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★ 微分 / くるみ
F(x)=ax^5+bx^4+cx+4
F(x)を(x-1)^2で割った余りが
f'(1)(x-1)+f(1)で表されることは１番で証明しました。２番の問題で

Lim　f(x)/(x-1)^2＝4
X→1

が成り立つ a b c の値の求め方がわかりせん。
F(1)とf'(1)が0であるという2式しか出すことができませんでした。
No.52993 - 2018/08/15(Wed) 17:59:59
☆ Re: 微分 / らすかる
f(x)を(x-1)^2で割った答えが4にならなければいけませんので
{f(x)-{f'(1)(x-1)+f(1)}}/(x-1)^2
=(ax^5+bx^4+cx+4-(5a+4b+c)(x-1)-(a+b+c+4)}/(x-1)^2
=ax^3+(2a+b)x^2+(3a+2b)x+(4a+3b)
にx=1を代入して整理し、5a+3b=2という条件式が得られますね。
No.52996 - 2018/08/15(Wed) 18:23:36
☆ Re: 微分 / くるみ
これは、(x-1)^2で割ったら、余りが０になるわけだから、f(x)から一番で求めた余りを引いて(x-1)^2で割っても４になりますよね。っていう式ですか？
No.52998 - 2018/08/15(Wed) 18:54:41
☆ Re: 微分 / らすかる
はい、そうです。
正確には、割った結果にx=1を代入したら4、ですが。
No.53002 - 2018/08/15(Wed) 19:20:58
★ 数と式・整数について / 鈴木さん
以下の問題［12］の回答についてですが、どうしても考え方がわかりません……
回答方法を教えて欲しいです。
よろしくお願いします。
No.52991 - 2018/08/15(Wed) 17:25:37
☆ Re: 数と式・整数について / らすかる
x＜y＜zから1/x＞1/y＞1/zなので
1/2=1/x+1/y+1/z＜1/x+1/x+1/x=3/x
∴x＜6
また1/x＜1/2なのでx＞2
従ってx=3,4,5

x=5のとき
1/5+1/y+1/z=1/2
1/y+1/z=1/2-1/5=3/10
両辺に10yzを掛けて
10z+10y=3yz
3yz-10y-10z=0
9yz-30y-30z=0
(3y-10)(3z-10)=100
y＜zから3y-10＜3z-10なので
(3y-10,3z-10)=(1,100),(2,50),(4,25),(5,20)
いずれもx＜yを満たさないので不適

x=4のとき
1/4+1/y+1/z=1/2
1/y+1/z=1/2-1/4=1/4
両辺に4yzを掛けて
4z+4y=yz
yz-4y-4z=0
(y-4)(z-4)=16
y＜zからy-4＜z-4なので
(y-4,z-4)=(1,16),(2,8)
y-4=1,z-4=16のときy=5,z=20
y-4=2,z-4=8のときy=6,z=12
従って条件を満たす組は
(x,y,z)=(4,5,20),(4,6,12)
No.52994 - 2018/08/15(Wed) 18:05:09
☆ Re: 数と式・整数について / IT
x=5が不適であることの別証
x=5 のとき
　y=6,z=7のとき 1/y+1/z=1/6+1/7=13/42≠ 3/10
　z≧8のとき 　1/y+1/z≦1/6+1/8＜3/10
　よって不適
No.52995 - 2018/08/15(Wed) 18:23:12
☆ Re: 数と式・整数について / 鈴木さん
回答への導き方が分からず、四苦八苦していました。

おかげてスッキリしました！

本当にありがとうございました。
No.52997 - 2018/08/15(Wed) 18:36:45
☆ Re: 数と式・整数について / IT
（別解）　x=4のときのy,zの求め方
x=4のとき
1/y+1/z=1/4=1/8+1/8
x＜y＜z なので　4＜y＜8 よってy=5,6,7
y=5のとき　1/z=1/4-1/5=1/20 ∴z=20
y=6のとき　1/z=1/4-1/6=1/12 ∴z=12
y=7のとき　1/z=1/4-1/7=3/28 不適
No.52999 - 2018/08/15(Wed) 18:57:27
★ 線分比と面積比の関係について / たいむ
図の赤で囲まれた部分の、特に黄色の部分がよくわかりません。

