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★ 式と証明 / Ran
この問題なのですが、

答えは、私が赤ペンで記入したようなものです。

ここで疑問なのですが、

⑴で、f(0)=f(0)+ f(0)=0
って、絶対になるんですか？？？

f(0)がなにか、ゼロ以外の値をとることはないんでしょうか？？
No.52728 - 2018/08/07(Tue) 13:40:41
☆ Re: 式と証明 / Ran
これです。
No.52729 - 2018/08/07(Tue) 13:44:34
☆ Re: 式と証明 / らすかる
「f(0)=f(0)+f(0)=0」と書くのはちょっと変です。
f(x+y)=f(x)+f(y)でx=y=0とすると
f(0)=f(0)+f(0)
両辺からf(0)を引いて
0=f(0)
なのでf(0)=0です。
No.52730 - 2018/08/07(Tue) 13:46:07
☆ Re: 式と証明 / Ran
なるほどすぎる爆笑

そんなに、わかりやすいのか！！

ありがとうございます！
助かりました
No.52731 - 2018/08/07(Tue) 14:00:40
★ 式と証明。 / Ran
ここの問題なのですが、


最後の最後に、私は、等号成立条件を間違えています。

等号成立条件の正答を教えてください。
No.52723 - 2018/08/07(Tue) 12:57:36
☆ Re: 式と証明。 / ヨッシー
例えば、ｘ＝１、ｙ＝ｚ＝０でも、等号が成り立ちます。

書き方としては、
ｘ＝ｙ＝０ または ｙ＝ｚ＝０ または ｚ＝ｘ＝０ のとき等号成立。
あるいは言葉で
ｘ，ｙ，ｚのうち、少なくとも２つの変数が０のとき等号成立。
など。
No.52724 - 2018/08/07(Tue) 13:10:48
☆ Re: 式と証明。 / Ran
なるほど！

ありがとうございます！

率直な疑問なんですが、どーやって、それを思いついたんめしょうか？？？それとも、求めたんでしょうか？？？
No.52725 - 2018/08/07(Tue) 13:13:54
☆ Re: 式と証明。 / ヨッシー
ｘｙ＝０　かつ　ｙｚ＝０　かつ　ｚｘ＝０
が等号成立の条件ですので、
　ｘｙ＝０　より　ｘ＝０　または　ｙ＝０
ｘ＝０ のとき
　ｘｙ＝ｚｘ＝０ は確定なので、
　ｙｚ＝０ より ｙ＝０ または ｚ＝０
ｘ≠０ のとき、
　ｘｙ＝ｚｘ＝０　より　ｙ＝ｚ＝０
とするのが、正攻法でしょう。
No.52726 - 2018/08/07(Tue) 13:22:55
☆ Re: 式と証明。 / Ran
おおー！！！

x^2+y^2+z^2+2|xy|+2|yz|+2|xz|

から求めたのですね！！！

すごい！！

ありがとうございます！
No.52727 - 2018/08/07(Tue) 13:36:43
★ 不等式 / wtpmjgda
なぜこのようにするのでしょうか？
No.52720 - 2018/08/07(Tue) 09:18:27
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
なぜと言うか、言い方を換えているだけです。
　ｙ＝ｋｘ^2＋(ｋ＋３)ｘ＋ｋ
のグラフに於いて、
　ｙ＞０ の部分をグラフが通らない
と
　グラフのすべてが、ｙ≦０ の部分のみを通る
は、同じことを言っていますよね？
　
No.52721 - 2018/08/07(Tue) 09:26:34
★ 不等式 / wtpmjgda
なぜこのようにするのでしょうか？
No.52718 - 2018/08/07(Tue) 09:15:36
☆ Re: 不等式 / wtpmjgda
すみません。間違えました。
No.52719 - 2018/08/07(Tue) 09:16:13
★ 二次関数 / wtpmjgda
y=h(x)の軸がx=0というのはどこから分かるのでしょうか？
No.52714 - 2018/08/07(Tue) 06:39:12
☆ Re: 二次関数 / IT
y=h(x)=-2x^2+a+3 のグラフを考えてみてください。

