て、つまり dr と (dr)^2 を見て

　　π( 2rdr + (dr)^2 ) ≒ 2πrdr ･････(#)

を不思議と思うようでは、微積分の修行がまだまだ足りん（笑）。

　だが、しかし・・・・・(#)を理解できたとしてもだ。
　最初の疑問点であるヤコビアンの出現について、ほんとうに納得できるのか？

No.53883 - 2018/09/19(Wed) 18:06:55

☆ Re: こちらの問題がわかりません / 雫

(dr)^2は極小だから無視できる、ということでしょうか・・・！なら納得です、ありがとうございます。

No.53906 - 2018/09/20(Thu) 07:39:29

★ 数A / 旭

緑の部分の5!通りというのがよく分かりません

No.53860 - 2018/09/18(Tue) 22:25:11

☆ Re: 数A / 旭

これです

No.53861 - 2018/09/18(Tue) 22:25:33

☆ Re: 数A / IT

５つのものを並べる方法の数ですから5! です。

No.53864 - 2018/09/18(Tue) 23:15:35

☆ Re: 数A / GandB

　その図を見てわからないのであれば、理解するのはなかなか難しいかも知れない。

　わかってもらえるかまったく自信がないが、一応書いておく。

　男子 4 人を A B C D、女子 3 人を p q r で表す。さらに、女子をひとまとめにした 1 つのグループを [p-q-r] で表す。

　男子 4 人と女子 3人をひとまとめにした並び方とは

　　A　B　C　[p-q-r]　D
　　B　[p-q-r]　D　C　A
　　D　C　B　A　[p-q-r]

のような状態を指す。つまり男子 4 人と女子の 1 グループを、「相異なる5個の物体」と見なす。したがってその並び方の数は 5！。

No.53865 - 2018/09/18(Tue) 23:17:08

☆ Re: 数A / 旭

女子のまとまりを1と考えればいいということですか！

No.53872 - 2018/09/19(Wed) 07:14:55

☆ Re: 数A / IT

そのとおりです。

その本の「男子 4 人とひとまとめにした女子の並び方」という日本語は、あいまいで分かりにくい表現ですね。

No.53874 - 2018/09/19(Wed) 07:35:55

★ シンプルですが、なかなか解けません / 田中

三角形ＡＢＣで、ＡＢ＞ＡＣ　とします。底角の２つから角の二等分線を引きます。すると図のようにＢＤとＣＥができます。　このとき、ＢＤ＞ＣＥ　となることを証明せよ。どなたか、やってみませんか。

No.53855 - 2018/09/18(Tue) 18:19:17

☆ Re: シンプルですが、なかなか解けません / らすかる

∠CEB≧90°のとき
BCの垂直二等分線とABの交点をF、CFとBDの交点をG、
∠BCFの二等分線とABの交点をHとするとBD＞BG=CH＞CE
∠CEB＜90°のとき
BDとCEの交点をIとしてIからAB、ACに垂線IJ、IKを下ろすと
∠CDB=180°-∠ACB-∠ABC/2＜180°-∠ACB/2-∠ABC=∠CEBつまり
∠KDI＜∠JEI＜90°でIJ=IKなのでID＞IE
また∠IBC＜∠ICBからIB＞IC、よってBD=IB+ID＞IC+IE=CE

No.53856 - 2018/09/18(Tue) 20:24:29

☆ Re: シンプルですが、なかなか解けません / 田中

ありがとうございました。前半すぐにわかりました。後半は、やはり複雑ですね。まだ、理解できていませんので、努力します。やはり、らすかる様です。

No.53869 - 2018/09/19(Wed) 00:13:33

☆ Re: シンプルですが、なかなか解けません / らすかる

では後半を説明します。

△CEBの内角の和は∠CEB+×+×+□=180°
△CDBの内角の和は∠CDB+×+□+□=180°
第1式から第2式を引くと∠CEB-∠CDB+×-□=0°
つまり∠CEB-∠CDB=□-×＞0（∵AB＞ACから□＞×）
ですから常に∠CEB＞∠CDBです。
よって∠CEBが鋭角のとき、∠CDBも鋭角となり
さらに∠CDBの方が小さくなります。

BDとCEの交点Iは内心ですから、IからAB、ACに
垂線IJ,IKを下ろすとIJ=IKとなります。
「内心」を使わなくても、IからAB,AC,BCに
垂線IJ,IK,ILを下ろせば
△IJB≡△ILBからIJ=IL
△ILC≡△IKCからIL=IK
なのでIJ=IKと言えます。

∠CEBと∠CDBは鋭角なので、
EはJよりもAに近く、DはKよりもAに近いです。
さらに∠CDB＜∠CEBでしたのでEJ＜DKとなり、
PK=EJとなるような点Pを線分DK上にとれば
△IEJ≡△IPKですから、ID＞IP=IEが言えます。
そして△IBCにおいて∠IBC＜∠ICBから
IB＞ICなのでID＞IEかつIB＞ICとなり、
BD=IB+ID＞IC+IE=CEが示されます。

