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★ 解析力学の位相空間軌跡の問題がわかりません。 / 大学2年生
助けてください！
解析力学の位相空間軌跡の問題が分かりません。
画像中の問題が解けましたら、教えて頂けると非常にありがたいです。
類題も少なく、困っています。
No.84483 - 2023/01/04(Wed) 17:50:52
★ 高校数学　極限 / 吉田
極限を習ったのですが、例えば
lim_[x->0] x = 0という式の0は、実際に本当の0なのか、それとも0に限りなく近い正の実数なのかどちらでしょうか。
lim_[x->0]という記号の意味としてはｘを限りなく0に近づけるということですから、x /= 0 ですよね？仮に本当の0なのであれば、 f(x) = x の関数は
x = 0の時にしか f(x) = 0を取りませんから、矛盾していると思うのですが。一体どういうことなんでしょうか。どなたか説明していただきたいです。
No.84477 - 2023/01/04(Wed) 14:35:27
☆ Re: 高校数学　極限 / らすかる
lim[x→0]f(x) というのは
「xを限りなく0に近づけていったときにf(x)がとる値」ではなく、
「xを限りなく0に近づけていったときにf(x)がどんな値に近づくか、その近づく先の値」
という意味です。ですからf(x)がその値をとらなくても問題ありませんし、f(0)が定義されている必要もありません。
よってlim[x→0]xは
「xを限りなく0に近づけていったとき、xはどのような値に近づくか」の答えですから、(ピッタリ)0となります。
No.84478 - 2023/01/04(Wed) 14:55:18
☆ Re: 高校数学　極限 / IT
横から失礼します。高校数学の範囲で説明すると　らすかるさんの回答のとおりだと思います。
＞極限を習ったのですが、
高等学校数学２（あるいは、数学３）の教科書に（高校数学なりの）定義が書いてないですか？
まず最初に教科書で確認すべきと思います。

数研出版　高等学校数学２には
「一般に、関数ｆ(x)において、xがaと異なる値をとりながら、aに限りなく近づくとき、ｆ(x)の値が一定の値αに限りなく近づくならば、
αをxがaに限りなく近づくときの関数ｆ(x)の極限値という。
このことを、次のように書く。
　lim[x→a]f(x)＝α　あるいは　x→aのときf(x)→α」
とあります。

＃「aと異なる値をとりながら」にはアンダーライン
＃「極限値」は、太字
No.84484 - 2023/01/04(Wed) 19:43:33
☆ Re: 高校数学　極限 / ポテトフライ
らすかるさんやITさんの話は高校数学的な極限の定義です。間違ってるとは言わないが、多くの「誤魔化し」を含んでいる書き方になってしまっているのが事実です。（しかし、正確な記述をするには準備が必須であり、高校内容ではこれが限界ということも認識している）
おそらく吉田さんはこの「誤魔化し」の部分が腑に落ちないということだと思います。


現代数学（大学以上の話）では極限は「イプシロンデルタ論法」と呼ばれるものを用いて定義されます。

探せばいくらでも出てきますが、私個人としては

黒田紘敏先生（北海道大学）
http://www7b.biglobe.ne.jp/~h-kuroda/pdf/text_calculus.pdf
35頁数列の極限の定義

がおすすめです。無料で公開されているものでこれ以上に丁寧で、気持ちに踏み込んで書かれているものはないと思います。


追記
ヨッシーさんありがとうございます。URL編集しました
No.84485 - 2023/01/04(Wed) 21:11:33
☆ Re: 高校数学　極限 / ヨッシー
http://www7b.biglobe.ne.jp/~h-kuroda/pdf/text_calculus.pdf
こちらですね。
No.84486 - 2023/01/05(Thu) 09:05:20
☆ Re: 高校数学　極限 / 吉田
沢山の方々、回答ありがとうございます。

らすかるさん
＞「xを限りなく0に近づけていったときにf(x)がどんな値に近づくか、その近づく先の値」
なるほど。どのような値にたどり着くのか？という話で、f(x)がその値をとる必要はないという事ですね。

ＩＴさん
＞まず最初に教科書で確認すべきと思います。
確認したつもりだったのですが、問題を解いているうちに段々とよく分からなくなってしまったようです。

ヨッシーさん、ポテトフライさん
イプシロンデルタ論法調べてみました。任意の正の数εを考えることでことで、「限りなく近づける」を数学的に明確にしているんですね。

丁寧に対応してくださり、ありがとうございました。
No.84487 - 2023/01/05(Thu) 11:12:07
★ 「あまり」を求める時 / √
教えて下さい。
基本的なことが分からなくなってしまいました。

（７ｘ７）／（３ｘ７）＝（４９）／（２１）
右辺を割り算すると
「２」あまり【７】になります。

では、同様に
（７ｘ７）／（３ｘ７）の計算をするときに
分子の７と分母の７を約分すると
７／３になります。
これを、割り算すると
「２」あまり【１】になります。

「商」の値は同じになりますが、
「あまり」の値が異なってしまいます。

「あまり」を求める問題だとしたら
途中で約分してはイケナイということですよね？
No.84476 - 2023/01/04(Wed) 14:12:02
☆ Re: 「あまり」を求める時 / らすかる
その通りです。
割る前に被除数と除数をnで割った場合、余りもnで割った値になります。
a÷bの商がc、余りがdならばa=b×c+dであり
両辺にnを掛けるとan=bn×c+dnとなり、この意味は
an÷bnの商がc、余りがdnですから、
被除数と除数をk倍すれば余りもk倍になりますね。
（上の議論ではk=1/7）
No.84480 - 2023/01/04(Wed) 15:01:13
☆ Re: 「あまり」を求める時 / √
らすかるさん
有難うございました。

