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★ n次式 / HC
xのn次式(n≧1)f(x)がf(k)=1/(k+1)(k=0,1,2,…,n)をみたすとき，次の各問いに答えよ．
(1)f(n+1)の値を求めよ．
(2)f(-1)=1+1/2+1/3+…+1/n+1/(n+1)であることを示せ．
No.53207 - 2018/08/23(Thu) 12:00:59
☆ Re: n次式 / del
(1)
k=0,1,2,…,nに対して、f(k)=1/(k+1)
つまり、(k+1)f(k)=1 なので、
(x+1)f(x)=ax(x-1)(x-2)...(x-n)+1 ...?@とおける。
?@にx=-1を代入すると
0=a(-1)(-2)...(-n-1)+1={(-1)^(n+1)}{(n+1)!}a+1 より
a=(-1)^n/{(n+1)!}

よって?@にx=n+1を代入すると
(n+2)f(n+1)=(-1)^n/{(n+1)!}*(n+1)n(n-1)...1+1=1+(-1)^n
以上より f(n+1)={1+(-1)^n}/(n+2)
(f(n+1)=0 (nが奇数),2/(n+2) (nが偶数)という書き方でもOK)

(2)
g(x)=(-1)^n/{(n+1)!}x(x-1)...(x-n)とすると g(-1)=-1
よってx≠-1に対し、f(x)={g(x)-g(-1)}/{x-(-1)}
lim[x→-1]f(x)=g'(-1) であり、x≠0,1,...,nのとき
g'(x)=Σ[k=0:n]g(x)/(x-k)だから
g'(-1)=Σ[k=0:n]g(-1)/(-1-k)=Σ[k=0:n]1/(k+1)
また、f(x)はxのn次式なので連続である。

以上より f(-1)=lim[x→-1]f(x)=g'(-1)=Σ[k=0:n]1/(k+1)
No.53210 - 2018/08/23(Thu) 13:21:08
★ わかりません / じゃっかる
フォークとスプーン合わせて1000円で購入しました。
フォークはスプーンの値段の3倍でした。スプーンの値段はいくらですか。
No.53200 - 2018/08/23(Thu) 03:50:54
☆ Re: わかりません / X
スプーンの値段をx円とすると、条件から
購入金額について
x+3x=1000
これより
x=250
ということで、求める金額は250円です。
No.53201 - 2018/08/23(Thu) 05:05:07
★ 解き方教えてください / じゃっかる
式と答えをお願いします
No.53199 - 2018/08/23(Thu) 03:42:43
☆ Re: 解き方教えてください / X
式の中にzが含まれていません。
zの定義は何ですか？
No.53202 - 2018/08/23(Thu) 05:06:04
☆ Re: 解き方教えてください / らすかる
w=(x+6)/(y+z)
y+z=(x+6)/w
∴z=(x+6)/w-y
となります。
No.53203 - 2018/08/23(Thu) 05:33:45
☆ Re: 解き方教えてください / X
>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>じゃっかるさんへ
ごめんなさい。問題の式の右辺の
分母のzを2と見間違えていました。
No.53284 - 2018/08/25(Sat) 12:29:22
★ (No Subject) / よし
群数列の問題です。

|1/3|,|4/5,1/5|,|9/7,4/7,1/7|,|16/9,9/9,4/9,1/9|...

