ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ サラスの公式の導出を教えてください / あや

サラスの公式の導出を教えてください。なぜあのような式になるのでしょうか？
ググったのですが、出て来ず・・・。

No.53124 - 2018/08/19(Sun) 23:43:35

☆ Re: サラスの公式の導出を教えてください / GGRKS

こちらをご覧ください。
【検索ワード】サラスの公式／証明

No.53126 - 2018/08/20(Mon) 00:01:34

☆ Re: サラスの公式の導出を教えてください / あや

ありがとうございます。添付写真の赤線で引いた、
OA↑ ×OB↑　の掛け算がなぜそうなるのか理解できず。もしよかったら教えてください！

No.53130 - 2018/08/20(Mon) 13:25:17

☆ Re: サラスの公式の導出を教えてください / ヨッシー

それはベクトルの外積の定義ですので、何故と言われても困ります。
逆に、ベクトルの外積について、
　ＯＡ×ＯＢは、３点ＯＡＢを含む平面に垂直である
という性質があり、ここではそれを使って、法線ベクトルにしています。
　
　

No.53133 - 2018/08/20(Mon) 13:36:28

☆ Re: サラスの公式の導出を教えてください / あや

なるほど！ありがとうございます！！納得です

No.53143 - 2018/08/20(Mon) 19:46:18

☆ Re: サラスの公式の導出を教えてください / 関数電卓

“ベクトルの外積” は３次元の空間ベクトルでのみ定義されるものです。
皆さんの回答から、そのことはお分かりに…？

No.53145 - 2018/08/20(Mon) 21:44:54

★ 対数函数 / 国立文系志望

どうしても解けない問題があるので質問させてください。

《問題》
　不等式x^{log_{3}(x^2)}≧(a^2)(x^8)がすべての正の実数xについて成立するような定数aの条件を求めよ。

どうぞよろしくお願いいたします。

No.53114 - 2018/08/19(Sun) 21:39:08

☆ Re: 対数函数 / X

a=0のとき、題意を満たすのは明らか。
そこでa≠0のときを考えます。
このとき、問題の不等式の両辺の
3を底とする対数を取ると
2(log[3]x)^2≧2log[3]|a|+8log[3]x
∴log[3]=tと置くと
2t^2≧8t+2log[3]|a|
∴t^2-4t-log[3]|a|≧0 (A)
題意を満たすためにはtの二次不等式
(A)の解が任意の実数となればよいので
tの二次方程式
t^2-4t-log[3]|a|=0
の解の判別式をDとすると
D/4=4+log[3]|a|≦0
これより
|a|≦3^(-4)=1/81かつ|a|≠0

以上から求めるaの条件は
-1/81≦a≦1/81
となります。

No.53117 - 2018/08/19(Sun) 22:05:32

☆ Re: 対数函数 / RYO

(i)a≠0の場合
このとき、x^{log_{3}(x^2)}と(a^2)(x^8)はいずれも正の値をとる。そこで、与式の両辺に対し、3を底とする対数をとると、
　log_{3}[x^{log_{3}(x^2)}]≧log_{3}{(a^2)(x^8)}
　{log_{3}(x^2)}{log_{3}(x)}≧log_{3}(a^2)+log_{3}(x^8)
　2{log_{3}(x)}{log_{3}(x)}≧2log_{3}(|a|)+8log_{3}(x)
ここで、log_{3}(x)＝tとおくと、
　2t^2≧2log_{3}(|a|)+8t
　t^2-4t-log_{3}(|a|)≧0　(ただし、tはすべての実数)
したがって、tの二次方程式t^2-4t-log_{3}(|a|)＝0が実数解をもたないか、もしくは重解をもてばよい。
よって、
　{(判別式)≦0} かつ (a≠0)
　[16+4{log_{3}(|a|)}≦0] かつ (a≠0)
　{log_{3}(|a|)≦-4} かつ (a≠0)
　[log_{3}(|a|)≦log_{3}{3^(-4)}] かつ (a≠0)
　{|a|≦3^(-4) (∵3＞1)} かつ (a≠0)
　(-1/81≦a≦1/81) かつ (a≠0)