y=x^2
y=2x^2
y=-2x^2
y=x^2+1
y=x^2+b　bは実数定数
y=-2x^2+b
のグラフを考えるといいかもしれません。
いずれもグラフは放物線で軸はx=0 です。
どれまで分かりますか？
No.52716 - 2018/08/07(Tue) 07:32:42
☆ Re: 二次関数 / wtpmjgda
分かりました。ありがとうございました。
No.52717 - 2018/08/07(Tue) 09:14:27
★ 積分の式がわからない / 倫太郎
画像の積分の式がなぜそう展開できるのかわかりません。
教えてください、よろしくお願いします
No.52706 - 2018/08/06(Mon) 23:06:59
☆ Re: 積分の式がわからない / あ
私にもわかりません。
その2つは同じではないですから。
No.52708 - 2018/08/06(Mon) 23:13:24
☆ Re: 積分の式がわからない / 関数電卓
> その2つは同じではないですから。

え？ 同じですよ！ 添付画像の式でご理解くださいますか？
No.52710 - 2018/08/06(Mon) 23:29:08
☆ Re: 積分の式がわからない / らすかる
その式は正しくありません。
もう一度丁寧に微分してみて下さい。
No.52711 - 2018/08/06(Mon) 23:38:14
☆ Re: 積分の式がわからない / 関数電卓
あ，失礼！ マイナスでした！
No.52712 - 2018/08/06(Mon) 23:40:24
☆ Re: 積分の式がわからない / GandB
蛇足

　　t = √(1-x^2).　　t^2 = 1-x^2.
　　2t(dt/dx) = -2x.　　xdx = -tdt

　　　　　 x　　　　　 　t
　　∫─────dx = -∫──dｔ= -∫dt = -t+C = -√(1-x^2) + C
　　　√(1-x^2) 　　　 　t

　ウォリスの公式を語る人がわざわざ質問するような積分ではないとは思うが（笑）。
No.52713 - 2018/08/06(Mon) 23:47:52
★ ウォリスの公式について / 倫太郎
ウォリスの公式が理解できません。
画像のようにウォリスの公式を導出すると思いますが、特に波線を引いたところの式変形が理解できません。
No.52705 - 2018/08/06(Mon) 22:58:12
☆ Re: ウォリスの公式について / あ
三角比の初歩でしょ
No.52707 - 2018/08/06(Mon) 23:12:44
☆ Re: ウォリスの公式について / 関数電卓
> 特に波線を引いたところの式変形が理解できません。

?@ 赤に着色した２つのマイナスがプラスになる
?A (cosx)^2＝1−(sinx)^2

でご理解くださいますか？
No.52709 - 2018/08/06(Mon) 23:16:08
★ (No Subject) / あや
cos x/2 の微分が　-1/2 sin x/2 になるのが理解できません。
どのように（cos x/2）' 　を計算すればいいのでしょうか？
No.52700 - 2018/08/06(Mon) 21:38:30
☆ Re: / GandB
>cos x/2 の微分が　-1/2 sin x/2 になるのが理解できません。

　cos(x/2) の微分が （-1/2)sin(x/2) になるのが理解でない

という意味なら、ネタとしか思えんが。

　cos(x) の微分を知らないといっているのと同じだ。
No.52701 - 2018/08/06(Mon) 21:59:28
☆ Re: / らすかる
{cosx}'=-sinx, {x/2}'=1/2 なので
合成関数の公式
{f(g(x))}'=f'(g(x))・g'(x)
でf(x)=cosx, g(x)=x/2とすれば
{cos(x/2)}'=-sin(x/2)・(1/2)
=-(1/2)sin(x/2)
となりますね。
No.52702 - 2018/08/06(Mon) 22:07:02
★ 2次関数 / wtpmjgda
(2)の答えをどのように求めているのか分かりません。途中で求めた式をもとにグラフを書いているらしいのは分かるのですが、そこからどうやって最小値を求めればよいのでしょうか。お願いします。
No.52696 - 2018/08/06(Mon) 18:30:09
☆ Re: 2次関数 / wtpmjgda
写真貼り忘れました。
No.52697 - 2018/08/06(Mon) 18:32:13
☆ Re: 2次関数 / wtpmjgda
すみません。うまく写真が載せれないです。
No.52698 - 2018/08/06(Mon) 18:33:20
☆ Re: 2次関数 / ヨッシー

