ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 素因数分解 / adgjmptw

2004の素因数分解が何度やってもできません。途中式から教えてください。

No.53369 - 2018/08/29(Wed) 12:15:41

☆ Re: 素因数分解 / ヨッシー

こちらの「素因数分解は次のように計算するとよい。」の部分をご覧ください。

No.53370 - 2018/08/29(Wed) 14:18:08

☆ Re: 素因数分解 / adgjmptw

他の素因数分解はできるのですが、2004だけよく分からなくなってしまいます。教えてください。

No.53375 - 2018/08/29(Wed) 20:19:23

☆ Re: 素因数分解 / IT

できるところまでやってみられるのがいいと思います。
なお、167は素数です。

（167＜13^2＝169かつ11以下の素数で割り切れませんから）

No.53377 - 2018/08/29(Wed) 20:38:44

☆ Re: 素因数分解 / GandB

　　2004/2 = 1002
　　1002/2 = 501
　　 501/3 = 167
　167 を割れる数を見つけようとしても、なかなか見つからないことに気づく。

　実は、167 は素数である。

　一般に n が素数であるかどうかのもっとも素朴な判定方法は、n を n 以下の整数で割ることを n から 2 まで繰り返し、もし割り切れなかったら素数だと判定する。n は n/2 より大きい整数では割り切れないことは明らかなので、実際に調べるときは　n/2 以下の整数から割っていけばいい。

　　167/2 = 83.5
なので、
　　167/83 ---> 割り切れない
　　167/82 ---> 割り切れない
　　･･････････････
　　167/5 ---> 割り切れない
　　167/4 ---> 割り切れない
　　167/3 ---> 割り切れない
　　167/2 ---> 割り切れない
のように地道に繰り返せば 167 が素数であることがわかる（笑）。
　したがって2004の素因数分解は

　　2004 = 2*2*3*167.

　筆算ではこの程度の素数のチェックでも実にメンドーなので、プログラミングできるなら PC で計算するのもよい。そのときはもう少し効率のよい「エラストテネスの篩」というアルゴリズムを使う。

No.53378 - 2018/08/29(Wed) 20:53:33

☆ Re: 素因数分解 / ヨッシー

質問者が誤って覚えられるといけませんので補足しておきます。
IT さんが書かれているように、
167 が素数かどうかを調べるには、13 未満の素数、つまり、
　2, 3, 5, 7, 11
で割り切れるかを調べれば十分です。
13 以上の約数があるなら、167 をその数で割った商も約数で、
それは 13 より小さく、それ以前に見つかっているはずですので。

> 　　2004/2 = 1002
> 　　1002/2 = 501
> 　　 501/3 = 167
> 　167 を割れる数を見つけようとしても、なかなか見つからないことに気づく。
>
> 　実は、167 は素数である。
>
> 　一般に n が素数であるかどうかのもっとも素朴な判定方法は、n を n 以下の整数で割ることを n から 2 まで繰り返し、もし割り切れなかったら素数だと判定する。n は n/2 より大きい整数では割り切れないことは明らかなので、実際に調べるときは　n/2 以下の整数から割っていけばいい。
>
> 　　167/2 = 83.5
> なので、
> 　　167/83 ---> 割り切れない
> 　　167/82 ---> 割り切れない
> 　　･･････････････
> 　　167/5 ---> 割り切れない
> 　　167/4 ---> 割り切れない
> 　　167/3 ---> 割り切れない
> 　　167/2 ---> 割り切れない
> のように地道に繰り返せば 167 が素数であることがわかる（笑）。
> 　したがって2004の素因数分解は
>
> 　　2004 = 2*2*3*167.
>
> 　筆算ではこの程度の素数のチェックでも実にメンドーなので、プログラミングできるなら PC で計算するのもよい。そのときはもう少し効率のよい「エラストテネスの篩」というアルゴリズムを使う。