(ii)a＝0の場合
このとき、
　(与式)⇔x^{log_{3}(x^2)}≧0
となるが、この不等式はすべての正の実数xについて成立する。

以上(i)(ii)より、題意を満たすaの条件は
　-1/81≦a≦1/81

No.53118 - 2018/08/19(Sun) 22:08:46

☆ Re: 対数函数 / 国立文系志望

>>Xさん、RYOさん
お二方ともご回答ありがとうございました。参考にさせていただきます。

No.53119 - 2018/08/19(Sun) 22:20:00

☆ Re: 対数函数 / IT

（別解）
x^{log_{3}(x^2)}≧(a^2)(x^8)
x^8＞0なので,x^{2log_{3}(x)-8}≧a^2
t＝log_{3}(x)とおくと,tはすべての実数値をとり,x=3^t.
3^(t(2t-8))≧a^2
t(2t-8)=2(t-2)^2-8 なので,3^(t(2t-8))の最小値は3^(-8).
よって,3^(-8)≧a^2 すなわち3^(-4)≧|a|が求める条件。

No.53120 - 2018/08/19(Sun) 22:51:52

☆ Re: 対数函数 / 国立文系志望

>>ITさん
別解を教えていただきありがとうございました。参考にさせていただきます。

No.53123 - 2018/08/19(Sun) 23:24:24

★ 正射影ベクトルの求め方について（大学１年） / 星

正射影ベクトルの求め方について質問です。
画像のような正射影ベクトルの求め方の公式で、
→ →
|b|cosθ = |v| のように変換できるところが理解できません。
→ →
|b|cos(180°-θ) = |v| ではないかと思います。
なぜこのようになるのでしょうか？

No.53108 - 2018/08/19(Sun) 20:15:36

☆ Re: 正射影ベクトルの求め方について（大学１年） / X

添付画像でも
|↑b|cosθ=|↑v|
とはなっていません。
赤線の引っ張ってある行の右辺には
±
が付いています。

No.53111 - 2018/08/19(Sun) 21:06:00

☆ Re: 正射影ベクトルの求め方について（大学１年） / GandB

> |b|cosθ = |v| のように変換できるところが理解できません。

　これはもっとネタのような気がするが wwwww。
　高校時代、文系でも三角関数くらい習うのではないの。

No.53112 - 2018/08/19(Sun) 21:06:00

☆ Re: 正射影ベクトルの求め方について（大学１年） / 星

±は|↑a|　にかかると思っていました！cos θ にかかる±なのですね！理解です！！

No.53116 - 2018/08/19(Sun) 21:59:10

★ 外積の導出 / 星

外積a×bの導出がなぜそうなるのかわかりません。
a=[x1 y1 z1]、b=[x2 y2 z2]の外積a×bの求め方を教科書に、
x1 y1 z1 x1
x2 × y2 × z2 × x2 と書いてありましたが、
なぜようなたすき掛けの方法でもとまるのか理解できません。
この公式の導出方法を教えてください

No.53107 - 2018/08/19(Sun) 20:07:02

☆ Re: 外積の導出 / GandB

ネタかもしれんがwww

> 外積a×bの求め方を教科書に
　その教科書とやらが外積を説明している箇所の画像をアップしてくれ。

No.53110 - 2018/08/19(Sun) 20:46:07

☆ Re: 外積の導出 / 星

すみません、本当にわかってないです・・・・。
教科書はこちらです。
よろしくお願いします！！

No.53115 - 2018/08/19(Sun) 21:57:12

☆ Re: 外積の導出 / GandB

　その説明の前に「外積の定義」はないの？　外積の定義は、3次の行列式の '形式' を借りれば
　　i↑= (1, 0, 0),　　j↑= (0, 1, 0),　　k↑= (0, 0, 1)
という基本ベクトルを使って
　　　　　　　 | i↑　j↑　k↑|
　　a↑×b↑ = | x1　 y1　 z1 |
　　　　　　　 | x2　 y2　 z2 |
と整然と表記できることを、ベクトル解析の教科書であるなら必ず書いているはず。たすき掛けの計算は導出するのではなく、外積の定義そのもの。上記の行列式を、基本ベクトルで余因子展開すればたすき掛けになるではないか。なぜ、このような奇妙な定義をするのかということは、力学で力や運動量のモーメントを理解しないとわかりにくいと思う。

