ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ゆか

数学的帰納法を使う問題で
N=kの時の成立を仮定して証明すればいいのか

N=k k-1の成立を仮定して証明しないといけないのか

どっちを使って証明したらいいかって問題の何を見たらわかるのでしょうか？　

No.53498 - 2018/09/03(Mon) 18:59:23

☆ Re: / らすかる

問題を見て決めるものではないと思います。
n=k+1の式を変形してn=kの式だけで表せたらn=kだけ、
n=k-1の式も必要そうならn=k-1も加えて、
さらにはn=1～kまですべて必要な場合とか、
最初からn=kは使えずn=k-1だけを使う
（つまり1つおき）場合などいろいろあります。

No.53499 - 2018/09/03(Mon) 19:21:53

★ 数列 / しずく

n個の箱とn個の玉があります。
箱と玉にはそれぞれ1~nと番号が付けられています
n個の箱に玉を１つずつ入れるときに箱と玉の番号が全部異なっているような入れ方の総数をUnとする
このとき、U[n+1]=αU[n]+βU[n-1]という関係がなりたつ　αとβを求めよ

という問題なのですがまったくわかりません。
解き方を教えてください…

No.53491 - 2018/09/03(Mon) 03:09:21

☆ Re: 数列 / らすかる

漸化式の立て方は例えば以下のサイトに説明があります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%88%97
http://www.mathlion.jp/article/ar041.html
https://mathtrain.jp/montmort
説明が難しいかも知れませんが、他にも多数、動画もありますので
もし上のサイトでわかりにくかったら
「完全順列漸化式」で検索してみて下さい。
答えはα=β=nとなります。

No.53494 - 2018/09/03(Mon) 06:41:54

★ (No Subject) / しょう

10の(1)番がわかりません、教えてください。
よろしくお願いします。

No.53489 - 2018/09/03(Mon) 01:32:54

☆ Re: / GandB

　部分分数展開がキモだろうから不定積分だけ示す。
　　1/(x^2-1) = a/(x+1) + b/((x-1).
　　1 = a(x-1) + b(x+1).
　　x =　1 ⇒ b =　1/2.
　　x = -1 ⇒ a = -1/2.

　　∫1/(x^2-1) dx
　= (1/2)∫1/(x-1) - (1/(x+1) dx
　= (1/2)( log|x-1| - log|x+1| )
　= (1/2)log|(x-1)/(x+1)|.

No.53493 - 2018/09/03(Mon) 04:50:28

★ (No Subject) / イムレー

tan x/2 = t が 1/2 sec^2 x/2 dx = dt　に変形される理由を教えてください！！

No.53483 - 2018/09/02(Sun) 23:53:20

☆ Re: / らすかる

{tanx}'=(secx)^2はご存知ですか？
ご存知ならば
{tan(x/2)}'={x/2}'・{sec(x/2)}^2=(1/2){sec(x/2)}^2
ですから
t=tan(x/2)のときdt/dx=(1/2){sec(x/2)}^2
よって(1/2){sec(x/2)}^2 dx=dtとなります。