No.53386 - 2018/08/30(Thu) 16:37:24

☆ Re: 素因数分解 / GandB

> 167 が素数かどうかを調べるには、13 未満の素数、つまり、
> 　2, 3, 5, 7, 11
> で割り切れるかを調べれば十分です。
> 13 以上の約数があるなら、167 をその数で割った商も約数で、
> それは 13 より小さく、それ以前に見つかっているはずですので。

　いやいや、これは大変失礼しました。まったくその通り（笑）。

　今 Excel VBA でちょっと確認したら、上の何の工夫もないアルゴリズムでも、今の PC なら
　　9,999,991
が素数であることを1秒弱で判定できた。初めて触ったPC（シャープのMZ2000 8ビットマシン)だったら、どれくらいかかったことだろう。

No.53391 - 2018/08/30(Thu) 22:43:59

★ ま / まむ

2(-4/√3log2/√3)+4/√3log2/1の計算ができません。指数の形にしたのですがよく分かりませんでした。

No.53363 - 2018/08/29(Wed) 02:23:10

☆ Re: ま / らすかる

適切にカッコを付けて、分子分母がわかるようにして下さい。
2(-4/√3log2/√3)+4/√3log2/1 は
2×(-4÷((√3)log(2))÷√3)+4÷((√3)log(2))÷1
あるいは
2×(-4÷√(3log(2))÷√3)+4÷√(3log(2))÷1
ぐらいに解釈されますが、いずれにしても
最後の「÷1」は意味がないので
多分こういう解釈ではないですよね。

No.53365 - 2018/08/29(Wed) 03:55:04

☆ Re: ま / まむ

分かりにくくてすみません。
2(4分の√3×log2分の√3)+4分の√3×log2分の1です。

No.53372 - 2018/08/29(Wed) 19:32:09

☆ Re: ま / X

既にらすかるさんも書かれていますが補足の形で。

分数の横棒の記号として
/
がよく使われるのは、この記号が
コンピュータのプログラミングで
÷
の意味で使われていることに
由来しています。
その辺りを頭に入れておけば
分数の分子、分母の書き方の
順序を間違えることは
ないと思います。

で、解答ですが
(与式)=((√3)/4){log{((√3)/2)^2}+((√3)/4)log(1/2)
=((√3)/4){log(3/4)+log(1/2)}
=((√3)/4)log(3/8)
となります。

No.53373 - 2018/08/29(Wed) 19:58:28

☆ Re: ま / らすかる

「○分の△」は「△/○」と書きますので
「4分の√3」は「√3/4」ですが、
「log2分の√3」は
・log(√3/2)
・√3/log2
のどちらかわかりませんね。
どちらも、読むと「ログにぶんのルートさん」です。
言葉で書く場合でも
log(2分の√3) か
(log2)分の√3
のようにカッコが要ります。

No.53374 - 2018/08/29(Wed) 20:06:07

★ (No Subject) / ゆか

積分の公式で質問です。
∫[α→β](x-α)^2(x-β)dx=-(β-α)^4/12
とかかれていたのですが、
ある問題で
1/18∫[α→β](x-α)(x-β)^2dx
=(1/18)×(β-α)^4
となってました。公式の-はどこにいったのでしょうか？
また、公式での-についてなのですが、たしかに計算をすると-がつきますが、積分は面積を求める式なのに４乗の係数が-では、面積が常にマイナスになりませんか？　

No.53362 - 2018/08/29(Wed) 01:19:04

☆ Re: / らすかる

積分は面積を求める式ではありません。

No.53366 - 2018/08/29(Wed) 03:56:30

☆ Re: / IT

>積分は面積を求める式なのに４乗の係数が-では、面積が常にマイナスになりませんか？　

では、∫[0→1](-1)dx はいくらか分かりますか？

No.53367 - 2018/08/29(Wed) 04:03:10

☆ Re: / ゆか

1でしょうか？

積分で面積を求める場合は、ロクブンノイチ公式やジュウニブンノイチ公式などがあって、ジュウニブンノ公式だと係数にマイナスが付きますが、実際　計算で使う際には係数のプラス　マイナス　は、無視をして絶対値をつけて計算しても大丈夫ですか？