三角形の面積比は、
同じ底辺の三角形同士なら高さの比、
同じ高さの三角形同士なら底辺の比になるのはわかるんですが、
三角形ABDと三角形CBDの高さがわからないので、面積比が出せないと思うのです。
高さは垂直になりますよね。

私が見落としている基本的な公式や性質がわかりません。

ご回答お待ちしております。
No.52987 - 2018/08/15(Wed) 13:50:04
☆ Re: 線分比と面積比の関係について / らすかる
高さは垂直ですが、垂直でない「斜めの高さ」でも
『同じ底辺の三角形同士なら面積比は「斜めの高さ」の比』
が成り立ちます。
ACとBDの交点をEとし、AからBDに垂線AFを下ろして
CからBDに垂線CGを下ろすと、
△AFE∽△CGEからAE：CE=AF：CGですから、
「斜めの高さの比」は「高さの比」と等しくなります。
No.52988 - 2018/08/15(Wed) 14:12:07
☆ Re: 線分比と面積比の関係について / たいむ
そうだったんですね！とてもスッキリしました。
証明もしていただいたので完全に腑に落ちました。

ありがとうございます。
No.52989 - 2018/08/15(Wed) 14:47:23
★ 命題 / ピーマン
「x=1かつy=-1ならば、x＞0またはy＞0」の証明を知りたいです！
No.52982 - 2018/08/15(Wed) 00:23:20
☆ Re: 命題 / らすかる
1は0より大きいので、x=1ならばx＞0。
よってx=1であればyの値にかかわらず「x＞0またはy＞0」も成り立つ。
No.52983 - 2018/08/15(Wed) 01:07:44
★ 物理 / トルティーヤ
すみません物理の質問なんですが、、

回転する円盤上の支柱に吊るされた玉が静止している時の糸の張力Sを釣り合いを使って求めるのですが、

Cのやり方が模範解答なのですが、Aのやり方だと答えが合わなくてBのやり方では模範解答とやり方が違います。

AとBで分解の仕方が違うのですが答えが違う値になるのはなぜでしょうか？なにがまちがっった考え方なのでしょうか？
No.52975 - 2018/08/14(Tue) 20:44:09
☆ Re: 物理 / 関数電卓
赤で囲った部分が支柱ですか？ 「回転する円盤」 はどこですか？
No.52977 - 2018/08/14(Tue) 20:58:55
☆ Re: 物理 / GandB
　A, B の例がない。図を見る限り、高校物理でよくある円錐振り子の問題だとは思うが、正確さを期すために元の問題文をそっくり上げた方がよい。
No.52978 - 2018/08/14(Tue) 20:59:10
☆ Re: 物理 / トルティーヤ
すみませんわすれてました
No.52979 - 2018/08/14(Tue) 21:10:22
☆ Re: 物理 / 関数電卓
わかりました。下の図のような 「（水平面内で） 回転する円盤」 の中心に円板に垂直に立てた支柱から吊られている 『円錐振り子』 ですね。

張力 S の鉛直成分が重力と、水位平成分が遠心力とつり合います。Ｃ が正しいですね。
No.52980 - 2018/08/14(Tue) 21:31:11
☆ Re: 物理 / トルティーヤ
Bなどの斜め方向の釣り合いで考えるのはNG何でしょうか？
No.52981 - 2018/08/15(Wed) 00:00:08
☆ Re: 物理 / GandB
> Bなどの斜め方向の釣り合いで考えるのはNG何でしょうか？

　問題文がないので断定はできないが、玉は円錐振り子による等速円運動をしているものと思われる。であれば、円運動の半径を r、角速度をωとするとつり合いの式は
　　S = mg + mrω^2
となる。S を鉛直方向と水平方向に分解すれば
　　Scosθ= mg
　　Ssinθ= mrω^2
である。つまり、玉に乗って玉といっしょに円運動をしている観測者にとって、玉に働いている力は、斜め方向の張力、水平方向の遠心力、鉛直方向の重力だけなのだから A とか B にはなりようがない。

