半径1の円Oに内接する△ABCで|↑OA+↑OB+↑OC|=1が成り立つならば△ABCが直角三角形であることを示す問題なのですが，(↑OA+↑OB)・(↑OA+↑OC)=0と変形して↑OA+↑OB=0または↑OA+↑OC=0または(↑OA+↑OB)⊥(↑OA+↑OC)として示す以外の(座標を用いるなどの)解法があれば教えて頂きたいです．
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No.53290 - 2018/08/25(Sat) 21:22:27
| ☆ Re: ベクトル / X | | | 座標を用いる別解がありますが、計算がかなり煩雑です。
条件から
A(1,0),B(cosα,sinα),C(cosβ,sinβ)
(α≠β,0＜α＜2π,0＜β＜2π (A))
と置いても一般性を失いません。
さて
|↑OA+↑OB+↑OC|=1
より
|↑OA+↑OB+↑OC|^2=1
∴|↑OA|^2+|↑OB|^2+|↑OC|^2
+2(↑OA・↑OB+↑OB・↑OC+↑OC・↑OA)=1
となるので、上記の座標の設定により
3+2(cosα+cosβ+cosαcosβ+sinαsinβ)=1
2+2(cosα+cosβ+cosαcosβ+sinαsinβ)=0
1+cosα+cosβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0
1+2cos{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}+cos(α-β)=0
2cos{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}+2cos{(α-β)/2}^2=0
{cos{(α+β)/2}+cos{(α-β)/2}}cos{(α-β)/2}=0
2cos(α/2)cos(β/2)cos{(α-β)/2}=0
∴
cos(α/2)=0 (B)
又は
cos(β/2)=0 (C)
または
cos{(α-β)/2}=0 (D)
ここで(A)より
0＜α/2＜π
0＜β/2＜π
-π＜(α-β)/2＜π
∴(B)(C)(D)より
α=π又はβ=π又はα-β=π,-π
よって
辺AB,BC,CAのいずれかが
△ABCが内接している円の直径
となりますので、円周角により
問題の命題は成立します。
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No.53295 - 2018/08/25(Sat) 21:53:11 |
| ☆ Re: ベクトル / らすかる | | | 円Oに内接する△ABCで、辺ABがOを通らないとしても一般性は失われません。
残りのCはA,Bを除く円周上を動くものとします。
また、辺ABの中点をMとします。
Cが円周上を動くとき、△ABCの重心GはCMを2：1に内分した点ですから、
重心Gの軌跡はOMを2：1に内分した点Pを中心とする半径が1/3の円
（ただしAB上の点を除く; またこの円を円Pとする）となります。
△ABCが直角三角形になるのはACまたはBCがOを通るときだけなので、
△ABCが直角三角形になるようなCの位置はちょうど2点です。
ACがOを通るときは∠Bが直角で△ABCの重心GはBOを2：1に内分する点、
BCがOを通るときは∠Aが直角で△ABCの重心GはAOを2：1に内分する点
ですから、△ABCが直角三角形のときはOG=1/3となります。
Oを中心とする半径が1/3の円は円Pとちょうど2点で交わりますので、
線分CMがその2交点のいずれかを通るときに△ABCが直角三角形となり、
そうでないときは直角三角形でない三角形となります。
従って、△ABCが直角三角形でないとき、重心Gはその2交点以外で
円P上の点ですから、OG≠1/3です。
（特に、鋭角三角形のときOG＜1/3、鈍角三角形のときOG＞1/3です。）
よって「OG=1/3」⇔「△ABCは直角三角形」が成り立ち、
OG=|(↑OA+↑OB+↑OC)/3|ですから
「|(↑OA+↑OB+↑OC)/3|=1/3」⇔「△ABCは直角三角形」
∴「|↑OA+↑OB+↑OC|=1」⇔「△ABCは直角三角形」
となります。
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No.53306 - 2018/08/26(Sun) 02:27:58 |
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