No.53423 - 2018/09/01(Sat) 12:58:47

☆ Re: / らすかる

1ではありません。-1です。
∫[0→1](-1)dxは「x軸とy=-1とx=0とx=1で囲まれた部分の面積」ではありません。

1/12公式が↓こちらのサイトに書いてある内容のことでしたら、
https://mathtrain.jp/13112formula
ここでは絶対値がついています。

No.53428 - 2018/09/01(Sat) 14:29:16

☆ Re: / ゆか

あ、0と1を逆に計算してました！すみません、、、。

はい！そちらのサイトの公式のことです！！！
面積を求める時のみは公式のプラスマイナスを気にせず絶対値で計算しても大丈夫ですよね？

No.53429 - 2018/09/01(Sat) 15:17:57

☆ Re: / らすかる

「面積を求める公式」ならば最初から絶対値が付いているはずですが、
ゆかさんがおっしゃるのは何の公式ですか？
何の公式かわからないと、
「公式のプラスマイナスを気にせず絶対値で計算しても大丈夫」
かどうかも判断できません。

No.53430 - 2018/09/01(Sat) 15:29:55

★ 高知大学　医学部　AO過去問 / ぴーたろう

a,bは実数でa>0とする。

xy平面上において、(4-a,1-a),(4-a,1+a),(4+a,1-a),(4+a,1+a)を頂点とする正方形の4つの辺とその内部からなる領域をD1とし、中心(b,2b),半径3の円の演習とその内部からなる領域をD2とする。また、点A,B,Cをxy平面上の3点とし、それらの座標をそれぞれ(2,-2),(2,1),(3,0)とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1)A,B,Cのうち、D1に入る点が1つだけあるようなaの範囲を求めよ
(2)A,B,Cのうち、D2に入る点が2つだけあるようなbの範囲を求めよ
(3)A,B,Cのうち、D1,D2の両方に入る点が1つ以上あるような(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ
(4)A,B,Cのうち、D1,D2の少なくとも一方には入るような(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ

No.53356 - 2018/08/28(Tue) 17:00:04

☆ Re: 高知大学　医学部　AO過去問 / ヨッシー

(4) の日本語がおかしいです。

No.53382 - 2018/08/30(Thu) 11:50:25

★ ラ・サール高過去問 / Origin

右図において,AO=1のときのABの長さを求める方針を出来るだけ多く出して頂きたいです.尚OB=OCは証明されているものとします.高校数学の範囲内で理解できる定理なら何を使って頂いても構いません.

No.53353 - 2018/08/28(Tue) 10:39:54

☆ Re: ラ・サール高過去問 / Origin

補足:答えは14/5です。

No.53354 - 2018/08/28(Tue) 12:01:00

☆ Re: ラ・サール高過去問 / らすかる

CQ=QP=PB=2xとしてQPの中点をMとすると
OM=√(OP^2-MP^2)=√(1-x^2)
OB=√(OM^2+MB^2)=√(1+8x^2)
MB：OB=AB：CBに代入して
3x：√(1+8x^2)=1+√(1+8x^2)：6x
これを解いてx=√7/5
∴AB=1+√(1+8x^2)=14/5

No.53355 - 2018/08/28(Tue) 16:12:13

☆ Re: ラ・サール高過去問 / Origin

> CQ=QP=PB=2xとしてQPの中点をMとすると
> OM=√(OP^2-MP^2)=√(1-x^2)
> OB=√(OM^2+MB^2)=√(1+8x^2)
> MB：OB=AB：CBに代入して
> 3x：√(1+8x^2)=1+√(1+8x^2)：6x
> これを解いてx=√7/5
> ∴AB=1+√(1+8x^2)=14/5
ありがとうございます。自分で考えた幾つかのよりスマートで美しいです！参考にさせていただきます。

