以前質問させていただいた問題なんですが、またわからなくなってしまったので再質問させてください。
放物線C:y=x^2と直線lが0≦x≦1において、x=p、x=p+q(0≦p≦p+q≦1)なる2点で交わっている。ただしq=0のときのlはx=pでのCの接線とする。このとき0≦x≦1でCとlに挟まれた部分の面積の和をSとおく。Sをp、qを用いて表せ。
f(x)=x^2-(2p+q)x+p(p+q)とおきます。
S=∫[0,p]f(x)dx+∫[p,p+q]-f(x)dx+∫[p+q,1]を変形して、
S=∫[0,1]f(x)dx-2∫[p,p+q]f(x)dxとします1。この2∫[p,p+q]f(x)dxの部分に1/6公式を当てはめて、1/6・q^3 としました。
解答も同じような方針を取っているのですが、∫[p,p+q]f(x)dxの部分が-1/6・q^3となっているんです。
なぜ-が付くのかがわからないです。
例えばy=x^2とy=3x-2の囲む部分の面積は直線の方が放物線より上にありますが交点のx座標1と2を用いて、1/6・(2-1)^3=1/6になりますよね。-は付きません。
他にもy=-x^2とy=x+2の囲む面積は交点のx座標-1と2を用いて1/6・(2+1)^3=9/2になりますよね。
1/6公式は二つの例からわかると思いますが、1/6公式は-が付かないと思います。
質問の問題はy=x^2とy=(2p+q)x-p(p+q)の囲む面積ですのでやはり、交点のx座標pとp+qを用いて上の例と同じように1/6・(p+q-p)^3=1/6・q^3になると思うのですが、上の例では-が付かないのに対して、質問の問題では-が付くのはなぜか、両者の違いが分かりません。
よろしくお願いします。
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No.52962 - 2018/08/14(Tue) 14:55:46
| ☆ Re: 1/6公式 / らすかる | | | 「∫[p,p+q]f(x)dx」はただの「定積分」であって「面積」ではありませんので
1/6公式をそのまま使うことはできません。
q＞0として、∫[p,p+q]f(x)dxの値は
p≦f(x)≦p+qでf(x)が正ならば1/6・q^3
p≦f(x)≦p+qでf(x)が負ならば-1/6・q^3
となります。
一方「面積」ならば式は∫[p,p+q]f(x)dxではなく
∫[p,p+q]|f(x)|dxとなり、
f(x)が正か負かにかかわらず1/6・q^3です。
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No.52965 - 2018/08/14(Tue) 15:26:25 |
| ☆ Re: 1/6公式 / 瑠璃 | | | 御回答ありがとうございます。
御解説はよくわかりましたが、ではなぜy=x^2とy=3x-2の場合は1/6公式がそのまま利用できるんでしょうか。この違いが分からないです。
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No.52970 - 2018/08/14(Tue) 18:21:08 |
| ☆ Re: 1/6公式 / らすかる | | | > なぜy=x^2とy=3x-2の場合は1/6公式がそのまま利用できるんでしょうか。
最初から「面積を求める」のが目的なのですよね？
1/6公式は「面積を求める公式」ですから、
面積を求める場合は1/6公式がそのまま利用できます。
上の問題の∫[p,p+q]f(x)dxは「定積分の値を求める」ので
1/6公式はそのまま利用できません。
# y=x^2とy=3x-2で挟まれた部分の面積を求めるには1/6公式が使えますが、
# ∫[1〜2](x^2)-(3x-2)dxの値を求めるには1/6公式はそのまま使えません。
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No.52971 - 2018/08/14(Tue) 20:10:13 |
| ☆ Re: 1/6公式 / 瑠璃 | | | 御回答ありがとうございました。今度こそ納得できました。
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No.53012 - 2018/08/15(Wed) 23:05:47 |
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