ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 自由度が０なら線形独立と言える理由を教えてください / 倫太郎

自由度が０なら線形独立と言える理由を教えてください。
画像の問題を解いています。赤線を引いたところがなぜそう言えるのか教えてください。

No.53417 - 2018/09/01(Sat) 11:35:01

☆ Re: 自由度が０なら線形独立と言える理由を教えてください / IT

連立方程式(＊＊）の解の自由度が0である
→　・・・の解がc1=c2=c3=c4=０のみである
→　u1,u2,u3,u4は線形独立である

このどこが不明ですか？

１つ目の→が分からないなら
　「連立方程式の解の自由度が0」であるの定義を確認してください。

２つ目の→が分からないなら
　「線形独立」の定義を確認してください。

No.53422 - 2018/09/01(Sat) 12:23:52

☆ Re: 自由度が０なら線形独立と言える理由を教えてください / 倫太郎

ありがとうございます。
１つ目の→が分からないです。
今、http://sun.ac.jp/prof/hnagano/houkoku/h23kisomathe1-05.html#hosoku　の記事を読みましたが、いまいち良くわかりません・・・。特に記事中に「ｄr+1、・・・、ｄm　の中にひとつでも０でないものがあると、例えば、ｄr+s≠０　とすると、
rank[A B]≧ｒ＋１＞ｒ＝rankＡ
となり、さらに方程式として矛盾する。ゆえに、この連立方程式は、解を持たない。

また、もし　すべてのｄr+1、・・・、ｄm　が０であれば、
rank[A B]＝rankＡ＝ｒ
であり、以下のようにして、解が存在することが分かる。」　と書かれていてその部分から？？？なので。。。

もしよかったら、「連立方程式の解の自由度が0」であるの定義　を教えてもらえませんか？

No.53424 - 2018/09/01(Sat) 13:42:39

★ 数列 / ゆか

[]は何番目かを表してます！
数列の問題の解答をみてまして、別解の解き方が分からなかったので教えてください。

a[1]=6
a[n+1]=2a[n]+3^n、、、、、、、、、※1
の一般項を求める問題で
α3^n+1=2α3^n+3^n、、、、、、、、、※2

※2がどんな自然数nにたいして成り立つのは
3α=2α+1よりα=1　(続く)

※2の作り方がわかりません。
この式が3^nではなく、ただのnの一次式だとαn+βを使って解いていく定石はわかるのですが、、、、、

No.53412 - 2018/09/01(Sat) 03:20:40

☆ Re: 数列 / IT

αは何なのか※2をこの後どう使うのかなど、もう少し前後を書かれないと良くわかりません。
（※１から※２を引くのだと思いますが）

なお、別解でない方と同じかも知れませんが
a[n+1]=2a[n]+3^n、、、、、、、、、※1
3^n を単純化するため　両辺を3^nで割ると
a[n+1]3^(-n)=2a[n]3^(-n)+1
3a[n+1]3^(-(n+1))=2a[n]3^(-n)+1
　b[n]=a[n]3^(-n)とおくと
3b[n+1]=2b[n]+1　と出来ます。