図の赤が(i)、紫が(ii)、青が(iii) のグラフで、実線が有効な範囲、
破線は有効範囲以外の部分です。

グラフより●の部分が最小となります。
No.52704 - 2018/08/06(Mon) 22:53:33
☆ Re: 2次関数 / wtpmjgda
解決しました。ありがとうございました。
No.52715 - 2018/08/07(Tue) 06:43:22
★ (No Subject) / みかん
X yは、図の斜線部分を動いています。
いま、mの最大値と最小値を求める問題なのですが、この直線は(-1 -1)は、通ることができないと思うのですが、なぜ(-1 -1)を通る直線の中で傾きが最大のものと最小のものを探しているのでしょうか？

Xノットイコール-1と書いてもあるのになぜでしょう、、、
No.52694 - 2018/08/06(Mon) 17:31:26
☆ Re: / X
ではひとまずx≠-1は横に置いておき
直線
y+1=m(x+1)
が点(-1,-1)を通る傾きmの直線である
ことはよろしいですか？
このことから
y+1=m(x+1) (x≠-1)
のグラフは

点(-1,-1)を通る傾きmの直線
から点(-1,-1)を除いたもの

となります。
このことを踏まえてもう一度考えて
みて下さい。
No.52695 - 2018/08/06(Mon) 17:57:38
★ 平行移動 / wtpmjgda
(2)が分かりません。
x軸方向に-2、y軸方向に-1平行移動したものを求めるのに、x-2、y-2ではなくx+2、y+2を代入するのはなぜですか？
No.52692 - 2018/08/06(Mon) 16:44:35
☆ Re: 平行移動 / wtpmjgda
すみません。解決しましたので大丈夫です。
No.52693 - 2018/08/06(Mon) 17:10:53
★ (No Subject) / del
[問題]
確率変数X[1],...,X[5]は互いに独立で、一様分布U(0,1)に従うものとする。その観測値を元に箱ひげ図を描いたときの箱の長さをL=L(X[1],...,X[5])とする。
ただし、X[1],...,X[5]の順序統計量をY[1],...,Y[5]とおき、箱の上端をY[4],下端をY[2]と定義する。
Lの密度関数と期待値を求めよ。

Y[2]の密度関数は f(y)=20y(1-y)^3
Y[4]の密度関数は f(y)=20y^3(1-y) と求めたのですが、
ここから先の計算がよく分かりませんでした。
どなたか回答をお願いいたします。
No.52687 - 2018/08/06(Mon) 14:58:37
★ (No Subject) / みかん
M=x/(x^2+y^2)
L=y/(x^2+y^2)

