ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高知大学　医学部　AO過去問 / ぴーたろう

a,bは実数でa>0とする。

xy平面上において、(4-a,1-a),(4-a,1+a),(4+a,1-a),(4+a,1+a)を頂点とする正方形の4つの辺とその内部からなる領域をD1とし、中心(b,2b),半径3の円の演習とその内部からなる領域をD2とする。また、点A,B,Cをxy平面上の3点とし、それらの座標をそれぞれ(2,-2),(2,1),(3,0)とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1)A,B,Cのうち、D1に入る点が1つだけあるようなaの範囲を求めよ
(2)A,B,Cのうち、D2に入る点が2つだけあるようなbの範囲を求めよ
(3)A,B,Cのうち、D1,D2の両方に入る点が1つ以上あるような(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ
(4)A,B,Cのうち、D1,D2の少なくとも一方には入るような(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ

No.53356 - 2018/08/28(Tue) 17:00:04

☆ Re: 高知大学　医学部　AO過去問 / ヨッシー

(4) の日本語がおかしいです。

No.53382 - 2018/08/30(Thu) 11:50:25

★ ラ・サール高過去問 / Origin

右図において,AO=1のときのABの長さを求める方針を出来るだけ多く出して頂きたいです.尚OB=OCは証明されているものとします.高校数学の範囲内で理解できる定理なら何を使って頂いても構いません.

No.53353 - 2018/08/28(Tue) 10:39:54

☆ Re: ラ・サール高過去問 / Origin

補足:答えは14/5です。

No.53354 - 2018/08/28(Tue) 12:01:00

☆ Re: ラ・サール高過去問 / らすかる

CQ=QP=PB=2xとしてQPの中点をMとすると
OM=√(OP^2-MP^2)=√(1-x^2)
OB=√(OM^2+MB^2)=√(1+8x^2)
MB：OB=AB：CBに代入して
3x：√(1+8x^2)=1+√(1+8x^2)：6x
これを解いてx=√7/5
∴AB=1+√(1+8x^2)=14/5

No.53355 - 2018/08/28(Tue) 16:12:13

☆ Re: ラ・サール高過去問 / Origin

> CQ=QP=PB=2xとしてQPの中点をMとすると
> OM=√(OP^2-MP^2)=√(1-x^2)
> OB=√(OM^2+MB^2)=√(1+8x^2)
> MB：OB=AB：CBに代入して
> 3x：√(1+8x^2)=1+√(1+8x^2)：6x
> これを解いてx=√7/5
> ∴AB=1+√(1+8x^2)=14/5
ありがとうございます。自分で考えた幾つかのよりスマートで美しいです！参考にさせていただきます。

No.53357 - 2018/08/28(Tue) 20:21:56

★ 確率の問題です / て

1つの袋に赤玉と白玉の2種類の玉が合計10個入っている。この袋から同時に2この玉を取り出す時、そのうち少なくとま1個が白玉である確率が15文の8であるという。この袋に入っている白玉の個数を求めよ。
という問題の解き方がわかりません。どなたか解法教えていただきたいです。

No.53348 - 2018/08/27(Mon) 19:41:59

☆ Re: 確率の問題です / GandB

> そのうち少なくとま1個が白玉である確率が15文の8
　変な日本語。質問するときの問題文はもっと正確に。

　問題文が雑なので回答も雑に書いておく（笑）。簡単な問題だからすぐわかるだろうが。

　赤玉の数を x とすると
　　(xC2)/(10C2) = 1- 8/15 = 7/15.
　　xC2 = 7*45/15 = 21 = 7C2.
　　x = 7.
　したがって白玉の数は
　　10 - 7 = 3.

