ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ルベーグ可測、可測単関数 / くろろ

ルベーグ可測、可測単関数についての質問です。
画像の定理7.12の証明をしたいのですが、証明後半の
「0≦f(x)-Sn(x)≦2^(-n)」
の部分がわかりません。

私の考えとしては、

今、f(x)<nと考えているので、Ankの定義より、k=2^(n)*n
f(x)の範囲に代入すると、n-1/(2^n)≦f(x)<n
同じくSn(x)に代入するとSn(x)=n-1/(2^n)

よって、0≦f(x)-Sn(x)≦2^(-n)になります。

しかし、別サイトで質問したところ
「(k-1)/2^n≦f(x)<k/2^nとなるところでsn(x)=(k-1)/2^nと置いている訳ですから

1/2^n=k/2^n-(k-1)/2^n
≧f(x)-sn(x)≧ (k-1)/2^n-(k-1)/2^n
となります」

と回答をいただきました。

ご教授よろしくお願いします。

No.52483 - 2018/08/01(Wed) 00:43:58

☆ Re: ルベーグ可測、可測単関数 / あ

f(x)<nからはあるk∈{1,2,...,(2^n)n}が存在してf(x)∈[(k-1)/2^n,k/2^n)としか言えないと思いますが。

No.52484 - 2018/08/01(Wed) 00:54:54

★ 値域、存在条件 / 坂下

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2006/06saitama202.htm
の埼玉大後期の問題で、（１）に関して、
画像のようにα、βの存在条件を考え、βを代入消去し、αの存在条件を考え、という感じでなんとか示したのですが、
模範解答を読むと、α、βの存在条件に関しては不要で、Ｃのｚ座標に当たる変数の存在条件を考えているようです。
自分としては、αーβ＝ｋの値の取る範囲だから、それ以外のα、β、ｚの存在条件を考えるというのは論理的に正しいように思えるのですが、なぜ、ｚの存在条件のみでＯＫなのですか？

No.52476 - 2018/07/31(Tue) 23:55:08

☆ Re: 値域、存在条件 / 坂下

回転してしまいました。
ブラウザを変えてみます。

No.52477 - 2018/08/01(Wed) 00:03:55

☆ Re: 値域、存在条件 / 坂下

ごめんなさい。
原因はよくわからないのですが、画像が９０度回転して表示されてしまいます。
解決できそうにありません。

No.52479 - 2018/08/01(Wed) 00:05:46

☆ Re: 値域、存在条件 / 坂下

スマホから投稿してみます

No.52482 - 2018/08/01(Wed) 00:22:34

☆ Re: 値域、存在条件 / 黄桃

(1)は、四面体OABCが「条件」を満たすならば |α-β|<π/2　を示せ、といっています。
別の言い方をすれば、四面体OABCを観察したら「条件」を満たしていたとすると、必ず|α-β|<π/2　であることを示せ、という意味です。

この問題の「条件」は仮定であり、これが真の場合だけを考えればいいのです。
だからα，βの存在は仮定であり、「条件」が真になる条件（α,βが存在する範囲）を求める必要はありません（もちろん、求めてもかまいません；簡単に求まるならその方が早いでしょうし、別解の解き方はそれに近いでしょう）。

なので、|α-β|<π/2が必要条件であることを示せばいいのです。
つまり、
「|α-β|<π/2」は「|α-β|の値域」（以下「値域」と書きます）がこうだ、
という主張ではなく、こういう不等式が成立する（「値域」は0以上π/2に含まれる）という意味です。
結果的にこの問題では同じ意味になりますが、答案としては「値域」そのものではなく「値域」の必要条件である不等式を示すだけでOKです。

No.52527 - 2018/08/02(Thu) 00:25:41

☆ Re: 値域、存在条件 / 坂下

ありがとうございます。
少し自分でも考えています。

No.52592 - 2018/08/04(Sat) 10:36:23

☆ Re: 値域、存在条件 / 坂下

回答者さんのおっしゃっていることは、わかりました。
この（１）で示すべき式はΙαーβΙはπ/２以上、π/２以下の値をとることはない。という意味の式（いわば「単なる不等式」）で、それよりも強烈な式ΙαーβΙの取りうる値の範囲は（つまり「値域」は）＜π/２というところまでは調べる必要はないということですか？
問題文（条件を満たすとき（１）の不等式の成立を示せ）から「単なる不等式」の成立の証明で十分、「値域」の証明までは不要と判断してよい理由はどこにあるのでしょうか？