X yそれぞれををMとLのみを使って表したいのですが、どう表せますか？？
No.52686 - 2018/08/06(Mon) 14:54:47
☆ Re: / ヨッシー
M^2＋L^2＝1/(x^2＋y^2)
なので、
　x＝M/(M^2＋L^2)
　y＝L/(M^2＋L^2)
No.52688 - 2018/08/06(Mon) 15:16:50
★ 集合と命題 / wtpmjgda
(2)の解説がよく分かりません。問題文にA∩B＝φとなっているのに、なぜ9-2aが共通の要素となるのですか？お願いします。
No.52684 - 2018/08/06(Mon) 14:27:03
☆ Re: 集合と命題 / wtpmjgda
写真載せ忘れました。
No.52685 - 2018/08/06(Mon) 14:27:55
☆ Re: 集合と命題 / ヨッシー
　A∩B＝φ
ではなく、
　A∩B≠φ
ですね。
よって、共通の要素が、必ずあります。
No.52689 - 2018/08/06(Mon) 15:20:19
☆ Re: 集合と命題 / wtpmjgda
ごめんなさい。勘違いしてました。ありがとうございます。助かりました。
No.52691 - 2018/08/06(Mon) 16:37:51
★ 場合の数について。 / コルム
自然数ｎをそれより小さい自然数の和として表すことを考える。ただし、１＋２＋１と１＋１＋２のように和の順序が異なるものは別の表し方とする。例えば、自然数２は１＋１の1通り
の表し方ができ、自然数３は２＋１、１＋２、１＋１＋１の3通りの表し方ができる。次の自然数の表し方は何通りあるか。
（１）４（２）５（３）2以上の自然数ｎ
という問題で、（３）の、２＾（n-1)がなぜ出てくるのかが、
分かりません。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.52678 - 2018/08/06(Mon) 12:56:40
☆ Re: 場合の数について。 / ヨッシー
唐突に ２^(n-1) が出てきたのではなく、そこに至る考え方とか、
規則性とかの説明がなされているはずですが。
(1)(2) と解いてきて、何も気づきませんか？
No.52681 - 2018/08/06(Mon) 13:22:40
☆ Re: 場合の数について。 / コルム
計算する時と、計算しない時とで、考えると書いていいますが。よくわかりません。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。n-1個を足すときは除くとかかれていますが。重複順列でしょうか？教えていただけると幸いです。
No.52699 - 2018/08/06(Mon) 20:42:17
☆ Re: 場合の数について。 / GandB
> n-1個を足すときは除くとかかれていますが。重複順列

　いったい (1)と(2)、つまり

　4 をそれより小さい自然数の和
　5 をそれより小さい自然数の和

で表すことをどういう方法で解いたのだ。まず、それを書かないとどこで躓いているかわからない。

　ちなみにこれは過去の入試問題で、けっこう有名な問題らしいぞ。

　　「自然数ｎをそれより小さい自然数の和として表す」

で検索すれば、回答がいくつか出てくる。ここで回答を待つよりその方が早いだろう（笑）。
No.52703 - 2018/08/06(Mon) 22:10:25
☆ Re: 場合の数について。 / コルム
ありがとうございました。
No.52737 - 2018/08/07(Tue) 17:51:18
★ (No Subject) / あや
sin x= t と置いた時のtの微分がわからないです。

教科書に、
sin x= t
cos x dx= dt と書いてあり、dtが何故そうなるのかわかりません。

sin x= t の微分の仕方を教えてください。
No.52676 - 2018/08/06(Mon) 12:48:18
☆ Re: / ヨッシー
いわゆる　(sinｘ)’＝cosｘ として覚えておられる公式が
あると思いますが、基本的にはそれと同じです。
ｔ＝sinｘ において、ｔをｘで微分すると
　dt/dx＝cosｘ
両辺に dx を掛けて
　dt＝cosｘdx
です。

dt/dx というのは、ｘの関数ｔがあるとき、ｘの微小変化量をdx としたとき、
それに伴って、ｔが変化する量を dt とするときの両者の比を
表します(いわゆる変化の割合です)。
それぞれの量 dt と dx はひとつの変数として扱われ、「両辺 dx を掛けて」といった扱いができます。
No.52679 - 2018/08/06(Mon) 13:09:21
☆ Re: / あや
わかりました！ありがとうございます！！
No.52682 - 2018/08/06(Mon) 13:58:55
★ (No Subject) / あや
tan x/2 = t と置いた時のtの微分がわからないです。

教科書に、
tan x/2 = t
1/2 sec^2 x/2 = dt と書いてあり、dtが何故そうなるのかわかりません。

tan x/2 = t の微分の仕方を教えてください。
No.52675 - 2018/08/06(Mon) 12:45:55
☆ Re: / ヨッシー
　ｔ＝tanｘ
ならば
　dt/dx＝1/cos^2ｘ
です。ここでは、ｔ＝tan(x/2) なので、ｕ＝x/2 とおくと、
　ｔ＝tan(u)
　dt/dx＝(dt/du)(du/dx)
　　＝(1/cos^2ｕ)(1/2)
　　＝(1/2)(1/cos^2(x/2))
　　=(1/2)sec^2(x/2)
両辺に dx を掛けて
　dt＝(1/2)sec^2(x/2) dx
となります。
　
No.52680 - 2018/08/06(Mon) 13:13:14
★ 三角関数の解の個数 / のの
s=sinθ（0<θ<π/2）
8s^2−9ns＋n^2=0を満たす整数nの個数を求めよ。