商を「帯分数」や「小数」で
表すのなら良いけど、
「余りを求めよ」の時は要注意なのですね。

時々、算数をやると、引っかかります。
No.84482 - 2023/01/04(Wed) 15:34:33
★ 複素関数 / エフゼット
こちらの問題が分かりません。
どなたかご教授お願いしたいです。
よろしくお願いします。
No.84472 - 2023/01/02(Mon) 20:27:26
☆ Re: 複素関数 / X
前半)
条件からf(z)の極について
z^4+1=0
これより
z=e^(iπ/4),e^{i(π/4+π/2)},e^{i(π/4+π)},e^{i(π/4+3π/2)}
後はこれらを複素平面上にCと共に図示します。

後半)
前半の結果を使って留数の定義に従って計算します。
No.84474 - 2023/01/02(Mon) 21:02:51
☆ Re: 複素関数 / X
ごめんなさい。No.84474に誤記がありましたので
修正しました。再度ご覧下さい。
No.84475 - 2023/01/03(Tue) 21:17:15
☆ Re: 複素関数 / エフゼット
X様
度々ご返信ありがとうございます。
修正版はどうやって見ることができますか？
No.84479 - 2023/01/04(Wed) 14:56:01
☆ Re: 複素関数 / らすかる
「修正した」とのことですから、今見えているのが修正版ですね。
No.84481 - 2023/01/04(Wed) 15:05:09
★ (No Subject) / みかん
赤玉n個白玉n個が入っている袋から1個ずつ全ての玉を取り出す。赤玉が2個続けて取り出されない確率をPnとする

(1)P3＝
(2)P5/P4=

解答＆解説よろしくお願いします
No.84469 - 2023/01/02(Mon) 00:35:00
☆ Re: / IT
（１）赤玉が2個続けて取り出されないような玉（色）の順番をすべて考えてみればいいと思います。（同じ色の玉は区別せず）

なお小手先のことですが「赤」「青」などと書かずに「○」「ー」などと書くと速く書けます。
○ー○ー○でもう一つの「ー」がどこに来るか・・・何通り？？
No.84470 - 2023/01/02(Mon) 08:24:39
★ (No Subject) / 元旦
s,tは実数とし点Oを原点とする。座標空間において4つのベクトルを→a=(-4,-1,-2),→b=(-5，2，３) →v=(1,1,1),→w=(2.0.-2)とする。→a,→b，→a+s→v，→b+t→wを位置ベクトルとする点をそれぞれA,B,C,Dとする

線分CDの長さが最小になる時のs,tの値を求めよ
→CDの成分を求めて(x座標)^2+(y座標)^2+(Z座標)^2が最小になる時のs，tを求めれば解けると思うんですが→BD・→CD=0(線分BDと線分CDが垂直に交わる時)or(→AC・→CD=0（線分CDと線分ACが垂直に交わる時)で求めることはできないのでしょうか。…計算していったらなんかおかしな答えが出てくるので誤ったやり方なのでしょうか？
No.84459 - 2023/01/01(Sun) 17:42:15
☆ Re: / X
↑BD・↑CD=0 or ↑AC・↑CD=0
ではなくて
↑BD・↑CD=0 and ↑AC・↑CD=0
をs,tの連立方程式として解けば、CDが最小になるときの
s,tの値は求められます。

＞＞…計算していったらなんかおかしな答えが出てくるので誤ったやり方なのでしょうか？
その方針に問題はありません。
No.84460 - 2023/01/01(Sun) 18:11:27
☆ Re: / X
ではそのおかしな答えが出たという方針で計算してみます。

条件から
↑w-↑v=(↑b+t↑w)-(↑a+s↑v)
=(-5+2t,2,3-2t)-(-4+s,-1+s,-2+s)
=(-1+2t-s,3-s,5-2t-s)
∴CD^2=|↑w-↑v|^2
=(-1+2t-s)^2+(3-s)^2+(5-2t-s)^2
=8t^2+3s^2-24t-14s+35
=8(t-3/2)^2+3(s-7/3)^2+35-18-49/3
=8(t-3/2)^2+3(s-7/3)^2+2/3
∴CDは(s,t)=(7/3,3/2)のときに最小値√(2/3)を取ります。
No.84462 - 2023/01/01(Sun) 19:09:13
☆ Re: / 元旦
s，rが上記の値の時四面体ABCDの体積の値は？

→c=(-5/3,4/3,1/3)
→d=(-2，2，0)