No.53357 - 2018/08/28(Tue) 20:21:56

★ 積分 / ゆか

積分の公式で質問です。
∫[α→β](x-α)^2(x-β)
=-(β-α)^4/12　とかかれていたのですが、

塾の先生には|a|(β-α)^4/12
と習いました

この上記の2つの公式はそれぞれ係数が-と+なので、答えが変わってくると思うのですがどれが正しいのでしょうか？

No.53345 - 2018/08/27(Mon) 18:14:51

☆ Re: 積分 / IT

塾の先生は、曲線とｘ軸で囲まれる部分の面積について言われたのでは？

正か負かは、グラフを描いてみれば分かります。
α＜βのとき　、α＞βのとき　それぞれグラフを描いてみてください。　

なお、a は何ですか？

No.53346 - 2018/08/27(Mon) 18:37:58

☆ Re: 積分 / GandB

> 塾の先生には|a|(β-α)^4/12
　|a| はどこから出てきたのか、よくわからんが
　　https://mathtrain.jp/beta
を見る限り、まったく違う積分を混同しているとしか思えん。

　ま、それはともかく

　　∫[α→β](x-α)^2(x-β)

とは

　　∫[α→β](x-α)^2(x-β)dx

のことだろうから、素直に積分すれば

　　　∫[α→β](x-α)^2(x-β)dx
　　= ∫[α→β](x-α)^2( x-α-(β-α) )dx
　　= ∫[α→β]( (x-α)^3 - (β-α)(x-α)^2 )dx
　　= [(1/4)(x-α)^4 - (1/3)(β-α)(x-α)^3][α→β]
　　= ( (1/4)(β-α)^4 -(1/3)(β-α)^4 ) - (0-0)
　　= -(1/12)(β-α)^4.

No.53347 - 2018/08/27(Mon) 18:53:59

★ 円と直線(お茶の水大 2010) / 名前

円と直線(お茶の水大 2010)

『xy平面上の２円

C1:x^2+y^2=16　 C2:(x-6)^2+y^2=1

について点 P を通る任意の直線が C1 または C2 の少なくとも一方と共有点を持つような点 P の存在する領域を図示せよ．』

という問題について

Ｐ(p,q) としてＰを通る任意の直線を cosθ(x-p)+sinθ(y-q)=0 とおいて任意のθについて

-４≦pcosθ+qsinθ≦４　(C1と共有点をもつ)
または
-1≦(p-6)cosθ+qsinθ≦1　(C2と共有点をもつ)

が成り立つようなＰについて考えようとしたのですが

p^2+q^2≦16　(C1内部)　または　(p-6)^2+q^2≦1　(C2内部) の場合は自明として

それ以降で膠着してしまいました。

答えとしては

『C1,C2および共通外接線，共通内接線で囲まれた領域』となります。

手持ちの解答では「この領域内では条件を満たす」程度の説明しかなく、数式での解答を試みた次第です。

ご教授願います。

No.53343 - 2018/08/27(Mon) 07:55:03

☆ Re: 円と直線(お茶の水大 2010) / 黄桃

図形的考察をしないと難しいのではないでしょうか。

要するに、θに関する不等式

-４≦pcosθ+qsinθ≦４　または -1≦(p-6)cosθ+qsinθ≦1

の解が0～2πすべてをカバーする、ということなのですが、数式だけだと、出てくる角度の意味をきちんと理解するのが難しい上に出てきた結論は当たり前のものになります。

実際、O(0,0), A(6,0)とし、C1,C2の外側にあるPが条件を満たすとは、
PからC1に引いた2本の接線に挟まれるOを含む領域(Oの反対側も含む)と
PからC2に引いた2本の接線に挟まれるAを含む領域(Aの反対側も含む)との和集合が全体集合になる
ということである、となります（この結論自体は図形的意味を考えれば明らかでしょう）。

この先の考察は図形的にした方がずっと楽で、そうなると「手持ちの解答」と大差ないものになるでしょう。

＃全部数式だけでやろうと思ったら、
＃PからC1に引いた2本の接線の方程式を f1(x,y)=0, f2(x,y)=0,
＃PからC2に引いた2本の接線の方程式を g1(x,y)=0, g2(x,y)=0　とし、
＃f1(0,0)*f2(0,0)<0, g1(6,0)*g2(6,0)<0 とすれば（符号が反対なら f1やg1を -f1や-g1 で置き換える）
＃f1(x,y)*f2(x,y)>0 の範囲が g1(x,y)*g2(x,y)≦0の範囲に含まれる、
＃という条件を明らかにすればいいですが、かなり面倒なことになると思います(少なくとも私はやる気がおきません）。