No.53349 - 2018/08/27(Mon) 21:05:41

★ 積分 / ゆか

積分の公式で質問です。
∫[α→β](x-α)^2(x-β)
=-(β-α)^4/12　とかかれていたのですが、

塾の先生には|a|(β-α)^4/12
と習いました

この上記の2つの公式はそれぞれ係数が-と+なので、答えが変わってくると思うのですがどれが正しいのでしょうか？

No.53345 - 2018/08/27(Mon) 18:14:51

☆ Re: 積分 / IT

塾の先生は、曲線とｘ軸で囲まれる部分の面積について言われたのでは？

正か負かは、グラフを描いてみれば分かります。
α＜βのとき　、α＞βのとき　それぞれグラフを描いてみてください。　

なお、a は何ですか？

No.53346 - 2018/08/27(Mon) 18:37:58

☆ Re: 積分 / GandB

> 塾の先生には|a|(β-α)^4/12
　|a| はどこから出てきたのか、よくわからんが
　　https://mathtrain.jp/beta
を見る限り、まったく違う積分を混同しているとしか思えん。

　ま、それはともかく

　　∫[α→β](x-α)^2(x-β)

とは

　　∫[α→β](x-α)^2(x-β)dx

のことだろうから、素直に積分すれば

　　　∫[α→β](x-α)^2(x-β)dx
　　= ∫[α→β](x-α)^2( x-α-(β-α) )dx
　　= ∫[α→β]( (x-α)^3 - (β-α)(x-α)^2 )dx
　　= [(1/4)(x-α)^4 - (1/3)(β-α)(x-α)^3][α→β]
　　= ( (1/4)(β-α)^4 -(1/3)(β-α)^4 ) - (0-0)
　　= -(1/12)(β-α)^4.

No.53347 - 2018/08/27(Mon) 18:53:59

★ 円と直線(お茶の水大 2010) / 名前

円と直線(お茶の水大 2010)

『xy平面上の２円

C1:x^2+y^2=16　 C2:(x-6)^2+y^2=1

について点 P を通る任意の直線が C1 または C2 の少なくとも一方と共有点を持つような点 P の存在する領域を図示せよ．』

という問題について

Ｐ(p,q) としてＰを通る任意の直線を cosθ(x-p)+sinθ(y-q)=0 とおいて任意のθについて

-４≦pcosθ+qsinθ≦４　(C1と共有点をもつ)
または
-1≦(p-6)cosθ+qsinθ≦1　(C2と共有点をもつ)

が成り立つようなＰについて考えようとしたのですが

p^2+q^2≦16　(C1内部)　または　(p-6)^2+q^2≦1　(C2内部) の場合は自明として

それ以降で膠着してしまいました。

答えとしては

『C1,C2および共通外接線，共通内接線で囲まれた領域』となります。

手持ちの解答では「この領域内では条件を満たす」程度の説明しかなく、数式での解答を試みた次第です。

ご教授願います。

No.53343 - 2018/08/27(Mon) 07:55:03

☆ Re: 円と直線(お茶の水大 2010) / 黄桃

図形的考察をしないと難しいのではないでしょうか。

要するに、θに関する不等式

-４≦pcosθ+qsinθ≦４　または -1≦(p-6)cosθ+qsinθ≦1

の解が0～2πすべてをカバーする、ということなのですが、数式だけだと、出てくる角度の意味をきちんと理解するのが難しい上に出てきた結論は当たり前のものになります。

実際、O(0,0), A(6,0)とし、C1,C2の外側にあるPが条件を満たすとは、
PからC1に引いた2本の接線に挟まれるOを含む領域(Oの反対側も含む)と
PからC2に引いた2本の接線に挟まれるAを含む領域(Aの反対側も含む)との和集合が全体集合になる
ということである、となります（この結論自体は図形的意味を考えれば明らかでしょう）。