(1)8項目は9/9＝1であるが、次に1が現れるのは第何項か。
(2)36/23は第何項か。
(3)第n群に含まれる項の和を求めよ。
(4)第1群から第n群までの項の和を求めよ。
(5)初項から第376項までの和を求めよ
No.53198 - 2018/08/23(Thu) 01:19:22
☆ Re: / ヨッシー
まず、数列の規則ですが、
・第ｎ群はｎ個の数字からなる
・第ｎ群の分母は２ｎ＋１
・第ｎ群の分子は　ｎ^2, (n-1)^2, ・・・ １
(1)
　9/9 の次の１は 25/25 である。
　2n+1=25 より 25/25 は第12群である
　分子は 12^2, 11^2,・・・5^2, ・・・　であり、25/25 は第８項である
　以上より、第11群までの項数は 11・12/2＝66
　　６６＋８＝７４　　
　25/25 は第74項
(2)
　36/23 は、第11群の第6項である。
　第10群までの項数は 55なので、
　　５５＋６＝６１
　36/23 は 第61項
(3)
　分子の和は
　　n^2＋(n-1)^2＋・・・＋1＝n(n+1)(2n+1)/6
　分母は 2n+1 なので、求める和は n(n+1)/6
(4)
　Σ[k＝1〜n]k(k+1)/6＝n(n+1)(n+2)/18
(5)
　第376項 は、第27群の第25項である。
　第27群の末項が第378項なので、
　第27群までの和から、4/55 と 1/55 を引けばよい。
　27・28・29/18−4/55−1/55＝13397/11　・・・答
　
No.53204 - 2018/08/23(Thu) 06:18:53
★ 答え合せがしたいです / じゃっかる
簡単な問題で恐縮ですが答えを教えて貰えると助かります。自分の解はv＝➖38/1です
No.53191 - 2018/08/22(Wed) 23:41:40
☆ Re: 答え合せがしたいです / ヨッシー
右辺の４ｖを移項するところが間違っています。
左辺に来ると　−４ｖ　となります。
No.53193 - 2018/08/22(Wed) 23:46:32
☆ Re: 答え合せがしたいです / じゃっかる
では-46/1になるのですね！
ありがとうございます！
No.53195 - 2018/08/22(Wed) 23:59:03
☆ Re: 答え合せがしたいです / ヨッシー
マイナス46分の1 は、
　−1/46
と書きます。
No.53197 - 2018/08/23(Thu) 00:09:00
★ 行列式の結果が同じになるのはなぜか / 倫太郎
写真の問題で、赤枠で囲んだ部分が写真のものと全然違う数字でも、行列式の結果が同じである理由がわかりません。なぜ削除する行列の数字がなんであっても、行列式の結果が同じになるのでしょうか？また、なぜそれが成り立つのでしょうか？
No.53190 - 2018/08/22(Wed) 23:29:23
☆ Re: 行列式の結果が同じになるのはなぜか / ヨッシー
１行目の３と−１は別の数字でも良いですが、
左の列の１，０，０ は換えてはダメですよ。

行列式の定義にしたがって、計算すると、３やー１は、
左の０が全部掛かるので消えてしまいます。
ですので、この位置には何を入れても同じなのです。
No.53192 - 2018/08/22(Wed) 23:43:52
☆ Re: 行列式の結果が同じになるのはなぜか / 倫太郎
ありがとうございます。
左の列の１，０，０ は換えてはダメですよ。
に関して質問です。０がかかると消えるのはわかるので、０がダメなのは納得がいくのですが、１が変わったらいけない理由は何でしょうか？
No.53214 - 2018/08/23(Thu) 15:26:08
☆ Re: 行列式の結果が同じになるのはなぜか / ヨッシー
左上が、１の場合と、２の場合とで、計算してみればわかります。
No.53216 - 2018/08/23(Thu) 15:50:52
★ 第二行と第三行が同じだと行列式が０になる理由 / 倫太郎
第二行と第三行が同じだと行列式が０になる理由がわかりません。
画像の問題の解説に、第二行と第三行が同じだと行列式が０になる、と書かれていましたが、なぜそう言えるのかわかりません。サラスの公式に入れて計算してみると確かに行列式は０になりますが。
No.53189 - 2018/08/22(Wed) 23:21:09
☆ Re: 第二行と第三行が同じだと行列式が０になる理由 / ヨッシー
第１項から第２項への変形で、
１行目を何倍かして２行目や３行目に足してますよね？
つまり、
ある行を、何倍かして別の行に足しても、行列式の値は
変わらない。
ということは、理解済みとします。