であり|→CD｜=√6/3

→CA=(-7/3,-7/3,-7/3)
→CB=(-10/3,2/3,8/3)
かつCB⊥CAより三角形ABCの面積を求める
よってVABCD=△ABC×|→CD｜×1/3
って計算すると…答え√が出てくるんですが解答欄の形から√が存在しない分数になるようなんですが何がいけないんでしょうか？
No.84464 - 2023/01/01(Sun) 21:07:49
☆ Re: / X
△ABC⊥↑CD (A)
を前提として体積を計算されているようですが
(A)はちゃんと計算で確かめましたか？
最初の質問の過程から
↑CA⊥↑CD
は成立していますが、その他に
↑AB⊥↑CD
又は
↑BC⊥↑CD
が成立しないと(A)は成立しません。
No.84465 - 2023/01/01(Sun) 21:25:43
☆ Re: / X
ごめんなさい。
＞＞CB⊥CA
が分かっているなら、別の計算方法がありますね。
CB⊥CA
と、最初の質問の過程から分かる
CA⊥CD
により
△BCD⊥CA
∴求める体積をVとすると
V=(1/3)(△BCDの面積)・CA=…
No.84466 - 2023/01/01(Sun) 21:48:09
★ 2重積分 / あ
関数xyを集合D:x^2+y^2=x上で2重積分せよという問題なのですが、x.yの範囲はどのようにとれば良いのかが分かりません。どなたか教えて下さい。よろしくお願い致します。
No.84457 - 2023/01/01(Sun) 16:12:05
☆ Re: 2重積分 / X
＞＞集合D:x^2+y^2=x
とは
集合D:x^2+y^2≦x
か
集合D:x^2+y^2≧x
のどちらのタイプミスですか？
No.84458 - 2023/01/01(Sun) 17:38:01
☆ Re: 2重積分 / あ
すみません。前者の方でお願い致します。
No.84461 - 2023/01/01(Sun) 18:52:39
☆ Re: 2重積分 / X
x^2+y^2≦x
より
y^2-(x-x^2)≦0
∴-√(x-x^2)≦y≦√(x-x^2)かつ0≦x≦1
となるので
D={(x,y)|-√(x-x^2)≦y≦√(x-x^2),0≦x≦1}
後はよろしいですね。
No.84463 - 2023/01/01(Sun) 19:13:39
☆ Re: 2重積分 / あ
分かりました。ありがとうございました。
No.84467 - 2023/01/01(Sun) 23:45:50
★ 複素関数 / エフゼット
この問題について、コーシーの積分公式を用いてトライしていますが、技量不足により解くことができませんでした。
うまく解く方法や、他の求め方がありましたらどなたか教えていただきたいです。
よろしくお願い致します。
No.84448 - 2022/12/31(Sat) 13:53:17
☆ Re: 複素関数 / X
例えば、以下のURL
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F
を見るといくつか等式がありますが、
その中の上から三つ目の等式をご覧下さい。
(関数論の教科書のコーシーの積分公式の項目を
調べれば、似たような等式があるはずです。)
No.84452 - 2022/12/31(Sat) 16:09:07
☆ Re: 複素関数 / エフゼット
ありがとうございました！
おかげで解決することができました！
No.84471 - 2023/01/02(Mon) 20:21:17
★ 線積分 / ら
この問題の1からわからないので、教えてください。よろしくお願いします。
No.84446 - 2022/12/31(Sat) 11:04:50
☆ Re: 線積分 / ポテトフライ
(1)からわからないのは重症です。
偏微分について(場合によっては1変数の微分)早急に勉強のし直しが必須でしょう。

∂f/∂y=(-x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2
∂g/∂xも似た感じの式。

(2)グリーンの定理をそのまま適用すればよい。
なお積分値は0


余談
曲線が「原点を通らない単純閉曲線」としか記述されていないので、本問は戦績分の問題(要は積分路がはっきりしてる具体的計算)とはならず、関連する有名定理に帰結させることができるかどうかを問う問題と言った方がよいと思います。
No.84454 - 2022/12/31(Sat) 22:41:21
★ よろしくお願いいたします。 / かほり
こんにちは。
すみませんが解説よろしくお願いいたします。
No.84439 - 2022/12/30(Fri) 15:47:01
☆ Re: よろしくお願いいたします。 / X
(1)
条件から辺ABをアの辺の長さで三等分できれば良いので
3x=6
よって
x=2[cm]

(2)
条件から、Pが五角形になるためには、頂点の一つが
イ、ウが共有する頂点でなければなりません。
よってイの辺の長さをy[cm]と置くと、Pの周りの
長さについて
2y+2(6-x-y)+x=10.5
これを解いて
x=1.5[cm]

(3)
条件からアの面積は△ABCの面積の
(1/2)×(1/3)=1/6
よってアの辺の長さは△ABCの辺の長さの
1/√6
となるので
x=6[cm]×(1/√6)=√6[cm]

(4)
条件のときPは
(i)辺CAと重なる辺と、イの辺の一つを
上底下底とする等角台形
(ii)
辺ABと重なる辺と、ウの辺の一つを
上底下底とする等角台形
のいずれかになります。
(i)(ii)の図形は合同なので、ここでは
(i)の場合のPの周りの長さを考えます。

(3)の過程からアの辺の長さは
√6[cm]
イの辺の長さはアの辺の長さに等しく
√6[cm]
よってイの辺の長さは
AB-x=6-√6[cm]
Pの上底の長さは
CA-2x=6-2√6[cm]
以上から求めるPの周りの長さは
√6+(6-√6)+(6-2√6)+√6=12-√6[cm]
No.84440 - 2022/12/30(Fri) 16:36:56
☆ Re: よろしくお願いいたします。 / かほり
ありがとうございました。
なかなか難しいです。。。
No.84451 - 2022/12/31(Sat) 15:14:28
★ 整数 / アップル
x^2+x-2=24yを満たす正の整数の組(x,y)のうち、x≦2019であるものの個数を求めよ。

という問題を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.84436 - 2022/12/30(Fri) 11:17:11
☆ Re: 整数 / IT
因数分解して(x+2)(x-1)=(2^3)3y

x+2とx-1 は偶奇が異なり、3で割った余りは等しいので
・・・（少し説明が必要）
x+2=24n またはx-1=24n (nは正の整数）

あとは容易だと思います。
No.84437 - 2022/12/30(Fri) 11:45:57
☆ Re: 整数 / アップル
ご回答ありがとうございました！
No.84456 - 2023/01/01(Sun) 06:20:23
★ 最小値 / 杏
はじめまして。以下の問題をご教授下さい。よろしくお願いします。