この先の考察は図形的にした方がずっと楽で、そうなると「手持ちの解答」と大差ないものになるでしょう。

＃全部数式だけでやろうと思ったら、
＃PからC1に引いた2本の接線の方程式を f1(x,y)=0, f2(x,y)=0,
＃PからC2に引いた2本の接線の方程式を g1(x,y)=0, g2(x,y)=0　とし、
＃f1(0,0)*f2(0,0)<0, g1(6,0)*g2(6,0)<0 とすれば（符号が反対なら f1やg1を -f1や-g1 で置き換える）
＃f1(x,y)*f2(x,y)>0 の範囲が g1(x,y)*g2(x,y)≦0の範囲に含まれる、
＃という条件を明らかにすればいいですが、かなり面倒なことになると思います(少なくとも私はやる気がおきません）。

No.53396 - 2018/08/31(Fri) 07:55:23

☆ Re: 円と直線(お茶の水大 2010) / 名前

最初は図形的考察を考えました。

円外の定点Ｐを通る直線が円と共有点をもつとき、直線が動ける限界は円と直線が接するときです。

この直線がC1と共有点をもたなくなったときからC2と共有点をもち始め、C2と共有点をもたなくなったときからC1と共有点をもち始めると考えれば共通接線が境界になるであろうという推測はできます。

実際、原題では小問で２円の共通接線の方程式を問うており共通接線が境界になることを示唆しています。

しかし、こうした考察を厳密に実行して図示するところでつまづいてしまいました。

No.53398 - 2018/08/31(Fri) 11:00:33

☆ Re: 円と直線(お茶の水大 2010) / 黄桃

もし目的が、数式を使って解くこと、でないのなら、改めて投稿しなおすことをお勧めします。小問は誘導になっていることが多く、問題作成者の意図は図形的に解くことでしょう。

＃4本の共通接線で分割される領域ごとに可能性を検討すれば
＃（面倒ですが）確実、というのが「手持ちの解答」の方針では？

No.53460 - 2018/09/02(Sun) 08:25:28

★ 高次恒等式 / あいか

下の問題の求め方が分からないので教えていただきたいです！！🙇
お願いします！！！

No.53326 - 2018/08/26(Sun) 18:36:11

☆ Re: 高次恒等式 / IT

?@の解をα、β?Aの解をα、β、γとして解と係数関係から決まると思います。

?@の左辺を?Aの左辺で割り算する方法もあります。

No.53328 - 2018/08/26(Sun) 19:03:39

☆ Re: 高次恒等式 / あいか

ありがとうございます、階の係数をだしてからどうすればいいのでしょうか…ほんとにすみません🙇

No.53329 - 2018/08/26(Sun) 19:28:22

☆ Re: 高次恒等式 / あいか

あと?@の解が‪α ‬β γの3つでいいですか？？

No.53330 - 2018/08/26(Sun) 19:31:42

☆ Re: 高次恒等式 / IT

いいです。
「?A の解をα、β　?@の解をα、β、γ」と書くところを
書き間違えました。ごめんなさい。

No.53331 - 2018/08/26(Sun) 19:51:23

☆ Re: 高次恒等式 / IT

> ありがとうございます、階の係数をだしてからどうすればいいのでしょうか…ほんとにすみません🙇

?@と?Aの解と係数の関係を書き出してください。

（注）x=aが?@の解の１つであることから?@は因数分解できて　(x-a)(x^2+x+1)=0 …?@となることを使うと良かったです。
（１）は、最初の方針どおりやってみましょう。
（２）は、(x-a)(x^2+x+1)=0 …?@　を使わないと難しいようです。

実数係数のｎ次方程式が虚数解αを持つときαの共役複素数も解になることを使います。
?@の左辺を?Aの左辺で割り算する方法はうまくいかないようです。

No.53332 - 2018/08/26(Sun) 19:55:47

☆ Re: 高次恒等式 / IT

（解と係数関係を使う解法）
(1) (ii)の解をα、β (i)の解をα、β、γとすると。
解と係数関係
α+β+γ=-(1-a)…(1),αβ+βγ+γα=1-a…(2),αβγ=a…(3)
α+β=-(9a-7)…(4),αβ=1…(5)