No.53484 - 2018/09/03(Mon) 00:03:51

☆ Re: / イムレー

なるほど！ありがとうございます！！

No.53502 - 2018/09/03(Mon) 22:38:21

★ この式変形はどのように導出しているのか / コム

後、こちらの式変形はどのように導出しているのかもお聞きしたいです。

No.53482 - 2018/09/02(Sun) 23:49:15

☆ Re: この式変形はどのように導出しているのか / らすかる

{(x^2+1)-1}/√(x^2+1)
=(x^2+1)/√(x^2+1) - 1/√(x^2+1)
=√(x^2+1) - 1/√(x^2+1)
です。

No.53485 - 2018/09/03(Mon) 00:04:55

☆ Re: この式変形はどのように導出しているのか / コム

わかりました、ありがとうございます

No.53503 - 2018/09/03(Mon) 22:39:14

★ 積分の式変形について / コム

お世話になってます。赤線の部分の積分の式変形がなぜそうなるのかわかりません。教えてください

No.53481 - 2018/09/02(Sun) 23:47:20

☆ Re: 積分の式変形について / らすかる

sin^(-1)(x)の微分がなぜ1/√(1-x^2)になるか、という質問ですか？

No.53486 - 2018/09/03(Mon) 00:07:12

☆ Re: 積分の式変形について / コム

はい、そうです

No.53487 - 2018/09/03(Mon) 00:18:04

☆ Re: 積分の式変形について / らすかる

y=sin^(-1)(x)（-π/2≦y≦π/2）とおくとsiny=x
dx/dy=cosy=√{1-(siny)^2}=√(1-x^2)
∴dy/dx=1/(dx/dy)=1/√(1-x^2)

No.53488 - 2018/09/03(Mon) 00:31:25

☆ Re: 積分の式変形について / コム

わかりました、ありがとうございます

No.53504 - 2018/09/03(Mon) 22:40:19

★ 固有値ベクトルの求め方 / mika

2,-1
2,-1

の固有値ベクトルはなぜ
1
-2

になるのでしょうか？どのような計算をして1,-2を算出しているのでしょうか？

No.53476 - 2018/09/02(Sun) 19:15:18

☆ Re: 固有値ベクトルの求め方 / X

↑x=(a,b) (A)
(但し、縦ベクトルとします。)
とすると、赤枠のある行の上の行の
等式の成分の計算により
2a+b=0
∴b=-2a
よって(A)は
↑x=(a,-2a)=a(1,-2)
となります。

No.53477 - 2018/09/02(Sun) 20:57:28

☆ Re: 固有値ベクトルの求め方 / mika

ありがとうございます。2a+b=0　の2a+bの式と0はどのようにして導出したものでしょうか？

No.53478 - 2018/09/02(Sun) 21:15:29

☆ Re: 固有値ベクトルの求め方 / X

赤枠のある行の上の行の等式の
中辺の成分を具体的に計算し
右辺と比較します。

No.53479 - 2018/09/02(Sun) 22:03:01

☆ Re: 固有値ベクトルの求め方 / mika

なるほど！ありがとうございます！！

No.53480 - 2018/09/02(Sun) 23:45:22

★ 三角関数について。 / コルム

1辺１００ｍの正方形の広場の1つの角に直立する高さ６０ｍの棒があり、地上１０ｍのところから上
を赤く塗ってある。この広場の1点Pから棒の赤い部分を見込む角をθ、Pから棒の根元までの距離を
ｘｍとする。
（１）tanθをｘで表せ。
（２）θ≧４５°である広場の部分の面積を求めよ。
教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。
マルチポストですが、前の人の解答がわかりにくいもので。
すみません。

No.53475 - 2018/09/02(Sun) 19:12:09

☆ Re: 三角関数について。 / GandB

> マルチポストですが、前の人の解答がわかりにくいもので。

　ほ～、マルチポスト宣言かあ（笑）。

　知恵袋に複数の回答がある。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1455852174
　当然ながらどれも似たような解法。よって図まで添付している上記の説明でわからなければあきらめる。

No.53492 - 2018/09/03(Mon) 04:34:48

★ 画像の問題について / あや

表現行列がよくわかりません。。。定義を調べてもわかるようなわからないような・・・。画像の問題で、fの表現行列Aがなぜそうなるのか解説をお願いします！

No.53469 - 2018/09/02(Sun) 17:49:56

☆ Re: 画像の問題について / ヨッシー

(ア) の行列に
(ｘ1)
(ｘ2)
を掛けると、
(ｘ1＋２ｘ2)
(－ｘ1＋ｘ2)
になることはわかりますか？
(ｘ1)
(ｘ2)
の左から掛けて、
(ｘ1＋２ｘ2)
(－ｘ1＋ｘ2)
になるような行列が、ｆの表現行列であり、それは、
係数を見ながら、自分で作るものです。