(8s-n)(s-n)=0を利用し、0<n/8<1よりnは7個と求めることはできました。
しかし、なぜ2次関数を利用した以下の解だとn=1が不敵となるか分かりません。
どなたか教えてください。
【2次関数利用の解】
f(s)=8s^2−9ns＋n^2とおき、0<s<1の範囲で解を持つ条件を考える。
f(0)=n^2>0(n=0のときは解なし)
f(1)<0のとき
これを解くと1<n<8で、本来解に含まれるn=1が不適となります。
f(1)>=0
のときも軸や頂点のy座標を考えた場合でも
No.52673 - 2018/08/06(Mon) 10:28:33
☆ Re: 三角関数の解の個数 / ヨッシー
答えから追っていくと、ｎ＝１ のとき、y＝f(s) のグラフは
　s=1/8 と s=1 でｘ軸と交わります。
ですから、f(1)＜0 には当たりません。

０＜ｓ＜１ に解を２つ（または ０＜ｓ＜１ に１つと、ｓ＝１ の２つ）持つパターンについて、吟味する必要があります。
No.52674 - 2018/08/06(Mon) 10:55:12
☆ Re: 三角関数の解の個数 / のの
ヨッシー様ありがとうございます。

ご指摘のように場合分けしてもn=1が導けないのですが、どこからでてくるのでしょうか？
また0<s<1で2つ解を持つことは、可能でしょうか？
n=0がでてきて不適となってしまいます。
No.52690 - 2018/08/06(Mon) 16:18:47
☆ Re: 三角関数の解の個数 / ヨッシー
f(s)=8s^2−9ns＋n^2とおき、0＜s＜1の範囲で解を持つ条件を考える。
f(0)=n^2＞0(n=0のときは解なし)

i) ０＜ｓ＜１ の範囲に１つ、１＜ｓ の範囲に１つ、解を 持つ場合
f(1)＜0のとき、条件を満たす。
f(1)＝n^2−9n＋8＝(n-1)(n-8)＜０
これを解くと1＜n＜8で、ｎ＝２，３，４，５，６，７

ii) ０＜ｓ＜１ の範囲に１つ、０＜ｓ≦１ の範囲にもう１つ、解を 持つ場合
　f(1)≧0
かつ
　軸　9n/16＜１
かつ
　判別式　81n^2−32n^2＝49n^2≧0
のとき、条件を満たす。
　f(1)＝n^2−9n＋8＝(n-1)(n-8)≧０
より　ｎ≦１　または　ｎ≧８
　9n/16＜１
より　ｎ＜16/9
　49n^2≧0
より　ｎは任意の整数
以上より、これらを満たす整数ｎは　ｎ＝１

i)、ii) より ｎ＝１，２，３，４，５，６，７
　
No.52722 - 2018/08/07(Tue) 09:46:06
★ 因数分解について / jt77877
すみません。問題の数式を間違えましたので改めて
書きます。というか投稿します。よろしくお願いします。

問題
　
A^4+B^4+C^4+D^4-4ABCD＝0はずばり
因数分解は可能か？それとも不可能か？
という問題です。大至急よろしくお願いします。

※自分で一度調べたのですが難しい解説でとても
理解出来ませんでした。と言う事なのでここで
質問させていただきました。よろしくお願いします。
No.52670 - 2018/08/06(Mon) 08:01:54
☆ Re: 因数分解について / Q
A^4+B^4+C^4+D^4-4ABCD
=A^4+B^4+C^4+D^4+2{(AB-CD)^2-A^2B^2-C^2D^2}
={A^4-2(AB)^2+B^4}+{C^4-2(CD)^2+D^2}+2(AB-CD)^2
=(A^2-B^2)^2+(C^2-D^2)^2+2(AB-CD)^2
となり、これ以上の因数分解はできません。
No.52671 - 2018/08/06(Mon) 09:57:02
☆ Re: 因数分解について / らすかる
細かい議論は省略しますが、
A=1,B=2x+1,C=2x^4,D=x^13を代入すると
A^4+B^4+C^4+D^4-4ABCD=x^52-16x^18-8x^17+16x^16+16x^4+32x^3+24x^2+8x+2
となり、右辺は既約なので左辺も因数分解できません。