(5)(3)よりγ=a
これと(1)(4)より-(9a-7)+a=-(1-a) ∴a=8/9

この後、a=8/9なら(ii)の２解が(i)の解になることを示すのは面倒ですね。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
やはり、下記の解答が良いようです。
(略解)
(1)x^3+(1-a)x^2+(1-a)x-a=(x-a)(x^2+x+1)=0 …(i) なので
(i)の解はx=a(実数）とx^2+x+1=0の２つの異なる虚数解である。
(ii)は実数係数なので虚数解を持つ場合は、その共役複素数も解となる。
　
したがって(i)と(ii)が２つの解を共有するとき、それらはx^2+x+1=0の２つの解である。

よって、x^2+(9a-7)x+1=x^2+x+1 (恒等式）
∴a=8/9　

No.53336 - 2018/08/26(Sun) 21:27:27

☆ Re: 高次恒等式 / IT

(2)(i)と(ii)がただ１つの解を共有するとき
その共有解はx=a である。（なぜなら、(1)の最初の議論から）
よってa^2+(9a-7)a+1=0 これを解くといいです。

No.53337 - 2018/08/26(Sun) 21:32:03

☆ Re: 高次恒等式 / あいか

わかりやすくありがとうございます！
2通りでやってみました！！

No.53339 - 2018/08/26(Sun) 21:33:51

★ 除法と整数の分類 / あゆ

121番なのですがどのように示せばいいのか分かりません。教えていただきたいです。

No.53318 - 2018/08/26(Sun) 17:38:02

☆ Re: 除法と整数の分類 / らすかる

n=3kのときn^2=(3k)^2=3(9k^2)
n=3k±1のときn^2=(3k±1)^2=3(3k^2±2k)+1
なので、nが3の倍数のときn^2は3で割り切れ、
そうでないときn^2を3で割った余りは1。
よって
aとbが両方とも3で割り切れないとき、a^2+b^2を3で割った余りは2
aとbのどちらか一方のみが3で割り切れないとき、a^2+b^2を3で割った余りは1
aとbが両方とも3で割り切れるとき、a^2+b^2を3で割った余りは0
となるので、a^2+b^2が3で割り切れるのはaとbが両方とも3で割り切れるときのみ。

No.53319 - 2018/08/26(Sun) 17:58:21

☆ Re: 除法と整数の分類 / あゆ

丁寧な解説ありがとうございます。
解けました。

No.53325 - 2018/08/26(Sun) 18:24:50

★ 確率 / あゆ

場合分けがいまいち分かりません。105番です！
解き方を教えていただきたいです。お願いします！

No.53317 - 2018/08/26(Sun) 17:36:24

☆ Re: 確率 / IT

(1) 余事象を考えるのが簡単そうです。
１回目、２回目、３回目に青玉が出る確率を求めてみてください。

(2)青を○、それ以外を×と書くと、
　条件を満たすのは、５つ目が○で１から４つ目までのまでのうち２つが○で２つが×です。

○○××○
？？？？○

？？？？○
××○○○

No.53327 - 2018/08/26(Sun) 18:46:44

☆ Re: 確率 / あいか

ありがとうございます！余事象でやってみたのですが答えが21分の5で自分の計算と違ってしまうのですがやり方がちがうのでしょうか…

No.53334 - 2018/08/26(Sun) 20:45:39

☆ Re: 確率 / IT

あいかさんの計算の要所を書き込んでみてください。

No.53338 - 2018/08/26(Sun) 21:33:24

☆ Re: 確率 / GandB

(1)演習の邪魔をしては悪いので、計算の負担の大きい、賢くない解法をあえて示す（笑）。
　　4回で終了：(6/9)*(5/8)*(4/7)*(3/6) = 5/42
　　5回で終了：(6/9)*(5/8)*(4/7)*(3/6)*(3/5) = 1/14
　　6回で終了：(6/9)*(5/8)*(4/7)*(3/6)*(2/5)*3/4 = 1/28
　　7回で終了：(6/9)*(5/8)*(4/7)*(3/6)*(2/5)*(1/4)*(3/3) = 1/84
であるから、求める確率は
　　(10+6+3+1)/84 = 20/84 = 5/21.