a,bを正の整数とする。
(1)a+b,a^2+b^2がともに2023の倍数であるようなa,bについて、√(ab)の最小値を求めよ。
(2)２以上のすべての整数nに対して、a^n+b^nが2023の倍数であるようなa,bについて、√(ab)の最小値を求めよ。
No.84432 - 2022/12/30(Fri) 02:34:42
☆ Re: 最小値 / らすかる
(1)
a^2+b^2=(a+b)^2-2abなので
「a+bとa^2+b^2が2023の倍数」⇔「a+bとabが2023の倍数」（∵2023は奇数）
2023=7×17^2なので、abが2023の倍数であるためには
a,bの少なくとも一方が7で割り切れなければならない。
しかしa,bのどちらか一方だけが7の倍数だとするとa+bは7で割り切れなくなり
a+bが2023の倍数でないことになるから、結局aとbは両方とも7の倍数でなければならない。
同様に、aとbは両方とも17の倍数でなければならず、
逆にaとbが両方とも7の倍数かつ17の倍数であればabは2023で割り切れる。
よって7×17=119からa=119m、b=119nとおける。
a+b=119(m+n)=7×17×(m+n)が2023で割り切れるためには、m+nが17の倍数でなければならない。
m=s-t,n=s+tとおくとmn=s^2-t^2となるため、m+nが一定のときmとnの差が大きいほどmnが小さくなる。
よってabが最小となるのはm=1,n=16（または逆）のときとなり、
√(ab)の最小値は
√(ab)=√(119×1・119×16)=119√16=119×4=476。

(2)
a^n+b^n=(a+b){a^(n-1)+b^(n-1)}-ab{a^(n-2)+b^(n-2)}
なので、a^(n-2)+b^(n-2)とa^(n-1)+b^(n-1)が両方とも2023の倍数であれば
a^n+b^nも2023の倍数になる。
従ってa^2+b^2とa^3+b^3が2023の倍数であれば条件を満たす。
a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2)-ab(a+b)
なので
「a^2+b^2とa^3+b^3が両方とも2023の倍数」⇔「a^2+b^2とab(a+b)が両方とも2023の倍数」
が成り立つ。
もしaもbも7の倍数でないと仮定するとa+bが7の倍数でなければならないが、
そうすると(1)と同様に
a+bとa^2+b^2が7の倍数→a+bとabが7の倍数→aもbも7の倍数
となり矛盾が発生するので、aかbのうち少なくとも一つは7の倍数。
同様にaかbのうち少なくとも一つは17の倍数なので、abは7×17=119の倍数。
ab(a+b)が2023の倍数となるためには(ab/17)(a+b)が17の倍数でなければならない。
a+bが17の倍数となるためには、aかbのうち少なくとも一つが17の倍数なので
aとbが両方とも17の倍数でなければならない。
よっていずれにしてもabが17^2で割り切れる必要があるので、abは2023の倍数。
従ってa^2+b^2とabが両方とも2023の倍数であれば条件を満たすことになる。
このときa^2+b^2+2ab=(a+b)^2からa+bは7×17の倍数。
a+bが7×17の倍数でabも7×17の倍数なのでaもbも7×17の倍数でなければならない。
よって求める最小値はa=b=7×17=119のときで、√(ab)=119。

# もっとすっきり証明できるような気がします。
No.84434 - 2022/12/30(Fri) 07:44:18
☆ Re: 最小値 / IT
らすかるさん＞
> (2)

> 「a^2+b^2とa^3+b^3が両方とも2023の倍数」⇔「a^2+b^2とab(a+b)が両方とも2023の倍数」
> が成り立つ。
> もしaもbも7の倍数でないと仮定するとa+bが7の倍数でなければならないが、
> そうすると(1)と同様に
> a+bとa^2+b^2が7の倍数→a+bとabが7の倍数→aもbも7の倍数
> となり矛盾が発生するので、aかbのうち少なくとも一つは7の倍数。

> # もっとすっきり証明できるような気がします。
本質的には一緒ですが、言い回しを変えると少しすっきりするかも知れません。
「a^2+b^2とab(a+b)が両方とも2023の倍数」
a^2+b^2とab(a+b)が両方とも7の倍数
ab(a+b)が7の倍数　⇔　abが７の倍数またはa+bが７の倍数
a+bが７の倍数のとき
　2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2) は7の倍数
　よってabは7の倍数。

（もしaもbも7の倍数でないと仮定すると・・・矛盾　という論法を止めただけです）
No.84442 - 2022/12/30(Fri) 21:34:04
☆ Re: 最小値 / らすかる
おお、なるほど。すっきりしますね。

# 文字数的には「少しすっきり」ですが、内容的には「結構すっきり」ですね。
No.84444 - 2022/12/30(Fri) 23:42:21
☆ Re: 最小値 / 杏
らすかるさん、ITさん、どうもありがとうございます。
おかげさまで年越しの素敵なプレゼントになりました…
No.84447 - 2022/12/31(Sat) 11:50:47
☆ Re: 最小値 / IT
らすかるさん>
> # もっとすっきり証明できるような気がします。

(2)の途中
下記でどうでしょうか？
・・（略）・・・
aかbのうち少なくとも一つは7の倍数、
a^2+b^2が7の倍数なので
a,bの一方が7の倍数のとき他方も7の倍数
したがって、a,b ともに7の倍数。

同様にa,b ともに17の倍数。
No.84453 - 2022/12/31(Sat) 17:46:05
☆ Re: 最小値 / らすかる
ああなるほど、確かにそれだけで済みますね。ありがとうございます。
No.84455 - 2022/12/31(Sat) 23:44:13
★ ベクトル / あ
PQがなぜ2\1(PB+PD)で表されるのかがわからないです。
よろしくお願いします。
No.84422 - 2022/12/29(Thu) 17:36:56
☆ Re: ベクトル / X
△PBDに注目し、点Pを基準にして考えます。