No.52595 - 2018/08/04(Sat) 13:06:55

★ 高校1年夏休みの課題 / 相馬永吉

大問7の1番と2番両方ともわかりません。
解説よろしくお願いします

No.52469 - 2018/07/31(Tue) 21:19:02

☆ Re: 高校1年夏休みの課題 / X

(1)
(x+1)/2-(4x-2)/3≦2 (A)
2x-3＜a (B)
とします。

(A)より
3(x+1)-2(4x-2)≦12
-5x≦5
-1≦x (A)'
一方(B)より
x＜(a+3)/2 (B)'
(A)'(B)'から題意を満たすためには
2＜(a+3)/2≦3
これより
4＜a+3≦6
∴1＜a≦3

(2)
問題の不等式から
-2＜2x/3＜a-1
-3＜x＜(3a-3)/2
よって条件を満たす整数xは
x=-2,-1
でなければならないので
-1＜(3a-3)/2≦0
これより
-2/3＜a-1≦0
∴1/3＜a≦1

No.52473 - 2018/07/31(Tue) 22:32:26

☆ Re: 高校1年夏休みの課題 / Z

(1)
-5x≦5
1≦x (A)'

は　-1≦x (A)'　の間違いですね。

No.52549 - 2018/08/02(Thu) 21:14:06

☆ Re: 高校1年夏休みの課題 / X

>>Zさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>相馬永吉さんへ
ごめんなさい。Zさんの仰った点も含めて
No.52473を直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.52550 - 2018/08/02(Thu) 21:36:04

☆ Re: 高校1年夏休みの課題 / 相馬

ありがとうございました😊
すいません。次からは答えもしっかりのせときます！

No.52604 - 2018/08/04(Sat) 16:39:41

★ 式。 / Ran

何してるのかわからない。

この問題の、条件bの概念を教えてください。

また、この問題の解き方を詳しくお願いします。

No.52466 - 2018/07/31(Tue) 20:46:32

☆ Re: 式。 / Ran

ちなみに答えです！

No.52467 - 2018/07/31(Tue) 20:48:49

☆ Re: 式。 / ヨッシー

何を以て概念を説明したことになるのか（どういう答えを求められているのか）
わかりませんが、単に関数 f(x) の性質を表しているものと捉えます。
思いつくのは　f(x)＝ｘ　ですが、他にあるかもしれません。
とにかく、「任意のｘ，ｙについて成り立つ」＝「ｘ、ｙに何を代入しても成り立つ」という
ありがたい性質を問題を解くのに利用します。

(1)
(b) の式に、ｘ＝ｙ＝１を代入して、
　f(1)＝f(1)²
よって、
　f(1)＝０，１
f(1)＞０　より　f(1)＝１
(b) の式に、ｘ＝ｙ＝－１を代入して
　f(1)＝f(-1)²＝１
f(-1)＞０　より　f(-1)＝1

(2)
(b) の式に、ｙ＝－１を代入して、
　f(-x)＝f(x)・f(-1)＝f(x)

(3)
(b)の式に、ｘ＝ａ、ｙ＝1/a (a≠0) を代入すると
　f(1)＝f(a)・f(1/a)＝１
f(a)＞０より、
　f(1/a)＝1/f(a)
なので、
　f(a)＞1 ならば f(1/a)＝1/f(a)＜1
となります。

結局、添付された解答と同じになります。

No.52488 - 2018/08/01(Wed) 10:04:40

☆ Re: 式。 / Ran

返信ありがとうございます！

またよろしくお願いします。

No.52511 - 2018/08/01(Wed) 21:23:38

★ これおかしいきがする！ / Ran

ここの途中式変じゃありません？？？

No.52458 - 2018/07/31(Tue) 18:55:09

☆ Re: これおかしいきがする！ / Ran

これです。

No.52459 - 2018/07/31(Tue) 18:56:36

☆ Re: これおかしいきがする！ / らすかる

変じゃないですよ。
(a^2+b^2)/2-((a+b)/2)^2
=(a^2+b^2)/2-(a+b)^2/4
={2(a^2+b^2)-(a+b)^2}/4
=(2a^2+2b^2-a^2-b^2-2ab)/4
=(a^2+b^2-2ab)/4
=(a-b)^2/4
≧0　（等号はa=bのとき）
なので
(a^2+b^2)/2≧((a+b)/2)^2　（等号はa=bのとき）
です。