No.53870 - 2018/09/19(Wed) 05:51:28

☆ Re: シンプルですが、なかなか解けません / 田中

お手数かけました。詳細な説明ありがとうございました。明確に理解できました。

No.53879 - 2018/09/19(Wed) 12:56:37

★ 三角比について。 / コルム

AB=3、∠A=60°の△ABCがあり、△ABCの外接円の半径は√39/3である。
(1)辺BCの長さを求めよ。
(2)辺ACの長さを求めよ。また、tanBの値を求めよ。
(3)直線BC上に∠BAD＝90°になるように点Dをとる。線分ADの長さを求めよ。
また、線分ACを折り目として、△ACDを折り曲げ、平面ABCと平面ACDが垂直になるようにする。
折り曲げた後の点Dに対して、線分BDの長さを求めよ。
教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

No.53851 - 2018/09/18(Tue) 11:29:59

☆ Re: 三角比について。 / 田中

（１）は。√１３だと思います。Ｒを外接円の半径とすると、正弦定理から、ａ／ｓｉｎＡ＝２Ｒが成り立ち、　ａを求めれば、
２Ｒ・sinＡ＝２・√３９／３・√３／２＝√１３
疑問（３）は角度の名称が違うのでは、∠BADではなく∠BDAではないでしょうか。

No.53857 - 2018/09/18(Tue) 20:36:09

☆ Re: 三角比について。 / コルム

(2)と、(3)を教えていただければと思います。大変恐縮ですが。(3)は、∠BDA として、解いていただけると幸いです。

No.53867 - 2018/09/18(Tue) 23:38:48

☆ Re: 三角比について。 / 田中

強引な方法で解いてみましたが、まず答えだけ載せておきます。（２）ＡＣ＝４　ｔａｎＢ＝２√３
（３）ＡＤ＝４√３／√１３
となりましたが、合っているでしょうか。しっかり作図しないととても考えられませんでした。原寸大で作図してみました。

No.53882 - 2018/09/19(Wed) 16:12:54

★ 徳島大医学部確率 / kitano

★★★★ 徳島大医学部確率 ★★★★★

問題鮮明 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

https://imgur.com/a/dWqk4q7

質問は (3) のみです、

有識者の方々、何卒、宜しく御願い致します。

No.53847 - 2018/09/18(Tue) 08:17:09

☆ Re: 徳島大医学部確率 / らすかる

1回目が2種類の目で大きい方の目の人が2人以上、
2回目も2種類の目で大きい方の目が1人ということですね。
1回目で勝ち残る人をm（2≦m≦n-1）とすると
1回目は
2種類の目の出方が6C2通り
大きい方の目を出す人がnCm通り
なので1回目でm人が勝ち残る確率は15・nCm/6^n
2回目は
2種類の目の出方は同じく6C2通り
大きい方の目を出す人がm通り
なので2回目で優勝者が決まる確率は15m/6^m
よって求める確率は
Σ[m=2～n-1](15・nCm/6^n)(15m/6^m)
=(225/6^n)Σ[m=2～n-1]m・nCm/6^m
m・nCm=(n-m+1)・nC(m-1)なので
S=Σ[m=2～n-1]m・nCm/6^mとすると
S=(1/6)Σ[m=2～n-1](n-m+1)・nC(m-1)/6^(m-1)
=(1/6)Σ[m=1～n-2](n-m)・nCm/6^m
S+6S=Σ[m=2～n-1]m・nCm/6^m+Σ[m=1～n-2](n-m)・nCm/6^m
=Σ[m=0～n]m・nCm/6^m+Σ[m=0～n](n-m)・nCm/6^m
　-{1・nC1/6^1+n・nCn/6^n+n・nC0/6^0+1・nC(n-1)/6^(n-1)}
=nΣ[m=0～n]nCm/6^m - {n/6+n/6^n+n+n/6^(n-1)}
=n・(1+1/6)^n-7n(1/6+1/6^n)
=7n{7^(n-1)-6^(n-1)-1}/6^n
∴S=n{7^(n-1)-6^(n-1)-1}/6^n
従って求める確率は
(225/6^n)・n{7^(n-1)-6^(n-1)-1}/6^n
=225n{7^(n-1)-6^(n-1)-1}/36^n

No.53850 - 2018/09/18(Tue) 11:03:47

☆ Re: 徳島大医学部確率 / kitano

らすかる様

昨日の間にご返信できず、申し訳ありませんでした

流石ですね、

本当に有難うございました。

また、宜しく御願い致します。

No.53877 - 2018/09/19(Wed) 08:52:42

★ 大学初級の統計学について / 雫

大学初級の統計学を勉強しています。画像の問題が分かりません。
青線を引いた上まではわかるのですが、青線を引いている箇所がわかりません。fy(y)やfx(x)などなぜ偏微分が出てくるのでしょうか？解説をお願いします！