　参考書や教科書には円錐振り子の説明は必ず出ているはずだから、まずはそこをしっかり読む。あと遠心力を含む慣性力についても理解不足のように思える。
No.52985 - 2018/08/15(Wed) 05:47:18
☆ Re: 物理 / 関数電卓
> S = mg + mrω^2
ベクトルの式ならば、これでいいが…
No.52986 - 2018/08/15(Wed) 11:24:49
★ (No Subject) / アンチ
32の2番がよくわかりません。考え方がわかりません。
ちなみに答えは6通りです。
解説お願します‼
No.52968 - 2018/08/14(Tue) 16:31:37
☆ Re: / IT
表を○　裏を×　で表します。
表が２回の場合
　裏が０回は○○
　裏が１回は×○○、○×○
の３通り

裏が２回の場合も同様なので　全部で６通り。
No.52969 - 2018/08/14(Tue) 16:45:04
★ 1/6公式 / 瑠璃
以前質問させていただいた問題なんですが、またわからなくなってしまったので再質問させてください。

放物線C:y=x^2と直線lが0≦x≦1において、x=p、x=p+q(0≦p≦p+q≦1)なる2点で交わっている。ただしq=0のときのlはx=pでのCの接線とする。このとき0≦x≦1でCとlに挟まれた部分の面積の和をSとおく。Sをp、qを用いて表せ。

f(x)=x^2-(2p+q)x+p(p+q)とおきます。

S=∫[0,p]f(x)dx+∫[p,p+q]-f(x)dx+∫[p+q,1]を変形して、
S=∫[0,1]f(x)dx-2∫[p,p+q]f(x)dxとします1。この2∫[p,p+q]f(x)dxの部分に1/6公式を当てはめて、1/6・q^3 としました。
解答も同じような方針を取っているのですが、∫[p,p+q]f(x)dxの部分が-1/6・q^3となっているんです。

なぜ-が付くのかがわからないです。


例えばy=x^2とy=3x-2の囲む部分の面積は直線の方が放物線より上にありますが交点のx座標1と2を用いて、1/6・(2-1)^3=1/6になりますよね。-は付きません。

他にもy=-x^2とy=x+2の囲む面積は交点のx座標-1と2を用いて1/6・(2+1)^3=9/2になりますよね。

1/6公式は二つの例からわかると思いますが、1/6公式は-が付かないと思います。

質問の問題はy=x^2とy=(2p+q)x-p(p+q)の囲む面積ですのでやはり、交点のx座標pとp+qを用いて上の例と同じように1/6・(p+q-p)^3=1/6・q^3になると思うのですが、上の例では-が付かないのに対して、質問の問題では-が付くのはなぜか、両者の違いが分かりません。


よろしくお願いします。
No.52962 - 2018/08/14(Tue) 14:55:46
☆ Re: 1/6公式 / らすかる
「∫[p,p+q]f(x)dx」はただの「定積分」であって「面積」ではありませんので
1/6公式をそのまま使うことはできません。
q＞0として、∫[p,p+q]f(x)dxの値は
p≦f(x)≦p+qでf(x)が正ならば1/6・q^3
p≦f(x)≦p+qでf(x)が負ならば-1/6・q^3
となります。
一方「面積」ならば式は∫[p,p+q]f(x)dxではなく
∫[p,p+q]|f(x)|dxとなり、
f(x)が正か負かにかかわらず1/6・q^3です。
No.52965 - 2018/08/14(Tue) 15:26:25
☆ Re: 1/6公式 / 瑠璃
御回答ありがとうございます。

御解説はよくわかりましたが、ではなぜy=x^2とy=3x-2の場合は1/6公式がそのまま利用できるんでしょうか。この違いが分からないです。
No.52970 - 2018/08/14(Tue) 18:21:08
☆ Re: 1/6公式 / らすかる
> なぜy=x^2とy=3x-2の場合は1/6公式がそのまま利用できるんでしょうか。
最初から「面積を求める」のが目的なのですよね？
1/6公式は「面積を求める公式」ですから、
面積を求める場合は1/6公式がそのまま利用できます。
上の問題の∫[p,p+q]f(x)dxは「定積分の値を求める」ので
1/6公式はそのまま利用できません。