No.52460 - 2018/07/31(Tue) 19:04:21

☆ Re: これおかしいきがする！ / Ran

赤線の上の部分の、途中式お願いします。

No.52464 - 2018/07/31(Tue) 20:25:17

☆ Re: これおかしいきがする！ / Ran

なぜ、

1/2・a^2+b^2+1/2・c^2+d^2/2

が出てきたのか教えていただきたいです

No.52465 - 2018/07/31(Tue) 20:35:38

☆ Re: これおかしいきがする！ / らすかる

(1/2)(a^2+b^2)/2+(1/2)(c^2+d^2)/2 は
「出てきた」のではなく
(a^2+b^2+c^2+d^2)/4 にしたいので
「そのような形に持っていった」のです。

上に書いたように
(a^2+b^2)/2≧((a+b)/2)^2
同様に
(c^2+d^2)/2≧((c+d)/2)^2
ですから
(1/2){((a+b)/2)^2+((c+d)/2)^2}
=(1/2)((a+b)/2)^2+(1/2)((c+d)/2)^2
≦(1/2)(a^2+b^2)/2+(1/2)(c^2+d^2)/2
が成り立ちますね。

No.52470 - 2018/07/31(Tue) 21:29:49

☆ Re: これおかしいきがする！ / Ran

なるほど！

わざとですね！

ありがとうございます！
理解できました！

No.52471 - 2018/07/31(Tue) 22:07:00

★ 確率論、分布関数について / くろろ

確率論、分布関数についての質問です。
R^1上の関数Fを分布関数とする時、
分布関数は
(1)単調性
(2)右連続性
(3)lim[x→∞]F(x)=1 , lim[x→-∞]F(x)=0

が成立するのですが、(2)の証明がわからないので質問させていただきます。

画像がその証明なのですが、最後の一文の意味がわかりません。(蛍光ペンで塗っているところです)

証明の中の(P11)とは
PをΩ上の確率としたとき、
減少事象列Λn , n=1,2,...に対してP(Λn)は減少しながら、P(∩[n=1→∞]Λn)に収束する。
というものです。

簡単に言うと
lim[N→∞]P(ΛN)＝P(∩[n=1→∞]Λn)と捉えていいと思います。

ご教授よろしくお願いいたします。

No.52456 - 2018/07/31(Tue) 18:35:13

☆ Re: 確率論、分布関数について / あ

ε>0を勝手に選び固定します。
このときF(x_n)→F(c)より整数NがあってF(x_N)-F(c)<εが成り立ちます。
よってx_N>x≧cなる全てのxに対してF(x)-F(c)≦F(x_N)-F(c)<εが成り立ちます。
よってF(x)→F(c)です。

No.52461 - 2018/07/31(Tue) 19:11:00

☆ Re: 確率論、分布関数について / あ

3行目で単調性を使いました。

No.52462 - 2018/07/31(Tue) 19:11:34

☆ Re: 確率論、分布関数について / くろろ

わかりやすい解説ありがとうございました!!

No.52481 - 2018/08/01(Wed) 00:12:47

★ 式と証明です！ / Ran

a b c を、|a|<1 |b|<1 |c|<1 をみたす実数とするとき、

abc +2 > a + b + c を証明せよ。

という問題です。

解答では、まず、 ab +1 > a + bを証明し、
そのあと、|a| <1 |bc| <1 ab+ 1>a+bを利用して証明する。

とあります。
しかし、解答がちきんとかかれておらず、全然わかりません。

解き方や、途中部分を宜しくお願いします。

No.52453 - 2018/07/31(Tue) 18:11:15

☆ Re: 式と証明です！ / あ

まず|x|<1,|y|<1を満たす実数x,yについてxy+1>x+yが成り立つことを証明します.
(証明始め)
|x|<1なので-1<x<1,特にx<1⇔x-1<0.
同様にy-1<0.
したがって(x-1)(y-1)>0.
左辺を展開して結果が従う.
(証明終わり)

さて,今|a|<1,|b|<1なので上の補題よりab+1>a+b…?@.
また|ab|<1,|c|<1なので再び補題よりabc+1>ab+c…?A.
?@と?Aを辺々足して結果が従う.

No.52454 - 2018/07/31(Tue) 18:20:28

☆ Re: 式と証明です！ / Ran

りかいできました！
ありがとうございます！

No.52457 - 2018/07/31(Tue) 18:52:34

★ 内積の微分 / orz

ベクトルの内積の微分を”微分の定義に従って”導出していただきたいです。
式変形の度に何を行なったのかなるべく詳細に記述していただけると非常に助かります。
よろしくお願いいたします。

(U, V)’ =...