ならば第２項の、２行目を、−１倍して３行目に足すとどうなりますか？
No.53194 - 2018/08/22(Wed) 23:49:35
☆ Re: 第二行と第三行が同じだと行列式が０になる理由 / GandB
> 第二行と第三行が同じだと行列式が０になる理由がわかりません。
　定義から当たり前としかいいようがないが（笑）。
　三次元の行列式は平行六面体の体積を表す。
　　│1　2　1│
　　│0　5 -1│
　　│0　5 -1│
を行ベクトルで考えた場合、平行六面体を張る3つのベクトルのうち、2つはまったく同じなのだから、平行六面体になりようがない。つまり体積は 0.
No.53206 - 2018/08/23(Thu) 10:01:10
☆ Re: 第二行と第三行が同じだと行列式が０になる理由 / 倫太郎
お二方、ありがとうございます。理解できました
No.53215 - 2018/08/23(Thu) 15:26:57
★ 三角関数 / ひろ
f(θ)＝√2sinθcosθ＋a(sinθ＋cosθ) (0≦θ≦2π)とする。
(1)sinθ＋cosθ＝tと置き、f(θ)をtの関数で表せ。またtの値の範囲を求めよ。
(2)a＝1の時、f(θ)の最小値とその時のθの値を求めよ。
(3)f(θ)の最小値が-2√
2になる時のaの値を求めよ。
よろしくお願いします。
No.53186 - 2018/08/22(Wed) 21:19:34
☆ Re: 三角関数 / IT
(1) 前半　t^2 の計算をしてみてください。後半　三角関数の合成公式を使います。
No.53188 - 2018/08/22(Wed) 22:42:55
☆ Re: 三角関数 / ひら
(3)を解くと±√3になったのですがどうでしょうか。
No.53196 - 2018/08/23(Thu) 00:06:12
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
たぶん違います。
少なくとも、(1) をどう表したかを書いてもらえれば、
どこが違うか分かると思います。
No.53205 - 2018/08/23(Thu) 06:22:48
☆ Re: 三角関数 / ひら
すみません。計算ミスでした。
(3)
f(θ)=√2/2(t+(√2/2)a)^2-(√2/4)a^2-√2/2となって、
軸の位置で場合分けをすると、
a＝±5/2となりましたがどうでしょうか。
No.53219 - 2018/08/23(Thu) 16:31:55
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
正解です。
No.53222 - 2018/08/23(Thu) 17:01:04
★ 二次関数 / ごんべ
面積を求めるのが苦手でわからないです。答えは(1)がs=4t^2+4t+52で、(2)がQ(−5/2,19/4)のとき最小値51です。
No.53184 - 2018/08/22(Wed) 14:05:09
☆ Re: 二次関数 / RYO
(1)
△PQR全体をx軸方向に-tだけ平行移動し、サラスの公式を適用すると、
　△PQR
＝(1/2)|{(t-2)-t)}{(t+6)^2+(t+6)+1}-{(t+6)-t}{(t-2)^2+(t-2)+1}|
＝|-(t^2+13t+43)-3(t^2-3t+3)|
＝|-4t^2-4t-52|
＝4t^2+4t+52　(∵-4t^2-4t-52＝-4(t+1/2)^2-51＜0)

(2)
　S
＝4t^2+4t+52
＝4(t+1/2)^2+51(＝f(t))
f(t)の定義域は実数全体なので、Sはt＝-1/2のとき最小値51をとる。
また、このとき点Qの座標は(-5/2,19/4)である。
No.53185 - 2018/08/22(Wed) 14:35:37
☆ Re: 二次関数 / ごんべ
ありがとうございます。サラスの公式を習っていないので使わない方法もできれば知りたいです。
No.53223 - 2018/08/23(Thu) 17:09:08
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー

こういう図を考えて、原点と(xa,ya)、(xb,yb)とで出来る
三角形を考えると、
長方形が　xa×yb
ここから　xa×ya÷2、xb×yb÷2、(xa−xb)(yb−ya)÷2
を引くことによって、面積が得られます。
No.53228 - 2018/08/23(Thu) 17:27:14
★ 解無し / セミさん
解無しとなる理由は「虚数になるから」ということですか？
実数解であるとはどこにも書いてありませんでした。
No.53175 - 2018/08/22(Wed) 01:52:57
☆ Re: 解無し / らすかる
複素数には大小関係がありませんので、
通常、不等式を扱う時は実数範囲で考えます。
No.53178 - 2018/08/22(Wed) 02:05:07
☆ Re: 解無し / セミさん
すみません…ではなぜ解無しなのですか？
No.53179 - 2018/08/22(Wed) 03:26:09
☆ Re: 解無し / らすかる
xが実数のとき(x-1)^2≧0ですから
(x-1)^2＜0の実数解は存在しません。
No.53180 - 2018/08/22(Wed) 04:39:59
★ 不等式 / セミさん
不等式を解けという問題で、
「2」のところがx＝-2になる理由を教えてください。
x≦-2ではないのですか？
No.53174 - 2018/08/22(Wed) 01:19:03
☆ Re: 不等式 / らすかる
(x+2)^2が0より小さくなることはありませんので
(x+2)^2≦0は(x+2)^2＝0と同じことです。
従ってx=-2となります。
実際、例えばx=-3のときは(x+2)^2=(-3+2)^2=1となって
(x+2)^2≦0を満たしません。
No.53177 - 2018/08/22(Wed) 02:03:41
★ 周期関数 / 前進
お世話になっております。