上記の説明で分からないのであれば、教科書の
ベクトルの項目で線分の中点の位置ベクトルの
公式の復習をしましょう。
No.84423 - 2022/12/29(Thu) 17:50:52
★ 高校入試 / かほり
高校入試です。
(4)だけ解説お願い致します。
答えは 512/243 です。
No.84419 - 2022/12/29(Thu) 14:28:22
☆ Re: 高校入試 / ヨッシー
こちらをどうぞ。
No.84420 - 2022/12/29(Thu) 14:40:09
☆ Re: 高校入試 / かほり
ありがとうございました。
No.84424 - 2022/12/29(Thu) 18:36:38
★ 高校数学の質問 / lest
はじめまして。以下の問題の答えがわかる方がいらっしゃいましたら教えていただきたいです。高校数学の問題です。

nを負でない整数とし、方程式
(x-n/2)(x+n/2)x=[x]
の解の個数をL(n)とする。L(n)を求めよ。ただし[x]はxを超えない最大の整数を表す。

よろしくお願いします！
No.84415 - 2022/12/29(Thu) 03:43:27
☆ Re: 高校数学の質問 / しろ帽子
解けたわけではないですが、具体的にnを決めてみると以下のようになるようです。


x=0は明らかに解になるので詳細略。

L(0)=4
x=0,1（x^3=1の解）,-1（x^3=-1の解）,-[3]√2（x^3=-2の解）

L(1)=4
x=0,1/2(x^3-x/4=0の解),(x^3-x/4=1の解),(x^3-x/4=-2の解)

L(2k)=L(2k+1)=3、kは1以上の整数
x=0,(左辺=kの解),（左辺=-k-1の解）


f(x)=x(x-n/2)(x+n/2)とする。
曲線y=f(x)とy=[x]の発散のスピードに差があるので上記以外には解はない。（このことを正確に記述する必要がある。）


なので解答としては
L(0)=L(1)=4,L(2k)=L(2k+1)=3
No.84429 - 2022/12/29(Thu) 22:40:29
☆ Re: 高校数学の質問 / IT
しろ帽子さん＞
> f(x)=x(x-n/2)(x+n/2)とする。
曲線y=f(x)とy=[x]の発散のスピードに差があるので上記以外には解はない。（このことを正確に記述する必要がある。）

けっこう難しそうですね。
「発散」とは、ｘ＞0　の側では、「増加」のことだと思いますが、y=[x]は段差があるので局所的には増加率がいくらでも大きくなります。
No.84430 - 2022/12/29(Thu) 23:13:32
☆ Re: 高校数学の質問 / IT
きちんと書ききれてないですが出来たとこまで

n≧2のとき、
x>0の部分を考える。
(x-n/2)(x+n/2)x = [x]⇔(x-n/2)(x+n/2)=[x]/x

y=f(x)=(x-n/2)(x+n/2)と　y=g(x)=[x]/x の交点を調べる

g(x)＞0なので　x＞n/2 の範囲を考えれば良い

t= x-n/2 とおいて t＞0 の範囲を考える。（考えやすくするためです）

y=h(t)=t(t+n) と, y=k(t)=[t+n/2]/(t+n/2) の交点を考える

h(t) は　t軸と t=-n,0 で交わり下に凸の放物線で　ｔ≧0で真に増加
h(0)=0,h(1/2)=n/2 + 1/4 ＞1

一方k(t) は、つねに0＜k(t)≦1で
n が奇数のとき
　k(0) ＞　0 で　[0,1/2) で連続で真に減少
n が偶数のとき
　k(0)=1＞　0 で　[0,1) で連続で真に減少

以上から y=h(t) とy=k(t) は　t＞0の範囲では、ちょうど１回だけ交わる。
No.84431 - 2022/12/29(Thu) 23:52:42
☆ Re: 高校数学の質問 / IT
t= x-n/2 とおかずに　区間をずらして考えた方が良かったですかね（お好みで）

x＜-n/2の側も,nを偶奇に分けて、　g(x)=[x]/x の各区間[-k-1,-k)での値域を調べれば良いですが、少し面倒です。
No.84435 - 2022/12/30(Fri) 09:32:26
☆ Re: 高校数学の質問 / lest
皆様、貴重なお時間を使ってご回答いただきありがとうございます。
なかなか一筋縄ではいかないのですね。
図まで作成していただき、大変助かりました。

友人に試してもらったところ、以下のような解答を得たためシェアします。途中で端折っている部分があります。|x|は床関数です。

m=0,1のとき、具体的に調べることにより、それぞれ4こ
ここからはm>=2の場合について考える。

f(x)=x(x+m/2)(x-m/2), g(x)=|x|とする。
f'(x)=3x^2-m^2/4より、-m/2√3 < x < m/2√3の範囲でf(x)は単調減少

(i) -m/2√3<=x<0について
f(x)>0>g(x)であるからこの範囲に解はない
(ii) x=0について
f(0)=g(0)=0よりx=0は解となる
(iii) 0<x<=m/2√3について
f(x)<0<=g(x)であるからこの範囲に解はない

ゆえに、f(x)が単調減少である閉区間に解は1つだけ存在する。

以下、単調増加である区間について考える。
ここで、nを整数としたときのf(n)の値に着目し、
n-1< f(n) <= n　　……(1)
となるような整数nが存在するかどうか調べる（直感的には、床関数の段差の部分をf(n)が通るか調べる）。

n-1< f(n) <= n ⇔ -1 < n(n^2-m^2/4-1) <= 0
h(x)=x(x^2-m^2/4-1)とおくと、h'(x)=3x^2-(m^2/4+1)であるから、増減表とグラフがかける。
h(x)=0 ⇔ x=0, x=±√(m^2+4)/2 であり、x=0は単調増加の区間に含まれない。
グラフの形状より、(1)を満たす整数nが存在するのであれば、
| ±√(m^2+4)/2 |　（| |は床関数）
< ±√(m^2+4)/2 > (<>は天井関数）
のうちいずれか1つは(1)を満たす。
まず、符号が正のものについて調べる。