No.53125 - 2018/08/19(Sun) 23:59:43

☆ Re: 外積の導出 / 星

ありがとうございます、わかりました

No.53131 - 2018/08/20(Mon) 13:25:58

★ (No Subject) / マジュン

この74(2)において、f(θ)=0のときは0<a<π/2と不等号で、f(θ)=3のときは0≦a<π/2と、イコール付きなのですか？

No.53099 - 2018/08/19(Sun) 16:07:35

☆ Re: / X

74(2)の問題文をアップして下さい。
添付画像のどこにも載っていませんので。

No.53104 - 2018/08/19(Sun) 17:17:44

☆ Re: / ヨッシー

αが第１象限にあることを言っている式で、sinα＝2√2/3, cosα＝1/3 なので、厳密には
　0＜α＜π/2
ですが、
　0≦α＜π/2　または　0≦α≦π/2
でも、誤りではありません。

まぁ、勢いで書いてしまった、程度に捉えておけば良いと思います。

No.53139 - 2018/08/20(Mon) 15:28:48

★ (No Subject) / マジュン

121(1)において、解説にグラフがありますが、これはどうやって書けばよいのですか？

No.53098 - 2018/08/19(Sun) 15:59:34

☆ Re: / X

定義域が実数全体である
y=|a(x-a)|
のグラフが点(a,0)を頂点とした
V字型のグラフになることは
よろしいですか？
後は、頂点(a,0)が定義域である
0≦x≦2
の中間であるx=1に関して
左側か、右側かで場合分けを
してg(a)を求めます。
得られたg(a)は絶対値が付いていますので
aの値によって更に場合分けをして
絶対値を外します。

No.53103 - 2018/08/19(Sun) 17:12:29

★ 真数条件について / マジュン

この、?のとこなのですが、なぜx+3に真数条件を適用しないのですか？

No.53093 - 2018/08/19(Sun) 13:23:09

☆ Re: 真数条件について / IT

x+3>0 も必要です。それぞれ別々に書くなら　４つ全部書くべきですね。

結果的に　x>0 に吸収されますので
「真数条件から」としてまとめた場合にはx>0を書けばx+3>0を書かなくてもいいですが。

添削者に聞いて見られてはどうですか？

No.53094 - 2018/08/19(Sun) 13:46:15

☆ Re: 真数条件について / マジュン

やはり必要ですよね、だとしたら-3<x<1でも間違えではないということですか？

No.53097 - 2018/08/19(Sun) 15:58:15

☆ Re: 真数条件について / IT

ダメですね。　私の前の投稿（下記に補完して書き込みます）をよく読んでください。
log は４つあり、すべての真数条件を満たさないといけません。

１つめの不等式と２つめの不等式の真数条件のうち１つめだけを最初に書いてあり、
２つめの不等式の真数条件は、別に書いてあるのならそれでもいいです。しかし、そのように明記してあるようには見えません。（答案がよく見えないので確実ではないですが）

（前の投稿の補完後）
x+3>0 も必要です。４つの真数条件をそれぞれ別々に書くなら　４つ全部書くべきですね。x≠0,x>0も必要です。

結果的にx+3>0とx≠0は　x>0 に吸収されますので
「真数条件から」としてまとめた場合にはx>0を書けばx+3>0とx≠0は書かなくてもいいですが。

No.53102 - 2018/08/19(Sun) 16:48:22

★ 順序数（初心者） / 坂下

順序数全体の集まりは集合にならないことの証明として、
順序数全体の集合があったとして、それをＳとする。
このとき、ordS=μとする。μはすべての順序数よりも大きい。（☆）
一方Ｓ∨｛a}このとき、｛a}はＳの任意の元よりも大きく、Ｓの順序はそのまま使うという集合を考えるとそれは整列集合となる。
このとき、ordＳ∨｛a}=μ＋１である。
これは上の☆に矛盾する。
というものがありますが、☆の「μはすべて順序数よりも大きくなる」理由がピンときません。
松坂和夫の本で勉強しています。どなたか教えてください。

