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(No Subject) / いむ
この問題の解く手順を教えてください。

回答を読んでもどういうプロセスで解いているのかわかりませんでした。

No.53549 - 2018/09/05(Wed) 22:28:49

Re: / ヨッシー
例題(1) で、固有値と固有ベクトルを求めているようですが、
そこまでは理解されていますか?

それならあとは機械的な変形のみで、
2つの固有ベクトルを、列ベクトル(縦長)の形にして
横に並べたものをPとする。
P^(-1)AP を計算すると、固有値が対角に並んだ行列になる。
それだけのことです。

No.53554 - 2018/09/05(Wed) 23:43:11

Re: / いむ
ありがとうございます。
なぜ、固有値と固有ベクトルを求めているのか理解できていません・・・。

No.53628 - 2018/09/08(Sat) 23:18:28
(No Subject) / ゆりな
底4のLog(4x-x^2)=底2のlog(x-s)+1
この方程式が解を持つようなsの範囲を求める問題で

このログの式を変形して
f(x)=5x^2-(8s+4)x+4s^2
となり判別式D/4≧0を計算して

Sの範囲が
2-√5から2+√5と出ました

ここで、真数条件がログの式の左辺では0<x<4
右辺からx>s
なので共通部分を考えたときにxは負の数はとれないので答えは0<s<4だと思ったら答えは2-√5から4でした、、いまいちよくわかりません。

No.53547 - 2018/09/05(Wed) 22:05:31

Re: / らすかる
xは負の数はとれませんが、sはxより小さければ負でもよいので、
sは負の数がとれます。

No.53548 - 2018/09/05(Wed) 22:08:06

Re: / ゆりな
なるほど!

解答を見るとsが0以下 0の時 0から4のとき 4以上のときと 場合分けをしていたのですが、
ワタシのような判別式が≧0でSをSの最小値とxのとりうる値の最大値で挟む考え方はあってますか?

No.53550 - 2018/09/05(Wed) 23:02:47

Re: / らすかる
合っていないと思います。
例えばs=0のとき、判別式からf(x)=0が解を持つことだけはわかますが、
その解が0<x<4の範囲内とは限りませんね。

No.53556 - 2018/09/05(Wed) 23:58:55
図形の問題 / 中学数学苦手
答え8πcm  30π㎠ 解りません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.53545 - 2018/09/05(Wed) 21:18:30

Re: 図形の問題 / らすかる
Oの軌跡
OAが垂直になるまでで 2×π×6×90/360=3π
そこからOBが垂直になるまでで 2×π×6×60/360=2π
そこからOが直線Lにくっつくまでは最初と同じ3π
よって全部で 3π+2π+3π=8π

面積
最初の部分が π×6^2×90/360=9π
次が 2π×6=12π
最後は最初と同じく9π
よって全部で 9π+12π+9π=30π

No.53546 - 2018/09/05(Wed) 21:52:40

Re: 図形の問題 / 中学数学苦手
解説ありがとうございます。すみません、OBが垂直になるまでで 2×π×6×60/360 この計算式の意味がよく解りません。
No.53560 - 2018/09/06(Thu) 06:01:25

Re: 図形の問題 / らすかる
OAが垂直になってからOBが垂直になるまでは、
Oは水平に動きます。
この移動距離は、おうぎ形の弧ABの長さと同じですから、
その式で計算されます。

No.53561 - 2018/09/06(Thu) 06:43:55

Re: 図形の問題 / 中学数学苦手
この移動距離は、おうぎ形の弧ABの長さと同じですから、
その式で計算されます。解りました。解説ありがとうございます。

No.53581 - 2018/09/07(Fri) 19:48:08
お願いします / 偏差値1
多くの質問をしてしまい申し訳ありません。
この2つの問題を教えていただきたいです。

No.53538 - 2018/09/04(Tue) 21:15:12

Re: お願いします / X
いずれも部分積分を使います。
一問目)
(与式)=[xlogx][1→e]-∫[1→e]x(1/x)dx
=e-(e-1)
=1

二問目)
(与式)=[(2x+1)e^x][0→1]-∫[0→1]2(e^x)dx
=3e-1-2(e-1)
=e+1

No.53541 - 2018/09/04(Tue) 21:56:20
お願いします / 偏差値1
お願いします
No.53537 - 2018/09/04(Tue) 21:06:25