(i) mが偶数のとき
m/2 < √(m^2+4)/2 < m/2+1であり、
h(m/2)=-m/2<=-1より、n=m/2は(1)を満たさない
h(m/2+1)=(m+2)(4m+3)/8>0 より、x=m/2+1は(1)を満たさない

(ii) mが奇数のとき
(m-1)/2 < √(m^2+4)/2 < (m+1)/2であり、
h((m-1)/2)=-(m-1)(2m+3)/8<=-1 (∵ m>=3) より、n=(m-1)/2は(1)を満たさない
h((m+1)/2)=(m+1)(2m-3)/8>0より、x=(m+1)/2は(1)を満たさない

符号が負の場合についても、同様の計算によって同じ結論を得る。

以上より、(1)を満たす整数nは存在しない。したがって、f(x)が単調増加であるような閉区間内に存在する任意の整数nについて
f(n)<=n-1あるいはf(n)>n　……(2)
である。

ここで、数列L_kをL_0=m/2√3, L_1=<m/2√3>, L_2=L_1+1, L_3=L_2+1, ...で定める　（<>は天井関数）。
また、k=0, 1, 2...に対し、関数g*_{k}(x)を
g*_{k}(x)=g(x) (L_k<=x<=L_{k+1})
と定める。
すると、各閉区間[L_k, L_{k+1}]において以下が成立する。

(I) f(L_{k+1})>g*_{k}(L_{k+1}) ⇒ f(L_{k+1})>g*_{k+1}(L_{k+1}) ( ∵ (2)） （※ある区間でf(x)がg(x)より上にあれば、次の区間でもf(x)はg(x)より上にある）
(II) f(L_{k+1})<=g*_{k}(L_{k+1}) ⇒ f(L_{k+1})<g*_{k}(L_{k+1})　（※(I）の反対）

さらに、L_{<3m/2>}>=3m/2であるから、
f(L_{<3m/2>}) > f(3m/2) =3m^3 > g*_{<3m/2>}(L_{<3m/2>})　……(III) （※十分大きなxに対して、f(x)はg(x)より上にある）
が成立する。また、
f(L_{0})<g(L_{0})……(IV)
である。

(I)〜(IV)と(2)より、k=0, 1, 2,... のうち一つだけ
f(L_{K})<g*_{K}(L_{K})　かつ　f(L_{K+1}) > g*_{K}(L_{K+1})
を満たすような整数Kが存在する。
そのようなKに対し、閉区間[L_{K}, L_{K+1}]で中間値の定理が適用できる。g*_{K}(x)が定数関数であることと、f(x)の単調性より、この区間に一つだけL_{K}<x<L_{K+1}を満たすような
f(x)=g*_{K}(x)
の解が存在する。xは整数ではないから、これは
f(x)=g(x)
の解でもある。
ゆえに、x>m/2√3の範囲にf(x)=g(x)の解は1つだけ存在する。
x<-m/2√3の範囲についても、同様の議論により、解が1つだけ存在することが示せる。
これと、解x=0をあわせれば、解は合計3つである。

以上をまとめると、
n=0,1 のとき L(n)=4
n>=2 のとき L(n)=3
である。

長文失礼しました。
今回はありがとうございました！
No.84468 - 2023/01/02(Mon) 00:33:58
★ 必要条件を絞る問題 / MUSA
こんばんは。
必要条件をしぼる問題について質問です。教えてください。

[問題1]x>=y>=0 をみたすすべてのに対して，
ax+by>=0 ……(1)
が成り立つために，定数a,b がみたすべき条件を求めよ。

［解答]
x=1.y=0を(1)に代入して， a>=0
x=1.y=１を(1)に代入して， a+b>=0
逆に，a>=0 かつa+b>=0 とすると，
ax+by＝a(x-y)+(a+b)y
x-y>=0，y>=0より，
ax+by＝a(x-y)+(a+b)y>=0
以上から, 求める条件はa>=0 かつa+b>=0である．

Q1
なぜx=1.y=0とx=1.y=１を代入すれば（他にx=0,y=1とか、x=-1,y=0など無駄な
ｘ、ｙを代入しないで）うまくa>=0 かつa+b>=0を見つけることができたのですか。

[問題2]
ｘ^2+ax+9>0……(2)　
がすべてのｘで成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。

[誤った解答の一部]

x=1を(2)に代入して1^2+a・1+9>0よりa>-10（x=1を(2)に代入しても，-6<a<6が見つからず、x=1を代入したのは無駄となります。）

[問題1]と同じように[問題2]でもxに1つの値を
代入しても、すぐに無駄なく正解である-6<a<6(必要条件）が見つかりません。
（もちろん、この後十分条件の確認まで進むこともできません）

どのようにして、最初から無駄なく、-6<a<6を見つけることが思い浮かぶのですか。

また、「問題1では必要条件からしぼり、十分性を示して解く」はできて
問題2では、「必要条件からしぼり、十分性を示して解く」できない理由は何ですか。

（問題2で他の方法で判別式D=a＾-4・1・9<0から求めるのは理解しています。）
No.84410 - 2022/12/28(Wed) 22:23:13
☆ Re: 必要条件を絞る問題 / ast
「必要条件から候補を絞る」という方法論をとるのであれば「最初から無駄なく」はそれと全く相容れない思想なので, 何を疑問に思ってるのかよくわかりません.
# 例えば,
# > x=1を代入したのは無駄となります。
# というのであれば「必要条件から候補を絞る」という方法論をとっていないようにしか聞こえません.
## (当該の方法論では各 x に対する結果はすべて必要で, どれも無駄になることはありえませんし,
## 一部サボった場合には不適なのものが紛れ込みうるのでそれを判定してはじくことが「十分性の確認」
## なのですから, たとえ不適なものが多く含まれていたとしても取り除き切れれば問題ないことです)
No.84414 - 2022/12/29(Thu) 02:16:42
☆ Re: 必要条件を絞る問題 / MUSA
すみません。私の質問の仕方が悪かったかもしれません。