# y=x^2とy=3x-2で挟まれた部分の面積を求めるには1/6公式が使えますが、
# ∫[1〜2](x^2)-(3x-2)dxの値を求めるには1/6公式はそのまま使えません。
No.52971 - 2018/08/14(Tue) 20:10:13
☆ Re: 1/6公式 / 瑠璃
御回答ありがとうございました。今度こそ納得できました。
No.53012 - 2018/08/15(Wed) 23:05:47
★ (No Subject) / ぺ
No.52800で9日に質問した者です。質問が流れてしまったので再度質問させていただきます。
大体は理解できたのですが、後半の「?@を満たす任意のxが?Aを満たさない (P)とき、つまり?@?A'をxの連立不等式としたときの解が存在しない」というのが何故そうなるのかよくわかりません。教えていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。
No.52959 - 2018/08/14(Tue) 12:41:30
☆ Re: / らすかる
質問が流れてしまって再度質問するのなら、
元の質問を探さずに済むように
再度問題文など載せた方が良いと思います。
質疑応答が一つのスレ内で完結していないと、
他の人が見ても何のことかわかりません。
No.52964 - 2018/08/14(Tue) 15:13:45
☆ Re: / ぺ
すみません。指摘ありがとうございます。
画像の2つ目の問題についてです。
解説は
「?Aより
-2＜x-a＜2
-2+a＜x＜2+a ?A'

前半)
題意を満たすためには?@が?A'に含まれればよい
ことはよろしいですか？
従って
-2+a≦0
1≦2+a
これらを連立して解き
-1≦a≦2

後半)
前半と同様に考えると
?@を満たす任意のxが?Aを満たさない (P)
とき、
つまり
?@?A'をxの連立不等式としたときの解が存在しない
とき
2+a≦0
又は
1≦-2+a
∴a≦-2,3≦a (P)'
題意を満たすためには(P)の否定を考えればよいので
(P)'に含まれないaの値の範囲により
-2＜a＜3」
なのですが、「?@を満たす任意のxが?Aを満たさない (P)とき、つまり?@?A'をxの連立不等式としたときの解が存在しない」という部分がなぜそうなるのか分かりません。
解説よろしくお願いします。
No.52966 - 2018/08/14(Tue) 15:43:30
☆ Re: / ぺ
画像が載せられていませんでした。これです。
No.52967 - 2018/08/14(Tue) 15:45:38
☆ Re: / らすかる
質問の意味がイマイチよくわからないのですが、

「?@を満たす任意のxが?Aを満たさない」と
「?@?A'をxの連立不等式としたときの解が存在しない」が
同値であるということが理解できない、という意味ですか？
No.52972 - 2018/08/14(Tue) 20:17:35
☆ Re: / ぺ
そういうことです。分かりづらくてすみません
No.52974 - 2018/08/14(Tue) 20:41:45
☆ Re: / らすかる
「?@を満たす任意のxが?Aを満たさない」は
「0より大きく1より小さいどの値をxに代入しても、|x-a|は2以上になる」
という意味です。
「?@?A'をxの連立不等式としたときの解が存在しない」は
「xが0より大きく1より小さい」かつ「|x-a|は2未満」が成り立つようなxが存在しない
という意味です。
これでも同じ意味に思えないでしょうか。
No.52976 - 2018/08/14(Tue) 20:52:45
★ (No Subject) / あかり
円外の点と円周上の点を結んださいの直線の最大値はなぜ中心を通るときなのですか？
No.52954 - 2018/08/14(Tue) 03:33:44
☆ Re: / らすかる
円外の点をP、円の中心をO、直線OPと円の交点をAとB（ただしPに近い方がB）、
円周上の点でA,Bと異なる点をCとすると
PC＜PO+OC　（三角形の辺の長さは他の二辺の長さの和より短い）
＝PO+OA　（OC=OA=円の半径）
＝PA
なので、必ずPAが最大となります。
No.52955 - 2018/08/14(Tue) 04:43:27
★ (No Subject) / あかり