赤と青の線の1/4周期ですが、なぜy=cosθでは値が違うのに周期と呼ぶのでしょうか？

cos30°とcos150°ではプラスマイナスが違うと思われます。

以上、よろしくお願いいたします。
No.53173 - 2018/08/22(Wed) 00:25:38
☆ Re: 周期関数 / らすかる
赤や青の部分が「1/4周期」なのではありません。
「1/4周期」というのは「1周期の1/4(の長さ)」という意味です。
周期が2πなので1/4周期はπ/2です。
赤や青の部分は「1/4周期の範囲のグラフ」です。
No.53176 - 2018/08/22(Wed) 02:01:02
★ (No Subject) / 名無し
lim[a→∞]∫(1~e){3nx^2(logx)^n}dxを求める

(logx)^(n+1)<(logx)^n<(logx)^(n-1)で挟んで評価だと思うんですけど右側の評価が上手く行きませんどうしたらいいですか
No.53168 - 2018/08/21(Tue) 20:49:30
☆ Re: / らすかる
I[n]=∫[1〜e]3nx^2(logx)^n dx とおくと
I[n]=∫[1〜e]3nx^2(logx)^n dx
=[nx^3(logx)^n][1〜e]-∫[1〜e]nx^3・n(logx)^(n-1)/x dx
=ne^3-(n/3)∫[1〜e]3nx^2(logx)^(n-1) dx
＜ne^3-(n/3)∫[1〜e]3nx^2(logx)^n dx
=ne^3-(n/3)I[n]
(1+n/3)I[n]＜ne^3
∴I[n]＜3ne^3/(n+3) … (1)

I[n]=∫[1〜e]3nx^2(logx)^n dx
=∫[1〜e]3nx^3/(n+1)・(n+1)(logx)^n/x dx
=[3nx^3/(n+1)・(logx)^(n+1)][1〜e]-∫[1〜e]9nx^2/(n+1)・(logx)^(n+1) dx
=3ne^3/(n+1)-{3/(n+1)}∫[1〜e]3nx^2・(logx)^(n+1) dx
＞3ne^3/(n+1)-{3/(n+1)}∫[1〜e]3nx^2・(logx)^n dx
=3ne^3/(n+1)-{3/(n+1)}I[n]
{1+3/(n+1)}I[n]＞3ne^3/(n+1)
∴I[n]＞3ne^3/(n+4) … (2)

(1)(2)から
3ne^3/(n+4)＜I[n]＜3ne^3/(n+3)
3e^3/(1+4/n)＜I[n]＜3e^3/(1+3/n)
lim[n→∞]3e^3/(1+4/n)≦lim[n→∞]I[n]≦lim[n→∞]3e^3/(1+3/n)
3e^3≦lim[n→∞]I[n]≦3e^3
従って lim[n→∞]=3e^3
No.53181 - 2018/08/22(Wed) 05:11:18
★ 数A 整数の性質 / ボルト
例題4を証明する際に問18の問題のように整数nが偶数の場合と奇数の場合の2つで証明してはいけないのですか？また、そのように証明する問題は問18のような問題だけですか？ふと疑問に思ったので回答よろしくお願いします。
No.53163 - 2018/08/21(Tue) 19:50:25
☆ Re: 数A 整数の性質 / らすかる
> 例題4を証明する際に問18の問題のように整数nが偶数の場合と
> 奇数の場合の2つで証明してはいけないのですか？

問題で制限されていない限り、
「このように証明してはいけない」という問題はありません。
偶数と奇数で証明しても（それで証明できるのなら）構いません。
（多分偶数と奇数で分けても証明できないと思いますが）

> また、そのように証明する問題は問18のような問題だけですか？

偶奇で分けて証明する問題はたくさんあります。
いずれも、「偶奇で分けないと証明が難しい」あるいは
「偶奇で分けなくても証明はできるが、分けた方が簡潔になる」
というような場合です。
No.53171 - 2018/08/21(Tue) 22:08:08
☆ Re: 数A 整数の性質 / ボルト
なるほど！疑問が解決してスッキリしました。ありがとうございました。これからもよろしくお願いします。
No.53172 - 2018/08/21(Tue) 22:32:54
★ 線分 / 佐藤
1番は解けたのですが２、３番が解けませんでした
No.53154 - 2018/08/21(Tue) 17:37:33
☆ Re: 線分 / らすかる
(2)
-x^2-x+4=0の2解をα,βとするとα+β=-1,αβ=-4なので
|α-β|=√{(α-β)^2}=√{(α+β)^2-4αβ}=√(1+16)=√17