Re: お願いします / ヨッシー
(2)
cosx は偶関数、tanx は奇関数なので、
 (与式)=2∫[0〜π/4]cosxdx
   =2[sinx][0〜π/4]
   =√2

奇関数 f(x)、偶関数 g(x) に関する公式
 ∫[−α〜α]f(x)dx=0
 ∫[−α〜α]g(x)dx=2∫[0〜α]g(x)dx
を利用しています。

No.53540 - 2018/09/04(Tue) 21:47:45
赤線の式がなぜそうなるのか理解できない / あい
線形代数の単元で出てきた、赤線の式がなぜそうなるのか理解できないです。。。解説して欲しいです。
No.53536 - 2018/09/04(Tue) 20:33:05

Re: 赤線の式がなぜそうなるのか理解できない / GandB
 全体がはっきりわからんけど、漸化式

  I[n] = ( (n-1)/n )I[n-2]

が成り立っているんだろうから
  I[4] = ( (4-1)/4 )I[4-2] = (3/4)I[2].
  I[2] = ( (2-1)/2 )I[2-2] = (1/2)I[0].
 よって
  I[4] = (3/4)(1/2)I[0].

No.53539 - 2018/09/04(Tue) 21:25:58

Re: 赤線の式がなぜそうなるのか理解できない / あい
ありがとうございます。ウォリスの公式という単元でした!
No.53542 - 2018/09/04(Tue) 23:14:16
(No Subject) / 梨花
{sin^(n-1)}を微分すると、(n-1)・sin^(n-2)x・cosxになる理由がわかりません・・・。(n-1)・sin^(n-2)x・cos^(n-2)x になると思いました。
No.53532 - 2018/09/04(Tue) 18:41:23

Re: / らすかる
{(sinx)^(n-1)}'
=(n-1)(sinx)^(n-2)・{sinx}'
=(n-1)(sinx)^(n-2)・cosx
となります。

No.53534 - 2018/09/04(Tue) 20:02:28
2変数関数の極大値と極小値の判定の証明で、テーラー展開が使われているのが理解できない / 雫
2変数関数の極大値と極小値の判定の証明で、テーラー展開が使われているのが理解できません。
テーラー展開は難しい式を近似するためのもの、という認識ですが、
なぜここで使われているのでしょうか?(2変数関数の式が難しかった・・・?)

こちらのサイトを読んでいます。http://tau.doshisha.ac.jp/lectures/2009.calculus-II/html.dir/node55.html

No.53529 - 2018/09/04(Tue) 15:58:42

Re: 2変数関数の極大値と極小値の判定の証明で、テーラー展開が使われているのが理解できない / GandB
 2変数以上の極値問題は微分学で一番やっかいなところだから、掲示板の Q&A で気軽に理解しようなどという甘い考えは捨て、気合いを入れて教科書・参考書を熟読すべし(笑)。もっとも印刷された参考書は、ページ数の制限もあってあまり親切な説明はしてくれない。そこで頼りになるのがネットの解説だが
  https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/kiyono/simo11-06a.pdf
の説明が、とても懇切丁寧でわかりやすいと思う。

No.53535 - 2018/09/04(Tue) 20:17:54

Re: 2変数関数の極大値と極小値の判定の証明で、テーラー展開が使われているのが理解できない / 雫
ありがとうございます!教えてくださったurlのサイト、すごくわかりやすかったです!
ちなみに1つ質問なのですが、写真で赤線を引いている部分ですが、
f''(a) >0 ならば下に凸な放物線で、f''(a) <0 ならば上に凸な放物線 と言えるのでしょうか?

No.53543 - 2018/09/05(Wed) 00:01:11

Re: 2変数関数の極大値と極小値の判定の証明で、テーラー展開が使われているのが理解できない / GandB
 いや、その説明通りだけど(笑)。
 というか、最初からもっとじっくり読みなさい。
 関数の極値を判定するのに2変数関数では1変数関数における増減表は使えない。だからテイラーの定理で二次近似を使うのだ。そのために極値の定義も見直すというのがキモだけど、ここで詳細に説明するのはメンドー。だからこそ、そのサイトを紹介した。
 いい機会だから、まず1変数におけるテイラーの定理を自力で証明し、1変数の極値問題をテイラーの定理を使って解くことをお勧めする。

No.53544 - 2018/09/05(Wed) 06:43:07
最大最小 / 佐藤
お願いします
No.53517 - 2018/09/04(Tue) 11:35:34