No.53342 - 2018/08/27(Mon) 06:41:34

★ 求め方を教えてください / こはる

ABCDは正方形であり、△BCGと△BAGは合同です。また、EH=FHです、∠GCHの角度を求める問題で、答えは90度なのですが、求め方がわかりません。△ECHが正三角形なのか？とも考えましたが、それを証明できる事柄も見つかりません。角度の求め方を教えてください。

No.53312 - 2018/08/26(Sun) 14:17:11

☆ Re: 求め方を教えてください / らすかる

長方形CEIFを作るとHは対角線の交点なのでHF=HC=HEとわかります。
（あるいは、△CEFの外接円を描くとHは円の中心となりますのでHF=HC=HEです。）
よって∠GCE=∠EAB、∠ECH=∠CEH=∠BEAなので
∠GCH=∠GCE+∠ECH=∠EAB+∠BEA=180°-∠ABE=90°です。

No.53315 - 2018/08/26(Sun) 17:17:16

★ 不等式の証明 / あゆ

145の(2)なのですが相加・相乗平均を利用してとこうとしたのですが分かりませんでした。教えていただきたいです。

No.53307 - 2018/08/26(Sun) 08:57:28

☆ Re: 不等式の証明 / IT

左辺-右辺にabc(a+b+c)（＞０）を掛けると
(bc+ca+ab)(a+b+c)-9abc となります。これを整理すると
a( )^2+b( )^2+c( )^2 の形になります。

No.53308 - 2018/08/26(Sun) 09:38:36

☆ Re: 不等式の証明 / らすかる

3変数の相加相乗平均を使うのなら
1/a,1/b,1/cに関する3変数の相加相乗平均により
1/a+1/b+1/c≧3/[3]√(abc)　（等号は1/a=1/b=1/cすなわちa=b=cのとき） … (1)
また、a,b,cに関する3変数の相加相乗平均により
a+b+c≧3[3]√(abc)　（等号はa=b=cのとき）
両辺に1/(a+b+c)・3/[3]√(abc)を掛けて
3/[3]√(abc)≧9/(a+b+c)　（等号はa=b=cのとき） … (2)
(1)(2)から 1/a+1/b+1/c≧9/(a+b+c)　（等号はa=b=cのとき）

No.53309 - 2018/08/26(Sun) 10:31:53

☆ Re: 不等式の証明 / あゆ

解けました。ありがとうございます！

No.53321 - 2018/08/26(Sun) 18:22:51

★ (No Subject) / あわわ

問題の質問ではないんですが、数学や物理の問題を作れる人って閃き力超越してないですかね？やっぱり学生時代に理数系の科目が大好きでトップの実力を持っていた人だけが作れるんでしょうか。
あと、模試や大学入試の問題を作るときって過去問や参考書を参考にしながら作っているんですかね？それとも1から自力で考えているんでしょうか？

No.53299 - 2018/08/25(Sat) 23:04:34

☆ Re: / 関数電卓

> 模試や大学入試の問題を作るときって過去問や参考書を参考にしながら作っているんですかね？それとも1から自力で考えているんでしょうか？

模試の場合には、予備校や受験業者に傭われたスタッフ（実力がある一般人、大学院生、大学生）が作ることが多いので、過去問等を十分に参考にしますね。

入試の場合には，その大学に勤める教授や研究者が作ることが多いです。出題者の研究分野に直結する内容を、高校生が解答できるようにアレンジします。
研究者は独立に研究していますので、ほとんど同じ内容の問題が異なる２大学で同時に出題されることがあります。このことは決して珍しいことではありません。

No.53303 - 2018/08/25(Sat) 23:46:55