(3)
x^2+4x+2=0の2解をα,βとするとα+β=-4,αβ=2なので
|α-β|=√{(α-β)^2}=√{(α+β)^2-4αβ}=√(16-8)=2√2
No.53155 - 2018/08/21(Tue) 17:54:29
☆ Re: 線分 / 佐藤
２点間の距離を求めるのではないのですか？
No.53158 - 2018/08/21(Tue) 18:20:39
☆ Re: 線分 / らすかる
放物線y=f(x)とx軸との交点のx座標はf(x)=0の2解ですから、
(y=f(x)がx軸から切り取る線分の長さ)=(f(x)=0の2解の差)
ですね。
No.53159 - 2018/08/21(Tue) 18:49:15
★ 数A 確率 / ボルト
練習216の解説について、場合分け(イ)までは理解できたのですが、場合分け(ウ)の6C4の意味がわかりません。詳しい解説よろしくお願いします。
No.53153 - 2018/08/21(Tue) 17:03:53
☆ Re: 数A 確率 / らすかる
小さくて良く見えないのですが、
(イ)は5C4、(ウ)は6C4と書いてあるのですか？
No.53157 - 2018/08/21(Tue) 18:02:47
☆ Re: 数A 確率 / ボルト
らすかるさん申し訳ございませんでした。その通りです。
No.53160 - 2018/08/21(Tue) 18:56:44
☆ Re: 数A 確率 / らすかる
では、(イ)の5C4の意味は理解できたのに
(ウ)の6C4の意味は理解できないということですか？
No.53161 - 2018/08/21(Tue) 18:58:46
☆ Re: 数A 確率 / ボルト
例題216の(1)の解説を参考にして、(イ)はS地点に到着するまでに東、北のいずれの方向にも進むことができる交差点をAも含めて5か所通過するため5C1だと分かりました。同様に(ウ)も6C1だと思ったのですが、6C4でした。
No.53162 - 2018/08/21(Tue) 19:19:46
☆ Re: 数A 確率 / らすかる
> (イ)はS地点に到着するまでに東、北のいずれの方向にも進むことができる交差点を
> Aも含めて5か所通過するため5C1だと分かりました。

「5か所」だけの意味なら5C1と書く必要はないですね。
5C4は、通過する5か所の交差点のうち東方向を選択するのが4回だからです。
よって(ウ)は6か所中東方向を選択するのが4回なので6C4となります。
これは、進み方が
東東東東北北
東東東北東北
東東東北北東
東東北東東北
東東北東北東
東東北北東東
東北東東東北
東北東東北東
東北東北東東
東北北東東東
北東東東東北
北東東東北東
北東東北東東
北東北東東東
北北東東東東
の6C4通りある、という意味になります。
No.53169 - 2018/08/21(Tue) 21:55:22
☆ Re: 数A 確率 / ボルト
らすかるさん回答ありがとうございました。おかげで解説がよく理解できました。本当にありがとうございました。これからもよろしくお願いします。
No.53170 - 2018/08/21(Tue) 22:00:27
★ 連立線形微分方程式 / del
一般のn×nの行列Aに対し、
(d/dt)x=Ax の解がx=e^(tA)c と表せることの証明を教えてください。もしくはその証明が載っているサイトを教えてください。

Aが対角化可能な時は証明できますので、
証明の簡単のためにAがジョルダン標準形もしくはジョルダン細胞だと仮定しても大丈夫です。
よろしくお願いします。
No.53152 - 2018/08/21(Tue) 15:15:17
☆ Re: 連立線形微分方程式 / 関数電卓
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/jordanCalcu/
↑こちらはご参考に供しますかどうか？

ところで、標題に 「連立」 とあるのは？
No.53164 - 2018/08/21(Tue) 20:02:09
☆ Re: 連立線形微分方程式 / del
参考になりました。ありがとうございます。