[問題2]で必要条件からしぼり、十分を利用する方法で解きたい場合、

ｘ^2+ax+9>0……(2)でどんなxの値を代入して必要条件-6<a<6を見つけるのですか。

また、-6<a<6が十分条件であることをどのように示すのですか。
No.84427 - 2022/12/29(Thu) 22:01:49
☆ Re: 必要条件を絞る問題 / IT
あえて「必要条件を絞る」ということにこだわれば、

f(x)=ｘ^2+ax+9=(x+(a/2))^2+9-(a/2)^2 と変形すれば
f(-a/2)＝9-(a/2)^2が最小値であることが分かるので

> ｘ^2+ax+9>0……(2)でどんなxの値を代入して必要条件-6<a<6を見つけるのですか。

x=-a/2 を代入するということだと思います。

>
> また、-6<a<6が十分条件であることをどのように示すのですか。
（最優秀な）必要条件-6<a<6が見つかると同時に-6<a<6が十分条件であることが分かるということだと思います。

”これは「必要条件を絞る」という手法ではない。”とあなたが思われるなら　これ以上の説明や議論はありません。
No.84428 - 2022/12/29(Thu) 22:35:36
☆ Re: 必要条件を絞る問題 / 黄桃
> ｘ^2+ax+9>0……(2)でどんなxの値を代入して必要条件-6<a<6を見つけるのですか。

答からすれば、x=±3 を代入します。

> また、-6<a<6が十分条件であることをどのように示すのですか。

-6<a<6 なら、0≦a^2<36。すると
x^2+ax+9=(x+a/2)^2+9-a^2/4>(x+a/2)^2+9-36/4=(x+a/2)^2≧0 だから十分でもある。

裏技的な楽な解法を求めているのでしょうが、そういうのは別な方法で答が出て問題の構造が分かってから思いつくものです。

ITさんのおっしゃるように、普通はいきなりx=±3を代入する、とはわかりませんし、十分性の証明を少し修正すれば必要十分にできるので無駄でもあります。
No.84433 - 2022/12/30(Fri) 07:21:41
☆ Re: 必要条件を絞る問題 / MUSA
　問題1（または問題2）で裏技的な楽な方法を求め、
ｘ（またはa）に少ない回数の値を代入して必要かつ十分な値を見つけるのは、
経験と運（？）がないと簡単ではないようですね。
　ありがとうございました。
　
No.84443 - 2022/12/30(Fri) 21:56:13
★ 整数問題 / 川野
次の問題を教えて下さい。

（1）以下の（ア）、（イ）、（ウ）を満たす0以上の整数x,y,zをそれぞれすべて求めよ。
（ア）3^xを7で割ると3余る
（イ）7^yを9で割ると4余る
（ウ）7^zを13で割ると7余る

（2）正の整数の組(a,b)で3^a+4=7^bを満たすものをすべて求めよ。

(1)については、
（ア）x=6m+1(mは0以上の整数)
（イ）y=3n+2(nは0以上の整数)
（ウ）z=12k+1(kは0以上の整数)
と求まりました。

よろしくお願いします。
No.84409 - 2022/12/28(Wed) 22:20:50
☆ Re: 整数問題 / GM
a=1のときb=1で成り立つ
aを2以上とすると
(2)の与式の左辺は9で割ると4余るので
右辺も4余る必要があり（イ）よりbは3k+2（kは0以上の整数）と表される

次に3^aを13で割った余りは7^bを13で割った余りより4小さくなければならず
この条件を満たすaとbの組み合わせは
a=3m+1のときb=12n+1（m,nは0以上の整数）
または
a=3m+3のときb=12n+3
ところが（イ）よりbは3k+2と表される必要があり
この場合12n+1や12n+3と等しくなる整数k,nは存在しない
よって満たすのはa=b=1のみ
No.84669 - 2023/01/20(Fri) 19:43:44
★ (No Subject) / GA
1円、5円、10円、50円、100円、500円を 使って10000円を両替する方法は何通り でしょうか。 プログラム解でかまいません。 宜しくお願いします。
No.84403 - 2022/12/28(Wed) 11:36:42
☆ Re: / らすかる
1円、5円、10円、50円、100円、500円の各硬貨を使って500n円を表す方法は
(n+1)(12500n^4+29375n^3+15800n^2-195n+6)/6通りなので、
10000円ならばn=20として7844606371通りとなります。
No.84404 - 2022/12/28(Wed) 12:00:58
☆ Re: pythonコード / GA
下記のコードはpythonのnumpyを使ってこの問題を解くために
母関数的に計算したものですがどこが間違っているのでしょうか。pythonを使っている方どなたかご教授いただければ幸いです。。
import numpy

a=[]
p=1
l=[500,100,50,10,5,1]
numpy.set_printoptions(threshold=numpy.inf)
for i in l:
a=[]
a=[1 if x%i==0 else 0 for x in range(0,10001) ]
a.reverse()

b=numpy.poly1d(a)

p=numpy.polymul(p,b)

c=p.coef
print(c[10000])
No.84406 - 2022/12/28(Wed) 13:41:56
☆ Re: / GA
ラスカル様ありがとうございました。
プログラムで解くほうが簡単なのではないかと思い
質問させていただきました。
No.84407 - 2022/12/28(Wed) 13:59:46
☆ Re: / IT
そのプログラムが正しいかどうかは分かりませんが