７の倍数でないものが7k±1 ±2 ±3で表せる理由を教えてください。何となくわかるのですが、11の倍数でないなど数が大きくなったときにすぐ出なくて、、
No.52949 - 2018/08/14(Tue) 01:17:18
☆ Re: / らすかる
7の倍数でない整数は
7で割ると1〜6余ります。
1余る数は7k+1と表せます。
2余る数は7k+2と表せます。
3余る数は7k+3と表せます。
4余る数は7の倍数に3足りないと考えれば7k-3と表せます。
5余る数は7の倍数に2足りないと考えれば7k-2と表せます。
6余る数は7の倍数に1足りないと考えれば7k-1と表せます。
よって7k±1,2,3と表せます。
No.52951 - 2018/08/14(Tue) 01:56:47
★ (No Subject) / セミさん
➁の部分で(2-p)が(p-2)になっているのはどういう計算をした
からなのですか？
No.52948 - 2018/08/14(Tue) 00:30:33
☆ Re: / らすかる
(a)^2=(-a)^2なので
(2-p)^2=(-(2-p))^2=(p-2)^2です。
No.52950 - 2018/08/14(Tue) 01:52:54
★ 平行６面体の面積の求め方について / 倫太郎
画像のような平行６面体の面積を求めたいです。
面積を求める式が画像のようになるのが理解できません。
赤線で引いた、（b×c）がhになるのがまず理解できませんが、２行目の式でcosが出てくるのも理解できません。。。
|a|cos で平行６面体の高さを求めていると回答に書いてあったのですが、なぜ|a|cos で高さがもとまるのかわからず。。。
お願いします！！
No.52947 - 2018/08/14(Tue) 00:28:30
☆ Re: 平行６面体の面積の求め方について / らすかる
「外積」はご存知ですか？
No.52952 - 2018/08/14(Tue) 02:06:49
☆ Re: 平行６面体の面積の求め方について / GandB
>「外積」はご存知ですか？
という回答で十分とは思うが、蛇足を書いておく。

　それにしてもだ。
>（b×c）がhになるのがまず理解できませんが
はともかく
> |a|cos で高さがもとまるのかわからず。
というのはちょっとなあ（笑）。いったいその問題は何という本に載っていたのだ。

　ざっと述べると以下のようになる。
※記号にミスがあったので訂正した。
　　 b↑= (b1, b2, b3)
　　 c↑= (c1, c2, c3)
であるとき外積
　　　　　　　　　　|i↑　 j↑　k↑ |　
　　 h↑= b↑×c↑= |b1　 b2　 b3 | =　(　|b2　b3|　|b3　b1|　|b1　b2|
　　　　　　　　　　|c1　 c2　 c3 |　　　　|c2　c3|,　|c3　c1|,　|c1　c2|　)
の大きさは b↑、c↑が作る平行四辺形の面積に等しい。また
　　h↑・b↑= 0,　　h↑・c↑= 0
なので h↑は b↑、c↑が作る平行四辺形に垂直である。したがって a↑と h↑ がなす角をφとするとこの平行四辺形を底辺とする平行六面体の体積 V は
　　V = |h↑||a↑|cosφ= h↑・a↑.

　まずはベクトル解析の参考書を読む。手元になければとりあえず、「平行六面体　外積」とか「スカラー三重積　行列式」で検索すればよい。
No.52958 - 2018/08/14(Tue) 11:11:40
☆ Re: 平行６面体の面積の求め方について / 倫太郎
お二方ともありがとうございます。外積がわからないのではなく、
|a|cosφで平行四辺形の高さがもとまる理由がわからない、という意図で質問しています。もしよかったらお願いします
No.52960 - 2018/08/14(Tue) 12:55:29
☆ Re: 平行６面体の面積の求め方について / GandB
　外積という概念は理解しているのに、|a↑|cosφが「平行六面体の高さ」を表しているのがわからないとは、ちょっと信じられん。添付した図を見ても理解できないなら、これ以上の回答は差し控える（笑）。
No.52961 - 2018/08/14(Tue) 13:52:06
★ 画像の積分がなぜそうなるのか教えてください / 倫太郎
画像の積分がなぜそうなるのか教えてください
No.52944 - 2018/08/13(Mon) 23:37:41
☆ Re: 画像の積分がなぜそうなるのか教えてください / らすかる
不定積分∫x(x^2+y^2)^(-1/2)dxにおいて
x^2+y^2=tとおくと
2xdx=dtすなわちxdx=(1/2)dtなので
∫x(x^2+y^2)^(-1/2)dx
=(1/2)∫t^(-1/2)dt
=(1/2)(2√t)+C
=√t+C
=√(x^2+y^2)+C
よって
∫[0〜y]x(x^2+y^2)^(-1/2)dx
=[√(x^2+y^2)][0〜y]
No.52945 - 2018/08/13(Mon) 23:48:33
★ (No Subject) / ピクミン
この問題の答えわかる方いらっしゃいましたら教えてください！
No.52935 - 2018/08/13(Mon) 20:58:19
☆ Re: / ピクミン
すいません、解決しました
No.52936 - 2018/08/13(Mon) 21:20:05
★ 微積分 / ６
数学の問題の話ではないんですが、微分と積分はニュートンとライプニッツどちらが先に発見したのでしょうか。
No.52933 - 2018/08/13(Mon) 18:43:37
★ 図形の性質 / メタファイズ
空間内に四面体ABCDを考える。このとき、4つの頂点A,B,C,Dの全てを通る球面が存在することを示せ。
写真の解説にある『次に…』という説明の部分からよくはわかりません。
図がないので、できたら、図を使った説明はできますか？無ければよいので、解説お願いします。
No.52932 - 2018/08/13(Mon) 18:35:46
☆ Re: 図形の性質 / X
まず、文中のσの定義の意味は理解できていますか？
σは
線分ADの中点を通り、線分ADに垂直である平面
となっています。