Re: 最大最小 / ヨッシー
 y=x^2−10x+a
のグラフは、下に凸で、軸の式は
 x=5
また、定義域の幅は1なので、軸と定義域の位置関係によって、
以下のように場合分けします。
i) a+1<5 のとき
 軸は定義域外で、定義域内ではグラフは単調減少
 f(a) が最大値、f(a+1) が最小値
ii) a+1/2<5≦a+1 のとき
 軸は定義域内で、中心よりも右寄り
 f(a) が最大値、f(5) が最小値
iii) a≦5≦a+1/2 のとき
 軸は定義域内で、中心よりも左寄り
 f(a+1) が最大値、f(5) が最小値
iv) 5<a のとき
 軸は定義域外で、定義域内ではグラフは単調増加
 f(a+1) が最大値、f(a) が最小値

これらを解いてまとめると、
1) 最大値
 a<9/2 のとき a^2−9a
 9/2≦a のとき a^2−7a−9
2) 最小値
 a<4 のとき a^2−7a−9
 4≦a≦5 のとき a−25
 5<a のとき a^2−9a

No.53518 - 2018/09/04(Tue) 11:56:26

Re: 最大最小 / 佐藤
え、9/2ってどこから出てきたんですか
No.53527 - 2018/09/04(Tue) 15:17:52

Re: 最大最小 / ヨッシー
a≦x≦a+1
の範囲のちょうど真ん中に軸(x=5)があるときのaの値です。
これを境に、最大値が範囲の、左端で出るか、右端で出るかが変わってきます。

計算上は、
 ii) a+1/2<5≦a+1
 iii) a≦5≦a+1/2
の、1/2 を含んだ部分から得られます。

No.53528 - 2018/09/04(Tue) 15:29:24
判別式Dの意味がわからない / 雫
2変数関数の極大値と極小値の判定の照明で使われている判別式Dの意味がわからないです。
高校で習ったDは画像のように2次方程式で使うものです。それがなぜ、2変数関数で使われているのか、さらに極小値・極大値を求める時に使われているのかわかりません・・・・。

No.53514 - 2018/09/04(Tue) 11:06:33

Re: 判別式Dの意味がわからない / 雫
ちなみにこちらのサイトhttp://tau.doshisha.ac.jp/lectures/2009.calculus-II/html.dir/node55.html を見ています
No.53515 - 2018/09/04(Tue) 11:07:03

Re: 判別式Dの意味がわからない / ヨッシー
そこで述べられている極値の判別式と、2次方程式の判別式は別のものです。

極小なのか極大なのか、あるいはどちらでもないのかを「判別」するものなので、
「判別式」と呼んでいるだけです。
Dは(判別式:discriminant)の頭文字です。

No.53516 - 2018/09/04(Tue) 11:25:33

Re: 判別式Dの意味がわからない / 雫
そうなのですね!ちなみに、Dはどういう式になるのでしょうか?
No.53521 - 2018/09/04(Tue) 12:23:33

Re: 判別式Dの意味がわからない / らすかる
Dの式はそこに書いてありますね。
もし「二次方程式の判別式」のような
具体的な式を期待しているのでしたら、
それはf(x,y)が具体的に与えられない限り
具体的には書けません。
「二次方程式の判別式」も
f(x)が具体的な二次関数を与えられているから
書けるのであって、一般形は
D=(a[n])^(2n-2)・Π[i<j](r[i]-r[j])^2
(ただしa[n]はf(x)の最高次の係数、r[k](k=1〜n)はf(x)=0の根)
です。

No.53522 - 2018/09/04(Tue) 12:33:31

Re: 判別式Dの意味がわからない / 雫
式は具体的に書けばいのですね・・・!わかりました!
No.53525 - 2018/09/04(Tue) 13:52:50
tan x/2 = tの微分について / 梨花
tan x/2 = tを微分すると、
dx = 2/(1+t^2) dt
になる理由がわかりません。導出を教えてください!!

