等差数列2,5,8,……を{a[n]}
等比数列2,-4,8,……を{b[n]}とするとき，
数列{a[n]}と数列{b[n]}との両方に含まれる数を順に取り出してできる数列{c[n]}の一般項を求めよ。
＜解答＞
一般項はそれぞれ
a[n]=3n-1，b[n]=(-1)^n-1・2^nになり
{a[n]}のp項目と{b[n]}のq項目が等しいとき
a[p]=b[q]から 3p-1=(-1)^q-1・2^q
よって，p={(-1)^q-1・2^q＋1}/3……?@
ここで，pは自然数なので
(-1)^q-1は正にならなければいけないので，q-1=2mとおく．
q=2m+1より，?@に代入して
p={(-1)^2m・2^(2m+1)＋1}/3
={2^(2m+1)+1}/3
よって，a[p]=3・[{2^(2m+1)+1}/3]-1
=2^(2m+1) (m=1, 2, 3……)
つまり，c[n]=2^(2n+1)と書いてあります
a[p]==2^(2m+1) (m=1, 2, 3……)まではわかりましたが
ここからいきなりc[n]=2^(2n+1)となる理由がわかりません
よろしくお願いします。
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No.53746 - 2018/09/13(Thu) 00:53:50
| ☆ Re: 数B 数列 / らすかる | | | その解答には間違いがありますね。
q-1=2mとおいたらq≧1ですからm≧0です。
従ってa[p]=2^(2m+1)(m=0,1,2,3,…)となります。
a[p]=2^(2m+1)=b[q]（m=0,1,2,3,…） であり
これが{a[n]}と{b[n]}の両方に含まれる数ですから、
{c[n]}に含まれる数が2^(2m+1)（m=0,1,2,3,…）ということになります。
2^(2m+1)はmに0,1,2,3,…を代入すると
小さい順になりますので、
これがそのままc[m+1]の一般項になります。
つまりc[m+1]=2^(2m+1)ですから
m+1=nとおけばc[n]=2^(2n-1)となります。
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No.53747 - 2018/09/13(Thu) 01:35:23 |
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