（追伸）以前の質問を解決された方がいいと思いますよ。

No.53416 - 2018/09/01(Sat) 10:39:06

★ 期待値 / スライム

勝ったら掛け金が２倍もらえるCASINOでルーレットをやるとする。ただし、胴元はいないとする。黒か白かに賭け、確率は1/2とする。

１０００円賭けて
負けたら２０００円
負けたら４０００円
負けたら８０００円
そして上限は８０００円までとする。

そして、勝った時点で止める。４０００円で勝ったらそこでおしまい。

で、また１０００円から始める。
いきなり１０００円で勝ったらここでおしまい。
次も１０００円で賭ける。

これを続ける。

期待値をお願いします。（マーチンゲール法だったかココモ法だったかに似ていますが。）

No.53395 - 2018/08/31(Fri) 07:01:27

☆ Re: 期待値 / らすかる

毎回、掛け金がいくらでも期待値が0円なので、全体の期待値も0円。

No.53397 - 2018/08/31(Fri) 07:58:17

☆ Re: 期待値 / ヨッシー

「２倍もらえる」に騙されてはいけません。
1000円賭けて、勝っても増えるのは 1000円だけです。

No.53399 - 2018/08/31(Fri) 14:09:59

☆ Re: 期待値 / スライム

【問題が伝わったか不安になったので再度書きます。】
勝ったら掛け金が２倍もらえるCASINOでルーレットをやるとする。ただし、胴元はいないとする。黒か白かに賭け、確率は1/2とする。

１０００円賭けて
負けたら２０００円かける。
負けたら４０００円かける。
負けたら８０００円かける。
そして上限は８０００円までとする。

そして、勝った時点で止める。たとえば４０００円で勝ったらそこでおしまい。

で、また１０００円から始める。
いきなり１０００円で勝ったらここでおしまい。
次も１０００円で賭ける。

これを続ける。

期待値をお願いします。（マーチンゲール法だったかココモ法だったかに似ていますが。）

また、勝つ確率を求めなさい。です。

No.53403 - 2018/08/31(Fri) 19:28:27

☆ Re: 期待値 / スライム

＞らすかる様

毎回、掛け金がいくらでも期待値が0円

とはどういう計算式になるのか教えていただいてもよろしいでしょうか？

No.53405 - 2018/08/31(Fri) 19:30:38

☆ Re: 期待値 / IT

らすかるさんの解答が簡明でいいと思います。

一応計算してみると
１クールについて
　　４回連続負ける確率は　1/2^4=1/16
　　よって勝つ確率は15/16　（あくまで１クールの勝率）

負けるときは　負け金１５０００円
勝つときは　勝ち金１０００円なので　期待値は０円

No.53410 - 2018/08/31(Fri) 20:53:43

☆ Re: 期待値 / らすかる

> 毎回、掛け金がいくらでも期待値が0円
> とはどういう計算式になるのか教えていただいてもよろしいでしょうか？
掛け金がn円のとき
1/2の確率でn円損し、
1/2の確率でn円得するから
(1/2)×n+(1/2)×(-n)=0

勝ち負けは他の回の影響を受けませんので、
各回で期待値は0であり
全体の期待値は各回の期待値の合計ですから
0になります。
従ってどんな作戦にしても期待値は0です。

No.53411 - 2018/08/31(Fri) 21:35:06

☆ Re: 期待値 / スライム

よくわかりました。

皆様、ありがとうございます。

No.53413 - 2018/09/01(Sat) 04:17:51

☆ Re: 期待値 / スライム

それにしても２回程度の賭けを上限とし、損切りをするくらいでしたら期待値が０というのはイメージできますが、５回も１０回も２０回もとなると、理屈では期待値が０とわかっちゃいるけれど、なんか勝てるような気がしてくるのが不思議です。

No.53414 - 2018/09/01(Sat) 04:21:34

☆ Re: 期待値 / らすかる

ちゃんと考えれば勝てる気はしなくなりますよ。
例えば10000回やったとすると、そのうち
約5000回は1000円のときに勝って+1000円
約2500回は2000円のときに勝って収支+1000円
約1250回は4000円のときに勝って収支+1000円
約625回は8000円のときに勝って収支+1000円
そして残りの約625回は8000円まで負けて収支-15000円
となり、
(5000+2500+1250+625)×1000-625×15000=0
でやはりトントンです。