No.53396 - 2018/08/31(Fri) 07:55:23

☆ Re: 円と直線(お茶の水大 2010) / 名前

最初は図形的考察を考えました。

円外の定点Ｐを通る直線が円と共有点をもつとき、直線が動ける限界は円と直線が接するときです。

この直線がC1と共有点をもたなくなったときからC2と共有点をもち始め、C2と共有点をもたなくなったときからC1と共有点をもち始めると考えれば共通接線が境界になるであろうという推測はできます。

実際、原題では小問で２円の共通接線の方程式を問うており共通接線が境界になることを示唆しています。

しかし、こうした考察を厳密に実行して図示するところでつまづいてしまいました。

No.53398 - 2018/08/31(Fri) 11:00:33

☆ Re: 円と直線(お茶の水大 2010) / 黄桃

もし目的が、数式を使って解くこと、でないのなら、改めて投稿しなおすことをお勧めします。小問は誘導になっていることが多く、問題作成者の意図は図形的に解くことでしょう。

＃4本の共通接線で分割される領域ごとに可能性を検討すれば
＃（面倒ですが）確実、というのが「手持ちの解答」の方針では？

No.53460 - 2018/09/02(Sun) 08:25:28

★ 高次恒等式 / あいか

下の問題の求め方が分からないので教えていただきたいです！！🙇
お願いします！！！

No.53326 - 2018/08/26(Sun) 18:36:11

☆ Re: 高次恒等式 / IT

?@の解をα、β?Aの解をα、β、γとして解と係数関係から決まると思います。

?@の左辺を?Aの左辺で割り算する方法もあります。

No.53328 - 2018/08/26(Sun) 19:03:39

☆ Re: 高次恒等式 / あいか

ありがとうございます、階の係数をだしてからどうすればいいのでしょうか…ほんとにすみません🙇

No.53329 - 2018/08/26(Sun) 19:28:22

☆ Re: 高次恒等式 / あいか

あと?@の解が‪α ‬β γの3つでいいですか？？

No.53330 - 2018/08/26(Sun) 19:31:42

☆ Re: 高次恒等式 / IT

いいです。
「?A の解をα、β　?@の解をα、β、γ」と書くところを
書き間違えました。ごめんなさい。

No.53331 - 2018/08/26(Sun) 19:51:23

☆ Re: 高次恒等式 / IT

> ありがとうございます、階の係数をだしてからどうすればいいのでしょうか…ほんとにすみません🙇

?@と?Aの解と係数の関係を書き出してください。

（注）x=aが?@の解の１つであることから?@は因数分解できて　(x-a)(x^2+x+1)=0 …?@となることを使うと良かったです。
（１）は、最初の方針どおりやってみましょう。
（２）は、(x-a)(x^2+x+1)=0 …?@　を使わないと難しいようです。

実数係数のｎ次方程式が虚数解αを持つときαの共役複素数も解になることを使います。
?@の左辺を?Aの左辺で割り算する方法はうまくいかないようです。

No.53332 - 2018/08/26(Sun) 19:55:47

☆ Re: 高次恒等式 / IT

（解と係数関係を使う解法）
(1) (ii)の解をα、β (i)の解をα、β、γとすると。
解と係数関係
α+β+γ=-(1-a)…(1),αβ+βγ+γα=1-a…(2),αβγ=a…(3)
α+β=-(9a-7)…(4),αβ=1…(5)

