円と直線(お茶の水大 2010)
『xy平面上の２円
C1:x^2+y^2=16 C2:(x-6)^2+y^2=1
について点 P を通る任意の直線が C1 または C2 の少なくとも一方と共有点を持つような点 P の存在する領域を図示せよ．』
という問題について
Ｐ(p,q) としてＰを通る任意の直線を cosθ(x-p)+sinθ(y-q)=0 とおいて任意のθについて
-４≦pcosθ+qsinθ≦４ (C1と共有点をもつ)
または
-1≦(p-6)cosθ+qsinθ≦1 (C2と共有点をもつ)
が成り立つようなＰについて考えようとしたのですが
p^2+q^2≦16 (C1内部) または (p-6)^2+q^2≦1 (C2内部) の場合は自明として
それ以降で膠着してしまいました。
答えとしては
『C1,C2および共通外接線，共通内接線で囲まれた領域』となります。
手持ちの解答では「この領域内では条件を満たす」程度の説明しかなく、数式での解答を試みた次第です。
ご教授願います。
|
No.53343 - 2018/08/27(Mon) 07:55:03
| ☆ Re: 円と直線(お茶の水大 2010) / 黄桃 | | | 図形的考察をしないと難しいのではないでしょうか。
要するに、θに関する不等式
-４≦pcosθ+qsinθ≦４ または -1≦(p-6)cosθ+qsinθ≦1
の解が0〜2πすべてをカバーする、ということなのですが、数式だけだと、出てくる角度の意味をきちんと理解するのが難しい上に出てきた結論は当たり前のものになります。
実際、O(0,0), A(6,0)とし、C1,C2の外側にあるPが条件を満たすとは、
PからC1に引いた2本の接線に挟まれるOを含む領域(Oの反対側も含む)と
PからC2に引いた2本の接線に挟まれるAを含む領域(Aの反対側も含む)との和集合が全体集合になる
ということである、となります（この結論自体は図形的意味を考えれば明らかでしょう）。
この先の考察は図形的にした方がずっと楽で、そうなると「手持ちの解答」と大差ないものになるでしょう。
＃全部数式だけでやろうと思ったら、
＃PからC1に引いた2本の接線の方程式を f1(x,y)=0, f2(x,y)=0,
＃PからC2に引いた2本の接線の方程式を g1(x,y)=0, g2(x,y)=0 とし、
＃f1(0,0)*f2(0,0)<0, g1(6,0)*g2(6,0)<0 とすれば（符号が反対なら f1やg1を -f1や-g1 で置き換える）
＃f1(x,y)*f2(x,y)>0 の範囲が g1(x,y)*g2(x,y)≦0の範囲に含まれる、
＃という条件を明らかにすればいいですが、かなり面倒なことになると思います(少なくとも私はやる気がおきません）。
|
No.53396 - 2018/08/31(Fri) 07:55:23 |
| ☆ Re: 円と直線(お茶の水大 2010) / 名前 | | | 最初は図形的考察を考えました。
円外の定点Ｐを通る直線が円と共有点をもつとき、直線が動ける限界は円と直線が接するときです。
この直線がC1と共有点をもたなくなったときからC2と共有点をもち始め、C2と共有点をもたなくなったときからC1と共有点をもち始めると考えれば共通接線が境界になるであろうという推測はできます。
実際、原題では小問で２円の共通接線の方程式を問うており共通接線が境界になることを示唆しています。
しかし、こうした考察を厳密に実行して図示するところでつまづいてしまいました。
|
No.53398 - 2018/08/31(Fri) 11:00:33 |
| ☆ Re: 円と直線(お茶の水大 2010) / 黄桃 | | | もし目的が、数式を使って解くこと、でないのなら、改めて投稿しなおすことをお勧めします。小問は誘導になっていることが多く、問題作成者の意図は図形的に解くことでしょう。
＃4本の共通接線で分割される領域ごとに可能性を検討すれば
＃（面倒ですが）確実、というのが「手持ちの解答」の方針では？
|
No.53460 - 2018/09/02(Sun) 08:25:28 |
|