# 勝つ回数は負ける回数の15倍ですが、
# 負けた時の金額が勝った時の15倍なので
# 結局期待値が0になるということです。

# 全部で16本でそのうちはずれくじが1本しかないが、
# くじの値段が15000円で当たったら16000円貰える、
# というのと同じですが、このくじを買いたいですか？

No.53415 - 2018/09/01(Sat) 04:55:53

☆ Re: 期待値 / スライム

くじの例がわかりやすいです。
ありがとうございます。

No.53456 - 2018/09/02(Sun) 04:57:08

★ 数A 整数の性質 / ボルト

この問題を何度も考えたのですが分かりません。詳しい解説をよろしくお願いします。

No.53387 - 2018/08/30(Thu) 21:51:09

☆ Re: 数A 整数の性質 / IT

a=sG,b=tG (s,tは互いに素な自然数でs≧t)とおけます。
このときLはどう表せますか？

No.53388 - 2018/08/30(Thu) 22:19:15

☆ Re: 数A 整数の性質 / ボルト

L= stGと表すことができます。

No.53389 - 2018/08/30(Thu) 22:26:04

☆ Re: 数A 整数の性質 / IT

ですね。
L＝4G から　stが求まり、
s,tは互いに素な自然数でs≧t　から　s,t が求まり、
a=sG,b=tG から　a/b　が求まります。

No.53390 - 2018/08/30(Thu) 22:41:12

☆ Re: 数A 整数の性質 / ボルト

ITさんありがとうございました。
st＝4、sとtは互いに素なので、s＝4、t＝1となり、4G/Gより答えは4で合っていますでしょうか？

No.53392 - 2018/08/30(Thu) 22:54:49

☆ Re: 数A 整数の性質 / IT

> st＝4、sとtは互いに素なので、s＝4、t＝1となり、4G/Gより答えは4で合っていますでしょうか？
合ってますが、答案は、少なくとも
s≧t かつsとtは互いに素なので、s＝4、t＝1
a/b=4G/G=4
などのようにしたほうがいいと思います。

No.53393 - 2018/08/30(Thu) 23:47:50

☆ Re: 数A 整数の性質 / ボルト

ITさんありがとうございました。答案を書く際にはそのように書きます。本当にありがとうございました。

No.53394 - 2018/08/31(Fri) 06:28:44

★ 素因数分解 / adgjmptw

2004の素因数分解が何度やってもできません。途中式から教えてください。

No.53369 - 2018/08/29(Wed) 12:15:41

☆ Re: 素因数分解 / ヨッシー

こちらの「素因数分解は次のように計算するとよい。」の部分をご覧ください。

No.53370 - 2018/08/29(Wed) 14:18:08

☆ Re: 素因数分解 / adgjmptw

他の素因数分解はできるのですが、2004だけよく分からなくなってしまいます。教えてください。

No.53375 - 2018/08/29(Wed) 20:19:23

☆ Re: 素因数分解 / IT

できるところまでやってみられるのがいいと思います。
なお、167は素数です。

（167＜13^2＝169かつ11以下の素数で割り切れませんから）

No.53377 - 2018/08/29(Wed) 20:38:44

☆ Re: 素因数分解 / GandB

　　2004/2 = 1002
　　1002/2 = 501
　　 501/3 = 167
　167 を割れる数を見つけようとしても、なかなか見つからないことに気づく。

　実は、167 は素数である。

　一般に n が素数であるかどうかのもっとも素朴な判定方法は、n を n 以下の整数で割ることを n から 2 まで繰り返し、もし割り切れなかったら素数だと判定する。n は n/2 より大きい整数では割り切れないことは明らかなので、実際に調べるときは　n/2 以下の整数から割っていけばいい。

　　167/2 = 83.5
なので、
　　167/83 ---> 割り切れない
　　167/82 ---> 割り切れない
　　･･････････････
　　167/5 ---> 割り切れない
　　167/4 ---> 割り切れない
　　167/3 ---> 割り切れない
　　167/2 ---> 割り切れない
のように地道に繰り返せば 167 が素数であることがわかる（笑）。
　したがって2004の素因数分解は

　　2004 = 2*2*3*167.