(5)(3)よりγ=a
これと(1)(4)より-(9a-7)+a=-(1-a) ∴a=8/9

この後、a=8/9なら(ii)の２解が(i)の解になることを示すのは面倒ですね。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
やはり、下記の解答が良いようです。
(略解)
(1)x^3+(1-a)x^2+(1-a)x-a=(x-a)(x^2+x+1)=0 …(i) なので
(i)の解はx=a(実数）とx^2+x+1=0の２つの異なる虚数解である。
(ii)は実数係数なので虚数解を持つ場合は、その共役複素数も解となる。
　
したがって(i)と(ii)が２つの解を共有するとき、それらはx^2+x+1=0の２つの解である。

よって、x^2+(9a-7)x+1=x^2+x+1 (恒等式）
∴a=8/9　

No.53336 - 2018/08/26(Sun) 21:27:27

☆ Re: 高次恒等式 / IT

(2)(i)と(ii)がただ１つの解を共有するとき
その共有解はx=a である。（なぜなら、(1)の最初の議論から）
よってa^2+(9a-7)a+1=0 これを解くといいです。

No.53337 - 2018/08/26(Sun) 21:32:03

☆ Re: 高次恒等式 / あいか

わかりやすくありがとうございます！
2通りでやってみました！！

No.53339 - 2018/08/26(Sun) 21:33:51

★ 除法と整数の分類 / あゆ

121番なのですがどのように示せばいいのか分かりません。教えていただきたいです。

No.53318 - 2018/08/26(Sun) 17:38:02

☆ Re: 除法と整数の分類 / らすかる

n=3kのときn^2=(3k)^2=3(9k^2)
n=3k±1のときn^2=(3k±1)^2=3(3k^2±2k)+1
なので、nが3の倍数のときn^2は3で割り切れ、
そうでないときn^2を3で割った余りは1。
よって
aとbが両方とも3で割り切れないとき、a^2+b^2を3で割った余りは2
aとbのどちらか一方のみが3で割り切れないとき、a^2+b^2を3で割った余りは1
aとbが両方とも3で割り切れるとき、a^2+b^2を3で割った余りは0
となるので、a^2+b^2が3で割り切れるのはaとbが両方とも3で割り切れるときのみ。

No.53319 - 2018/08/26(Sun) 17:58:21

☆ Re: 除法と整数の分類 / あゆ

丁寧な解説ありがとうございます。
解けました。

No.53325 - 2018/08/26(Sun) 18:24:50

★ 確率 / あゆ

場合分けがいまいち分かりません。105番です！
解き方を教えていただきたいです。お願いします！

No.53317 - 2018/08/26(Sun) 17:36:24

☆ Re: 確率 / IT

(1) 余事象を考えるのが簡単そうです。
１回目、２回目、３回目に青玉が出る確率を求めてみてください。

(2)青を○、それ以外を×と書くと、
　条件を満たすのは、５つ目が○で１から４つ目までのまでのうち２つが○で２つが×です。

○○××○
？？？？○

？？？？○
××○○○

No.53327 - 2018/08/26(Sun) 18:46:44

☆ Re: 確率 / あいか

ありがとうございます！余事象でやってみたのですが答えが21分の5で自分の計算と違ってしまうのですがやり方がちがうのでしょうか…

No.53334 - 2018/08/26(Sun) 20:45:39

☆ Re: 確率 / IT

あいかさんの計算の要所を書き込んでみてください。

No.53338 - 2018/08/26(Sun) 21:33:24

☆ Re: 確率 / GandB

(1)演習の邪魔をしては悪いので、計算の負担の大きい、賢くない解法をあえて示す（笑）。
　　4回で終了：(6/9)*(5/8)*(4/7)*(3/6) = 5/42
　　5回で終了：(6/9)*(5/8)*(4/7)*(3/6)*(3/5) = 1/14
　　6回で終了：(6/9)*(5/8)*(4/7)*(3/6)*(2/5)*3/4 = 1/28
　　7回で終了：(6/9)*(5/8)*(4/7)*(3/6)*(2/5)*(1/4)*(3/3) = 1/84
であるから、求める確率は
　　(10+6+3+1)/84 = 20/84 = 5/21.

No.53342 - 2018/08/27(Mon) 06:41:34