定数x，yに対して，an=x^n+y^nで定義される数列{an}(n=1,2,…)がある．a1,a2,a3は整数で
(i)a2=-4 (ii)a3は3で割って1余る をみたすとき，次の各問いに答えよ．
(1)a1は6で割って4余る整数であることを示せ．
(2)a1=-2のとき，a(n+2),a(n+1),anのみたす関係式を求めよ．また，このとき
an=2^(n+1)(nが3の倍数のとき)またはan=-2^n(nが3の倍数でないとき)と表されることを示せ．
(1)はa3=3k+1と置いたりmodを使ったりしたのですがx,yの関係式が導かれず解けません．
(2)の3項間漸化式を求める部分は解けたのですがそれを解くと虚数単位iを含む一般項が求まってしまい，問題にある形と合いません．
|
No.53030 - 2018/08/17(Fri) 10:38:31
| ☆ Re: 数列と漸化式 / IT | | | (1) a[3]=x^3+y^3=(x^2+y^2)(x+y)-xy(x+y)
=-4a[1]-((a[1]^2)/2 + 2)a[1]
=-a[1]((a[1]^2)/2 + 6)≡1 (mod3) …?@
a[1],a[3]は整数なのでa[1] は偶数であることが分かり、a[1]≡0,2,4 (mod6) である。
a[1]≡0(mod6)のとき?@の左辺≡0(mod6)
a[1]≡2(mod6)のとき?@の左辺≡2(mod6)
a[1]≡4(mod6)のとき?@の左辺≡4(mod6)
➀よりa[1]≡4(mod6)
|
No.53033 - 2018/08/17(Fri) 12:53:27 |
| ☆ Re: 数列と漸化式 / X | | | (2)
前半の結果より
a[n+2]+2a[n+1]+4a[n]=0
∴a[n]=(-1+i√3)^n+(-1-i√3)^n
∴kを整数として
(i)n=3kのとき
a[n]=(-1+i√3)^(3k)+(-1-i√3)^(3k)
={(-1+i√3)^3}^k+{(-1-i√3)^3}^k
=8^k+8^k=2・2^(3k)
=2^(n+1)
注)
-1+i√3,-1-i√3はtの二次方程式
t^2+2t+4=0
の解ですが、この方程式の両辺にt-2をかけると
t^3-2^3=0
∴t^3=8
後は(i)と同じように
(ii)n=3k+1のとき
(iii)n=3k+2のとき
のa[n]を計算していきます。
例えば(ii)の場合だと
a[n]=(-1+i√3)^(3k+1)+(-1-i√3)^(3k+1)
=(-1+i√3)(-1+i√3)^(3k)+(-1-i√3)(-1-i√3)^(3k)
=…
と計算していきます。
|
No.53034 - 2018/08/17(Fri) 13:17:06 |
| ☆ Re: 数列と漸化式 / IT | | | (2) 別解 a[1]=x+y=-2,a[2]=x^2+y^2=-4
(x+y)^2-(x^2+y^2)=2xy=8 ∴xy=4
x^(n+2)+y^(n+2)=(x+y)(x^(n+1)+y^(n+1))-xy(x^n+y^n)
=-2(x^(n+1)+y^(n+1))-4(x^n+y^n)
∴a[n+2]=-2a[n+1]-4a[n]
[任意の自然数ｎについて, a[n]=2^(n+1)(nが3の倍数のとき),a[n]=-2^n(nが3の倍数でないとき]を（数学的帰納法）により示す。
a[1]=-2^1,a[2]=-2^2,a[3]=-2a[2]-4a[1]=16=2^(3+1)なのでn=1,2,3のとき成立。
0以上の整数kについて, a[3k+1]=-2^(3k+1)、a[3k+2]=-2^(3k+2)、 a[3k+3]=2^(3k+4) を仮定すると
a[3k+4]=-2a[3k+3]-4a[3k+2]
=-2^(3k+5)+2^(3k+4) ←帰納法の仮定より
=-2^(3k+4)
a[3k+5]=-2a[3k+4]-4a[3k+3]
=2^(3k+5)-2^(3k+6) ←帰納法の仮定より
=-2^(3k+5)
a[3k+6]=-2a[3k+5]-4a[3k+4]
=2^(3k+6)+2^(3k+6)
=2^(3k+7)
よって,[任意の自然数ｎについて, a[n]=2^(n+1)(nが3の倍数のとき),a[n]=-2^n(nが3の倍数でないとき)]が成立。
-------------------------------------------------------
帰納法は 黄桃さん(53035)のa[n+3]=2^3*a[n]を使ったほうが簡明ですね。
|
No.53041 - 2018/08/18(Sat) 00:35:57 |
|