>ところで、標題に 「連立」 とあるのは？
(d/dt)x[i]=ΣA[i,j]x[j] (i=1,...,n)
と各成分に注目すればn個の微分方程式となるので、
x[1],...,x[n]に関する連立微分方程式という気持ちでつけました。
No.53165 - 2018/08/21(Tue) 20:13:52
☆ Re: 連立線形微分方程式 / 関数電卓
> 各成分に注目すればn個の微分方程式となる
その通りですね。失礼しました。
No.53167 - 2018/08/21(Tue) 20:28:19
★ 数?V 極限 (難問) / Iris Murdoch
関数f(x)をf(x)＝(1/2)x[1+e^{-2(x-1)}]で定義する。このとき、以下の設問に答えよ。

(1)x＞1/2ならば0≦f'(x)＜1/2であることを示せ。

(2)数列{x[n]}をx[0]＝a,x[n+1]=f(x[n]) (n＝0,1,2,…)で定義する。a＞1/2のとき、lim[n→∞](x[n])を求めよ。
No.53150 - 2018/08/21(Tue) 11:55:36
☆ Re: 数?V 極限 (難問) / RYO
(1)
　f'(x)
＝(1/2)[1+e^{-2(x-1)}]+(1/2)x・(-2)e^{-2(x-1)}
＝1/2+(1/2-x)e^{-2(x-1)}
　f''(x)
＝-e^{-2(x-1)}+(1/2-x)・(-2)e^{-2(x-1)}
＝2(x-1)e^{-2(x-1)}

ゆえに、f'(x)の増減表は添付画像のようになる。

したがって、x＞1/2のときf'(x)は常に0≦f'(x)＜1/2を満たす。

(2)
【方針】
(1)の結果及び
　α＝(1/2)α[1+e^{(-2)(α-1)}]
を解くことにより、求める極限値を1と予想した上で、実際に1に収束することをはさみうちの原理で示す。

【解答】
x[n+1]＝f(x[n]),1＝f(1)なので
　|x[n+1]-1|＝|f(x[n])-f(1)|　…?@
が成り立つ。

(i)x[n]＝1のとき
　|x[n+1]-1|
＝|f(1)-f(1)|
＝0
＝|x[n]-1|

(ii)x[n]≠1のとき
f(x)は実数全体で微分可能なので、平均値の定理により、
　min{x[n],1}＜c[n]＜max{x[n],1}　…?A
かつ
　f(x[n])-f(1)＝f'(c[n])・(x[n]-1)
を満たすc[n]が存在する。

よって、?@より
　|x[n+1]-1|
＝|f(x[n]-f(1)|
＝|f'(c[n])||x[n]-1|　…?B

ここで、すべての非負整数nについてx[n]＞1/2が成立することを数学的帰納法により示す。

(ア)n＝0のとき
条件より、x[0]＞1/2は成立する。

(イ)x[k]＞1/2(k＝0,1,2,…)と仮定する。
このとき、(1)よりf(x)はx＞1/2の範囲で単調増加するので、
　x[k+1]
＝f(x[k])
＞f(1/2)
＝(1/4)(1+e)
＞(1/4)(1+1)　(∵e＞1)
＝1/2

以上(ア)(イ)より、すべての非負整数nについてx[n]＞1/2が成立することが示された。

∴?Aと合わせてc[n]＞1/2となり、(1)より
　0≦f'(c[n])＜1/2
が成り立つ。

したがって、?Bより
　|x[n+1]-1|
＝|f'(c[n])||x[n]-1|
＜(1/2)|x[n]-1|

以上(i)(ii)より、
　|x[n+1]-1|≦(1/2)|x[n]-1|
が常に成立する。

この不等式を繰り返し用いて、
　0
≦|x[n]-1|
≦(1/2)|x[n-1]-1|
≦(1/2)(1/2)|x[(n-1)-1]-1|
≦…
≦{(1/2)^(n-1)}|x[1]-1|
≦{(1/2)^n}|x[0]-1|