さて、例えば二次元平面上で
線分EFの垂直二等分線m
を考えるとき、m上の任意の点Mに対し
ME=MF
となりますよね。
ご質問の文章の一行目、二行目はこれと同様に
σ上の任意の点をQとしたとき
AQ=DQ
となる、ということを言っています。
このこととl上の任意の点Pについて
PA=PB=PC
が成立していることを踏まえて、
点Qをσとlの交点に取ったとき、
つまり
点Qと点Pが一致したとき
を考えてみましょう。
No.52934 - 2018/08/13(Mon) 20:38:56
☆ Re: 図形の性質 / 関数電卓
> 図を使った説明
イメージ作りの一助になりますかどうか？！？
No.52937 - 2018/08/13(Mon) 21:22:41
☆ Re: 図形の性質 / 関数電卓
上の図より、やや上のアングルから見下ろしています。
No.52938 - 2018/08/13(Mon) 21:40:58
★ 絶対値 / つな
とても初歩的な質問で申し訳ないのですが、|x| <|y| とx^2<y^2は同値でしょうか。
No.52927 - 2018/08/13(Mon) 15:33:58
☆ Re: 絶対値 / らすかる
x,yが実数なら同値です。
No.52928 - 2018/08/13(Mon) 15:37:12
★ (No Subject) / あかり
７の倍数が7k±1 ±2 ±3で表せる理由を教えてください。何となくわかるのですが、11の倍数など数が大きくなったときにすぐ出なくて、、
No.52925 - 2018/08/13(Mon) 15:01:58
★ ベクトルと整数について。 / コルム
ベクトルと整数の問題です。
m.nを整数としOを原点とする座標空間に3点A(m+2,n,8) B(n,-2m-3,8)とをとる。［1］ベクトルABとベクトルOCが平行でありかつm+n≧100となるような整数の組(m,n)のうちmが最小であるものを求めよ。
教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.52918 - 2018/08/13(Mon) 11:49:05
☆ Re: ベクトルと整数について。 / らすかる
Cが定義されていません。
No.52923 - 2018/08/13(Mon) 14:13:21
☆ Re: ベクトルと整数について。 / コルム
C(8,9,0)です。教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
No.52941 - 2018/08/13(Mon) 21:55:33
☆ Re: ベクトルと整数について。 / らすかる
こちらに回答が付いています。
No.52943 - 2018/08/13(Mon) 22:46:49
★ いくつもごめんなさい / セミさん
｜x-1｜＝-1をみたすxが存在しないとあるのですが、
なぜですか？
x−1＝±1にはならないのですか？
No.52913 - 2018/08/12(Sun) 20:39:03
☆ Re: いくつもごめんなさい / X
なりません。
絶対値の定義により、xの値によらず
|x-1|≧0
だからです。
No.52914 - 2018/08/12(Sun) 20:51:09
☆ Re: いくつもごめんなさい / セミさん
理解力が足らず申し訳ないのですが、
xが0という事はないのでしょうか？
No.52939 - 2018/08/13(Mon) 21:48:04
☆ Re: いくつもごめんなさい / X
x=0のとき
|x-1|=|-1|=1≠-1
∴やはり問題の方程式は成立しません。
No.52940 - 2018/08/13(Mon) 21:51:20
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