No.53509 - 2018/09/04(Tue) 09:03:41

Re: tan x/2 = tの微分について / らすかる
{tan(x)}'=1/{cos(x)}^2なので
{tan(x/2)}'=(1/2)・1/{cos(x/2)}^2ですね。
また
{tan(x)}^2+1=1/{cos(x)}^2なので
{tan(x/2)}'=(1/2)・1/{cos(x/2)}^2
=(1/2)・{{tan(x)}^2+1}
=(1/2)・(t^2+1)
=(1+t^2)/2
となります。
よって
dt/dx=(1+t^2)/2なので
dx=2/(1+t^2) dt となります。

No.53512 - 2018/09/04(Tue) 09:18:40

Re: tan x/2 = tの微分について / 梨花
ありがとうございます。
(1/2)・1/{cos(x/2)}^2
=(1/2)・{{tan(x)}^2+1} になっているところがわかりませんでした。
(1/2)・1/{cos(x/2)}^2
=(1/2)・{{tan(x/2)}^2+1} ではないかと思いました。
またtはtanx という認識であってますか?

No.53531 - 2018/09/04(Tue) 17:48:17

Re: tan x/2 = tの微分について / らすかる
あ、そこは書き間違いです。
(1/2)・1/{cos(x/2)}^2
=(1/2)・{{tan(x/2)}^2+1} で合ってます。
tはtan(x/2)です。

No.53533 - 2018/09/04(Tue) 19:59:37
(No Subject) / 梨花
cos x = cos^2 x/2 - shin^2 x/2 が成り立つ理由を教えてください!
No.53508 - 2018/09/04(Tue) 09:01:55

Re: / ヨッシー
 cos x = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)
ですね。

倍角の公式
 cos(2α)=cos^2(α)−sin^2(α)
に、α=x/2 を代入します。
倍角の公式は、加法定理
 cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
に、β=α を代入します。
加法定理って何かというのは、教科書を見てください。

No.53510 - 2018/09/04(Tue) 09:08:02

Re: / 梨花
ありがとうございます。わかりました!!
No.53530 - 2018/09/04(Tue) 17:46:53
cos^(-1)x の微分の導出に関して質問 / コム
cos^(-1)x の微分の導出に関して質問です。
画像で赤線を引いた箇所はなぜ成り立つのでしょうか?

No.53507 - 2018/09/04(Tue) 08:58:39

Re: cos^(-1)x の微分の導出に関して質問 / らすかる
y=sinxのグラフは描けますか?
描けるなら、0≦x≦πのときy≧0というのはわかりますよね。
つまり0≦x≦πのときsinx≧0ですから
xをyに書き換えれば
0≦y≦πのときsiny≧0
となります。

上にdx/dy=-siny、その下にsiny=±√(1-x^2)
と書かれていますので
dx/dy=-siny=±√(1-x^2)
ですよね。
そしてsiny≧0から-siny≦0なので
±√(1-x^2)のうちの-√(1-x^2)の方が採用され、
dx/dy=-√(1-x^2)
となります。

No.53511 - 2018/09/04(Tue) 09:10:41
数列、上に有界 / 坂下
ある証明で、an≧0で、有限和Σan≦A(ある値)
であるから、Σ(n=1〜n=N)anは上に有界とあったのですが、
何故上に有界となるかがピンときません。
有限和に関して上から抑えられていても無限ならそうとは限らないとか考えてしまいます。
どうして上の考え方はまずいのですか?

No.53505 - 2018/09/04(Tue) 00:17:33

Re: 数列、上に有界 / ast
実際にはどう書いてあったのかわかりません, 質問者さんがもとの文章の意図を壊す形で誤った要約をした (おかしなところで文章を切った) 可能性も十分疑われます.
もとの文章を, なるべく前後が分かる状態で, そのままご提示いただいたほうが適切な回答を受けられるものと推察します.

No.53506 - 2018/09/04(Tue) 00:35:23

Re: 数列、上に有界 / 坂下
回答ありがとうございます
実際には、上の文章は言い換え、要約をしてあります。
添付画像のΣ(有限個)❙anbn❙≦Σ(∞)❙an❙Σ(∞)
❙bn❙
したがってΣanbnは絶対収束する。
絶対収束するといえるのはΣ❙anbn❙が上に有界な単調増加数列だからだと思うのですが、上に有界という部分がよくわかりません。有限和に関して上から抑えられていても無限ならそうとは限らないと考えてしまうのです。

No.53519 - 2018/09/04(Tue) 12:18:57

Re: 数列、上に有界 / 坂下
教科書の画像
No.53520 - 2018/09/04(Tue) 12:20:17

Re: 数列、上に有界 / らすかる
任意の有限和について上限があれば、
例えば任意のnに対してΣ[k=1〜n]a[k]≦Aならば
lim[n→∞]Σ[k=1〜n]a[k] ≦ lim[n→∞]A = A
ですから無限和でも上限があります。

No.53523 - 2018/09/04(Tue) 12:39:01

Re: 数列、上に有界 / IT
まず、最も単純な「数列{c[n]} が上に有界」の定義を確認されることをお薦めします。
No.53524 - 2018/09/04(Tue) 12:40:44

Re: 数列、上に有界 / 坂下
an=O(1)⇔
{an}が有界⇔∃no,∃M,∀n(n≧n0⇒an≦M)
⇔∃M,∀n,an≦M
これらが{an}が有界の定義でしょうか?