したがって、lim[n→∞][{(1/2)^n}|x[0]-1|]＝0よりはさみうちの原理を用いて、
　lim[n→∞](|x[n]-1|)＝0

∴lim[n→∞](x[n])＝1
No.53151 - 2018/08/21(Tue) 13:10:19
☆ Re: 数?V 極限 (難問) / Iris Murdoch
これはまさしく圧巻ですね……！
素晴らしい回答をありがとうございました！！
No.53156 - 2018/08/21(Tue) 18:02:44
★ 極限 / おしえてください
分母→0で分子の極限が0ではない ならば極限は∞または-∞に発散し・・・とあるのですが、なぜ発散していくのですか？教えてください！
No.53147 - 2018/08/21(Tue) 02:05:05
☆ Re: 極限 / らすかる
y=a/xのグラフでxが0に近づくと
yの値がどうなるかを考えればわかるのではないでしょうか。
No.53148 - 2018/08/21(Tue) 02:20:40
★ ベクトル解析 / たなか
解答をお願いします。助けてください。

x,y,z軸方向の単位ベクトルをijkとする。

(1)点(1,0,1)から点(0,1,1)にいたる曲線Cに沿って、次の線積分を計算せよ。

∫c（x^2dx+dy+zdz）/x^2+y^2+z^2, C:x^2+y^2=1(x>=0,y>=0), z=1

(2) ベクトル場をF=z e^2xy i +2xy cosy j + (x+2y) k とする。点(2,0,3)における∇ × F,
及び ∇×（∇×F）を求めよ。
No.53146 - 2018/08/20(Mon) 23:41:30
☆ Re: ベクトル解析 / 関数電卓
取り敢えず
(2)前半
http://www.wolframalpha.com/input/?i=rot+%3Cze%5E(2xy),2xycos(y),x%2B2y%3E

後半
http://www.wolframalpha.com/input/?i=rot(rot+%3Cze%5E(2xy),2xycos(y),x%2B2y%3E)

(1) x＝cosθ, y＝sinθ，z＝1 とおくと
　x^2＋y^2＋z^2＝2，dx＝−sinθdθ，dy＝cosθdθ，dz＝0
　∫[c](x^2dx＋dy＋zdz)/(x^2＋y^2＋z^2)＝∫[0,π/2](−(cosθ)^2sinθ＋cosθ)/2dθ
　＝http://www.wolframalpha.com/input/?i=int((-(cos(x))%5E2*sin(x)%2Bcos(x))%2F2,%7Bx,0,Pi%2F2%7D)
No.53166 - 2018/08/21(Tue) 20:26:06
☆ Re: ベクトル解析 / GandB
蛇足を追加。
(1)
　　x = cosθ, y = sinθ,z = 1.
　　x^2 + y^2 + z^2 = 2.
　　dx = -sinθdθ, dy = cosθdθ, dz = 0.

　　　　x^2dx + dy + zdz
　∫[c]──────────
　　　　 x^2 + y^2 + z^2
=∫[0,π/2]( -(cosθ)^2sinθdθ+ cosθdθ)/2
=∫[0,π/2]( -(cosθ)^2sinθdθ)/2 - (0-1/2).
　　t = cosθ,　 dt = -sinθdθ
　　∫[1,0]t^2dt/2 + 1/2 = (1/6)(0 - 1) + 1/2 = 1/3.

(2)
　　F↑= (ze^(2xy), 2xycos(y), x+2y).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　│ ↑i　　　　　↑j　　　　↑k │
　　▽×F↑ = │∂/∂x　　　　∂/∂y　　　∂/∂z│
　　　　　　　│ze^(2xy)　2xycos(y)　x+2y │
　　　　　　　┌　　　　　　　　　　　　　　　　　┐
　　　　　　　│∂(x+2y)/∂y　　 -　∂2xycos(y)/∂z│
　　　　　　=│∂ze^(2xy)/∂z　　 -　　∂(x+2y)/∂x │
　　　　　　　│∂2xycos(y)/∂x　-　∂ze^(2xy)/∂y │
　　　　　　　└　　　　　　　　　　　　　　　　　┘
　　　　　　　┌　　　　　　　　　　 ┐
　　　　　　　│　2　　　-　　0　　　│
　　　　　　=│e^(2xy)　-　　1　　　│
　　　　　　　│2ycos(y) - 2xze^(2xy)│
　　　　　　　└　　　　　　　　　　 ┘.

　　　　　　　　│ ↑i　　　 ↑j　　　　　　 ↑k　　　　 │
　　∇×(∇×F)=│∂/∂x　　∂/∂y　　　　　　∂/∂z　　　 │
　　　　　　　　│　2　　　e^(2xy)-1　2ycos(y)-2xze^(2xy)│

は省略（笑）。
No.53183 - 2018/08/22(Wed) 06:51:24
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