No.53088 - 2018/08/19(Sun) 11:19:06

★ (No Subject) / たいむ

画像1枚目の(2)の

直線gの方程式は、
y=a1
z=a2

と書いてあるのですが、
なぜ

x=a1+ltの式は無視されるのですか？

2枚目の画像に解説があるのですが、よく理解できません。

教えてくださいませ。

No.53080 - 2018/08/19(Sun) 02:00:22

☆ Re: / たいむ

2枚目はこちらです。

あらゆる実数値をとるのから考慮しない？
どゆことだ？
直線求めるんだからxの値は必要なのではと。。

No.53081 - 2018/08/19(Sun) 02:02:10

☆ Re: / X

例えば二次元平面で点(0,2)を通るx軸平行の
直線の方程式は
y=2
となりますが、xについての方程式は見かけ上
出てきませんね。
(xは任意の実数と書くべきところですが、
普通は省略されます。)
それと同じことです。

No.53082 - 2018/08/19(Sun) 06:08:08

☆ Re: / たいむ

ありがとうございます！
腑に落ちました！

No.53091 - 2018/08/19(Sun) 11:35:58

★ (No Subject) / ゆか

F(x)=3x^2-ax^3の区間0≦x≦2における最小値が-4となるaの値を出す問題で

aが負の時
aが１以上のとき
aが0<a≦1のとき

を調べていたのですが、最後の0<a≦1これはなんでしょうか？私は正か負かでのみ場合分けをしたのですが、、

No.53077 - 2018/08/19(Sun) 00:12:24

☆ Re: / IT

F'(x)=6x-3ax^2=3x(2-ax) ですね。
0＜a＜1かa≧1かで、　2-ax＝0 になるx=2/aが区間0≦x≦2 に入るかどうかが違ってきますが、
a＞0のときは　x=2/aで　F(x) は極大なので関係ないですね。

問題がそれだけなら、その場合分けは不要だと思います。

なお、F(x)=(x^2)(3-ax) なので微分を使わなくても出来ますね。

No.53079 - 2018/08/19(Sun) 00:38:31

★ (No Subject) / くるみ

Y=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2
が極大値を持つような実数aの範囲を求める問題で、
Y'=4x｛x^2-3(a-1)x+(a^2-1)｝と変形して
｛｝のなかが0でない2つの解になるように解いたのですが、答えにa<-1 13/5<a -1<a<1
とかいてあって｛｝の中は0以外の解をもつのでa^2-1が０になってはいけないからaはノット±1だと思うのですが、なぜ-1<a<1になるのでしょうか、、

No.53069 - 2018/08/18(Sat) 20:26:16

☆ Re: / IT

> aはノット±1だと思うのですが、なぜ-1<a<1になるのでょうか
質問の趣旨が分かりにくいと思います。
くるみさんの　答えはどうなりましたか？

No.53070 - 2018/08/18(Sat) 21:17:03

☆ Re: / くるみ

Y=x^4-4(a-1)x^3+2(a^2-1)x^2
が極大値を持つような実数aの範囲を求める問題で、
極大値をもつには微分した式が(+)から(-)に変化しなくてはならないが導関数のx^3が正であるために導関数のグラフは負から始まっているので導関数は３つの異なる解を持たなくてはならなくて０はひとつ確定しているのであと、２つの異なる解を探そうと思い｛｝を判別式を使い計算したところa<-1 13/5<a
が、出ました。
そして｛｝の中に0をもつ解が存在してはいけないので0を代入した結果aは±1をとってはいけない。ですがa<-1 13/5<a には±1は含まれていないために答えをa<-1 13/5<a と書いたのですが、解答には
a<-1 　13/5<a 　　-1<a<1とかかれており-1<a<1の意味がわかりません。

No.53076 - 2018/08/19(Sun) 00:06:27

☆ Re: / IT

> ０はひとつ確定しているのであと、２つの異なる解を探そうと思い｛｝を判別式を使い計算したところa<-1 13/5<a
が、出ました。

判別式の計算間違いでは？

例えば　a=0のとき
　x^2-3(a-1)x+(a^2-1)＝x^2+3x-1 でx^2+3x-1=0の判別式＞0です。

x^2-3(a-1)x+(a^2-1)＝0の判別式　9(a-1)^2-4(a^2-1)=5a^2-18a+13=(a-1)(5a-13)
この判別式が正なのは　a<1,a>13/5 のとき　だと思います。　

No.53078 - 2018/08/19(Sun) 00:23:53