No.52447 - 2018/07/31(Tue) 10:38:47

☆ Re: 内積の微分 / GandB

　こんなところでチマチマ質問するより、ベクトル解析の参考書をじっくり読み込んだ方がかえって手っ取り早いと思うが。
> ベクトルの内積の微分を”微分の定義に従って”導出していただきたいです
　'微分' という言葉がちょっと微妙だが、ここでは a↑、b↑を変数 t のベクトル値関数と見なすとき、その導関数を求めることと解釈する。
　　a↑(t) = ( a1(t), a2(t), a3(t) ).
　　b↑(t) = ( b1(t), b2(t), b3(t) ).
　　a↑(t) ・b↑(t) = a1(t)b1(t) + a2(t)b2(t) + a3(t)b3(t).

　右辺は普通の関数だから、導関数を求めるには、まあ普通に（笑）微分すればよい。以下では t を省略。

　　d(a↑･b↑)/dt = (a1b1)' + (a2b2)' + (a3b3)'
　　　　　　　　　= a1'b1 + a1b1' + a2'b2 + a2b2' + a3'b3 + a3b3'
　　　　　　　　　= a1'b1 + a2'b2 + a3'b3 + a1b1'+ a2b2' + a3b3'
　　　　　　　　　= (a1', a2', a3')・(b1, b2, b3) + (a1, a2, a3)・(b1', b2', b3')
　　　　　　　　　= (a↑)'b↑+ a↑(b↑)'.

　「微分の定義に従って導出」というのもよくわからんが、要するに
　　(a1b1)' = a1'b1 + a1b1'
を極限を使ってきちんと証明しろということであれば微積の参考書を見ればよい。

No.52449 - 2018/07/31(Tue) 13:05:40

★ (No Subject) / 整数の性質

次の条件を満たす整数の個数を求めよ。
(1)5個の数字1,2,3,4,5から異なる3個を並べてできる3桁の3の倍数
(2)10!の正の約数

No.52440 - 2018/07/31(Tue) 02:15:46

☆ Re: / らすかる

(1)
3桁の数が3の倍数になるのは
・3桁とも3で割った余りが同じ
・3桁とも3で割った余りが異なる
の二つの場合だけです。
1,2,3,4,5を3で割った余りは1,2,0,1,2であり
同じ余りの数が3個はありませんので、
後者の条件しかあり得ません。
このとき、3で割った余りがすべて異なるためには
3と、1か4のどちらかと、2か5のどちらか
の組合せしかありません。
この選び方が2^2通り、並べ方が3!通りですから、
条件を満たす整数の個数は2^2×3!=24個となります。

(2)
10!=2×3×2^2×5×(2×3)×7×2^3×3^2×(2×5)
=2^8×3^4×5^2×7
なので、正の約数の個数は
(8+1)×(4+1)×(2+1)×(1+1)=270個です。

No.52443 - 2018/07/31(Tue) 03:20:42

★ 確率論、ボレル関数 / tyu

画像の定理5の証明がわからず質問させていただいてます。
証明を読んでも、何をしているのかがわかりません...

n次元ボレル関数はR^n上のBn可測な関数と定義されています。
Bnはn次元ボレル集合体です。

証明の概要だけでも教えていただきたいです。

はっきりとしていない質問で申し訳ありません。

よろしくお願いいたします。

No.52436 - 2018/07/31(Tue) 01:42:35

☆ Re: 確率論、ボレル関数 / あ

いくつか質問です。

Ωはただの集合ですか？

Xは実数値関数ですか？

σ(X1,...,Xn)可測の定義はどうなっていますか？

(3-8)のステートメントを正確に述べてください。

No.52441 - 2018/07/31(Tue) 02:42:37

☆ Re: 確率論、ボレル関数 / tyu

至らない点が多くあり申し訳ございません。

Ωは空でない集合です。
Xは実数値関数です。

σ(X1,...,Xn)可測、(3-8)は画像にまとめました。
上から
σ(X1,...,Xn)について
可測について
(3-8)について　となっております。

よろしくお願いいたします。

No.52448 - 2018/07/31(Tue) 12:00:24

☆ Re: 確率論、ボレル関数 / あ

証明の概要はテキストに書いてあるので、初めから追って行ってどこが分からないのか教えてもらった王が回答しやすいかと思います。
流石に証明全文を注釈入れながら打ち込むのは面倒ですので。