ちなみに、(イ) の行列は、ベクトルではないので、
(１, １) ではなく (１　１) です。

No.53497 - 2018/09/03(Mon) 09:13:35

★ 数ベクトルと一般のベクトルは何が違うのでしょうか？ / あや

数ベクトルと一般のベクトルは何が違うのでしょうか？
数ベクトルと一般のベクトルという２つの言葉の意味の違いがわからないです・・・。参考書とかで書かれている場合、どういう意味の違いがあるのでしょうか？

No.53466 - 2018/09/02(Sun) 17:32:05

☆ Re: 数ベクトルと一般のベクトルは何が違うのでしょうか？ / あや

ちなみに大学初級の線形代数を勉強しています。

No.53467 - 2018/09/02(Sun) 17:32:33

☆ Re: 数ベクトルと一般のベクトルは何が違うのでしょうか？ / IT

お使いの教科書・参考書に書いてないですか？

「数ベクトル」　は、「一般のベクトル」の一種です。
数ベクトル以外のベクトルの例などが教科書・参考書に出てきます。

目的・目標に合った　しっかりした一冊のテキストを最初からしっかり学習されることをお勧めします。

No.53470 - 2018/09/02(Sun) 17:55:56

☆ Re: 数ベクトルと一般のベクトルは何が違うのでしょうか？ / あや

ありがとうございます、多分書いていないです・・・。
数ベクトル以外のベクトルの例をあげてもらえますか？

そうですね・・・。

No.53473 - 2018/09/02(Sun) 18:52:11

☆ Re: 数ベクトルと一般のベクトルは何が違うのでしょうか？ / GandB

　線形代数の参考書なら、線形空間またはベクトル空間の説明がないはずがない。そこに具体例が必ず挙げられているはず。

No.53496 - 2018/09/03(Mon) 08:43:15

★ 中２　一次関数 / りゅう

お世話になりますm(__)m
（２）と（３）の問題を教えていただけますでしょうか？
どうぞよろしくお願いいたします。

No.53462 - 2018/09/02(Sun) 12:23:10

☆ Re: 中２　一次関数 / らすかる

(2)
x軸に関してAと対称の位置にあるA'(3,-4)を考えると
AP+PB=A'P+PBとなり、これが最小になるのは
Pが直線A'B上にあるとき
従ってA'Bとx軸の交点が答えです。

(3)
BPが共通なのでBPを底辺として高さが同じになればよい。
つまりAから直線BPまでの距離とOから直線BPまでの距離が
等しいということは、直線OAと直線BPが平行ということなので
これで求まりますね。

No.53465 - 2018/09/02(Sun) 17:11:22

☆ Re: 中２　一次関数 / りゅう

いつも分かりやすく教えていただいて、ありがとうございます。
（２）は　Ｐ（５，０）
（３）は　Ｐ（９／２　，０）
になりましたが、合っていますか？

No.53472 - 2018/09/02(Sun) 18:50:28

☆ Re: 中２　一次関数 / らすかる

はい、正解です。

補足
一般には
「Aから直線BPまでの距離とOから直線BPまでの距離が等しい」
ときは二つの場合があって
OとAがBPに関して同じ側にある場合→OA//BP
OとAがBPに関して反対側にある場合→BPがOAの中点を通る
となりますが、本問の場合はBPがOAの中点を通ることはありませんので
除外されました。
問題によっては後者の場合も存在する可能性がありますので
注意して下さい。

No.53474 - 2018/09/02(Sun) 18:53:53

★ (No Subject) / あや

http://zellij.hatenablog.com/entry/20130206/p1　を読んでいます。
画像の部分に関して質問です。
オレンジで線を引いてある箇所の意味がどうしてもわかりません。。。「要素に映されても構わない」とはどういう意味でしょうか？