　筆算ではこの程度の素数のチェックでも実にメンドーなので、プログラミングできるなら PC で計算するのもよい。そのときはもう少し効率のよい「エラストテネスの篩」というアルゴリズムを使う。

No.53378 - 2018/08/29(Wed) 20:53:33

☆ Re: 素因数分解 / ヨッシー

質問者が誤って覚えられるといけませんので補足しておきます。
IT さんが書かれているように、
167 が素数かどうかを調べるには、13 未満の素数、つまり、
　2, 3, 5, 7, 11
で割り切れるかを調べれば十分です。
13 以上の約数があるなら、167 をその数で割った商も約数で、
それは 13 より小さく、それ以前に見つかっているはずですので。

> 　　2004/2 = 1002
> 　　1002/2 = 501
> 　　 501/3 = 167
> 　167 を割れる数を見つけようとしても、なかなか見つからないことに気づく。
>
> 　実は、167 は素数である。
>
> 　一般に n が素数であるかどうかのもっとも素朴な判定方法は、n を n 以下の整数で割ることを n から 2 まで繰り返し、もし割り切れなかったら素数だと判定する。n は n/2 より大きい整数では割り切れないことは明らかなので、実際に調べるときは　n/2 以下の整数から割っていけばいい。
>
> 　　167/2 = 83.5
> なので、
> 　　167/83 ---> 割り切れない
> 　　167/82 ---> 割り切れない
> 　　･･････････････
> 　　167/5 ---> 割り切れない
> 　　167/4 ---> 割り切れない
> 　　167/3 ---> 割り切れない
> 　　167/2 ---> 割り切れない
> のように地道に繰り返せば 167 が素数であることがわかる（笑）。
> 　したがって2004の素因数分解は
>
> 　　2004 = 2*2*3*167.
>
> 　筆算ではこの程度の素数のチェックでも実にメンドーなので、プログラミングできるなら PC で計算するのもよい。そのときはもう少し効率のよい「エラストテネスの篩」というアルゴリズムを使う。

No.53386 - 2018/08/30(Thu) 16:37:24

☆ Re: 素因数分解 / GandB

> 167 が素数かどうかを調べるには、13 未満の素数、つまり、
> 　2, 3, 5, 7, 11
> で割り切れるかを調べれば十分です。
> 13 以上の約数があるなら、167 をその数で割った商も約数で、
> それは 13 より小さく、それ以前に見つかっているはずですので。

　いやいや、これは大変失礼しました。まったくその通り（笑）。

　今 Excel VBA でちょっと確認したら、上の何の工夫もないアルゴリズムでも、今の PC なら
　　9,999,991
が素数であることを1秒弱で判定できた。初めて触ったPC（シャープのMZ2000 8ビットマシン)だったら、どれくらいかかったことだろう。

No.53391 - 2018/08/30(Thu) 22:43:59

★ ま / まむ

2(-4/√3log2/√3)+4/√3log2/1の計算ができません。指数の形にしたのですがよく分かりませんでした。

No.53363 - 2018/08/29(Wed) 02:23:10

☆ Re: ま / らすかる

適切にカッコを付けて、分子分母がわかるようにして下さい。
2(-4/√3log2/√3)+4/√3log2/1 は
2×(-4÷((√3)log(2))÷√3)+4÷((√3)log(2))÷1
あるいは
2×(-4÷√(3log(2))÷√3)+4÷√(3log(2))÷1
ぐらいに解釈されますが、いずれにしても
最後の「÷1」は意味がないので
多分こういう解釈ではないですよね。

No.53365 - 2018/08/29(Wed) 03:55:04

☆ Re: ま / まむ

分かりにくくてすみません。
2(4分の√3×log2分の√3)+4分の√3×log2分の1です。

No.53372 - 2018/08/29(Wed) 19:32:09

☆ Re: ま / X

既にらすかるさんも書かれていますが補足の形で。

分数の横棒の記号として
/
がよく使われるのは、この記号が
コンピュータのプログラミングで
÷
の意味で使われていることに
由来しています。
その辺りを頭に入れておけば
分数の分子、分母の書き方の
順序を間違えることは
ないと思います。