調べたらもっと簡単な方法がありました。
B=C=1,D=0とするとA^4+2となりこれは既約
よって4次の因数を持つことになるので因数分解できない。
No.52677 - 2018/08/06(Mon) 12:49:21
★ 中点の軌跡 / さくら
O(0 0)
A(2 4)
x^2+y^2=64
Pはこの円周上の点である。
PAを通る弦をPQとする
Pが円周上を動くとき、弦PQの中点をMとしてMの軌跡の方程式を求めよ

【解答】
PQは点Aを通るのでa(x-2)+b(y-2)=0 (a^2+b^2ノット＝0)
OMはbx-ay=0

2式をみたすa　bが存在するためのx y の条件を考える〜〜〜

【質問1】
2式の求め方がわかりません。どのような道筋であのような式がでるのでしょうか？　一次式の基本型はax+by+c=0か　y=ax+cしか知らなかったのですが、、
【質問2】問題文を見たときにどのように解いていったらいいのか全くわかりませんでした。PとQを文字で置いてみたりいろいろしたのですが、なにかしら解答の道筋としてのポイントは問題文のどこをみてどう解いていこうと思うのでしょうか？
No.52665 - 2018/08/06(Mon) 02:03:10
☆ Re: 中点の軌跡 / X
まず、直線PQの方程式から。
一般に直線の方程式はご存知の通り
ax+by+c=0 (A)
と表すことができます。
これが点A(2,4)を通るので
2a+4b+c=0 (B)
(A)-(B)より
a(x-2)+b(y-4)=0 (A)'
となります。
これは一般の場合も同じで
点(p,q)を通る直線の方程式は
a(x-p)+b(y-q)=0 (C)
と表すことができます。

次に直線OMの方程式について。
(C)から直線OMの方程式は
rx+sy=0 (D)
と置くことができます。
後はPQ⊥OMであることから
(A)'(D)の間の垂直条件を
考えます。
(この垂直条件は恐らく教科書には載っていません。
数学Iの参考書を調べてみましょう。
チャート式位の難度のものをを調べないと
載っていないかも知れません。

但し、(C)についてもそうですが
数学Iの参考書を調べても、
数学Iのレベルでは、
「垂直条件の式の形のこういうものだ」
ということだけで、その形の意味する
深い意味は学年が進んで
ベクトルの内積
を学習しないと理解できません。
その点は注意して下さい。)
No.52667 - 2018/08/06(Mon) 06:11:32
☆ Re: 中点の軌跡 / さくら
この問題は問題文を読んでから、問題文のどのポイントをみてどのように解くのか道筋をかんがえるのでしょうか？
No.52669 - 2018/08/06(Mon) 08:00:03
☆ Re: 中点の軌跡 / らすかる
> 問題文のどのポイントをみてどのように解くのか道筋をかんがえる

パターン化されている基礎問題では問題文のパターンから
そのようなポイントがあるかも知れませんが、
応用問題では「ここを見れば解き方の道筋がわかる」
といったポイントはありません。
問題文を全部読んで軌跡を求める問題であるということを
理解し、今までに学んだ軌跡の解き方のパターンを
思い出して解くのが普通だと思います。
よって解き方を簡単に思い付くためには、類題を
たくさん解いて自分の引き出しを増やすしかありません。
この問題に関しても、解き方は一通りではありません。
書かれた解答のような解き方を学習している途中だから、
あるいは解答を作った人が考えた解き方がたまたま
そのような方法だったかだと思いますが、
いろいろな解き方を身に付けないと同類の問題が早く解ける
ようになりませんので、まずは解答に書いてある解き方が
記憶に残るように深く理解しましょう。
他の解き方では、幾何学的な考え方を使う解き方が
最も簡単なのではないかと思います。
No.52672 - 2018/08/06(Mon) 09:58:58
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