No.53461 - 2018/09/02(Sun) 11:49:15

☆ Re: / IT

「要素に映されても構わない」を　カッコではさんで質問されていますが、ここをクローズアップして考察するのは無意味だと思います。、
「異なるAの要素が、同一のBの要素に写されても構わない。」の文全体で意味を考えるべきです。
少なくとも「異なるAの要素が、同一のBの要素に写される」まであってはじめて意味があります。
「異なるAの要素が、同一のBの要素に写される」は、例えば図の上のほうのAの２点がBの１点に対応している状況を表しています。

その前の「単射」と比べてよく読んでください。

なお、「異なるAの要素が、同一のBの要素に写されても構わない。」はそこから削除しても構いません。

No.53463 - 2018/09/02(Sun) 12:33:14

☆ Re: / あや

ありがとうございます！わかりました！

No.53464 - 2018/09/02(Sun) 16:19:04

★ 確率 / あかり

平面上に四面体があり、平面に接している面の三辺の1つを任意に選びそれを軸として倒す　この操作をn回続けて行い最初に接していた面と再び平面が接する確率をPnとする。
P1 p2 p3を求めよ

私は
p1はもちろん0
P2は最初の面以外の面に1/3　この次に元の面に戻るために×1をして1/3
P3は最初の面以外の面に1/3 この次に今の面と最初の面以外の２面にたおれるように1/2　さいごに元の面に戻る×1で1/6

と出したのですが違ってました　私のどこが違うのか詳しく説明して頂きたいです、、、

No.53449 - 2018/09/02(Sun) 01:07:16

☆ Re: 確率 / らすかる

> P2は最初の面以外の面に1/3　この次に元の面に戻るために×1をして1/3
これは1回目に特定の面に行く確率であり、
1回目に行く面は3通りありますのでこれの3倍です。
あるいは、
「1回目で元の面でない面となり、1回目がどの面であっても
　2回目に元に戻る確率は1/3なので、P2=1/3」
でも良いと思います。

> P3は最初の面以外の面に1/3
このようにする場合、これは特定の面ですから後で3倍する必要があります。

> この次に今の面と最初の面以外の２面にたおれるように1/2
これは3面中2面ですから1/2でなく2/3です。

> さいごに元の面に戻る×1で1/6
最後に元の面に戻る確率は1/3ですから、
(1/3)(2/3)(1/3)×3=2/9となります。
あるいはP2を使って
2回で元に戻らない確率は1-P2=2/3
3回目で元に戻る確率は1/3なので
求める確率は(2/3)(1/3)=2/9
のようにも求められます。

No.53450 - 2018/09/02(Sun) 02:03:47

☆ Re: 確率 / あかり

これって、p3を　　3c1/3 ×2c1/3×1/3
P2を3c1/3×1/3

の考え方でも大丈夫ですか？

No.53452 - 2018/09/02(Sun) 02:32:47

☆ Re: 確率 / らすかる

3c1/3×2c1/3×1/3, 3c1/3×1/3 だと
間違いではないですが、不統一ですね。
1つ選ぶのにわざわざcを使うなら、統一して
P3=3c1/3c1×2c1/3c1×1c1/3c1
P2=3c1/3c1×1c1/3c1
でしょう。
でも、全部1個選ぶとわかりきっているのに
わざわざ「c1」を付ける意味はないと思いますが。

No.53454 - 2018/09/02(Sun) 04:00:33

★ なぜ一次結合の形だと網羅的に記述できるのでしょうか？ / あや

こちらの説明の生成系について質問です。生成系は一次結合の形ですが、なぜ一次結合の形だと網羅的に記述できると言えるのでしょうか？

No.53446 - 2018/09/02(Sun) 00:11:09

☆ Re: なぜ一次結合の形だと網羅的に記述できるのでしょうか？ / IT

> なぜ一次結合の形だと網羅的に記述できると言えるのでしょうか？

一次結合の形だと網羅的に記述できるとは書いてありません。　
その説明全体を最初の行（「線形空間Vが・・・」）から　よく読みなおしてみてください。

No.53453 - 2018/09/02(Sun) 02:37:26