xのn次式(n≧1)f(x)がf(k)=1/(k+1)(k=0,1,2,…,n)をみたすとき，次の各問いに答えよ．
(1)f(n+1)の値を求めよ．
(2)f(-1)=1+1/2+1/3+…+1/n+1/(n+1)であることを示せ．
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No.53207 - 2018/08/23(Thu) 12:00:59
| ☆ Re: n次式 / del | | | (1)
k=0,1,2,…,nに対して、f(k)=1/(k+1)
つまり、(k+1)f(k)=1 なので、
(x+1)f(x)=ax(x-1)(x-2)...(x-n)+1 ...?@とおける。
?@にx=-1を代入すると
0=a(-1)(-2)...(-n-1)+1={(-1)^(n+1)}{(n+1)!}a+1 より
a=(-1)^n/{(n+1)!}
よって?@にx=n+1を代入すると
(n+2)f(n+1)=(-1)^n/{(n+1)!}*(n+1)n(n-1)...1+1=1+(-1)^n
以上より f(n+1)={1+(-1)^n}/(n+2)
(f(n+1)=0 (nが奇数),2/(n+2) (nが偶数)という書き方でもOK)
(2)
g(x)=(-1)^n/{(n+1)!}x(x-1)...(x-n)とすると g(-1)=-1
よってx≠-1に対し、f(x)={g(x)-g(-1)}/{x-(-1)}
lim[x→-1]f(x)=g'(-1) であり、x≠0,1,...,nのとき
g'(x)=Σ[k=0:n]g(x)/(x-k)だから
g'(-1)=Σ[k=0:n]g(-1)/(-1-k)=Σ[k=0:n]1/(k+1)
また、f(x)はxのn次式なので連続である。
以上より f(-1)=lim[x→-1]f(x)=g'(-1)=Σ[k=0:n]1/(k+1)
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No.53210 - 2018/08/23(Thu) 13:21:08 |
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