No.53526 - 2018/09/04(Tue) 14:43:10
わかりません / もち
高3 数3

字が汚くて申し訳ないんですが教えていただければ幸いです

No.53500 - 2018/09/03(Mon) 20:31:57

Re: わかりません / IT
積の導関数の公式の証明(教科書にあると思います)を真似するといいと思います。
No.53501 - 2018/09/03(Mon) 21:01:14
(No Subject) / ゆか
数学的帰納法を使う問題で
N=kの時の成立を仮定して証明すればいいのか

N=k k-1の成立を仮定して証明しないといけないのか

どっちを使って証明したらいいかって問題の何を見たらわかるのでしょうか? 

No.53498 - 2018/09/03(Mon) 18:59:23

Re: / らすかる
問題を見て決めるものではないと思います。
n=k+1の式を変形してn=kの式だけで表せたらn=kだけ、
n=k-1の式も必要そうならn=k-1も加えて、
さらにはn=1〜kまですべて必要な場合とか、
最初からn=kは使えずn=k-1だけを使う
(つまり1つおき)場合などいろいろあります。

No.53499 - 2018/09/03(Mon) 19:21:53
数列 / しずく
n個の箱とn個の玉があります。
箱と玉にはそれぞれ1~nと番号が付けられています
n個の箱に玉を1つずつ入れるときに箱と玉の番号が全部異なっているような入れ方の総数をUnとする
このとき、U[n+1]=αU[n]+βU[n-1]という関係がなりたつ αとβを求めよ

という問題なのですがまったくわかりません。
解き方を教えてください…

No.53491 - 2018/09/03(Mon) 03:09:21

Re: 数列 / らすかる
漸化式の立て方は例えば以下のサイトに説明があります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%88%97
http://www.mathlion.jp/article/ar041.html
https://mathtrain.jp/montmort
説明が難しいかも知れませんが、他にも多数、動画もありますので
もし上のサイトでわかりにくかったら
「完全順列 漸化式」で検索してみて下さい。
答えはα=β=nとなります。

No.53494 - 2018/09/03(Mon) 06:41:54
(No Subject) / しょう
なぜこの問題はx=0で微分不可能なのですか?
No.53490 - 2018/09/03(Mon) 01:35:40

Re: / らすかる
左側微分係数と右側微分係数が異なるからです。
No.53495 - 2018/09/03(Mon) 06:45:01
(No Subject) / しょう
10の(1)番がわかりません、教えてください。
よろしくお願いします。

No.53489 - 2018/09/03(Mon) 01:32:54

Re: / GandB
 部分分数展開がキモだろうから不定積分だけ示す。
  1/(x^2-1) = a/(x+1) + b/((x-1).
  1 = a(x-1) + b(x+1).
  x = 1 ⇒ b = 1/2.
  x = -1 ⇒ a = -1/2.

  ∫1/(x^2-1) dx
 = (1/2)∫1/(x-1) - (1/(x+1) dx
 = (1/2)( log|x-1| - log|x+1| )
 = (1/2)log|(x-1)/(x+1)|.

No.53493 - 2018/09/03(Mon) 04:50:28
(No Subject) / イムレー
tan x/2 = t が 1/2 sec^2 x/2 dx = dt に変形される理由を教えてください!!
No.53483 - 2018/09/02(Sun) 23:53:20

Re: / らすかる
{tanx}'=(secx)^2はご存知ですか?
ご存知ならば
{tan(x/2)}'={x/2}'・{sec(x/2)}^2=(1/2){sec(x/2)}^2
ですから
t=tan(x/2)のときdt/dx=(1/2){sec(x/2)}^2
よって(1/2){sec(x/2)}^2 dx=dtとなります。

No.53484 - 2018/09/03(Mon) 00:03:51

Re: / イムレー
なるほど!ありがとうございます!!
No.53502 - 2018/09/03(Mon) 22:38:21
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