で、解答ですが
(与式)=((√3)/4){log{((√3)/2)^2}+((√3)/4)log(1/2)
=((√3)/4){log(3/4)+log(1/2)}
=((√3)/4)log(3/8)
となります。

No.53373 - 2018/08/29(Wed) 19:58:28

☆ Re: ま / らすかる

「○分の△」は「△/○」と書きますので
「4分の√3」は「√3/4」ですが、
「log2分の√3」は
・log(√3/2)
・√3/log2
のどちらかわかりませんね。
どちらも、読むと「ログにぶんのルートさん」です。
言葉で書く場合でも
log(2分の√3) か
(log2)分の√3
のようにカッコが要ります。

No.53374 - 2018/08/29(Wed) 20:06:07

★ (No Subject) / ゆか

積分の公式で質問です。
∫[α→β](x-α)^2(x-β)dx=-(β-α)^4/12
とかかれていたのですが、
ある問題で
1/18∫[α→β](x-α)(x-β)^2dx
=(1/18)×(β-α)^4
となってました。公式の-はどこにいったのでしょうか？
また、公式での-についてなのですが、たしかに計算をすると-がつきますが、積分は面積を求める式なのに４乗の係数が-では、面積が常にマイナスになりませんか？　

No.53362 - 2018/08/29(Wed) 01:19:04

☆ Re: / らすかる

積分は面積を求める式ではありません。

No.53366 - 2018/08/29(Wed) 03:56:30

☆ Re: / IT

>積分は面積を求める式なのに４乗の係数が-では、面積が常にマイナスになりませんか？　

では、∫[0→1](-1)dx はいくらか分かりますか？

No.53367 - 2018/08/29(Wed) 04:03:10

☆ Re: / ゆか

1でしょうか？

積分で面積を求める場合は、ロクブンノイチ公式やジュウニブンノイチ公式などがあって、ジュウニブンノ公式だと係数にマイナスが付きますが、実際　計算で使う際には係数のプラス　マイナス　は、無視をして絶対値をつけて計算しても大丈夫ですか？

No.53423 - 2018/09/01(Sat) 12:58:47

☆ Re: / らすかる

1ではありません。-1です。
∫[0→1](-1)dxは「x軸とy=-1とx=0とx=1で囲まれた部分の面積」ではありません。

1/12公式が↓こちらのサイトに書いてある内容のことでしたら、
https://mathtrain.jp/13112formula
ここでは絶対値がついています。

No.53428 - 2018/09/01(Sat) 14:29:16

☆ Re: / ゆか

あ、0と1を逆に計算してました！すみません、、、。

はい！そちらのサイトの公式のことです！！！
面積を求める時のみは公式のプラスマイナスを気にせず絶対値で計算しても大丈夫ですよね？

No.53429 - 2018/09/01(Sat) 15:17:57

☆ Re: / らすかる

「面積を求める公式」ならば最初から絶対値が付いているはずですが、
ゆかさんがおっしゃるのは何の公式ですか？
何の公式かわからないと、
「公式のプラスマイナスを気にせず絶対値で計算しても大丈夫」
かどうかも判断できません。

No.53430 - 2018/09/01(Sat) 15:29:55

★ 高知大学　医学部　AO過去問 / ぴーたろう

a,bは実数でa>0とする。

xy平面上において、(4-a,1-a),(4-a,1+a),(4+a,1-a),(4+a,1+a)を頂点とする正方形の4つの辺とその内部からなる領域をD1とし、中心(b,2b),半径3の円の演習とその内部からなる領域をD2とする。また、点A,B,Cをxy平面上の3点とし、それらの座標をそれぞれ(2,-2),(2,1),(3,0)とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1)A,B,Cのうち、D1に入る点が1つだけあるようなaの範囲を求めよ
(2)A,B,Cのうち、D2に入る点が2つだけあるようなbの範囲を求めよ
(3)A,B,Cのうち、D1,D2の両方に入る点が1つ以上あるような(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ
(4)A,B,Cのうち、D1,D2の少なくとも一方には入るような(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ

No.53356 - 2018/08/28(Tue) 17:00:04

☆ Re: 高知大学　医学部　AO過去問 / ヨッシー

(4) の日本語がおかしいです。

No.53382 - 2018/08/30(Thu) 11:50:25

★ ラ・サール高過去問 / Origin

右図において,AO=1のときのABの長さを求める方針を出来るだけ多く出して頂きたいです.尚OB=OCは証明されているものとします.高校数学の範囲内で理解できる定理なら何を使って頂いても構いません.

No.53353 - 2018/08/28(Tue) 10:39:54

☆ Re: ラ・サール高過去問 / Origin

補足:答えは14/5です。

No.53354 - 2018/08/28(Tue) 12:01:00

☆ Re: ラ・サール高過去問 / らすかる

CQ=QP=PB=2xとしてQPの中点をMとすると
OM=√(OP^2-MP^2)=√(1-x^2)
OB=√(OM^2+MB^2)=√(1+8x^2)
MB：OB=AB：CBに代入して
3x：√(1+8x^2)=1+√(1+8x^2)：6x
これを解いてx=√7/5
∴AB=1+√(1+8x^2)=14/5

No.53355 - 2018/08/28(Tue) 16:12:13

☆ Re: ラ・サール高過去問 / Origin

> CQ=QP=PB=2xとしてQPの中点をMとすると
> OM=√(OP^2-MP^2)=√(1-x^2)
> OB=√(OM^2+MB^2)=√(1+8x^2)
> MB：OB=AB：CBに代入して
> 3x：√(1+8x^2)=1+√(1+8x^2)：6x
> これを解いてx=√7/5
> ∴AB=1+√(1+8x^2)=14/5
ありがとうございます。自分で考えた幾つかのよりスマートで美しいです！参考にさせていただきます。

No.53357 - 2018/08/28(Tue) 20:21:56

★ 積分 / ゆか

積分の公式で質問です。
∫[α→β](x-α)^2(x-β)
=-(β-α)^4/12　とかかれていたのですが、

塾の先生には|a|(β-α)^4/12
と習いました

この上記の2つの公式はそれぞれ係数が-と+なので、答えが変わってくると思うのですがどれが正しいのでしょうか？

No.53345 - 2018/08/27(Mon) 18:14:51

☆ Re: 積分 / IT

塾の先生は、曲線とｘ軸で囲まれる部分の面積について言われたのでは？

正か負かは、グラフを描いてみれば分かります。
α＜βのとき　、α＞βのとき　それぞれグラフを描いてみてください。　

なお、a は何ですか？

No.53346 - 2018/08/27(Mon) 18:37:58

☆ Re: 積分 / GandB

> 塾の先生には|a|(β-α)^4/12
　|a| はどこから出てきたのか、よくわからんが
　　https://mathtrain.jp/beta
を見る限り、まったく違う積分を混同しているとしか思えん。

　ま、それはともかく

　　∫[α→β](x-α)^2(x-β)

とは

　　∫[α→β](x-α)^2(x-β)dx

のことだろうから、素直に積分すれば

　　　∫[α→β](x-α)^2(x-β)dx
　　= ∫[α→β](x-α)^2( x-α-(β-α) )dx
　　= ∫[α→β]( (x-α)^3 - (β-α)(x-α)^2 )dx
　　= [(1/4)(x-α)^4 - (1/3)(β-α)(x-α)^3][α→β]
　　= ( (1/4)(β-α)^4 -(1/3)(β-α)^4 ) - (0-0)
　　= -(1/12)(β-α)^4.

No.53347 - 2018/08/27(Mon) 18:53:59