No.52451 - 2018/07/31(Tue) 17:52:33

★ 可測関数　、確率変数 / らむ

可測関数、確率変数の証明の質問です。
画像の⇔を証明したいです。
参考書には線以降が記載されてたのですが、なぜ直ちにわかるかわかりません。

よろしくお願いします。

No.52423 - 2018/07/30(Mon) 23:12:33

☆ Re: 可測関数　、確率変数 / あ

全てのaに対して、{ω|X(ω)≦a}が可測であること(Xが確率変数であること)と{ω|X(ω)<a}が可測であることが同値、なんですか？

それとも{ω|X(ω)≦a}が全てのaに対して成り立つことと、{ω|X(ω)<a}が全てのaに対して成り立つことが同値なんですか？

後者なら本当に自明だと思いますが。

No.52427 - 2018/07/31(Tue) 00:09:54

☆ Re: 可測関数　、確率変数 / あ

「可測であること」が抜けてますね

No.52428 - 2018/07/31(Tue) 00:10:45

☆ Re: 可測関数　、確率変数 / らむ

ご回答ありがとうございまます。
私のミスでした。申し訳ございません。
証明は⇒のみでした。

質問に戻るのですが、
なぜ　∪[n=1→∞]X^(-1)(-∞、a-1/n]∈F　といえるのかわかりません。

自分の予想では条件から、X^(-1)(-∞、a-1/n]∈Fがいえて、σ加法族の性質より∪[n=1→∞]X^(-1)(-∞、a-1/n]∈Fがいえると思っています...

No.52431 - 2018/07/31(Tue) 00:59:46

☆ Re: 可測関数　、確率変数 / あ

ということは、もう一度確認しますが

「{ω|X(ω)≦a}∈Fが全てのaに対して成り立つ」と「{ω|X(ω)<a}∈Fが全てのaに対して成り立つ」が同値

ではなく

全てのaに対して、「{ω|X(ω)≦a}∈F」と「{ω|X(ω)<a}∈F」同値

ということを証明したいのですね？

No.52432 - 2018/07/31(Tue) 01:09:32

☆ Re: 可測関数　、確率変数 / らむ

間違いありません。

No.52433 - 2018/07/31(Tue) 01:17:36

☆ Re: 可測関数　、確率変数 / あ

差し支えなければ、使っている参考書のそのページの画像をそのまま見せてもらえませんか

No.52435 - 2018/07/31(Tue) 01:26:33

☆ Re: 可測関数　、確率変数 / tyu

1枚目、2枚目と続いています。
私が初めに記載していたのは２枚目の上になります。

よろしくお願いします。

No.52437 - 2018/07/31(Tue) 01:57:51

☆ Re: 可測関数　、確率変数 / あ

やはりでしたか。

というと、私が先に提示した

「{ω|X(ω)≦a}∈Fが全てのaに対して成り立つ」と「{ω|X(ω)<a}∈Fが全てのaに対して成り立つ」が同値

と

全てのaに対して、「{ω|X(ω)≦a}∈F」と「{ω|X(ω)<a}∈F」が同値

の違いを把握することが重要かと思われます。

証明については、全てのaに対してX^-1((-∞,a])が可測ですから、特にaをa-1/nとしても可測です。
したがってσ加法族の性質から従うことになります。

{ω|X(ω)≦a}∈Fと{ω|X(ω)<a}∈Fの2つのaは同じものと捉えては危険ということです。

No.52439 - 2018/07/31(Tue) 02:05:08

☆ Re: 可測関数　、確率変数 / らむ

ご回答ありがとうございます。
同様にすれば←も示せるのでしょうか。

全てのaに対してX^-1((-∞,a))が可測ですから、aをa+1/nとしても可測なので…

という感じで。

さらに、なぜ、aをa-1/nにしても可測なのかご教授してほしいです。

No.52450 - 2018/07/31(Tue) 16:51:58

☆ Re: 可測関数　、確率変数 / あ

反対は(-∞,a]=∩(-∞,a+1/n)によります。

その感じだと、論理的な部分が理解できていないのだと思います(測度論とか関係なしの数学の根本の部分です)。

もう少し丁寧に書くことにしましょう。
今示したいのは任意のaに対してX^-1(-∞,a)が可測であることです。
したがってaを1つ任意に「固定して」X^-1(-∞,a)が可測であることを示しましょう。
これを示すにはX^-1(-∞,a-1/n]が任意のnに対して可測であることを示せば十分です。
ところが仮定より任意のbに対してX^-1(-∞,b]は可測なのでした。
特にb=a-1/nとしても可測ですよね？

私の書き込みNo.52439の前半部分を特によく読まれてください。

No.52452 - 2018/07/31(Tue) 18:01:55

☆ Re: 可測関数　、確率変数 / らむ

ご回答ありがとうございます。
非常によく理解できました。
質問が多くなってしまいましたが、毎回回答していただきありがとうございました。

No.52455 - 2018/07/31(Tue) 18:33:40