理論的に正しいとして
桁あふれか、メモリーオーバー、処理時間が膨大になるなどでは？

例えば VBA で
Sub main()
　counters (5000)
　counters (6000)
　counters (7000)
　counters (8000)
　counters (9000)
　counters (10000)
End Sub

Sub counters(n As Long)
　starttime = Timer
　Dim counter As Currency
　counter = 0
　For a = 0 To n Step 500
　　For b = 0 To n - a Step 100
　　　For c = 0 To n - a - b Step 50
　　　　For d = 0 To n - a - b - c Step 10
　　　　　For e = 0 To n - a - b - c - d Step 5
　　　　　　　counter = counter + 1
　　　　　Next
　　　　Next
　　　Next
　　Next
　Next
　MsgBox n & ":" & counter & "件 " & Timer - starttime & "秒"

End Sub
は私のPCで
5000：2.75秒、6000：6.42秒、7000:13秒、8000：25秒、9000:43秒、10000：72秒
と　処理時間が増加しました。（当然ですが）
No.84411 - 2022/12/28(Wed) 22:44:03
☆ Re: / GA
IT様わかりやすいプログラム有り難うございました。これで10000円まで処理出来てしまうのですね。貴重なプログラムを提供して頂きました事に感謝します。
No.84413 - 2022/12/29(Thu) 02:10:35
☆ Re: / らすかる
Cですが、漸化式方式で数えると一瞬で終わります。

#include <stdio.h>

int main(void)
{
　long long n500, n100, n50, n10, n5, n1;
　int i;

　n500 = n100 = n50 = n10 = n5 = n1 = 1;

　for(i = 1; i <= 10000; ++i){
　　if(i % 500 == 0) n100 += n500;
　　if(i % 100 == 0) n50 += n100;
　　if(i % 50 == 0) n10 += n50;
　　if(i % 10 == 0) n5 += n10;
　　if(i % 5 == 0) n1 += n5;
　}
　printf("%lld\n", n1);
　return 0;
}

# 12.29 11:46 プログラムの無駄を省きました
No.84417 - 2022/12/29(Thu) 10:00:19
☆ Re: / GA
ラスカル様にはお世話になっております。
年末の大切な時間を使って頂きました事に
お礼を申し上げます。
有り難うございました。
No.84418 - 2022/12/29(Thu) 10:42:35
★ 方程式 / ピース
次の問題を教えて下さい。

p,q,rはいずれも素数であるとする。xの3次方程式
x^3-7px^2+2qx-r=0
が素数の解をもつようなp,q,rの組(p,q,r)をすべて求めよ。

よろしくお願いします。
No.84402 - 2022/12/28(Wed) 08:10:14
☆ Re: 方程式 / らすかる
x^3-7px^2+2qx=r
x=2とすると
x^3-7px^2+2qx=(x-7p)x^2+(2x)qは4の倍数なので解なし。
よってxは奇数。

(x^2-7px+2q)x=r
左辺はxの倍数なので、xもrも素数ならばx=rでx^2-7px+2q=1

pが奇数だとするとx^2と7pxが奇数で2qが偶数なので左辺が偶数となり不適。
よってpは偶数なのでp=2。
x^2-14x+2q-1=0からx=7±√(50-2q)
50-2qが平方数になるためには、0≦50-2q＜50で50-2qは偶数なので
50-2q=0,4,16,36
50-2q=0のときq=25となり不適
50-2q=4のときq=23
50-2q=16のときq=17
50-2q=36のときq=7
q=7のときx=7±6=1,13 → (p,q,r,x)=(2,7,13,13)
q=17のときx=7±4=3,11 → (p,q,r,x)=(2,17,3,3),(2,17,11,11)
q=23のときx=7±2=5,9 → (p,q,r,x)=(2,23,5,5)
従って条件を満たす解は
(p,q,r)=(2,7,13),(2,17,3),(2,17,11),(2,23,5)
の4組。
No.84405 - 2022/12/28(Wed) 12:29:55
☆ Re: 方程式 / ピース
丁寧な解説、ありがとうございました！とてもよく分かりました！
No.84412 - 2022/12/29(Thu) 00:33:06
★ 面積 / hand
次の問題を教えて下さい。よろしくお願いします。
Oを原点とする座標平面上に円C:(x-3)^2+y^2=4、円D:x^2+(y-3)^2=1がある。点PはC上を、点QはD上を動く。このとき、三角形OPQの重心Gが動き得る領域の面積Sを求めよ。
No.84398 - 2022/12/28(Wed) 00:23:16
☆ Re: 面積 / らすかる
Qを(cosθ,sinθ+3)とおくと
OQの中点は (cosθ/2,(sinθ+3)/2)
OQの中点と(3,0)を1：2に内分した点は cosθ/3+1,sinθ/3+1
重心の軌跡の半径は円Cの半径の1/3なので2/3
よってこのときの重心の軌跡は
(x-cosθ/3-1)^2+(y-sinθ/3-1)^2=(2/3)^2
軌跡の円の中心が(1,1)から距離1/3の点を回り
軌跡の円の半径は2/3なので
Gが動き得る領域はドーナツ型となり、
外半径は1、内半径は1/3
# つまり (x-1)^2+(y-1)^2=1^2 と (x-1)^2+(y-1)^2=(1/3)^2 で挟まれた領域
従って求める面積はπ・1^2-π・(1/3)^2=(8/9)π
No.84400 - 2022/12/28(Wed) 07:53:39
☆ Re: 面積 / hand
どうもありがとうございます！
No.84408 - 2022/12/28(Wed) 21:48:46
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